Uppg. 1: Sofie och Maria är syskon. För deras åldrar gäller följande samband: Summan är lika stor som produkten. Hur gamla är Sofia och Maria?

Transkript

1 Uppg. 1: Sofie och Maria är syskon. För deras åldrar gäller följande samband: Summan är lika stor som produkten. Hur gamla är Sofia och Maria? Svar: Sofie och Maria är båda två år. Antag att Sofie är x år och Maria är y år. Ekv.: x + y = xy x = y/(y - 1) Eftersom både x och y är naturliga tal, uppfyller endast y = 2 detta villkor. x = 2 y = 2 Tydligen är Sofie och Maria tvillingar. Svar: Lägg ihop dessa två tal:2+2 =4 Uppgift. 2: Tre positiva heltal (naturliga tal) är så beskaffade, att om vart och ett multipliceras med de två övrigas summa, får man produkterna 120, 133 och 169. Bestäm talen. Svar: Talen är 6, 7 och 13. Antag att talen är x, y och z Vi får då ett ekv.system: x(y + z) = 120 (1) y(x + z) = 133 (2) z(x + y) = 169 (3) H.L. i ekv. (3) kan delas upp i faktorer på följande sätt: Man inser att den första uppdelningen i faktorer inte kan vara en lösning till ekv. (1) och (2). Den andra uppdelningen innebär att z = 13 H.L. i ekv. (2) kan delas upp i faktorer på följande sätt:

2 Även här är det endast den andra uppdelningen som fungerar. Eftersom z = 13, måste x = = 6 och y = 7 Addera dessa tre tal och subtrahera det med det tal som kommer efter 13 i Fibonaccis talföljd: 26-21=5 Uppgift 3 En tjuv stal en säck med guldmynt i ett slott. För att komma ut ur slottet måste han passera tre vakter. Den första mutade han genom att ge vakten hälften av guldmynten. Vakten gav dock tillbaka 100 guldmynt av ren medkänsla. Den andra vakten fick hälften av tjuvens pengar men gav sedan tillbaka 50 guldmynt. Den tredje vakten fick hälften av pengarna men gav sedan tillbaka 25 guldmynt. Tjuven hade då 100 guldmynt kvar. Hur många mynt hade han från början? (Rechenbuch, 1514) Dividera svaret med 40: 200/40=5 Svar: 200 guldmynt Antag att han hade x guldmynt från början. När han passerat första vakten: 0,5x När han passerat andra vakten: 0,25x = 0,25x När han passerat den tredje vakten: 0,125x = 0,125x + 75 Ekv.: 0,125x + 75 = 100 x = 200

3 Uppgift 4 Lille Micke sålde två fotbollskort för 21 kronor. På den ena tjänade han 10 % och på den andra förlorade han 10 %. Allt som allt tjänade han 5 %. Hur mycket hade varje fotbollskort kostat i inköp? Svar: Korna kostade 15 dollar resp. 5 dollar i inköp. Antag att inköpspriset för korna var x resp. y dollar 110 % = 1,1 90 % = 0,9 och 105 % =1,05 Vi får då följande ekvationssystem: 1,1x + 0,9y = 21 (1) 1,05(x + y) = 21 (2) 1,1x + 0,9y = 1,05(x + y) 1,1x + 0,9y = 1,05x + 1,05y 0,05x = 0,15y x = 3y (3) x = 3y insatt i ekv. (1) ger 1,1. 3y + 0,9y = 21 4,2y = 21 y = 5 x = 3y = 15 Svar: Addera dessa två tal och dividera summan med den fjärde decimalen i pi ( ) (5+15)/5=4

4 ! Uppgift 5 Ett tåg består av ett lok och fem vagnar (A, B, C, D och E). På hur många sätt kan vagnarna ordnas så att vagn A kommer närmare loket än vagn B kommer? Svar: På 60 olika sätt kan vagnarna ordnas, så att vagn A kommer före vagn B. Det går att beräkna summan av kombinationerna när vagn A är placerad som nr 1, nr 2, nr 3 och nr 4, men det finns ett enklare sätt: Fem vagnar kan placeras på 5! sätt = sätt = 120 sätt. I hälften av dessa fall kommer vagn A före vagn B. Svar: Dividera svaret med antalet konsonanter i det svenska alfabetet. 60/20=3 uppgift 6 Då ett visst fyrsiffrigt tal multipliceras med fyra, får man ett nytt fyrsiffrigt tal, där sifferföljden är omvänd jämfört med det första talet, dvs. 4*ABCD = DCBA Vilket är det ursprungliga talet? Svar: *ABCD = DCBA A i högerledets DCBA måste vara ett jämnt tal. Enda möjligheten är att A = 2, annars skulle 4*ABCD ge en femsiffrig produkt. Det innebär att D måste vara 8 eller 9. Men vi vet samtidigt att 4* D är ett tvåsiffrigt tal med entalssiffran 2. Därför är D = 8 den enda möjligheten. Vi koncentrerar oss nu på de båda mellersta siffrorna i talen:

5 4*(10B + C) = 10C + B - 3 (minnessiffra) 40B + 4C = 10C + B - 3 Efter förenkling får vi C = (13B + 1)/2 B = 1 är det enda värde som ger ett ensiffrigt heltalsvärde för C. C = 7 Svar: Subtrahera svaret med 2004 och dividera summan med det tionde primtalet = 174/29=6 Uppg. 7 Sofie satt på balkongen och gjorde sin matteläxa. Hon hade just skrivit svaret på en uppgift, när en duva kom flygande och lämnade sitt "visitkort", så att sista siffran (= entals siffran) i svaret inte syntes. Skillnaden mellan det ursprungliga svaret och det svar som nu syntes var 276. Vilket var det ursprungliga svaret? Svar: 306 Antag, att det ursprungliga svaret är 10a + b (där b är entalssiffran) Antag att det "synliga" svaret är a. Differensen är 276 men den kan också skrivas 10a + b - a Ekv.: 10a + b - a = 276 9a + b = 276 9a måste vara 270. (Annars blir inte b en entalssiffra.) Då är b = 6 a = 270/9 a = 30 Det ursprungliga svaret är 10 a + b = = 306 Addera svarets siffror: 3+0+6=9 Uppg. 8 (15-7)( )-2200x3-(8^4)-(2^10)-79=1

6 Uppgift 9 När bonden Armstrong kom till Vilda Västern köpte han ett landområde för dollar. Han delade sedan upp denna mark i ett antal lika stora delar och sålde varje del för 1800 dollar. På de här affärerna tjänade han lika mycket som sex av delarna hade kostat i inköp. I hur många delar delade han upp landområdet? Svar: Han delade upp landområdet i 18 delar. Antag att landområdet delades upp i x delar. Vinsten kan tecknas på två sätt: 1) 1800x ) /x Ekv.: 1800x = /x 1800x x = Dividera med 900 2x 2-27x = 162 x 2-27x/2 = 81 Denna andragradsekvation har lösningen 27/4 ± 45/4 x1 = 18 (x2 = - 4,5) Dividera svaret med 3. 18/3=6

7 Uppgift 10 Trianglarna ABC och ABD är båda rätvinkliga. Sträckan EF är vinkelrät mot sidan AB. Hur lång är sträckan EF, om BC är 6 cm och AD är 3 cm Svar: Sträckan EF är 2 cm (oberoende av hur lång sträckan AB är). 1) Trianglarna AED och BCE är likformiga. Höjderna i trianglarna förhåller sig därför som baserna AD och BC. Det betyder att FB är dubbelt så lång som AF. Sätt AF = x cm 2) Trianglarna AFE och ABC är likformiga (topptriangelsatsen)!

8 Uppgift 11 I herrtruppen till VM i cykel hade lagledare Hjulström tagit ut cyklister från enbart två klubbar - lika många från varje klubb. När det var dags för lagtempo, visade ett testlopp att alla åkarna i stort sett var jämngoda. Hjulström beslöt därför att ta med två cyklister från vardera klubben i lagtempolaget. Ändå gav detta inte mindre än 36 tänkbara lagsamman- sättningar! Hur många cyklister bestod truppen av? Lagtempolaget Svar: Truppen bestod av 8 cyklister!