Vågoptik. Inledning. c= m/s

Transkript

1 Vågoptik Inledning Vi skall nu beakta ljusets vågegenskaper. Ljuset går inte alltid exakt rakt fram. Detta kan enkelt observeras om man t.ex. tittar på något långt borta samtidigt som man rör ett finger framför och strax intill ögat. Den bild man observerar blir något förskjuten alldeles i närheten av fingret. Denna effekt kan vi inte förklara med vår tidigare beskrivna stråloptik, utan kan endast förklaras med beaktande av ljusets vågnatur. Ljusvågen har krökts kring fingret. Vågor har vi träffat på i vår vardag mest som vattenvågor. Dessa är av två typer: De vågor som innebär förflyttningar av stora mängder vatten t.ex. havsvågor och de små ytvågor som skapas då en blank vattenyta utsätts för en liten störning. Något svårare att observera är de vågor och svängningar som uppträder i musikinstrument. Dessa svängningar skapar i luften små tryckvariationer, ljudvågor, vilka når vårt öra med en hastighet av ungefär 340 m/s. Ljudet kan också fortplanta sig i en vätska t.ex. vatten eller ett fast matrial t.ex. stål. I dessa medier blir hastigheten för utbredning annorlunda och är för vatten ungefär 1450 m/s och i stål 5000 m/s. Ljudet kräver för sin utbredning ett medium eftersom det är rörelser i mediet som är själva ljudvågen. Till ljuset behövde man också ett medium för att bättre förstå dess egenskaper. Därför hittade man på den sk. etern och man gjorde många försök för att bevisa dess existens, men först då Einstein framlagt sin relativitetsteori kunde etern helt förkastas. Enligt Einstein är ljusets hastighet lika stor i alla delar av universum och i alla riktningar. Den är också oberoende av observatörens egen rörelse. Det hjälper således inte att man rör sig mot ljuset, den hastighet man mäter är alltid: c= m/s Ljuset är något som utbreder sig i vacuum på samma sätt som t.ex. partiklar i yttre rymden, men vågen är av elektromagnetisk natur. Man kan säga att fotonen eller ljusvågen bärs fram av sitt eget genererade elektriska och magnetiska fält. y E 0 B Magnetfält z Elektriskt fält E x Fig. 50. Det elektriska och magnetiska fältet i en ljusvåg. När man beskriver en ljusvåg är det ofta tillräckligt att ange det elektriska fältet, trots att även det magnetiska borde vara med. (Fig. 50.) Vågoptik s 1

2 Vågors egenskaper En våg kan allmänt beskrivas med en sinusfunktion. Låt t.ex. en lampa rotera på en cirkulär skiva (Fig. 51.). y y 0 v t Fig. 51. En våg är en projicerad cirkelrörelse. Lampans läge vid olika tidpunkter kan då skrivas: y = y0 sin v där v är en vinkel som är direkt proportionell mot tiden. (om v är 0 då t är 0). I högra delen av figur 51 får vi en kurva som ser ut som en våg. För en ljusvåg som rör sig längs positiva x-axeln blir det matematiska uttrycket: E = E0 sin( kx ωt) Detta är en funktion av både x (läget) och t (tiden). Vi fryser nu tiden (t är konstant) och då kan vi rita upp det elektriska fältet som funktion av x (Fig. 52.). E λ E 0 Utbredning åt höger med hastigheten c x 0 x Fig. 52. En våg som utbreder sig åt höger betraktad vid en viss tidpunkt t = t!. Vågoptik s 2

3 Avståndet mellan två toppar är våglängden λ. Maximala värdet på elektriska fältstyrkan är amplituden!!. Om vi i stället fryser läget (x = konstant = x! ) och tittar hur det elektriska fältet varierar med tiden får vi följande figur. (Fig. 53.) E T t 0 t Fig. 53. Samma våg som i fig. 52 observerad i olika tidpunkter men bara i en punkt i rummet x = x!. Avståndet i tidhänseende mellan två toppar är nu svängningstiden T. Observera hur de två kurvorna hänger ihop. Fältet vid en senare tid är lika med fältet i en punkt till vänster om x! i den övre figuren (Fig. 52.). Följande samband gäller mellan de olika variablerna: ct = λ, ωt= 2 π, k λ = 2π Det första sambandet följer av att efter periodtiden T har vågen rört sig en våglängd, då har kx ωt minskat med 2π vilket ger nästa samband. Det tredje sambandet får vi av att också ( ) ( kx ωt) ökar med 2π då vi ökar x med en våglängd λ. (t är fixt). Man brukar också ange frekvensen f för en våg och denna definieras genom: 1 f = T Frekvensen anges i hertz (Hz) eller perioder per sekund. Exempel: För en ljusvåg med våglängden 500 nm = 5 10 "# m är periodtiden: T 7 λ 510 = = 8 c ,7 10 s Frekvensen ges då av: f = T = 1, Hz Vågoptik s 3

4 Sambandet: c t = λ, kan också skrivas: 1 c = λ f Detta betyder att om ljusets våglängd minskas kommer frekvensen att öka (Fig. 54.). Om emellertid ljushastigheten minskar som t.ex. då ljuset går in i ett tätare medium (högre brytningsindex) blir våglängden kortare. Frekvensen är däremot den samma i de två medierna. Man kan fråga sig om insidan av en vattenfylld gul spann blir grön då man fyllt den med vatten och man stoppar ner huvudet i vattnet. Svaret får man om man gör exprimentet. Fig. 54. Om våglängden minskar ökar frekvensen, ty antalet vågor som passerar en given punkt per sekund ökar också. Huygens' princip Då en våg skall illustreras sammanbinder man punkter på vågen som har samma svängningsfas (t.ex. de punkter där E-fältet är maximalt). Den linje eller yta utefter vilken detta gäller kallar man för en vågfront. Med Huygens' princip från slutet av 1600-talet kunde vågfronters utbredning beskrivas. Principen lyder: Varje punkt på en primär vågfront blir utgångspunkt för nya elementarvågor, och den nya vågfronten fås genom att dessa elementarvågor sammansättes. Hur dessa elementarvågor sammansättes framgår av följande figur (Fig. 55.). Vågoptik s 4

5 vt Fig. 55. Utbredning av en vågfront enligt Huygens' princip. Denna princip fungerar bra till att förstå vågutbredning, men man bör tänka på att ingen bakåtgående våg skapas. Denna modifiering av Huygens' princip gjordes samtidigt som idéerna i Huygens' princip fick korrekt matematisk förankring i en formel kallad Fresnel- Kirchhoffs diffraktionsformel. Vi skall titta på vad Huygens' princip innebär för ett så enkelt fall som vanlig brytning (Fig. 56.). θ i 1 c t A v t θ i s AB n θ t B θ t Fig. 56. Huygens' princip tillämpad på brytning. Ur figuren framgår det att olika elementarvågor som skapas vid gränsytan har nått olika långt ner i det tätare mediet och den nya vågfronten blir därmed ej parallell med den ursprungliga. Ur figuren får vi: sab sinθi = c t sinθi c = = n s sinθ = v t sinθ v AB t t Vi har således visat brytningslagen. Vågoptik s 5

6 Fasvektorer Då flera ljusvågor skall sammansättas (t.ex. då Huygens' princip til- lämpas) är det lämpligt att beskriva ljusvågor med fasvektorer. En sådan är en pil med en längd som anger svängningens amplitud och pilens riktning ger svängningstillståndet eller fasen. Re Im Fig. 57. En ljusvåg och fasvektorerna i olika delar av vågen. Det verkliga elektriska fältet är projektionen längs den reella axeln (Re i figuren). Ovan visas hur fasvektorerna är riktade i olika lägen i en ljusvåg. Det elektriska fält som skulle kunna mätas är projektionen av fasvek- torn i en viss riktning. Då fältet från flera ljuskällor skall beräk- nas i en viss punkt, adderas alla bidragen till punkten. Den resulte- rade vektorn roterar ett varv under svängningstiden (om alla delvekto- rer hör till samma frekvens, fig. 58.). Resulterande fasvektor Fig. 58. Addition av fasvektorer. I figuren är fasvektorernas rotationsriktning markerad (t ökar). Vågoptik s 6

7 Moire' Då man skall addera flera ljusvågor kan också moire'-teknik användas. Denna innebär att en ljusvåg ersätts med ett gittermönster vars period motsvarar ljusvåglängden. (Fig. 59.). Fig. 59. En ljusvåg kan beskrivas med ett gittermönster. Genom att olika gittermönster kombineras kommer moire'-mönster att uppstå vilka motsvarar interferensfenomen. Dessa kan då beskrivas på ett enkelt sätt. Se nedan t.ex. fig. 60. Sammansättning av vågor Ljusvågor med samma frekvens Då två ljusvågor med samma frekvens och amplitud sammansättes erhål- les, om vågorna är i fas med varandra, en fördubbling av amplituden. Om vågorna är i motfas blir däremot det resulterande fältet alltid noll (Fig. 60.). I det första fallet är fasvektorerna riktade åt samma håll och den resulterade vektorn blir då dubbelt så lång som varje enskild vektor. (Fig. 60c.) Vågor i motfas innebär motriktade fasvektorer och de kommer att ta ut varandra. (Fig. 60d.) Då gittermönstret adderas blir det ingen skill- nad om vågorna är i fas med varandra (Fig. 60e.) medan då vågorna är i motfas erhålles ett jämnt svart fält (Fig. 60f.). Den fördubbling av amplituden som erhölls i första fallet gör att belysningen fyrdubblas eftersom intensiteten är proportionell mot amplituden i kvadrat. Vågoptik s 7

8 Fig. 60. Sammansättning av två ljusvågor i fas och i motfas. a) Vågor i fas med varandra och motsvarande fasvektorer i en punkt. b) Vågor i motfas och motsvarande fasvektorer i en punkt. c) och d) motsvarande addition av gittermönster. Vågoptik s 8

9 I följande figurer visas också resultatet då ljusvågor har andra fasrelationer och andra amplitudrelationer. (Fig. 61. och fig. 62.) Den resulterande ljusvågen är alltid en ny sinusvåg vars amplitud och fas ges av den resulterande fasvektorn. Fig. 61. Addition av ljusvågor och fasvektorer då ljusvågorna har olika fas men samma amplitud. Figuren visar också fasvekteroerna i en viss punkt. Fig. 62. Addition av ljusvågor med både olika fas och amplitud. I figuren finns också motsvarande fasvektorer. Vågoptik s 9

10 Stående vågor Om två ljusvågor går mot varandra erhålles en stående våg (Fig. 63.). I den stående vågen är det elektriska fältet alltid noll i vissa punkter (nodpunkterna) och i andra punkter svänger fältet kraftigt (svängningsbukar). I figuren finns också fasvektorer som i detta fall roterar mot varandra. Observera att det är bara vertikala komponenter av fasvektorerna som representerar de verkliga elektriska fälten. a) d) b) e) c) f) g) Fig. 63. Addition av två motriktade ljusvågor. a) - c) ljusvågor och motsvarande fasvektorer d) - f) de resulterade fälten vid de tre olika tidpunkterna g) resultrande stående vågmönster. Vågoptik s 10

11 Svävningar Om två vågor med olika frekvens sammansättes erhålles svävningar. I figuren (Fig. 64.), finns överst två gittermönster med olika frekvens ovanpå varandra och ger ett moire'-mönster. Nedanför är de två vågorna lagda ovanpå varandra och nederst är det resulterande fältet uppritat. Fig. 64. Svävningar: a) Två gittermönster och moire'. b) De två vågorna överlagrade. c) Addition av vågorna. Vågoptik s 11

12 I figur 65 kan vi tydligare se hur en stor signal erhålles då de två fälten svänger i fas med varandra, medan signalen blir noll då fälten tar ut varandra. Vi får svängingsburkar och svängningsnoder. Sväng- ningarna kan vi höra om t.ex. två strängar svänger med nästan samma frekvens. Då kommer ljudet att pulsera med en frekvens som beror på frekvensskillnaden. Fig. 65. Svävning. Amplituden blir störst där vågorna är i fas med varandra. Fig. 66. Addition av två vågor med både olika frekvens och amplitud. Om de två vågorna har både olika amplitud och frekvens går fältet ner till nodpunkterna. (Fig.66.) Vågoptik s 12

13 Ljusets polarisation Planpolariserat ljus Med polaroidglasögon kan reflexer vid havet kraftigt reduceras. Detta är ett exempel på ljusets polarisation. Att ljuset är polariserat betyder att det elektriska fältet kan ha en bestämd riktning i rummet. Då ljus utbreder sig i luft ligger den elektriska fältvektorn i ett plan vinkelrätt mot utbredningsriktningen. I detta plan (xy-planet i fig. 67.) kan det elektriska fältet hela tiden ligga längs en viss linje. I så fall kallas ljuset linjärpolariserat, eftersom utbredningsriktningen och den elektriska fältvektorn då alltid ligger i ett enda plan. y E y E x E x Fig. 67. Planpolariseat ljus. E-vektorn pekar alltid i en viss riktning i xy-planet. Om två planpolariserade ljusvågor adderas erhålles en ny planpolarisead ljusvåg om vågorna har samma eller motsatt fas. Den resulterande amplituden erhåller man om vågornas verkliga fältvektorer adderas (Fig. 68.). y z E = E 1 + E 2 E 2 E 1 x z Fig. 68. Två planpolariserade ljusvågor i fas adderas och ger en ny planpolariserad ljusvåg. Vågoptik s 13

14 Polarisation vid reflexion Då opolariserat ljus träffar en yta, kommer det reflekterade ljuset (och därmed även det transmitterade) att vara mer eller mindre polariserat. För ljus som infaller mot en yta under en viss speciell vinkel, brewstervikeln, blir det reflekterade ljuset helt polariserat. Det transmitterade ljuset blir endast delvis polariserat i den vinkelräta riktningen (Fig. 69.). Vid brewstervinkeln är denna infallsvinkeln θ $% given av : nt tanθ br = n i där n & och n ' är första och andra mediets brytningsindex. Opolariserat ljus θ br Helt polariserat ljus 90 Delvis polariserat ljus Fig. 69. Polarisation vid reflexion. Då den reflekterade och den brutna stålen bildar 90 :s vinkeln med varandra infaller ljuset i brewstervinkeln. Då är det reflekterade ljuset helt polariserat. Elliptiskt och cirkulärpolariserat ljus Om två planpolariserade ljusvågor adderas med en annan fasdifferens än 0, π, och 2π, osv. fås elliptiskt polariserat ljus såvida inte amplituderna är lika hos de två ljusvågorna. (Fig. 70.) E y E x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π Fig. 70. Olika polarisationstillstånd erhålles då två vinkelräta planpolariserade ljusvågor adderas. Då fasskillnaden är ett helt antal π blir det resulterande ljuset planpolariserat. Om amplituderna är lika blir ljuset cirkulärpolariserat då fasskillnaden är π/2 och 3π/2 osv. Cirkulärpolariserat ljus innebär att den elektriska fältvektorn har konstant längd och roterar ett varv längs utbredningsriktningen för en våglängd (Fig. 71.). Vågoptik s 14

15 y E E y E z E x x Fig. 71. Cirkulärpolariserat ljus. Den resulterande E-vektorn roterar runt utbredningsriktnigen. Polarisation hos himmelsljuset Polariserat ljus kan åstadkommas på många olika sätt. Förutom den ovan nämnda polarisationen i en vattenyta, blir det spridda himmelsljuset också polariserat. Om t.ex. solen befinner sig nära horisonten kan god vertikal polarisation (inte helt fullständig) erhållas i en riktning 90 från solriktningen (Fig. 72.). Fig. 72. Spridning av ljus mot molekyler i atmosfären ger polariserat ljus. Eftersom ljuset sprids flera gånger blir det inte helt polariserat. Vågoptik s 15

16 Polarisation i kristaller I vissa kristaller får man också polarisationseffekter. Detta beror på att en sådan kristall har olika optiska egenskaper i olika riktningar. Man skiljer på två fenomen: dubbelbrytning och optisk aktivitet. Dubbelbrytning Dubbelbrytning får man om plan polariserat ljus infaller vinkelrätt mot en kristalls optiska axel (en riktning i kristallen kring vilken det finns en speciell symmetri). Det infallande ljuset delas upp i två olika vågor, en ordinär våg med polarisationsriktningen vinkelrät mot optiska axeln och en extraordinär våg med polarisationsriktningen parallell med den optiska axeln (Fig. 73.a.). o E o E e E e Optisk axel o e Optisk axel Fig. 73. Dubbelbrytning i en kristall. a) Uppdelning av infallande ljus i två vågor. Man tittar mot ljuset. b) Den ordinära och den extra ordinära vågen har olika utbredningshastighet. Ljuset betraktat uppifrån. De två olika vågorna har olika utbredningshastighet i kristallen, vilket leder till fasskillnad mellan vågorna (Fig. 73b.). Då vågorna har passerat kristallen med tjockleken d ges denna fasskillnad av: 2 π δ = ( ne no ) d λ där n ( och " ) är brytningsindex för den extraordinära och den ordinära vågen. Om kristallen orienteras så att den optiska axeln ligger i 45 :s vinkel i förhållande till den infallande ljusvågens svängningsriktning blir de två vågornas amplituder lika stora i kristallen (Fig. 74.). En fasändring på udda eller jämnt antal π, gör att ljuset ut från kristallen blir polariserat vinkelrät mot eller parallellt med den ursprungliga riktningen. För andra fasändringar blir ljuset elliptiskt eller cirkulärt polariserat. Vågoptik s 16

17 Infallande våg = π + n 2 π = n 2 π o. våg eo. våg Optisk axel o. våg eo. våg o. våg eo. våg Fig. 74. En planpolariserad ljusvåg delas upp i en ordinär och en extraordinär ljusvåg. De två högra figurerna visar den resulterande ljusvågens polarisationsplan efter passage genom kristallen. Betraktas det utgående ljuset i ett spektroskop placerat efter en analysator och den senare är parallell eller vinkelrät med infallande ljusets polarisationsriktning fås ett spektrum med mörka band (Fig.75.) λ Analysatorn parallell med infallsriktningen Analysatorn vinkelrät mot infallsriktningen Fig. 75. Dubbelbrytning. Spektra observerat i en spektrometer. En dubbelbrytande kristall kan avpassas så att den ger cirkulärpolariserat ljus av ingående planpolariserat ljus. En sådan platta (kort kristall) kallas för en λ/4-platta. Denna ger då en fasskillnad på π/2 (motsvarar λ/4) mellan den ordinära och den extraordinära strålen. Då blir det utgående ljuset cirkulärpolariserat. Om man i stället har en λ/2-platta kan man få en ändring av det ingående planpolariserade ljusets svängningsriktning (Se Fig. 76 nästa sida). Vågoptik s 17

18 Optisk axel θ Extraordinär våg Ordinär våg E θ Fig. 76. Halvvågsplatta. Denna ger i detta fall en ändring av polarisationsplanet med 90. Ändringen av svängningsriktningen är beroende av hur kristallens optiska axel är orienterad i förhållande till det infallande ljuset (Fig. 77.). Den nya svängningsriktningen avviker från den ursprungliga med vikeln 2 v, där v är vinkeln mellan infallande ljusets svängningsplan och den optiska axeln. I Fig. 77b visas hur en halvvågsplatta i kombination med en polariserande stråldelarkub ger en variabel stråldelare. <2% Infallande ljus v Optisk axel Utgående ljus v Linjärt polariserat laserljus 2w w Vektor vriden 180 a) b) Halvvågsplatta Halvvågsplatta >97% <97% ~2% Fig. 77. a) Ändring av svängningsplanet då ljuset passerat en λ/2-platta. b) Halvvågsplatta kombinerad med polariserande stråldelarkub. Vågoptik s 18

19 Optisk aktivitet Om man låter ljus infalla längs den optiska axeln i en kristall kan optisk aktivitet observeras för vissa kristaller. Optisk aktivitet innebär att svängningsplanet hos en planpolariserad ljusvåg vrider sig inne i kristallen (Fig. 78.). Detta orsakas av att ljusvågen i kristallen delas upp i två cirkulärpolariserade ljusvågor vars rotationsriktning är motsatt. Optisk axel Fig. 78. Optisk aktivitet. Ljusvågens polarisation ändras gradvis då ljuset går igenom kristallen. I nedanstående figur visas hur olika hastighet hos de två roterande E-vektorerna ger en vridning av spänningsplanet. V H V H Fig. 79. Infallande vertikalt ljus (vi tittar mot ljuset) delas upp i två motsatt roterande cirkulärpolariserade ljusvågor som efter passage av kristallen har roterat olika mycket. a) vid inträdet i kristallen. b) strax efter kristallen. Observerar man med ett spektroskop ljuset som passerat en optiskt aktiv kristall placerad mellan två polarioder får man ett mörkt band i spektrum. Detta beror på att vridningen av svängningsplanet är våglängdsberoende (Fig. 80.). Rött Blått Blått Rött Vänstervridande kristall Högervridande kristall Fig. 80. Olika färger vrids olika mycket i en kristall. Polarisations riktningen är angiven efter passage av kristallen (vi ser mot ljuset). Vågoptik s 19

20 Våglängdsberoendet beskrivs med följande formel: θ b φ = = a + 2 d λ φ kallas specifika vridningen θ är aktuell vridning d är kristallens tjocklek a och b är konstanter som beror på det optiskt aktiva mediet För kvarts är den specifika vridningen 21,7 /mm medan den för vätskor är betydligt lägre t.ex. 37 / dm för terpentin. I lösningar är den specifika vridningen beroende av koncentrationen av det optiskt aktiva ämnet. Detta betyder att man kan t.ex. bestämma koncentrationen av socker i olika sockerlösningar med en enkel optisk metod. Spänningsoptik Då ett genomskinligt ämne t.ex. plexiglas utsätts för krafter uppkommer spänningar i materialet. Dessa spänningar kan observeras som färgade områden om objektet placeras mellan två korsade polaroider. Allmänt kallas fenomenet fotoelasticitet och det beror på att spänningar ger ett ämne olika optiska egenskaper i olika riktningar. Interferens Allmänt Vi skall nu titta på ett fenomen, interferens, vilket orsakas av att ett ändligt antal ljusvågor sammansättes. De vackra färger vi kan observera då en såpbubbla belyses med solljus är ett typiskt exempel på interferens. Vi kan också observera liknan- de färgfenomen då ett tunt oljelager spridit ut sig på en vattenyta. Vi säger att interferens innebär att ljusvågor påverkar varandra, men egentligen gör de inte det utan vågornas amplituder adderas bara. Eftersom det är intensiteter vi observerar, avviker emellertid den resulterande intensiteten ofta helt från summan av de intensiteter som de ingående ljusvågorna skulle ge. Låter vi t.ex. ett område träffas samtidigt av ljusvågor med vardera intensiteten 10 W, kan den uppmätta totala intensiteten bli 40 W som mest och 0 W som minst. Kan vi på detta sätt skapa energi? Nej. Då vi skall sammanföra två ljusvågor enligt ovan kommer en del ljus att försvinna åt ett annat håll. Vågoptik s 20

21 Två plana ljusvågor bildar vinkel med varandra Vi har tidigare diskuterat hur det blir när två ljusvågor som överlappar varandra sammansättes och de är inbördes fasförskjutna. I nedanstående figurer (Fig. 81a och 81b.) visas med moire'- teknik hur detblir när två plana ljusvågor träffar varandra under olika vinklar. I det område där ljusvågorna finns samtidigt skapas ett stationärt mönster dvs. ett mönster där intensiteten är konstant trots att ljusvågorna ju rör sig snabbt i förhållande till varandra. Mitt emellan de två riktningar som ljusvågorna har skapas fransar. Då vinkeln är liten mellan vågorna blir det bildande interferensmönstret grovt dvs. avståndet blir stort mellan två fransar. Om däremot vinkeln är stor mellan ljusvågorna blir mönstret tätt. a) b) Fig. 81. Två interfererande ljusvågor med Moire'-teknik. a) Liten vinkel mellan ljusvågorna ger stort avstånd mellan fransarna. b) Stor vinkel mellan ljusvågorna ger ett tätt mönster. Tittar vi mera i detalj på interferensen mellan två plana ljusvågor ser vi som i figur 82 att ljusvåg l har längre till punkten B än till punkten A. Tvärtom gäller för ljusvåg 2. Av symmetriskäl bildas fransar i A och B så att de delar vikeln α mitt itu. Då gäller: α λ d sin = 2 2 Ljusvåg 1 Ljusvåg 2 α A α/2 α/2 d B Fig. 82. Fransar vid interferens mellan två ljusvågor. Vågoptik s 21

22 Jämfört med moiré-mönstret blir motsvarande interferensmönster för ljus mycket finare (λ är så mycket mindre) eller vinkeln måste vara mycket mindre för att ett så grovt mönster skall erhållas. Två ljuskällor Om vi har två ljuskällor med samma frekvens som svänger i takt med varandra (är koherenta, se nedan) erhåller vi med ljus ett interferensmönster som är analogt med mönstret i figur 83a. Här är mönstret ganska grovt på grund av det lilla avståndet mellan vågkällorna och därmed är det också små vinklar mellan vågorna. Fig. 83a. Interferens mellan två punktljuskällor på litet avstånd från varandra. Fig. 83b. Interferens mellan två punktljuskällor på stort avstånd från varandra. Då källorna flyttas isär mera blir mönstret tätare. (Fig. 83b.) I nedanstående figur (Fig. 84.) finns motsvarande vågmönster skapat i en vågmaskin som gör vattenvågor. Vågoptik s 22

23 Fig. 84. Interferens mellan punktformiga vågkällor i vatten. Med ljus kan motsvarande interferensmönster erhållas på en skärm placerad efter två smala spaltöppningar. Om vi tittar på en punkt på skärmen där vi har mörkt måste de två interfererade vågorna ta ut varandra där (Fig. 85.). Av detta kan vi dra slutsatsen att vågorna gått långt och i detta fall är vägskillnaden en halv våglängd dvs: λ d sinα = 2 Allmänt gäller för mörk frans: λ d sin α = (2m + 1) ; m = 0,1,2.. 2 Vägskillnaden skall vara ett udda antal halva våglängder. A d α λ/2 Fig. 85 De vågor som når samma punkt från två ljuskällor är i motfas. Till höger fasvektorer. Vågoptik s 23

24 Om mönstret kan observeras på stort avstånd från spalterna återfinnes vinkeln α enligt figur 86. Då gäller för små vinklar α: y s (2m + 1) λ = tanα sinα = 2d α y s Fig. 86. Interferensmönster från två spalter observerat på en skärm på stort avstånd från spalterna. I denna skala syns inte de separata spalterna. Polarisation vid interferens Det är viktigt att ljusvågorna som utgår från de två spalterna har samma polarisation. Om de två E-fälten är vinkelräta med varandra blir det nämligen ingen interferens. Ett specialfall har vi om vi låter två ljusvågor bilda 90 :s vinkel med varandra. (Fig. 87.) Då blir det inte heller någon interferens trots att båda vågorna har samma polarisation. Fig. 87. Två ljusvågor med horisontell polarisation ger ingen interferens om de träffar varandra under rät vinkel. Ljusvågorna ärsedda uppifrån. Vågoptik s 24

25 Två ljuskällor på annat sätt Det finns flera andra sätt att skapa två ljuskällor som har samma egenskaper. Ett sätt är att belysa ett biprisma med en punktformig ljuskälla. Då erhålles två virtuella ljuskällor vars avstånd beror på prismats vinklar (Fig. 88.). Ett interferensmönster erhålles på skär- men i det område där de två bildade ljusvågorna överlagras. 1 S 1 Mörkt a S θ Ljust S 2 Mörkt d s Fig. 88. Ett Fresnel's biprisma ger två ljuskällor av en. De två erhållna ljusvågorna interfererar. I ovanstående interferensfall har en vågfront delats till två ljuskällor eller olika delar av en hel vågfront har riktats in mot samma område. Denna typ av interferens kallas vågfrontsdelning. Vi skall nu diskutera ett annat sätt att skapa två eller flera ljusvågor av en, nämligen amplituddelning. En sådan delning sker i t.ex. stråldelare eller då ljuset träffar en eller flera glasytor. Vågoptik s 25

26 Michelsoninterferometern Den enklaste typen av amplituddelning har vi i en Michelsoninterferometer. I en sådan delas ljuset från en utbredd ljuskälla upp i två lika ljusvågor, vilka båda får träffa var sin spegel (Fig. 89). Mirror Light source Beam splitter Mirror Ground glass Glass plate Observer Fig. 89. Bild av en Michelsoninterferometer sedd uppifrån. Efter reflexionerna och ånyo passage genom stråldelaren får ljusvågorna interferera. I stråldelaren kan man då se två bilder av ljuskällan överlagrade på varandra. Dessa två bilder interfererar med varandra och ger vid korrekt inställning av speglarna en ljus eller mörk bild av ljuskällan som vid förskjutning av den ena spegeln övergår till ett ringmönster. En Michelsoninterferometer kan användas till att mäta och styra små förflyttningar eller till att undersöka planheten hos optiska komponenter. I en Michelsoninterfermeter fås två vågor med samma amplitud genom att stråldelaren är belagd med t.ex. ett halvgenomskinligt metallskikt. Två vågor med ungefär samma amplitud erhålles också i reflekterat ljus från en glasplatta. Interferens i en glasplatta Vinkelrätt infallande ljus reflekteras till 4% i en glasplatta. Detta gäller första ytan. Ungefär 3,5% erhålles också tillbaka från nästa yta. Det mesta ljuset går rakt igenom nämligen ca: 92%. Ytterligare reflexioner ger betydligt svagare reflexer. Då en ljusvåg går igenom glas eller ett tätare medium blir vågen hoptryckt (Fig. 90.). Därför motsvarar en väg i ett tätare medium en längre väg i vacuum, den optiska vägen. Denna väg är sträckan d n om d är den sträcka vågen färdas i ämnet med brytningsindex n. Då två vågor gått olika vägar beror det resulterande interferensmönstret just på skillnaden i vågornas optiska väg. Vid reflexioner tillkommer också en fasändring på π (motsvarande en halv våglängd) då vågen träffar ett tätare medium. Vågoptik s 26

27 Fig. 90. Då ljus går igenom ett ämne med högre brytningsindex blir våglängden kortare. En väg i detta medium motsvarar en längre väg i vacuum (den optiska vägen). Då enfärgat ljus infaller vinkelrätt mot en glasplatta blir den optiska vägskillnaden mellan de två reflekterade strålarna: λ = 2nd + 2 eftersom det vid första ytan sker reflexion mot tätare medium. Då en glasplatta däremot belyses i en sned vinkel från en punktljuskälla erhålles på en skärm parallella interferensfransar vars ojämnhet avslöjar glasplattans tjockleksvariationer. Bilden på omslaget till holografikompendiet visar just ett sådant något ojämnt mönster. Antireflexbehandling I kameraobjektiv utnyttjas interferens i tunna skikt genom att ett speciellt skikt sk. antireflexionsskikt med en tjocklek d som ges av: λ 2 d n = ; λ = 580 nm 2 vacuumförångas utanpå en lins med brytningsindex n. Skiktes brytningsindex bör vara ungefär n. Med ett lager av magnesiumfluorid (MgF *+,(-+"+= 1,38) erhålles en reduktion från 4% till c:a 1% i hela det synliga området. Numera förser man kameralinser med flera olika skikt, (multicoating) vilket gör att objektivets kontrast ytterligare kan ökas. Vågoptik s 27

28 Newtons ringar En variabel luftspalt mellan två glasplattor kan också ge upphov till interferens. Det fenomen som då uppträder kallas för Newtons ringar och det syns bäst i reflekterat ljus. Exempelvis syns sådana ringar bra om man belyser två hoppressade mikroskopglas (Fig. 91.). Vid diaprojektion kan sådana interferenser också dyka upp, men de blir då svagare eftersom de skapas i genomgående ljus. Fig. 91. Newtons ringar i två mikroskopglas. Fabry-Perot-interferometern Ett optiskt instrument som bygger på interferens mellan ganska många ljusvågor är Fabry- Perot-interferometern. Denna består i princip av två plana högreflekterande ytor separerade med ett avstånd d från varandra (Fig. 92.). Lins Fokuseringslins P s 2 Utbredd ljuskälla Fig. 92. Fabry-Perot-interferometer. s 1 d Skärm Då en utbredd ljuskälla belyser interferometern kommer en ljusstråle från en punkt s på ljuskällan att ge flera strålar inne i luftgapet mellan de speglade ytorna. Om strålarna då de kommer ut ur luftgapet är i fas med varandra, erhålles en ljus punkt P på skärmen. För en monokromatisk belysning av interferometern erhålles ett mönster enligt figur 93. Fig. 93. Ringmönster observerat i en Fabry-Perot-interferometer. Vågoptik s 28

29 Avståndet mellan ringarna minskar för ökande avstånd d, medan en ökning av våglängden ger glesare fransar. Fransarnas bredd i interferometern är beroende av de speglade ytornas reflexionsförmåga. Hög reflektivitet ger smala fransar (Fig. 94.). Fig. 94. Fransarnas bredd i en Fabry-Perot-interferometer är beroende av de speglande ytornas reflektivitet. Här är den 87%. En laserkavitet fungerar väsentligen som en Fabry-Perot-interferometer. Eftersom avståndet mellan speglarna är mycket stort kommer de våglängder som transmitteras i centrum av interferometern att ligga tätt. (Se holografikompendiet) Diffraktion Allmänt Med diffraktion menar man vanligen det fenomen som uppkommer då ljus träffar små öppningar, spalter, kanter eller små objekt. Man talar om diffraktionsbilder då ett objekt inte ger skarpa skuggor, utan vågliknande mönster då det träffas av en ljusvåg. Diffraktion kan ses som en överlagring av ett oändligt antal ljusvågor. Gränsen mellan diffraktion och interferens är dock något flytande. Två olika typer av diffraktion kan erhållas: Fraunhoferdiffraktion och fresneldiffraktion. Då ett objekt belyses med en plan ljusvåg och det skapade mönstret betraktas på långt avstånd eller i fokus till en lins, talar man om Fraunhoferdiffraktion. Om däremot objektet belyses av en krökt ljusvåg t.ex. från en närbelägen punktljuskälla kommer vågens fas att variera i olika delar av det belysta objektet och Fresneldiffraktion erhålles. Likaså, om objektets diffraktionsbild studeras på litet avstånd från det område där diffraktionen sker är det också fråga om Fresneldiffraktion. Vi skall koncentrera oss på den förra typen av diffraktion, fraunhoferdiffraktion. Vågoptik s 29

30 Diffraktion i enkelspalt Om vi belyser en spalt (långsmal öppning) med en ljusvåg så att ljusvågens fas är konstant i hela spaltöppningen (dvs. vågen kan anses plan), kommer vi att få en ljus punkt på en skärm mitt för spalten. Till denna punkt är alla sekundärvågorna från olika delar av spalten i fas med varandra dvs. alla fasvektorerna har samma riktning. Väljer vi däremot en punkt på skärmen så att vägskillnaden för ljusvågorna som kommit från de två kanterna på spalten är en hel våglängd, kommer inget ljus att nå denna punkt ty alla fasvektorerna tar ut varandra (Fig. 95.). Ur figuren får vi då: d sinα = λ d a l Fig. 95. Diffraktion i en spalt. Ljusvågorna från olika delar av spalten tar ut varandra. Egentligen är proportionerna något fel i figuren ovan. Mönstret skall betraktas på ett stort avstånd i enlighet med följande figur (Fig. 96.). d α s y Fig. 96. Diffraktionsmönster från en spalt observerat på stort avstånd från spalten. Ur figuren får vi: y y λ s sinα = d = λ d = s s y Detta betyder att ju bredare spalten är desto smalare blir diffraktionsmönstret. Villkoret för alla minima för intensiteten är: d sinα = n λ, n =1, 2, 3,... Vågoptik s 30

31 Fig. 97. Diffraktion i en enkelspalt. Intensiteten hos ljuset i centrala maximat är mycket större än intensiteten hos den första maxima som finns vid sidorna (Fig. 97.). Diffraktion i en dubbelspalt En dubbelspalt som belyses med en plan ljusvåg ger diffraktionsbilder enligt figur 98a, som då de överlagras ger ett mönster enligt figur 98b. Den överlagrade strukturen av mörka och ljusa områden beror nu på interferens mellan ljus från de två spalterna på avståndet a. Villkoret för mörka fransar är: λ a sin α = (2m + 1), m = 1, 2, 3,... 2 Detta är helt i enlighet med interferens mellan två ljuskällor. Ju större avståndet är mellan spalterna i förhållande till spaltbredden desto fler mörka fransar blir det inom det centrala, ljusa området. a) b) Fig. 98. Diffraktion i a) enkelspalt och i b) dubbelspalt. Avståndet mellan spalterna är 10ggr så stort som spalternas bredd. Vågoptik s 31

32 Diffraktion i flera spalter Fig. 99. Diffraktionsmönster för olika spaltsystem givna till vänster. Belyses ett system av flera spalter med samma bredd och samma inbördes avstånd erhålles diffraktionsmönster enligt figur 99. Ju fler spalter som belyses desto smalare blir de ljusaste områdena (sk. huvudmaxima) medan antalet betydligt svagare maxima (sk. bimaxima) ökar. Detta syns tydligare i figur 100, som visar hur diffraktionsbilderna ser ut för 2 och 6 smala spalter Vågoptik s 32

33 Ν = 2 Ν = 6 0 λ/a 2 λ/a sinθ Fig 100. Diffraktionsmönstret för två och sex smala spalter. För något bredare spalter och större avstånd mellan spalterna som t.ex. i figur 101, där avståndet mellan spalterna är 4ggr större än spaltbredden blir diffraktionsbilden något annorlunda. Första och andra huvudmaximat blir inte lika ljusa som det centrala (det nollte). ( sinβ β ) 2 0 λ/a 2 λ/a sin θ Fig. 101 Diffraktionsmönster för 6 spalter på 4ggr större avstånd från varandra än spaltbredden. Parametern β beror på spaltbredden. Det är således spaltbredden som i stort bestämmer intensitetesfördelningen och avståndet mellan spalterna som bestämmer hur tätt huvudmaximat kommer, medan antalet spalter bestämmer bredden på varje huvudmaxima och antalet bimaxima. Diffraktion i ett gitter Ett gitter inehåller ett stort antal tätt liggande spalter (om det är ett transmissionsgitter). Vi belyser ett gitter med parallellt ljus. I en speciell riktning α får vi ut mycket ljus om: d sin α = m λ, m = 0, ± 1, ± 2,... Ljuset ut från gittret kan antingen fokuseras med en lins (som i fig. 102a.) eller kan betraktas på en skärm långt borta från gittret Bäst studeras diffraktion i ett gitter med hjälp av en laser (fig 102b,c). På skärmen observerar vi då ett antal ordningar där nollte ordningen är ljuset som gått rakt igenom gittret. Detta motsvarar m = 0 i formeln ovan. Symmetriskt kring denna ordning får vi första, andra osv. ordningarna i två olika riktningar (t.ex. ordningar mot- Vågoptik s 33

34 svarande m=+1 och -1 osv.). Ett tätt gitter ger stor uppdelning dvs. stora vinklar mellan de olika ordningarna (Fig 102c). Gitter används i spektraluppdelande instrument, spektrografer (för foto-grafisk registrering) eller spektroskop. Jämfört med prisma kan fås en större utspridning av spektrat i ett gitter (dispersion). d α Laser Grovt gitter b) m = +3 m = +2 m = +1 m = 0 m = -1 m = -2 m = -3 m = +2 a) P Laser Fint gitter m = +1 m = 0 m = -1 c) m = -2 Fig Diffraktion i ett gitter. Diffraktion i ett hål Ett hål som belyses med en plan ljusvåg ger en diffraktionsbild med ringar (Fig. 103.). Fig Diffraktion i ett hål. a) 0,5 mm:s hål b) 1,0 mm:s hål Ringarna blir tätare ju större hålet är och avståndet till första minima ges av: d sinα = 1,22 λ Inom den första ljusa ringen finns 84% av allt ljuset och för en liten öppning kommer detta ljus att ge en stor ljuskon (Fig. 104 på nästa sida.). Diffraktionsbildens radie q ges av: q 1, 22 λ = tanα sinα q R R d Vågoptik s 34

35 a) d 2 α 2q b) R D f 2 α 2q Fig a) Ljuskonen ut från ett litet hål. b) Minsta bildpunkt hos en lins. Omvänt kan en lins aldrig avbildas till ett mindre område än med radien q (Fig. 104b.), där det gäller: q f 1, 22 λ f = sinα q = D Upplösning Om ett objektiv avbildar två avlägsna objektpunkter med vinkelavståndet α, kommer båda bilderna att hamna i fokus. Om vinkeln är stor kommer bilderna inte att överlappa varandra (Fig. 105a.), medan om vinkeln blir för liten, kommer de inte att bli upplösta (Fig. 105b.) a) b) Fig Upplösning hos en lins. a) icke överlappade diffraktionsbilder. b) Överlappande diffraktionsbilder. Upplösningsgränsen. Vågoptik s 35

36 Gränsen för upplösning bestäms av när den ena bildens centrum hamnar i den andra bildens första mörka ring. (Rayleigh-kriteriet). Då gäller om vinkeln α: q f λ sinα sinα = 1,22 d Fresneldiffraktion Vi skall nu kort ge några exempel på Fresneldiffraktion, vilken vi erhåller då t.ex. en öppning belyses av en sfärisk våg. Då kan de vågor som kommer från hålets kant ibland ha sådan fas att de tar ut de vågor som kommer från hålets centrum (Fig. 106.). Fig Fresneldiffraktion i ett antal hål med olika storlek. Vågoptik s 36

37 I bildens centrum får vi en mörk punkt som för andra håldiametrar åter blir ljus. Vid Fraunhoferdiffraktion blir däremot alltid den centrala fläcken ljus bakom ett hål, eftersom alla ljusvågor där är i fas med varandra. Fig Fresneldiffraktion vid en kant. Då ljus träffar en kant kommer vi inte att få en skarp skugga utan en del ljus som kommer in bakom kanten och ett diffraktionsmönster skapas inom det ljusa området (Fig. 107.). På omslaget till holografikompendiet finns fransar som härrör från just Fresneldifrakton vid skarpa kanter. Koherens Vågtåg En idealisk monokromatisk ljuskälla skulle ge en oändligt lång oavbruten sinusvåg. För en verklig ljuskälla kan ljuset sägas bestå av kortare eller längre vågpaket eller vågtåg (Fig. 108a.). a) t b) f Fig a) Vågtåg och b) motsvarande frekvensfördelning. Ju längre vågtågen är desto smalare blir frekvenskurvan. Vågoptik s 37

38 Tidskoherens I ett vågfält kommer E-fältet att svänga i olika punkter mer eller mindre regelbundet. Har vi en idealisk punktformig monokromatisk ljuskälla skulle det elektriska fältet i varje punkt i rummet exakt beskriva en sinussvängning med den givna frekvensen. Vi skulle ha en perfekt korrelation av E-fälten i olika punkter i rummet. För en verklig punktformig ljuskälla kommer ljuset ut som okopplade vågtåg och bara under en viss tid skulle svängningen av det elektriska fältet i en viss punkt vara regelbunden. Vi har då en viss sk. tidskoherens. Tidskoherensen kan vi mäta genom att låta ljuset från en punkt gå två olika vägar t.ex. i en Michelsoninterferometer, så att två ljusvågor erhålles förskjutna en variabel tid i förhållande till varandra. Så länge vi förskjuter vågorna inom vågtågens längd kan vi få interferens. Om däremot tids- eller vägskillnaden blir för stor, kommer vågtågen att blandas och eftersom dessa inte är kopplade till varandra blir det ingen interferens. Tidskoherensen kan alltså beskrivas av koherenstiden eller koherenslängden, vilken är den sträcka ljuset går under koherenstiden. Rumskoherens En utbredd ljuskälla som innehåller många helt okopplade delljuskällor (t.ex. en spektralampa) ger ett vågfält där två åtskilda punkter i detta kan ha E-fält som svänger på helt olika sätt. Detta betyder att punkterna är inkoherenta. Låt oss titta på ett exempel (Fig. 109.). Ljuskällor S S 1 2 λ/2 Hål B A λ/2 D C Skärm Fig Två ljuskällor S och S belyser två hål A och B. Interferens undersökes i punkterna C och D. Punkten C ligger lika långt ifrån A och B, medan punkten D ligger en halv våglängd närmre B än A. Antag att vi har endast två ljuskällor som sänder ut ljus helt oberoende av varandra. Vi kan för enkelhets skull antaga att de två ljuskällorna sänder ut vars fyra vågtåg men fasskillnaden mellan vågtågen är olika. (Fig. 110.) (Fasskillnadenerna är 0, π/2, π och 3π/2.). Det bör påpekas att vågtågen för en typisk ljuskälla (spektrallampa) innehåller ungefär 10 # perioder jämfört med 4 i figuren. Vågoptik s 38

39 Fig Utsända vågtåg från de inkoherenta ljuskällorna S 1 och S 2. I punkten A där avståndet till de två ljuskällorna är lika erhålles ett fält enligt figur 111a. Punkten B, som är vald så att det är en vägskillnad på en halv våglängd mellan ljus från S 1 och S 2, får ett fält enligt figur 111b. a) b) c) d) Fig E-fältets variation i olika punkter i figur 109. a) E-fältet i A b) E-fältet i B c) E-fältet i C d) E-fältet i D Vågoptik s 39

40 För att undersöka om punkterna A och B är koherenta kan vi undersöka på en skärm längre bort om vi kan få ett interferensmönster. I punkterna C och D får vi ett ljusfält enligt figurerna 111c och 111d. Punkten C är vald så att den är lika långt från A som från B, medan det för punkten D är en vägskillnad på en halv våglängd. Av E-fältens variation att döma är det lika ljust i C som i D. Vi har således ingen interferens, varför punkterna A och B är inkoherenta. Skärm Ljuskällor S S 1 2 < λ/2 Hål E A λ/2 F G Fig Interferens undersökes mellan ljusvågor från två närbelägna punkter E och A. Om vi däremot jämför punkten A med en annan närbelägen punkt E (Fig. 112.) fås i punkten F mitt för hålen ett E-fält enligt figur 113a, dvs där blir det ljust. I punkten G där vägskillnaden till A och E är en halv våglängd, blir fältet alltid 0 (Fig. 113b.), dvs där blir det mörkt. a) Fig a) E-fältets variation i punkten F i figur 112. b) E-fältets variation i punkten G. b) Vi får således ett interferensmönster då vi jämför A med den närbelägna punkten E men ej med den avlägsna punkten B. Denna koppling mellan fälten i rumsligt närbelägna punkter kallas för rumskoherens. Rumskoherens kan ganska enkelt beräknas genom sin analogi med diffraktionsbilder. För t.ex. en cirkulär ljuskälla erhålles rumskoherens inom det område som motsvarar diffraktionsbilden av motsvarande cirkulära öppning. Vågoptik s 40