Inkludering och delaktighet lärande i matematik

Transkript

1 Inkludering och delaktighet lärande i matematik Det finns fyra inriktningar på modulen Inkludering och delaktighet. De tre inledande delarna och den avslutande delen är gemensam för samtliga inriktningar medan del 4-7 har specifikt innehåll för respektive inriktning. Den här modulen syftar till att anpassa matematikundervisningen så att den blir tillgänglig för varje elev. Modulens matematikinnehåll rör i huvudsak taluppfattning, från grundläggande aspekter av tal till förtrogenhet med aritmetiska beräkningar. Alla elever har rätt till en likvärdig utbildning. Av skollagen framgår att eleverna ska ges den ledning och stimulans som de behöver i sitt lärande och i sin personliga utveckling för att de utifrån sina egna förutsättningar ska kunna utvecklas så långt som möjligt enligt utbildningens mål. Skolan har ett kompensatoriskt uppdrag och ska sträva mot att uppväga skillnader i elevers förutsättningar att tillgodogöra sig utbildningen. Alla som arbetar i skolan har också ett särskilt och gemensamt ansvar för de elever som av olika anledningar behöver stöd i sitt lärande. Inkludering talar för idén att skolan ska utformas utifrån elevers olika förutsättningar, där eleverna kan vara delaktiga i sin utbildning och få ett utbyte både kunskapsmässigt och socialt i ett gemensamt sammanhang. Samtida forskning har visat att skolans förmåga att skapa inkluderande lärmiljöer, att anpassa undervisningen utifrån varje elev samt att öka elevers delaktighet är viktiga framgångsfaktorer för en likvärdig utbildning. Modulen består av följande delar: 1. Stöd till elever en tillbakablick 2. Inkludering vad betyder det? 3. Alla elevers inflytande över sitt eget lärande 4. Tillgänglighet till matematik 5. Begrepp och representationer 6. Matematikängslan och motivation 7. Trösklar i matematiklärandet 8. Förbereda och planera för inkludering Revision: 1 Datum:

2 Del 5. Begrepp och representationer I denna del analyseras och diskuteras ett matematiskt begrepps hörnstenar: egenskaper, representationer, relationer och definition. Begreppsutveckling innebär att kunna gå mellan allt fler olika representationer, vilket gör att förståelse för olika slags representationer är viktig kunskap för alla. För att förebygga matematiksvårigheter är det nödvändigt att tidigt sätta in extra anpassningar så att alla elever blir förtrogna med begrepp och representationer som rör taluppfattning. Syftet med den här delen är att fördjupa kunskaperna om begrepp och representationer och att ge förståelse för några didaktiska verktyg att använda i arbetet med att ge elever i matematiksvårigheter stöd att utveckla grundläggande taluppfattning. Del 5: Moment A individuell förberedelse Begrepp och representationer behandlar vad ett matematiskt begrepp är och vilken roll representationer spelar för elevers begreppsutveckling. De grundläggande matematiska begreppen del av helhet och del av antal lyfts. Material Begrepp och representationer (åk 1-3) Helena Roos, Lena Trygg Begreppstavla, exempel med talen 0 10 (åk 1-3) Lena Trygg Begrepp och representationer (åk 4-6) Helena Roos, Lena Trygg Begreppstavla, exempel med tal i bråkform (åk 4-6) Lena Trygg Begrepp och representationer (åk 7-9) Helena Roos, Lena Trygg Begreppstavla, exempel med negativa tal (åk 7-9) Lena Trygg Revision: 1 Datum:

3 Matematik, Specialpedagogik Grundskola åk 1 3 Modul: Inkludering och delaktighet lärande i matematik Del 5: Begrepp och representationer Begrepp och representationer Helena Roos, Linnéuniversitetet och Lena Trygg, NCM Alla elever har nytta av att kunna se mönster och strukturer i den matematik de möter på lektionerna. Det medför att eleverna kan föra och följa sina egna resonemang med utgångspunkt i det de faktiskt kommer ihåg, istället för att enbart memorera en lång rad regler som kan te sig ganska meningslösa om det inte finns tydliga samband mellan dem. En förutsättning för att utveckla sin förmåga att se samband är att förstå och kunna hantera matematiska begrepp. Förståelse för begrepp bygger i sin tur på att elever kan använda flera olika representationer av ett och samma begrepp på ett flexibelt sätt och att de obehindrat kan vandra mellan de olika representationerna. Att representera och uttrycka ett matematiskt begrepp på olika sätt och på skilda nivåer är därmed både ett medel och ett mål för att varje elev ska utveckla och få förståelse för begreppen. Det är väl använd tid att ge elever i svårigheter extra stöd och mer tid för begreppsutveckling. Detta för att de ska bli säkra på att gå mellan olika representationer och efter hand kunna upptäcka och förstå samband mellan matematiska begrepp. Att hålla sig till en representation eller ett sätt att lösa en viss typ av uppgifter på kan tyckas bra då kan de i alla fall ett sätt men det visar sig allt för ofta leda in i återvändsgränder. För elever som enbart fått möta tal i sammanhang där likhetstecknet förekommer i betydelsen blir eller nu kommer svaret, och kanske klarar det bra så länge det framgår tydligt vilket räknesätt det handlar om och talområdet är begränsat, blir det betydligt svårare och allt för ofta fel i uppgifter där likhetstecknet ska uppfattas som är lika med, som 7 = 5 + _ eller _ = , jämfört med om eleverna kan se de ingående talens uppdelning eller placering på tallinjen direkt i huvudet eller med hjälp av plockmaterial eller bilder. Är de dessutom väl medveten om räknesättens samband kan de också kontrollräkna effektivt. Vad är ett begrepp? I grundskolans kursplan för matematik, läroplan och kommentarmaterial såväl som i forskningslitteratur, används ordet begrepp frekvent men många gånger utan att det tydligt skrivs fram vad som menas med ett begrepp. Det lämnas alltså till läsaren att göra sin tolkning av ordet. I Nationalencyklopedin förklaras ordet begrepp med det abstrakta innehållet hos en språklig term. Ett matematiskt begrepp har således ett abstrakt matematiskt innehåll. Ett matematiskt begrepp är inte för evigt definitivt, exakt, absolut och klart avgränsat tvärtom kan det förändras och utvecklas över tid i takt med att matematiken och dess användning utvecklas. Begrepp är mänskliga tankekonstruktioner och kan betraktas som matematikens byggstenar. Ett matematiskt begrepp kan vara ett matematiskt objekt som en kvadrat, en process som subtraktion eller en egenskap som volym. Med exempelvis begreppet addition avses det abstrakta innehåll vi lägger i benämningen addition eller med andra ord vad vi menar med addition. Begrepp och representationer Maj (14)

4 Eftersom ett matematiskt begrepp är en tankekonstruktion behövs någon form av etiketter för att vi ska kunna kommunicera med och om det. Begreppet måste uttryckas på något sätt och därmed representeras visuellt, verbalt eller i handling. Det är i praktiken sällan uppenbart vad som kommer först själva begreppet eller olika sätt att uttrycka det, det vill säga att representera det. Tänk på begreppet positionssystem. Å ena sidan kan man definiera positionssystemet med en exakt matematisk beskrivning som talsystem där en siffras värde beror på dess plats (position) i representationen av ett tal. Å andra sidan stöter elever på tal uttryckta med hjälp av positionssystemet och utforskar dess betydelse långt innan de kan sägas ha en färdig abstrakt idé om vad det betyder och innebär. De erfar dagligen olika tal med både en och flera ingående siffror själva använder de länge bara en siffra när de skriver hur många år de är medan äldre syskon och föräldrar måste ha två siffror för att skriva hur gamla de är innan de förstår själva begreppet. Exemplen kan göras hur omfattande som helst och särskilt riktigt stora tal med många siffror fascinerar ofta barn. Likaså talet noll fascinerar och bör behandlas ingående i undervisningen. En orsak till matematiksvårigheter kan vara när en elev enbart uppfattar noll som ingenting och inte ser hur viktigt detta ingenting är då det anger tomma platser i positionssystemet. När eleverna arbetar med begrepp i skolan behöver deras tidigare erfarenheter därför beaktas och kopplas till undervisningen kring det aktuella begreppet. Som ett stöd för lärares planering kan följande begreppstavla användas (Figur 1). Figur 1. Exempel på begreppstavla. Begreppen representeras med hjälp av olika representationer Representation av begrepp kan ske med ord, bilder och andra symboler, eller med situationer och olika konkreta material. Begreppens egenskaper och definition I det här sammanhanget betraktas egenskaper synonymt med vilka kännetecken eller vilken beskaffenhet ett begrepp har. Vilka egenskaper hos begreppet som ska tas upp beror på undervisningens syfte och mål. Elevernas förkunskaper och tidigare erfarenheter av begreppet pekar på vilka (extra) anpassningar läraren bör göra. En egenskap hos addition är att det inte Begrepp och representationer Maj (14)

5 spelar någon roll i vilken ordning talen adderas, kommutativa lagen, och att det är giltigt för alla tal oavsett hur många siffror de uttrycks med. I en definition försöker man så exakt som möjligt att precisera vad som utmärker det aktuella begreppet, så att det också går att särskilja från andra begrepp. Egenskapen att en differens i subtraktion inte ändras om båda termerna flyttar lika många steg (12 8 = 10 6) kan exempelvis ingå i en grundläggande definition av begreppet subtraktion och kan visas vara giltigt även för tal uttryckta i hundratal eller tusental ( = ). De matematiska begreppens egenskaper kan också fastställas genom att man genomför ett bevis, till exempel visar att summan av tre konsekutiva, direkt på varandra följande, tal är delbar med tre, även det giltigt för tal uttryckta med flera positioner. Relationer till andra begrepp Varje matematiskt begrepp relaterar direkt till andra matematiska begrepp. Det finns exempelvis en stark relation mellan positionssystemet och enheter. Begrepp kan även med fördel jämföras och en aktivitet att ofta återkomma till är att göra eleverna uppmärksamma på vad som är lika och vad som skiljer. Med utgångspunkt i positionssystemet kan beräkningar som görs med olika matematiska representationer, exempelvis med standardalgoritm respektive någon form av skriftlig huvudräkning, jämföras. Eleverna kan då se hur siffrors placering i positionssystemet avgör dess värde oavsett vilken beräkningsmetod som används. Ett begrepp kan också ha vagare eller kanske inte lika synligt samband med andra begrepp. För elever som nyligen börjat bli bekanta med begreppen omkrets och area är inte sambanden till begreppen addition respektive multiplikation omedelbart synliga och användbara. I de fall då lärare märker att en elev har öar av kunskap kan det vara ett tecken på att eleven inte uppfattar samband mellan olika begrepp. Begreppsutveckling Begreppsutveckling kan ses som en pågående process för att successivt upptäcka och lära sig vad som är gemensamt eller utmärkande för ett begrepp. När små barn lär sig vad som är karaktäristiskt för det som kan betecknas med begreppet stol eller elever lär sig känna igen begrepp som addition eller omkrets, är det exempel på begreppsutveckling. Det handlar om att förstå ett begrepp i en sådan mening att man obehindrat kan använda sig av det i rimliga sammanhang. Redan i förskolans läroplan (2016) talas det om förmåga att urskilja, uttrycka, undersöka och använda matematiska begrepp. Elever lär sig allt eftersom att urskilja och formalisera begrepp ju mer erfarna de blir och desto mer undervisning de får. Begreppen förfinas, nyanseras och ges en alltmer exakt och precis innebörd och kan relateras till ännu fler begrepp. Genom god undervisning och möjlighet till många diskussioner om hur eleverna uppfattar olika matematiska begrepp, kan de förfina och nyansera sin bild av begreppen. Det är ett skäl till varför det är betydelsefullt att avsluta lektioner eller aktiviteter med att låta eleverna sammanfatta vad de har upptäckt, uppfattat eller kanske inte förstått. Ibland är det diskussion i helklass som gör att missuppfattningar lyfts fram och kan förebyggas eller att elever ser samband, vid andra tillfällen kan enskilda bildmässiga eller skriftliga dokumentationer vara mer fördelaktiga. Huvudsaken är att säcken knyts ihop på något sätt. Det är ofta svårt att ändra en felaktig bild av ett begrepp Begrepp och representationer Maj (14)

6 som har blivit befäst, som när elever fått missuppfattningar som det blir alltid större när man multiplicerar eller det finns bara ett tal mellan 2 och 4. I forskning och diskussion kring lärande är Lev Vygotskijs teori om begreppsutveckling ett fundament. Hans teorier handlar om begrepp i en vidare och mer generell mening, inte specifikt matematiska begrepp, men tankarna är direkt överförbara till detta sammanhang. Vygotskij menar att begrepp hjälper till att systematisera och att hålla ordning i det sociala och materiella kaos som råder runt oss. Begrepp speglar den underliggande teorin om hur ting kan grupperas, hur de hänger samman, vilka förhållanden de har till varandra och vilka gemensamma egenskaper som finns. Att lära sig ett begrepp betyder således att olika erfarenheter av begreppet binds samman och att förstå grundprinciperna samt relationen till andra begrepp. Elever i matematiksvårigheter kan ha svårt att binda samman olika erfarenheter av begrepp för att förstå grundprinciperna. Undervisningen behöver lyfta fram kopplingar mellan erfarenheter av ett begrepp och synliggöra sambanden, exempelvis med stöd i den tidigare beskrivna begreppstavlan. Elevers egen dokumentation kan anpassas så att den enskilde elevens begreppsutveckling blir synlig för såväl eleven själv som för läraren som i sin tur kan använda dokumentationen i formativt syfte. Då kan elevens kunskap om ett begrepp lagras i långtidsminnet och skapa befäst förståelse, istället för att korttidsminnet belastas med en mängd enskilda och isolerade faktauppgifter. Språk och begrepp I matematikundervisningen behöver formellt matematikspråk uppmärksammas och diskuteras i relation till informellt vardagligt språkbruk. Målet är att eleverna ska utveckla sitt formella matematikspråk och förstå skillnader och likheter med det vardagliga språket. Dock är det viktigt att beakta att elever inte alltid har ett vardagsspråk kopplat till ett begrepp, men de kan ändå utveckla ett matematiskt språk. Här bör läraren vara noga med att inte överbelasta för en enskild elev som utvecklar sitt vardagsspråk samtidigt med sitt matematiska språk. Elever har olika förutsättningar och bakgrund. Detta gör att det är stor variation i klassrummet gällande kunskap om och förståelse för begrepp. Idag kan skolan behöva ta ett större ansvar jämfört med tidigare att ge elever möjligheter att utveckla begrepp, både vardagliga och vetenskapliga och relationer däremellan. Några områden som bör uppmärksammas extra är tid och massa/vikt som idag blir allt mer abstrakta begrepp på grund av den digitala utvecklingen. Lärare bör även reflektera över användandet av pengar som representation, då pengar i sig är en abstraktion med både värde och antal, samt att pengar i form av sedlar och mynt inte alls används i samma utsträckning som tidigare. Om elever ska skapa förståelse för formella matematiska begrepp måste de få erfarenheter av begreppet. Ett sätt att skapa erfarenheter är att presentera begrepp på olika sätt i undervisningen och medvetet använda både vardagliga och matematiska ord. Då kan elever och lärare skapa ett gemensamt språk och gemensamma referensramar som läraren sedan kan bygga den fortsatta undervisningen på. Vid aktivt arbete med diskussioner kring ord och begrepp kan eleverna själva upptäcka nya ord och utöka sitt ordförråd i relation till matematiska begrepp. Här kan frågor som Vad heter...? Vad betyder...? Hur kan man Begrepp och representationer Maj (14)

7 förklara...? Finns det något annat ord för...? Varför heter det...? vara till god hjälp vid elevdiskussioner, i undervisningssituationer och då eleverna själva dokumenterar sitt lärande. Medvetenhet om språkets betydelse blir särskilt viktigt vid undervisning i mångkulturella grupper, där lärare och studiehandledare behöver vara explicita med att definiera matematiska begrepp och även diskutera begreppen tydligt så eleverna förstår nyanserna i begreppen. Eleverna måste förstå att matematiska begrepp kan ha en helt annan betydelse i en annan kontext, till exempel betyder ett bevis en sak i en tv-deckare och en annan sak i matematik, och begreppet volym som betyder en sak i samband med musik betyder vanligtvis något annat på en matematiklektion. Det går inte att ta för givet att eleverna förstår nyanserna i begreppen, utan en tydlig undervisning behöver behandla dessa begrepp så att alla elever förstår de underförstådda skillnaderna för att öka deras tillgänglighet till matematik. Representationer Lärande i matematik kan beskrivas som en kumulativ process där eleverna stegvis får tillgång till allt fler och mer avancerade representationer och förstår hur de hör samman, hur de kan användas och hur de kan uttryckas. Att kunna beskriva och använda ett begrepp på flera sätt med olika representationsformer är tecken på god begreppsförmåga och funktionell begreppskunskap. För att kunna tänka på och kommunicera ett matematiskt begrepp måste det vara representerat på något sätt eftersom matematiska objekt i sig är abstrakta. För att beskriva detta förekommer i Sverige orden uttrycksformer, representationer och representationsformer, ibland synonymt och ibland läggs lite olika betydelse in i dem. I matematikdidaktisk litteratur används främst ordet representationer för att beskriva hur ett matematiskt begrepp kan kommuniceras. Vad är representationer? En representation är något som med avsikt används eller utformas för att i tanke, handling eller kommunikation ersätta det man syftar på. Ett matematiskt exempel är att vi använder siffror när vi arbetar med tal. Siffran står där istället för själva talet som man inte kan se, men som man förväntas associera till. Tecknet 3 är en symbol för talet tre, medan tecknet är symbol för ett irrationellt tal lite större än tre. Tecknet är som ett namn på begreppet pi. En representation kan alltså vara en symbol, en bild, ett objekt eller något annat som representerar ett matematiskt objekt. Andra exempel på detta är symbolerna 1 och 0 eller fem prickar på två tärningar. Båda fallen representerar talet tio, men med två olika former av representation, symboler respektive bild. Ett sätt att beskriva dessa former är att dela in dem i olika register som innehåller en uppsättning representationer som är nära relaterade till varandra. Ett exempel på ett sådant register är det ikoniska registret som innehåller skisser, bilder och mönster. Ett annat är det symboliska registret som innehåller symboler så som siffror, olika matematiska tecken och bokstäver. Definitioner av begreppet representation kan variera något i ordalydelse men det handlar alltid om att representationer ersätter något och står i stället för något annat och att varje Begrepp och representationer Maj (14)

8 form av representation i någon grad är en abstraktion. Representationer kan dessutom ha dubbla roller, de kan ses som en konkretisering av abstrakta matematiska begrepp samtidigt som de representerar verkliga objekt. Ett laborativt material som markörer kan fungera som en konkret modell för abstrakta tal när de används för att visa relationen mellan exempelvis jämna och udda tal. De kan även användas för att modellera verkliga situationer, som när ett visst antal markörer representerar motsvarande antal föremål eller personer. Varför ska elever arbeta med representationer? Av tradition har representationer i form av symboliska uttryck länge varit en dominerande del av skolmatematiken. I undervisningen framstår representationer olyckligtvis ibland som att de är helt fristående. Tidigare var det inte ovanligt att det på ett prov stod tydligt framskrivet med vilken representation en uppgift skulle lösas, exempelvis addera eller ställ upp en tabell. Ett sådant synsätt innebär att kraften och nyttan med representationer som redskap för lärande i matematik begränsas. Idag är det mer vanligt att elever uppmuntras att visa med flera olika representationer hur de löser en uppgift eller då de förklarar hur de uppfattar ett begrepp. För att kunna hantera olika representationer av matematiska förhållanden behöver en elev kunna förstå representationen, det vill säga kunna avkoda och tolka vad den avser att ersätta, använda sig av olika slags representationer av matematiska begrepp som exempelvis är visuella, verbala, symboliska, algebraiska, geometriska, grafiska, i form av diagram och tabeller eller konkreta objekt. Eleven behöver även kunna uppfatta inbördes kopplingar och samband mellan olika representationsformer och ha kännedom om deras styrkor och svagheter samt kunna välja bland och översätta mellan olika representationsformer beroende på situation och syfte. Denna korta sammanfattning visar tydligt hur komplext det är att lära sig använda representationer på ett fruktbart sätt. Det tar mycket tid och möda för alla elever och elever i matematiksvårigheter behöver allt stöd de kan få för att kunna bringa ordning och kunna använda olika representationer som ett stöd i sitt lärande. Ett övergripande och medvetet fokus på att lyfta fram olika slags representationer och att anpassa dem på olika sätt till olika elever kan underlätta för att få alla elever inkluderade i matematikundervisningen. Det är med andra ord nödvändigt att använda olika former av representationer i undervisningen för att nå varje elev. Eftersom förståelse för olika former av representationer och översättning mellan dem är avgörande för att lära sig matematik, kan man till och med säga att lärande sker när elever kan vandra mellan olika register. Många elever är mer bekväma med att översätta mellan representationer inom ett och samma register än mellan olika register. För elever som är vana att hantera laborativa material kan det vara enklare att visa uppdelning av talet fem med markörer (Figur 2) där de båda sidorna är i olika färg, parkera fem leksaksbilar på två olika sidor på p-platsen eller fördela fem mynt i två byxfickor, än att skriva 5 som 1 + 4, eller För elever ovana vid att använda konkreta representationer kan det omvända gälla. För båda grupperna kan det uppstå svårigheter om de istället ska göra bildmässiga representationer och visa med hjälp av informella symboler, som att rita ett kryss för varje bil eller mynt respektive siffror. Det Begrepp och representationer Maj (14)

9 är inte heller säkert att alla elever förstår översättningar mellan olika representationer, utan de behöver mycket tydlig vägledning mellan olika former av representation, både inom och mellan olika register. Samtidigt behöver läraren vara vaksam på hur eleverna tar emot undervisningen med hjälp av flera olika representationer så att inte för många olika former presenteras för tätt inpå varandra och förvirrar istället för att förtydliga. Figur 2. Exempel på representation i form av markörer. Betydelsen av att elever ges möjlighet att möta och arbeta med olika representationer i matematikundervisningen återspeglas tydligt i aktuella styrdokument. I kursplanen för matematik skrivs det fram att en förmåga som eleverna ska utveckla är att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. Detta exemplifieras i kommentarmaterialet till kursplanen i matematik: När det gäller förmågan att använda matematikens uttrycksformer för att kommunicera är utgångspunkten i de tidigare årskurserna enkla beskrivningar av tillvägagångssätt med konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer. I senare årskurser och på de högre betygsnivåerna ställs krav på att eleven beskriver tillvägagångssätt med mer precisa och välutvecklade matematiska uttrycksformer och ökad grad av anpassning till syfte och sammanhang. Därför räcker det inte att enbart räkna med siffror och bokstäver i en lärobok utan eleverna måste under hela sin skolgång få arbeta med fler representationsformer som att undersöka med laborativa material, penna och papper eller digitala hjälpmedel med ord (vardagliga ord och matematiska termer) tala och skriva matematik använda bildspråk, med allt ifrån egna informella skisser till professionellt framtagna illustrationer exemplifiera med hjälp av verkliga och fiktiva situationer i närmiljö och omvärld Begrepp och representationer Maj (14)

10 beskriva sina tankegångar med hjälp av, för kunskapsnivån lämpligt, matematiskt symbolspråk. Figur 3. Fem uttrycksformer. Bilden är en omarbetad uppdelning utifrån Richard Leshs schematiska bild över representationer och deras kopplingar till varandra. I Figur 3 omfattar Ord både informellt vardagsspråk och formella matematiska termer. Både Ord och Symboler kan förekomma i såväl tal som skrift. Ett sätt att tolka den omarbetade bilden (Figur 3) är att se på den från vänster till höger, där tanken då är att representationerna i någon mening går från det konkreta via bilder till det allt mer abstrakta. Man kan också välja andra sätt för uppdelning och benämning, som exempelvis fysiska, bildliga eller grafiska, verbala, numeriska och symboliska uttrycksformer. Idéerna om att matematiklärandet utvecklas genom elevers möte och arbete med olika representationer har funnits länge och utvecklas fortfarande. I många studier refereras till den amerikanske psykologen Jerome Bruners (1966) tre representationsnivåer som beskriver en progression från en handlingsbaserad konkret nivå till en symbolisk och abstrakt nivå: 1. På den handlingsbaserade nivån är eleven fysiskt aktiv; manipulerar, konstruerar eller arrangerar föremål från den verkliga världen. Denna nivå är den mest konkreta och här grundläggs begreppen, men de existerar bara så länge eleven kan relatera dem till den verkliga världen. Om eleven får möjlighet att utveckla begreppen kan dessa så småningom bli abstrakta och funktionella då eleven når den symboliska nivån. 2. Den bildmässiga eller ikoniska nivån identifieras genom att den representerar händelser i den verkliga världen genom beskrivande former som till exempel verbala formuleringar eller bilder av olika slag. 3. Den symboliska nivån är den mest sofistikerade och bygger på att eleven, vid lärande av ett givet begrepp, har erfarenheter från de båda föregående nivåerna. Karaktäristiskt för denna nivå är att all manipulation sker med symboler helt oberoende av de handlingsbaserade och bildmässiga representationerna. Begrepp och representationer Maj (14)

11 Jämför dessa nivåer med de tidigare nämnda registren med olika representationer och skissen ovan. Sätten att se på representationer återspeglar varandra väl. När undervisningen är planerad så att elever hanterar laborativa material, bilder och andra representationer uppstår det ofta diskussioner om matematikinnehållet vid övergångar och översättningar mellan representationerna, vilket kan underlätta för läraren att uppfatta elevers tankegångar och få tillfällen att se hur de tänker. För en elev som kan tyckas ha en välutvecklad symbolisk förståelse kan det vara lätt hänt att hoppa över de två första stegen, men det finns då en risk för att eleven inte har någon bildmässig representation att falla tillbaka på, om eller när svårigheter uppstår på den symboliska nivån. Således bör alla representationsnivåer beaktas på samtliga skolstadier. Detta är giltigt för alla elever men särskilt viktigt för elever i matematiksvårigheter. Ett sätt att undersöka en elevs förståelse för de tidigare nivåerna är att be att han/hon ska konkretisera, till exempel visa ett symboliskt uttryck med en illustration eller ett konkret material. Representationer, på olika nivåer och i skilda register, som används i lektionsaktiviteter fungerar inte bara som en länk från det konkreta till det abstrakta, de kan också fungera som en länk för att hjälpa elever att tillämpa abstrakt matematik i konkreta situationer. Den dubbelriktade vägen skriver exempelvis Gerald Goldin och Nina Shteingold (2001) fram som en viktig aspekt av representationer (Figur 4). För att stegen mellan konkret och abstrakt ska kunna tas behöver broar byggas i undervisningen och läraren behöver noggrant och medvetet välja aktiviteter och material som gör att elever får möta och använda olika representationer. Om en elev kan lösa ett problem praktiskt och konkret men inte abstrakt och symboliskt behöver eleven få ytterligare stöd att gå från det konkreta mot det abstrakta, men även tillbaka från det abstrakta till det konkreta. Figur 4. Illustration av dubbelriktad väg mellan det konkreta och det abstrakta (Goldin & Shteingold, 2001).. Hur kan arbete med representationer ske? Det enda sättet att få befäst tillgång till matematiska representationer är att bli bekant med dem, se dem, känna på dem, prata om dem och använda dem i olika uppgifter. Genom att kombinera olika representationer begränsas eleven inte av styrkor och svagheter i en representation, utan kombinationen kan göra att eleven får stöd i sitt lärande. För att kunna utnyttja fördelarna med flera representationer måste eleven förstå förhållandet eller sambandet mellan dem. Om representationer visas i olika register kan elever med begränsad förståelse för representationer få svårigheter att se deras inbördes förhållanden. Därför bör Begrepp och representationer Maj (14)

12 undervisningen planeras så att olika representationer påvisas och eleverna får erfara relationerna mellan dem så att matematiken blir tillgänglig för alla elever i klassen. En enskild representation, som ett arrangemang av kuber, en geometrisk konstruktion, ett talmönster, en graf i ett koordinatsystem, en tabell, en ekvation eller en formel, kan inte fungera och vara meningsfull på egen hand utan måste alltid ingå i ett större system där dess mening och konventioner har etablerats. Systemet måste också ha en struktur så att olika representationer är starkt kopplade till varandra. Ett sätt att se på representationer, bland annat för att bättre förstå de kognitiva hinder många elever har då de ska tillägna sig vissa matematiska begrepp, är enligt Goldin och Shteingold att dela in dem i externa och interna representationer: externa representationer utgår från matematikens konventionella symbolspråk, till exempel sättet att notera i tiobassystemet, den formella algebraiska notationen och hur tallinjen och koordinatsystem används interna representationer är exempelvis elevens personliga symbolkonstruktioner, eget språk, visuella bilder och förhållande till matematik. De framhåller att interaktionen mellan interna och externa representationer är fundamental för ett effektivt matematiklärande; att eleverna får möjlighet att utveckla ändamålsenliga interna representationer som sedan ansluter till de externa representationerna. Jämför med de förklaringar eleverna i modulens inledning gav uttryck för då de skulle beskriva hur deras inre talrad ser ut. Goldin och Shteingold anser att det finns möjlighet att öka antalet elever som lyckas väl med skolmatematiken. De menar att elevers begränsningar för att förstå matematik, utan att för den skull förneka existens eller betydelse av olika förmågor, inte i första hand är medfödda. Begränsningarna är snarare ett resultat av att deras inre system av representationer bara är delvis utvecklat och därmed kan medföra hinder, svårigheter och missuppfattningar. De hävdar att ett grundläggande mål för matematikundervisningen är att låta eleverna utveckla effektiva inre representationer som är samstämmiga med de externa representationerna. Goldin och Shteingold tror inte det är en tillfällighet att matematikdidaktiker redan tidigt var överens om att matematiska idéer bör introduceras genom att undervisningen börjar i konkreta representationer och sedan går vidare till allt mer abstrakta representationer. Idag visar exempelvis den så kallade Singaporematematiken att det går att nå goda resultat då matematikundervisningen tydligt byggs upp med dessa tankar som en av de viktiga grundförutsättningarna. Tanketavlor En tydlig gång från konkret till abstrakt utgör ofta en god grund vid begreppsbildning, det vill säga då elever möter nya begrepp eller vid begreppsutveckling som när talbegreppet vidgas från ental till tiotal och hundratal. En tanketavla (McIntosh, 2008) kan då vara ett använbart redskap. En tanketavla kan förklaras som ett pappersark som delas i fyra delar Begrepp och representationer Maj (14)

13 där varje del får en av rubrikerna Ord, Bild, Beräkning respektive Samband. I mitten ritas en ruta med texten Symboler. Här ska eleverna använda såväl konkreta, som bildmässiga och abstrakta representationer och de kan vid arbete med tanketavlor själva välja i vilken ordning de ska ta sig an de olika representationerna. Tanketavlorna kan också fungera som ett redskap för att analysera elevers kunnande eftersom svårigheter att gå mellan olika representationsformer kan vara ett tecken på bristande förståelse. Tanketavlorna kan även vara ett redskap för att analysera om undervisningen har stött elevers lärande inom det aktuella begreppet. Helheter och delar Ett ofta förekommande matematiskt begrepp under elevers skolgång, som enkelt kan representeras med konkret material, bilder, situationer, ord och symboler, är del av. För att hantera del av -begreppet vid bråk- och procenträkning är begreppet helhet en ytterst viktig förkunskap. Elever kan behöva hjälp att reda ut olika slags helheter, hur de kan delas och få det förtydligat hur helheter och delar hanteras matematiskt. Andemeningen i följande text går till stor del att använda tillsammans med elever i matematiksvårigheter. Ibland fungerar det bättre att samtala med elever om vad yngre barn gör istället för att ta upp ett innehåll som de själva upplever som svårt och då slår ifrån sig. Elevers tidiga möten med helheter och delar Redan i förskolan delar barnen frukt och de förstår tidigt att en halv banan är större än en halv vindruva. Till och med en fjärdedels banan är mer än en hel vindruva. Barnen behöver sedan fortsätta att möta delar av olika helheter. De flesta barn tycker säkert att ett halvt äpple eller en halv apelsin mättar lika bra, men de flesta skulle inte nöja sig med en halv vindruva och inte heller vilja äta upp en halv vattenmelon själv. Liknande resonemang förs om både annan slags mat (pizza och tårta!) och dryck, och annat som snören, pappersark, modellera, utrymme på en bänk, etcetera. Det är viktigt att lyfta fram vad som är det hela och benämna de olika delarna, och det som är gemensamt för en frukt, ett snöre, en klump modellera och utrymmet på en bänk är att de utgör kontinuerliga mängder. I vardagliga sammanhang på denna nivå är det i varje enskilt fall alltid möjligt att ange vad som är det hela och, återigen vardagligt, att se delningen i lika stora delar. Barn får även tidigt erfarenhet av att dela upp mängder som består av ett antal föremål. Jag får fem vindruvor och du får också fem stycken. Om vi tre delar kexen lika får vi två var. Jag har sju knappar: två är blå, tre är röda och två är gröna. En helhet som består av ett antal saker utgör en diskret mängd. Ordet diskret kommer i detta sammanhang från det engelska ordet discrete, åtskild, separat och har inget med diskret lika med försynt eller dämpad att göra. Tänk på Fem myror är fler än fyra elefanter, då är det enbart antalet djur som är av betydelse i jämförelsen. Begrepp och representationer Maj (14)

14 Fruktdelning sker oftast inte strikt matematiskt korrekt utan handlar för barnen mer om att det ska vara rättvist och de har inga problem med att ge bort en frukt eller en bit som eventuellt blir över. När flaskans bubbelvatten är jämnt upphällt i fyra glas eller när pralinerna är fördelade lika på fyra personer, har varje person fått en fjärdedel av vattenmängden eller antalet praliner. Till vardags använder vi uttryck som att ta hälften var och dela i fyra delar, men då menar vi inte alltid en exakt likadelning som är grunden för att förstå tal i bråkform. Att ordet bråk kommer ur tyskans gebrochen, som betyder bruten, är bra att känna till. Tal i bråkform är just tal som brutits i mindre, men lika stora delar, och det måste göras synligt i undervisningen. För att bygga upp förståelsen krävs många och varierade laborativa erfarenheter där konkreta material och bilder används som representationer, där det talade språket är utgångspunkt för samtal och diskussioner och bråkuttryck skrivs med hela ord, till exempel fjärdedel. På sikt uttrycker vi helheten som 1 och de olika delarna med symboler. Detta behöver lärare ta upp och ofta diskutera på matematiklektioner så elever kommer till insikt att de kan vara lite vardagligt slarviga när de delar grejer med varandra ofta enligt principen att en delar och den andre väljer men att de måste dela formellt och korrekt när de arbetar matematiskt. Pratar vi formellt om en femtedel så är det en helhet som har delats i fem exakt lika stora delar. Däremot kan det i praktiken betyda att delarna ser olika ut. I en kontinuerlig mängd kan en femtedels kvadratdecimeter, som alltid är 20 cm 2, ritas som exempelvis en rektangel 4 5 cm 2 eller 2 10 cm 2, eller som en långsmal ruta som är en centimeter hög och två decimeter lång. I en diskret mängd som kulor betyder det att fem barn får lika många kulor var, men de i sin tur kan ha olika färg eller storlek och vara tillverkade i olika material. Vid likadelning utgör varje del en av antalet delar i helheten eller mängden och till grundläggande förståelse hör insikten att varje del är mindre än helheten och att ju fler delar en helhet delas i desto mindre blir varje del. Detta är resonemang som har vardaglig betydelse för alla elever, ju fler som ska dela på godiset, pengarna eller utrymmet i soffan, desto mindre del till var och en. Vare sig mängden är kontinuerlig eller diskret är det alltid helheten som avgör hur stora delarna blir. Även när elever har förståelse för att ju fler delar något delas i desto mindre blir varje del, kan missuppfattningen att 1/9 måste vara större än 1/5 eftersom 9 är större än 5 finnas. En vanlig orsak till den missuppfattningen är att elever inte uppfattar ett bråkuttryck som en helhet, ett tal, där täljaren anger antalet delar av helheten och nämnaren visar hur många delar helheten är delad i. Bråkstrecket åtskiljer täljare och nämnare, så att förhållandet syns och detta ska alltid ses i relation till den aktuella helheten. Istället ser en del elever två olika tal där täljare och nämnare inte har någon direkt koppling till varandra. Dessa elever hanterar ofta täljare och nämnare var för sig, något som kan bli förödande vid bråkräkning (Figur 5). Begrepp och representationer Maj (14)

15 Figur 5. Illustration av missuppfattning. Eleven ska, i bråkform, skriva hur stor del av cirklarna som är blå. Eleven jämför antalet blåa och vita, och skriver förhållandet 4/6 istället för att se helheten, det vill säga hela mängden där 4 av 10 är blå. Division eller bråk Det kan vara svårt att avgöra om en uppdelning handlar om division eller bråk, oftast är det kontexten som avgör. Oavsett vilket är det även här viktigt att eleverna kommer till insikt om vad som är den hela mängden. Det är intressant att diskutera att resultatet av en division alltid blir detsamma matematiskt, men att det i praktiken kan få olika konsekvenser. 5/2 kan räknas ut som en division till 2,5 eller skrivas om i blandad form som 2 ½. Att dela fem bullar rättvist på två personer är lätt eftersom det är enkelt att skära itu en bulle i två halvor, men motsvarande med fem ballonger är svårare. Det är ingen större glädje med att få en halv ballong. Då är det bättre att blåsa upp den femte ballongen och leka med den tillsammans! En omelett kan delas i tre bitar, mamma äter en stor bit medan storebror äter en ganska stor bit och lillasyster en liten bit. Fullt begripligt vid köksbordet men betydligt mer svårfångat om det ska uttryckas med formell matematik som i detta fall kanske är 1/2 + 1/3 + 1/6. Denna typ av tankelekar och diskussioner hjälper elever att få grepp om vad som är helhet och vad som är delar, hur de kan representeras och får lov att hanteras. Eleverna behöver sedan efter hand referenspunkter, som exempelvis en halv, en tredjedel och en fjärdedel för att förhålla sig till och för att förstå den analoga klockan. Lärare vet att många elever stöter på problem vid bråkräkning och i förlängningen begrepp som relaterar till det, exempelvis procent och algebra. Vardagsanvändning av bråk var mer frekvent förr och sedan kom en tid då det inte var helt ovanligt att elever under sina år i grundskolan fick lära sig att omvandla tal i bråkform till decimaltal. Särskilt då det började finnas vardaglig tillgång till miniräknare kunde det uppfattas som ett enkelt sätt att lösa en del elevers problem med bråk. Även om det var omtänksamt så var det mindre klokt, särskilt för elever som fortsatte studera. Att en elev vet att ½ kan skrivas om som 0,5 är inte alltid till hjälp. En orsak till att elever är i matematiksvårigheter kan vara att de av någon anledning inte har klarat att ta steget från konkret manipulerande av material till abstrakta symboluttryck. Många elever behöver visuellt stöd av såväl helhet som delar under lång tid, men det visuella stödet får inte begränsas till enbart tårtor eller pizzor utan flera olika representationer behöver användas parallellt. Baka gärna rektangulära pizzor ibland! Laborativa matematikmaterial (exempelvis bråkstavar, bråktavlor och bråkburkar samt deras bildmässiga representationer) bör alltid finnas tillgängliga. Det finns många aktiviteter, spel och problem där samtliga elever behöver tillgång till laborativa matematikmaterial. Används sådana medvetet och finns som en naturlig resurs underlättar det för elever i Begrepp och representationer Maj (14)

16 matematiksvårigheter att ta stöd i konkret material även när flertalet av kamraterna arbetar på en mer bildmässig eller abstrakt nivå. Samband med stöd i olika representationer När elever redan tidigt får en grundläggande förståelse för vad del av och helhet är och varför det alltid är viktigt att veta vad som är utgångsläget, hjälper det dem att undvika en rad missuppfattningar. Leder det i förlängningen till förståelse för samband mellan tal i olika talområden och uttryckta på skilda sätt underlättar det oerhört mycket. Eleven behöver inte hålla lika många enstaka fakta i huvudet utan kan istället lita på sin förmåga att se samband och kunna resonera sig fram, ibland helt abstrakt med enbart symbolspråk, ibland med hjälp av mer bildmässiga eller konkreta representationer. När elever arbetar med olika representationer hjälper det läraren att förstå hur de tolkar och tänker kring det aktuella begreppet. Eleverna måste vara medvetna om, kunna hantera och vandra mellan olika representationer och måste förutom att få möjlighet att utveckla förståelse för styrkor och svagheter i olika representationer också diskutera varför de i vissa situationer väljer en representation framför en annan. Alltså behöver undervisningen vägleda eleverna mellan olika former av representationer. Detta gör lärare till största del med hjälp av språk, vilket betyder att språket både kan vara en muntlig representation och en mediator för att stärka undervisningen. Då läraren besitter kunskap om hur olika representationer kan nyttjas i förhållande till ett matematiskt innehåll underlättar det för att få alla elever inkluderade i matematikundervisningen och på så sätt öka elevers tillgänglighet till matematik. Referenser Bruner, J. S. (1966). Toward a theory of instruction. Cambridge, Mass.: Belknap Press. Goldin, G. & Shteingold, N. (2001). Systems of representations and the development of mathematical concepts. I A. Cuoco (red), The roles of representation in school mathematics (1 23). Reston, VA: NCTM. McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal en handbok. Göteborg: NCM, Göteborgs universitet. Skolverket (2016). Läroplan för förskolan Lpfö 98 ([Ny, rev. utg.]). Stockholm: Skolverket. Begrepp och representationer Maj (14)

17 Revision: 1 Datum:

18 Hur begreppet kan representeras Egenskaper hos begreppet som jag ska ta upp i min undervisning Naturliga tal 1 till 10 hur de kan storlekordnas, jämföras och delas upp hur de kan uttryckas och visas införa nollan diskutera varför 10 skrivs med två siffror inledande samtal om ental och tiotal Relationer till andra begrepp a. Större talområden och positionssystemet b. Enkla bråk som hel, halv, fjärdedel (kvart), tredjedel (tjugo minuter) c. Decimaltal Talen 0 10 Ord: ett, två, tre, etta, tvåa, trea, första, andra, tredje, Laborativa material: Oändligt många material kan användas, allt ifrån leksaker till pedagogiska material som exempelvis markörer, multilinkkuber och tiobasmaterial. Bild: informella symboler som θ J û o z M O È â tallinje Situationer: Välj i första hand händelser och situationer som direkt berör eleverna och deras vardag. Definition av begreppet Tal = grundläggande matematiskt begrepp som i sin enklaste form anger antal (kardinaltal) eller ordning i en följd (ordinaltal) Symboler: 0, 1, 2, 3, 1:a, 2:a, 3:e, Begreppstavlan är ett stöd för att olika aspekter av det aktuella begreppet uppmärksammas i undervisningen.

19 Revision: 1 Datum:

20 Matematik, Specialpedagogik Grundskola åk 4 6 Modul: Inkludering och delaktighet lärande i matematik Del 5: Begrepp och representationer Begrepp och representationer Helena Roos, Linnéuniversitetet och Lena Trygg, NCM Alla elever har nytta av att kunna se mönster och strukturer i den matematik de möter på lektionerna. Det medför att eleverna kan föra och följa sina egna resonemang med utgångspunkt i det de faktiskt kommer ihåg, istället för att enbart memorera en lång rad regler som kan te sig ganska meningslösa om det inte finns tydliga samband mellan dem. En förutsättning för att utveckla sin förmåga att se samband är att förstå och kunna hantera matematiska begrepp. Förståelse för begrepp bygger i sin tur på att elever kan använda flera olika representationer av ett och samma begrepp på ett flexibelt sätt och att de obehindrat kan vandra mellan de olika representationerna. Att representera och uttrycka ett matematiskt begrepp på olika sätt och på skilda nivåer är därmed både ett medel och ett mål för att varje elev ska utveckla och få förståelse för begreppen. Det är väl använd tid att ge elever i svårigheter extra stöd och mer tid för begreppsutveckling. Detta för att de ska bli säkra på att gå mellan olika representationer och efter hand kunna upptäcka och förstå samband mellan matematiska begrepp. Att hålla sig till en representation eller ett sätt att lösa en viss typ av uppgifter på kan tyckas bra då kan de i alla fall ett sätt men det visar sig allt för ofta leda in i återvändsgränder. För elever som enbart fått möta den traditionella subtraktionsalgoritmen, och kanske klarar den bra så länge det handlar om tvåeller tresiffriga heltal med högst någon enstaka tiotalsövergång, blir det betydligt svårare och allt för ofta fel i uppgifter som eller 505,5 490,8 jämfört med om eleverna kan lösa uppgiften genom att räkna upp från det minsta talet eller genom att föra ett resonemang på en tom tallinje. Är eleverna dessutom väl medvetna om räknesättens samband kan de också kontrollräkna effektivt. Vad är ett begrepp? I grundskolans kursplan för matematik, läroplan och kommentarmaterial såväl som i forskningslitteratur, används ordet begrepp frekvent men många gånger utan att det tydligt skrivs fram vad som menas med ett begrepp. Det lämnas alltså till läsaren att göra sin tolkning av ordet. I Nationalencyklopedin förklaras ordet begrepp med det abstrakta innehållet hos en språklig term. Ett matematiskt begrepp har således ett abstrakt matematiskt innehåll. Ett matematiskt begrepp är inte för evigt definitivt, exakt, absolut och klart avgränsat tvärtom kan det förändras och utvecklas över tid i takt med att matematiken och dess användning utvecklas. Begrepp är mänskliga tankekonstruktioner och kan betraktas som matematikens byggstenar. Ett matematiskt begrepp kan vara ett matematiskt objekt som en kvadrat, en process som subtraktion eller en egenskap som volym. Med exempelvis begreppet addition avses det abstrakta innehåll vi lägger i benämningen addition eller med andra ord vad vi menar med addition. Begrepp och representationer Maj (14)

21 Eftersom ett matematiskt begrepp är en tankekonstruktion behövs någon form av etiketter för att vi ska kunna kommunicera med och om det. Begreppet måste uttryckas på något sätt och därmed representeras visuellt, verbalt eller i handling. Det är i praktiken sällan uppenbart vad som kommer först själva begreppet eller olika sätt att uttrycka det, det vill säga att representera det. Tänk på begreppet stambråk. Å ena sidan kan man definiera stambråk med en exakt matematisk beskrivning som bråk som har täljaren 1. Å andra sidan stöter elever på stambråk och utforskar dess betydelse långt innan de kan sägas ha en färdig abstrakt idé om vad det betyder. De erfar olika representationer av stambråk, som det är en halvtimme kvar, det går åt en kvarts liter mjölk, en femtedel av eleverna cyklar, Kari vann med en hel tiondel i slalomtävlingen, innan de förstår själva begreppet. När eleverna arbetar med begrepp i skolan behöver deras tidigare erfarenheter därför beaktas och kopplas till undervisningen kring det aktuella begreppet. Som ett stöd för lärares planering kan följande begreppstavla användas (Figur 1). Figur 1. Exempel på begreppstavla. Begreppen representeras med hjälp av olika representationer Representation av begrepp kan ske med ord, bilder och andra symboler, eller med situationer och olika konkreta material. Begreppens egenskaper och definition I det här sammanhanget betraktas egenskaper synonymt med vilka kännetecken eller vilken beskaffenhet ett begrepp har. Vilka egenskaper hos begreppet som ska tas upp beror på undervisningens syfte och mål. Elevernas förkunskaper och tidigare erfarenheter av begreppet pekar på vilka (extra) anpassningar läraren bör göra. En egenskap hos addition är att det inte spelar någon roll i vilken ordning talen adderas, kommutativa lagen, och det är giltigt inte bara för positiva heltal utan även för decimaltal och negativa tal. I en definition försöker man så exakt som möjligt att precisera vad som utmärker det aktuella begreppet, så att det också går att särskilja från andra begrepp. Egenskapen att en differens inte ändras om båda termerna flyttar lika många steg (12 8 = 10 6) kan exempelvis ingå i en grundläggande definition av begreppet subtraktion och kan visas vara giltigt även för tal i decimalform Begrepp och representationer Maj (14)

22 (1,2 0,8 = 1,0 0,6). De matematiska begreppens egenskaper kan också fastställas genom att man genomför ett bevis, till exempel visar att summan av tre konsekutiva tal är delbar med tre, även det giltigt för tal i decimalform. Relationer till andra begrepp Varje matematiskt begrepp relaterar direkt till andra matematiska begrepp. Det finns exempelvis en stark relation mellan stambråk och övriga egentliga bråk (bråk där täljaren är mindre än nämnaren). Begrepp kan även med fördel jämföras och en aktivitet att ofta återkomma till är att göra eleverna uppmärksamma på vad som är lika och vad som skiljer. När bråk och tal i decimalform jämförs på en tallinje, som 1/5 jämfört med 0,5 eller 1/7 jämfört med 0,7 kan elever exempelvis se att de siffror som ingår i talen (5 respektive 7) inte direkt hjälper till att avgöra hur talen förhåller sig till varandra. Ett begrepp kan också ha vagare eller kanske inte lika synligt samband med andra begrepp. Decimaltal ingår ofta i beskrivningar av längder. 2,75 m utläses ofta som två å sjuttiofem men bör uttalas som två meter och sjuttiofem centimeter. I de fall då lärare märker att en elev har öar av kunskap kan det vara ett tecken på att eleven inte uppfattar samband mellan olika begrepp. Begreppsutveckling Begreppsutveckling kan ses som en pågående process för att successivt upptäcka och lära sig vad som är gemensamt eller utmärkande för ett begrepp. När små barn lär sig vad som är karaktäristiskt för det som kan betecknas med begreppet stol eller elever lär sig känna igen begrepp som addition eller omkrets, är det exempel på begreppsutveckling. Det handlar om att förstå ett begrepp i en sådan mening att man obehindrat kan använda sig av det i rimliga sammanhang. Redan i förskolans läroplan (2016) talas det om förmåga att urskilja, uttrycka, undersöka och använda matematiska begrepp. Elever lär sig allt eftersom att urskilja och formalisera begrepp ju mer erfarna de blir och desto mer undervisning de får. Begreppen förfinas, nyanseras och ges en alltmer exakt och precis innebörd och kan relateras till ännu fler begrepp. Genom god undervisning och möjlighet till många diskussioner om hur eleverna uppfattar olika matematiska begrepp, kan de förfina och nyansera sin bild av begreppen. Det är ett skäl till varför det är betydelsefullt att avsluta lektioner eller aktiviteter med att låta eleverna sammanfatta vad de har upptäckt, uppfattat eller kanske inte förstått. Ibland är det diskussion i helklass som gör att missuppfattningar lyfts fram och kan förebyggas eller att elever ser samband, vid andra tillfällen kan enskilda bildmässiga eller skriftliga dokumentationer vara mer fördelaktiga. Huvudsaken är att säcken knyts ihop på något sätt. Det är ofta svårt att ändra en felaktig bild av ett begrepp som har blivit befäst, som när elever fått missuppfattningar som det blir alltid större när man multiplicerar eller det finns bara ett tal mellan 2 och 4. I forskning och diskussion kring lärande är Lev Vygotskijs teori om begreppsutveckling ett fundament. Hans teorier handlar om begrepp i en vidare och mer generell mening, inte specifikt matematiska begrepp, men tankarna är direkt överförbara till detta sammanhang. Vygotskij menar att begrepp hjälper till att systematisera och att hålla ordning i det sociala och materiella kaos som råder runt oss. Begrepp speglar den underliggande teorin om hur Begrepp och representationer Maj (14)

23 ting kan grupperas, hur de hänger samman, vilka förhållanden de har till varandra och vilka gemensamma egenskaper som finns. Att lära sig ett begrepp betyder således att olika erfarenheter av begreppet binds samman och att förstå grundprinciperna samt relationen till andra begrepp. Elever i matematiksvårigheter kan ha svårt att binda samman olika erfarenheter av begrepp för att förstå grundprinciperna. Undervisningen behöver lyfta fram kopplingar mellan erfarenheter av ett begrepp och synliggöra sambanden, exempelvis med stöd i den tidigare beskrivna begreppstavlan. Elevers egen dokumentation kan anpassas så att den enskilde elevens begreppsutveckling blir synlig för såväl eleven själv som för läraren som i sin tur kan använda dokumentationen i formativt syfte. Då kan elevens kunskap om ett begrepp lagras i långtidsminnet och skapa befäst förståelse, istället för att korttidsminnet belastas med en mängd enskilda och isolerade faktauppgifter. Språk och begrepp I matematikundervisningen behöver formellt matematikspråk uppmärksammas och diskuteras i relation till informellt vardagligt språkbruk. Målet är att eleverna ska utveckla sitt formella matematikspråk och förstå skillnader och likheter med det vardagliga språket. Dock är det viktigt att beakta att elever inte alltid har ett vardagsspråk kopplat till ett begrepp, men de kan ändå utveckla ett matematiskt språk. Här bör läraren vara noga med att inte överbelasta för en enskild elev som utvecklar sitt vardagsspråk samtidigt med sitt matematiska språk. Elever har olika förutsättningar och bakgrund. Detta gör att det är stor variation i klassrummet gällande kunskap om och förståelse för begrepp. Idag kan skolan behöva ta ett större ansvar jämfört med tidigare att ge elever möjligheter att utveckla begrepp, både vardagliga och vetenskapliga och relationer däremellan. Några områden som bör uppmärksammas extra är tid och massa/vikt som idag blir allt mer abstrakta begrepp på grund av den digitala utvecklingen. Lärare bör även reflektera över användandet av pengar som representation, då pengar i sig är en abstraktion med både värde och antal, samt att pengar i form av sedlar och mynt inte alls används i samma utsträckning som tidigare. Om elever ska skapa förståelse för formella matematiska begrepp måste de få erfarenheter av begreppet. Ett sätt att skapa erfarenheter är att presentera begrepp på olika sätt i undervisningen och medvetet använda både vardagliga och matematiska ord. Då kan elever och lärare skapa ett gemensamt språk och gemensamma referensramar som läraren sedan kan bygga den fortsatta undervisningen på. Vid aktivt arbete med diskussioner kring ord och begrepp kan eleverna själva upptäcka nya ord och utöka sitt ordförråd i relation till matematiska begrepp. Här kan frågor som Vad heter...? Vad betyder...? Hur kan man förklara...? Finns det något annat ord för...? Varför heter det...? vara till god hjälp vid elevdiskussioner, i undervisningssituationer och då eleverna själva dokumenterar sitt lärande. Medvetenhet om språkets betydelse blir särskilt viktigt vid undervisning i mångkulturella grupper, där lärare och studiehandledare behöver vara explicita med att definiera matematiska begrepp och även diskutera begreppen tydligt så eleverna förstår nyanserna i begreppen. Eleverna måste förstå att matematiska begrepp kan ha en helt annan betydelse i en annan kontext, till exempel betyder ett bevis en sak i en tv-deckare och en annan sak i Begrepp och representationer Maj (14)

24 matematik, och begreppet volym som betyder en sak i samband med musik betyder vanligtvis något annat på en matematiklektion. Det går inte att ta för givet att eleverna förstår nyanserna i begreppen, utan en tydlig undervisning behöver behandla dessa begrepp så att alla elever förstår de underförstådda skillnaderna för att öka deras tillgänglighet till matematik. Representationer Lärande i matematik kan beskrivas som en kumulativ process där eleverna stegvis får tillgång till allt fler och mer avancerade representationer och förstår hur de hör samman, hur de kan användas och hur de kan uttryckas. Att kunna beskriva och använda ett begrepp på flera sätt med olika representationsformer är tecken på god begreppsförmåga och funktionell begreppskunskap. För att kunna tänka på och kommunicera ett matematiskt begrepp måste det vara representerat på något sätt eftersom matematiska objekt i sig är abstrakta. För att beskriva detta förekommer i Sverige orden uttrycksformer, representationer och representationsformer, ibland synonymt och ibland läggs lite olika betydelse in i dem. I matematikdidaktisk litteratur används främst ordet representationer för att beskriva hur ett matematiskt begrepp kan kommuniceras. Vad är representationer? En representation är något som med avsikt används eller utformas för att i tanke, handling eller kommunikation ersätta det man syftar på. Ett matematiskt exempel är att vi använder siffror när vi arbetar med tal. Siffran står där istället för själva talet som man inte kan se, men som man förväntas associera till. Tecknet 3 är en symbol för talet tre, medan tecknet är symbol för ett irrationellt tal lite större än tre. Tecknet är som ett namn på begreppet pi och bokstaven förekom som symbol för talet för första gången år 1706 (Kiselman & Mouwitz, 2008). En representation kan alltså vara en symbol, en bild, ett objekt eller något annat som representerar ett matematiskt objekt. Andra exempel på detta är symbolerna 1 och 0 eller fem prickar på två tärningar. Båda fallen representerar talet tio, men med två olika former av representation, symboler respektive bild. Ett sätt att beskriva dessa former är att dela in dem i olika register som innehåller en uppsättning representationer som är nära relaterade till varandra. Ett exempel på ett sådant register är det ikoniska registret som innehåller skisser, bilder och mönster. Ett annat är det symboliska registret som innehåller symboler så som siffror, olika matematiska tecken och bokstäver. Definitioner av begreppet representation kan variera något i ordalydelse men det handlar alltid om att representationer ersätter något och står i stället för något annat och att varje form av representation i någon grad är en abstraktion. Representationer kan dessutom ha dubbla roller, de kan ses som en konkretisering av abstrakta matematiska begrepp samtidigt som de representerar verkliga objekt. Ett laborativt material som markörer kan fungera som en konkret modell för abstrakta tal när de används för att visa relationen mellan exempelvis jämna och udda tal. De kan även användas för att modellera verkliga situationer, som när ett visst antal markörer representerar motsvarande antal föremål eller personer. Begrepp och representationer Maj (14)

25 Varför ska elever arbeta med representationer? Av tradition har representationer i form av symboliska uttryck länge varit en dominerande del av skolmatematiken. I undervisningen framstår representationer olyckligtvis ibland som att de är helt fristående. Tidigare var det inte ovanligt att det på ett prov stod tydligt framskrivet med vilken representation en uppgift skulle lösas, exempelvis visa i ett stolpdiagram eller ställ upp en tabell. Ett sådant synsätt innebär att kraften och nyttan med representationer som redskap för lärande i matematik begränsas. Idag är det mer vanligt att elever uppmuntras att visa med flera olika representationer hur de löser en uppgift eller då de förklarar hur de uppfattar ett begrepp. För att kunna hantera olika representationer av matematiska förhållanden behöver en elev kunna förstå representationen, det vill säga kunna avkoda och tolka vad den avser att ersätta, använda sig av olika slags representationer av matematiska begrepp som exempelvis är visuella, verbala, symboliska, algebraiska, geometriska, grafiska, i form av diagram och tabeller eller konkreta objekt. Eleven behöver även kunna uppfatta inbördes kopplingar och samband mellan olika representationsformer och ha kännedom om deras styrkor och svagheter samt kunna välja bland och översätta mellan olika representationsformer beroende på situation och syfte. Denna korta sammanfattning visar tydligt hur komplext det är att lära sig använda representationer på ett fruktbart sätt. Det tar mycket tid och möda för alla elever och elever i matematiksvårigheter behöver allt stöd de kan få för att kunna bringa ordning och kunna använda olika representationer som ett stöd i sitt lärande. Ett övergripande och medvetet fokus på att lyfta fram olika slags representationer och att anpassa dem på olika sätt till olika elever kan underlätta för att få alla elever inkluderade i matematikundervisningen. Det är med andra ord nödvändigt att använda olika former av representationer i undervisningen för att nå varje elev. Eftersom förståelse för olika former av representationer och översättning mellan dem är avgörande för att lära sig matematik, kan man till och med säga att lärande sker när elever kan vandra mellan olika register. Många elever är mer bekväma med att översätta mellan representationer inom ett och samma register än mellan olika register. För elever som är vana att hantera laborativa material kan det vara enklare att visa 3/5 (tre femtedelar) som 3 dl i ett halvlitersmått eller 6 dl i ett litermått, märka upp ett snöre i fem delar och klippa bort tre av dem eller lägga fram fem knappar där tre av dem är röda än att skriva 3/5 som 6/10, 9/15 och 30/50. För elever ovana vid att använda konkreta representationer kan det omvända gälla. För båda grupperna kan det uppstå svårigheter om de istället ska göra halvkonkreta representationer och visa med hjälp av illustrationer. Om pizzor är den enda bildmässiga representationen som eleverna har erfarenhet av att använda är det inte alldeles självklart hur olika uttryck för femtedelar enklast representeras. Det är inte heller säkert att alla elever förstår översättningar mellan olika representationer, utan de behöver mycket tydlig vägledning mellan olika former av representation, både inom och mellan olika register. Samtidigt behöver läraren vara vaksam på hur eleverna tar emot undervisningen med hjälp av flera Begrepp och representationer Maj (14)

26 olika representationer så att inte för många olika former av representationer presenteras för tätt inpå varandra och förvirrar istället för att förtydliga. Betydelsen av att elever ges möjlighet att möta och arbeta med olika representationer i matematikundervisningen återspeglas tydligt i aktuella styrdokument. I kursplanen för matematik skrivs det fram att en förmåga som eleverna ska utveckla är att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. Detta exemplifieras i kommentarmaterialet till kursplanen i matematik: När det gäller förmågan att använda matematikens uttrycksformer för att kommunicera är utgångspunkten i de tidigare årskurserna enkla beskrivningar av tillvägagångssätt med konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer. I senare årskurser och på de högre betygsnivåerna ställs krav på att eleven beskriver tillvägagångssätt med mer precisa och välutvecklade matematiska uttrycksformer och ökad grad av anpassning till syfte och sammanhang. Därför räcker det inte att enbart räkna med siffror och bokstäver i en lärobok utan eleverna måste under hela sin skolgång få arbeta med fler representationsformer som att undersöka med laborativa material, penna och papper eller digitala hjälpmedel med ord (vardagliga ord och matematiska termer) tala och skriva matematik använda bildspråk, med allt ifrån egna informella skisser till professionellt framtagna illustrationer exemplifiera med hjälp av verkliga och fiktiva situationer i närmiljö och omvärld beskriva sina tankegångar med hjälp av, för kunskapsnivån lämpligt, matematiskt symbolspråk. Figur 2. Fem uttrycksformer. Bilden är en omarbetad uppdelning utifrån Richard Leshs schematiska bild över representationer och deras kopplingar till varandra. Begrepp och representationer Maj (14)

27 I Figur 2 omfattar Ord både informellt vardagsspråk och formella matematiska termer. Både Ord och Symboler kan förekomma i såväl tal som skrift. Ett sätt att tolka den omarbetade bilden (Figur 2) är att se på den från vänster till höger, där tanken då är att representationerna i någon mening går från det konkreta via bilder till det allt mer abstrakta. Man kan också välja andra sätt för uppdelning och benämning, som exempelvis fysiska, bildliga eller grafiska, verbala, numeriska och symboliska uttrycksformer. Idéerna om att matematiklärandet utvecklas genom elevers möte och arbete med olika representationer har funnits länge och utvecklas fortfarande. I många studier refereras till den amerikanske psykologen Jerome Bruners (1966) tre representationsnivåer som beskriver en progression från en handlingsbaserad konkret nivå till en symbolisk och abstrakt nivå: 1. På den handlingsbaserade nivån är eleven fysiskt aktiv; manipulerar, konstruerar eller arrangerar föremål från den verkliga världen. Denna nivå är den mest konkreta och här grundläggs begreppen, men de existerar bara så länge eleven kan relatera dem till den verkliga världen. Om eleven får möjlighet att utveckla begreppen kan dessa så småningom bli abstrakta och funktionella då eleven når den symboliska nivån. 2. Den bildmässiga eller ikoniska nivån identifieras genom att den representerar händelser i den verkliga världen genom beskrivande former som till exempel verbala formuleringar eller bilder av olika slag. 3. Den symboliska nivån är den mest sofistikerade och bygger på att eleven, vid lärande av ett givet begrepp, har erfarenheter från de båda föregående nivåerna. Karaktäristiskt för denna nivå är att all manipulation sker med symboler helt oberoende av de handlingsbaserade och bildmässiga representationerna. Jämför dessa nivåer med de tidigare nämnda registren med olika representationer och skissen ovan. Sätten att se på representationer återspeglar varandra väl. När undervisningen är planerad så att elever hanterar laborativa material, bilder och andra representationer uppstår det ofta diskussioner om matematikinnehållet vid övergångar och översättningar mellan representationerna, vilket kan underlätta för läraren att uppfatta elevers tankegångar och få tillfällen att se hur de tänker. För en elev som kan tyckas ha en välutvecklad symbolisk förståelse kan det vara lätt hänt att hoppa över de två första stegen, men det finns då en risk för att eleven inte har någon bildmässig representation att falla tillbaka på, om eller när svårigheter uppstår på den symboliska nivån. Således bör alla representationsnivåer beaktas på samtliga skolstadier. Detta är giltigt för alla elever men särskilt viktigt för elever i matematiksvårigheter. Ett sätt att undersöka en elevs förståelse för de tidigare nivåerna är att be att han/hon ska konkretisera, till exempel visa ett symboliskt uttryck med en illustration eller ett konkret material. Begrepp och representationer Maj (14)

28 Representationer, på olika nivåer och i skilda register, som används i lektionsaktiviteter fungerar inte bara som en länk från det konkreta till det abstrakta, de kan också fungera som en länk för att hjälpa elever att tillämpa abstrakt matematik i konkreta situationer. Den dubbelriktade vägen skriver exempelvis Gerald Goldin och Nina Shteingold (2001) fram som en viktig aspekt av representationer (Figur 3). För att stegen mellan konkret och abstrakt ska kunna tas behöver broar byggas i undervisningen och läraren behöver noggrant och medvetet välja aktiviteter och material som gör att elever får möta och använda olika representationer. Om en elev kan lösa ett problem praktiskt och konkret men inte abstrakt och symboliskt behöver eleven få ytterligare stöd att gå från det konkreta mot det abstrakta, men även tillbaka från det abstrakta till det konkreta. Figur 3. Illustration av dubbelriktad väg mellan det konkreta och det abstrakta (Goldin & Shteingold, 2001). Hur kan arbete med representationer ske? Det enda sättet att få befäst tillgång till matematiska representationer är att bli bekant med dem, se dem, känna på dem, prata om dem och använda dem i olika uppgifter. Genom att kombinera olika representationer begränsas eleven inte av styrkor och svagheter i en representation, utan kombinationen kan göra att eleven får stöd i sitt lärande. För att kunna utnyttja fördelarna med flera representationer måste eleven förstå förhållandet eller sambandet mellan dem. Om representationer visas i olika register kan elever med begränsad förståelse för representationer få svårigheter att se deras inbördes förhållanden. Därför bör undervisningen planeras så att olika representationer påvisas och eleverna får erfara relationerna mellan dem så att matematiken blir tillgänglig för alla elever i klassen. En enskild representation, som ett arrangemang av kuber, en geometrisk konstruktion, ett talmönster, en graf i ett koordinatsystem, en tabell, en ekvation eller en formel, kan inte fungera och vara meningsfull på egen hand utan måste alltid ingå i ett större system där dess mening och konventioner har etablerats. Systemet måste också ha en struktur så att olika representationer är starkt kopplade till varandra. Ett sätt att se på representationer, bland annat för att bättre förstå de kognitiva hinder många elever har då de ska tillägna sig vissa matematiska begrepp, är enligt Goldin och Shteingold att dela in dem i externa och interna representationer: externa representationer utgår från matematikens konventionella symbolspråk, till exempel sättet att notera i tiobassystemet, den formella algebraiska notationen och hur tallinjen och koordinatsystem används interna representationer är exempelvis elevens personliga symbolkonstruktioner, eget språk, visuella bilder och förhållande till matematik. Begrepp och representationer Maj (14)

29 De framhåller att interaktionen mellan interna och externa representationer är fundamental för ett effektivt matematiklärande; att eleverna får möjlighet att utveckla ändamålsenliga interna representationer som sedan ansluter till de externa representationerna. Jämför med de förklaringar eleverna i modulens inledning gav uttryck för då de skulle beskriva hur deras inre talrad ser ut. Goldin och Shteingold (2001) ser att det finns möjlighet att öka antalet elever som lyckas väl med skolmatematiken. De menar att elevers begränsningar för att förstå matematik, utan att för den skull förneka existens eller betydelse av olika förmågor, inte i första hand är medfödda. Begränsningarna är snarare ett resultat av att deras inre system av representationer bara är delvis utvecklat och därmed kan medföra hinder, svårigheter och missuppfattningar. De hävdar att ett grundläggande mål för matematikundervisningen är att låta eleverna utveckla effektiva inre representationer som är samstämmiga med de externa representationerna. Goldin och Shteingold tror inte det är en tillfällighet att matematikdidaktiker redan tidigt var överens om att matematiska idéer bör introduceras genom att undervisningen börjar i konkreta representationer och sedan går vidare till allt mer abstrakta representationer. Idag visar exempelvis den så kallade Singaporematematiken att det går att nå goda resultat då matematikundervisningen tydligt byggs upp med dessa tankar som en av de viktiga grundförutsättningarna. Tanketavlor En tydlig gång från konkret till abstrakt utgör ofta en god grund vid begreppsbildning, det vill säga då elever möter nya begrepp eller vid begreppsutveckling som när talbegreppet vidgas från heltal till decimaltal och tal i bråkform. En tanketavla (McIntosh, 2008) kan då vara ett använbart redskap. En tanketavla kan förklaras som ett pappersark som delas i fyra delar där varje del får en av rubrikerna Ord, Bild, Beräkning respektive Samband. I mitten ritas en ruta med texten Symboler. I mitten ritas en ruta med texten Symboler. Här ska eleverna använda såväl konkreta, som bildmässiga och abstrakta representationer och de kan vid arbete med tanketavlor själva välja i vilken ordning de ska ta sig an de olika representationerna. Tanketavlorna kan också fungera som ett redskap för att analysera elevers kunnande eftersom svårigheter att gå mellan olika representationsformer kan vara ett tecken på bristande förståelse. Tanketavlorna kan även vara ett redskap för att analysera om undervisningen har stött elevers lärande inom det aktuella begreppet. Helheter och delar Ett ofta förekommande matematiskt begrepp under elevers skolgång, som enkelt kan representeras med konkret material, bilder, situationer, ord och symboler, är del av. För att hantera del av -begreppet vid bråk- och procenträkning är begreppet helhet en ytterst viktig förkunskap. Elever på mellanstadiet vet vad en helhet är, men de kan behöva hjälp att reda ut olika slags helheter, hur de kan delas och få det förtydligat hur helheter och delar hanteras matematiskt. Andemeningen i följande text går till stor del att använda tillsammans med elever i matematiksvårigheter. Ibland fungerar det bättre att samtala med elever om Begrepp och representationer Maj (14)

30 vad barn gör istället för att ta upp ett innehåll som de själva skulle uppleva som barnsligt och då slå ifrån sig. Elevers tidiga möten med helheter och delar Redan i förskolan delar barnen frukt och de förstår tidigt att en halv banan är större än en halv vindruva. Till och med en fjärdedels banan är mer än en hel vindruva. Barnen behöver sedan fortsätta att möta delar av olika helheter. De flesta barn tycker säkert att ett halvt äpple eller en halv apelsin mättar lika bra, men de flesta skulle inte nöja sig med en halv vindruva och inte heller vilja äta upp en halv vattenmelon själv. Liknande resonemang förs om både annan slags mat (pizza och tårta!) och dryck, och annat som snören, pappersark, modellera, utrymme på en bänk, etcetera. Det är viktigt att lyfta fram vad som är det hela och benämna de olika delarna, och det som är gemensamt för en frukt, ett snöre, en klump modellera och utrymmet på en bänk är att de utgör kontinuerliga mängder. I vardagliga sammanhang på denna nivå är det i varje enskilt fall alltid möjligt att ange vad som är det hela och, återigen vardagligt, att se delningen i lika stora delar. Barn får även tidigt erfarenhet av att dela upp mängder som består av ett antal föremål. Jag får fem vindruvor och du får också fem stycken. Om vi tre delar kexen lika får vi två var. Jag har sju knappar: två är blå, tre är röda och två är gröna. En helhet som består av ett antal saker utgör en diskret mängd. Ordet diskret kommer i detta sammanhang från det engelska ordet discrete, åtskild, separat och har inget med diskret lika med försynt eller dämpad att göra. Tänk på Fem myror är fler än fyra elefanter, då är det enbart antalet djur som är av betydelse i jämförelsen. Fruktdelning sker oftast inte strikt matematiskt korrekt utan handlar för barnen mer om att det ska vara rättvist och de har inga problem med att ge bort en frukt eller en bit som eventuellt blir över. När flaskans bubbelvatten är jämnt upphällt i fyra glas eller när pralinerna är fördelade lika på fyra personer, har varje person fått en fjärdedel av vattenmängden eller antalet praliner. Till vardags använder vi uttryck som att ta hälften var och dela i fyra delar, men då menar vi inte alltid en exakt likadelning som är grunden för att förstå tal i bråkform. Att ordet bråk kommer ur tyskans gebrochen, som betyder bruten, är bra att känna till. Tal i bråkform är just tal som brutits i mindre, men lika stora delar, och det måste göras synligt i undervisningen. För att bygga upp förståelsen krävs många och varierade laborativa erfarenheter där konkreta material och bilder används som representationer, där det talade språket är utgångspunkt för samtal och diskussioner och bråkuttryck skrivs med hela ord, till exempel fjärdedel. På sikt uttrycker vi helheten som 1 och de olika delarna med symboler. Detta behöver lärare ta upp och ofta diskutera på matematiklektioner så elever kommer till insikt att de kan vara lite vardagligt slarviga när de delar grejer med varandra ofta enligt principen att en delar och den andre väljer men att de måste dela formellt och korrekt när de arbetar matematiskt. Begrepp och representationer Maj (14)

31 Pratar vi formellt om en femtedel så är det en helhet som har delats i fem exakt lika stora delar. Däremot kan det i praktiken betyda att delarna ser olika ut. I en kontinuerlig mängd kan en femtedels kvadratdecimeter, som alltid är 20 cm 2, ritas som exempelvis en rektangel 4 5 cm 2 eller 2 10 cm 2, eller som en långsmal ruta som är en centimeter hög och två decimeter lång. I en diskret mängd som kulor betyder det att fem barn får lika många kulor var, men de i sin tur kan ha olika färg eller storlek och vara tillverkade i olika material. Vid likadelning utgör varje del en av antalet delar i helheten eller mängden och till grundläggande förståelse hör insikten att varje del är mindre än helheten och att ju fler delar en helhet delas i desto mindre blir varje del. Detta är resonemang som har vardaglig betydelse för alla elever, ju fler som ska dela på godiset, pengarna eller utrymmet i soffan, desto mindre del till var och en. Vare sig mängden är kontinuerlig eller diskret är det alltid helheten som avgör hur stora delarna blir. Även när elever har förståelse för att ju fler delar något delas i desto mindre blir varje del, kan missuppfattningen att 1/9 måste vara större än 1/5 eftersom 9 är större än 5 finnas. En vanlig orsak till den missuppfattningen är att elever inte uppfattar ett bråkuttryck som en helhet, ett tal, där täljaren anger antalet delar av helheten och nämnaren visar hur många delar helheten är delad i. Bråkstrecket åtskiljer täljare och nämnare, så att förhållandet syns och detta ska alltid ses i relation till den aktuella helheten. Istället ser en del elever två olika tal där täljare och nämnare inte har någon direkt koppling till varandra. Dessa elever hanterar ofta täljare och nämnare var för sig, något som kan bli förödande vid bråkräkning (Figur 4). Figur 4. Illustration av missuppfattning. Eleven ska, i bråkform, skriva hur stor del av cirklarna som är blå. Eleven jämför antalet blåa och vita, och skriver förhållandet 4/6 istället för att se helheten, det vill säga hela mängden där 4 av 10 är blå. Division eller bråk Det kan vara svårt att avgöra om en uppdelning handlar om division eller bråk, oftast är det kontexten som avgör. Oavsett vilket är det även här viktigt att eleverna kommer till insikt om vad som är den hela mängden. Det är intressant att diskutera att resultatet av en division alltid blir detsamma matematiskt, men att det i praktiken kan få olika konsekvenser. 5/2 kan räknas ut som en division till 2,5 eller skrivas om i blandad form som 2 ½. Att dela fem bullar rättvist på två personer är lätt eftersom det är enkelt att skära itu en bulle i två halvor, men motsvarande med fem ballonger är svårare. Det är ingen större glädje med att få en halv ballong. Då är det bättre att blåsa upp den femte ballongen och leka med den tillsammans! En omelett kan delas i tre bitar, mamma äter en stor bit medan storebror äter en ganska stor bit och lillasyster en liten bit. Fullt begripligt vid köksbordet men betydligt Begrepp och representationer Maj (14)

32 mer svårfångat om det ska uttryckas med formell matematik som i detta fall kanske är 1/2 + 1/3 + 1/6. Denna typ av tankelekar och diskussioner hjälper elever att få grepp om vad som är helhet och vad som är delar, hur de kan representeras och får lov att hanteras. Eleverna behöver sedan efter hand referenspunkter, som exempelvis en halv, en tredjedel och en fjärdedel för att förhålla sig till, bland annat för att förstå den analoga klockan. Lärare vet att många elever stöter på problem vid bråkräkning och i förlängningen begrepp som relaterar till det, exempelvis procent och algebra. Vardagsanvändning av bråk var mer frekvent förr och sedan kom en tid då det inte var helt ovanligt att elever under sina år i grundskolan fick lära sig att omvandla tal i bråkform till decimaltal. Särskilt då det började finnas vardaglig tillgång till miniräknare kunde det uppfattas som ett enkelt sätt att lösa en del elevers problem med bråk. Även om det var omtänksamt så var det mindre klokt, särskilt för elever som fortsatte studera. Att en elev vet att ½ kan skrivas om som 0,5 är inte alltid till hjälp. En orsak till att elever är i matematiksvårigheter kan vara att de av någon anledning inte har klarat att ta steget från konkret manipulerande av material till abstrakta symboluttryck. Många elever behöver visuellt stöd av såväl helhet som delar under lång tid, men det visuella stödet får inte begränsas till enbart tårtor eller pizzor utan flera olika representationer behöver användas parallellt. Baka gärna rektangulära pizzor ibland! Laborativa matematikmaterial (exempelvis bråkstavar, bråktavlor och bråkburkar samt deras bildmässiga representationer) bör alltid finnas tillgängliga. Det finns många aktiviteter, spel och problem där samtliga elever behöver tillgång till laborativa matematikmaterial. Används sådana medvetet och finns som en naturlig resurs underlättar det för elever i matematiksvårigheter att ta stöd i konkret material även när flertalet av kamraterna arbetar på en mer bildmässig eller abstrakt nivå. Samband med stöd i olika representationer När elever redan tidigt får en grundläggande förståelse för vad del av och helhet är och varför det alltid är viktigt att veta vad som är utgångsläget, hjälper det dem att undvika en rad missuppfattningar. Leder det i förlängningen till förståelse för samband mellan tal i olika talområden och uttryckta på skilda sätt underlättar det oerhört mycket. Eleven behöver inte hålla lika många enstaka fakta i huvudet utan kan istället lita på sin förmåga att se samband och kunna resonera sig fram, ibland helt abstrakt med enbart symbolspråk, ibland med hjälp av mer bildmässiga eller konkreta representationer. När elever arbetar med olika representationer hjälper det läraren att förstå hur de tolkar och tänker kring det aktuella begreppet. Eleverna måste vara medvetna om, kunna hantera och vandra mellan olika representationer och måste förutom att få möjlighet att utveckla förståelse för styrkor och svagheter i olika representationer också diskutera varför de i vissa situationer väljer en representation framför en annan. Alltså behöver undervisningen vägleda eleverna mellan olika former av representationer. Detta gör lärare till största del med hjälp av språk, vilket betyder att språket både kan vara en muntlig representation och en mediator för att stärka undervisningen. Då läraren besitter kunskap om hur olika Begrepp och representationer Maj (14)

33 representationer kan nyttjas i förhållande till ett matematiskt innehåll underlättar det för att få alla elever inkluderade i matematikundervisningen och på så sätt öka elevers tillgänglighet till matematik. Referenser Bruner, J. S. (1966). Toward a theory of instruction. Cambridge, Mass.: Belknap Press. Goldin, G. & Shteingold, N. (2001). Systems of representations and the development of mathematical concepts. I A. Cuoco (red), The roles of representation in school mathematics (1 23). Reston, VA: NCTM. Kieselman, C. & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. NCM, Göteborgs universitet. McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal en handbok. Göteborg: NCM, Göteborgs universitet. Skolverket (2016). Läroplan för förskolan Lpfö 98 ([Ny, rev. utg.]). Stockholm: Skolverket. Begrepp och representationer Maj (14)

34 Revision: 1 Datum:

35 Hur begreppet kan representeras Egenskaper hos begreppet som jag ska ta upp i min undervisning Ord: en hel, en halv, en tredjedel, (ramsräkna stambråken) Bråk framskrivet i kursplanen för åk 4-6: tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer tal i procentform och deras samband med tal i bråk- och decimalform Relationer till andra begrepp a. Decimaltal och tal i procentform b. Jämföra addition och subtraktion av stambråk c. Tal i blandad form (a > b) och vad det kan innebära i vardagen. Tal i bråkform Definition av begreppet Bråk = uttryck av formen a/b eller a b Laborativa material: Vi ska använda pedagogiska material som bråkstakar, bråkcirklar och bråktavlor men också vardagliga produkter som pappersark, snören, vatten, frukter och så vidare. Bild: Tårtorna som eleverna dekorerade på bildlektionen förra månaden. Då kan vi titta på både del av helhet och del av antal eftersom de dekorerade med bland annat jordgubbar och rosor. 1. Placera in stambråken på tallinjen. 2. Placera in egentliga bråk på tallinjen. 0 1 Situationer: Låta eleverna diskutera när de använder bråk till vardags som recept, tidsuttryck och att fördela saker (både kontinuerliga och diskreta mängder). Symboler: Ge eleverna uppgifter där de ser hur täljare och nämnare förhåller sig till varandra och varför de skrivs som a/b. Noga diskutera att talet i bråkform ska tolkas just som ett tal. Begreppstavlan är ett stöd för att olika aspekter av det aktuella begreppet uppmärksammas i undervisningen.

36 Revision: 1 Datum:

37 Matematik, Specialpedagogik Grundskola åk 7 9 Modul: Inkludering och delaktighet lärande i matematik Del 5: Begrepp och representationer Begrepp och representationer Helena Roos, Linnéuniversitetet och Lena Trygg, NCM Alla elever har nytta av att kunna se mönster och strukturer i den matematik de möter på lektionerna. Det medför att eleverna kan föra och följa sina egna resonemang med utgångspunkt i det de faktiskt kommer ihåg, istället för att enbart memorera en lång rad regler som kan te sig ganska meningslösa om det inte finns tydliga samband mellan dem. En förutsättning för att utveckla sin förmåga att se samband är att förstå och kunna hantera matematiska begrepp. Förståelse för begrepp bygger i sin tur på att elever kan använda flera olika representationer av ett och samma begrepp på ett flexibelt sätt och att de obehindrat kan vandra mellan de olika representationerna. Att representera och uttrycka ett matematiskt begrepp på olika sätt och på skilda nivåer är därmed både ett medel och ett mål för att varje elev ska utveckla och få förståelse för begreppen. Det är väl använd tid att ge elever i svårigheter extra stöd och mer tid för begreppsutveckling. Detta för att de ska bli säkra på att gå mellan olika representationer och efter hand kunna upptäcka och förstå samband mellan matematiska begrepp. Att hålla sig till en representation eller ett sätt att lösa en viss typ av uppgifter på kan tyckas bra då kan de i alla fall ett sätt men det visar sig allt för ofta leda in i återvändsgränder. För elever som enbart fått möta den traditionella subtraktionsalgoritmen, och kanske klarar den bra så länge det handlar om tvåeller tresiffriga heltal med högst någon enstaka tiotalsövergång, blir det betydligt svårare och allt för ofta fel i uppgifter som 3001, ,5 jämfört med om eleverna kan lösa uppgiften genom att räkna upp från det minsta talet eller genom att föra ett resonemang på en tom tallinje. Är eleverna dessutom väl medvetna om räknesättens samband kan de också kontrollräkna effektivt. Vad är ett begrepp? I grundskolans kursplan för matematik, läroplan och kommentarmaterial såväl som i forskningslitteratur, används ordet begrepp frekvent men många gånger utan att det tydligt skrivs fram vad som menas med ett begrepp. Det lämnas alltså till läsaren att göra sin tolkning av ordet. I Nationalencyklopedin förklaras ordet begrepp med det abstrakta innehållet hos en språklig term. Ett matematiskt begrepp har således ett abstrakt matematiskt innehåll. Ett matematiskt begrepp är inte för evigt definitivt, exakt, absolut och klart avgränsat tvärtom kan det förändras och utvecklas över tid i takt med att matematiken och dess användning utvecklas. Begrepp är mänskliga tankekonstruktioner och kan betraktas som matematikens byggstenar. Ett matematiskt begrepp kan vara ett matematiskt objekt som en kvadrat, en process som subtraktion eller en egenskap som volym. Med exempelvis begreppet addition avses det abstrakta innehåll vi lägger i benämningen addition eller med andra ord vad vi menar med addition. Begrepp och representationer Maj (14)

38 Eftersom ett matematiskt begrepp är en tankekonstruktion behövs någon form av etiketter för att vi ska kunna kommunicera med och om det. Begreppet måste uttryckas på något sätt och därmed representeras visuellt, verbalt eller i handling. Det är i praktiken sällan uppenbart vad som kommer först själva begreppet eller olika sätt att uttrycka det, det vill säga att representera det. Tänk på begreppet negativa tal. Å ena sidan kan man definiera negativa tal som de tal som finns till vänster om nollan på tallinjen eller med en mer exakt matematisk beskrivning som reellt tal mindre än noll. Å andra sidan stöter elever på negativa tal och utforskar dess betydelse långt innan de kan sägas ha en färdig abstrakt idé om vad det betyder. De erfar olika representationer av negativa tal som minusgrader, skulder och våningar under entréplan innan de förstår själva begreppet. När eleverna arbetar med begrepp i skolan behöver deras tidigare erfarenheter därför beaktas och kopplas till undervisningen kring det aktuella begreppet. Som ett stöd för lärares planering kan en begreppstavla användas (Figur 1). Figur 1. Exempel på begreppstavla. Begreppen representeras med hjälp av olika representationer Representation av begrepp kan ske med ord, bilder och andra symboler, eller med situationer och olika konkreta material. Begreppens egenskaper och definition I det här sammanhanget betraktas egenskaper synonymt med vilka kännetecken eller vilken beskaffenhet ett begrepp har. Vilka egenskaper hos begreppet som ska tas upp beror på undervisningens syfte och mål. Elevernas förkunskaper och tidigare erfarenheter av begreppet pekar på vilka (extra) anpassningar läraren bör göra. En egenskap hos addition är att det inte spelar någon roll i vilken ordning talen adderas, kommutativa lagen, och det är giltigt även för negativa tal. I en definition försöker man så exakt som möjligt att precisera vad som utmärker det aktuella begreppet, så att det också går att särskilja från andra begrepp. Egenskapen att en differens inte ändras om båda termerna flyttar lika många steg (12 8 = 10 6) kan exempelvis ingå i en grundläggande definition av begreppet subtraktion och kan visas vara giltigt även för negativa tal ((-12) (-8) = (-10) (-6)). De matematiska Begrepp och representationer Maj (14)

39 begreppens egenskaper kan också fastställas genom att man genomför ett bevis, till exempel visar att summan av tre konsekutiva tal är delbar med tre, även det giltigt för negativa tal. Relationer till andra begrepp Varje matematiskt begrepp relaterar direkt till andra matematiska begrepp. Det finns exempelvis en stark relation mellan negativa tal och koordinaterna i tre av de fyra kvadranterna i ett koordinatsystem. Begrepp kan även med fördel jämföras och en aktivitet att ofta återkomma till är att göra eleverna uppmärksamma på vad som är lika och vad som skiljer. När negativa och positiva tal jämförs, som (-5) och (+5) eller (-17,5) och (+17,5), kan elever se att ju högre absolutbeloppet är desto längre ifrån varandra kommer det negativa respektive positiva talet på en tallinje. Vid addition och subtraktion är det ytterst viktigt, även då negativa tal används, att alla elever förstår att den kommutativa lagen gäller för addition och multiplikation men inte för subtraktion och division. Ett begrepp kan också ha vagare eller kanske inte lika synligt samband med andra begrepp. Negativa tal ingår i beskrivning av linjers lutning även då elever enbart uttrycker en linjes lutning som avtagande. I de fall då lärare märker att en elev har öar av kunskap kan det vara ett tecken på att eleven inte uppfattar samband mellan olika begrepp. Begreppsutveckling Begreppsutveckling kan ses som en pågående process för att successivt upptäcka och lära sig vad som är gemensamt eller utmärkande för ett begrepp. När små barn lär sig vad som är karaktäristiskt för det som kan betecknas med begreppet stol eller elever lär sig känna igen begrepp som addition eller omkrets, är det exempel på begreppsutveckling. Det handlar om att förstå ett begrepp i en sådan mening att man obehindrat kan använda sig av det i rimliga sammanhang. Redan i förskolans läroplan (2016) talas det om förmåga att urskilja, uttrycka, undersöka och använda matematiska begrepp. Elever lär sig allt eftersom att urskilja och formalisera begrepp ju mer erfarna de blir och desto mer undervisning de får. Begreppen förfinas, nyanseras och ges en alltmer exakt och precis innebörd och kan relateras till ännu fler begrepp. Genom god undervisning och möjlighet till många diskussioner om hur eleverna uppfattar olika matematiska begrepp, kan de förfina och nyansera sin bild av begreppen. Det är ett skäl till varför det är betydelsefullt att avsluta lektioner eller aktiviteter med att låta eleverna sammanfatta vad de har upptäckt, uppfattat eller kanske inte förstått. Ibland är det diskussion i helklass som gör att missuppfattningar lyfts fram och kan förebyggas eller att elever ser samband, vid andra tillfällen kan enskilda bildmässiga eller skriftliga dokumentationer vara mer fördelaktiga. Huvudsaken är att säcken knyts ihop på något sätt. Det är ofta svårt att ändra en felaktig bild av ett begrepp som har blivit befäst, som när elever fått missuppfattningar som det blir alltid större när man multiplicerar eller det finns bara ett tal mellan 2 och 4. I forskning och diskussion kring lärande är Lev Vygotskijs teori om begreppsutveckling ett fundament. Hans teorier handlar om begrepp i en vidare och mer generell mening, inte specifikt matematiska begrepp, men tankarna är direkt överförbara till detta sammanhang. Vygotskij menar att begrepp hjälper till att systematisera och att hålla ordning i det sociala Begrepp och representationer Maj (14)

40 och materiella kaos som råder runt oss. Begrepp speglar den underliggande teorin om hur ting kan grupperas, hur de hänger samman, vilka förhållanden de har till varandra och vilka gemensamma egenskaper som finns. Att lära sig ett begrepp betyder således att olika erfarenheter av begreppet binds samman och att förstå grundprinciperna samt relationen till andra begrepp. Elever i matematiksvårigheter kan ha svårt att binda samman olika erfarenheter av begrepp för att förstå grundprinciperna. Undervisningen behöver lyfta fram kopplingar mellan erfarenheter av ett begrepp och synliggöra sambanden, exempelvis med stöd i den tidigare beskrivna begreppstavlan. Elevers egen dokumentation kan anpassas så att den enskilde elevens begreppsutveckling blir synlig för såväl eleven själv som för läraren som i sin tur kan använda dokumentationen i formativt syfte. Då kan elevens kunskap om ett begrepp lagras i långtidsminnet och skapa befäst förståelse, istället för att korttidsminnet belastas med en mängd enskilda och isolerade faktauppgifter. Språk och begrepp I matematikundervisningen behöver formellt matematikspråk uppmärksammas och diskuteras i relation till informellt vardagligt språkbruk. Målet är att eleverna ska utveckla sitt formella matematikspråk och förstå skillnader och likheter med det vardagliga språket. Dock är det viktigt att beakta att elever inte alltid har ett vardagsspråk kopplat till ett begrepp, men de kan ändå utveckla ett matematiskt språk. Här bör läraren vara noga med att inte överbelasta för en enskild elev som utvecklar sitt vardagsspråk samtidigt med sitt matematiska språk. Elever har olika förutsättningar och bakgrund. Detta gör att det är stor variation i klassrummet gällande kunskap om och förståelse för begrepp. Idag kan skolan behöva ta ett större ansvar jämfört med tidigare att ge elever möjligheter att utveckla begrepp, både vardagliga och vetenskapliga och relationer däremellan. Några områden som bör uppmärksammas extra är tid och massa/vikt som idag blir allt mer abstrakta begrepp på grund av den digitala utvecklingen. Lärare bör även reflektera över användandet av pengar som representation, då pengar i sig är en abstraktion med både värde och antal, samt att pengar i form av sedlar och mynt inte alls används i samma utsträckning som tidigare. Om elever ska skapa förståelse för formella matematiska begrepp måste de få erfarenheter av begreppet. Ett sätt att skapa erfarenheter är att presentera begrepp på olika sätt i undervisningen och medvetet använda både vardagliga och matematiska ord. Då kan elever och lärare skapa ett gemensamt språk och gemensamma referensramar som läraren sedan kan bygga den fortsatta undervisningen på. Vid aktivt arbete med diskussioner kring ord och begrepp kan eleverna själva upptäcka nya ord och utöka sitt ordförråd i relation till matematiska begrepp. Här kan frågor som Vad heter...? Vad betyder...? Hur kan man förklara...? Finns det något annat ord för...? Varför heter det...? vara till god hjälp vid elevdiskussioner, i undervisningssituationer och då eleverna själva dokumenterar sitt lärande. Medvetenhet om språkets betydelse blir särskilt viktigt vid undervisning i mångkulturella grupper, där lärare och studiehandledare behöver vara explicita med att definiera matematiska begrepp och även diskutera begreppen tydligt så eleverna förstår nyanserna i begreppen. Eleverna måste förstå att matematiska begrepp kan ha en helt annan betydelse i Begrepp och representationer Maj (14)

41 en annan kontext, till exempel betyder ett bevis en sak i en tv-deckare och en annan sak i matematik, och begreppet volym som betyder en sak i samband med musik betyder vanligtvis något annat på en matematiklektion. Det går inte att ta för givet att eleverna förstår nyanserna i begreppen, utan en tydlig undervisning behöver behandla dessa begrepp så att alla elever förstår de underförstådda skillnaderna för att öka deras tillgänglighet till matematik. Representationer Lärande i matematik kan beskrivas som en kumulativ process där eleverna stegvis får tillgång till allt fler och mer avancerade representationer och förstår hur de hör samman, hur de kan användas och hur de kan uttryckas. Att kunna beskriva och använda ett begrepp på flera sätt med olika representationsformer är tecken på god begreppsförmåga och funktionell begreppskunskap. För att kunna tänka på och kommunicera ett matematiskt begrepp måste det vara representerat på något sätt eftersom matematiska objekt i sig är abstrakta. För att beskriva detta förekommer i Sverige orden uttrycksformer, representationer och representationsformer, ibland synonymt och ibland läggs lite olika betydelse in i dem. I matematikdidaktisk litteratur används främst ordet representationer för att beskriva hur ett matematiskt begrepp kan kommuniceras. Vad är representationer? En representation är något som med avsikt används eller utformas för att i tanke, handling eller kommunikation ersätta det man syftar på. Ett matematiskt exempel är att vi använder siffror när vi arbetar med tal. Siffran står där istället för själva talet som man inte kan se, men som man förväntas associera till. Tecknet 3 är en symbol för talet tre, medan tecknet är symbol för ett irrationellt tal lite större än tre. Tecknet är som ett namn på begreppet pi och bokstaven förekom som symbol för talet för första gången år 1706 (Kiselman & Mouwitz, 2008). En representation kan alltså vara en symbol, en bild, ett objekt eller något annat som representerar ett matematiskt objekt. Andra exempel på detta är symbolerna 1 och 0 eller fem prickar på två tärningar. Båda fallen representerar talet tio, men med två olika former av representation, symboler respektive bild. Ett sätt att beskriva dessa former är att dela in dem i olika register som innehåller en uppsättning representationer som är nära relaterade till varandra. Ett exempel på ett sådant register är det ikoniska registret som innehåller skisser, bilder och mönster. Ett annat är det symboliska registret som innehåller symboler så som siffror, olika matematiska tecken och bokstäver. Definitioner av begreppet representation kan variera något i ordalydelse men det handlar alltid om att representationer ersätter något och står i stället för något annat och att varje form av representation i någon grad är en abstraktion. Representationer kan dessutom ha dubbla roller, de kan ses som en konkretisering av abstrakta matematiska begrepp samtidigt som de representerar verkliga objekt. Ett laborativt material som markörer kan fungera som en konkret modell för abstrakta tal när de används för att visa relationen mellan exempelvis jämna och udda tal. De kan även användas för att modellera verkliga situationer, som när ett visst antal markörer representerar motsvarande antal föremål eller personer. Begrepp och representationer Maj (14)

42 Varför ska elever arbeta med representationer? Av tradition har representationer i form av symboliska uttryck länge varit en dominerande del av skolmatematiken. I undervisningen framstår representationer olyckligtvis ibland som att de är helt fristående. Tidigare var det inte ovanligt att det på ett prov stod tydligt framskrivet med vilken representation en uppgift skulle lösas, exempelvis ställ upp en tabell eller lös med en ekvation. Ett sådant synsätt innebär att kraften och nyttan med representationer som redskap för lärande i matematik begränsas. Idag är det mer vanligt att elever uppmuntras att visa med flera olika representationer hur de löser en uppgift eller då de förklarar hur de uppfattar ett begrepp. För att kunna hantera olika representationer av matematiska förhållanden behöver en elev kunna förstå representationen, det vill säga kunna avkoda och tolka vad den avser att ersätta, använda sig av olika slags representationer av matematiska begrepp som exempelvis är visuella, verbala, symboliska, algebraiska, geometriska, grafiska, i form av diagram och tabeller eller konkreta objekt. Eleven behöver även kunna uppfatta inbördes kopplingar och samband mellan olika representationsformer och ha kännedom om deras styrkor och svagheter samt kunna välja bland och översätta mellan olika representationsformer beroende på situation och syfte. Denna korta sammanfattning visar tydligt hur komplext det är att lära sig använda representationer på ett fruktbart sätt. Det tar mycket tid och möda för alla elever och elever i matematiksvårigheter behöver allt stöd de kan få för att kunna bringa ordning och kunna använda olika representationer som ett stöd i sitt lärande. Ett övergripande och medvetet fokus på att lyfta fram olika slags representationer och att anpassa dem på olika sätt till olika elever kan underlätta för att få alla elever inkluderade i matematikundervisningen. Det är med andra ord nödvändigt att använda olika former av representationer i undervisningen för att nå varje elev. Eftersom förståelse för olika former av representationer och översättning mellan dem är avgörande för att lära sig matematik, kan man till och med säga att lärande sker när elever kan vandra mellan olika register. Många elever är mer bekväma med att översätta mellan representationer inom ett och samma register än mellan olika register. För elever som är vana att hantera laborativa material kan det vara enklare att visa 3/5 (tre femtedelar) som 3 dl i ett halvlitersmått eller 6 dl i ett litermått, märka upp ett snöre i fem delar och klippa bort tre av dem eller lägga fram fem knappar där tre av dem är röda än att skriva 3/5 som 6/10, 9/15 och 30/50. För elever ovana vid att använda konkreta representationer kan det omvända gälla. För båda grupperna kan det uppstå svårigheter om de istället ska göra halvkonkreta representationer och visa med hjälp av illustrationer. Om pizzor är den enda bildmässiga representationen som eleverna har erfarenhet av att använda är det inte alldeles självklart hur olika uttryck för femtedelar enklast representeras. Det är inte heller säkert att alla elever förstår översättningar mellan olika representationer, utan de behöver mycket tydlig vägledning mellan olika former av representation, både inom och mellan olika register. Samtidigt behöver läraren vara vaksam på hur eleverna tar emot undervisningen med hjälp av flera Begrepp och representationer Maj (14)

43 olika representationer så att inte för många olika former av representationer presenteras för tätt inpå varandra och förvirrar istället för att förtydliga. Betydelsen av att elever ges möjlighet att möta och arbeta med olika representationer i matematikundervisningen återspeglas tydligt i aktuella styrdokument. I kursplanen för matematik skrivs det fram att en förmåga som eleverna ska utveckla är att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. Detta exemplifieras i kommentarmaterialet till kursplanen i matematik: När det gäller förmågan att använda matematikens uttrycksformer för att kommunicera är utgångspunkten i de tidigare årskurserna enkla beskrivningar av tillvägagångssätt med konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer. I senare årskurser och på de högre betygsnivåerna ställs krav på att eleven beskriver tillvägagångssätt med mer precisa och välutvecklade matematiska uttrycksformer och ökad grad av anpassning till syfte och sammanhang. Därför räcker det inte att enbart räkna med siffror och bokstäver i en lärobok utan eleverna måste under hela sin skolgång få arbeta med fler representationsformer som att undersöka med laborativa material, penna och papper eller digitala hjälpmedel med ord (vardagliga ord och matematiska termer) tala och skriva matematik använda bildspråk, med allt ifrån egna informella skisser till professionellt framtagna illustrationer exemplifiera med hjälp av verkliga och fiktiva situationer i närmiljö och omvärld beskriva sina tankegångar med hjälp av, för kunskapsnivån lämpligt, matematiskt symbolspråk. Figur 2. Fem uttrycksformer. Bilden är en omarbetad uppdelning utifrån Richard Leshs schematiska bild över representationer och deras kopplingar till varandra. Begrepp och representationer Maj (14)

44 I Figur 2 omfattar Ord både informellt vardagsspråk och formella matematiska termer. Både Ord och Symboler kan förekomma i såväl tal som skrift. Ett sätt att tolka den omarbetade bilden (Figur 2) är att se på den från vänster till höger, där tanken då är att representationerna i någon mening går från det konkreta via bilder till det allt mer abstrakta. Man kan också välja andra sätt för uppdelning och benämning, som exempelvis fysiska, bildliga eller grafiska, verbala, numeriska och symboliska uttrycksformer. Idéerna om att matematiklärandet utvecklas genom elevers möte och arbete med olika representationer har funnits länge och utvecklas fortfarande. I många studier refereras till den amerikanske psykologen Jerome Bruners (1966) tre representationsnivåer som beskriver en progression från en handlingsbaserad konkret nivå till en symbolisk och abstrakt nivå: 1. På den handlingsbaserade nivån är eleven fysiskt aktiv; manipulerar, konstruerar eller arrangerar föremål från den verkliga världen. Denna nivå är den mest konkreta och här grundläggs begreppen, men de existerar bara så länge eleven kan relatera dem till den verkliga världen. Om eleven får möjlighet att utveckla begreppen kan dessa så småningom bli abstrakta och funktionella då eleven når den symboliska nivån. 2. Den bildmässiga eller ikoniska nivån identifieras genom att den representerar händelser i den verkliga världen genom beskrivande former som till exempel verbala formuleringar eller bilder av olika slag. 3. Den symboliska nivån är den mest sofistikerade och bygger på att eleven, vid lärande av ett givet begrepp, har erfarenheter från de båda föregående nivåerna. Karaktäristiskt för denna nivå är att all manipulation sker med symboler helt oberoende av de handlingsbaserade och bildmässiga representationerna. Jämför dessa nivåer med de tidigare nämnda registren med olika representationer och skissen ovan. Sätten att se på representationer återspeglar varandra väl. När undervisningen är planerad så att elever hanterar laborativa material, bilder och andra representationer uppstår det ofta diskussioner om matematikinnehållet vid övergångar och översättningar mellan representationerna, vilket kan underlätta för läraren att uppfatta elevers tankegångar och få tillfällen att se hur de tänker. För en elev som kan tyckas ha en välutvecklad symbolisk förståelse kan det vara lätt hänt att hoppa över de två första stegen, men det finns då en risk för att eleven inte har någon bildmässig representation att falla tillbaka på, om eller när svårigheter uppstår på den symboliska nivån. Således bör alla representationsnivåer beaktas på samtliga skolstadier. Detta är giltigt för alla elever men särskilt viktigt för elever i matematiksvårigheter. Ett sätt att undersöka en elevs förståelse för de tidigare nivåerna är att be att han/hon ska konkretisera, till exempel visa ett symboliskt uttryck med en illustration eller ett konkret material. Begrepp och representationer Maj (14)

45 Representationer, på olika nivåer och i skilda register, som används i lektionsaktiviteter fungerar inte bara som en länk från det konkreta till det abstrakta, de kan också fungera som en länk för att hjälpa elever att tillämpa abstrakt matematik i konkreta situationer. Den dubbelriktade vägen skriver exempelvis Gerald Goldin och Nina Shteingold (2001) fram som en viktig aspekt av representationer (Figur 3). För att stegen mellan konkret och abstrakt ska kunna tas behöver broar byggas i undervisningen och läraren behöver noggrant och medvetet välja aktiviteter och material som gör att elever får möta och använda olika representationer. Om en elev kan lösa ett problem praktiskt och konkret men inte abstrakt och symboliskt behöver eleven få ytterligare stöd att gå från det konkreta mot det abstrakta, men även tillbaka från det abstrakta till det konkreta. Figur 3. Illustration av dubbelriktad väg mellan det konkreta och det abstrakta (Goldin & Shteingold, 2001). Hur kan arbete med representationer ske? Det enda sättet att få befäst tillgång till matematiska representationer är att bli bekant med dem, se dem, känna på dem, prata om dem och använda dem i olika uppgifter. Genom att kombinera olika representationer begränsas eleven inte av styrkor och svagheter i en representation, utan kombinationen kan göra att eleven får stöd i sitt lärande. För att kunna utnyttja fördelarna med flera representationer måste eleven förstå förhållandet eller sambandet mellan dem. Om representationer visas i olika register kan elever med begränsad förståelse för representationer få svårigheter att se deras inbördes förhållanden. Därför bör undervisningen planeras så att olika representationer påvisas och eleverna får erfara relationerna mellan dem så att matematiken blir tillgänglig för alla elever i klassen. En enskild representation, som ett arrangemang av kuber, en geometrisk konstruktion, ett talmönster, en graf i ett koordinatsystem, en tabell, en ekvation eller en formel, kan inte fungera och vara meningsfull på egen hand utan måste alltid ingå i ett större system där dess mening och konventioner har etablerats. Systemet måste också ha en struktur så att olika representationer är starkt kopplade till varandra. Ett sätt att se på representationer, bland annat för att bättre förstå de kognitiva hinder många elever har då de ska tillägna sig vissa matematiska begrepp, är enligt Goldin och Shteingold att dela in dem i externa och interna representationer: externa representationer utgår från matematikens konventionella symbolspråk, till exempel sättet att notera i tiobassystemet, den formella algebraiska notationen och hur tallinjen och koordinatsystem används Begrepp och representationer Maj (14)

46 interna representationer är exempelvis elevens personliga symbolkonstruktioner, eget språk, visuella bilder och förhållande till matematik. De framhåller att interaktionen mellan interna och externa representationer är fundamental för ett effektivt matematiklärande; att eleverna får möjlighet att utveckla ändamålsenliga interna representationer som sedan ansluter till de externa representationerna. Jämför med de förklaringar eleverna i modulens inledning gav uttryck för då de skulle beskriva hur deras inre talrad ser ut. Goldin och Shteingold (2001) anser att det finns möjlighet att öka antalet elever som lyckas väl med skolmatematiken. De menar att elevers begränsningar för att förstå matematik, utan att för den skull förneka existens eller betydelse av olika förmågor, inte i första hand är medfödda. Begränsningarna är snarare ett resultat av att deras inre system av representationer bara är delvis utvecklat och därmed kan medföra hinder, svårigheter och missuppfattningar. De hävdar att ett grundläggande mål för matematikundervisningen är att låta eleverna utveckla effektiva inre representationer som är samstämmiga med de externa representationerna. Goldin och Shteingold tror inte det är en tillfällighet att matematikdidaktiker redan tidigt var överens om att matematiska idéer bör introduceras genom att undervisningen börjar i konkreta representationer och sedan går vidare till allt mer abstrakta representationer. Idag visar exempelvis den så kallade Singaporematematiken att det går att nå goda resultat då matematikundervisningen tydligt byggs upp med dessa tankar som en av de viktiga grundförutsättningarna. Tanketavlor En tydlig gång från konkret till abstrakt utgör ofta en god grund vid begreppsbildning, det vill säga då elever möter nya begrepp eller vid begreppsutveckling som när talbegreppet utvidgas till negativa tal. En tanketavla (McIntosh, 2008) kan då vara ett använbart redskap. En tanketavla kan förklaras som ett pappersark som delas i fyra delar där varje del får en av rubrikerna Ord, Bild, Beräkning respektive Samband. I mitten ritas en ruta med texten Symboler. Här ska eleverna använda såväl konkreta, som bildmässiga och abstrakta representationer och de kan vid arbete med tanketavlor själva välja i vilken ordning de ska ta sig an de olika representationerna. Tanketavlorna kan också fungera som ett redskap för att analysera elevers kunnande eftersom svårigheter att gå mellan olika representationsformer kan vara ett tecken på bristande förståelse. Tanketavlorna kan även vara ett redskap för att analysera om undervisningen har stött elevers lärande inom det aktuella begreppet. Helheter och delar Ett ofta förekommande matematiskt begrepp under elevers skolgång, som enkelt kan representeras med konkret material, bilder, situationer, ord och symboler, är del av. För att hantera del av -begreppet vid bråk- och procenträkning är begreppet helhet en ytterst viktig förkunskap. Elever på högstadiet vet vad en helhet är, men de kan behöva hjälp att reda ut olika slags helheter, hur de kan delas och få det förtydligat hur helheter och delar Begrepp och representationer Maj (14)

47 hanteras matematiskt. Andemeningen i följande text går till stor del att använda tillsammans med elever i matematiksvårigheter. Ibland fungerar det bättre att samtala med högstadieelever om vad barn gör istället för att ta upp ett innehåll som de själva skulle uppleva som barnsligt och då slå ifrån sig. Elevers tidiga möten med helheter och delar Redan i förskolan delar barnen frukt och de förstår tidigt att en halv banan är större än en halv vindruva. Till och med en fjärdedels banan är mer än en hel vindruva. Barnen behöver sedan fortsätta att möta delar av olika helheter. De flesta barn tycker säkert att ett halvt äpple eller en halv apelsin mättar lika bra, men de flesta skulle inte nöja sig med en halv vindruva och inte heller vilja äta upp en halv vattenmelon själv. Liknande resonemang förs om både annan slags mat (pizza och tårta!) och dryck, och annat som snören, pappersark, modellera, utrymme på en bänk, etcetera. Det är viktigt att lyfta fram vad som är det hela och benämna de olika delarna, och det som är gemensamt för en frukt, ett snöre, en klump modellera och utrymmet på en bänk är att de utgör kontinuerliga mängder. I vardagliga sammanhang på denna nivå är det i varje enskilt fall alltid möjligt att ange vad som är det hela och, återigen vardagligt, att se delningen i lika stora delar. Barn får även tidigt erfarenhet av att dela upp mängder som består av ett antal föremål. Jag får fem vindruvor och du får också fem stycken. Om vi tre delar kexen lika får vi två var. Jag har sju knappar: två är blå, tre är röda och två är gröna. En helhet som består av ett antal saker utgör en diskret mängd. Ordet diskret kommer i detta sammanhang från det engelska ordet discrete, åtskild, separat och har inget med diskret lika med försynt eller dämpad att göra. Tänk på Fem myror är fler än fyra elefanter, då är det enbart antalet djur som är av betydelse i jämförelsen. Fruktdelning sker oftast inte strikt matematiskt korrekt utan handlar för barnen mer om att det ska vara rättvist och de har inga problem med att ge bort en frukt eller en bit som eventuellt blir över. När flaskans bubbelvatten är jämnt upphällt i fyra glas eller när pralinerna är fördelade lika på fyra personer, har varje person fått en fjärdedel av vattenmängden eller antalet praliner. Till vardags använder vi uttryck som att ta hälften var och dela i fyra delar, men då menar vi inte alltid en exakt likadelning som är grunden för att förstå tal i bråkform. Att ordet bråk kommer ur tyskans gebrochen, som betyder bruten, är bra att känna till. Tal i bråkform är just tal som brutits i mindre, men lika stora delar, och det måste göras synligt i undervisningen. För att bygga upp förståelsen krävs många och varierade laborativa erfarenheter där konkreta material och bilder används som representationer, där det talade språket är utgångspunkt för samtal och diskussioner och bråkuttryck skrivs med hela ord, till exempel fjärdedel. På sikt uttrycker vi helheten som 1 och de olika delarna med symboler. Detta behöver lärare ta upp och ofta diskutera på matematiklektioner så elever kommer till insikt att de kan vara lite vardagligt slarviga när Begrepp och representationer Maj (14)

48 de delar grejer med varandra ofta enligt principen att en delar och den andre väljer men att de måste dela formellt och korrekt när de arbetar matematiskt. Pratar vi formellt om en femtedel så är det en helhet som har delats i fem exakt lika stora delar. Däremot kan det i praktiken betyda att delarna ser olika ut. I en kontinuerlig mängd kan en femtedels kvadratdecimeter, som alltid är 20 cm 2, ritas som exempelvis en rektangel 4 5 cm 2 eller 2 10 cm 2, eller som en långsmal ruta som är en centimeter hög och två decimeter lång. I en diskret mängd som kulor betyder det att fem barn får lika många kulor var, men de i sin tur kan ha olika färg eller storlek och vara tillverkade i olika material. Vid likadelning utgör varje del en av antalet delar i helheten eller mängden och till grundläggande förståelse hör insikten att varje del är mindre än helheten och att ju fler delar en helhet delas i desto mindre blir varje del. Detta är resonemang som har vardaglig betydelse för alla elever, ju fler som ska dela på godiset, pengarna eller utrymmet i soffan, desto mindre del till var och en. Vare sig mängden är kontinuerlig eller diskret är det alltid helheten som avgör hur stora delarna blir. Även när elever har förståelse för att ju fler delar något delas i desto mindre blir varje del, kan missuppfattningen att 1/9 måste vara större än 1/5 eftersom 9 är större än 5 finnas. En vanlig orsak till den missuppfattningen är att elever inte uppfattar ett bråkuttryck som en helhet, ett tal, där täljaren anger antalet delar av helheten och nämnaren visar hur många delar helheten är delad i. Bråkstrecket åtskiljer täljare och nämnare, så att förhållandet syns och detta ska alltid ses i relation till den aktuella helheten. Istället ser en del elever två olika tal där täljare och nämnare inte har någon direkt koppling till varandra. Dessa elever hanterar ofta täljare och nämnare var för sig, något som kan bli förödande vid bråkräkning (Figur 4). Figur 4. Illustration av missuppfattning. Eleven ska, i bråkform, skriva hur stor del av cirklarna som är blå. Eleven jämför antalet blåa och vita, och skriver förhållandet 4/6 istället för att se helheten, det vill säga hela mängden där 4 av 10 är blå. Division eller bråk Det kan vara svårt att avgöra om en uppdelning handlar om division eller bråk, oftast är det kontexten som avgör. Oavsett vilket är det även här viktigt att eleverna kommer till insikt om vad som är den hela mängden. Det är intressant att diskutera att resultatet av en division alltid blir detsamma matematiskt, men att det i praktiken kan få olika konsekvenser. 5/2 kan räknas ut som en division till 2,5 eller skrivas om i blandad form som 2 ½. Att dela fem bullar rättvist på två personer är lätt eftersom det är enkelt att skära itu en bulle i två Begrepp och representationer Maj (14)

49 halvor, men motsvarande med fem ballonger är svårare. Det är ingen större glädje med att få en halv ballong. Då är det bättre att blåsa upp den femte ballongen och leka med den tillsammans! En omelett kan delas i tre bitar, mamma äter en stor bit medan storebror äter en ganska stor bit och lillasyster en liten bit. Fullt begripligt vid köksbordet men betydligt mer svårfångat om det ska uttryckas med formell matematik som i detta fall kanske är 1/2 + 1/3 + 1/6. Denna typ av tankelekar och diskussioner hjälper elever att få grepp om vad som är helhet och vad som är delar, hur de kan representeras och får lov att hanteras. Eleverna behöver sedan efter hand referenspunkter, som exempelvis en halv, en tredjedel och en fjärdedel för att förhålla sig till och för att förstå den analoga klockan. Lärare vet att många elever stöter på problem vid bråkräkning och i förlängningen begrepp som relaterar till det, exempelvis procent och algebra. Vardagsanvändning av bråk var mer frekvent förr och sedan kom en tid då det inte var helt ovanligt att elever under sina år i grundskolan fick lära sig att omvandla tal i bråkform till decimaltal. Särskilt då det började finnas vardaglig tillgång till miniräknare kunde det uppfattas som ett enkelt sätt att lösa en del elevers problem med bråk. Även om det var omtänksamt så var det mindre klokt, särskilt för elever som fortsatte studera. Att elever vet att ½ kan skrivas om som 0,5 är inte till någon större hjälp när de ska förenkla ett matematiska uttryck som. En orsak till att elever är i matematiksvårigheter kan vara att de av någon anledning inte har klarat att ta steget från konkret manipulerande av material till abstrakta symboluttryck. Många elever behöver visuellt stöd av såväl helhet som delar under lång tid, men det visuella stödet får inte begränsas till enbart tårtor eller pizzor utan flera olika representationer behöver användas parallellt. Baka gärna rektangulära pizzor ibland! Laborativa matematikmaterial (exempelvis bråkstavar, bråktavlor och bråkburkar samt deras bildmässiga representationer) bör alltid finnas tillgängliga. Det finns många aktiviteter, spel och problem där samtliga elever behöver tillgång till laborativa matematikmaterial. Används sådana medvetet och finns som en naturlig resurs underlättar det för elever i matematiksvårigheter att ta stöd i konkret material även när flertalet av kamraterna arbetar på en mer bildmässig eller abstrakt nivå. Begreppsutveckling på högstadiet handlar bland annat om att elever blir uppmärksamma på likheterna med del av helhet då de, exempelvis i procentuppgifter, behöver finna ut vad som är det ursprungliga : Elever ska jämföra hur många procent högre lön Astrid har på sitt sommarjobb jämfört med Alfrida och sedan ta ställning till påståendet: Då har Alfrida lika många procent lägre lön än Astrid. Eller? Det är också intressant att diskutera: 25 % är alltid mindre än 50 %. Sant eller falskt? Spontant säger de flesta högstadieelever att det är sant de vet ju att 50 % är dubbelt så mycket som 25 %! Men får eleverna fortsätta resonemanget genom följdfrågan: Är det alltid så? kommer många till insikt att det beror på, det vill säga det beror på vad som är det hela. Jämför Begrepp och representationer Maj (14)

50 eleverna de båda procentsatserna utifrån samma helhet så stämmer det, men det framgår inte i påståendet att helheten är densamma. En elev beskrev sin insikt: Jag skulle hellre välja 25 % av en innehållet i en 2-liters läskflaska än 50 % av innehållet i en 0,5-liters läskburk. Samband med stöd i olika representationer När elever redan tidigt får en grundläggande förståelse för vad del av och helhet är och varför det alltid är viktigt att veta vad som är utgångsläget, hjälper det dem att undvika en rad missuppfattningar. Leder det i förlängningen till förståelse för samband mellan tal i olika talområden och uttryckta på skilda sätt underlättar det oerhört mycket. Eleven behöver inte hålla lika många enstaka fakta i huvudet utan kan istället lita på sin förmåga att se samband och kunna resonera sig fram, ibland helt abstrakt med enbart symbolspråk, ibland med hjälp av mer bildmässiga eller konkreta representationer. När elever arbetar med olika representationer hjälper det läraren att förstå hur de tolkar och tänker kring det aktuella begreppet. Eleverna måste vara medvetna om, kunna hantera och vandra mellan olika representationer och måste förutom att få möjlighet att utveckla förståelse för styrkor och svagheter i olika representationer också diskutera varför de i vissa situationer väljer en representation framför en annan. Alltså behöver undervisningen vägleda eleverna mellan olika former av representationer. Detta gör lärare till största del med hjälp av språk, vilket betyder att språket både kan vara en muntlig representation och en mediator för att stärka undervisningen. Då läraren besitter kunskap om hur olika representationer kan nyttjas i förhållande till ett matematiskt innehåll underlättar det för att få alla elever inkluderade i matematikundervisningen och på så sätt öka elevers tillgänglighet till matematik. Referenser Bruner, J. S. (1966). Toward a theory of instruction. Cambridge, Mass.: Belknap Press. Goldin, G. & Shteingold, N. (2001). Systems of representations and the development of mathematical concepts. I A. Cuoco (red), The roles of representation in school mathematics (1 23). Reston, VA: NCTM. Kieselman, C. & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. NCM, Göteborgs universitet. McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal en handbok. Göteborg: NCM, Göteborgs universitet. Skolverket (2016). Läroplan för förskolan Lpfö 98 ([Ny, rev. utg.]). Stockholm: Skolverket. Begrepp och representationer Maj (14)

51 Revision: 1 Datum:

52 Egenskaper hos begreppet som jag ska ta upp i min undervisning I kursplanen för åk 7-9 ingår negativa tal i skrivningar om reella tal: reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska sammanhang talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal metoder för beräkningar som har använts i olika historiska och kulturella sammanhang Hur begreppet kan representeras Ord: minus ett, minus två, minus tre, en negativ trea Laborativa material: Vi ska använda pedagogiska material som åskådliggör positiva och negativa tal, exempelvis röda och vita legobitar och den stora trätermometern i matematikverkstaden med flyttbart band. Relationer till andra begrepp a. Utvidga negativa heltal till negativa decimaltal b. Jämföra tallinjen med ett koordinatsystem med fyra kvadranter c. Titta på tidslinjer f Kr och e Kr Negativa tal Bild: Framförallt arbete på tallinjen. Vi ska titta noga på riktningen Titta på grafer som är avtagande. Situationer: Låta eleverna diskutera när det kan behövas negativa tal i vardagen och i vilka andra skolämnen det kan vara bra att känna till negativa ta. Definition av begreppet Negativt tal = reellt tal som är mindre än noll Symboler: Titta på hur negativa tal skrivs i några andra kulturer och hur det kan göras skillnad på minustecknet om det ska representera subtraktion eller om det ska visa att talet är negativt. Begreppstavlan är ett stöd för att olika aspekter av det aktuella begreppet uppmärksammas i undervisningen.

53 Del 5: Moment B kollegialt arbete Diskutera Speglar beskrivningen av ett begrepps fyra delar er uppfattning om vad ett begrepp är? Om ja, motivera. Om nej, vad skiljer? På vilket sätt kan god kunskap om ett begrepp vara till stöd i er undervisning generellt respektive med fokus på elever i matematiksvårigheter? Vilka representationer brukar ni använda för att gynna begreppsbildningen för varje elev? Vilka erfarenheter har ni av att undervisa om kontinuerliga och diskreta mängder? Hur benämner och konkretiserar ni de båda typerna av mängder för eleverna? I vilka situationer kan förtydligande av vad som är helheten vara den extra anpassning en elev i matematiksvårigheter behöver? Förbered en aktivitet Årskurs 1-3 Bestäm ett avgränsat matematiskt innehåll, exempelvis ett tal i talområdet 0 20 eller en halv. Årskurs 4-6 Bestäm ett avgränsat matematiskt innehåll, exempelvis stambråk eller egentliga bråk. Årskurs 7-9 Bestäm ett avgränsat matematiskt innehåll, exempelvis tal i ett begränsat område runt nollan eller zooma in mellan två negativa heltal. Utgå från beskrivningen av en begreppstavla på sidorna 2 3 samt exemplet med en ifylld begreppstavla som finns i materiallistan i moment A, och diskutera hur en begreppstavla med ert valda matematikinnehåll kan se ut. Förstora den skiss på tanketavla som finns på sidan 10. Skriv in det valda matematikinnehållet i mitten och diskutera vad ni önskar att eleverna kommer att rita och skriva i rutorna, det vill säga vilka representationer ni tror att de kommer att använda. Se efter om någon av rubrikerna behöver anpassas. Hur kan aktiviteten introduceras så att alla elever blir delaktiga? Vilka frågor kan ni förvänta er av eleverna? Vilka för- och nackdelar kan finnas med att elevernas arbete med aktiviteten sker enskilt respektive i mindre grupp? Bör något särskilt material göras tillgängligt? Vilka alternativa representationer bör ni vara beredda på att kunna presentera som extra anpassning? Vad är viktigast att ta upp i den sammanfattande diskussionen? Revision: 1 Datum:

54 Del 5: Moment C aktivitet Genomför den planerade aktiviteten. Del 5: Moment D gemensam uppföljning Diskutera Hur fungerade aktiviteten? Underlättade era förberedande diskussioner utifrån begreppstavlan introduktion, genomförande och uppföljning av aktiviteten? Hur? Vilka representationer behövde ni hjälpa elever att uppmärksamma och utveckla? Vilka extra anpassningar gjorde ni? Vilka var bra? På vilket sätt? Vilka kunde ha gjorts på ett annat sätt? Varför? Hur kan aktiviteten utvecklas för att göra den så meningsfull som möjligt för elever i matematiksvårigheter? Vilka missuppfattningar kan förebyggas med genomtänkta val av representationer? Del 5: Fördjupning Här finns artiklar från tidskriften Nämnaren samt aktiviteter från Strävorna från NCM. Samtliga dokument är i första hand tänkta för egen fördjupning men aktiviteterna från Strävorna kan även användas som alternativ aktivitet i moment B. Revision: 1 Datum:

55 Material Förståelse för tal i bråkform C. Lindegren, I. Welin, W. Sönnerhed Tio sätt att göra bråk levande D. Clarke, A. Roche, A. Mitchell Från brakljud till bråkbegrepp J. Petersson Bilparkering Strävorna 2A 3A Hur kan tal delas upp? Strävorna 3A Jeopardy med 100-ruta Strävorna 3A Tre bråk på rad Strävorna 3A Bråkspelet lapp på lapp Strävorna 2A Gör en hel! Strävorna 3A Cirkelresonemang Strävorna 3A 5A Jämförelse av bråk Strävorna 4A Från noll till ett Strävorna 4A 5A Revision: 1 Datum:

56 C. Lindegren, I. Welin & W. Sönnerhed Förståelse för tal i bråkform Två lärarstudenter på HLK i Jönköping undersökte elevers förståelse för tal i bråkform. De såg att elever många gånger har likartade missuppfattningar. Här diskuterar de vilka strategier eleverna använder och hur undervisningen kan dra nytta av att känna till hur elever tänker om bråk. Även om skolmatematiken är uppdelad under Centralt innehåll i kursplanen är de olika områdena inte oberoende utan snarare direkt beroende av varandra. Elevers förståelse för tal i bråkform är viktig för deras fortsatta matematiska utveckling och för en god algebraisk förståelse. Många av de missuppfattningar som elever har om tal i bråkform härstammar från missuppfattningar som uppstått redan i de tidiga skolåren. Tal i bråkform kan utifrån ett del-helhetsperspektiv illustreras med hjälp av mängder: kontinuerliga och diskreta. En kontinuerlig mängd kan i detta sammanhang illustreras med en pizza. Den utgör helheten och om man delar helheten i fyra delar måste varje del av pizzan vara lika stor som de andra för att utgöra en bråkdel, det vill säga en fjärdedel. I en diskret mängd utgörs helheten av ett antal objekt, låt säga tolv godisbitar. Om vi vill dela in godisbitarna i fjärde delar blir det centrala att antalet godisbitar i varje bråkdel är lika många, i detta fall tre bitar i varje fjärdedel. Hur godisbitarna ser ut, smakar eller om de är lika stora har ingen betydelse. Delningen av de två olika mängderna lägger alltså fokus på skilda saker, vid kontinuerliga mängder på att bråkdelarna blir lika stora och vid diskreta mängder på att antalet objekt är lika många. Vår studie om tal i bråkform utgick från en diagnos med nio uppgifter. De var främst av sådan karaktär att eleverna skulle markera eller fylla i objekt för att visa ett bråkuttryck i en diskret mängd, till exempel ringa in 2/3 av 24 objekt. Vid analysen av undersökningsmaterialet tolkades svaren i syfte att identifiera de strategier som eleverna använde. För att förstå vilka missuppfattningar som ligger bakom elevers svårigheter räcker det inte att ta reda på vilka sorters uppgifter som är särskilt svåra, eller vilka bråkuttryck som är lättare för eleverna att använda än andra. För att kunna hjälpa eleverna krävs förståelse för deras resonemang och kunskap om vilka strategier de använder. Vi vill diskutera områden som vi i resultatet av vår studie såg kan vara problematiska för elever vid behandling av tal i bråkform. Naturliga tal kan vara en distraherande faktor Till skillnad från de naturliga talen representeras tal i bråkform av två symboler, täljare och nämnare, men står trots detta bara för ett tal. Detta gör att många elever tolkar ett bråkuttryck som två naturliga tal som är oberoende av varandra. På Nämnaren på nätet finns en sammanställning av ord, termer och begrepp som rör tal i bråkform 36 Nämnaren nr

57 Missuppfattningen kan visa sig genom att elever ser täljaren eller nämnaren som ett tal som används för att lösa uppgiften. Om exempelvis 2/3 av 24 trianglar ska markeras, förekommer det att elever markerar två alternativt tre trianglar. De tolkar de ingående symbolerna som heltal och tar inte hänsyn till hur täljaren 2 och nämnaren 3 förhåller sig till den hela mängden med 24 trianglar. Det kan även ta sig uttryck i att elever ser täljare och nämnare som instrument, tal, som ska användas för någon form av operation. Uttrycket 3/4 kan de förklara med att 3 multiplicerat med 4 är 12. Liknande problem kan bli uppenbara då elever ser till täljare och till nämnare oberoende av varandra. Dessa elever saknar förståelse för täljarens och nämnarens innebörd samt sambandet mellan dem. De kan, liksom i exemplet nedan, bilda ett bråkuttryck som visar på de oberoende delarna, det vill säga antalet svarta respektive vita objekt, istället för den relation mellan de svarta och vita rutorna som det egentligen representerar. Svårigheterna kan kopplas till en så kallad N-distraktion. Kortfattat kan N-distraktionen beskrivas som att de naturliga talen med tillhörande räknelagar stör eleverna vid mötet med tal i bråkform, vilket kan resultera i att elever ser täljare och nämnare var för sig, både när de opererar med och jämför olika bråkuttryck. Så länge de inte har bråkbegreppet helt klart för sig är risken stor att de använder sig av de räknelagar som gäller för de naturliga talen genom att till exempel addera täljare och nämnare var för sig vid addition av två bråkuttryck. Att se till helheten vid diskreta mängder Ytterligare en svårighet är förmågan att se den diskreta mängden som en helhet, vilket visar sig genom att elever inte ser till den givna helheten utan bildar en egen för att lösa uppgiften. Nämnaren nr

58 I elevexemplet har den nya helheten bildats med hänsyn till nämnarens storlek, femtedelar, och eleven har efter denna modifiering av förutsättningarna löst uppgiften. Missuppfattningen kan kopplas till att elever har en föreställning om att en helhet enbart består av fem delar om det är femtedelar som behandlas, som i bildexemplet då eleven endast använder fem av helhetens tio stjärnor. Resultatet blir därför en begränsning i elevens uppfattning av helheten och en avsaknad av förståelse för att 3/5 inte bara kan representeras som tre stjärnor av fem utan även som sex stjärnor av tio. Problem med helheten fanns även i uppgifter med på varandra följande deluppgifter: a) kryssa över 1/4 av trianglarna, b) ringa in 2/3 av alla trianglar. Svårigheten var då att bevara den givna helheten, 24 trianglar, genom hela uppgiften. En elev kan klara av att i första deluppgiften kryssa över 1/4 av helhetens 24 trianglar, men ser i påföljande deluppgift endast till den del av helheten som inte har kryssats över i den tidigare lösningen, det vill säga de 18 okryssade trianglarna. Bråkdelars egenskaper för diskreta mängder Vi kunde se att elever har missuppfattningar om bråkdelar som lika delar i diskreta mängder. Vid sådan delning utgår vissa elever från nämnarens storlek och bildar antalet grupper därefter, men tar inte hänsyn till att det ska vara lika många objekt i varje bråkdel. Då objekten inte ligger jämnt uppradade tycks uppdelningen oftare resultera i olika antal objekt i de ingående bråkdelarna. Utifrån exemplet förmodas eleven ha dragit en slutsats om att det är själva godisskålen som ska delas upp och inte innehållet. Sett till uppgiftens konstruktion är detta tolkningsbart. Elevexemplet visar dock tydligt på den skillnad som finns mellan delning av kontinuerliga mängder där det centrala är storleken på delarna och delning av den diskreta mängden där det är antalet objekt i varje del som är av vikt. I andra fall har objekten delats in efter utseende istället för antal och eleven anser sig på så vis ha bildat en bråkdel för varje sorts objekt, likt exemplet på nästa sida. 38 Nämnaren nr

59 Allmänna bråk Inom flera av de identifierade strategierna har vi kunnat se att många elever har svårare att behandla allmänna bråk än stambråk. Det vill säga att det är svårare att lösa uppgifter av typen 3/5 av 10, där täljaren är skild från 1, än uppgifter av typen 1/5 av 10. Vid behandling av de allmänna bråken krävs det att eleven fokuserar på både täljare och nämnare och att de dessutom kan skilja på deras betydelse, vilket inte behövs på samma sätt när det gäller stambråk. Undervisningens betydelse De problemområden som vi har identifierat kan sammanfattas till svårigheter eller missuppfattningar som sammankopplas med hur tal i bråkform representeras bristande förståelse för helhet och bråkdelars egenskaper vid behandling av diskreta mängder övergripande problem med behandling av allmänna bråk. Nämnaren nr

60 Vad kan svårigheterna bero på? Vi har tittat på hur tal i bråkform introduceras och representeras i undervisning och i läromedel. Vår uppfattning är att bråkuttryck oftast exemplifieras med hjälp av kontinuerliga mängder, till exempel pizzor eller chokladkakor. I de fall diskreta mängder behandlas är antalet objekt ofta lika med nämnaren i det bråk som visas, fem kulor när femtedelar ska exemplifieras. Den uppfattning som eleven då får av vad 1/5 innebär kan leda till en begränsad förståelse och att eleverna ser bråkuttrycket som två olika tal. Genom att använda ett varierande antal objekt, det vill säga att låta de fem kulorna såväl som godispåsens 25 bitar eller skolans 400 elever utgöra helheten, kan eleverna istället ges en bild av att femtedelar kan se ut på olika sätt. Eleverna måste ges möjlighet att förstå likheter och skillnader mellan den diskreta mängden och den kontinuerliga mängden. Eftersom betydelsen av lika delning kan vara olika måste eleverna utveckla förståelse för dessa två olika mängder, vilket kan främjas genom en parallell undervisning av båda. I ett vidare perspektiv förkroppsligar tal i bråkform inte bara en utan flera olika matematiska uttrycksformer såsom del-helhet, proportion, division, operation och mått. Många elever saknar en helhetssyn på de olika uttrycksformerna och ser istället endast ytliga strukturer. Det medför att undervisningen måste inriktas mot att synliggöra de olika uttrycksformerna och att problematisera, det vill säga vrida och vända på de modeller och metoder som används för att öka förståelsen för tal i bråkform. Utifrån vår studies resultat är det enligt oss önskvärt att mer fokus läggs på den diskreta mängdens betydelse. Genom att dela med oss av de missuppfattningar och svårigheter som vi identifierade hoppas vi kunna bidra med en ökad insikt kring de resonemang som elever för och hur undervisningen kan utformas för att möta alla elevers individuella förutsättningar och behov av stöd. Litteratur Behr, M., Lesh, R., Post, T. & Silver, E. (1983). Rational number concepts. I R. Lesh & M. Landau (red). Acquisition of mathematics concepts and processes (91 126). New York: Academic Press. Charles, K. & Nason, R. (2000). Young children s partitioning strategies. Educational studies in mathematics, 43, (2), Clarke, D., Roche, A. & Mitchell, A. (2010). Tio sätt att göra bråk levande. Nämnaren 2010:2, Empson, S. (1999). Equal sharing and shared meaning: The development of fraction concepts in a first-grade classroom. Cognition and instruction, 17, (3), Engström, A. (1997). Reflektivt tänkande i matematik. Om elevers konstruktioner av bråk. Stockholm: Almqvist & Wiksell. Lamon, S. (2005). Teaching fractions and ratios for understanding: essential content knowledge and instructional strategies for teachers. Mahwah: Erlbaum. McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal en handbok. NCM, Göteborgs universitet. Moseley, B. & Okamoto, Y. (2008). Identifying fourth grader s understanding of rational number representations: A mixed methods approach. School science and mathematics, 108 (6), Streefland, L. (1993). Fractions: A realistic approach. I T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (red). Rational numbers: An integration of research ( ). Hillsdale: Erlbaum. 40 Nämnaren nr

61 Revision: 1 Datum:

62 Doug M Clarke, Anne Roche & Annie Mitchell Tio sätt att göra bråk levande I denna artikel presenteras några förslag på hur vi kan arbeta med bråk så att det inte bara handlar om att utföra beräkningar utan också leder till djupare förståelse för rationella tal. Bråk kan vara svåra att undervisa om och svåra att lära sig, men svårigheter kan övervinnas. Resultat från matematikdidaktisk forskning i Australien och andra länder visar hur vi kan inrikta oss på de stora idéerna så att bråk kan bli begripliga för våra elever. Vi vill dela med oss av insikter vi fått från vår forskning om vad som är viktigt och mindre viktigt. Vi presenterar också några elevaktiviteter, som enligt vår erfarenhet har potential att göra bråk levande för både lärare och elever. Varför är bråk så svårt? De flesta är överens om att bråk är en viktig del av skolans matematikinnehåll. Arbete med bråk stödjer utvecklingen av proportionellt tänkande och bråk är betydelsefulla i kommande matematikstudier, inte minst inom algebra och sannolikhet. Det finns emellertid många lärare som tycker att det är svårt både att förstå och att undervisa om bråk och många elever har svårt att förstå bråk. En stor del av osäkerheten kring undervisning och lärande av bråk verkar härröra från de många olika tolkningarna, representationerna och symboliska konventionerna, t ex 5 4, 1 1 4, 1,25 och 125 %. Dessutom generaliseras många egenskaper från undervisningen om hela tal felaktigt till bråken. Rationella tal kan tolkas på flera olika sätt, vilka ofta sammanfattas som delhelhet, mätning, kvot (division), operator och förhållande. Som bakgrund till vår framställning ska vi kort redogöra för dessa tolkningar. Tolkningen som del-helhet bygger på möjligheten att dela upp antingen en kontinuerlig storhet, t ex längd-, area- och volymmodeller, i lika stora delar eller en mängd av objekt i lika stora delmängder. Ett bråk kan representera en mätning, ett mått, av en storhet i förhållande till en enhet av storheten. Det rationella talet kan placeras som en punkt på tallinjen, på ett bestämt avstånd från noll. Lamon (1999) förklarar att denna tolkning skiljer sig från andra tolkningar genom att antalet lika delar kan variera beroende på hur många gånger man delar in i mindre enheter. Den successiva uppdelningen möjliggör en mätning med allt högre precision. Ett bråk ( a b ) kan också representera en division eller resultatet av en division, som tex 3 5 = 3 5. Divisions- eller kvottolkningen kan förstås som uppdelning och likadelning. Artikeln har tidigare publicerats i Mathematics teaching in the middle school. I denna översättning har vi begränsat antalet referenser. En version med alla referenser finns på på nätet. Där finns också det aktivitetsblad som hör till aktiviteten Färglägg bråk. Nämnaren nr

63 Ett bråk kan användas som och beteckna en operator, t ex 3/4 av 12 = 9 och 5/4 8 = 10. Missuppfattningar som att multiplikation alltid gör större och division alltid gör mindre är vanliga. De kan delvis bero på elevers bristande erfarenheter av att använda bråk som operatorer. Bråk kan användas för att beskriva förhållande en jämförelse av storleken av två mängder eller två mått, som att på tre flickor går det 4 pojkar. Detta uppmärksammas alltför lite i undervisningen. En utmaning för både lärare och elever är att kunna etablera alla lämpliga samband så att en mogen och flexibel förståelse av bråk och, i förlängningen, rationella tal, kan utvecklas. En annan utmaning rör många lärares erfarenheter från sin egen matematikutbildning, vilken inte har förberett dem tillräckligt för att kunna undervisa om bråk på ett klokt sätt. Trots svårigheterna med att undervisa om och lära bråk finns det intressanta exempel på lärare som tydligt lyckas med att stödja elever som försöker förstå detta innehåll. Darcy fick i uppgift att beskriva eller rita 3/4 på så många sätt han kunde (figur 1). Hans arbete uppvisar en bredd i förståelsen av ett antal olika sätt att tolka och tillämpa bråk. Här följer nu tio råd som vi menar kan underlätta elevers förståelse av bråk. Figur 1. Rita eller skriv ¾ på så många sätt du kan. Så här gjorde Darcy. 1. Betona innebörden av bråk mer än manipulering Styrdokument ger ibland sken av att målet för undervisning om bråk är att elever ska kunna göra operationer med alla fyra räknesätten med dem. Vi menar att elever måste få tid att komma underfund med vad bråk handlar om istället för att direkt börja manipulera med dem och att målet bör vara att utveckla elever som kan resonera proportionellt. Ett ofta refererat resultat från den nationella utvärderingen i matematik i USA stödjer att elever har svårt att förstå ett bråks storlek. Endast 24 procent av 13-åringarna i utvärderingen valde korrekt svar (alternativ: 1, 2, 19, 21) när de uppskattade storleken av 12/13 + 7/8. De flesta valde 19 eller 21. Även om problem som innehåller proportionalitet ofta kan lösas med hjälp av samband som a/b = c/d menar Lamon (1999) att användning av den typen av ekvationer eller samband inte i sig är resonemang och att proportionella tänkare kan använda egna strategier och uttryckssätt för att förstå och hantera den här typen av problem och identify everyday contexts in which proportions are and are not useful (s 235). Vi vill att våra elever ska kunna avgöra om reklam som det är bättre med 5 % rabatt än 50 kr i rabatt är sann eller ej. Vi vill att våra elever ska förstå att förhållandet mellan arean av begränsningsytan och volymen likaväl som uttorkning kan förklara varför en baby som lämnas i en bil en varm sommardag plågas medan en vuxen under samma förhållanden inte gör det. Vi vill också att eleverna ska kunna använda sin taluppfattning och sin förståelse av proportionalitet för att avgöra vilket av två tvättmedelsköp som är bäst (se figur 2). 38 Nämnaren nr

64 2. Utveckla en generaliserbar regel som förklarar innebörden av täljaren och nämnaren När elever inledningsvis försöker förstå bråk är det vanligt att läraren har förklarat på följande sätt: Nämnaren talar om hur många delar det hela har delats i och täljaren talar om hur många av dessa delar man ska ta, räkna eller måla. Denna förklaring fungerar tämligen bra för bråk mellan 0 och 1 i vissa sammanhang, men sämre för bråk större än 1. Vi föreslår den här förklaringen istället: För ett bråk a/b är b namnet eller storleken på delen ( femtedelar heter så därför att det behövs 5 lika delar för att fylla upp en hel) och a är antalet delar med det namnet eller den storleken. Om vi har 7/3 talar 3 om namnet eller storleken på delarna, tredjedelar, och 7 talar om att vi har 7 sådan tredjedelar (eller 2 ¹/3). Vi menar att den här förklaringen kan hjälpa eleverna till ett bättre språkbruk när de talar om bråk. Vi har hört elever benämna tre fjärdedelar som three-fours och four-threes. En sådan användning av heltals- snarare än bråkbenämning kan indikera att eleverna inte ännu har klart för sig vilken siffra som refererar till antalet delar eller till delarnas storlek. 3. Betona att bråk representerar tal och använd tallinjen Kilpatrick, Swafford och Findell (2001) framhåller att det är lätt att förbise att bråk representerar tal eftersom det är så självklart. Att använda tallinjen har många fördelar. Den erbjuder elever en möjlighet att se hur naturliga tal och rationella tal i bråk- och decimalform är relaterade. Tallinjen kan illustrera varför 5/3 är detsamma som 1 ²/3, att 6/3 är detsamma som 2 och den kan förenkla för elever att förstå tätheten av de rationella talen (dvs att mellan två godtyckliga rationella tal, i bråk- och/eller decimalform, finns oändligt många andra rationella tal). 4. Ta tidigt tillvara tillfällen att uppmärksamma oegentliga bråk och ekvivalenser Om elever verkar förstå språkbruket kring bråk och kan använda tallinjen kommer oegentliga bråk [täljaren är lika stor som eller större än nämnaren] att passa in helt naturligt. Aktiviteten Färglägg bråk [arbetsblad finns på Nämnaren på nätet] kan hjälpa elever att utveckla förståelse för ekvivalenta bråk och innebörden i oegentliga bråk. När elever exempelvis försöker förstå innebörden av 4/3 i spelets kontext kan utmaningen, att vara först med att fylla hela spelplanen, motivera dem att fundera kring vad som är ekvivalent med 4/3, t ex 1 rad plus 1/3 eller 5/6 och 1/2. Spelet passar alla. Elever som brottas med ekvivalenta uttryck behöver endast färglägga det de får på tärningarna ( jag fick 2/6 så jag färglägger 2 av sjättedelarna ), men de observerar snart hur kamraterna använder ekvivalenta uttryck och kan fånga upp idén och möjligheten att vara flexibel särskilt om de tror att kommer att missa sin tur för att de inte kan hitta ekvivalenta områden att färglägga. Figur 2. Vilket av dessa alternativ ger mest för pengarna? 40 kr 1 kg 20 tvättar 67,50 kr 1,5 kg 30 tvättar Nämnaren nr

65 5. Använd olika modeller för att representera bråk E A D B C Figur 3. Hur stor del av cirkeln är B? Hur stor del är D? En stor mängd laborativa och andra material har använts i undervisnings försök t ex bråkstavar, Cusinairestavar, papper som viks, laminerade former och datorprogram. Det är dock inte säkert att färdiggjorda bråkmaterial gör det möjligt för elever att utveckla viktiga idéer kring bråkbegreppet, exempelvis att helheten måste vara lika stor för att bråkdelar ska kunna jämföras och att lika delar inte behöver vara kongruenta. Om eleverna ska bli flexibla i att använda och gå emellan olika modeller behöver de alltså bli vana vid olika representationer, och material, då varje modell skiljer sig åt beträffande hur väl de synliggör olika aspekter. Många elever är dock fattiga på modeller och kan endast föreställa sig bråk som delar av en cirkelyta. Vi kunde bekräfta detta när vi studerade elevers svar på frågan rita eller skriv 3/4 på så många sätt du kan som vi hänvisade till tidigare. I de en-till-en intervjuer om tal i bråk- och decimalform som vi har utarbetat använde vi en uppgift som behandlar tolkningar av en cirkelmodell. Eleverna fick uppgiften i figur 3. Deluppgift a var relativt okomplicerad, 83,0 procent av sjätteklassarna svarade 1/4. Ytterligare 3,4 procent svarade korrekt, med ett likvärdigt bråkuttryck, ett tal i decimalform eller med procent, medan 5,6 procent och 1,9 procent svarade 1/5 respektive 1/2 (n=323). Deluppgift b var svåra re, endast 42,7 procent gav det korrekta svaret 1/6 och 13,6 procent svarade 1/5 (troligen baserat på fem delar ). Lika stor andel svarade 1/3, möjligen för att de endast beaktade den vänstra sidan. Dessa elever hade troligen liten erfarenhet av uppdelning med olika stora delar och hade kanske inte mött areamodeller med perceptual distractors. Vi tror att elever har nytta av uppgifter som innehåller visuellt distraherande e lement, som de i figur 4. Här tvingas eleverna att tänka matematiskt snarare än att bara räkna upp och skugga. Den typen av uppgifter har också använts för att diagnostisera elevers förståelse av tal i decimalform. Markera ¾ av rektangeln. Figur 4. En uppgift med en distraktor. 6. Relatera bråk till referenspunkter och uppmuntra uppskattning I vår en-till-en intervju fick eleverna åtta par av bråk och för varje par skulle de avgöra vilket som var störst och förklara varför (figur 5). Eleverna hade inte tillgång till papper och penna utan var tvungna att göra jämförelsen i huvudet. Pröva uppgiften själv. Kan du avgöra vilket bråk som är störst, och hur går du till väga? Notera dina svar innan du fortsätter läsa. 40 Nämnaren nr

66 Bråkpar a b c d e f g h Vilket bråk är störst? Beskriv din strategi. Figur 5. Bråkpar. Uppgiften gavs till 323 elever i slutet av sjätte klass. Resultatet varierade mellan de olika paren, från 77,1 procent korrekta svar med godtagbar förklaring för bråken 3/8 och 7/8 till det svåraste paret 3/4 och 7/9 där endast 10,8 procent av svaren var rätt. Trots att flera elever, med varierad framgång, gjorde bråken liknämniga i flera fall, använde de mest framgångsrika eleverna två strategier som de inte hade fått undervisning om i skolan. Den första kallar vi användning av referenspunkter: Eleverna jämför bråken med 0, 1/2 eller 1. För paret 3/8 och 5/8 kunde de konstatera att 3/8 är mindre än 1/2 medan 5/8 är mer än 1/2. Det var tydligt att dessa elever kunde se bråk som en punkt på tallinjen. En annan framgångsrik strategi kan vi kalla beaktande av återstoden ( residual thinking ): Eleverna jämförde hur mycket som saknades upp till en hel. När de jämförde 5/6 och 7/8 kunde de se att för det första saknas 1/6 upp till en hel (återstoden är 1/6), medan för det andra saknas 1/8, vilket är mindre, alltså är 7/8 störst. Detta är en utmärkt strategi. Å andra sidan fanns det också elever som använde en felaktig strategi och jämförde skillnaden mellan täljare och nämnare. Dessa elever menade att 5/6 och 7/8 är lika stora eftersom båda behöver en del för att bilda en hel. Vi tror att när elever får ta del av varandras strategier för att jämföra bråk, kan flera bli övertygade om att använda referenspunkter och att beakta återstoden för att storleksordna tal i bråkform. Inte för att det inte fungerar att göra liknämnigt, men strategierna att använda referenspunkter och att beakta återstoden är ofta effektivare och fokuserar tydligare på innebörden av bråk, något som ofta saknas i elevers erfarenhet av bråk under skolgången. I en undersökning där tvåhundra vuxna följdes i 24 timmar visade det sig att 60 procent av alla beräkningar dessa utförde endast krävde uppskattning eller överslagsräkning. Vi anser att detta resultat bör beaktas i skolans matematikundervisning. Det är också ett skäl till varför undervisning om räkning med bråk i algoritmer för de fyra räknesätten inte förbereder eleverna för möten med bråk i vardagen, där uppskattningar och överslagsberäkningar är nyckelförmågor. Nämnaren nr

67 7. Framhåll bråk som division Föreställningen om bråk som division är vanligtvis inte så uppmärksammad. Om vi uppfattar att en betydelse av 2/3 är två dividerat med tre, kan olika strategier för att hantera uppdelningssituationer snabbt bli självklara. När vi uppmanar elever att skriva 3/7 i decimalform och uppmuntrar dem att på miniräknaren dividera 3 med 7 innebär det ironiskt nog att sambandet mellan bråk och division kommer till uttryck, men utan att vi förklarar det. 17/5 kan uttryckas som och elever brukar göra om det genom att dividera 17 med 5 samma sak här. I våra intervjuer fick eleverna se en bild av fem flickor och tre pizzor och vi frågade, Tre pizzor delades lika mellan fem flickor. Hur mycket pizza fick var och en? Fastän 30,3 procent av sjätteklassarna svarade rätt (3/5), var det uppenbart att de flesta antingen ritade en bild eller delade upp pizzorna i huvudet för att beräkna delen, vilket tyder på att 3 uppdelat på 5 är 3/5 inte är en automatiserad förståelse utan måste beräknas med hjälp av uppdelning. Ett annat bekymmersamt resultat var att 11,8 procent av eleverna inte kunde angripa problemet. Elever behöver möta fler divisionsproblem och uttryckligen diskutera relationen mellan division och svaret i bråkform (3 5 = 3/5 kan leda fram till generaliseringen att a b = a/b). 0,025 0,25 2,5 250% 2,5% Hela rutmönstret är Lyft fram sambandet mellan tal i bråk-, decimal- och procentform så snart det är möjligt Många elever väljer att göra om bråk till decimalform eller procent när de stöter på problem som innehåller bråk. Detta flexibla tänkande bör uppmuntras, då särskilt procent verkar vara intuitivt meningsfullt för många elever. Många forskare menar att tal i decimalform och procent borde introduceras betydligt tidigare än vad som vanligtvis är fallet. Följande aktivitet kan hjälpa elever att se sambandet mellan bråk, tal i decimalform och procent. Ge varje elev ett kort och be dem ställa upp sig i en rad i storleksordning, från minst till störst (figur 6). Att storleksordna korten kan vara svårt för eleverna, men läraren kan naturligtvis anpassa svårighetsgraden till sin klass. Som vi har framhållit tidigare kan förmågan att översätta mellan tal uttryckta på olika sätt hjälpa elever att få en bättre förståelse av rationella tal. 1 % % Figur 6. Kort för att koppla ihop bråk, tal i decimalform och procent. 42 Nämnaren nr

68 9. Intervjua elever enskilt med utgångspunkt från uppgifter för att förstå deras tankar och strategier Vi har diskuterat flera uppgifter som vi har använt i enskilda intervjuer som en del av vår forskning. Vi har också uppmanat lärare att pröva flera av dessa aktiviteter med sina elever. I så gott som alla fal har lärare rapporterat att intervjuer har varit speciellt användbart för att få insikt i elevernas sätt att tänka. I många fall ledde intervjuerna till större respekt för elevernas försök att komma underfund med bråk. Lärarna var ivriga att berätta om elevernas metoder för de andra eleverna och att uppmuntra dem att försöka använda dessa strategier på andra problem. En av våra favorituppgifter, både i intervjuerna och som helklassaktivitet, är Konstruera en summa. Eleverna ska ha kort med talen 1, 3, 4, 5, 6 och 7 och en spelplan (figur 7). Uppgiften är att placera korten i rutorna så att summan är när med inte lika med 1. Endast 25,4 procent av sjätteklassarna i vår studie lyckades skapa en summa mellan 0,9 och 1,1, med totalt 85 olika kombinationer. Dessutom skapade 24,4 procent av eleverna minst ett oegentligt bråk i sin lösning, vilket gör summan större än ett med ytterligare termer att addera. Det antyder kanske att förståelsen för oegentliga bråk är dåligt utvecklad. + Uppgiften erbjuder stora möjligheter till diskussion av relativ storlek och till att ta upp elevernas förståelse av oegentliga bråk. 4 7 Figur 7. Konstruera en summa Leta efter exempel och aktiviteter som kan få elever att tänka kring bråk och om begreppet rationellt tal Här beskriver vi översiktligt några av våra favoritaktiviteter. Bråkhängbron. Visa några bilder på olika sorters broar och foton på Golden Gate i San Francisco. Förklara för eleverna att de ska konstruera något liknande med hjälp av bråk. Ge varje par elever tre 60 cm långa pappersremsor och be dem fundera på hur man kan visa bråken 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11 och 1/12, genom att klippa en remsa i mindre delar förutsatt att hela remsan svara mot en hel. Varje elevpar ska sedan tillverka dessa bråk och skapa en hängbro tillsammans med ett annat par (figur 8). Denna aktivitet erbjuder både problemlösning och övning i att använda bråk som operatorer, t ex för att bestämma 1/6 av 60 cm. Elever är också, precis som vi var, intresserade av det visuella beviset för hur differensen mellan successiva stambråk minskar när man rör sig från 1/2 till 1/3 till 1/4 osv. Figur 8. Eleverna använder sina remsor för att skapa en hängbro av bråk. Nämnaren nr

69 Cuisenairestavar (att gå mellan del och helhet, helhet till del och från del till del). Varje elevgrupp ska ha tillgång till en uppsättning cuisenairestavar för att lösa uppgifter som de följande: Vilken bråkdel av den bruna staven utgör den röda staven? Om den lila staven svarar mot 2/3, vilken stav utgör då en hel? Om den bruna staven är 4/3, vilken stav är då 1? Om den blå staven är 1 ¹/2, vilken stav är då 2/3? Formulera en fråga till klassen. Klistertal. Skriv ner tal i bråk-, decimalform eller som procent på post-it-lappar och fäst en lapp på ryggen på varje elev. Eleverna ska sedan gå runt och ställe en ja- eller nej-fråga i taget till varandra för att lista ut vilket tal de har på ryggen. Önskvärda frågor är sådana som utnyttjar referenspunkter ( är jag mindre än en halv? ), medan sådana frågor som separerar täljaren eller nämnaren ( är min täljare udda? ) inte uppmanar till den typ av tänkande som vi eftersträvar. Förstå operationer. Låt eleverna rita bilder och använda material för att ge mening åt och förklara följande operationer: 1/2 + 1/3; 1/2 1/3; 1/2 1/3 och 1/2 1/3. Sammanfattning I denna artikel har vi försökt att peka på en del av de utmaningar som lärare och elever möter i undervisningen om viktiga aspekter av bråk. Vi har diskuterat stora idéer, redovisat resultat från våra intervjuer samt presenterat 10 forskningsbaserade praktiska uppslag att använda i klassrummet. Utifrån våra erfarenheter av olika kompetensutvecklingsprojekt är vi övertygade om att dessa idéer och förslag har stor potential att göra bråk levande och begripliga för elever. Litteratur Clarke, D.M., Roche, A. & Mitchell, A. (2008). 10 Practical tips for making fractions come alive and make sense. I Mathematics teaching in the middle school, vol 13 (7), Mars 2008 (NCTM), s Kilpatrick, J. Swafford, J. & Findell, B. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington, DC: National Academy Press. Lamon, S. (1999). Teaching fractions and ratios for understanding: Essential content knowledge and instructional strategies for teachers. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Lamon, S. (2007). Rational numbers and proportional reasoning. I F. K. Lester Jr (red), Second handbook of research on mathematics teaching and learning, s Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Litwiller, B., & Bright,G. (2002). Making sense of fractions, ratios, and proportions Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Reston, VA: NCTM. Översättning: Johan Häggström 44 Nämnaren nr

70 Revision: 1 Datum:

71 Jöran Petersson Från brakljud till bråkbegrepp Bråkbegreppet är mångfacetterat och ett område inom skolans matematik som elever ofta hamnar i svårigheter kring. Här ges en översikt på hur bråk kan delas upp i mindre delbegrepp som vart och ett kan vara lättare att ta sig an i undervisningen, var för sig eller samtidigt. Du promenerar i skogen. Tvärs över stigen ligger en nedfallen gren. Du stiger upp på grenen och gör ett svikthopp. Braak! Grenen gick i två bitar när du tog sats. Av ljudet braak fick vi det ljudhärmande ordet brak, enligt språkhistorien. Detta ord fick senare betydelserna bryta och bråk(tal). Betänk också att konsonanterna b och f är släkt genom att vara läppljud och att ordet brak i en del språk skrivs frak(tion). Det är poetiskt vackert att de matematiska orden för brutna tal, dvs bråk, har en ljudhärmande bakgrund och liknar varandra i många språk! Ett mångfacetterat begrepp Bråkbegrepp förekommer i olika form genom hela vår skolgång. I förskolan kan vi lära oss att dela lika. I grundskolans början lär vi oss division och bråkens plats på tallinjen. Senare i grundskolan, gymnasiet och i högre utbildning använder vi bråk för att lösa problem med skala, blandning, förhållande, andel, proportion etc. Detta gör bråk till ett av skolans mest mångfacetterade och komplexa begrepp. Att resonera kring proportioner och bråk kan också ses som en förutsättning för framgång i algebralärande. Thomas Kieren systematiserade 1976 bråkbegreppets komplexitet i en sammanhängande modell, en modell som sedan utvecklades vidare av andra matematikdidaktiker. En kritik mot denna modell är att den utgör ett top down-perspektiv på bråkbegreppet. Det är inte säkert att det beskriver hur barn utvecklar sina bråkbegrepp. Sådana frågor undersöks mycket bättre i studier om enstaka aspekter av bråkbegreppet, en i taget. Vad det gäller generalisering måste man i alla studier också ta hänsyn till aktivitet, kontext och kultur. Följande begreppsmodell för bråk riktar sig alltså till lärare. 14 Nämnaren nr

72 förhållande operationen likhet delar av helhet & operationen dela upp division rationella tal operationen addition operator operationen multiplikation problemlösning Uppdelning av begreppet bråk enligt Charalambous & Pitta-Pantazi (2007) samt Lamon (2007). Figuren ovan kan läsas som att aspekten del hel relaterar till de fyra andra aspekterna och att alla fem aspekter relaterar till problemlösning. Till varje aspekt hör även en operation, utom för division som ju redan är en operation. Bråk som antal delar av en helhet Bråk som antal delar av helhet definieras som en kontinuerlig kvantitet eller diskret mängd objekt som kan delas in i lika stora delar. Exempel på detta är att servera potatismoset (kontinuerlig kvantitet) på fyra tallrikar så att alla får lika mycket mos och att servera 20 köttbullar (diskret mängd) på dessa fyra tallrikar så att alla också får lika många köttbullar. Bråket betecknar alltså en relation mellan antalet delar och storleken på dem. Bråk som antal delar av helhet kräver att täljaren är mindre än nämnaren och sådana bråk kallas egentliga bråk. För elever kan kunskapsmålen vara att: veta att varje del måste vara lika stor kunna utföra delningen så att delarna blir lika stora veta att delarna tillsammans blir det hela veta att ju fler delar, desto mindre blir de för samma helhet veta att förhållandet mellan delar och hela bevaras oavsett form, storlek, orientering eller arrangemang av delarna kunna rekonstruera helheten givet en bråkdel. Ett exempel på den sista punkten är att givet att 3/8 av helheten är 6, så är målet att eleverna kan se 6 som 3 åttondelar av helheten och därmed se att en åttondel är 2 och att det hela blir 2 8 = 16. Bråk som förhållande Förhållande delas ofta in i två underbegrepp. Ett exempel: Sju flickor delar på tre pizzor och tre pojkar delar på en pizza. Att jämföra antal flickor med antal pojkar eller antalet pizzor (3 respektive 1) kan vi kalla en skala, index eller dimensionslös kvot. På engelska används vanligen ordet ratio. Att jämföra mängden pizza per flicka med pizza per pojke kan vi kalla en kvot av olika enheter och på engelska används vanligen ordet rate. Vardagliga exempel är hastighet och densitet och särskilt fysiker kan rada upp många sådana exempel. En viktig egenskap hos skala (ratio) illustreras av följande exempel: Om 1 liter standardmjölk har 3 % fetthalt så har även 2 liter standardmjölk fetthalten 3 %. Nämnaren nr

73 Mer abstrakt uttryckt betyder det att om två kvantiteter står i förhållande till varandra och den ena ändras, så ändras den andra, kovarians, så att förhållandet mellan dem är invariant. Denna egenskap kan, men behöver inte, gälla för kvoter mellan olika enheter. Exempelvis har olika mängder vatten samma densitet men om jag har cyklat 5 km på 15 minuter så kan jag cykla ytterligare 5 km såväl långsammare som fortare. Bråk som division Bråk kan betraktas som en division av två tal som inte behöver vara av samma enhet. Detta skiljer division från bråk som antal delar av en helhet, där delar och helhet har samma enhet. Tre pizzadelar av totalt fyra pizzadelar inte är samma som att dela en pizza på fyra personer. En viktig följd av detta är att kvoten kan vara större än täljaren som i exemplet 3/(1/4). Sådana divisioner är inte möjliga i bråk betraktade som antal delar av en helhet. Kunskap om bråk som division betyder också kännedom om att nämnaren anger namnet på varje del, t ex tredjedel, och därmed hur många delar som helheten har delats in i och att täljaren anger antalet delar i aktuell andel. Att bemästra bråk som division innebär också att kunna skilja på delningsdivision (engelska: partitioning) och innehållsdivision (engelska: quotitive division). Delningsdivision: Fyra barn delar på tre pizzor, hur stor del få var och en? Innehållsdivision: Några vänner delar lika på tre pizzor och var och en får 3/4 pizza, hur många vänner delade måltiden? Det senare problemet kan åskådliggöras med hjälp av Cuisenairestavar som i figuren. Fyra trefjärdeldelar (4 3/4) blir tillsammans 3 hela (3 1). Bråk som rationella tal Det är i denna aspekt som bråken blir (rationella) tal. De blir alltså inte bara en andel utan egna tal med storlek och därmed mått på ett intervall [0; a/b]. Exempel på egenskapen storlek i forskningslitteraturen används ofta ordet mått är att för bråk som rationella tal gäller att vi kan jämföra tals storlek och att olikheten 1/3 < 1/2 alltid gäller, men att för bråk som antal delar av en helhet kan en tredjedels vuxenpizza mycket väl vara större än en halv barnpizza. Ett exempel på elevers svårigheter med att markera det rationella talet 3/4 på en tallinje är att de istället räknar tre skalstreck. Eftersom bråktal inte finns med i räkneramsan är det ett stort steg att gå från naturliga till rationella tal. Denna skillnad beror på att mellan vilka två rationella tal som helst går det alltid att hitta nya bråktal. Det betyder att trots att bråktalen går att storleksordna matematiker kallar denna egenskap välordning så går det alltså inte att räkna upp alla bråktal i storleksordning eftersom det alltid finns nya emellan de uppräknade. Det är alltså först med bråk som rationella tal som det blir begreppsmässigt möjligt att addera och subtrahera bråk. Här räcker inte Cuisenairestavar till, men ett rutat papper kan vara till stor hjälp. 16 Nämnaren nr

74 Bråk som operator Detta avser bråk tillämpat på ett tal, objekt eller mängd. Operatorn kan betraktas som såväl en multiplikationsoperation eller två på varandra följande operationer. Jämför att beräkna tre fjärdedelar av 60 som 0,75 60 eller 60 fjärdedelar av 3 som 3 (60/4). Åskådliga tolkningar av detta är att se operationerna som att töja eller krympa längdsegment, alternativt duplicera, dela upp eller reducera antalet diskreta objekt i en mängd. Att töja eller krympa ändrar inte antalet men storleken på varje del medan duplikator-operationen ändrar antalet delar men inte deras storlek. För eleverna kan målen för denna aspekt formuleras med att klara av problem som 3/4 av 1/2 som exempelvis 3 (fjärdedelar av halv) eller (3 halvor) delat med 4 beskriva en kombinerad operation som multiplicera med tre och dividiera med fyra och en sammansatt operation som multiplicera med 3/4 relatera operatorn 3/4 som att transformera fyra delar till tre. Bråkbegreppen och eleverna Mycken forskningsmöda har ägnats åt att rangordna svårighetsgraden i de fem delarna av bråkbegreppet. Det råder enighet om att bråk som antal delar av en helhet är enklast för eleverna, men för övrigt är resultaten spretiga. En god sammanfattning ges av Hallett, Nunes, Bryant och Thorpe som fann att utvecklingen av begrepp respektive procedur kan gå i olika takt och ordning för olika individer. Vad elever lär sig bäst beror ju till stor del på vad läroplanen säger och hur vi undervisar eleverna om ett visst begrepp. Detta blir särskilt tydligt om vi släpper in miniräknare med inbyggd bråkräkning som lätt klarar 2/3 + 3/5, men gäller även om vi endast tillåter papper och penna. Exempelvis har flera forskare rapporterat att eleverna kan lära sig proceduren att göra liknämnigt och sedan addera täljarna utan att klart kunna redogöra vad detta innebär genom att till exempel representera bråkadditionen på annat sätt. Ett ljus i detta mörker är att när eleverna använde area som representation för bråk så gick det bättre än när de representerade bråk med mängder eller på tallinjen. Att representera bråk som area är absolut något vi ska använda oss av när vi läser kursplanens instruktion om centrala metoder för bråkräkning. Figuren nedan visar 2/3 och 3/5 som areor på rutat papper. De rationella talen 2/3 och 3/5 som area på rutat papper. Ett annat forskningsresultat är att det var vanligare att elever som klarade att storleksordna bråk som rationella tal också klarade att addera rationella tal. Omskrivningen av 2/3 som tio femtondelar innebär att bråktalet istället representeras som antal delar av en helhet. Bråktalsrepresentationen i figuren ovan innebär att bråktalen 2/3 och 3/5 representeras som antal delar av samma helhet, här femtondelar, vilket tydliggör vilket av talen 2/3 och 3/5 som är störst. Nämnaren nr

75 Ett annat sätt att storleksordna är att behandla rationella tal som en division och beräkna divisionerna 2/3 och 3/5 som decimaltal med eller utan miniräknare. Eftersom arearepresentationen i figuren representerar bråktal som antal delar av en helhet blir det mer åskådligt vad divisionen (2/3)/(3/5) innebär. Arearepresentationer fungerar även i praktisk problemlösning där bråk ofta förekommer både som förhållande och operator. Hans har dubbelt så många pennor som Greta. De har 12 pennor tillsammans. Hur många pennor har Hans? 12 pennor 2 delar Hans 1 del Greta Andelsproblem med geometrisk representation. Hans och Greta-problemet är formulerat som en ekvation och visar att arearepresentationen även fungerar som illustration för enklare problem i algebra. Det påminner oss om påståendet i artikelns inledning: Goda kunskaper om bråk underlättar algebralärandet. litteratur Charalambous, C. Y. & Pitta-Pantazi, D. (2007). Drawing on a theoretical model to study students understandings of fractions. Educational Studies in Mathematics, 64 (3), Hallett, D., Nunes, T., Bryant, P. & Thorpe, C.M. (2010). Individual differences in conceptual and procedural knowledge when learning fractions. Journal of Educational Psychology, 102 (2), Kieren, T. E. (1976). On the mathematical, cognitive, and instructional foundations of rational numbers. I R. Lesh (red) Number and measurement: Papers from a research workshop ( ). Columbus, Ohio: Information Reference Center (ERIC/IRC), The Ohio State University. Lamon, S. J. (2007). Rational numbers and proportional reasoning: Towards a theoretical framework. I F. K. Lester (red) Second handbook of research on mathematics teaching and learning, vol 2 (s ). Charlotte, NC: NCTM. 18 Nämnaren nr

76 Revision: 1 Datum:

77 strävorna 2A 3A Bilparkering rutinuppgifter begrepp taluppfattning Avsikt och matematikinnehåll Varje elev ska arbeta med de fyra stegen konkret halvkonkret halvabstrakt abstrakt. Uppdelning av hela tal, i första hand upp till 10. Förkunskaper Talraden 1 10 samt förståelse för nollan. Material En uppritad tvåsidig parkeringsplats och leksaksbilar. Beroende på hur många bilar som ska parkeras kan det behövas ett par olika stora parkeringsplatser. Beskrivning Eleverna får ett givet antal bilar att parkera. De ska undersöka på hur många olika sätt de kan dela upp/ fördela bilarna på P-platsens båda sidor. Regler: Ingen hänsyn behöver tas till vilken färg eller modell det är på bilen. Det är enbart antalet bilar som eleverna ska undersöka. Elever som fastnar i färg och modell kan använda bilar som ser likadana ut. Det har ingen betydelse vilken parkeringsruta en bil står i. Eleverna ska bara bestämma vilken sida av parkeringen som bilen ska stå på. För att aktiviteten ska bidra till elevernas lärande och inte enbart uppfattas som en kul grej är det av största vikt att eleverna dokumenterar sina undersökningar: Konkret: Praktiskt arbete med att köra och parkera bilarna. Låt eleverna berätta vad de gör. Halvkonkret: Bilarnas uppdelning på P-platsens båda sidor ritas av. Låt det få ta tid och uppmuntra till så verklighetstrogna teckningar av bilar som möjligt. Halvabstrakt: Det blir lite jobbigt att rita många fina bilar. Uppmuntra alla initiativ till att förenkla bilteckningarna till elevernas personliga informella symboler, kanske en ruta eller ett streck för varje bil. Abstrakt: Efterhand ersätts de informella symbolerna med allt mer formella symboler, dvs slutligen används siffror. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras

78 strävorna Introduktion I en lärarledd introduktion kan en förhållandevis stor P-plats och större leksaksbilar användas. Låt eleverna gemensamt diskutera olika sätt att parkera bilarna på. Berätta vilka regler som gäller. Det går även att introducera uppgiften i verkliga livet. Rita upp en parkeringsplats på skolgården. Dela klassen i två grupper och låt en grupp köra och parkera sig själva. Den andra gruppen dokumenterar med hjälp av en kamera eller genom att rita de olika parkeringsmöjligheterna. Uppföljning Rita upp en stor gemensam tabell. Hjälps åt att fylla i och strukturera så att tabellen blir överskådlig. När hela tabellen är ifylld används den för uppföljande diskussioner: Titta på hur många olika sätt varje antal bilar kan parkeras. På hur många fler sätt kan bilarna parkeras om antalet ökar med en bil? Blir det någon skillnad om det är jämnt eller udda antal bilar? Bilparkering Antal bilar till vänster till höger Variation De yngsta eleverna behöver göra många liknande aktiviteter där de arbetar med aktiviteter som sträcker sig hela vägen från konkret till abstrakt. Istället för bilparkering kan innehållet enkelt varieras med andra saker som exempelvis ska fördelas mellan två dockor, pengar som fördelas i två fickor etc. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras

79 strävorna Utveckling Efterhand kan både antal saker som ska fördelas och antalet personer det ska fördelas på utökas. För de äldre eleverna kan diskussionerna utifrån parkeringstabellen (eller motsvarande praktiska arbete de utfört) utökas: Finns det något samband med antalet parkerade bilar och antalet sätt det går att parkera dem på? Hur ser det sambandet i så fall ut? När vi vet på hur många sätt tre, fyra och fem bilar kan parkeras, kan vi då klura ut på hur många olika sätt sex, sju, åtta, nio eller tio bilar kan parkeras? När de yngre eleverna har fått god förståelse för hur tal kan delas upp utifrån konkreta situationer kan de fortsätta arbeta med tal på det sätt som föreslås i 3A Hur kan tal delas upp? Grundidén att gå från konkret till abstark i fyra tydliga steg fungerar lika bra även med annat matematikinnehåll. Prova t ex att dela olika hela saker (snören, pappersark, vatten eller sand i burkar, modell-lera, äpplen) i lika stora delar. Använd arbetsgången: göra rita naturtroget rita förenklade skisser eller informella symboler ersätt med formella symboler. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras

80 Revision: 1 Datum:

81 strävorna 3A Hur kan tal delas upp? hantera procudurer lösa rutinuppgifter taluppfattning Avsikt och matematikinnehåll Aktiviteten är till för att befästa grundläggande begrepp inom talområdet 0 10: olika namn för tal, additions- och subtraktionstabeller, förståelsen för likhetstecknets betydelse samt att låta eleverna upptäcka mönster. Förkunskaper Grundläggande kunskaper om talen 0 till 10. Material Låt eleverna inledningsvis använda laborativt matematikmaterial, dvs någon form av plockmaterial som de är bekanta med. Beskrivning Skriv ett tal på tavlan, t ex 9. Elevernas uppgift är att hitta så många talkombinationer som möjligt. Samla alternativen på tavlan. 9 = = = = = osv Introduktion Börja att dela upp exempelvis talet 5 tillsammans. Alla har fem plockisar och ska lägga dessa i två högar eller i händerna. Skriv 5 = på tavlan och därefter alla de olika talkombinationerna. Uppföljning Poängtera nollans betydelse i talkombinationerna. Ta upp likhetstecknets betydelse, framför allt när det finns flera tecken på samma rad. Diskutera med eleverna vilka mönster de kan hitta, t ex = är lika med talet efter i tallinjen, 1 är talet före ökas den ena termen måste den andra minskas lika mycket för att ge samma summa (addition) ökas den ena termen måste den andra ökas lika mycket för att ge samma differens (subtraktion). nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras

82 strävorna Utveckling Utveckla övningen genom att utvidga talområdet till exempelvis 0 20, hela tiotal, hela hundratal eller tal i decimalform. Hur många har jag gömt? Lägg 8 plockisar på en overhead. Låt eleverna blunda medan ett visst antal plockisar täcks över och låt dem sedan gissa hur många som är gömda. Göm gärna i fler högar. Arbeta med öppna utsagor som _ + 5 = _ = 9 9 = 2 + _ 9 = _ + 0 nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras

83 Revision: 1 Datum:

84 strävorna 3A Jeopardy med 100-ruta procedurer tal Avsikt och matematikinnehåll Eleven ska uppnå färdighet i att dela upp tal. Förkunskaper Grundläggande aritmetik. I aktiviteten används de fyra räknesätten inom talområdet Material En hundraruta (se nedan eller ncm.gu.se/node/4286), minst 100 färgade ark i A5-storlek gärna i ett antal olika färger, kladdpapper, tuschpennor i många färger, ett par miniräknare. Beskrivning En gemensam hundraruta sätts upp på väggen. Varje elev väljer ett färgat ark och ritar valfri geometrisk figur mitt på arket. Åtta likhetstecken ritas jämnt fördelade runt figuren. Eleven väljer ett tal från hundrarutan, kryssar över talet och skriver det i sin figur. Eleven ska nu skriva / hitta på / konstruera åtta olika uttryck där svaret är talet i den geometriska figuren. Låt eleverna använda kladdpapper och när åtta förslag är nedskrivna kan två elever byta dem med varandra och kontrollräkna. Därefter fyller eleven i sina uttryck på det färgade arket. Uppmuntra dem gärna att använda tuschpennor och göra arken snygga. Denna aktivitet har inte någon elevsida eftersom de regler som ska gälla bör diskuteras i varje enskild klass. Introduktion Berätta om aktiviteten. Låt eleverna fundera på och diskutera varför de tror att de ska göra aktiviteten. Bestäm gemensamt vilka regler som ska gälla, t ex att: alla fyra räknesätten ska användas på varje ark varje uttryck får innehålla ett maximalt antal operationer (för att undvika uttryck som 58 = ). Uppföljning Eftersom det tar ett tag innan alla tal på hundrarutan har använts kan det vara bra att ha en avstämning tidigare. Välj ut ett par ark och undersök gemensamt uttrycken på dem. Ställ frågor som: Skulle ni ha skrivit samma uttryck? Vilka skulle ni har gjort annorlunda? Välj ett uttryck: hur tänker du när du kontrollerar om det stämmer? nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras

85 strävorna Vilka uttryck är enkla att räkna i huvudet? Varför? Till vilka uttryck vill ni hellre använda miniräknare? Varför? Variation Låt eleverna arbeta i par så att de kan diskutera de olika förslagen. Använd andra talområden: t ex 1 10 eller 0 20 för yngre elever och 0,01 1,00 för äldre elever. Låt eleverna konstruera ekvationer: 10 = 2x + 4, 10 = 5y 5, etc. Därefter byter de kort och löser varandras ekvationer. Utveckling Utveckling av aktivitetens matematikinnehåll: Om eleverna använder flera räknesätt i varje uttryck kan det vara bra att ta upp prioriteringsregler och användning av parenteser. Utveckling av aktiviteten: Låt uttrycken inkludera ekvationer vars lösning är talet i figuren. Ännu högre svårighetsgrad får man med trigonometriska funktioner, potensekvationer Erfarenheter Denna aktivitet fungerar väl som en så kallad väntuppgift. Det är alltid bra att ha några aktiviteter eller uppgifter som elever kan ägna sig åt helt på egen hand t ex då läraren vill ha tid att jobba med / prata med en mindre grupp elever, då många vill ha hjälp samtidigt eller då den egentliga uppgiften känns motig. En inarbetad rutin med väntuppgifter bidrar ofta till ett lugnare arbetsklimat i klassrummet. Ursprung Grundidén till aktiviteten med hundrarutan snappades upp på en matematikbiennal och har sedan dess använts och utvecklats i många klasser. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras

86 Exempel på hur elevernas blad kan se ut (en och annan uppgifts korrekthet kan diskuteras...) strävorna nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras

87 Revision: 1 Datum:

88 strävorna 3A Tre bråk på rad rutinuppgifter taluppfattning Avsikt och matematikinnehåll I spelet övar eleverna att känna igen enkla bråk, både i bild och med siffror, och att se vilka enkla bråk som kan bilda en hel. För att vinna krävs även visst strategiskt tänkande. Förkunskaper Eleverna bör ha kommit i kontakt med de enklaste bråken, hur de skrivs med siffror och hur motsvarande illustrationer kan se ut. Material En spelplan per par och en gemensam tärning märkt med 1/2, 1/4, 2/4, 3/4, 1/3, 2/3. Skriv bråken med vågrätt bråkstreck på tärningen. Spelarna behöver också var sin krita med olika färger. Beskrivning Tärningen slås och motsvarande bråk färgläggs i en lämplig bild. Den elev som har börjat färglägga en bild äger den och får färglägga resten då hen slår det kompletterande bråket. Om en spelare inte kan färglägga går turen vidare till näste spelare. Den som först kan få tre bilder på rad (vågrätt, lodrätt eller diagonalt) vinner. Introduktion Titta på hur bråken på tärningen skrivs. Samtala om vad de olika bråken skulle kunna motsvara i verkligheten. Gå igenom spelreglerna. Uppföljning Fråga eleverna hur de visste vad som skulle färgläggas. Utveckling Utarbeta spelplaner med allt mer avancerade bråk. Erfarenheter Eleverna kan även använda spelplanen som repetition eller för att färdighetsträna på egen hand. Då slår eleven tärningen själv och färglägger tills det blir Tre bråk på rad. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras

89 Tre bråk på rad En krita i var sin färg, en sexsidig tärning märkt 1/2, 1/4, 2/4, 3/4, 1/3, 2/3. Spelregler Bestäm vem som ska börja. Förste spelaren slår tärningen och väljer lämplig bild för att färglägga bråket. Näste spelare slår tärningen, väljer bild och färglägger. Fortsätt att slå och färglägga varannan gång. Varje bild får bara ha en färg. Om någon inte kan färglägga går tärningen över till motspelaren. Vinner gör den som först har färglagt tre hela bilder på rad: vågrätt, lodrätt eller diagonalt. ncm.gu.se/stravorna 3A rutinuppgifter, taluppfattning

90 Revision: 1 Datum:

91 strävorna 2A Bråkspelet lapp på lapp begrepp tal Avsikt och matematikinnehåll Genom ett spel ska eleverna få en grundläggande förståelse för bråkbegreppets helhet och delar. Förkunskaper Förförståelse från exempelvis fruktdelning och andra vardagliga delningssituationer. Material Fem olikfärgade papper i A4-storlek och en sax till varje elev. En bråktärning till varje par med märkning: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, de båda sistnämnda två gånger vardera. Beskrivning Eleverna tillverkar egna spel enligt beskrivning på elevsidan. De ska slå med bråktärning och fylla spelplanen med lappar. Den som först fyller sin spelplan vinner. Introduktion Första gången spelet ska användas tillverkas det gemensamt och elevsidan behöver inte delas ut. För ett samtal med eleverna under tiden de viker och klipper, t ex: Hur många delar tror ni att det blir nu? Vad kan varje del kallas? Varför? Hur många blir det om vi viker en gång till? Hur många fjärdedelar får det plats på en hel? På en halv? Har det någon betydelse om vi delar ett papper på längden eller bredden? Om vi hade massor med papper, hur länge skulle vi kunna fortsätta att vika och klippa? I fortsättningen kan eleverna med stöd av elevsidan tillverka och spela spelet på egen hand. Variation Reglerna kan varieras så att det blir tillåtet att byta en del och / eller att det hela pappret ska fyllas fler gånger. Den som får ett fullt papper får en poäng och vinner gör den som vid spelets / lektionens slut har flest poäng. Utveckling Fler bråkspel finns på ncm.gu.se/pdf/namnaren/3437_96_1.pdf och ncm.gu.se/media/namnaren/npn/arkiv_xtra/farglagg_brak_clarke.pdf Erfarenheter Aktiviteten fungerar bra i årskurs ett och två men kan även användas senare för att repetera eller fördjupa förståelsen av bråk. Spelet fungerar också bra som en så kallad väntaktivitet, dvs när elever får tid över. Det fungerar också bra när de vill göra något annat eller behöver extra träning. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras

92 Bråkspelet lapp på lapp Spela i par Material Varje spelare behöver fem A4-papper i olika färger, sax och penna. Varje par behöver en bråktärning. Tillverka spelet 1. Bestäm att ett färgat papper är en hel. Skriv 1 på detta. 2. Andra pappret delas i två lika stora delar. Skriv en halv samt 1/2 på båda halvorna. 3. Tredje papperet delas i fyra lika stora delar. Skriv en fjärdedel samt 1/4. 4. Fortsätt på samma sätt med åttondelar och sextondelar. Spelregler Turas om att slå med bråktärningen. Den som slår säger högt vad tärningen visar, tar motsvarande pappersbit och placerar den på sitt hela papper. Den som först fyller sitt hela papper vinner. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras

93 Revision: 1 Datum:

94 strävorna 3A Gör en hel! rutinuppgifter taluppfattning Avsikt och matematikinnehåll I spelet ges eleverna övning i dels att förenkla bråk och dels att addera två bråk till en hel. Förkunskaper Grundläggande kännedom om enkla bråk. Material En spelplan, var sin spelpjäs (t ex från ett Fiaspel, knappar eller dekorationsstenar) och en särskild tärning märkt: 1/2, 1/4, 2/3, 2/5, Slå igen samt Stå över ett slag. Skriv bråken med vågrätt bråkstreck på tärningen. Beskrivning Eftersom hela nästa sida består av spelplanen beskrivs reglerna endast här. Vid varje slag som visar ett tal i bråkform ska spelaren fråga sig själv: Vilket bråk behöver jag addera till det som tärningen visar för att det ska bli en hel? Om tärningen visar 2/3 ska spelaren se på spelplanen när 1/3 dyker upp första gången, eller ett annat bråk som kan förkortas till 1/3, t ex 2/6. Ställ spelpjäserna på startrutan. Bestäm turordning och vem som ska börja. Förste spelaren slår tärningen, gör som det beskrivs ovan och flyttar sin spelpjäs. Om tärningen visar Slå igen gör spelaren det och följer vad som sedan kommer upp på tärningen. Visar tärningen Stå över ett slag går tärningen bara vidare till nästa spelare. För att sluta spelet måste det gå jämnt ut, d v s spelaren måste slå 2/3 för att kunna addera det till 3/9 och få en hel. Förste spelare som kommer till målcirkeln vinner. Introduktion Gå igenom reglerna. Undersök om alla elever är bekanta med skrivsättet för bråk som används på spelplanen. Erbjud laborativt material som bråktavlor och bråkstavar som stöd för tänkandet. Uppföljning Låt eleverna visa eller berätta hur de tänker när de ska hitta det bråktal som de behöver för att få en hel. Utveckling Gör tärningar som är märkta med andra bråk och se till att de stämmer med dem på spelplanen. Gör i annat fall både en ny tärning och en ny spelplan. Ju säkrare eleverna blir desto krångligare bråk. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras

95 Gör en hel! 5 10 START MÅL! ncm.gu.se/stravorna 3A rutinuppgifter, taluppfattning

96 Revision: 1 Datum:

97 strävorna 3A 5A Cirkelresonemang procedurer uttrycksformer tal Avsikt och matematikinnehåll Med hjälp av ett laborativt matematikmaterial får eleverna göra jämförelser mellan tal i bråkform, procentform, decimalform samt med grader och klockan. Förkunskaper Säker heltalsuppfattning samt grundläggande uppfattning om bråk, procent, tal i decimalform samt grader och klockan. Material Varje grupp behöver en bråkburk och en uppsättning bråkringar. Beskrivning Elevernas uppgift är att bestämma hur varje del i bråkburken, från en hel till en tolftedel, kan uttryckas som ett bråk, i decimalform, i procentform, i grader och som jämförelse med klockan. Till sin hjälp har eleverna bråkringar som de kan stämma av mot då de är osäkra. Uppgifterna förs in i en tabell och avslutningsvis finns ett antal problem som de ska lösa med stöd av tabellen. Introduktion Fråga på vilka olika sätt en hel kan uttryckas. Diskutera varför det är viktigt att veta vad som är det hela när man ska bestämma delarna. Uppföljning Låt elever berätta om upptäckter de gjort. Variation Gör motsvarande aktivitet med rektangulärt bråkmaterial. Diskutera de begränsningar det materialet har. Vilka av uttrycksformerna i tabellen på nästa sida kan användas? Varför kan inte alla användas? Utveckling Låt eleverna konstruera, och lösa, egna uppgifter som de sedan byter med varandra. nämnaren/ncm ncm.gu.se/stravorna sidan får kopieras