Datorövning 4. För att få tillgång till några mer avancerade ritkommandon skriv
|
|
- Kristin Lindgren
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Datorövning 4 Kontinuerliga system vt 2015 Inledning I denna datorövning ska vi precis som i de tidigare använda maple. Övningen är till stor del upplagd som en räkneövning, där syftet är att du skall se hur maple kan användas för att visualisera svängningsfenomen. Först dock ett avsnitt om greenfunktioner. Övningen är upplagd så att det finns tolv ordinarie uppgifter. Dessutom finns två trevliga längre avsnitt Extra A och Extra B som försöker ge en introduktion till två aktuella problem med olinjär vågutbredning, solitoner och chocker. Dessa är helt frivilliga. För att underlätta utförandet finns det på kurshemsidan ett maple worksheet som heter Datorovning_4.mw. Ladda ner denna och öppna inifrån maple. Den innehåller flertalet av de kommandon som finns i handledningen med syfte att minska risken för avskrivningsfel. Förberedelser Tag med lärobok och övningshäfte till övningen ty flera exempel är hämtade därur. Läs igenom handledningen samt de avsnitt i boken som det hänvisas till Start Starta maple! För att få de beteckningar som används i kursen för några standardistributioner skriv alias(delta=dirac,theta=heaviside); För att få tillgång till några mer avancerade ritkommandon skriv with(plots); och när man ändå håller på att ladda ner extra kommandon så kan man skriva with(linalg); också så glömmer man inte detta senare. 1 Fundamentallösningar och Greenfunktioner En fundamentallösning till laplaceoperatorn K i R n löser Δ K = δ 0. Dessa är kända (se boken sidan 158). Greenfunktionen till laplaceoperatorn i området Ω är för α Ω lösningen till { Δ u = δα i Ω, u = 0 på Ω. 1
2 Dessa kan för enkla områden konstrueras med hjälp av speglingar och kända fundamentallösningar Skriv in fundamentallösningarna till laplaceoperatorn i 2 respektive 3 dimensioner. K2 := (x,y) -> -log(xˆ2+yˆ2)/(4*pi); K3 := (x,y,z) -> 1/sqrt(xˆ2+yˆ2+zˆ2)/(4*Pi); Ange en fundamentallösning i 1 dimension. Skriv även in denna. Titta på en 3dplot av K 2. Undersök om maple kan beräkna ΔK 2 och ΔK 3. För att göra detta måste man skriva with(linalg);. Skriv sen laplacian(k3(x,y,z),[x,y,z]); och förenkla. Beräkna även grad K 3, (grad(k3(x,y,z),[x,y,z]);). Räknar maple ut ΔK 3 rätt? Jämför sats 5.1. För vilka (x, y, z) har maple beräknat ΔK 3? Är grad K 3 är ett känt fält, i så fall vilket? Gör motsvarande med K 3 utbytt mot K 2. Beräkna även Δ K Konjugerade punkter. Enligt boken sidan 167 är funktionen G 2 (x; α) = 1 ( ) ln x α ln x α ln α ) 2π = K 2 (x α) (K 2 (x α) 1 2π ln( α )) Greenfunktion till laplaceoperatorn på enhetscirkeln, där α är konjugerad punkt till α. Vi skall nu undersöka funktionen G 2. Välj α = (a, 0) där 0 < a < 1 och bestäm motsvarande α. Vad blir koordinaterna för α? Skriv G2 := (x,y,a) -> K2(x-a,y)-K2(x-1/a,y)+log(a)/(2*Pi); Gör en 3dplot av G för några olika värden på a, med till exempel plot3d(g2(x,y,0.3),x=-3..7,y=-5..5,numpoints=2000,axes=normal); Genom att välja Style Patch and contour kan man se nivåkurvor på ytan. Med hjälp av kommandot implicitplot kan man undersöka var G 2 = 0. (För att få tillgång till detta kommando måste man skriva with(plots);) Skriv sen implicitplot(g2(x,y,0.3)=0, x=-1..1, y=-1..1); och välj Scaling Constrained. Vilken egenskap hos Greenfunktioner illustreras i den figur du just ritat? Pröva med några andra värden på a. 2
3 4.3. I tre dimensioner kan vi inte plotta funktionsgrafer. Däremot kan vi rita nivåytor med kommandot implicitplot3d. Sätt G 3 (x; α) = 1 1 4π x α π α x α = K 3(x α) 1 α K 3(x α). Enligt boken, sidan 169, är G 3 Greenfunktion till Dirichlets problem på enhetsklotet. Välj α = (a, 0, 0) för något värde på a, 0 < a < 1, och bestäm α. Skriv in G 3 och titta på nivåytan G 3 = 0, skriv G3 := (x,y,z,a) -> K3(x-a,y,z)-K3(x-1/a,y,z)/a; implicitplot3d(g3(x,y,z,0.2)=0, x=-1..1, y=-1..1, z=-1..1); Välj Projection Constrained. Vilken egenskap hos Greenfunktioner illustreras i den figur du just ritat? Gör samma sak för något annat värde på a. 2 Vågutbredning, reflektion d Alemberts formel För vågekvationen i R modellerande en endimensionell oändlig sträng u tt c 2 u xx = 0, x R, t > 0, u(x, 0) = g(x), x R, u t(x, 0) = h(x), x R, kan lösningen direkt skrivas med d Alemberts formel u(x, t) = 1 2 (g(x ct) + g(x + ct)) + 1 2c x+ct x ct Vi ska nu använda maple till att åskådliggöra dessa lösningar. h(y) dy Gör en animering av lösningen i exempel 7.1, sidan 206 i boken. Skriv in och plotta begynnelsefunktionen g(x): g := x -> (1-x)*(theta(x)-theta(x-1))+(1+x)*(theta(x+1)-theta(x)); Varning: Heavisidefunktionen i maple är ej definierad i origo. Det kan därför hända att man får felmeddelandet: Plotting error, non-numeric vertex definition då man försöker plotta eller animera g. Detta kan undvikas genom att man ändrar intervallets gränser eller (i animationerna) antalet indelningspunkter (numpoints eller frames). En rörlig bild av lösningen fås sedan med animate((g(x+t)+g(x-t))/2,x= ,t=0..10,numpoints=200,frames=100); Animationen startar då man klickar på grafen och sedan på den långsträckta pilen i menyn. Man kan variera rörelsehastigheten genom att klicka på dubbelpilarna. 3
4 4.5. Animera på liknande sätt lösningen till exempel 7.2 (sidan 207). Starta med att skriva in begynnelsehastigheten h(x). Välj till exempel h(x) = θ(x 1) θ(x 2). Skriv animate(int(h(y),y=x-t..x+t),x= ,t=0..10,numpoints=200, frames=100,thickness=2); Stega först fram animeringen genom att klicka på knappen upprepade gånger. Iakttag speciellt vad som händer i början av animeringen. Pröva också h(x) = δ(x 1). Ser man någon skillnad mellan fallen h(x) = θ(x 1) θ(x 2) och h(x) = δ(x 1)? Reflektion, upprepade speglingar 4.6. Vi skall nu titta på vågutbredning i en sträng med ändlig längd, speciellt reflektioner i ändpunkterna, jämför sidan 212 i läroboken med L = 10. Antag att stängens begynnelseutböjning ges av funktionen g 1 (x) i figuren nedan och att begynnelsehastigheten är noll Observera att funktionen g 1 (x) = g(x 4), där g redan är definierad. Skriv g1 := x -> g(x-4); Om strängen har fasta ändar gör vi en udda spegling av g 1 enligt figuren på sidan 213, gu := x -> g1(x)-g1(-x); Kontrollera med en plot över intervallet ( 10, 10) att funktionen är rätt speglad. Om f (x) är en funktion som är definerad på intervallet [a, a + T ] så kan f utvidgas till en T periodisk funktion fp med fp(x) = f (x T (x a)/t ) där x betecknar heltalsdelen av x (golvfunktionen) som är det största heltal x. Exempelvis är 2 = 2, π = 3 och π = 4. Uttrycket x T (x a)/t subtraherar lämpligt antal perioder från x så man återförs till intervallet där f är definierad. Golvfunktionen skrivs floor(x) i maple. Alltså blir gp := x -> gu(x - 20*floor((x+10)/20)); en 20-periodisk utvidgning av gu. Kontrollera genom att rita en figur över intervallet ( 100, 100) att det ser rätt ut. Sedan kan vi se rörelsen i strängen med animate((gp(x+t)+gp(x-t))/2,x=0..10,t=0..40,numpoints=200,frames=100); 4
5 4.7. Har strängen fria ändar skall man i stället spegla jämnt. Gör det och titta på rörelsen. Ändarna är fästa vid ringar som löper fritt längs en glatt stav, jämför övning Tänk efter hur man skall spegla om den ena änden (x = 0) är fri och den andra är fast. Pröva sedan med en animering Titta på strängen från exempel 3.2, sidan 77, med begynnelseutböjningen Skriv in begynnelsefunktionen, spegla och animera på samma sätt som i uppgift Visa att begynnelsefunktionerna g k (x) = sin kx, k = 1, 2,... ger stående vågor på en sträng med längden π om man animerar (g k (x t) + g k (x + t))/2. (Jämför boken sidan 213.) Även uppgifter där hastigheten är given kan animeras som strängen i exempel 7.5 sidan 214. Här kan den primitiva funktionen beräknas direkt, skriv H := x -> theta(x-0.5) - theta(x-1.5); med periodisk fortsättning Hp := x -> H(x - 4*floor((x+2)/4)); Rita denna och beräkna derivatan. Jämför med figuren i boken. Lösningen ges av u := (x,t) -> (Hp(x+t)-Hp(x-t))/2; som kan animeras med animate(u(x,t),x=-1..1,t=0..10,numpoints=200,frames=100); Studera lösningen till ballongexemplet, exempel 7.7, sidan 221. Skriv in funktionen g i figuren i boken, gm := r -> r*(theta(r+1)-theta(r-1)); Animera lösningsfunktionen för trycket u(r, t), som ges av formeln u(r, t) = 1 2r (g (r ct) + g (r + ct)), r > 0, t > 0. Observera tryckvariationen i centrum, se anmärkningen sidan
6 Extra A. Solitoner En speciell typ av vågor observerades och 1834 av en skotsk ingenjör, John Scott Russell: I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair of horses, when the boat suddenly stopped not so the mass of water in the channel which it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind, rolled forward with great velocity, assuming the form of a large solitary elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of water, which continued its course along the channel apparently without change of form or diminution of speed. I followed it on horseback, and overtook it still rolling on at a rate of some eight or nine miles an hour, preserving its original figure some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height. Its height gradually diminished, and after a chase of one or two miles I lost it in the windings of the channel. Russell lyckades i experiment återskapa sådana vågrörelser och fann bla att utbredningshastigheten tycks vara proportionell mot höjden. Detta är en olinjär effekt, som inte kan uppträda för lösningar till en linjär vågekvation. Russels observation av sk solitoner kan förklaras på följande sätt. Vågutbredning på grunt vatten beskrivs av Korteweg-de Vries ekvation u t + 6u u x + u xxx = 0. Här kan man faktiskt explicit ange vissa lösningar av formen u(x, t) = f (x ct). Insättning ger c f (s) + 6 f (s) f (s) + f (s) = 0. Integration, med randvillkoret noll i oändligheten, ger c f + 3 f 2 + f = 0. Multiplikation med 2f och ytterligare en integration ger Denna differentialekvation är separabel c f f 3 + (f ) 2 = 0. df f c 2f = ds. Be maple bestämma en primitiv funktion till vänster led, genom int(1/sqrt(c-2*f)/f,f); 6
7 Detta leder till 2 ( arctanh 1 2f ) = s + d, c c där d är en konstant. För d = 0 löser vi ut f som funktion av s genom att skriva Detta ger solve(s=-2*arctanh(sqrt((c-2*f)/c))/sqrt(c),f); f (s) = c 2 Med detta f har vi visat att ( 1 tanh 2( s c 2 ) ) = c 2 u(x, t) = f (x ct) 1 cosh 2( s c 2 löser Korteveg-de Vries ekvation. En sådan lösning kallas soliton. Olinjär vågutbredning är idag ett stort forskningsområde, såväl inom matematiken som inom tillämpade vetenskaper. Solitoner förekommer även vid andra medier än vatten, till exempel optiska fibrer, och man försöker använda dem för signalöverföring. Det finns också hypoteser om att nervimpulser kan beskrivas av solitoner. Bilda f := (s,c) -> c/(2*cosh(s*sqrt(c)/2)ˆ2); och sätt c1 := 0.05; c2 := 0.1;. Plotta en soliton genom plot(f(s,c1), s= );. Sätt sedan u := (x,t) -> f(x-c*t,c); Uppgift: Kontrollera med hjälp av maple att u(x, t) satisfierar Korteveg-de Vries differentialekvation. Använd simplify om det inte trillar ut direkt. Som vi ser av lösningsformeln är solitonens utbredningshastighet proportionell mot amplituden. Av figuren ser vi att solitoner har begränsad utsträckning i rummet. Ett märkligt fenomen är att trots att differentialekvationen är olinjär så gäller för dess lösningar, solitonvågorna, en slags superpositionseffekt, där en våg kan komma ikapp en annan våg, kollidera, och sedan komma ut ur kollisionen med oförändrad form. Detta illustreras av följande animering: animate(f(x+50-c1*t,c1)+f(x+100-c2*t,c2),x= ,t= , numpoints=200,frames=100); Anmärkning: Här har vi fuskat. Summan av de två vågorna satisfierar inte differentialekvationen, trots att varje term gör det. Animeringen illustrerar alltså inte lösningar till Korteveg-de Vries differentialekvation. Påståendet ovan, om vågorna som efter att ha kolliderat fortsätter med oförändrad form, är ett mera avancerat matematiskt resultat. Man kan i alla fall göra detta troligt genom att sätta in F := (x,t) -> f(x+50-c1*t,c1)+f(x+100-c2*t,c2); i vänsterledet i differentialekvationen och se hur nära den är uppfylld. Skriv d := (x,t )-> diff(f(x,t),t)+6*f(x,t)*diff(f(x,t),x)+diff(f(x,t),x,x,x); animate(d(x,t),x= ,t= ,numpoints=200); och jämför storleksordningen av d med termernas. ). 7
8 Extra B. Chockvågor Från kapitel 1 kommer vi ihåg kontinuitetsekvationen i en rumsdimension u t + j x = 0 där u = u(x, t) är densitet och j = j(x, t) är strömtäthet, eller flux. För vanlig värmeledning och diffusion har man Fouriers resp Ficks lag j = ν u x, där ν är en materialkonstant. Antag nu att det förutom denna linjära diffusionseffekt uppträder en olinjär effekt, så att j = ν u x + u2 2. Strömtätheten påverkas alltså inte bara av densitetsgradienter utan även av densiteten. Detta leder till den så kallade Burgers ekvation u t + u u x = ν u xx. Burgers ekvation spelar en mycket viktig roll i studiet av olinjära partiella differentialekvationer. Den olinjära termen gör att helt nya fenomen uppträder, t ex chocker, som vi nu skall titta lite närmare på. Burgers ekvation fungerar som en slags modellekvation vid studiet av vågutbredning som uppfyller konservationslagar, tack vare att man har ett analytiskt uttryck för lösningen, vilket är extremt ovanligt. Vi skall nu ta fram detta uttryck. Inför U (x, t) som en primitiv funktion till u(x, t) i x-led, u = U x. Burgers ekvation övergår i U t (U x) 2 = ν U xx. Om man i denna ekvation gör variabelbytet U = 2ν log w, så får man, helt oväntat, en linjär diffusionsekvationen i w, w t = ν w xx. För denna känner vi lösningen. Med Greenfunktionen G(x, t) = 1 4πνt e x2 /4νt gäller, som vi vet, w(x, t) = G(x s, t)w 0 (s) ds, där w 0 (x) = w(x, 0) är begynnelsevärdet för w. Återgår man sedan till U och därefter till u så finner man (den fantastiska) lösningsformeln u(x, t) = 2ν [ x log 1 ] e U0(y)/2ν e (x y)2 /4νt dy, 4πνt där U 0 (x) = x u(s, 0) ds. 8
9 Anmärkning: Här skulle man gärna vilja kontrollera att detta verkligen är lösning till Burgers ekvation. Tyvärr klarar maple inte detta, och man ger sig knappast på att visa det för hand. Välj nu begynnelsevärdet { sin(x) för π < x < π u 0 (x) = 0 för övrigt. { Då gäller 1 cos(x) för π < x < π U 0 (x) = 0 för övrigt. Vi vill studera fallet med svag diffusion, dvs litet ν. Välj nu := 0.01;. Börja med att titta på fallet då den olinjära termen u u x i Burgers ekvation saknas, så att man får lösningen med hjälp av Greenfunktionen. Om man beräknar denna för t = 8, G := (x,t) -> exp( -xˆ2/(4*nu*t)) / sqrt(4*pi*nu*t); plot( int( G(x-s,8)*sin(s), s=-pi..pi), x=-8..8); så finner man den vänstra figuren nedan. Vi ser att diffusionprocessen är igång, trots den lilla värdet på ν, och att störningen u spridit sig i x-led i förhållande till begynnelsetillståndet, samtidigt som den minskat i storlek. Övergå sedan till Burgers ekvation, med den olinjära termen. I uttrycket för U nedan har vi gjort en omskrivning av lösningsformeln, som utnyttjar att U 0 = 0 utanför intervallet [ π, π]. Skriv U0 := y -> -1-cos(y); U :=( x,t) -> -2*nu*ln( (sqrt( Pi*nu*t)*erfc( (Pi+x)/sqrt( 4*nu*t))+ sqrt( Pi*nu*t)*erfc( (Pi-x)/sqrt( 4*nu*t))+ int( exp(-(x-y)ˆ2/(4*nu*t))*exp(-u0(y)/(2*nu)), y=-pi..pi))/sqrt( 4*Pi*nu*t)); plot( diff( U(x,8), x), x=-8..8); Vi får efter en stunds räknande (det kan ta flera minuter för sista ritkomandot) den högra figuren nedan. Trots att vi har ett kontinuerligt begynnelsevillkor så tenderar lösningen att få språng, så kallade chocker. Denna effekt blir mer och mer uttalad vid större t, och vid mindre ν. Lösningen har karaktären av en chockvåg x x Uppgift: Studera chockvågens form och utbredning, genom att variera t och ν. 9
Solitära vågor och matematiska mirakel. Hans Lundmark
Solitära vågor och matematiska mirakel Hans Lundmark En våg kommer sällan ensam...? 2 (Alla foton: Wikimedia Commons.) Många vågor är periodiska svängningar. Sinusvåg (harmonisk svängning): y y = sin x
Läs merDatorövning 2. För att få tillgång till några mer avancerade ritkommandon kör
Kontinuerliga system vt 2019 Datorövning 2 Inledning Detta är en textversion av det ett maple worksheet som heter Datorovning_2.mw och som kan laddas ner från hemsidan. Den ska öppnas inifrån maple. Då
Läs merExtra datorövning med Maple, vt2 2014
Extra datorövning med Maple, vt2 2014 FMA430 Flerdimensionell analys Denna datorövning är avsett för självstudie där vi skall lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella
Läs mer3.3. Symboliska matematikprogram
3.3. Symboliska matematikprogram Vi skall nu övergå till att behandla de vanligaste matematikprogrammen, och börja med de symboliska. Av dessa kan både Mathematica och Maple användas på flere UNIX-datorer.
Läs merInlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs merDatorövning 2 med Maple
Datorövning 2 med Maple Flerdimensionell analys, ht 2008, Lp1 15 september 2008 Under denna datorövning skall vi lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella derivator,
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs mer1 Cirkulation och vorticitet
Föreläsning 7. 1 Cirkulation och vorticitet Ett mycket viktigt teorem i klassisk strömningsmekanik är Kelvins cirkulationsteorem, som man kan härleda från Eulers ekvationer. Teoremet gäller för en inviskös
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merFÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har
Läs merFacit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Läs merStudiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03
Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse
Läs merSammanfattning Föreliggande uppsats handlar om Korteweg-de Vries-ekvationen (KdV-ekvationen) och dess solitonlösning, som är en våg på grunt vatten. E
Sammanfattning Föreliggande uppsats handlar om Korteweg-de Vries-ekvationen (KdV-ekvationen) och dess solitonlösning, som är en våg på grunt vatten. En lösning till KdV-ekvationen är solitonvågen som med
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merEn trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1
10 En trafikmodell Leif Arkeryd Göteborgs Universitet Tänk dig en körfil på en landsväg eller motorväg, modellerad som x axeln i positiv riktning (fig.1), och med krysset x j som mittpunkten för bil nummer
Läs merKontinuerliga system, Datorövning 4
Vårterminen 2002 Kontinuerliga system, Datorövning 4 1 Inledning I denna laboration skall vi använda Maple. Detta gjordes redan i laboration 2, där vi huvudsakligen använde Maples grundläggande färdigheter.
Läs merMatematik E (MA1205)
Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande
Läs merNpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E.
NpMaD ht 000 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av december 010. Anvisningar
Läs mer2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merLaborationer i kursmomentet Datoranvändning E1. Laboration nr 3: Matematikverktyget Maple
Sid 1 Laborationer i kursmomentet Datoranvändning E1 http://www.etek.chalmers.se/~hallgren/eda/ : Matematikverktyget Maple 1 Introduktion 1992-1997 Magnus Bondesson 1998 och 99-09-16 Thomas Hallgren Syftet
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merStatistikens grunder 1 och 2, GN, 15 hp, deltid, kvällskurs
Statistikens grunder 1 och 2, GN, 15 hp, deltid, kvällskurs TE/RC Datorövning 4 Syfte: 1. Lära sig beräkna konfidensintervall och täckningsgrad 2. Lära sig rita en exponentialfördelning 3. Lära sig illustrera
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs merMAPLE MIKAEL STENLUND
MAPLE MIKAEL STENLUND. Introduktion I dina inlämningsuppgifter skall ett program som heter Maple användas för att lösa ett antal matematiska problem. Maple är ett symbolhanterande program som har ett antal
Läs mer6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar
6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste
Läs merVar försiktig med elektricitet, laserstrålar, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna.
Laborationsregler Förberedelser Läs (i god tid före laborationstillfället) igenom laborationsinstruktionen och de teoriavsnitt som laborationen behandlar. Till varje laboration finns ett antal förberedelseuppgifter.
Läs mervarandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.
PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät
Läs merTentamen del 2 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering
KTH Matematik Tentamen del 2 SF1511, 2018-03-16, kl 8.00-11.00, Numeriska metoder och grundläggande programmering Del 2, Max 50p + bonuspoäng (max 4p). Rättas ast om del 1 är godkänd. Betygsgränser inkl
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merDatorövning 2 med Maple, vt
Flerdimensionell analys, vt 1 2009 Datorövning 2 med Maple, vt 1 2009 Under denna datorövning skall vi lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella derivator, transformera
Läs merLABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel
Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer
Läs merMATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.
MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Villkor och Repetition 1 Logiska uttryck Uppgift 1.1 Låt a=3 och b=6 Vad blir resultatet av testerna ab? Uppgift 1.2 Låt a, b,
Läs merLektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln
Lektion 3 Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln Innehål 1. Partiella derivator (12.3) 2. Differentierbarhet och tangentplan till
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merNATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT
Läs mer4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Läs merGeometri och Trigonometri
Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner
Läs merFysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik!
Fysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik! Mats Linder 10 maj 2009 Ingen sammanfattning. Sammanfattning För den hugade har vi knåpat ihop en liten snabbguide till den fysik och kvantmekanik
Läs merPartiklars rörelser i elektromagnetiska fält
Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Handledning till datorövning AST213 Solär-terrest fysik Handledare: Magnus Wik (2862125) magnus@lund.irf.se Institutet för rymdfysik, Lund Oktober 2003 1 Inledning
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar
Läs merDen matematiska analysens grunder
KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande
Läs merSignalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör
Läs merMatematiska Institutionen, K T H. B. Krakus. Differential- och integralkalkyl, del 2. Maplelaboration 1.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Differential- och integralkalkyl, del. Maplelaboration 1. Exempel 1. Vart tog den lilla sträckan vägen? Maple är utrustad med ett avanserat ritprogram. Programet
Läs merDatorövning 2. - Tag med lärobok och övningshäfte till övningen. - Fyll före övningenen i svaren på frågorna på sidan 5 i denna handledning.
Kontinuerliga system vt 2015 Datorövning 2 Inledning Syftet med denna datorövning är att du med hjälp av Maple skall få ökad förståelse av vissa begrepp presenterade i kapitel H. Exempelvis behandlas skalärprodukt,
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merNATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars 1997. NATIONELLT PROV
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013
SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre
Läs merBetygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är
Läs merSF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merDagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg)
Dagens tema Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg) Fasplan(-rum), trajektorier, fasporträtt ZC sid 340-1, ZC10.2 Definitioner: Lösningarna
Läs merMathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x
Mathematica Första kapitlet kommer att handla om Mathematica det matematiska verktyg, som vi ska lära oss hantera under denna kurs. Indata När du arbetar med Mathematica ger du indata i form av kommandon
Läs merFria matteboken: Matematik 2b och 2c
Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
Läs merMatematiska Institutionen, K T H. B. Krakus. Matematik 1. Maplelaboration 2.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. . Kommandon, funktioner och konstanter i denna laboration: expand(uttryck) simplify(uttryck) utvecklar uttrycket. T.ex. expand((x+)*(x-)^);
Läs mer9.1 Mer om differentialekvationer
9.1 Mer om differentialekvationer 9.1.1 Olika typer Ordinär differentialekvationer.ode innehåller derivator med avseende på endast en variabel. Partiella differentialekvationer.pde innehåller (partiella)
Läs merMekaniska vågor. Emma Björk
Mekaniska vågor Emma Björk Olika typer av vågfenomen finns överallt! Mekaniska vågor Ljudvågor Havsvågor Seismiska vågor Vågor på sträng Elektromagnetiska vågor Ljus Radiovågor Mikrovågor IR UV Röntgenstrålning
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs mera k . Serien, som formellt är följden av delsummor
Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara
Läs merModeller för dynamiska förlopp
Föreläsning 3 Modeller för dynamiska förlopp 3.1 Aktuella avsnitt i läroboken (.1) Population Models. (.) Equilibrium Solutions and Stability. (.3) Acceleration-Velocity Models. 19 FÖRELÄSNING 3. MODELLER
Läs merDynamiska system. Hans Lundmark. Matematiska institutionen Linköpings universitet
Dynamiska system Hans Lundmark Matematiska institutionen Linköpings universitet 2/24 Dynamiskt system = ett system vars tillstånd ändras med tiden, och som har följande egenskaper: Deterministiskt Följer
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs mera), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.
PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än
Läs merAnders Logg. Människor och matematik läsebok för nyfikna 95
Anders Logg Slutsatsen är att vi visserligen inte kan beräkna lösningen till en differentialekvation exakt, men att detta inte spelar någon roll eftersom vi kan beräkna lösningen med precis den noggrannhet
Läs merAnvändarmanual till Maple
Användarmanual till Maple Oktober, 006. Ulf Nyman, Hållfasthetslära, LTH. Introduktion Maple är ett mycket användbart program för symboliska och i viss mån numeriska beräkningar. I Maple finns ett stort
Läs merMODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM OCH INLUPP 2
UPPSALA UNIVERSITET AVDELNINGEN FÖR SYSTEMTEKNIK EKL och PSA, 2002, rev BC 2009, 2013 MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM DATORSTÖDD RÄKNEÖVNING OCH INLUPP 2 1. Överföringsfunktioner 2. Tillståndsmetodik Förberedelseuppgifter:
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merMatematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler
Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning
Läs merLösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl
KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.
Läs merInociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson
Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys E. Oscar A. Nilsson January 31, 018 Dan Brown "The path of light is laid, a secret test..." Tillägnas Mina vänner i Förord Detta är en inociell lösningsmanual
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
Läs merMatematik 1. Maplelaboration 1.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. Före laborationen: Bekanta Dig med innehållet på sid 3. Ögna igenom de genomräknade exemplen 8 på sid 4 7. Använd PoP (papper och
Läs mer10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer
10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer Här ska vi studera linjära första ordningens differentialekvationer som kan skrivas y (x) + g(x)y(x) = h(x) Om g(x) har en primitiv funktion G(x) så
Läs merLektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram
Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram 2.1 Grundläggande matematik 2.1.1 Potensfunktioner xmxn xm n x x x x 3 4 34 7 x x m n x mn x x 4 3 x4 3 x1 x x n 1 x n x 3 1 x 3 x0 1 1
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merReglerteknik M3, 5p. Tentamen 2008-08-27
Reglerteknik M3, 5p Tentamen 2008-08-27 Tid: 08:30 12:30 Lokal: M-huset Kurskod: ERE031/ERE032/ERE033 Lärare: Knut Åkesson, tel 0701-749525 Läraren besöker tentamenssalen vid två tillfällen för att svara
Läs merTisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar
1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Lördagen den 1 september 2012 klockan 08.30-12.30 i M. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med valfritt
Läs merMMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB
MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med kombinationer
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merTvå gränsfall en fallstudie
19 november 2014 FYTA11 Datoruppgift 6 Två gränsfall en fallstudie Handledare: Christian Bierlich Email: christian.bierlich@thep.lu.se Redovisning av övningsuppgifter före angiven deadline. 1 Introduktion
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs merFOURIERANALYS En kort introduktion
FOURIERAALYS En kort introduktion Kurt Hansson 2009 Innehåll 1 Signalanalys 2 2 Periodiska signaler 2 3 En komplex) skalärprodukt 4 4 Fourierkoefficienter 4 5 Sampling 5 5.1 Shannon s teorem.................................
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merIntroduktion till Matlab
CTH/GU 2015/2016 Matematiska vetenskaper Introduktion till Matlab 1 Inledning Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på många tekniska högskolor och universitet runt
Läs mer