Kängurutävlingen Matematikens hopp

Transkript

1 Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2017, svar och lösningar Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. Ett underlag till hjälp för bokföring av klassens resultat finns att hämta på ncm.gu.se/kanguru. Vi är medvetna om att redovisningen tar tid, men vi ber er ändå att redovisa resultaten. De är värdefulla för oss och förhoppningsvis ger en sammanställning av klassens resultat även er ett bra underlag för vidare arbete. Vi har valt att inte ta några deltagaravgifter, vilket man gör i flera andra länder. Att låta er sköta rättning och redovisning av resultat är ett sätt att hålla kostnaderna nere. Uppmärksamma gärna goda prestationer i klassen och i skolan. Vi delar inte ut några priser, men namnen på de elever som fått bäst resultat i varje årskurs kommer att publiceras på webben. Där publiceras också lösningsfrekvenser på alla uppgifter liksom en sammanställning av hur elevernas resultat fördelar sig på olika poängintervall. Där kan du sedan jämföra dina elevers resultat med övriga elever och du kan se om de problem som dina elever hade svårt för också var svåra för andra. Många efterfrågar också en sammanställning med lösningsfrekvenser och denna blir förstås bättre ju fler som redovisar. Rätta elevernas lösningar och redovisa resultaten på webbadressen: ncm.gu.se/kanguru Om du får problem med att redovisa via nätet, hör av dig till oss på kanguru@ncm.gu.se eller på telefon Vi ber er redovisa era resultat senast 29 april. Nominera till Mikael Passares stipendium Mikael Passare ( ) var professor i matematik vid Stockholms universitet. Han hade ett stort intresse för matematikundervisning på alla nivåer och var den som tog initiativ till Kängurutävlingen i Sverige. Mikael Passares minnesfond har instiftat ett stipendium för att uppmärksamma elevers matematikprestationer. I samband med Kängurutävlingen kommer därför en elev från vardera tävlingsklass Ecolier, Benjamin och Cadet och en gymnasieelev att belönas med 500 kr. För att kunna nomineras måste eleven ha genomfört tävlingen på korrekt sätt och klassens resultat måste vara inrapporterade (åtminstone redovisning A). Nomineringen ska innehålla elevens namn, skola och årskurs, tävlingsklass, resultat på årets tävling samt uppgift om vilken dag tävlingen genomfördes och namn och e-post till den nominerande läraren. Dessutom behöver vi ett kontonummer där vi kan sätta ett eventuellt stipendium samt postadress dit vi kan skicka diplomet. Det ska finnas en motivering till varför just denna elev är värd att speciellt uppmärksammas. Det kan t ex vara en ovanligt god prestation i tävlingen, oväntat bra resultat i relation till tidigare prestationer eller annat hos eleven som är värt att speciellt uppmärksammas i relation till arbetet med Kängurun. Förutom detta premieras att eleven är hjälpsam och visar gott kamratskap. Det är motiveringen som kommer att ligga till grund för juryn beslut. I juryn ingår representanter från Mikael Passares minnesfond och NCM. Nomineringen skickas senast 29 april till: Kängurutävlingen NCM, Göteborgs universitet Box GÖTEBORG NCM & Kungl Vetenskapsakademien 1

2 Lösningsförslag Junior poäng 1. B: 16 I den tomma rutan i mittenraden ska det stå 19 och i den tomma mittenrutan i understa raden 3. Då måste frågetecknet ersättas med E: En vändning utefter höger sida ger en spegling av bokstäverna. En vridning på 180 ger alternativ E. 3. B: 10 cm 2 Arean av det yttersta grå fältet är 16 9 = 7. Arean av den innersta gråa fältet får vi på liknande sätt, 4 1 = 3. Total skuggad area är: = C: 3 Sammanlagt har syskonen ( ) = 60. Eftersom de ska ha lika mycket ska var och en ha 60 / 4 = 15. Maria ska ge var och en (15 12) = C: 13 Till vänster mellan Bianca och Antonia finns det fyra flickor och till höger mellan Bianca och Antonia finns det sju flickor. Alltså finns det 13 flickor i ringen. 6. E: Cirkeln har omkretsen 2. När den har rullat sträckan 11 har den rullat 5,5 varv. 7. C: 70 % 20 spelade matcher och 14 vunna ger 14 = 70 % A: 1 2 Eftersom 1 8 av gästerna är barn så är 7 av gästerna vuxna. Då är andelen män bland 8 gästerna = 3 8. Andelen vuxna kvinnor är = 1 2. Alternativ lösning: 7/8 av gästerna är vuxna och andelen kvinnor är 4/7. Andelen kvinnor bland publiken är = 1 2. NCM & Kungl Vetenskapsakademien 2

3 9. C: 35 Beteckna de parallella sidorna med a och b och låt h vara parallelltrapetsets höjd. Parallelltrapetsets area är A = a + b h. Eftersom a = 50 och b = 20 så är A = h = 35h. Sätt AE = x. Arean av triangeln AED är xh 2 = 35h 2, x = E: 40 När A är tresiffrigt och A + 20 fyrsiffrigt finns följande möjliga tal; 980 A 999, dvs 20 tal. När A är fyrsiffrigt och A + 20 femsiffrigt finns följande möjliga tal; 9980 A 9999, dvs också 20 tal. 11. D: 1 2 Dra från varje triangelhörn en linje till hexagonens närmaste hörn. De fyra vita trianglar som bildas kring varje hörn är kongruenta (halva liksidiga trianglar). Totalt finns det 12 vita trianglar. Den bildade hexagonen är regelbunden. Dra linjerna enligt bilden nedan genom hörn och mittpunkten på motstående sida samt parallella linjer med basen. Då får vi 12 vita och 12 gråa trianglar som alla är kongruenta. Alltså täcker hexagonen hälften av den ursprungliga arean. 12. C: 17 Låt de tre konsekutiva talen vara n 1, n och n + 1. Då gäller (n 1) 2 + n 2 + (n + 1) 2 = 770 n 2 2n n 2 + n 2 + 2n + 1 = 770 3n 2 = 768 n 2 = 256 n = 16 Det största talet är = B: 28 cm Låt hjul B ha diameter d B. För hjul B och hjul C gäller då att 6 d B 2 = , d B = 35. Låt hjul A ha diameter d A. För hjul A och hjul C gäller då 5 d A 2 = , d A = 28. NCM & Kungl Vetenskapsakademien 3

4 14. B: 7 Tycho vill jogga tre gånger per vecka men inte två dagar i sträck. Vi gör ett schema över möjliga kombinationer av veckodagar. Det blir totalt 7 olika scheman. Mån Tis Ons Tor Fre Lör Sön Alternativ lösning: Han ska ha 3 viloperioder på sammanlagt 4 dagar. Alltså en viloperiod på 2 dagar och två viloperioder på 1 dag. Han kan på 7 sätt välja när 2-dagars viloperioden ska inträffa och väljer han den så är resten entydigt bestämd. 15. A: 160 cm Vi kan börja med att ställa pojkarna i en rad efter deras längder. Om vi börjar med den kortaste så gäller ordningen Oscar, Peter, Tobias och Viktor. Vi vet att det är samma differens i deras längder, låt den differensen vara d cm. Eftersom T = 184 får vi O = 184 2d, P = 184 d och V = d. Alternativ 1: Deras medellängd är 178 cm, då är Tobias lika mycket längre än medellängden som Peter är kortare, dvs differensen mellan deras längder är 2 6 cm = 12 cm. Oskar är då 184 cm 24 cm = 160 cm. Alternativ 2: Eftersom deras medellängd är 178 cm så gäller 184 2d d d = 178, d = 12 4 Oskar är 160 cm. 16. D: 0 Vi betecknar talen i de övriga rutorna enligt figuren: 3 a 1 b c d 2 e f Då ska följande samband gälla (1) 3 + a + b + c = a c + d 3 + b = 1 + d b d = -2 (2) b + c e = c + d + e + f b + 2 = d + f b d = -2 + f Jämförelse av (1) och (2) ger att f = 0. NCM & Kungl Vetenskapsakademien 4

5 17. A: endast a eller g Summan 2017 är udda, alltså måste ett udda antal termer vara udda. Eftersom vartannat tal i serien är udda så måste det vara ett av talen b, d eller f. Alltså måste 286 vara antingen a, c, e eller g. Men om c eller e skulle vara 286 så skulle summan bli mindre än 2017, maximalt = Alternativ lösning: 2017 = Om ett av talen ska vara 286, så måste även 287 finnas med. Om vi byter ut två stycken 288:or mot 286 och 287, så måste vi även byta ut två stycken 288:or mot 289 och 290. Då är talen som ingår i summan 286, 287, 288, 288, 289, 289 och 290. Eftersom det bara finns ett tal 286 så måste det talet stå först eller sist. 18. D: = Då kan barnens åldrar vara 1, 7, 9 och 14. Summan blir E: 1 3 P(negativ produkt) = P(första tärningen visar negativt, andra visar positivt) + P(första tärningen visar positivt, andra visar negativt) = = C: 7 Talet är ababab = a b a b a 10 + b = a b = 10101(10a + b) = (10a + b) 21. E: 13 Den högsta siffran kan vara 7 och då är koden Är den högsta siffran 6, så måste det finnas sex stycken 6:or och en 1:a. Det finns två möjligheter att skriva den koden, eller Är högsta siffran 5, finns det fem 5:or och två 2:or, eller Är högsta siffran 4 så har vi fyra 4:or. De övriga tre siffrorna, kan antingen vara tre 3:or eller två 2:or och en 1:a. Vi får , , , , , , eller Totalt finns det13 möjliga koder. Alternativ lösning: Sortera koder efter antalet olika siffror: - alla lika, ett sätt: två olika, 6 sätt: , , , , , tre olika, 6 sätt: , , , , , Fler än tre olika kan de inte vara. NCM & Kungl Vetenskapsakademien 5

6 22 B: 14 När vi har tre heltal a, b och c sådana att a+b= c, så är minst ett av dem jämnt. Det betyder att det finns minst ett jämnt tal i en sådan här liten talpyramid. Och i en sådan här, lite större pyramid gäller: d= a+b, e= b+c och f= d+e= a+b+b+c= a+c +2b. När både a och c är udda så är f jämnt. Något av talen a, c och f är jämnt vilket betyder att det skrivs ett jämnt tal i minst en vit ruta i en sådan här pyramid (eller del av en pyramid): I hela figuren bestående av 21 rutor som vi färglägger så här måste minst en ruta i varje färg inklusive vit innehålla ett jämnt tal. Minst 7 jämna, alltså inte fler än 14 udda. I följande exempel ser vi att det går att fylla i pyramiden så att 14 av talen blir udda. (Udda tal skrivna här med röd färg.) Som mest kan Paul skriva 14 udda tal i talpyramiden. 23. B: 80 % Totalvikten av alla vikter är 621 gram, vilket ger att vikterna på den tyngsta sidan måste variera mellan 311 gram och 315 gram. Vi väljer tre vikter och placerar ut på ena sidan. Det kan vi göra på 20 sätt. Vi har två möjligheter för val av sida så totalt antal möjligheter att placera ut vikterna är 20/2 = 10. Om inte 106 står på tyngsta sidan så finns det bara 2 möjligheter, nämligen = 312 och = 311. Sannolikheten är 10 2 = 80%. 10 Tabell över viktkombinationerna på tyngsta sidan: Vikt 1 Vikt 2 Vikt 3 Vikt NCM & Kungl Vetenskapsakademien 6

7 Alternativ lösning: Det kan vara enklare att beräkna sannolikheten för att den hamnar på den lättare sidan. Då måste summan av de som står på samma sida som vikten 106 vara mindre än 205 (= ( ) / 2 106). Det finns bara två sådana kombinationer, och av 10 möjliga kombinationer av 2 vikter bland % på lättare sidan ger 80 % på den tyngre sidan. 24. D: 6 Låt r vara cirkelns radie. Sätt PA = x. Då är PM = x + r och PB = x + 6. Triangel PBM är rätvinklig. Pythagoras sats ger r 2 +(x + 6) 2 =(x + r) 2 r 2 + x x + 36 = x 2 +2xr + r 2 2xr = 12x + 36 xr =6x + 18 xr 6x = 18 x(r 6) = 18 x = 18,r >6 r 6 Eftersom x är heltal finns följande möjliga kombinationer: r x NCM & Kungl Vetenskapsakademien 7

8 Rättningsmall Uppgift A B C D E Poäng 1 B 3 2 E 3 3 B 3 4 C 3 5 C 3 6 E 3 7 C 3 8 A 3 9 C 4 10 E 4 11 D 4 12 C 4 13 B 4 14 B 4 15 A 4 16 D 4 17 A 5 18 D 5 19 E 5 20 C 5 21 E 5 22 B 5 23 B 5 24 D 5 SUMMA 96 NCM & Kungl Vetenskapsakademien 8

9 Redovisningsblankett A För Kurs 2 och 3. Redovisning av resultat sker på ncm.gu.se/kanguru. Om du får problem med att redovisa, hör av dig till oss på kanguru@ncm.gu.se eller på telefon Redovisa senast 29 april. Antal deltagande elever Kurs 2 3 För in namn och poäng för de 2 bästa eleverna i varje kurs Kurs Namn Poäng 2 3 Om du har fler elever med mycket bra resultat kan du redovisa deras namn i ett e-brev till kanguru@ncm.gu.se. Antal elever med poäng poäng poäng poäng poäng 0 12 poäng Kurs 2 3 NCM & Kungl Vetenskapsakademien 9

10 Redovisningsblankett B För Kurs 2 & 3 Uppgift nr Antal elever med rätt svar på uppgiften Kurs 2 Kurs 3 NCM & Kungl Vetenskapsakademien 10