Solitära vågor och matematiska mirakel. Hans Lundmark

Transkript

1 Solitära vågor och matematiska mirakel Hans Lundmark

2 En våg kommer sällan ensam...? 2 (Alla foton: Wikimedia Commons.)

3 Många vågor är periodiska svängningar. Sinusvåg (harmonisk svängning): y y = sin x x Grundton & övertoner: y y = sin x sin 2x sin 15x x 3

4 Men vissa vågor kommer ensamma. T.ex. en tidvattenvåg: 4

5 Eller en chockvåg från en explosion: 5

6 Eller när publiken gör vågen på en arena: 6

7 John Scott Russell ( ) Ingenjör och skeppsbyggare från Skottland. Gjorde berömd observation 1834 vid Union Canal nära Edinburgh. 7

8 I believe I shall best describe this phænomenon by describing the circumstances of my own first acquaintance with it. I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair of horses, when the boat suddenly stopped not so the mass of water in the channel which it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind, rolled forward with great velocity, assuming the form of a large solitary elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of water, which continued its course along the channel apparently without change of form or diminution of speed. I followed it on horseback, and overtook it still rolling on at a rate of some eight or nine miles an hour, preserving its original figure some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height. Its height gradually diminished, and after a chase of one or two miles I lost it in the windings of the channel. Such, in the month of August 1834, was my first chance interview with that singular and beautiful phænomenon which I have called the Wave of Translation [... ]. J. Scott Russell, Report on waves (1845) 8

9 Russells experiment i vattentank: Solitära vattenvågor är mycket stabila. Högre vågor färdas fortare. Om man försöker skapa en alltför hög våg så splittras den i flera solitära vågor av olika höjd. Kunde ej förklaras med dåtidens vattenvågsteori. 9

10 Matematisk bakgrund Derivata = ögonblicklig förändringstakt Hastighet = derivata av position (med avseende på tid) Acceleration = derivata av hastighet = andraderivata av position Differentialekvation = samband mellan en sökt funktion och dess derivator. 10

11 Naturlagar (eller matematiska modeller i allmänhet) är ofta formulerade som differentialekvationer. T.ex. Isaac Newton ( ): kraft = massa acceleration. Man sökte exakta lösningsformler. Tvåkropparsproblemet löstes av Newton själv. 11

12 Trekropparsproblemet gäckade alla försök. Henri Poincaré ( ) insåg att det inte går. Lösningarna är för komplicerade för att beskrivas av formler vi kan skriva upp. Sökande efter exakta lösningar dött ämne. Istället: studera diff-ekvationer kvalitativt. (Lösningars existens och entydighet. Dynamiska system. Kaosteori. Etc.) 12

13 Åter till Russells solitära våg. Teoretisk förklaring: Korteweg & de Vries (Och delvis av andra lite tidigare.) Diverse förenklande antaganden: grunt vatten (i förhållande till våglängden) vågutbredning bara i en riktning (t.ex. längs en kanal) försumma ytspänning, viskositet, vind, etc. med mera... 13

14 Leder till KdV-ekvationen: u t + u u x + 3 u x 3 = 0 Alternativt skrivsätt: u t + uu x + u xxx = 0 Funktionen u(x, t) sökes (vågens form). Ickelinjär PDE (partiell differentialekvation). Verkar hopplöst att fullständigt lösa exakt. 14

15 Men man kan rätt lätt hitta en lösning åtminstone, en fortskridande solitär våg: u(x, t) = 3c / cosh 2 ( 1 2 (x ct) c) u Höjd 3c Hastighet c x 15

16 Sensationella upptäckter på 1960-talet! Oväntade resultat vid numerisk simulering av KdV-ekvationen på dator. Solitoner. (Zabusky & Kruskal 1965) Inversa spridningstransformen, metod som ger exakta lösningsformler för n-solitonlösningar. (Mirakel, nästan för bra för att vara sant!) (Gardner, Greene, Kruskal, Miura 1967) Integrabla system, nytt forskningsområde. (Eller möjligen nygammalt.) 16

17 Exempel på tvåsolitonlösning till KdV-ekvationen: u(x, t) = 72[3 + 4 cosh(2x 8t) + cosh(4x 64t)] [3 cosh(x 28t) + cosh(3x 36t)] 2 t x 17

18 Forskning om integrabla system på MAI Integrabla ekvationer av Newtontyp: Partikel i R n med position som rör sig i ett kraftfält d 2 q dt 2 = F(q). q(t) =(q 1 (t),..., q n (t)) F(t) =(F 1 (q),..., F n (q)). Lösning via separation av variabler. 18

19 Exakta formler för spetsiga solitoner. (Eng. peakons, peaked solitons.) Först studerade i Camassa Holm-ekvationen, en annan modell för vågor i grunt vatten: u t + m x u + 2mu x = 0, m = u u xx. (Camassa & Holm 1993) Förekommer även i vissa andra matematiskt besläktade ekvationer. (Själva ekvationerna ser värre ut än KdV, men å andra sidan har lösningarna enklare struktur.) 19

20 Exempel på trepeakonlösning till CH-ekvationen: t x u x Exakta lösningsformler för n-peakonlösningar fås via inverst spektralproblem för diskret sträng. (Kedjebråk, ortogonala polynom, etc.) (Beals, Sattinger & Szmigielski 1999) 20

21 Sugen på att leka med solitoner hemma? Testa bollar-i-lådor-systemet : t=0..oooooo...oooo...ooo... t=1...oooooo...oooo...ooo... t=2...ooooo...ooooo...ooo... t=3...oooo...oooo...ooooo... t=4...oooo...ooo...oooooo... t=5...oooo...ooo...oooooo... t=6...oooo...ooo...oooooo... t=7...ooo...oooo...oooooo.. (Ett ultradiskret integrabelt system.) (Takahashi & Satsuma 1990) 21

22 Finns i olika varianter, t.ex. med ändligt många lådor i en ring, så att vågorna går runt. Studeras med hjälp av bl.a. tropisk geometri. (Byt gånger & plus mot plus & minimum.) T.ex. y = x x + 2 blir y = min(x + x, 2). y y y = x y = min(2x, 2) x x Andragradare i vanlig geometri och i tropisk geometri 22