Laborationer i geometri. S. Aasa, P. Jönsson och T. Lingefjärd NMS, Malmö högskola

Transkript

1 Laborationer i geometri S. Aasa, P. Jönsson och T. Lingefjärd NMS, Malmö högskola Malmö 2009

2 1 Inledning Geometri (jordmätning) har under mycket lång tid varit en viktig del av den mänskliga kulturen. Ursprungligen har geometrin utvecklats i de gamla Egyptiska och Babyloniska kulturerna ur ett behov av att mäta upp och muta in åkermark efter de livgivande flodernas årliga översvämningar. Geometrin spreds så småningom till andra kulturkretsar och upplevde en blomstring i Grekland århundradena före och efter Kristus (600 f.kr. 600 e.kr.). Under denna period utvecklades geometrin från en praktisk vetenskap till en abstrakt och logisk vetenskap, där satser och resultat härleds från ett antal definitioner och grundläggande satser (axiom eller postulat). Denna uppbyggnad av en vetenskaplig teori blev stilbildande och fick en enorm betydelse för den fortsatta utvecklingen av matematiken. Det mest kända verket från den grekiska tiden är Euklides (ca f.kr.) tretton böcker Geometrins Elementa. Böckerna var vägledande för matematikundervisningen i Europa under mer än 2000 år och långt in på 1900-talet skulle studenterna i gymnasiet i detalj kunna redogöra för olika geometriska bevis och konstruktioner i Elementa. I början av 1600-talet utvecklades geometrin mycket kraftigt genom att man införde koordinater och koordinatsystem. I den så kallade analytiska geometrin beskrivs punkter i planet genom talpar och linjer och cirklar bestäms av ekvationer. Geometriska resonemang ersätts av algebraiska räkningar. Förgrundsgestalt i denna utveckling var Descartes, som 1649 kallades till Stockholm för att bli drottning Kristinas lärare och rådgivare. Under och 1800-talet utvecklades den så kallade icke-euklidiska geometrin som senare skulle utgöra grunden i Einsteins allmänna relativitetsteori. Figur 1: Två geometriska giganter: Euklides ca f.kr. och Descartes De senaste årens teknologiska framsteg inom satellitbaserade positioneringssystem (GPS) har lett till ett kommersiellt uppsving för geometrin och det finns en mängd tjänster för positionering och areamätning som omsätter stora pengar. Även utvecklingen inom bildbehandling, där man t.ex. genom en serie fotografier av ett föremål från olika vinklar kan generera en tredimensionell modell, har lett till ett ökat intresse för geometri. Slutligen, och det är kanske mest intressant ur ett elevperspektiv, är kunskap om geometri och speciellt då projektiv geometri nödvändig för att kunna skapa verklighetstrogna datorspel där man får känslan av att röra sig i rummet. 2

3 2 Skolans styrdokument Geometri har en framträdande roll i grundskolans matematik och skolverket har formulerat följande uppnåendemål för slutet av det nionde skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund för fortsatt utbildning. Inom denna ram skall eleven - ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform, - ha goda färdigheter i och kunna använda överslagsräkning och räkning med naturliga tal och tal i decimalform samt procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med tekniska hjälpmedel, - kunna använda metoder, måttsystem och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma längder, areor, volymer, vinklar, massor, tidpunkter och tidsskillnader, - kunna avbilda och beskriva viktiga egenskaper hos vanliga geometriska objekt samt kunna tolka och använda ritningar och kartor, Det är intressant att notera hur både mätinstrument, ritningar och kartor lyfts fram i samband med geometrin. 3 Likformighet Två figurer säges vara likformiga om den ena kan fås från den andra genom att ändra skala. För enkelhetens skull betraktar vi fortsättningsvis endast trianglar, se figur 2. c b c b a a Figur 2: Två likformiga trianglar. Om två trianglar är likformiga så gäller att sidorna står i samma förhållande till varandra, dvs. a a = b b = c c. Likformighet kan användas i en mängd olika situationer för att lösa praktiska problem. Vi illustrera detta med tre olika exempel. 3

4 Bestämning av höjd med hjälp av syftning För att mäta höjden av t.ex. en byggnad kan man lägga sig ner på marken och syfta mot en referensföremål som i figur 3 nedan. De två markerade trianglarna är likformiga och om vi mäter höjden av referensföremålet, avståndet från betraktaren till referensföremålet och avståndet från betraktaren till byggnaden så kan man få fram höjden av byggnaden. Figur 3: Syftning mot ett referensföremål ger upphov till två likformiga trianglar. Bestämning av höjd med hjälp av solskugga Om solen är framme kan man utnyttja skuggor för att bestämma höjden av ett föremål. Detta är illustrerat i figur 4. De två trianglarna är likformiga och om vi mäter längden av Sverker, längden av hans skugga och längden av stolpens skugga så kan vi beräkna stolpens höjd. Om man gör mätningen precis då solen står i 45 graders vinkel behövs ingen referens utan det studerade föremålet är lika högt som skuggan är lång. Figur 4: Skuggorna ger upphov till två likformiga trianglar. 4

5 Bestämning av avstånd till ett föremål i vatten Att direkt mäta minsta avståndet från en båt eller något annat föremål i vattnet till kajkanten är svårt. Den grekiske filosofen och matematikern Thales (omkr. 600 f.kr.) löste problemet med hjälp av likformighet på följande sätt: Placera en kon A på kajen så att linjen mellan föremålet och konen är vinkelrät mot kajkanten. Gå en bit bort och placera ut en ny kon B. Gå ytterligare en bit och placera ut en kon C. Ta sedan av vinkelrät mot kajen och gå tills det av vi kommer till en punkt D där vi ser föremålet och konen B i rät linje. De två trianglarna som uppkommer på detta sättet är likformiga och genom att mäta sträckorna AB, BC och CD fås avståndet AF till föremålet som AF = CD AB BC. Hela förfarandet är illustrerat i figur 5. F C B A D Figur 5: Avståndet till ett föremål som flyter i vattnet, i vårt fall en gulmålad bräda som syns lite dåligt, kan bestämmas med hjälp av likformiga trianglar. 5

6 4 Triangelarea med hjälp av kantlängder Arean av en triangel fås bekant som basen gånger höjden genom två. Om man är ute och mäter i praktiken (och inte i matteboken där man alltid har hjälp av ett rutnät) kan det emellertid vara svårt att ta fram höjden till en given triangel. I dessa fall kan man istället använda sig av Herons formel som ger triangelarean A i termer kantlängderna a, b, c A = s(s a)(s b)(s c), där s = (a + b + c)/2. För att visa Herons formel utgår vi ifrån figuren nedan. b a h c p p Figur 6: Triangelarean kan uttryckas med hjälp av kantlängderna. Det är fördelaktigt att göra sig av med rottecknet och vi ska därför istället visa att A 2 = s(s a)(s b)(s c). Vi utgår ifrån att A = ch/2. Kvadrering ger A 2 = c2 h 2 4. Vi uttrycker h 2 på två sätt h 2 = a 2 p 2 Pytagoras sats på högra triangeln h 2 = b 2 (c p) 2 vilket gör det möjligt att lösa ut p p = a2 b 2 + c 2. 2c Insättning av p i uttrycket h 2 = a 2 p 2 ger h 2 = a 2 (a2 b 2 + c 2 ) 2 4c 2. Insättning av h 2 i uttrycket A 2 = c2 h 2 A 2 = a2 c 2 4 (a2 b 2 + c 2 ) Pytagoras sats på vänstra triangeln 4 för den kvadrerade arean ger Den som är skarpögd ser att vi kan använda konjugatregeln så att ( (a A 2 2 b 2 + c 2 ) = + ac ) ( (a 2 b 2 + c 2 ) ac )

7 Upprepad användning av kvadreringsreglerna ger ( (a + c) A 2 2 b 2 ) ( (a c) 2 b 2 ) =. 4 4 Om vi använder konjugatregeln igen får vi A 2 = (a + b + c)(a b + c)(a + b c)(a b c). 16 Genom att införa s = (a + b + c)/2 får vi till sist att A 2 = s(s a)(s b)(s c) vilket skulle bevisas. 5 Polygonarea med hjälp av triangulering En polygon (månghörning) kan delas upp i ett antal trianglar. Genom att mäta kantlängderna och diagonalerna som uppkommer vid triangeluppdelningen kan trianglarnas areor beräknas med hjälp av Herons formel. Summation av triangelareorna ger arean av polygonen. Metoden är illustrerad i figuren nedan. Figur 7: En fyrhörning kan delas upp i två trianglar, en femhörning i tre trianglar och så vidare. Genom att mäta kantlängderna och diagonalerna kan trianglarnas areor beräknas. 6 Geometri och areabestämning från satellitbilder och flygfoto Med hjälp av satellitbilder och flygfoto från t.ex. Google Earth eller Eniro är det nu möjligt att få in spännande och relevanta geometriska exempel och problem från verkligheten i matematikundervisningen. Viktiga saker som skala, dvs. bildens dimensioner i förhållande till verkligheten, kommer in på ett naturligt sätt och eleverna får möjlighet att fundera på vad skala faktisk betyder. För att illustrera möjligheterna använder vi Google Earth och zoomar in Hjälmarkajen och Lärarutbildningen i Malmö (se figur 8). Vår uppgift är nu att uppskatta arean av Hjälmarkajsområdet. Mätning på datorn Google Earth har ett längdmätningsverktyg (klicka på Tools och välj Ruler) med vars hjälp man direkt kan mäta sträckor i bilden. Man kan välja att få längden i olika enheter men i vårt fall är kanske meter lämpligast. Med hjälp av längdmätningsverktyget mäts polygonens kant- och diagonallängder och vi får triangelareorna med hjälp av Herons formel. Polygonarean fås som summan av triangelareorna. 7

8 Figur 8: Hjälmarkajsområdet och Lärarutbildningen. Notera skalan nere till vänster. Mätning på papper Genom att använda Google Earths verktygsfält (klicka på View och välj Scale Legend) kan man förse bilden med en skala. För att få skalan i meter eller kilometer går man in på Tools och väljer Options. Under 3D View klickar man på Meters, Kilometers. I vårt fall finns skalan nere till vänster i bilden och den markerade biten är 241 meter lång. Vi skriver ut bilden på papper och ritar ut polygonen som definierar Hjälmarkajsområdet. Polygonen delas upp i tre trianglar. Trianglarnas kantlängder (i meter) bestäms genom att mäta med linjal och använda skalan. När kantlängderna väl är bestämda används Herons formel för att beräkna triangelareorna. Slutligen fås polygonarean som summan av triangelareorna. Även om mätning på datorn med hjälp av längdmätningsverktyget är snabbare finns det en pedagogisk poäng med att mäta på papper med linjal och använda skalan. 7 Triangelarea med hjälp av koordinater I många tillämpningar jobbar man i ett givet koordinatsystem. Punkter i planet kan då beskrivas med hjälp av koordinater (talpar). Vi skall visa hur man utifrån koordinaterna för hörnen i en triangel kan bestämma triangels area. Betrakta för den sakens skull figur 9. Arean av triangeln fås som arean av rektangeln minus areorna av de tre yttre trianglarna A = (x 2 x 1 )(y 3 y 1 ) (x 2 x 1 )(y 2 y 1 ) 2 Ihopmultiplikation och förenkling ger A = 1 2 (x 1y 2 x 2 y 1 + x 2 y 3 x 3 y 2 + x 3 y 1 x 1 y 3 ). (x 2 x 3 )(y 3 y 2 ) 2 (x 3 x 1 )(y 3 y 1 ). 2 8

9 Formeln vi härledde ovan förutsätter att punkterna (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ) är positivt (moturs) orienterade. Om detta inte är fallet blir uttrycket negativt och man byter då bara tecken för att få arean. (x 3,y 3 ) (x 2,y 2 ) (x 1,y 1 ) Figur 9: Arean av triangeln kan beräknas med hjälp av koordinaterna (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) och (x 3, y 3 ). 8 Polygonarea med hjälp av koordinater Precis som tidigare kan man få fram arean hos en godtycklig polygon genom uppdelning i ett antal trianglar (se figur 7). Areorna för trianglarna kan beräknas ur koordinaterna för hörnen. Summation av triangelareorna ger arean för polygonen. Det visar sig att många av termerna i summationen går ut mot varandra och arean av en polygon med hörn i (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) ges av formeln A = 1 2 (x 1y 2 x 2 y 1 + x 2 y 3 x 3 y 2 + x 3 y 4 x 4 y x n 1 y n x n y n 1 + x n y 1 x 1 y n ). Detta är ett oerhört kraftfullt och användbart resultat. Även om formeln ovan ser jobbig ut är den mycket lätt att hantera på dator eller miniräknare. För att beräkna polygonarean med hjälp av GNU Octave eller Matlab börjar man med att lägga in x-koordinaterna för hörnen i en vektor x och y-koordinaterna i en vektor y. Arean fås sedan genom att skriva n = length(x); a = 0.5*abs(sum(x.*[y(2:n) y(1)] - [x(2:n) x(1)].*y)); För att göra beräkningarna på TI-83 (eller någon liknande modell) börjar man med att lägga in x-koordinaterna (x 1, x 2,...,x n ) i en lista L1 och y-koordinaterna med start från det andra elementet (y 2, y 3,...,y n, y 1 ) i en lista L2. Listorna L1 och L2 multipliceras ihop till en ny lista L3. Vi kopierar sedan lista L1 till lista L4 och editerar innehållet så att vi får (x 2, x 3,..., x n, x 1 ). Vi kopierar även lista L2 till lista L5 och editerar så vi får (y 1, y 2,...,y n ). Lista L4 och L5 multipliceras ihop och sparas i L6. Till sist fås arean som 0.5*(sum(L3) - sum(l6)) Som ytterligare ett alternativ skulle Excel kunna användas vid beräkningen. Beräkningsproceduren följer då ganska tätt det man gör på miniräknare. Användning av koordinatsystem i GeoGebra För att jobba med koordinater börjar vi med att spara flygbilden från Google Earth som en jpg-fil. Filen infogas i GeoGebra genom att klicka på ikonen med en blomma på (se figur 10). 9

10 Vi ställer sedan hårkorset i ritområdets nedre vänstra del och vänsterklickar. Vi får nu upp en ruta där vi kan välja vilken bild som skall infogas. Vi väljer jpg-filen från Google Earth. När bilden är infogad högerklickar vi på densamma och väljer Egenskaper. I dialogrutan som kommer upp går vi till Grundinställningar och kryssar i Visa objekt, Lås objekt och Fönstrets absoluta position. Under fliken Utseende drar vi ner Fyllning till 50 % så att bilden blir lite genomskinlig. Efter detta justerar vi koordinatsystemet på lämpligt sätt. För att få samma skalning på både x- och y-axeln går vi in under menyn Inställningar och klickar på Ritområde. I dialogrutan som kommer fram sätter vi kvoten xaxel:yaxel till 1:1. Genom att klicka på ikonen för Ny Punkt får vi möjlighet att markera punkter i bilden. Koordinaterna för punkterna visas i GeoGebras algebrafönster till vänster. Om vi vill kan vi också klicka på ikonen för Polygon och skapa polygonen som går genom de markerade punkterna. GeoGebra skriver då automatiskt ut längden på alla sidor i polygonen tillsammans med polygonens area. Vi har nu all information och vi kan beräkna arean av Hjälmarkajsområdet antingen med hjälp av koordinaterna eller alternativt med triangulering och Herons formel. Värdena vi får skall vara lika med värdet på polygonarean som GeoGebra skriver ut. Figur 10: Bilder kan läggas in i GeoGebra. Vi kan sedan justera koordinatsystemet så att detta motsvarar skalan i bilden. Genom att klicka på ikonen för Ny Punkt får vi möjlighet att markera punkter i bilden. Vi kan även markera en polygon. 9 Avstånd och vinklar med koordinater Koordinatbegreppet är mycket kraftfullt och ger oss möjligheter att få fram geometriska storheter som längder och vinklar genom algebraiska manipulationer. Vi ska här titta närmare på avstånd 10

11 och vinklar. Vi börjar med att läsa in en bild i GeoGebra och definiera ett ortonormerat koordinatsystem enligt instruktionerna i det tidigare avsnittet. Punkter fås som tidigare genom att använda ikonen Ny Punkt. Det finns även en ikon för att markera vektorer mellan två punkter. Koordinaterna för vektorns spets och fotpunkt skrivs ut i algebrafönstret till vänster. Även vektorn själv skrivs ut (se figur 11). Avstånd mellan två punkter A : (x 1, y 1 ) och B : (x 2, y 2 ) fås med hjälp av Pytagoras sats l = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. För att bestämma vinkeln som definieras av tre punkter A : (x 1, y 1 ), B : (x 2, y 2 ) och C : (x 3, y 3 ) börjar vi med att skapa vektorerna u = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) och v = (x 3 x 1, y 3 y 1 ). Den geometriska definitionen av skalärprodukten ger ( ) u v u v = u v cos θ θ = arccos. u v Vi utnyttjar sedan att både skalärprodukten u v och längderna u, v kan uttryckas med hjälp av koordinaterna. Arcuscosinus av uttrycket inom parentes till höger ger vinkeln. I GeoGebra kan vi även använda ikonen för vinkel. Figur 11: Vinklar och längder kan beräknas med hjälp av punkternas koordinater. I GeoGebra finns även en ikon för vinkelmätning. 11

12 10 Projektion och vinkelräta avstånd Den vinkelräta projektionen u av vektorn u på vektorn v ges av formeln u = u v v 2 v. u u Det ortogonala komplementet u som fås sedan u = u u. Projektion illustreras i figuren till höger. Vi ska använda projektionsformeln för att ta reda på det kortaste avståndet från en gård till en väg. Vi börjar med att läsa in flygbilden, som vi har tagit från Google Earth, i GeoGebra och definiera ett ortonormerat koordinatsystem med hjälp av skalan på bilden. Vi markerar sedan två godtyckliga punkter A : (x 1, y 1 ) och B : (x 2, y 2 ) på vägen samt punkten C : (x 3, y 3 ) för gården (se figur 12). Med hjälp av punkterna får vi fram vektorerna u = (x 3 x 1, y 3 y 1 ) och v = (x 2 x 1, y 2 y 1 ). Insättning i projektionsformeln ger sedan u och u. Det kortaste avståndet mellan gården och vägen fås sedan som u. u v Figur 12: Kortaste avstånd från gården till vägen fås genom att utnyttja projektion. 12

13 11 Geometriuppgifter från fotograferade objekt En möjlig arbetsmetod inom geometrin är att eleverna går ut och fotograferar intressanta geometriska objekt i sin omgivning. Eleverna gör mätningar direkt på objektet med t.ex. likformighet eller så görs beräkningarna med hjälp av fotot man har tagit. Då foto används måste man se till att det finns någonting i bilden som anger en skala. Ett sätt att lösa detta är att en person med känd längd finns med på bilden. Uppgifterna kan handla om att bestämma area eller volym hos det fotograferade objektet. Eleverna sparar sina uppgifter och beräkningar och skickar över fotot till en annan grupp av elever som får i uppgift att bestämma samma area eller volym. På så sätt kan de två grupperna jämföra och diskutera sina svar. En bra sak med arbetsmetoden är att eleverna konstruerar sina egna uppgifter och därigenom blir mera delaktiga. Matematik blir alltså något som inte bara finns i matteboken. Som ett exempel på arbetsmetoden tar vi följande: Grupp 1 har fotograferat klaffbron i närheten av lärarutbildningen (se figur 13). Baserat på fotografiet (som innehåller en person vars längd kan användas för att få fram skalan) beräknar gruppen arean av cirkelsektorn som definieras av de horisontella och vertikala stålbalkarna och den grönmålade stålcirkeln. Gruppen skickar fotot till en annan grupp som också skall bestämma arean. De båda grupperna diskuterar och jämför svaren. Ytterligare en möjlighet, som antytts tidigare, är att den andra gruppen går ut och lokaliserar det fotograferade objektet och gör mätningar direkt på objektet med t.ex. likformighet och på detta sättet löser uppgiften. Figur 13: Bestämning av arean hos ett fotograferat objekt. 13

14 12 Uppgifter 1. Studera kursplaner och styrdokument och se vilket stöd där finns för laborativt och undersökande arbetssätt. 2. Läs skolverkets rapport som behandlar bedömning av laborationer i Fysik A (ligger på it s learning). 3. Gå in på Wikipedia och läs in er på geometrins historia. 4. Mät höjden av ett föremål med hjälp av syftning mot ett referensföremål vars höjd är känd. 5. Mät höjden av ett föremål med hjälp av skuggor (om möjligt). 6. Mät avståndet från ett föremål i vattnet till kajkanten med Thales metod. 7. Använd figur 8 för att bestämma arean av Hjälmarkajsområdet. Figur 8 kan laddas ner som jpg-fil från it s learning. 8. Ladda ner och lär er hantera Google Earth. Se till att ni kan få fram en skala i meter och att ni vet hur man gör för att mäta längden av en sträcka med hjälp av längdmätningsverktyget. 9. Använd Google Earth och zooma in ett intressant område, approximera området med en polygon och bestäm arean genom att dela upp området i ett antal trianglar. Gör en grov uppskattning av arean som bekräftar att det resultat ni fått fram är rimligt. Om ni har tid och om ni hittar något lämpligt objekt kan ni behandla även andra saker än area, t.ex. volymer, diagonaler och vinklar. Tidigare grupper har zoomat in på Pentagon eller Pyramiderna och löst uppgifter i anslutning till dessa byggnadsverk. 10. Läs in bilden över Hjälmarkajen i GeoGebra och lägg in ett koordinatsystem. Tag ut punkterna för hörnen och beräkna arean av området. Använd samma teknik och bestäm arean av något intressant område du hittar på Google Earth. Gör rimlighetsbedömning av ditt värde. 11. Läs in bilden på Pentagon i GeoGebra och lägg in ett koordinatsystem. Använd koordinaterna för hörnen för att beräkna kantvinkeln. Bestäm även kvoten mellan kantlängd och diagonallängd i pentagonen. Vilket känt värde får du? 12. Använd Google Earth och zooma in på någon rak väg. Spara bilden och läs in den i Geo- Gebra. Lägg in ett koordinatsystem med hjälp av skalan i bilden. Använd projektion för att bestämma det kortaste avståndet mellan vägen och ett föremål t.ex. ett hus. Kontrollera med hjälp av Google Earths längdmätningsverktyg att det avstånd du har fått fram via projektion är rimligt. 13. Fotografera några intressanta geometriskt objekt och formulera i anslutning till dessa objekt uppgifter som lämpar sig för elever i årskurs 9 eller för någon kurs på gymnasiet. 13 Redovisning Uppgifterna skall redovisas i en skriftlig rapport i Word eller något annat ordbehandlingsprogram. Rapporten skall följa gängse standard med inledning, utförande och diskussion (både innehållsmässig och didaktisk) samt slutsats. Beräkningar och resultat skall redovisas för alla uppgifterna. Rapporten skall innehålla tillräckligt mycket text och förklaringar så att en utomstående läsare utan problem kan förstå vad ni har gjort och vilka tankar som ligger bakom. Det praktiska arbetet skall dokumenteras med digitalkamera. Inklippta bilder och figurer skall förses med förklarande text. Lägg vikt även vid disposition och layout. 14

15 14 Självreflektion 1. Jag förstår likformighetsbegreppet och kan tillämpa det i olika praktiska situationer. 2. Jag kan använda bilder från t.ex. Google Earth för att lösa geometriska uppgifter. Jag kan använda skalan och omvandla mätvärden i bilden till meter. 3. Jag känner till Herons formel och vet att man kan få fram arean av en triangel med hjälp av sidorna. Jag inser också hur man via triangulering kan bestämma arean hos en polygon. 4. Jag förstår och kan även visa hur man beräknar arean av en triangel med hjälp av hörnens koordinater. 5. Jag kan praktiskt handha GeoGebra och lägga in bilder, justera skalan, pricka in punkter osv. 6. Jag kan få fram avstånd och vinklar med hjälp av punkternas koordinater. 7. Jag har insett att program som GeoGebra internt räknar ut polygonareor, längder, vinklar osv. med hjälp av punkternas koordinater och att detta är en generell metod. 15