1 AKUSTIK Håkan Wennlöf, I = P A m 2 P effekt, A arean effekten är spridd över (ofta en sfär, ljud utbreds sfärsiskt).

Transkript

1 AKUSTIK Håkan Wennlöf, Övning : Akustik. Intensitet är effekt per area I = P A [ ] W m 2 P effekt, A arean effekten är spridd över (ofta en sfär, ljud utbreds sfärsiskt). För ljudvåg gäller (.) I = 2 a2 ω 2 Z (.2) där a är förskjutningsamplituden för vågen, ω = 2πf vinkelfrekvensen (f vågens frekvens), och Z = ρc är den akustiska impedansen för materialet ljudvågen rör sig i. ρ densiteten, c ljudhastigheten i materialet. Exempelvärden på akustisk impedans är Z luft 420 kg m 2 s, Z vatten kg m 2 s Har även I = p2 max 2Z där p max är den maximala tryckamplituden vågen orsakar. [p max ] = Pa = N m 2 (.3).2 Ljudintensitetsnivå: Logaritmisk skala för intensitet. β = 0 log 0 ( I I 0 ) [db (enhetslös)] (.4) I 0 är referensintensitet. Oftast satt till treshold of hearing ; I 0 = 0 2 W m 2.3 Lite om vågor: Harmonisk våg, förskjutningen s ges allmänt av s(x, t) = a sin (kx ωt) (.5) a förskjutningsamplitud [m] k vågtal, k = 2π λ = ω c [radianer/m] ω = 2πf, vinkelfrekvens [radianer/s] c våghastighet [m/s], c = λ f = ω k

2 2 GEOMETRISK OPTIK Håkan Wennlöf, Övning 2: Geometrisk optik 2. Brytningsindex Materialparameter. n = c v (2.) c ljushastighet i vakuum, v ljushastighet i material. 2.2 Snells lag Brytning i yta mellan två material med olika brytningsindex. n sin i = n sin i i, i vinklarna mot ytans normal. n n' i i' 2.3 Totalreflektion Sker om n sin i n >, dvs om det inte finns lösning av Snells lag för i. För att få gränsfallet kan vi sätta sin i = (alltså att den utgående vinkeln är 90 ). Vi får då ( ) i gräns = sin n n Om i > i gräns : totalreflektion. 2.4 Sfärisk gränsyta s objektsavstånd, s bildavstånd. n s + n s = n n R (2.2) Förstoring: h M = h h = ns n s (2.3) n n' R h' Minustecknet betyder reell bild, och uppochned. s s' 2

3 2 GEOMETRISK OPTIK Håkan Wennlöf, 2.5 Linsmakarformeln R, R 2 krökningsradier. d linsens tjocklek. n R 2 R d För fokallängden gäller f ( = (n ) + R R 2 ) (n )d nr R 2 (2.4) 2.6 Tunn lins Approximation! Linsformeln: s + s = f f fokallängd hos linsen. (2.5) h f f h' s lins s' Från linsmakarformeln: Linsens tjocklek d går mot noll, d 0, så ( = (n ) ) f R R 2 (2.6) Förstoring: M = h h = s s (2.7) 2.7 Linsstyrka Det mått optiker använder. Ofta symbol P, enhet dioptrier, D P = [ D = ] f m (2.8) 3

4 3 OPTISKA SYSTEM Håkan Wennlöf, För att få styrkan i dioptrier ska f vara angiven i meter. Övning 3: Optiska system 3. Linssystem Flera linser på rad. Behandla som en lins i taget! Mellanbilder blir objekt för efterföljande linser. h 0 f f 2 h 2 h s s ' s 2 s 2 ' Om i betecknar linsens ordningsnummer (index) så har vi + s i s = (3.) i f i så förstoringen blir h i = s i s i h i (3.2) M i = h i h i = s i s i (3.3) 3.2 Afokala system Objekt i oändligheten ger bild i oändligheten. Med andra ord, parallella strålar in ger parallella strålar ut. Om två linser: fokus ska sammanfalla! Avstånd mellan: d = f ob + f ok (objektiv till okular) Vinkelförstoring: M θ = θ θ små vinklar 4 h h = f ob f ok (3.4)

5 3 OPTISKA SYSTEM Håkan Wennlöf, objektiv okular h θ θ' h' d f ob f ok θ är vinkeln av synfältet som det observerade objektet upptar utan linserna, och θ är vinkeln av synfältet som den skapade bilden upptar. 3.3 Systemfokallängd Två tunna linser, fokallängder f och f 2. Får tillsammans fokallängd f sys, givet av d avståndet mellan linserna = + d (3.5) f sys f f 2 f f Huvudplan System med flera linser kan beskrivas med hjälp av systemfokallängden och de s.k. huvudplanens positioner. Allt mellan huvudplanen kan behandlas som en tunn lins med fokallängden f sys. Två huvudplan: främre (FH) och bakre (BH). Ordningen på dem kan dock variera, men definition av vilket som är vilket finns nedan. s FH BH s' f sys f sys Främre huvudplan (FH): Det plan där förlängningen av strålar genom främre fokus (som ju kommer bli parallella efter linssystemet, precis som för en vanlig tunn lins) skär förlängningen av den utgående parallella strålen. Bakre huvudplan (BH): Det plan där förlängningen av parallella inkommande strålar skär förlängningen av utgående strålarna som går genom fokus. 5

6 4 INTERFERENS Håkan Wennlöf, Avbildning ges av linsformeln; S + S = (3.6) f sys S är avståndet från objektet till främre huvudplan, och S avståndet från bakre huvudplan till bilden. För att hitta huvudplanen använder man strålarna som går in i och ut ur hela linssystemet. För BH tittar man på var förlängningen av en inkommande parallell stråle skär förlängningen av den utgående strålen (man bryr sig alltså inte om hur strålen studsar runt inne i linssystemet). Främre huvudplanet får man på samma sätt genom att titta på en stråle som är parallell när den lämnar systemet (kolla på dess förlängning, och se var den skär förlängningen av den utgående strålen). Övning 4: Interferens 4. Optisk väg (optical path length, OPL) Sträckan ljus färdas genom medium, viktat med mediets brytningsindex. I ΔOPL OPL = nx (4.) OPL skillnad i optisk väg mellan interfererande ljusstrålar från samma ljuskälla. x 4.2 Fasskillnad ϕ. Hur mycket ljusstrålar är förskjutna relativt varandra. ϕ = 2π λ OPL (4.2) 4.3 Interferens Kan ske för strålar från samma källa. För två strålar: Intensitet adderas enligt I tot = I + I I I 2 cos ( ϕ) (4.3) I intensitet för stråle, I 2 intensitet för stråle 2, ϕ fasskillnaden mellan dem. 6

7 ) 4 INTERFERENS Håkan Wennlöf, hwennlof@kth.se Maximal konstruktiv interferens: ϕ = 2π m OPL = m λ. m heltal; m = 0, ±, ±2,.... Intensiteten förstärks. Toppar och dalar sammanfaller. Maximal destruktiv interferens (cos-termen ska bli -): ϕ = 2π m+π OPL = ( m + 2) λ. m heltal; m = 0, ±, ±2,.... Intensiteten minskar. Toppar på ena sammanfaller med dalar på andra. 4.4 Tunt skikt Stråle reflekteras i olika gränsytor. Bilden: Tre material med olika brytningsindex, n, n s och n 2. n n s ) i i' d n 2 OPL = 2 n s d cos (i ) + Tätare medium större n. { λ 2, om en av refl. mot tätare medium 0 annars OPL vägskillnad mellan ljus reflekterat i första respektive andra gränsytan. (4.4) 4.5 Vinkelrät reflektion i gränsyta Reflektivitet (andel av den inkommande intensiteten som reflekteras) ( ) 2 R = I I = n2 n (4.5) n 2 + n där I är den reflekterade intensiteten, och I den inkommande intensiteten. n, n 2 brytningsindex för de två materialen. (Obs, skiss. Egentligen reflekteras strålen tillbaka samma väg som den kom in, dvs vinkelrätt ut, men det går inte riktigt att rita på ett bra sätt) n I I' n 2 7

8 5 DIFFRAKTION Håkan Wennlöf, Övning 5: Diffraktion 5. Cirkulär öppning λ x D ) α Diffraktionsmönster R >> D, λ I (intensitet) α diffraktionsvinkeln (från centralmaximum till första minimum). λ inkommande ljusets våglängd, D öppningens diameter. sin α =.22λ D (5.) (Diffraktionsmönstret egentligen 3D, men svårt att rita tydligt. Hela diagrammet är alltså roterat runt centrala axeln också) 5.2 Enkelspalt Diffraktionsmönster likt det för cirkulär öppning, men i bara en riktning. sin α = λ a (5.2) a spaltbredd (öppnignens storlek). 5.3 Upplösning Vinkeln av synfältet som går att upplösa (dvs när man kan skilja en punkt från en annan) ges av Rayleighkriteriet; sin α R =.22λ D (5.3) (ögat cirkulär öppning, D pupilldiametern här). α R är alltså den minsta vinkel (relaterat till minsta avstånd) mellan punkter där man kan skilja på punkterna. 8

9 5 DIFFRAKTION Håkan Wennlöf, 5.4 Gitter (Ger upphov till fenomen som är en kombination av interferens och diffraktion) Får diffraktionsmönster endast i vissa bestämda riktningar (ordningar), där interferensen är maximalt konstruktiv. Vinkeln α m till ordning m ges av m λ = d sin (α m ) (5.4) m heltal, d gitterkonstanten (spaltseparationen i gittret, avståndet mellan spalters centrum). 3 2 m=0 2 3 m=0 Diffraction envelope 2 0 Utan diffraktion θ 0 Med diffraktion θ Intensitet på y-axeln, vinkel från centralmaximum på x-axeln. Första bilden visar hur det vore med ren interferens, men även diffraktion kommer i allmänhet in! Diffraktionen beror på spaltbredden i gittret. Den ger ett diffraction envelope som trycker ned instensiteterna för de olika ordningarna (se andra bilden). (Man kan alltså hitta intensiteten i en ordning i gittret genom att titta på diffraktionens intensitet vid den vinkel där ordningen ligger) 9

10 6 POLARISATION Håkan Wennlöf, Övning 6: Polarisation 6. Polarisationsriktning Ljus är elektromagnetiska vågor, så det har en elektrisk fältkomponent och en magnetisk fältkomponent. E-fältet oscillerar i en riktning, och B-fältet i en annan, roterad 90 jämfört med E-fältets riktning. De är alltså alltid ortogonala. Polarisationsriktningen är definierad som det elektriska fältets oscillationsriktning. Ljuset kan vara Opolariserat - Polarisationen varierar snabbt och slumpmässigt, kan också sägas vara polariserat i alla riktningar (och på så sätt ingen riktning mer än nån annan). Linjärpolariserat - Elektriska fältet oscillerar runt samma axel hela tiden. Cirkulärpolariserat - Elektriska fältets oscillationsriktning roterar, så den momentana polarisationsriktningen beror på var i vågen man befinner sig. Ljusvågen i bilden propagerar i x-riktningen. E-fältsdelen av ljuset oscillerar i z-led, och B- fältsdelen oscillerar i y-led. Ljuset är alltså linjärpolariserat i z- led! z E-fält y B-fält x Ljus kan polariseras till exempel vid reflektion, där ljus med vissa polarisationsriktningar reflekteras starkare än andra. 6.2 Brewstervinkeln Infallsplan Polarisationsriktningar (opolariserat) n n' i B Mängden ljus som reflekteras och transmitteras i en gränsyta mellan material med brytningsindex n och n beror på infallsvinkel och polarisation. Då infallsvinkeln är Brewstervinkeln så reflekteras bara det ljus som har polarisationsriktning vinkelrätt mot infallsplanet. Vinkelrätt mot infallsplan 0

11 6 POLARISATION Håkan Wennlöf, Infallsplanet är det plan i vilket inkommande och reflekterad ljusstråle ligger. Brewstervinkeln i B ges av tan i B = n (6.) n 6.3 Malus lag Malus lag ger den intensitet av inkommande linjärpolariserat ljus som transmitteras genom ett linjärt polarisationsfilter. Med det inkommande ljusets intensitet som I 0 och den transmitterade intensiteten som I T så kan Malus lag skrivas I T = I 0 cos 2 ϕ (6.2) där ϕ är vinkeln mellan det inkommande ljusets polarisationsriktning och polarisationsfiltrets genomsläppningsriktning (linjära polarisationsfilter släpper bara igenom en viss polarisationsriktning). 6.4 Dubbelbrytning Olika polarisationsriktningar bryts i olika vinklar i vissa material. Olika polarisationsriktningar ser olika brytningsindex i materialet, och tar därför olika vägar genom det. Förekommer ofta i kristaller, och kan användas för att dela upp ljus i olika polarisationer. Polarisationsriktningar Kristall

12 7 ELEKTROSTATIK Håkan Wennlöf, Övning 7: Elektrostatik 7. Coulombs lag Kraften mellan två laddningar med laddning q respektive q 2 ges av F = q q 2 4πε 0 r 2 (7.) där r är avståndet mellan laddningarna, och ε 0 den elektriska konstanten (vakuumpermittiviteten). ε F m 7.2 Elektriskt fält E [N/C = V/m] (Vektorfält, så det har storlek och riktning överallt i rummet). Vi betraktar det på avstånd r från laddningen. Finns olika typer av laddningar, och de ger upphov till olika former på E-fältet: Punktladdning q [C]: E = Linjeladdning med laddningstäthet λ [C/m]: q 4πε 0 r 2 (7.2) E = λ 2πε 0 r (7.3) Ytladdning med laddningstäthet σ [C/m 2 ]: (avståndsoberoende) E = För linje- och ytladdning: gäller då r längd på linje/yta. σ 2ε 0 (7.4) E-fält superpositioneras. Lägg ihop E-fälten från alla närvarande laddningar för att få totala! 7.3 Elektrisk dipol d Två motsatta laddningar (+q och -q) på ett litet avstånd d: -q +q 2

13 7 ELEKTROSTATIK Håkan Wennlöf, En dipol har ett dipolmoment p, som ges av p = q d [C m] (7.5) d riktad från negativ laddning till positiv (men oftast är vi bara intresserade av dipolmomentetes storlek snarare än riktning ändå). Elektriskt fält vinkelrätt mot d på avstånd r d från dipolen ges av E = p är absolutbeloppet (storleken) av dipolmomentet. p 4πε 0 r 3 (7.6) 7.4 Elektrisk kraft Elektriska kraften på en laddning q ges av F = q E (7.7) där E är det yttre elektriska fältet. 7.5 Gauss sats S E d S = Q ε 0 (7.8) Integralen av elektriska fältet ( E) över sluten Gaussyta (S) ger totala laddningen (Q) som innesluts av ytan. Som Gaussyta kan vilken sluten yta som helst väljas. 7.6 Spänning Skillnad i elektrisk potential mellan två punkter, a och b. U ab = U a U b = Oberoende av väg mellan a och b. ˆ b a E d r [V] (7.9) 7.7 Potentiell energi Potentiell energi hos laddning q på potential U är energin som krävs för att flytta laddningen från potential 0 till potential U. W = q U [J] (7.0) Mer allmänt ges energin för att flytta från startpotentialen U till slutpotentialen U 2 av W = q(u 2 U ) (7.) 3

14 0 INDUKTION Håkan Wennlöf, Övning 8: Kondensatorer Övning 9: Magnetism Övning 0: Induktion 4