1 3Matematik och ber 0 1kning Nya verktyg, nya m 0 2jligheter
|
|
|
- Cecilia Bengtsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 1 3Matematik och ber 0 1kning Nya verktyg, nya m 0 2jligheter Anders Logg Simula Research Laboratory / Oslo Universitet Sm 0 2gens skola, 19 mars 2010
2 1 3Min bakgrund 6 1 Sm 0 2gens f 0 2rskola (1983) 6 1 Sm 0 2gens skola (1983 C1989) 6 1 Soten 0 1sskolan (1989 C1992) 6 1 Gullmarsgymnasiet (1992 C1995) Naturvetenskaplig linje 6 1 Chalmers tekniska h 0 2gskola (1995 C1999) Civilingenj 0 2r (teknisk fysik) 6 1 Chalmers tekniska h 0 2gskola (1999 C2004) Teknologie doktor (till 0 1mpad matematik) 6 1 Toyota Technological Institute at Chicago (2004 C2006) Postdoc 6 1 Simula Research Laboratory (2006 C) Forskare 6 1 Oslo Universitet (2006 C) Lektor (f 0 3rsteamanuensis)
3 1 3Min forskning 6 1 Gruppledare f 0 2r forskningsgruppen Automated and Distributed Computing 6 1 Automatiserad ber 0 1kning 6 1 Distribuerad ber 0 1kning TOL Problem Dual solution Adaptive Solver Dual Solver Primal solution Solution M
4 1 3Till 0 1mpningar Simulations by Kent-Andre Mardal, Kristian Valen-Sendstad and Aron Wahlberg
5 1 3Ber 0 1kning Simulation by Kristian Valen-Sendstad
6 1 3Vad 0 1r matematik? Matematik handlar om att r 0 1kna ut saker......och om att studera de verktyg vi anv 0 1nder oss av f 0 2r att r 0 1kna. Matematiken 0 1r ett spr 0 2k f 0 2r att beskriva ekvationer (modeller)......och ett verktyg f 0 2r att l 0 2sa ekvationerna.
7 1 3Vad 0 1r matematik? Matematik handlar om att r 0 1kna ut saker......och om att studera de verktyg vi anv 0 1nder oss av f 0 2r att r 0 1kna. Matematiken 0 1r ett spr 0 2k f 0 2r att beskriva ekvationer (modeller)......och ett verktyg f 0 2r att l 0 2sa ekvationerna.
8 1 3Vad 0 1r matematik? Matematik handlar om att r 0 1kna ut saker......och om att studera de verktyg vi anv 0 1nder oss av f 0 2r att r 0 1kna. Matematiken 0 1r ett spr 0 2k f 0 2r att beskriva ekvationer (modeller)......och ett verktyg f 0 2r att l 0 2sa ekvationerna.
9 1 3Vad 0 1r matematik? Matematik handlar om att r 0 1kna ut saker......och om att studera de verktyg vi anv 0 1nder oss av f 0 2r att r 0 1kna. Matematiken 0 1r ett spr 0 2k f 0 2r att beskriva ekvationer (modeller)......och ett verktyg f 0 2r att l 0 2sa ekvationerna.
10 1 3Vilka ekvationer? Arrhenius equation, Bernoulli s equation, Black CScholes equation, Boltzmann equation, Cauchy CRiemann equations, Dirac equation, Doppler equations, Einstein s field equation, Euler s equation, Relativistic Euler equations, Euler CLagrange equation, Fisher equation, Fokker CPlanck equation, Fredholm integral equation, Fresnel equations, Friedmann equations, Gibbs CHelmholtz equation, Hamilton CJacobi CBellman equation, Helmholtz Equation, Ishimori equation, Karplus equation, Kepler s equation, Klein CGordon equation, Korteweg Cde Vries equation, Landau CLifshitz equation, Lane CEmden equation, Langevin equation, Laplace s equation, Levy CMises equations, Lotka CVolterra equation, Lindblad equation, Lorentz equation, Maurer CCartan equation, Maxwell s equations, Michaelis CMenten equation, Navier CStokes equations, Nernst equation, Pell s equation, Poisson s equation, Prandtl CReuss equations, Prony equation, Rankine CHugoniot equation, Riccati equation, Roothaan equations, Sackur CTetrode equation, Schr 0 2dinger equation, Screened Poisson equation, Schwinger CDyson equation, Sellmeier equation, Sine CGordon equation, Stokes CEinstein relation, Van der Waals equation, Verhulst equation, Vlasov equation, Wiener equation...
11 1 3Olika typer av ekvationer 6 1 L 0 2sningen x 0 1r ett tal 2x + 5 = 15 x 2 6с1 4x + 2 = L 0 2sningen u 0 1r en funktion x = cos x 6с1 6р2u = f Bu + u 6р3u 6с1 м 6р2u + 6р3p = f G 0 8 м = 8 пt 0 8 м
12 1 3Differentialekvationer 6 1 De flesta modeller 0 1r differentialekvationer 6 1 L 0 2sningen 0 1r en funktion u = u(x, t)
13 1 3Hur l 0 2ser man differentialekvationer? 6 1 Dela in rum och tid i sm 0 2 delar (element) 6 1 Skriv om differentialekvationen som en enkel ekvation p 0 2 varje litet element L 0 2s ekvationerna ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
14 1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 h 0 2gstadiet 2x + 5 = 15 2x + 5 6с1 5 = 15 6с1 5 2x = 10 2x/2 = 10/2 x = 5
15 1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 h 0 2gstadiet (algoritm) 2x + 5 = 15 2x = 10 x = 5
16 1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 gymnasiet x 2 6с1 4x + 2 = 0 x 2 6с1 4x = 2 x 2 6с1 4x + 4 = 2 (x 6с1 2) 2 = 2 x 6с1 2 = ю л 2 x = 2 ю л 2
17 1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 gymnasiet (algoritm) x 2 6с1 4x + 2 = 0 x = 4/2 ю л (4/2) 2 6с1 2 x = 2 ю л 2
18 1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 h 0 2gskolan x = cos x x =? (Finns ingen enkel formel) 6с1 6р2u = f u =? (Vad 0 1r formeln f 0 2r ett hus?)) u=-5 u=-10 u=-5 u=? u=? u=-10
19 1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 mellanstadiet? Kan man l 0 2sa x = cos x p 0 2 mellanstadiet? Ja! Kan man l 0 2sa 6с1 6р2u = f p 0 2 mellanstadiet? Ja!
20 1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 mellanstadiet? Kan man l 0 2sa x = cos x p 0 2 mellanstadiet? Ja! Kan man l 0 2sa 6с1 6р2u = f p 0 2 mellanstadiet? Ja!
21 1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 mellanstadiet? Kan man l 0 2sa x = cos x p 0 2 mellanstadiet? Ja! Kan man l 0 2sa 6с1 6р2u = f p 0 2 mellanstadiet? Ja!
22 1 3Ekvationsl 0 2sning p 0 2 mellanstadiet? Kan man l 0 2sa x = cos x p 0 2 mellanstadiet? Ja! Kan man l 0 2sa 6с1 6р2u = f p 0 2 mellanstadiet? Ja!
23 1 3Hur? 6 1 Enkla algoritmer 6 1 Snabba datorer 6 1 +, 6с1,, / 6 1 Enkelt men kraftfullt
24 1 3Tillbaka till andragradaren 6 1 L 0 2sningen 0 1r x = 2 ю л Men vad 0 1r л 2? 6 1 Har vi verkligen l 0 2st ekvationen? 6 1 Startgissning x = Om x = 3 0 1r f 0 2r stor, s r y = 2/x f 0 2r liten (x y = 2) x + 2/x 2
25 1 3Tillbaka till andragradaren 6 1 L 0 2sningen 0 1r x = 2 ю л Men vad 0 1r л 2? 6 1 Har vi verkligen l 0 2st ekvationen? 6 1 Startgissning x = Om x = 3 0 1r f 0 2r stor, s r y = 2/x f 0 2r liten (x y = 2) x + 2/x 2
26 1 3Tillbaka till andragradaren 6 1 L 0 2sningen 0 1r x = 2 ю л Men vad 0 1r л 2? 6 1 Har vi verkligen l 0 2st ekvationen? 6 1 Startgissning x = Om x = 3 0 1r f 0 2r stor, s r y = 2/x f 0 2r liten (x y = 2) x + 2/x 2
27 1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 =
28 1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 =
29 1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 =
30 1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 =
31 1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 =
32 1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 =
33 1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 =
34 1 3Roten ur tv 0 2 x n = xn 6с11 + 2/x n 6с11 2 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 =
35 1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = x 2 = 6с x 3 = x 70 = x 71 = x 72 =
36 1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = x 2 = 6с x 3 = x 70 = x 71 = x 72 =
37 1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = x 2 = 6с x 3 = x 70 = x 71 = x 72 =
38 1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = x 2 = 6с x 3 = x 70 = x 71 = x 72 =
39 1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = x 2 = 6с x 3 = x 70 = x 71 = x 72 =
40 1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = x 2 = 6с x 3 = x 70 = x 71 = x 72 =
41 1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = x 2 = 6с x 3 = x 70 = x 71 = x 72 =
42 1 3Att l 0 2sa x = cosx x n = cos x n 6с11 x 1 = x 2 = 6с x 3 = x 70 = x 71 = x 72 =
43 1 3Att l 0 2sa F(x) = 0 Generell ekvation: F(x) = 0 Exempel: F(x) = 2x 6с1 10 F(x) = x 2 6с1 4x + 2 F(x) = x 6с1 cos x Generell l 0 2sningsmetod: Skriv om F(x) = 0 p 0 2 formen x = T(x) Upprepa: x n = T(x n 6с11 )
44 1 3N 0 1r konvergerar x n mot x? Banachs fixpunktssats. L 0 2t (X, d) vara ett fullst 0 1ndigt metriskt rum. L 0 2t T : X З X vara en kontraktion p 0 2 X, dvs 6я9M < 1 : d(t(x), T(y)) э Md(x, y) 6я6x, y й X. D 0 2 har avbildningen T en entydig fixpunkt, dvs 6я9! 0 4x й X : 0 4x = T( 0 4x). T(x) x T(y) x 1 x 3 x 2 x - y
45 1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation u 1 Q 4 u 4 u 0 Q 3 Q 1 Q 2 u 2 u 3 u = temperatur, Q = v 0 1rmefl 0 2de
46 1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation Energibalans: Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 = 0 V 0 1rme fl 0 2dar fr 0 2n varmt till kallt: Q 1 = u 0 6с1 u 1 Q 2 = u 0 6с1 u 2 Q 3 = u 0 6с1 u 3 Q 4 = u 0 6с1 u 4 (u 0 6с1 u 1 ) + (u 0 6с1 u 2 ) + (u 0 6с1 u 3 ) + (u 0 6с1 u 4 ) = 0 Poisson s ekvation 4u 0 6с1 u 1 6с1 u 2 6с1 u 3 6с1 u 4 = 0 u 0 = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 4
47 1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation Energibalans: Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 = 0 V 0 1rme fl 0 2dar fr 0 2n varmt till kallt: Q 1 = u 0 6с1 u 1 Q 2 = u 0 6с1 u 2 Q 3 = u 0 6с1 u 3 Q 4 = u 0 6с1 u 4 (u 0 6с1 u 1 ) + (u 0 6с1 u 2 ) + (u 0 6с1 u 3 ) + (u 0 6с1 u 4 ) = 0 Poisson s ekvation 4u 0 6с1 u 1 6с1 u 2 6с1 u 3 6с1 u 4 = 0 u 0 = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 4
48 1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation Energibalans: Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 = 0 V 0 1rme fl 0 2dar fr 0 2n varmt till kallt: Q 1 = u 0 6с1 u 1 Q 2 = u 0 6с1 u 2 Q 3 = u 0 6с1 u 3 Q 4 = u 0 6с1 u 4 (u 0 6с1 u 1 ) + (u 0 6с1 u 2 ) + (u 0 6с1 u 3 ) + (u 0 6с1 u 4 ) = 0 Poisson s ekvation 4u 0 6с1 u 1 6с1 u 2 6с1 u 3 6с1 u 4 = 0 u 0 = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 4
49 1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation Energibalans: Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 = 0 V 0 1rme fl 0 2dar fr 0 2n varmt till kallt: Q 1 = u 0 6с1 u 1 Q 2 = u 0 6с1 u 2 Q 3 = u 0 6с1 u 3 Q 4 = u 0 6с1 u 4 (u 0 6с1 u 1 ) + (u 0 6с1 u 2 ) + (u 0 6с1 u 3 ) + (u 0 6с1 u 4 ) = 0 Poisson s ekvation 4u 0 6с1 u 1 6с1 u 2 6с1 u 3 6с1 u 4 = 0 u 0 = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 4
50 1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation
51 1 3Att l 0 2sa Poissons ekvation
52 1 3Hur bem 0 2ta beg 0 2vade elever? 6 1 L 0 1raren m 0 2ste ha n 0 2got extra i bakfickan 6 1 V 0 2ga utmana eleverna 6 1 V 0 2ga l 0 2ta eleverna g 0 2 f 0 2re 6 1 M 0 2ste finnas en morot
53 1 31 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Sammanfattning 6 1 Nya verktyg ger nya m 0 2jligheter 6 1 Enkla men kraftfulla algoritmer 6 1 Ber 0 1kning 0 1r matematikens k 0 1rna 6 1 V 0 2ga anv 0 1nda datorn / minir 0 1knaren!
Anders Logg. Människor och matematik läsebok för nyfikna 95
Anders Logg Slutsatsen är att vi visserligen inte kan beräkna lösningen till en differentialekvation exakt, men att detta inte spelar någon roll eftersom vi kan beräkna lösningen med precis den noggrannhet
Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl
Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014
MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA32 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 204 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:
Datablad FLEXIMARK Rostfria syrafasta teckenremsor & hållare
FLEXIMARK Rostfria syrafasta teckenremsor och hållare FLEXIMARK Rostfri a syrafasta teckenremsor och hållare Accepteras av byggvarubedömningen. Generell beskrivning: Standard rostfri märkning på plats
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 15 Repetition Lekt 14 Bestäm följande gränsvärden cos x tan x lim x 0 x x + ln ( e 2x
Fixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).
Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot
SF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014
MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:
Sammanfattning (Nummedelen)
DN11 Numeriska metoder och grundläggande programmering Sammanfattning (Nummedelen Icke-linjära ekvationer Ex: y=x 0.5 Lösningsmetoder: Skriv på polynomform och använd roots(coeffs Fixpunkt x i+1 =G(x i,
Kontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Ordinära differentialekvationer (ODE) 1 1
TMV151/TMV181 Matematisk analys i en variabel M/TD 2009 Ordinära differentialekvationer (ODE) 1 1 I förra datorövningen löste vi begynnelsvärdesproblem av formen u (x) = f(x), x [0, b] (b > 0) u(0) = u
Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer
Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer Michael Björklund, f-mib@f.kth.se Grundläggande begrepp Definition 1 Ett begynnelsevärdesproblem för ordinära differentialekvationer har följande
En reformerad matematikutbildning vid Chalmers
En reformerad matematikutbildning vid Chalmers Stig Larsson Chalmers tekniska högskola Göteborg http://www.math.chalmers.se/ stig Kvalitetskonferensen, Norrköping, 25 27 september 2001 Stig Larsson, kvalitetskonferensen
Inledande matematik M+TD
Introduktionsföreläsning p. 1/13 Introduktionsföreläsning Inledande matematik M+TD Stig Larsson http://www.math.chalmers.se/ stig Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Göteborgs universitet
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Tentamen del 1 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering
KTH Matematik Tentamen del SF5, 28-3-6, kl 8.-., Numeriska metoder och grundläggande programmering Namn:... Personnummer:... Program och årskurs:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången HT7-VT8
Lösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära
Blandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Tentamen i Matematik 3: M0031M.
Tentamen i Matematik 3: M0031M. Datum: 2009-10-26 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna
TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 17 januari 2013
MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA3 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 7 januari 03 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:
TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20
Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 2016-05-31, kl 08-11 SF1547+SF1543 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20 Uppgift 1 Man vill lösa ekvationssystemet
Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
![Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,](/thumbs/87/95082344.jpg "Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,")
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Gamla tentor från 2000 dags dato
Matematiska Institutionen Peter Kumlin 22nd April 24 TMA41 Functional Analysis MAN67 Applied Functional Analysis 4th quarter 23/24 Gamla tentor från 2 dags dato lösningsförslag levereras separat Matematik,
Instuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT
Matematiska strukturer - Satser
Matematiska strukturer - Satser April 2, 2018 I detta dokument har jag samlat och översatt de flesta satser som ingår i kursen Matematiksa Strukturer (FMAN65) från kursboken Set Theory and Metric Spaces
Sekantmetoden Beräkningsmatematik TANA21 Linköpings universitet Caroline Cornelius, Anja Hellander Ht 2018
Sekantmetoden Beräkningsmatematik TANA21 Linköpings universitet Caroline Cornelius, Anja Hellander Ht 2018 1. Inledning Inom matematiken är det ofta intressant att finna nollställen till en ekvation f(x),
Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs
KTH Matematik Tentamen del 1 SF154, 1-3-3, 8.-11., Numeriska metoder, grundkurs Namn:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången läsåret HT15/VT1 här: Max antal poäng är. Gränsen för godkänt/betyg
Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,
Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv
Tentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För
Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Numerisk Analys, MMG410. Lecture 10. 1/17
Numerisk Analys, MMG410. Lecture 10. 1/17 Ickelinjära ekvationer (Konvergensordning) Hur skall vi karakterisera de olika konvergenshastigheterna för halvering, sekant och Newton? Om f(x x k+1 x ) = 0 och
x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Icke-linjära ekvationer
stefan@it.uu.se Exempel x f ( x = e + x = 1 5 3 f ( x = x + x x+ 5= 0 f ( x, y = cos( x sin ( x + y = 1 Kan endast i undantagsfall lösas exakt Kan sakna lösning, ha en lösning, ett visst antal lösningar
Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Intervallhalveringsmetoden, GKN sid 73. Sekantmetoden, GKN sid 79
e x sin(x) = 2 Intervallhalveringsmetoden, GKN sid 73 f(x) = 0 = Roten finns x f(x) i intervallet Skrivs Intervallangd ----------------------------------------------------------------------------- 1.0-0.1232
Tentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 2010-01-12 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna
SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL
Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p
Matematiker och Kaffemaskiner
Matematik i Yrkeslivet, Oktober 28, 2013 Matematiska Institutionen för Matematiska Vetenskaper Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitetet Matematik i Yrkeslivet, Oktober 28, 2013 Matematiska
Block 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen?
Block 5: Ickelineära ekvationer Löpsedel: Icke-lineära ekvationer Varför är det svårt att lösa ickelineära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod Noggrannhet/stoppvillkor
R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Konvergens för iterativa metoder
Konvergens för iterativa metoder 1 Terminologi Iterativa metoder används för att lösa olinjära (och ibland linjära) ekvationssystem numeriskt. De utgår från en startgissning x 0 och ger sedan en följd
Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Ickelinjära ekvationer
Löpsedel: Icke-linjära ekvationer Ickelinjära ekvationer Beräkningsvetenskap I Varför är det svårt att lösa icke-linjära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod
Repetitionsuppgifter
MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.
ALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...
ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................
Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer
Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer Michael Hanke, Johan Karlander 2 april 2008 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller inom vetenskap och teknik
Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
![Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),](/thumbs/100/145710980.jpg "Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),")
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Datorövningar i funktionalanalys och harmonisk analys
Datorövningar i funktionalanalys och harmonisk analys Sven Spanne 28 september 21 1 Normer och approximation Inledning Funktionalanalys är ett abstrakt område, och för att förstå innebörden av begrepp,
Loggbok Matematisk Fysik FTF131 lp 2 2015
Loggbok Matematisk Fysik FTF131 lp 2 2015 Föreläsning 1 (4/11): Efter en introduktion om kursens innehåll och syfte, samt en del praktisk information, startade jag upp kursens första tema: FRÅN EXPERIMENT
Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008
Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008 Dataprojekt 1: Fourierserier Två av fysikens mest centrala ekvationer är vågekvationen och värmeledningsekvationen. Båda dessa ekvationer är
Ordinära differentialekvationer,
(ODE) Ordinära differentialekvationer, del 1 Beräkningsvetenskap II It is a truism that nothing is permanent except change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver förändring, ofta i tiden
Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Tentamen, del 2 DN1240 Numeriska metoder gk II för F
Tentamen, del DN140 Numeriska metoder gk II för F Fredag 14 december 01 kl 14 17 Lösningar DEL : Inga hjälpmedel. Rättas endast om del 1 är godkänd. Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),
4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
![4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),](/thumbs/104/163513760.jpg "4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),")
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2
Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man
1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.
Ordlista för Funktionalanalys 1 (28 augusti 2002) 1 Analysens grunder avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M
LAPLACES OCH POISSONS EKVATIONER
TH Matematik Olle tormark LAPLACE OCH POION EVATIONE Poissons ekvation φ(x) = (där ρ är en given funktion och φ söks) satisfieras till exempel av den elektrostatiska potentialen i ett område som innehåller
TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.
TMV151/181 Matematisk analys i en variabel M/Td, 2013 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
TMV151/181 Matematisk analys i en variabel M/Td, 2013 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Beskrivning och mål. Den här laborationen syftar till att ge en grundläggande förståelse
1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y
1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.
Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 3-5-6, kl. 14. 19.. 5B1/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan för betyg
NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars 1997. NATIONELLT PROV
9.3. Egenvärdesproblem
9.3. Egenvärdesproblem Problem som innehåller en parameter men endast kan lösas för speciella värden av denna parameter kallas egenvärdesproblem. Vi skall här nöja oss med ett exempel på ett dylikt problem.
Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer
Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer Eddie Wadbro 18 november, 2015 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (1 : 37)
SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera
Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Kompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter Laura Enflo & Giampiero Salvi
Kompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter & Giampiero Salvi Komplex analys Om man endast använder den reella tallinjen är det inte
Symboliska beräkningar i Matlab
CTH/GU LABORATION 6 MVE45-5/6 Matematiska vetenskaper Inledning Symboliska beräkningar i Matlab Verktygslådan Symbolic Math Toolbox i Matlab kan utföra symbolisk matematik. Vi skall se på ett antal exempel
TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.
MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Skalle Histogram
Tentamen 980603 Medicinsk Bildbehandling, 5p Skrivtid 9:00 15:00 Betygsgr nser U: 0-34 3: 35-46 4: 47-57 5: 58-70 Svara p alla fr gor p nytt blad. M rk bladet med namn och fr genummer. Disponera tiden
Det kildinsamiska skriftspråkets
Det kildinsamiska skriftspråkets historia Michael Rießler Skandinavisches Seminar Albert-Ludwigs-Universität Freiburg i. Br. 14 maj 2011 1 / 24 Introduktion Introduktion Egen bakgrund Universitetslektor
Matematiska uppgifter
Elementa Årgång 58, 975 Årgång 58, 975 Första häftet 2984. Visa att om A, B och C är vinklar i en triangel så är tan A + tanb + tanc = cot A + cotb 2985. Visa att för alla positiva heltal n gäller att
Övningsexempel och labuppgifter, Lab 5-2D1242
Övningsexempel och labuppgifter, Lab 5-2D242 Uppgifter markerade med Lab skall redovisas med skriftlig rapport, övriga uppgifter behöver ej redovisas. Flera av uppgifterna kommer att diskuteras på övningarna..
Lösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april 28 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra
Exempel på gymnasiearbete inom naturvetenskapsprogrammet naturvetenskap
Exempel på gymnasiearbete september 2012 Exempel på gymnasiearbete inom naturvetenskapsprogrammet naturvetenskap Mpemba-effekten Elevens idé Rana ska utföra sitt gymnasiearbete i grupp tillsammans med
SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Icke-linjära ekvationer
stefan@it.uu.se Eempel f ( ) = e + = 5 3 f ( ) = + + 5= f (, y) = cos( ) sin ( ) + y = Kan endast i undantagsfall lösas eakt Kan sakna lösning, ha en lösning, ett visst antal lösningar eller oändligt många
Omtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Newtons metod och arsenik på lekplatser
Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare
Matematik E (MA1205)
Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 =
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 9--7, kl. 8.3 -.3 TMV36 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del B Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 73-8834 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Uppgifterna
Den matematiska analysens grunder
KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande
Tabeller. Teckenförklaring Explanation of symbols. Noll Zero. Mindre än 0,5 Mindre än 0,05
Universitetskanslersämbetet och SCB 28 UF 23 SM 1401 Tabeller Teckenförklaring Explanation of symbols Noll Zero 0 0,0 Mindre än 0,5 Mindre än 0,05 Less than 0.5 Less than 0.05.. Uppgift inte tillgänglig
Kapitel 4 Inst llning av regulatorer I detta avsnitt skall vi i korthet betrakta problemet att st lla in regulatorer s att den slutna kretsen f r nska
Kapitel 4 Inst llning av regulatorer I detta avsnitt skall vi i korthet betrakta problemet att st lla in regulatorer s att den slutna kretsen f r nskade egenskaper. Situationen illustreras av reglerkretsen
Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.
Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0
6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1,
Institutionen för Matematik, KTH Tentamen del 2 Analytiska och numeriska metoder för differentialekvationer SF1523 8.-11. 18/8 217 Formelsamlingen BETA är tillåtet hjälpmedel men ej miniräknare. Råd för
Harmoniska funktioner
Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt
Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys
Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys 160526 Del I: (1) (a) Heuns metod för numerisk lösning av differentialekvationer har noggrannhetsordning 2. Detta betyder att Felet avtar med
Outline. Karriär Undervisning Forskning Professionell miljö. Stig Larsson, 12 oktober, 2005 p.2/17
Presentation Stig Larsson Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Göteborg, E-mail: stig@chalmers.se URL: http://www.math.chalmers.se/ stig Stig Larsson, 12 oktober, 2005 p.1/17 Outline Karriär