Tillämpad Matematik III Övningar i Statistik

Transkript

1 Tillämpad Matematik III Övningar i Statistik (Med reservation för eventuella tryckfel.) Kap. Grundläggande sannolikhetsteori.. Drag utan återlägg gör att det nns 4 = (= m) möjliga och lika troliga utfall att välja 4 st bland. Två olika kategorier: defekta (4 st) och korrekta (6st). a) A 4 = 4 defekta i urvalet. Gynnsamma utfall för A 4 = = och (A 4 ) = enl klassiska def av sannolikhet. Alt lösning. Första draget går att göra på 4 sätt av, andra draget på sätt av 9 osv och (A 4 ) = 4 97 = b) B = först defekta sedan korrekta. Första draget går att göra på 4 sätt av, andra draget på sätt av 9, tredje draget på 6 sätt av, fjärde draget på sätt av 7 och (B) = = 4 c) A = exakt defekta i urvalet. resonerar man som i a).!! 4 6 (A ) =! = 6 = 7 4. Också drag utan återlägg, vilket leder till att det nns = (= m) möjliga utfall att välja på måfå bland. Sedan nns det två kategorier som vi ska välja bland, defekta ( st) och korrekta ( st). a) A = ingen defekt lampa. Gynnsamma utfall för A är g = = och!! (A ) =! = = = :96 4 b) A = exakt en defekt lampa. Gynnsamma utfall för A är g = 4 = och (A ) = 4 = = 4 = :496 c) A = exakt två defekta lampor. (A ) = = = 4 = :996 d) B = högst två defekta lampor. B innebär att man får ingen defekt eller exakt en defekt eller exakt defekta lampor dvs B = A [ A [ A och (B) = (A [ A [ A ) = (A ) + (A ) + (A ) = [oförenliga händelser] = + + = 4 = :7 e) C = minst tre defekta lampor. Detta är komplementhändelsen till B; dvs C = B c och (C) = (B c 4 ) = (B) = = 67 = :66 f) D = minst defekta lampor. D c = högst en defekt lampa och D c = A [ A och (D) = (D c ) = (A [ A ) = [ (A ) + (A )] = = ( + ) = 4 = :664. Drag utan återlägg (igen) men med tre kategorier denna gång. Allvarligt fel (A) st, mindre fel (M) 6 st och

2 felfria (F ) st.!!! 6 a) ( st M och F) =! = 76 b) I denna situation skiljer man inte på A och M utan nu nns det endast kategorier, kassa(k) 9st och felfria (F ) st. Låt A i = exakt i kassa i urvalet) Händelsen minst kassa av är samma som exakt två eller exakt tre kassa (minst kassa av ) = (A [ A ) = 9!!! + 9!!! = = 9 c) Samma som i a) igen.!!! 6 (en av varje) =! = 6 9 = 9 d) Utnyttja b). Ty komplementet till händelsen minst kassa av är högst kass av och (högst kass av ) = (minst kassa av ) = 9 = 9.6 A = acceptera partiet = högst defekt A = A [ A ; där A = ingen defekt och A = exakt en defekt. Vi vet att det nns enheter totalt varav 6 är defekta, vi ska välja fem utan återlägg.!!!! (A) = (A [ A ) = (A ) + (A ) =! + 4! = :97. De nition: Ett utfallsrum är diskret om det är uppräkningsbart(ändligt eller oändligt många utfall). I annat fall är det kontinuerligt. (oändligt många utfall) a) Utfallsrummet är diskret därför att det kan nnas eller eller eller,..., eller defekta kretskort bland undersökta. = fi : i N; i ; g b) Detta är ett exempel på ett kontinuerligt utfallsrum därför att resultatet av en mätning kan bli vilket positivt reellt tal som helst. = R + c) Diskret därför det går att räkna upp utfallsrummet,,,,4,,6,... dvs alla positiva heltal. = Z + d) Kontinuerligt därför att tiden är kontinuerlig och man kan, åtminstone i teorin, få vilket positivt reellt tal som helst. = R +. enligt de nitionen av sannolikhet på s.44 är (A [ B) = (A) + (B) om A och B disjunkta. Detta ger :7 = : + (B) ) (B) = :. och. är ganska tydliga i facit. (Tycker jag..). Utnyttja. och additionssatsen. a) (åtminstone något av felen) = (A [ B) = (A) + (B) (A \ B) = : b) (A men inte B) = (A \ B c ) = (A) (A \ B) = :; (A \ B tar bort det som nns i B) c) (B men inte A) = (A c \ B) = (B) (A \ B) = :; (A \ B tar bort det som nns i A) d) (exakt ett av felen A och B) = ([ A \ B c ] [ [A c \ B]) = (A \ B c ) + (A c \ B) = :

3 Kap. Betingad sannolikhet.. Låt A = Fe-halt > 66.% och B = SiO -halt < 4% (A) = :; (B) = :4 och (A \ B) = :: Vi ska bestämma (Fe-halt > 66.%jSiO -halt < 4%) A j B) = (A\B) (B) = : :4 = :4 9.9 Det nns 6 möjliga utfall i detta spel, kort och sidor, = 6: De möjliga utfallen är R R R R V R R V 4 V V V V 6 upp ned Vi ska beräkna sannolikheten att det är det är rod ned med informationen om att det är rod upp, dvs den betingade sannolikheten (rod ned j rod upp): Eftersom de enda möjliga utfallen med rod upp är utfallen, och 4 så är (rod ned j rod upp) = då av de utfall som är möjliga resulterar i rod ned ": Slutsatsen måste bli att elle inte ska anta utmaningen då sannolikheten att vinna spelet bara är hälften så stor för hans del. Tabellen kan tolkas som ett mängddiagram. A B A \ B A c \ B B c A \ B c A c \ B c Funderar man lite så ser man att A = (A \ B c ) [ (A \ B); dvs (A) = ((A \ B c ) [ (A \ B)) = (A \ B c ) + (A \ B): Man får sannolikheterna för enskilda händelser genom att summera rad- och kolonnvis. Tabellen får följande utseende: BrnCl låg hög låg..9.9 hög Att notera är att högra kolumnen, nedersta raden samt de 4 inre sannolikheterna i tabellen alla summerar sig till. Sannolikheterna ska tolkas så att tex % av alla prover har låg Cl-halt och låg Br-halt. Vidare läser vi i tabellen att 9% av alla burkar har låg Br-halt och % av burkarna har hög Cl-halt vilket är svaren på a) och b). c) (hög Cl-halt givet hög Br-halt) = (hög Cl-halt j hög Br-halt) = : (anv def av betingad sannolikhet) d) Löses pss som c). A c (hög Cl-halt \ hög Br-halt) (hög Br-halt) = :4 :9 =. Lösningen till denna uppgift blir en tillämpning av Bayes formel och totala sannolikhetslagen Låt A = bult tillverkad i maskin A, B = bult tillverkad i maskin B, C = bult tillverkad i maskin C och D = defekt bult. Om man väljer en bult ur produktionen på måfå kan procentsatserna som nns i uppgiften tolkas som (A) = :; (B) = : och (C) = :4: (Notera att summan av sannolikheterna är.) (D j A) = : (% av tillverkningen från A är kass), (D j B) = :4 och (D j C) = :: Nu får man reda på att en slumpvis vald bult är defekt. Frågan är: vad är sannolikheten att denna bult är till verkad i maskin i? Dvs vad är (i j D) =? (A \ D) (A) (D j A) a) (A j D) = = (D) (D) Nu måste vi bestämma hur stor del av produktionen som blir defekt, (D): En defekt bult kan komma från maskin A, B eller C. Om D inträ ar måste A; B eller C inträ a. D = (D \ A) [ (D \ B) [ (D \ C) och (A \ D = D \ A) (D) = (D \ A) + (D \ B) + (D \ C) =

4 (A) (D j A) + (B) (D j B) + (C) (D j C) = : : + : :4 + :4 : = : (A) (D j A) : : (A j D) = = = : drygt % chans att den defekta bulten kommer från A. (D) : b) och c) är löses på samma sätt..4 Denna uppgift löses också mha Bayes formel och totala sannolikhetslagen. Följande gäller: (A) = : (D j A) = :9 där D = driftstid >h (B) = : (D j B) = :97 (C) = : (D j C) = :9 a) (D) = (D \ A) + (D \ B) + (D \ C) = (A) (D j A) + (B) (D j B) + (C) (D j C) = :::: = :96 b) (A j D) = (D\A) (D) = (A) (DjA) (D) = :49. Inför Acc = Acceptera för ytterligare provtagning,acc = Acceptera efter en andra provtagning Avv = Avvisa efter första provtagningen, Avv = Avvisa efter andra provtagningen Acc = Acceptera partiet efter båda provtagningarna, Avv = Avvisa partiet efter eller provtagningar. Dessutom är Acc = Avv c eller Acc c = Avv. Sannolikheten att acceptera partiet för en andra provtagning blir: 4 (Acc ) = = :766 eftersom vi måste välja de bland de 4 korrekta för att acceptera för en andra provtagning. Sannolikheten att partiet accepteras efter en andra kontroll blir 4 (Acc j Acc ) = = :67: Betingningen innebär att vi har plockat bort korrekta (dragning utan återlägg) 4 och måste välja de bland de 4 kvarvarande korrekta. Sannolikheten att acceptera partiet efter båda proven är då (Acc) = (Acc ) (Acc j Acc ) = :766 :67 = : Och komplementsannolikheten till denna är den som söks (Avv) = (Avv c ) = (Acc) = : = :467.6 roblemet kan illustreras i följande träddiagram. gur Inför följande beteckningar: S = sänd, M = mottagen, S = sänd och M = mottagen Sannolikheterna i uppgiften kan nu formuleras som ( S ) = :6; ( S ) = :4; ( M j S ) = :9; ( M j S ) = :99 ( M j S ) = : och ( M j S ) = : 4

5 a) ( S j M ) = ( S \ M ) ( S ) ( M j S ) = ( M ) ( S ) ( M j S ) + ( S ) ( M j S ) = :6 :9 :6 :9 + :4 : = :99 b) (fel tecken) = ( S \ M ) + ( S \ M ) = ( S ) ( M j S ) + ( S ) ( M j S ) = :6 Kap. Oberoende händelser.. Han har fel! Om A och B oberoende är (A \ B) = (A) (B) = : och (A [ B) = (A) + (B) (A \ B) = :4: ersonen har blandat ihop disjunkta händelser med oberoende händelser. Slutsats: disjunkta händelser är beroende!.9 Se ovan!. Låt K = kondensatorfel, B = fel på bildrör. B och K oberoende. (K) = :4 och (B) = : a) (båda felen) = (K \ B) = (K) (B) = :4 : = : b) (minst ett av felen) = (K [ B) = (inget av felen) = (K c \ B c ) = ( :4)( :) = :9. A och B är oberoende händelser samt (A) = :7 och (B) = :: a) Att båda lyckas = A \ B (A och B) och (A \ B) = (A) (B) = :6 b) Minst en av dem lyckas = A [ B (A eller B) och (A [ B) = (A) + (B) (A \ B) = :7 + : :6 = :94 Alt lösning Komplementet till minst en av dem lyckas är ingen lyckas. Alltså är (A [ B) c = A c \ B c : Eftersom A och B är oberoende händelser medför detta att A c och B c också är oberoende händelser. (A [ B) = (A [ B) c = (A c \ B c ) = (A c ) (B c ) = = ( (A)( (B)) = : : = :94.4 Låt A = komponent A trasig och B = komponent B trasig. A och B oberoende händelser. (A) = : och (B) = :: (instrument funkar) = (A c \ B c ) = (A c ) (B c ) = : :7 = :6. Detta ger (instrument funkar inte) = :6 = :44 Inför I i = i st instrument av 4 funkar inte, i = ; ; ; ; 4 I uppgiften frågas efter (minst av 4 instrument funkar inte) = (I [ I [ I 4 ) = (I [ I ): Med hjälp av sats D s6 får vi följande (I i ) = 4 i :44 i :6 4 i ; i = ; ; ; ; 4 (I [ I ) = (I ) + (I ) = 4 :44 : :44 :6 = :47 och (minst av 4 instrument funkar inte) = (I [ I ) = :47 = :9. Komponenterna fungerar oberoende av varandra och alla komponenter har funktionssannolikheten p: Nummerera komponenterna från vänster och den översta först. a) Seriesystem. Systemet fungerar endast om båda komponenterna fungerar. (systemet fungerar) = (K \ K ) = (K ) (K ) = p b) arallellsystem. Systemet fungerar om minst en komponent fungerar. (systemet fungerar) = (K [ K ) = (K ) + (K ) (K \ K ) = p p c) Serie- och parallellsystem. Systemet fungerar om K fungerar och minst en av K och K : (systemet fungerar) = (K \ (K [ K )) = (K ) (K [ K ) = p(p p ) = p p.7 Låt A i = händelsen inträ ar gång i: (A i ) = :: Oberoende upprepningar. a) (minst gång på försök) = (ingen gång på försök)

6 (A [ A [ :::: [ A ) = (A c \ A c \ ::::: \ A c ) = ( :)( :):::::( :) = :99 = :64 {z } faktorer b) (minst gång på n försök) = (ingen gång på n försök) > :, (ingen gång på n försök) : (ingen gång på n försök) = :99 n :99 n ln : : () n ln :99 ln : () n ln :99 = 6:97 ) försöket måste upprepas minst 69 gånger för att sannolikheten ska bli minst % att lyckas minst gång. c) Förutsättningarna är att det är oberoende upprepningar, dvs historien påverkar inte framtiden, oavsett vad som har hänt de 999 första gångerna är sannolikheten. att lyckas den :e gången. (Däremot är sannolikheten att misslyckas 999 gånger i rad väldigt liten, 4:6 :). Se uppgift.! (A) = :6; (B) = :, (C) = :4: A; B och C oberoende händelser. a) (exakt ett av felen) = (A \ B c \ C c ) + (A c \ B \ C c ) + (A c \ B c \ C) = :6 :9 :96 + :94 : :96 + :94 :9 :4 = :7 9 b) (exakt två av felen) = (A \ B \ C c ) + (A \ B c \ C) + (A c \ B \ C) = :6 : :96 + :6 :9 :4 + :94 : :4 = :6 c) (minst ett fel) = (inget fel) = (A c \ B c \ C c ) = :94 :9 :96 = :7 4.4 Exempel på binomialsannolikhet. p = : = (vald enhet ar defekt) Inför A i = exakt i defekta bland de utvalda. (A i ) = p i ( p) i i = antalet sätt det nns att välja ut i defekta bland. i Eftersom ordningen är ointressant så har varje sådant sätt samma sannolikhet, pga oberoendet, p i ( p) i (processen justeras) = (minst defekta i urvalet) = (hogst defekt i urvalet) = = (A [ A ) = (A ) + (A ) = : ( :) +.4 Ytterligare exempel på binomialsannolikhet. p = : = (drif tstopp) Låt A k = k driftstopp i maskiner. (A k ) = p k ( p) k ; k = ; ; ;..., k a) (A ) = : :9 = :94 b) (A ) = : :9 7 = :7 c) (minst ) = (ingen) = (A ) = : :9 = :6 X X d) (högst ) = (A k ) = k : k :9 k = :97 k= k= Kap.- Diskreta stokastiska variabler. : ( :) 4 = :7.. Låt p = sannolikheten att en maskin fungerar efter 6 månader. = antal maskiner av som fungerar efter 6 mån. Maskinerna fungerar oberoende av varandra. (är ett nödvändigt antagande) Nu är n = och p = : och vi har oberoende upprepningar av samma försök och man kan påstå att Bin(; :): ( = x) = x : x ( :) x = x ( = x) x >< och F (x) = : för x = ; ; ; x < : x < : x < :7 x < >: x.. Dragning utan återlägg. Grundmängd: N = ; urval: n = 4 och andel defekta: p = 4 = :4 6

7 = antal defekta i urvalet. Hyp(; 4; :4) 4 6 Enligt de nitionen ovan är ( = x) = x 4 x för x = ; ; ; ; 4 4 x 4 ( = x) 4 x= x= 7 4 >< och F (x) = x < :74 x < :44 x < : x < :99 x < 4 x 4 >: 6.4. ( = x) = : x ( x :) 6 x för x = ; ; :::; 6 Här gäller det att ha koll på om det är sträng olikhet eller ej. Sannolikheterna att bestämma ser ju ganska lika ut. a) ( < ) = ( ) = eftersom > X X 6 = ( = x) = : x ( :) 6 x = :467 x b) ( < ) = ( ) = eftersom < X X 6 = ( = x) = : x ( :) 6 x = :94 x x= x= c) ( < < ) = ( ) = eftersom > och < X X 6 = ( = x) = : x ( :) 6 x = :4 x x= x= X X 6 d) ( ) = ( = x) = : x ( :) 6 x = :999 x x= x= Om man vill jobba med fördelningsfunktionen och tabellen istället blir a) ( < ) = F () F () b) ( < ) = F () c) ( < < ) = F () F () d) ( ) = F ().. Här kommer övning. till pass. Inför händelserna och sannolikheterna: A = får jobb A: (A) = : B = får jobb B: (B) = : C = får jobb C: (C) = : A; B och C antas vara oberoende. Låt = antal jobb som erbjuds av tre. (Hade sannolikheterna varit lika för alla tre jobben hade det varit en binomialsituation.) a) Möjliga värden på är {,,,} och ( = ) = (han får inget jobb) = (A c \ B c \ C c ) = (A c ) (B c ) (C c ) = = ( :)( :)( :) = : 7 ( = ) = (han får jobb) = (han får jobb A eller jobb B eller jobb C) = = (fa \ B c \ C c g [ fa c \ B \ C c g [ fa c \ B c \ Cg) = = (A) (B c ) (C c ) + (A c ) (B) (C c ) + (A c ) (B c ) (C) = = : : :7 + : : :7 + : : : = : ( = ) = (han får jobb) = (han får jobb A och B eller jobb B och C eller jobb A och C) = = (fa \ B \ C c g [ fa c \ B \ Cg [ fa \ B c \ Cg = = (A) (B) (C c ) + (A c ) (B) (C) + (A) (B c ) (C) = = : : :7 + : : : + : : : = :4 (X = ) = (han får jobb) = (A \ B \ C) = (A) (B) (C) = : : : = : X Kontroll: (X = x) = :7 + : + :4 + : = som sig bör. x= 7

8 >< b) Fördelningsfunktionen blir då F (x) = c) ( < x ) = F () F () = : :7 = : >: x < :7 x < :4 x < : x < x.. Övning i att läsa och använda tabeller. Låt X = antalet inkommande telefonsamtal/ min, X o(): a) (högst samtal) = ( ) tabell = :7. X (Den som vill kontrollera tabellen beräknar e i i! ) i= b) (precis samtal) = ( = ) = ( ) ( ) tabell = :7 :6766 = : 44 (alt beräkar man e! istället) c) (minst samtal) = (högst samtal) = [detta är en nödvändig omskrivning för att kunna använda tabellen] = :46 = :9 99 (Omskrivningen är nödvändig även om man inte vill använda tabellen för vem vill beräkna X i= e i i! när det är mycket enklare att beräkna X i= e i i! ).9. n = oberoende upprepningar med sannolikheten p = : Låt = antal lyckade försök. Då är Bin(; :): Låt Y = antal misslyckade försök Då är Y Bin(; :7): a) (högst lyckas) == :6496 X x= x : x ( :) x beräknas av den som inte tror på tabellen. b) (exakt lyckas) = ( = ) = ( ) ( ) tabell = :66 Kontrollera med : ( :) 7 c) (minst lyckas) = (högst lyckas) = ( ) tabell = :49 = :7 d) (högst 4 misslyckas) = (Y 4) = ( 6) = ( ) tabell = :47 4X :7 x ( :7) x beräknas av den som inte vill använda tabell. x x= Alt lösning utan att blanda in Y är (högst 4 misslyckas) = (minst 6 lyckas) = (högst lyckas) = = ( ) = tabell = :47.. Om N = (grundmängd eller population), 4 defekta ger andelen, p = :4; speciella och n = 4; antal drag utan återlägg. Låt = antal defekta i urvalet. Då är Hyp(; 4; :4) och 4 4 x 4 x ( = x) = för x = ; ; ; ; 4 enligt klassiska def av sannolikhet. 4.. En viss typ av lampa fungerar längre än h med sannolikheten, p = :6: Man har n = st sådana lampor som fungera oberoende av varandra. Låt = antal lampor som fungerar efter h a) oberoende upprepningar med samma sannolikhet gör att Bin(; :6) b) ( ) = (Y ) där Y Bin(; :4) enl samma resonemang som i.9. (Y ) tabell = :66.. En ren tabellövning. Enl förutsättningarna gäller: = antal samtal/min och o()

9 (mer än samtal på minut) = ( > ) (Obs > = mer än och " " = minst ) ( > ) = ( ) = ( ) tabell = :46 = :7.4. st oberoende upprepningar där en viss händelse (driftstopp) inträ ar med samma sannolikhet varje dag. Låt = antal maskiner med stopp en viss dag. Då är Bin(; :) och ( = x) = : x :9 x för x = ; ; ; :::; : x.6. N = (grundmängd), andelen speciella (svenska) p = 7 = :9 och n = (urvalsstorlek). Man drar, underförstått, utan återlägg. Låt = antal svenska lager i urvalet. Då är Hyp(; ; :9) och 7 x x ( = x) = för x = ; ; ; ; 4;.. Totalt nns det N = lampor varav p = = är defekta. Man drar utan återlägg n = st och låter = antal defekta lampor i urvalet. Då blir Hyp(; ; =):.9. Inför = antal fartyg som anländer/dag, o() enligt förutsättningarna, a) (Omdirigera) = ( > ) = ( ) tabell = :7 = :4 b) Det gäller att bestämma a så att ( a) :9: Om a = 4 är ( a) tabell = :947; om a = är ( a) tabell = :944 alltså: Hamnen måste byggas ut så att man klarar att betjäna fartyg/dag...här har man N = enheter i partiet, felkvoten p = : och man väljer n = st enheter för undersökning,slumpmässigt och utan återlägg. Låt = antalet defekta i urvalet, då är Hyp(; ; :) (processen justeras) = ( > k) :, (processen justeras inte) = ( k) > :9: kx i i ( k) = > :9 i= Denna ekvation är besvärlig att räkna ut om man inte har tillgång till en bra miniräknare eller mathematica eller något annat. För de med lite sämre beräkningshjälpmedel nns följande approximationer: Om Hyp(N; n; p) och n N < : så är Bin(n; p) Om Hyp(N; n; p) och n > och p + n N < : så är o(n p) I detta fall lämpar sig approximation till oissonfördelningen bäst, villkoren n > och : + = < : är uppfyllda. dvs Hyp(; ; :) o() och då kan vi använda tabellen, igen. ( k) > :9, k = 9: Alltså: processen justeras om man nner er än 9 defekta enheter i stickprovet.. N = (grundmängd), andelen speciella (defekta) p = = : och n = (stickprovstorlek) Låt = antal defekta i urvalet. Då är Hyp(; ; :): Man efterfrågar 49 X (högst defekta i urvalet) = ( ) = i i. Denna sannolikhet är besvärlig att räkna ut i= om man inte har tillgång till en bra miniräknare eller mathematica eller något annat. För de med lite sämre beräkningshjälpmedel nns följande approximationer: Approximationen till oissonf ordelningen är lämpligast här för man kan fortfarande ha problem med : i 9

10 Eftersom n p = : = : är alltså o(:) och X : :i tabell ( ) e = :9964: Att jämföra med den exakta sannolikheten.997. i! i= Detta är en intressant sannolikhet ur ett annat perspektiv. Antag att du köpt enheter av något slag. Leverantören lovar att högst. % av de levererade enheterna är defekta. Du väljer att kontrollera detta genom en stickprovskontroll om enheter som väljs slumpmässigt och utan återlägg. Du mäter och nner att enheter i urvalet är defekta, dvs relativafrekvensen defekta i urvalet är % ( ggr högre än utlovat). Detta tyder på att allt inte är riktigt som det ska. För att ha lite mer på fötterna beräknar du nu sannolikheten att få eller er defekta i urvalet under de förutsättningar som givits. Inför = antal defekta i urvalet. Då är Hyp(; ; :) och ( ) = ( ) = :9964 = : 6. Denna sannolikhet tolkas nu som att du har, under givna betingelser,.6 % chans att få eller er defekta i ett urval på om andelen defekta är.% i populationen. Det nns nu två möjligheter: antingen har du haft en himla otur (tur?) när du valde ut dina enheter för undersökning eller så är andelen defekta större i populationen. Eftersom sannolikheten är såpass liten att få eller er så är det förmodligen så att relativa andelen defekta är högre än den angivna. Formellt säger man att man har fått ett signi kant eller ett statistiskt säkerställt resultat. Resultatet i undersökningen visar på en högre andel defekta. Om den relativa andelen defekta hade varit en annan tex p = : och du får fortfarande defekta i urvalet. Då har du ggr högre relativ andel i stickprovet istället och ( ) = :. Det händer att man får eller er defekta i urvalet c:a gång av, det vill säga att det inte är så osannolikt att få en sammansättning i stickprovet som skiljer sig från populationen i övrigt. När detta fall inträ ar säger man att man fått ett icke signi kant eller ej statistiskt säkerställt resultat..4 Oberoende upprepningar med samma sannolikhet. n = (ståltrådar) och p = : (sannolikheten för en defekt tråd). Antag att trådarna blir defekta oberoende av varandra. Låt = antal defekta ståltrådar av. Då är Bin(; :): Vi söker (kabeln kan bära sin tyngd) = (minst 97 felfria trådar) = (högst defekta trådar) = X = ( ) = : i :99 i : Nu kan problem med och räknemaskinerna uppstå igen. För de i i i= nns följande approximation Om Bin(n; p) och n > och p < : så är o(n p) Vi använder approximationen och säger att o() ty n >, p < : och n p = : X ( ) = e i tabell = : 9: Att jämföra med den exakta sannolikheten.96 i! i=.. Låt = antal defekta, Hyp(; ; p) (drag utan återlägg) Använd oissonapproximation i båda uppgifterna, kontrollera så att villkoren är uppfyllda! a) Om p = : så o(:4). (godkänna partiet) = ( ) tabell = :94 = :6 b) Om p = : så o(4). (godkänna partiet) = ( ) tabell = :9 = :94.6. Låt = antalet försäkringstagare som råkar ut för en olycka Hyp(N; ; :) eller Bin(; :) enl de förutsättningar som gäller. Hur som helst blir det även i detta fall en oissonapproximation, o(): ( > ) = ( ) = :4 = :4696

11 Kap 4.- Kontinuerliga stokastiska variabler. 4. Givet frekvensfunktionen f(x) = x, < x < : x >< xz t x a) Fördelningsfunktionen F (x) = dt = < x < >: x gur b) ( < < ) = Z x dx = c) ( = ) = enligt sats 4A eller ( < < ) = F () F () = = 4. Att visa att f(x) = e Z x ; x är en frekvensfunktion ska enligt i) f(x) för alla x ii) f(x)dx = Första villkoret är uppfyllt f(x) om > ty e x > för alla xoch Z e x dx = e x = vilket är det andra villkoret som ska vara uppfyllt. F () = F () = ( ) = e direkt. Alt Z e x dx = e x = e ss fås F (=) = e = :6 6x( x) x 4.4 Givet f(x) = f:o a) Att f(x) testas genom prövning eller, ännu hellre, genom teckenstudium av f(x) x 6x + + x + + f(x) +

12 R Sedan ska f(x)dx = vilket också är uppfyllt i detta fall: R 6x( x)dx = [x x ] = x < >< xr b) F (x) = 6t( t)dt = [t t ] x = x x x >: x > (= < < =) F (=) F (=) c) ( < = j= < < =) = = (= < < =) F (=) F (=) = = x < 4. Givet F (x) = e x = x samband mellan fördelnings- (F (x)) och frekvensfunktion (f(x)) är F (x) = f(x) enligt sats4a. F (x) = xe x = = f(x) för x : 4.7. = väntetid tills nästa tåg.(i min) a) x = fx : < x < g dvs alla värde i intervallet till. c) Eftersom alla värden i intervallet ovan är lika troliga måste vara rektangelfördelad och f(x) = >< b) F (x) = >: xr x dt = x < x < x d) (vänta mer än 7 min) = > 7) = ( 7) = F (7) = 7 = 4.9 = livsläng i år och Exp(=) dvs f(x) = e x x och F (x) = e x a) (håller minst år) = ( > ) = ( ) = F () = ( e = ) = e = ( > + 4) b) ( > + 4 j > 4) = = e (+4) = e () e (4) = e ( > 4) e (4) e (4) = ( > ) Se även exempel 4. sid Är precis som 4.. Exp(:) där = tiden i minuter att betjäna en kund. ( > ) = ( ) = F () = ( e : )) = e : = :66 ( > ) = e = :67 ( < ) = ( ) = e : = :67 4. Först beräknar man att ett rör fungerar mer än h. Sedan beräknar man sannolikheten att eller er rör av 6 fungerar mer än h. Låt = livslängden i timmar för ett rör. Exp(:) Sätt p = ( > ) = ( ) = F () = e = :4 Nu har vi n = 6 st rör som fungerar oberoende av varandra. Låt Y = antal rör som fungerar mer än h. Då är Y Bin(6; p) och (Y = ) = 6 (Y > ) = (Y ) = :4 ( :4) = : X x= 6 :4 x ( :4) 6 x = :996 = :4 x 4. Låt = plats kvar framför bilen i meter.. x = fx : < x < g. Om alla värden i intervallet ovan är lika troliga är rektangelfördelad och f(x) = (en bil till) = (en till bil framför) + )((en till bil bakom) = ( > ) + ( < ) = R R dx + dx = + = 6 ; < x < :

13 4. Låt = livslängd i år för en viss typ av kullager, W (; =9) ( fungerar efter år) = ( > ) = ( ) = = F () = ( e =9 ) = :76 ( fungerar efter år) = ( > ) = ( ) = = F () = ( e =9 ) = : Här gäller att N(; ). Detta är en tabellövning. a) ( < ) = () = :977 b) ( < ) = ( ) = () = :4 = : 7 s c) ( > ) = ( ) = () = :997 = : d) ( > ) = ( ) = ( ) = ( ()) = () = :4 e) ( < < ) = () ( ) = :997 :7 = : f) ( = ) = 4. Även här gäller N(; ) a) ( > a) = : () a = :9 b) ( > a) = :999 () a = :9 c) (j j< a) = ( a < < a) = :9 () ( < a) = :97 () ( > a) = : () a = :96 (rita gur) d) ( > a) = : () a = : Här är N(; ) Kom ihåg: Om N(; ) så är Y = N(; ) Sats 4B a) ( < ) = ( ) = () = :4 b) ( > 4) = ( 4) = ( 4 ) = (:) = :9 = :66 c) ( < :) = ( : ) = ( :) = (:) = :944 = : = tapp diameter. N(:49; :): : :49 a) (användbar) = ( < :) = : = () = :977 b) Låt Y = antal användbara av. Y Bin(; :977) om sannolikheten är den samma för varje tapp. E(Y ) = :977 = 4:6 (n p) c) V (Y ) = :977( :977) = :4 (n p ( p)) =) = ::

14 Kap.-.,4.-4. Väntevärde, varians och standardavvikelse.. och.4 Här är likformigt fördelad på 6 lika sannolika utfall, dvs U(6): Sannolikhetsfunktionen är ( = x) = 6, x = ; ; ::::; 6 och väntevärde blir a) E() = 6 x 6 = 6 ( ) = 7 = : x=.4) För att beräkna variansen använder man de nitionen eller sats 4C V () = E( ) E() = 6 Om U(N) blir E() = N x N = N x= x 6 x= 7 = 6 ( ) : = 9 6 N(N+) = N+ (aritmetisk summa, se någon analysbok).9 och. Här får man följande fördelning 7 = x ( = x) och det är bara att använda de nitionen av väntevärde och sats 4C E() = V () = x= x= x ( = x) = = och x ( = x) = 4. Låt = antal arbetare som använder handborrmaskin under ett visst ögonblick. a) n = oberoende upprepningar med samma sannolikhet, p = : och Bin(; :) b) E() = n p = : = :6 c) Löses med hjälp av tabellen över binomialfördelningen. max(f (x) F (x )) för x = ; ; ; ::: ger x =... = antal efterfrågade tidningar. a) E() = xp(x) = :( ) + :4( ::: + ) = 9: x= b) Om Kalle tar hem 9 tidningar och man låter Y = vinsten, Y = : får man följande E(Y ) = 4: y= x y p(x) = p(y) yp(y) = :( : :) + :4( :) + :4 + :4 4: = :6 Kalle genomsnittliga vinst eller förväntad vinst är en förlust på.6. Man också uttrycka det så här att Kalle förlorar, i genomsnitt,.6. c) Gör likadant som i b) för,7,6,,4, tidningar. Låt = antal efterfrågade granar och Y = vinst Om elle tar hem granar blir Y = 9 ( ) = och E(Y ) = y= vinst 4 Kr yp(y) = :( x 4 y - p() = p(y)..... ) + :( + ) + : = 4. Om Kalle tar hem granar blir hans förväntade 4

15 Om elle tar hem 4 granar blir Y = 9 (4 ) = 6 och E(Y ) = 4 y= 6 x 4 y p() = p(y).... yp(y) = :(4 6) + : 4 + : 4 = 6 Om elle tar hem granar blir Y = 9 ( ) 9 = E(Y ) = y= yp(y) = :( ) + : = x y - p() = p(y)... Om elle tar hem granar blir Y = 9 ( ) 6 = E(Y ) = y= yp(y) = : + :9 = x y p() = p(y)..9 Alltså elle ska ta hem 4 granar för att få så stor förväntad vinst som möjligt..7 Låt = antalet maskiner som stannar en viss dag. a) Eftersom det är oberoende upprepningar, (n = ); med samma sannolikhet, (p = :) är Bin(; :) b) V () = np( p) (se sid 94) dvs i detta fall är = V () = :9 och = D() :9.4 En binomialsituation till. Låt = antal personer som drabbas av biverkan. n = oberoende upprepningar med samma sannolikhet p = : dvs Bin(; :) E() = : = 6; V () = :( :) = 4: och D() :9.4 = antal förseningsdagar och a) E() = 4 xp(x) = :; V () = x= 4 x= b) Sätt Y = böter och Y = + då får man E(Y ) = 7 x= yp(y) = 7; V () = x 4 p(x).... x p(x) : = :96 och D() = p :96 = :9 x 4 y 4 7 p(x) = p(y) x= c) I denna uppgift vill Vännman att man ska komma på sats A. 4. och 4. använd de nitionen och sats 4C R R a) E() = :xdx = : och V () = x :dx = R b) E() = x:xdx = och V () = R y p(y) 7 = 6 och D() = 4697 x :xdx = 9

16 6R c) E() = x x 7 dx = 4: och V () = 6R x x 7 dx 4: = : 4. och 4.6 = väntetid. är likformigt fördelad över intervallet (; ) och f(x) = =; < x < : R h i E() = x dx = R h i x = och V () = x dx x = = ; D() = p 4. Om Exp( ) vet man att f(x) = e x= ; x R E() = x e x partiell integration x R dx = xe + e x dx = e x {z } = = = = 4. N(:49; :); E() = :49 = 4.4 = ( betjäningstiden och fördelningsfunktionen är given (F (x) = f(x)) x x R x x x f(x) = E() = x dx = f:o: Om Exp(:) så är f(x) = e x= x : Enligt uppgift 4. och ex 4. sid 7 är E() = = = R V () = x e x part integr dx = x e x {z } = + xe x {z } = = q D() = = : = = = 4.9 N(; ) använd sats 4B och tabellen. a) ( < ) = = () = : b) ( < ) = = ( ) = () = :7 c) ( > + ) = ( + ) = + = () = :7 d) ( < ) = = ( ) = () = : e) ( > + ) = ( + ) = + = () = : f) (j j < ) = ( < < ) = ( < < + ) = + () ( ()) = () = :66 g) (j j < ) = ( < < ) = ( < < +) = + () ( ()) = () = :94 4. Exp() = = = f(x) = e x ; x och F (x) = e x = R a) ( < ) = e x dx = e x = = e = :6 + e x = = () ( ) = = () ( ) = b) ( < ) = ( < ) x< = c) ( > + ) = ( =) = F (=) = ( e ) = e = : d) ( < ) = ( < =) x< = e) ( > + ) = ( =) = F (=) = ( e ) = e = :49 f) (j j < ) = ( = < = < =) = (= = < < = + =) = ( < < =) = F (=) = e = :647 g) (j j < ) = ( = < < =) = (= = < < = + =) = ( < < =) = F (=) = e = :9 4. Om Exp() så vet vi att E() =. Att visa att D() = innebär att man måste beräkna R V () = x e x dx med två gånger partiell integration (eller mathematica) får man R x e x dx = x e x R + xe x dx = x e x R + e x = e x = och slutligen V () = = ) D() = V SV: 4. Givet f(x) = :x; < x < De nition: Medianen för en stokastisk variabel de nieras som det tal m som uppfyller F (m) = :: 6

17 De nition: Med p:te percentilen för en stokastisk variabel menas det värde L p som löser ekvationen F (L p ) = De nition: Med kvartilavståndet Q menas Q = L 7 L : mr h i m :x a) F (m) = : () :xdx = : () = :m = :, m = p 7:7 = E() = R b) F (L ) = : () F (L 7 ) = :7 () x:xdx = 6:67 och = V () = LR 7 LR h :xdx = : () h :xdx = :7 () :x R i L Q = :66 = :66; 4: och + 9: 4. Exp() F (x) = e x ; x, = = = a) F (m) = : () e m = : () e m = : () m = x :xdx = 9 :6 = :L = :, L = p = i :x L7 = :L 7 = :7, L 7 = p 7 :66 ln : = ln :47 b) F (L ) = : () e L = : () e L ln :9 = :9 () L = :7 c) F (L ) = : () e L = : () e L ln :7 = :7 () L = :44 F (L 7 ) = :7 () e L7 = :7 () e L7 ln : = : () L 7 = :69 Q = :49; = och + = 4. = längden av en bomulls ber beskrivs av följande frekvensfunktion ax < x < f(x) = Om detta ska var en frekvensfunktion måste f:o: Z h a) axdx = () a x i = () a = : mr h b) F (m) = : () :xdx = : () c) F (L ) = : () LR i m :x h :xdx = : () = :m i L :x = :, m = p 4:4 = :L = :, L = p 4 6: p 7

18 Kap Mera om väntevärde. Givet E( ) = ; E( ) = 4; V ( ) = :, V ( ) = :9 samt att och oberoende. a) E( + ) = E( ) + = 6; V ( + ) = V ( ) = ; D() = p b) E() = ; V () = D() = en konstant varierar inte. c) E( + ) = E( ) + E( ) = 7; V ( + ) = V ( ) + V ( ) = :4; D( + ) = p :4 se sid d) E( ) = E( ) E( ) = ; V ( ) = V ( ) + ( ) V ( ) = :4; D( ) = p :4 e) E( + ) = E( ) + E( ) = ; V ( + ) = V ( ) + V ( ) = 6:; D( + ) = p 6: f) E( ) = E( ) E( ) = 7; V ( ) = V ( ) + ( ) V ( ) = 6:; D( ) = p 6:. Givet stokastisk variabel med E() = och D() = : Låt Y = : E = (E() ) = ( ) = : V = (V () ) = = V SV. = dygnsmedeltemp i C. E() = och D() =. Y = 9 + E(Y ) = E 9 + = 9E() + = 64:4 V (Y ) = V 9 + = 9 V () = :96; D(Y ) = :6.6 = längden av ett byggelement (i meter) E() = och D() = : Låt Y = och Y = i i= E (Y ) = E( ) = E( ) = E(Y ) = E i = E( i ) = dvs båda metoderna ger samma vän- i= i= tevärde. V (Y ) = V ( ) = V ( ) = : D(Y ) = : V (Y ) = V i = V ( i ) = : D(Y ) = :. Denna metod ger minst spridning och är i den meningen i= i= den bästa. (.7 Y = längden av en -min rast, = överdrag i minuter f(x) = ( x) < x < f:o: Y = + : E(Y ) = E( + :) = + E() = : ty R E() = x x x ( x)dx = = = : V (Y ) = V ( + :) = V () = E( ) E() = för att 9 E( R ) = x x ( x)dx = x 4 = 9 6 = 6:67 R (Y > 7) = (Y 7) = ( ) = ( x)dx = (x x = :64. Ai = återbäring spel A; E( Ai ) = :9 och D( Ai ) = : Bi = återbäring spel B; E( Bi ) = :6 och D( Bi ) = : Man spelar A spel och B spel. Låt Y = total återbäring, Y = A + A + A + B + B {z} insats E(Y ) = E( A + A + A + B + B ) = E( A ) + E( A ) + E( A ) + E( B ) + E( B ) = : V (Y ) = V ( A + A + A + B + B ) = V ( A ) + V ( A ) + V ( A ) + V ( B ) + V ( B ) = :7 D(Y ) = :7. = resultat av en smältpunkts bestämning. = + " där = renheten (konstant) och " = slumpfel (stokastiskt). " beskrivs av f(x) = ( x)( + x); < x < : 6 a) Att visa att metoden är väntevärdesriktig innebär att man ska undersöka om E() = :

19 E() = E( + ") = + E("), om E(") = är metoden väntevärdesriktig. R x 4 E(") = x( x)( + x)dx = 6 6 (9x 4 ) = 6 ( ( 4 E() = och metoden är väntevärdesriktig (VVR) R b) V () = V (") = E(" ) = 6 x ( x)( + x)dx = D() = c) se ovan. r 9 = :4: )) = dvs 4 x 6 (x ) = 6 ( 4 ( + 4 ) = 9. Y = c + ( c) ; E( ) = E( ) = ; V ( ) = och V ( ) = a) E(Y ) = E(c + ( c) ) = ce( ) + ( c)e( ) = c + ( c) = b) V (Y ) = V (c + ( c) ) = c V ( ) + ( c) V ( ) = c + ( c) Derivera denna variansfunktion map c V (Y ) = c + ( c) sätt V (Y ) = och c = + c) Använd = = i uttrycket ovan. 9

20 Kap 6 Normalfördelningen 6. = tid för ett arbetsmoment. N(; :) 7 a) (7 < < ) = = () ( ) = () = :94 : : 4: : b) (: < < 4:) = = () ( ) = () = :997 : : 6. = diameter N(:; :) : + x : a) (: x < < : + x) = :99, ( < : + x) = :99 () = :99, x : : = :7 Dvs x = : :7 = : och (:74 < < :) = :99 : + x : b) (: x < < : + x) = :999, ( < : + x) = :999 () = :999, x : : = :9 Dvs x = : :9 = :6 och (:74 < < :66) = :999 : + x : c) (: x < < : + x) = :, ( < : + x) = :7 () = :7, x : : = :67 Dvs x = : :67 = : och (:76 < < :4) = : 6. = äggvikt N(49; 7:) 4 49 (A) = ( < 4) = = ( :) = (:) = :7 = :9 7: (B) = (4 < ) = = (:) ( :) = :7967 :9 = : 7: 7: (C) = ( > ) = (A) (B) = :7967 = : 6. i = vikt passagerare i (kg); i N(; :) Y = i = vikten av passagerare och Y N( ; p :) i= (sats 6D) 74 7 (Y > 74) = = (:4) = :99 = :7:.7% chans att passagerare har en 6:4 sammanlagd vikt överstigande 74 kg. 6. = skruvdiameter (mm), N(4:; :6); Y = håldiameter (mm), Y N(4:; :): Antag och Y oberoende. Y = diameterskillnad, Y N 4: 4:; p :6 + : En skruv passar mutter om < Y :6: Och :6 : ( < Y :6) = p :6 p : +: :6 = +: = (:7) ( :) = (:7) ( (:)) = :999 ( :944) = :4 Drygt % chans att en på måfå vald skruv passar en på måfå vald mutter. 6. i = livslängd (h) lampa i; i N(7; 6); i = ; ; :::; och oberoende. 6 = medellivslängd av lampor. Sats 6D säger att N 7; p : Vi ska med dessa förutsättningar bestämma _ 7 ( ) = 6= p = ( :7) = (:7) = :999 = :4 4% chans att medellivslängden h för lampor av denna typ. Detta problem är intressant ur ett annat perspektiv. Antag att man köper lampor där tillverkaren påstår att den förväntade livslängden hos en lampa är 7 h med en standardavvikelse på 6 h. Antag att lamporna fungera oberoende av varandra och att man tar ut, slumpmässigt, ett stickprov om lampor ur en mycket stor population. Inför nu stokastiska variabeler i = livslängd (h) lampa i; i = ; ; :::; och antag, i brist på bättre alternativ, att alla i N(7; 6). Detta antagande kan man komma runt med hjälp av Centrala gränsvärdessatsen, se nedan. Nu blir medellivslängden _ N 7; 6 p : Antag nu att konstaterar att medelvärdet i stickprovet blir x = h. Det skiljer timmar mellan den utlovade livlängden och vad man ck som genomsnitt i undersökningen. Räkningarna ovan gav 4% chans att få ett så lågt medelvärde eller lägre. Trots att skillnaden är liten så säger man att det är ett statistiskt säkerställt resultat. Medellivslängden för denna typ av lampor är lägre den utlovade på 7 h. När man påstår detta så är felrisken (signi kansnivån) 4%. Eftersom sannolikheten är så pass liten tror man inte längre att det är slumpen som gör att medellivslängden är lägre i stickprovet utan att det är en systematisk avvikelse från det utlovade värdet.

21 6.4 i = kextjocklek (cm) N(:4; :) Y = n i = tjocklek för n kex, Y N(n :4; : p n) enligt Sats 6C i= :4 a) (minst kex) = (Y ) = : p = (:) = :99. Det är nästan alltid minst kex i paketen. :4 b) (minst kex) = (Y ) = : p = () = :: % av alla paket kommer att innehålla minst kex. 6.6 = utlösningstid för relä (s), N (; :) : Y = utlösningstid för relä (s), Y N (:; :) ; och Y oberoende. Y = skillnad i utlösningstid för de båda reläerna. Sats 6B säger att Y N :; p : + : : (relä löser före relä) = ( Y > ) = ( :) p : = (:4) = +: = :97 = : Lite mer än % chans att relä löser före relä om de utsätts för samma impuls. 6. i = vikt av pappersrulle i (kg) N(; ); Y = i = vikten av pappersrullar och Y N(; ) i= Enligt sats 6C är E(Y ) = E() =, E() = och D() = p D() =, D() = p 4: Alltså är N(; p x 4) och ( > x) = :9, ( x) = :, p = :, x p = :6, 4 4, x = :6 p 4 = 9:9: Med 9% säkerhet garanterar fabriken att varje rulle väger minst 9:9 kg. 6. i = längden av band i (m), i N(; :) och oberoende, ätt Y = då är Y N (; :) och Y = i då är Y N(; p :) enligt sats 6C i= (jy j < :), ( : < Y < :) = (9: < Y < :) = : 9: = : : = (:4) ( :4) = (:4) ( (:4)) = = (:4) = :64 = : (jy j < :), ( : < Y < :) = (9: < Y < :) = : = p 9: : p : = (:6) ( :4) = (:6) ( (:6)) = = (:6) = :96 = :79 4 Y ger ett värde närmare med större sannolikhet än Y : 6. = tid för tvätt och påklädning, = tid för frukost och = tid för transport N(; ); N(; ) och N(9; ). Antag att ; och är oberoende stokastiska variabler Y = + + = total tid för morgon aktiviteter och Y N( + + 9; p + + ) (komma i tid) = (Y 4) = i = vikt person i (kg); i N (7; ) och oberoende. = personers vikt, = i N ; p (sats 6C) i= p = (:9) = :64: Det är alltså c:a 6% chans att han kommer i tid. Han vill veta ( personerväger mer än 4kg) = ( > 4) = = ( 4) = = (:49) = :99 = :6 4 p 6. % chans att personer väger mer än 4 kg. Centrala gränsvärdessatsen (CGS) I uppgifterna antas de stokastiska variablerna vara exakt normalfördelade. Vi ska nu beröra ett av de märkligaste och betydelsefullaste resultaten inom sannolikhetsteorin: Normalfördelningen uppträder i ett generellt sammanhang, som gör den mycket mer tillämpbar än man i förstone kan tro. Man kan nämligen visa att en summa av oberoende likafördelade s.v. med godtycklig fördelning i regel är ungefär normalfördelad, bara antalet komponenter i summan är tillräckligt stort. Sats 6E ( Centrala gränsvärdessatsen, CGS)

22 Om ; ; :::: är en oändlig följd av oberoende och likafördelade stokastiska variabler med väntevärdet och standardavvikelsen : Då i n i= p n xa! (x) ; då n! raktiskt innebär CGS att n i N (n; p n) ; då n är stort i= _ N(; pn ); då n är stort Det är just dessa egenskaper hos normalfördelningen som gör den så användbar. Hur stort ska n vara undrar man. Tumregel: om n > är kan CGS användas. OBS att CGS gäller för såväl kontinuerliga som diskreta variabler i Lösningar till uppgift i = den i :te kundens mjölkköp (liter). beskrivs av följande sannolikhetsfunktion: Låt Y = 4 i= x p(x)... i = 4 kunders mjölkköp (liter). Vi ska bestämma (Y 9) approximativt mha CGS. För att veta vilken normalfördelning Y :s fördelning ska approximeras med behöver vi bestämma E( i ) och D( i ): E( i ) = x= xp(x) = :9 och V ( i ) = x= x p(x) :9 = :49 ) D( i ) = :7 Enligt sats 6E blir Y N(6; 4); (4:9 = 6; p 4 :7 = 4) och 6 9 (Y 9) 4 = (:49) = :9: Det är alltså c:a 9% chans att lagret räcker. 6. i = vikten vagn nr i (ton), E( i ) = och D( i ) = :; i = ; ; :::; Y = i = vikten av vagnar, Y N ; p : med stöd av CGS ty n tillräckligt stort. i= (Y > ) = (Y ) p : = (:69) = :94: Det är approximativt 9% chans att tågsättet väger mer än ton. 6.6 i = vikten av ett lass sand (kg). E( i ) = och D( i ) = : Y = i = vikten av lass sand, Y N ; p enligt CGS. i= (Y > ) = (Y ) p = ( :7) = = ( (:7)) = (:7) = :7 Firman Står Det Så Står Det har ungefär 7% chans att få ton sand på lass. 6.7 i = komponent i : s livslängd.(timmar?), i Exp(:) i = ; ; :::; Eftersom exponentialfördelningen föreligger behöver man bestämma E( i ) och D( i ): E( i ) = = och D( i) = =. Låt Y = i= i = komponenters sammanlagda livslängd. Y N( ; p ) med stöd av CGS då n > : Tp = :, T p = :, T = 9:: (Y > T ) = :9, (Y T ) = : CGS, Lagret räcker approximativt h(?) med 9% sannolikhet. 6. i = vikt av en värktablett i gram, E( i ) = : och D( i ) = :4 Om 99 tabletter väger mindre än. g kommer minst tablett läggas i till och burken innehålla minst tabletter. Sätt Y = 99 CGS i N(99 ; p 99 :4) = N(49:; :9) i= : 49: (Y :) :9 = (:) = :994: Det är c:a 99% chans att burkarna innehåller minst tabletter. 6. i = tidsavstånd mellan två på varandra störningar (min), i Exp() i = ; ; :::; och E( i ) = D( i ) = ::

23 Sätt Y = i = sammanlagd tid tills :e störningen, Y CGS N(; ) i= 4 (Y > 4) = (Y 4) = = ( ) = () = :4 Ungefär % chans att det tar mer än 4 minuter tills :e störningen. 6. = antal defekta av (= n), p = (en enhet defekt) = : = felsannolikheten. Antag oberoende upprepningar, då är Bin(; :): Att bestämma: ( ) = : i :9 i vilket inte är så lätt om man inte har stor beräkningskraft i= i tillgänglig. Om n > och p < : så är o() (se s ) men inte heller ( ) = e i= i i! är så kul. CGS hjälper oss också i detta fall (se s 6) Eftersom E() = och V () = 7:6 så kan med CGS som stöd påstå att N ; p 7:6 och ( ) p 7:6 = (:) = :99 Det är mindre än % chans; approximativt, att få eller er defekta bland. Om detta inträ ar kan man med lite risk påstå att felsannolikheten har ökat och att resultatet är statistiskt säkerställt. 6.6 = antalet trasiga komponenter, enl förutsättningarna är Bin(; ; ): (fungerande instrument) = ( ) tabell = :47 = p Y = antalet fungerande instrument av 4. Oberoende mellan olika instrument förutsätts, då är Y Bin(4; :47): E() = 4 :47 = : och V () = 4 :47( :47) = :64 > och Y CGS N(:; p :64) (se s6) (Y ) = (Y 99) = 99: : p :64 = (; ) = :79 dvs ungefär 7% chans att asken innehåller minst fungerande instrument. 99 : Utan halvkorrektion får man (Y ) = (Y 99) = p :64 = (:6) = :74:

24 Kap 7 unktskattningar 7. Med 9 x i = 6:9 och i= a) obs = x = 9 9 x i i= 9 x i = 6:9 9 = 4: 9 9 i= b) obs = s = 9 x i i= 9 = 9:9 samt formeln på s6 i Vännman får man! x i = i= 9:9 9 (6:9) = 6: c) obs = s = p 6: = 4:6 7. = livslängd i timmar för et specialbatteri. E( i ) = och V ( i ) = Följande observationer på nns: a) Lämpliga punktskattning av = genomsnittlig livslängd och är obs = x = i= x i = :6 resp obs = s = s 4 (x i x) = :4 i= b) Från sats C vet vi att V () = V ( ) = och en lämplig observerad punktskattning av standardavvikelsen för s är p = :: 7. = a + a : För att ska vara väntevärdesriktig(vvr) måste E( ) = : a) E( sats A ) = E (a + a ) = a E ( ) + a E ( ) = (a + a ) dvs E( ) =, (a + a ) = b) För att bestämma vilken av dessa punktskattningar som är e ektivast måste vi bestämma och minimera V ( ): V ( sats A ) = V (a + a ) = = a V ( ) + a V ( ) a+a= = a + ( a ) = (a a + ) Ev minimum fås då dv ( ) = (4a ) =, a = da : Att detta är en min punkt bekräftats av att d V ( ) da > för a = : Den e ektivaste punktskattningen är alltså = + dvs medelvärdet. 7.9 Låt = antal operationer med tid > 4 min och p = sannolikheten att en operation tar > 4min. p skattas med p = x dvs relativa frekvensen. x = obs antal operationer med tid > 4 min n x = ; n = och p obs = = : 7. Vi ska bestämma k så att punktskattningen = k n ( i ) blir VVR map ; dvs E( ) = : i= E( ) = E k n ( i ) = k n E h( i ) i = k n V ( i ) = kn i= i= {z } i= def: av V arians För att E( ) = måste kn =, k = n : 7.4 p = (ett lysrör funkar efter timmar) skattas med p = n där = antal lysrör som funkar efter timmar av n st. a) Bin(n; p) som har möjliga utfall ; ; ; ; :::; n:detta leder till att p = n Bin(n; p) med möjliga utfall ; n ; n ; n ; ::; : b) E(p ) = E( n ) = n E() = nnp = p dvs VVR. c) V (p ) = V ( n ) = n V () = p( p) n np( p) = q q n d) : ) n p( p) n 4n 4

25 Kap Kon densintervall Kap. Teckenintervall. i = brottgräns. Vi ska konstruera ett kon densintervall för m = medianbrottgränsen baserat på n = mätningar. För alla stokastiska variabler gäller att ( i m) = :: Låt () < () < ::: < () beteckna det storleksordnade stickprovet. Sätt Y = antalet observationer m: Y Bin(; :): Tänkbara intervall är m ( () ; () ); m ( () ; () ) eller ( () ; () ): Det gäller för oss att bestämma kon densgraden för dessa intervall och det är här binomialfördelningen kommer in. Vilken kon densgrad har intevalet m ( () ; () )= (sannolikheten intervallet täcker verkligt värde på m) (intervallet täcker det verkliga värdet på m) = (alla obs. ligger till vänster om m) (alla obs. ligger till höger om m) (se ex.), ( () < m < () ) = (Y = ) (Y = ) pga sym i binomialfördelningen är (Y = ) = (Y = ) så ( () < m < () ) = (Y = ) = :4 = :999 dvs Kon densgraden är 99.9% för intervallskattningen m ( () ; () ) Kon densintervallet blir sedan m (:; 7:7); (99:9%) Vi skulle i uppgiften komma så när 9% som möjligt så det är bara att gå vidare med nästa förslag. Bestämmer kon densgrad för intervallet m ( () ; () ) (intervallet täcker det verkliga värdet på m) = (alla obs. utom högst ligger till vänster om m) (alla obs. utom högst ligger till höger om m), ( () < m < () ) = (Y ) (Y ); sym i binomialfördelningen ger att (Y ) = (Y ) så ( () < m < () ) = (Y ) = :7 = :9966 > :9 rovar nästa förslag: m ( () ; () ) (intervallet täcker det verkliga värdet på m) = (alla obs. utom högst ligger till vänster om m) (alla obs. utom högst ligger till höger om m), ( () < m < () ) = (Y ) (Y ) även här är (Y ) = (Y ) så ( () < m < () ) = (Y ) = :99 = :964 Eftersom detta intervall också har en kon densgrad > 9% går vi vidare med m ( (4) ; (9) ) (intervallet täcker det verkliga värdet på m) = (alla obs. utom högst ligger till vänster om m) (alla obs. utom högst ligger till höger om m), ( (4) < m < (9) ) = (Y ) (Y 9) även här är (Y ) = (Y 9) så ( (4) < m < (9) ) = (Y ) = :7 = :4 < :9 Det intervall som är närmast 9% är det föregående, dvs m ( () ; () ): Kon densintervallet blir m (:9; 7:) (96:4%) Har man tillgång till en binomialfördelningstabell, och det har vi, kan man läsa ut kon densgraden på en gång för alla alternativ. Början av tabellen för Bin(; :) ser ut så här xnp ,.7.46 Eftersom kon densgraden kan skrivas som kan alla sannolikheter tolkas som =: Och då gäller det att leta reda på en sannolikhet i tabellen så när som möjligt.%.. i = hållfastheten hos ett byggnadsmaterial. Här ska vi konstruera ett kon densintervall för m = medianhållfastheten baserat på n = obs. med en kon densgrad på c:a 9%: Vi behöver storleksordna vår observationer och dessutom leta i tabellen över Bin(; :) som börjar så här:

26 xnp Ur denna kan vi läsa att ett intervall från den näst minsta till den näst största kommer att täcka m med c:a 9% säkerhet. dvs m (; 9); (9%).6 Löser man på liknande sätt. Storleks ordna stickprovet och titta i tabellen över Bin(6; :): I den nner man ( ) = :64: Denna sannolikhet tolkar vi som = och vi får ett intervall som ser ut som m ( (4) ; () ) ( 9%); dvs m (:; 7:4); ( 9%) Kap. kon densintervall för i N(; ) formler Samtliga uppgifter i detta avsnitt löses med hjälp av följande (x a= pn ) se härledning s 99- i boken om känd.. Detta kon densintervall har kon densgrad : Om okänd använder man (x t(n ) a= s p n ) se s -, även detta intervall har kon densgrad :. Förutsättningar: i = avståndet mellan två punkter. i N(; :), där är det verkliga avståndet mellan punkterna. Stickprovsstorlek: n = 4: Miniräknaren ger oss x = : och från normalfördelningstabellen får vi : = :96: Intervallet blir: (: :96 : p 4 ) vilket blir (:; :6) (9%). Tolkning: med 9% säkerhet ligger det verkliga värdet på avståndet mellan de punkterna i intervallet ovan. Fotnot: a= pn (ibland a= pn ) kallas för den statistiska felmarginalen. I detta fall är felmarginalen :49:. Förutsättningar: i = syrekonc. i vatten dag i (enhet: mg=l): i N(; ) och n = : Från stickprovet fås x = : och normalfördelningstabellen fås : = :7 och (: :7 p ) vilket ger (:7; :47) (99%) Tolkning Med 99% säkerhet ligger den verkliga syrekoncentrationen mellan :7 och :47 mg=l: Att peka ut ett enskilt värde i detta intervall går inte, dvs det går inte att med rimlig säkerhet påstå att skulle vara exempelvis mg=l: Men å andra sidan ger inte denna undersökning belägg för att det inte skulle kunna vara, eftersom detta värde faller inom intervallet. Det vi är någorlunda säkra på är att det är mindre än % chans att syrekoncentrationen är mindre än.7 eller större än.47.. Givet: i = brottbelastningen, i N(; :) n = och x = 7: kp: a) Ett ensidigt, uppåt begränsat kon densintervall får följande utseende: ( ; x + a pn ) dvs man släpper på den nedre gränsen och lägger all massa i den övre svansen på fördelningen. från tabellen får vi att : = :9 och intervallet blir ( ; 7: + :9 p : ). Uträknat ( ; 7:7) (99:9%) Tolkning: med 99.9% säkerhet överstiger inte brottbelastningen 7:7 kp: b) Ett nedåt begränsat löser man på liknande sätt, skillnaden är att man lägger all massa i den nedre svansen istället. Intervallet blir (x a pn ; ) och med : = :9 får vi (6:9; ) (99:9%) Tolkningen blir att brottbelastningen inte understiger 6:9 kp med 99:9% säkerhet. c) Ett tvåsidigt intervall, med : = :9, ser ut som följer 6:6; 7:74) (99:9%). Givet i N(; :) och (9:69; 9:9) (9%) a) Hur många mätningar dvs hur stort är n? Intervallängden = 9:9 9:69 = :4 = a= pn, a= :96 : p n = : ) n = 4: dvs undersökningen baserades på n = 4 mätningar. pn = : eftersom kon densgraden är 9% är : = :96: b) För att få en intervallängd på högst. krävs :96 : p n : ) n 7:6 dvs minst observationer..4 i =brottgräns (igen) i N(; ) och n = Miniräknaren ger x = 6:74 och s = :: Från tabellen över t-fördelningen fås t () : = :6: (6:; 7:47) (99%): Det är inte speciellt troligt att = 7:6 då det med 99% säkerhet inte tillhör intervallet..6 Givet i = fryspunkten, i N(; ): x = : och n = : a) = :7; känd ska ett kon densintervall beräknas mha (x a= pn ) och för 9% kon densgrad är tabellvärdet 6

27 : = :64: q :7 Detta ger (: :64 ) (9%); (:6; :9) (9%) b) Om okänd beräknar man s = :7 och tittar i t-fördelningen över t (4) : = : och använder (xt(n ) a= q :7 (: : ) (9%); (:; :) (9%):. i = densiteten hos gasbetong. a) Om i N(; ) så är = m och vi kan beräkna ett vanligt t intervall för = m: Miniräknaren säger att x = : och s = :44: En titt i t tabellen fås t () : = :6 och = m (: :6 :44 p ); = m (:6; :44) (9%) b) Om i = N(; ) får vi göra ett teckenintervall för m: Mha binomialfördelningstabellen över Bin(; :) får vi m ( () ; () ); m (:; :) (97:7%): ps n ): 7