Mat Grundkurs i matematik 3-I

Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I G. Gripenberg Aalto-universitetet 24 oktober 2 Komplex analys.................... 5 Komplexa tal.................... 5 Funktioner..................... 2 Analytiska funktioner................ 9 Stigintegraler.................... 2 Vridningstal.................... 25 Integralformler................... 26 Analytiska funktioner, forts............... 32 Serier....................... 34 z-transformer.................... 39 Residyräkning.................... 4 Nollställen, poler.................. 49 Analytisk fortsättning................ 53 Harmoniska funktioner................ 56 Strömningsproblem................. 62 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 2 / 92 2 Laplace-transformer.................. 65 Differentialekvationer................ 67 Konvolutioner................... 7 3 Fourier-analys.................... 78 Fourier-integraler.................. 78 Fourier-serier.................... 83 DFT och FFT................... 87 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 3 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 4 / 92

Komplexa tal Reell och imaginär del, konjugering, absolutbelopp z = x + iy = x + y i, x, y R, i 2 = C är mängden av komplexa tal Reell del: Re x + iy = x Imaginär del: Im x + iy = y Konjugering: x + iy = x iy så Im z är alltså ett reellt tal = x + i y Absolutbelopp eller modul x + iy = mod x + iy = x 2 + y 2 Räkneregler z 2 = zz, z + z 2 = z + z 2, z z 2 = z z 2 z = z, z z 2 = z z 2, z + z 2 z + z 2, z z 2 = z z 2 z z 2 z z 2 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 5 / 92 Vid addition och subtraktion av komplexa tal adderar och subtraherar man de reella och imaginära delarna var för sig så att tex. 8 + 2i + 3 4i = 8 + 3 + 2 + 4i = 5 2i. Vid multiplikation gäller det bara att komma ihåg att i 2 = : 8 + 2i 3 4i = 8 3 + 8 4i + 2 3i + 2 4i 2 = 24 32i 6i 8 = 6 38i. Division av komplexa tal kan räknas så att man förlänger med nämnarens konjugat så att man i nämnaren får ett reellt tal, tex.: 8 + 2i 3 4i 8 + 2i 3 + 4i 24 + 32i 6i + 8i2 = = 3 4i 3 + 4i 3 2 4i 2 24 8 + 26i 32 + 26i = 9 6i 2 = 9 + 6 = 32 25 + 26 25 i. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 6 / 92 Kommentar Ett annat, formellt mera korrekt, sätt att definiera de komplexa talen är att inte alls explicit tala om den imaginära konstanten i utan tala om punkter eller vektorer x, y i planet R 2 och definiera räkneoperationer för dem som motsvarar räkneoperationerna för vanliga reella tal. Addition är inget problem eftersom det enda förnuftiga är att definiera x, y + x 2, y 2 = x + x 2, y + y 2, vilket är addition av vektorer. Ett viktigt villkor som multiplikationen skall uppfylla är att produkten av två punkter endast får vara noll dvs., om åtminstone den ena faktorn är noll. Detta uppnås om man definierar x, y x 2, y 2 = x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y och man kan då visa att alla räkneregler gäller. Argument eller fasvinkel Ifall Re z = x och Im z = y så är argumentet θ = argz av z y arctan +2kπ, x >, x + iy x. y θ. θ = arctan + π +2kπ, x <, x y π y 2 +2kπ, x = atan2 I de flesta programmeringsspråk finns en funktion atan2 som räknar ut det argument av x + iy som ligger i intervallet π, π] med kommandot atan2y,x. Observera att i tex. Excel och OOCalc skall man skriva atan2x;y dvs. byta ordning på argumenten. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 7 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 8 / 92

Polär framställning z = rcosθ + i sinθ = re iθ, r z = r och argz = θ Re z = r cosθ och Im z = r sinθ Kommentar Om x är ett reellt tal kan man skriva x = x sign x vilket motsvarar den polära framställningen z = z e iθ med den skillnaden att teckenfunktionen sign x bara får två värden eftersom man inte behöver bry sig om sign. arg 3 =? Eftersom den reella delen är negativ är argumentent arctan 3 + π +2kπ = π +2kπ. arg2 2i =? Argumentet är arctan 2 2 +2kπ = π 4 +2kπ. arg 3e i.234 =? Argument är arg 3 + arge i.234 = π.234 +2kπ. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 9 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 / 92 Räkneregler z z 2 = z z 2, argz z 2 = argz + argz 2 z n = z n, z z 2 = z z 2 arg z n z = n argz, arg = argz argz 2 z = z 2 Re z = Re z 2, Im z = Im z 2 z = z 2, θ = θ 2 + 2kπ där θ = argz och θ 2 = argz 2 Två personer som har samma födelsedag är inte nödvändigtvis lika gamla men skillnaden i ålder är ett antal hela år. z 2 Exponentfunktionen expx + iy = e x+iy = e x cosy + i siny e z +z 2 = e z e z 2 e z = e Re z, arge z = Im z e z, z C, e iθ = θ R d Moivres formel cosnt + i sinnt = e int = e it n = cost + i sint n G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 2 / 92

Logaritmfunktionen z = lnw w = e z Om z = x + iy så är e z = e x och arge z = y och om w = e z måste w = e z = e x och argw + 2kπ = arge z = y dvs. x = ln w så att z = lnw = ln w + iargw + 2kπ. För att få en ordentlig logaritmfunktion med bara ett värde i varje punkt kan man tex. definiera Lnw = ln w + iargw där Argw är argumentet valt så att π < Argz π så att tex. ln w egentligen är Ln w Rötter: z = w n w = z n Om z = z e iϕ, dvs. ϕ = argz så är z n = z n och argz n = nϕ och om w = z n så är w = z n och argw + 2kπ = nϕ så att om argw = θ så är z = w n och ϕ = θ n + 2kπ n dvs. z = w n = n w = n w cos θ+2kπ n + i sin θ+2kπ n, där k =,,..., n eftersom man får samma värden för k + n som för k. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 3 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 4 / 92 Låt w = + i. Bestäm den lösning till ekvationen z 4 = w, vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π]. Lösning: Absolutbeloppet av talet w är w = 2 + 2 = 2.442, och w:s argument är arctan = π 4. Ifall z = r och argz = ϕ, så är z 4 = r 4 och argz 4 = 4ϕ. Om nu z 4 = w så är r 4 = w = 2 och 4ϕ = π 4 + 2kπ där k är ett heltal. Av detta följer att r = 8 2.95 och ϕ = π 6 + π 2 k =.9635 +.578k. Nu får man olika lösningar då k =,,..., 3 eftersom man då tex. k = 4 får samma tal som då k = osv. Eftersom argumenten för dehär lösningarna är π 6, π 6 + π 2, π 6 + π och π 6 + 3π 2 så ser vi att den lösning vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π] fås då k = 2 och är alltså z 2 =.95 cos.9635 +.578 2 + i sin.9635 +.578 2 =.696 i.2275. Trigonometriska funktioner sinz = 2i e iz e iz cosz = 2 e iz + e iz sinx + iy = sinx coshy + i cosx sinhy cosx + iy = cosx coshy i sinx sinhy Möbius-avbildning z az+b cz+d, ad bc Cirklar och linjer avbildas på cirklar eller linjer G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 5 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 6 / 92

Öppna och slutna mängder En mängd Ω C är öppen ifall för varje z Ω finns ett tal δ > så att { z C : z z < δ } Ω En mängd A C är sluten ifall C \ A = { z C : z / A } är öppen En mängd Ω C är öppen när den inte innehåller någon randpunkt, dvs. Ω Ω = där randen Ω består av de punkter z C för vilka det för varje δ > finns en punkt z i Ω och en punkt z u C \ Ω så att z i z < δ och z u z < δ En mängd Ω C är sluten när den innehåller alla randpunkter, dvs. Ω Ω Sammanhängande mängder En öppen mängd Ω C är sammanhängande ifall det för alla z, z Ω finns en kontinuerlig funktion : [, ] Ω så att = z och = z och alltså t Ω, t [, ], dvs. en kurva i Ω från z till z. Mera allmänt: A C är sammanhängande om följande gäller som alltså är ekvivalent med ovanstående villkor då A är öppen: Ifall A Ω Ω 2 där Ω j C, j =, 2 är öppen och Ω Ω 2 = så är A Ω = eller A Ω 2 = Kontinuerliga funktioner Om Ω C så är funktionen f : Ω C kontinuerlig i Ω om lim z z z Ω f z = f z z Ω. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 7 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 8 / 92 Derivator En funktion f är deriverbar i punkten z ifall lim z z f z f z z z = f z för något komplext tal f z dvs., för varje ɛ > finns det ett tal δ > så att om < z z < δ så är f definierad för z och z och f z f z f z z z < ɛ Alla normala deriveringsregler gäller och tex. d dz zm = mz m då m inte är ett heltal d dz ez = e z d dz lnz = z d d dz sinz = cosz dz cosz = sinz d dz g f z = g f z f z d dz f zgz = f zgz + f zg z Analytiska funktioner En funktion f är analytisk i mängden A C ifall det finns en öppen mängd Ω C så att A Ω och f är deriverbar i varje punkt i Ω Cauchy-Riemann ekvationerna Ifall f z = ux, y + ivx, y då z = x + iy så gäller u x x, y = v y x, y u y x, y = v x x, y i de punkter där f är deriverbar G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 9 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 2 / 92

Stig En stig, eller bitvis differentierbar glatt kurva är en kontinuerlig funktion : [a, b] C så att det finns ändligt många punkter a = t < t <... < t n = b så att är kontinuerligt deriverbar i varje intervall [t j, t j ] och derivatan höger- eller vänster- i ändpunkterna är aldrig. def = { t : t [a, b] } Stigintegraler Ifall är en stig är f z dz = b a f t t dt Ofta skriver man C f z dz istället för f z dz där C är en riktad kurva om det är klart hur parameterframställningen för C som alltså är med riktning skall väljas. på integraler Om C är sträckan från z till z så är f z dz = f z dz = C f t t dt, där t = tz + tz, t [, ]. Alternativt, C f z dz = b a f t t dt där t = b t b a z + t a b a z Om C är cirkelbågen z z = r från z + re iα till z + re iβ motsols där α < β så är C f z dz = där t = z + re it, t [α, β]. f z dz = β α f t t dt, G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 2 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 22 / 92 Två stigar : [a, b] C och 2 : [c, d] C där b = 2 c kan kombineras till en stig = 2, : [a, b + d c] C, så att { t, t [a, b], t = 2c + t b, t [b, b + d c], och då är f z dz = f z dz + f z dz. 2 På motsvarande sätt kan en stig delas upp. Om : [a, b] C är en stig och eller är stigen t = a + b t, t [a, b], dvs. stigen i omvänd riktning, så är f z dz = f z dz. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 23 / 92 Slutna stigar En stig : [a, b] C är sluten ifall a = b och f z dz betyder att är sluten. Ifall f z M då z, a < b och längden av är L så gäller b f z dz f t t dt ML. a Om : [a, b] C är en stig och f är en kontinuerlig funktion så att det finns en deriverbar funktion F så att F z = f z då z så är f z dz = F b F a. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 24 / 92

Vridningstal Ifall är en sluten stig så är ν, w = 2πi z w dz stigens vridningstal i förhållande till w /. ν, w ett heltal som anger hur många varv går runt w i positiv riktning och är konstant i varje öppen sammanhängande delmängd av C \. ν, w = ν, w, w / Cauchys integralteorem Om är en sluten stig och f är analytisk på och i alla punkter innanför så är f z dz = Antagandet mera exakt: är en sluten stig, f är analytisk i en öppen mängd Ω så att Ω och ν, z = för alla z C \ Ω G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 25 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 26 / 92 Visa hur man kan räkna ut integralen sint t dt med hjälp av Cauchys integralteorem. Lösning: Vi bildar en sluten stig som är sammansatt av stigarn S, [ S, r], r och av [r,s] där < r < S och S är den stig som består av sträckorna från S till S + i S, från S + i S till S + i S och från S + i S till S, [ S, r] är sträckan från S + i till r + i, r är cirkelbågen z = r i negativ riktning från r to r och [r,s] är sträckan från r + i till S + i. Av Cauchys integralteorem följer att z dz = dvs. e iz S z dz + e iz [ S, r] z dz + e iz r z dz + e iz [r,s] z dz = så det gäller att visa att sint t dt = lim r 2 Im e iz S [ S, r] z sedan räkna ut lim S dz och lim r dz. S e iz z r e iz z e iz dz + [r,s] e iz z dz och Cauchys integralteorem, ver.. Om och 2 är slutna stigar och f är analytisk på och 2 och i alla punkter mellan och 2 så är f z dz = f z dz. 2 Antagandet mera exakt: och 2 är slutna stigar, f är analytisk i en öppen mängd Ω så att Ω, 2 Ω och ν, z = ν 2, z för alla z C \ Ω. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 27 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 28 / 92

Cauchys integralformel, ver. Om är en sluten stig som går ett varv runt punkten w och f är analytisk på och i alla punkter innanför så är f w = f z 2πi z w dz. Cauchys integralformel, ver. Om är en sluten stig, f är analytisk i en öppen mängd Ω så att Ω och ν, z = för alla z C \ Ω så är f wν, w = f z 2πi z w dz, för alla w Ω \. z + 2 Beräkna integralen dz då är randen i positiv riktning z + z 2 av rektangeln med hörn i punkterna 2 + 3i, 2 3i, 3i och + 3i.Lösning: Vi konstaterar att funktionen som skall integreras är analytisk i alla punkter utom och 2 och av dessa är det bara som ligger innanför. Därför väljer vi f z = z + 2 och eftersom f är z 2 analytisk i alla punkter utom 2 och eftersom denna punkt ligger utanför rektangeln kan vi använda Cauchys integralteorem. Punkten ligger inne i rektangeln och vi får därför z + 2 z + z 2 dz = f z + 2 dz = 2πif = 2πi z 2 = 2π 3 i. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 29 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 3 / 92 Cauchys integralformel, ver.2 Om f är en analytisk funktion i en öppen mängd Ω C,, 2,..., n är slutna stigar så att j Ω och n j= ν j, z = för varje z C \ Ω så är f w n j= n j= ν j, w = 2πi j f z dz = n j= j f z z w dz, w Ω \ n j= j Teorem Om f är analytisk i den öppna mängden Ω så är också f deriverbar i Ω, dvs. f oändligt många gånger deriverbar i Ω. Cauchys olikheter f n w n!m r n ifall f är analytisk i { z : z w r } och f z M då z w = r eller ifall f är analytisk i { z : z w < r } och f z M då z w < r. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 3 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 32 / 92

Liouvilles teorem Om f är analytisk i C och f är begränsad dvs. f z M < för alla z C så är f en konstant. Moreras teorem Om f är kontinuerlig i den öppna mängden Ω C och för varje triangel T Ω så är f analytisk i Ω. T f z dz = Konvergensradie Om z C och a n C, n så finns det ett tal R, R, så att serien n= a nz z n konvergerar absolut då z z < R divergerar då z z > R. Talet R kallas seriens n= a nz z n konvergensradie. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 33 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 34 / 92 Bestäm konvergensradien för potensserien Vi använder kvottestet och räknar n+! z 2n++2 lim n+ n+ n = lim n! n n z 2n+2 n n= n + n + n+n n n n! n n z2n+2. z 2n+2 2 2n 2 = lim n + z 2 = n n e z2. Serien konvergerar då gränsvärdet är < dvs. då z 2 < e eller z < e. På motsvarande sätt divergerar serien då gränsvärdet av kvoterna är >, dvs. då z > e. Detta innebär att seriens konvergensradie är e. Potensserie Ifall f är analytisk innanför cirkeln z z = r så är f z = a n z z n, z z < r, n= där a n = n! f n z och konvergensradien är r. Omvänt, ifall f z = n= a nz z n så är f analytisk i mängden { z : z z < R } där R är konvergensradien och f z = na n z z n, n= dvs. serien kan deriveras och integreras termvis. z z < R G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 35 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 36 / 92

Laurent-serie Om f är analytisk i mängden { z : r < z z < R } så är f z = n= a n z z n, där serien konvergerar absolut för alla z så att r < z z < R och kan deriveras och integreras termvis. a n = f z dz, 2πi z z n+ C r,z där C r,z är cirkeln z z = r, r < r < R, l Hopitals regel Om f och g är analytiska i z och f z = gz = och gränsvärdet f z lim z z g existerar så är z f z lim z z gz = lim f z z z g z på serieutvecklingar z = + z + z2 + z 3 +... = n= zn, z < e z = + z + z2 2! + z3 3! +... = n= zn n! sinz = z z3 3! + z5 5!... = n= n z 2n+ 2n+! cosz = z2 2! + z4 4!... = n z 2n n= 2n! G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 37 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 38 / 92 z-transformer Om xn, n =,, 2, är en talföljd så är z-transformen av x Konvergensområdet Zxz = xnz n Det finns ett tal R, R så att serien n= xnz n konvergerar då z > R och divergerar då z < R. n= Överföringsfunktioner Antag att H är en funktion som avbildar en talföljd x = xn n= på en talföljd Hx = Hxn n= så att H är linjär, dvs Hλx + µy = λhx + µhy; H är translationsinvariant, dvs. Hτx = τhx där τx = och τxn = xn då n ; Det finns ett tal C < så att Hδn C n+, n där δ = och δn =, n. då finns det en funktion Hz, den sk. överföringsfunktionen så att Y z = HzX z där X = Zx och Y = ZHx. Funktionen Hz är z-transformen av Hδ. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 39 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 4 / 92

Residy Om f z = n= residyn av f i punkten z. Om a n z z n då < z z < R så är a = Resf, z lim z z f z = w existerar z z eller då m > d m lim z z z z m! dz m m f z = w existerar så är Resf, z = w. m måste vara minst ordningen av polen i z. Residyteoremet Ifall är en sluten stig och f är analytisk på och innanför bortsett från punkterna z j för vilka ν, z j =, j =,..., k så är f z dz = 2πi k Resf, z j. j= G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 4 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 42 / 92 Varför? Om j är en cirkel med mittpunkt z j och så liten radie r j att f är analytisk i { z : < z z j r j } Ω så kan vi skriva Eftersom d dz n och f z = n= a j,n z z j n, < z z j r j. n+ zn+ = z n då n blir j a j,n z z j n dz = då j f z dz = a j, j z z j dz = 2πia j, = 2πiResf, z j. Beräkning av integraler Om f är analytisk på reella axeln och i övre halvplanet Im z > bortsett från punkterna z j, j =,..., k, och lim Im z zf z =, dvs. om z f är rationell, ifall skillnaden mellan nämnarens och täljarens gradtal är minst 2 så är R k f x dx = lim f x dx = 2πi Resf, z j. R R j= Nu följer residyteoremet av att man tillämpar Cauchys integralteorem, ver.2 på stigarna och j, j =,..., k. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 43 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 44 / 92

Beräkna med hjälp av residyteoremet integralen x 2 + x 2 + 4 dx. Låt f z =. Denna funktion är analytisk i alla punkter utom z 2 +z 2 +4 nämnarens nollställen vilka är z = ±i och z = ±2i. Av dessa är det endast +i och +2i som ligger i övre halvplanet. Eftersom nämnarens gradtal minus täljarens gradtal är 4 så ser vi också att lim z f z =. z forts. Vi kan alltså använda residyteoremet och vi får x 2 + x 2 + 4 dx = 2πi Resf, i + Resf, 2i = 2πi lim z i z if z + 2πi lim z 2i z 2if z = 2πi lim z i z i z iz + iz 2iz + 2i z 2i + 2πi lim z 2i z iz + iz 2iz + 2i = 2πi lim + 2πi lim z i z + iz 2iz + 2i z 2i z iz + iz + 2i = 2πi 2i i 3i + 2πi i 3i 4i = π 3 π 6 = π 6. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 45 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 46 / 92 Teorem Ifall a >, g är analytisk på reella axeln och i övre halvplanet Im z > bortsett från punkterna z j, j =,..., k, och lim Im z gz = när g är z rationell, ifall skillnaden mellan nämnarens och täljarens gradtal är minst så är R e iax gx dx = lim e iax gx dx = 2πi R R k Rese iaz gz, z j. Obs! Om gx är reell så är R R sinaxgx dx = Im R R eiax gx dx och R R cosaxgx dx = Re R R eiax gx dx, och det är i båda fallen enklare att räkna ut lim R R R eiax gx dx och sedan ta imaginära eller reella delen än att skriva tex. sinax = 2i eiax e iax. Att försöka tillämpa residyteoremet på funktionen sinazgz eller cosazgz lyckas vanligen inte alls. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 47 / 92 j= 2π F cost, sint dt 2π = F 2 e it + e it, 2i e it e it ie it ieit dt = f z dz ifall f z = F 2 z +, z 2i z och är enhetscirkeln z iz z =. Integralen kan räknas ut med residyteoremet ifall förutsättningarna är uppfyllda. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 48 / 92

Nollställen, poler Om f z = a n z z n då < z z < R där a m och R >, n=m och f z = a om m så är z ett nollställe av ordningen m om m > dvs. med multipliciteten m, z är en pol av ordningen m om m < dvs. med multipliciteten m. Om f z = a n z z n och a n för oändligt många n < så är z en n= väsentlig singularitet. är ett nollställe av ordningen till sinz är ett nollställe av ordningen 2 till cosz z är ett nollställe av ordningen m till f f z = f z =... = f m z = och f m z lim z z f z existerar och är z z m z är en pol av ordningen m till f z är en pol av ordningen m till f lim z z z z m f z existerar och är z är ett nollställe av ordningen m till f G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 49 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 5 / 92 Om f är analytisk i z och z är ett nollställe av ordningen m så är f Res f, z = m Om f är analytisk i mängden { z : < z z < r } där r > och z är en pol av ordningen m så är f Res f, z = m Antalet lösningar till en ekvation innanför en sluten stig Om f är analytisk på och innanför och den slutna stigen går ett varv i positiv riktning och ϕ, där ϕt = f t, t [a, b], går m varv runt w så finns det m lösningar till ekvationen f z = w innanför Mera exakt Ifall ν, z = eller då z C \ och f är analytisk på och innanför bortsett från högst ett ändligt antal poler innanför så är f z 2πi f z w dz = dz = νϕ, w, 2πi z w där ϕt = f t, t [a, b], antalet lösningar till ekvationen f z = w minus antalet poler innanför räknade med multiplicitet. ϕ G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 5 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 52 / 92

Om f är analytisk i punkten z och f z = så finns det ett tal r > så att antingen gäller Ifall f z = då z z < r eller f z då < z z < r. Analytisk fortsättning Ω är en öppen sammanhängande mängd, f och g är analytiska i Ω, f z = gz då z A Ω där A är sådan att det finns zj A, z j z, j och lim j z j = z Ω, tex. så att A och antingen är öppen eller A = Ω där är en stig så att inte består av bara en punkt, så är f z = gz för alla z Ω. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 53 / 92 Definiera Γz = e t t z dt. Man kan visa att Γ då kommer att vara analytisk då Re z > eftersom t z = t Re z då t >. Hur är det med Γz för andra värden av z? Då Re z > får vi med hjälp av partiell integrering Γz + = e t t z dt = Detta betyder att Γz = Γz = / Γz + z e t t z e t zt z dt = zγz. då Re z > och vi kan definiera Γz +, z, Re z >. z G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 54 / 92 forts. Av teoremet om analytisk fortsättning följer att ifall f z är en analytisk funktion i mängden { z : z, Re z > } så att f z = Γz då Re z > så måste den vara Γz+ z. Vi kan nu fortsätta på samma sätt och definiera Γz = Γz + k, z j, j =,..., k, Re z > k, zz +... z + k och vi ser vi får en funktion Γ som är analytisk i alla punkter utom {,, 2,... }. Definition En funktion ux,..., x n är harmonisk i den öppna mängden Ω R n om den för alla x,..., x n Ω uppfyller Laplace-ekvationen Teorem u = u x x x,..., x n +... + u xnx n x,..., x n =. Funktionen ux, y är harmonisk i Ω ux, y = Re f x + iy där f z är en analytisk funktion i Ω då x + iy = x, y Ω. Om vx, y är en harmonisk funktion i den öppna mängden Ω och f : Ω 2 Ω är en analytisk funktion i den öppna mängden Ω 2 så är ux, y = vre f x + iy, Im f x + iy harmonisk i Ω 2. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 55 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 56 / 92

Bestäm en harmonisk funktion u xx + u yy = i första kvadranten { x, y : x >, y > } så att ux, =, x > och u, y = 4, y > genom att visa att vx, y = 2 π arctan x y är en harmonisk funktion då y > så att vx, = då x < och vx, = då x > och genom att använda den analytiska funktionen z z 2. När vi deriverar får vi och v x x, y = π v y x, y = π y + x2 y 2 x y 2 + x2 y 2 = π = π y x 2 + y 2 och v xx x, y = 2xy π x 2 + y 2 2, x x 2 + y 2 och v yy x, y = 2xy π x 2 + y 2 2 Av detta är det klart att v xx + v yy = så v är harmonisk. forts. x Om x > så är lim y + y = + så att lim y + vx, y = 2 π π 2 = x och om x < så är lim y + y = så att lim y + vx, y = 2 π π 2 =. Eftersom f z = z2 är analytisk och avbildar mängden { z C : Re z >, Im z > } på mängden { z C : Im z > } så är funktionen ux, y = cvre f x + iy, Im f x + iy harmonisk i mängden { x, y : x >, y > }. Dessutom ser vi att mängden {, y : y > } avbildas mängden { x, : x < } så att om vi vill att u, y = 4 och så skall vi välja c = 4. På motsvarande sätt ser vi att mängden { x, : x > } avbildas på mängden { x, : x > } så att vi också automatiskt får ux, = då u definieras som ovan. Eftersom f x + iy = x + iy 2 = x 2 + 2ixy y 2 så blir ux, y = 4vRe f x + iy, Im f x + iy = 4vx 2 y 2, 2xy = 4 2 4 x 2 π arctan y 2 2xy G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 57 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 58 / 92 Harmoniska funktioner i polära koordinater Antag att wr, θ = vr cosθ, r sinθ dvs. w är v uttryckt med polära koordinater. Då uppfyller v Laplace-ekvationen v xx + v yy =, dvs. den är harmonisk om och endast om Medelvärdesegenskapen Om Ω R n är öppen så gäller: w rr + r w r + r 2 w θθ =. u är två gånger deriverbar och harmonisk u = i Ω u är oändligt många gånger deriverbar och harmonisk u = i Ω u är kontinuerlig i Ω och ux = x = ux + rx ds, för alla x och r så att { x R n : x x r } Ω x = ds Maximumprincipen Om Ω är en öppen begränsad mängd i R n med rand Ω och u är kontinuerlig i Ω Ω och harmonisk i Ω så är max ux = max ux. x Ω Ω x Ω Om Ω dessutom är sammanhängande så gäller att om ux = max x Ω Ω ux för något x Ω så är u en konstant funktion. Entydighet Om Ω är en öppen begränsad mängd i R n med rand Ω och u och u 2 är kontinuerliga i Ω Ω och harmoniska i Ω och u x = u 2 x då x Ω så är u x = u 2 x för alla x Ω. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 59 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 6 / 92

Poissons formel i enhetscirkeln Om ux, y är t.ex. begränsad då x 2 + y 2 < så är u harmonisk i { x, y : x 2 + y 2 < } ur cosθ, r sinθ = 2π 2π Poissons formel i övre halvplanet r 2 2r cosθ t + r 2 u cost, sint dt, r <. Om ux, y är t.ex. begränsad då x R och y > så är u harmonisk i { x, y : x R, y > } ux, y = π y x t 2 ut, dt, y >. + y 2 Strömningsproblem i två dimensioner Hastighetsvektorn för en virvelfri strömning av en inkompressibel vätska med viskositet dvs. utan friktion är vx, y så att v = Φ och v =. Dessa villkor innebär att = Φ = Φ xx + Φ yy, dvs. Φ är harmonisk. Om nu f x + iy = Φx, y + iψx, y är analytisk så följer av Cauchy-Riemann ekvationerna att hastighetsvektorn Φ x, Φ y = Re f, Im f och Φ x, Φ y Ψ x, Ψ y, dvs. hastighetsvektorn är parallell med kurvan Ψ = c där c är en konstant som alltså är en strömningslinje. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 6 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 62 / 92 Vilket strömningsproblem kan beskrivas med funktionen f z = z 2 i mängden { z C : Im z > }? I dethär fallet är f x + iy = x 2 y 2 + i2xy. Strömningslinjerna är alltså kurvorna xy = c där c är en konstant och hastighetsvektorn är 2x, 2y = 2xi 2yj. Av detta kan vi se att det är frågan om en strömning mot den reella axeln som delar sig och går ut mot den positiva eller negativa sidan... Vilken situation i strömningsmekanik kan beskrivas med funktionen f z = z + z då z? Vi skriver f = Φ + iψ och om vi använder polära koordinater, dvs. väljer z = re iθ så har vi f z = re iθ + r e iθ = cosθ r + + i sinθ r. r r Eftersom f z = så ser vi att f z z då z, dvs. långt 2 borta från origo är hastighetsvektorn i stort sett en enhetsvektor i x-axelns riktning. Strömningslinjerna bestäms av ekvationerna Ψ = c, dvs. θ = arcsin cr cr och θ = π arcsin. Om c = gäller antingen r 2 r 2 r =, θ = eller θ = π och det är frågan om strömning i området utanför enhetscirkeln med mittpunkt i origo... G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 63 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 64 / 92

Laplace-transformen Ls = s Lts = s 2 Le at s = s a Lcosωts = Lsinωts = Lf s = s s 2 +ω 2 ω s 2 +ω 2 Laplace-transformen är linjär! e st f t dt Teorem Ifall T f t dt < för alla T > T lim T e st f t dt existerar för något tal s C så gäller att T F s = lim T e st f t dt existerar då Re s > Re s, F s är analytisk i mängden { s C : Re s > Re s }. Teorem Laplace-transformen är entydig, dvs. om Lf s = Lgs då Re s > α så är ft=gt för nästan alla t. Lαf + βg = αlf + βlg G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 65 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 66 / 92 Räkneregler, derivator mm. då F s = Lf s Lf s = sf s f F s = L tf ts Lf s = s 2 F s sf f t L f τ dτ s = s F s Räkneregler, förskjutningsregler mm. då F s = Lf s Le at f ts = F s a Lf t aut as = e as F s där ut = då t >, ut = då t < och a. L f at s = a F s a, a > Lös begynnelsevärdesproblemet y t + 4y t + 3yt = 4 + 3t, y = 3, y = 6, med hjälp av Laplace-transformering. Låt Y s = Lyt så att Ly t = sy s y = sy s 3 och Ly t = sly t y = s 2 Y s sy y = s 2 Y s 3s + 6. Eftersom L4 + 3t = 4 s + 3 = 4s+3 så får vi genom att ta s 2 s 2 Laplace-transformationer av båda sidorna i ekvationen s 2 Y s 3s + 6 + 4sY s 2 + 3Y s = 4s + 3 s 2, så att vi får då vi löser ekvationen Y s = 3s + 6 s 2 + 4s + 3 + 4s + 3 s 2 s 2 + 4s + 3. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 67 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 68 / 92

forts. För att kunna göra en partialbråksuppdelning måste vi först faktorisera s 2 + 4s + 3 och då behöver vi känna till nollställena som är s = 2 ± 4 3 = 2 ±, dvs. och 3. Partialbråksuppdelningen blir 3s + 6 s 2 + 4s + 3 + 4s + 3 s 2 s 2 + 4s + 3 = A s + + B s + 3 + C s 2 + D s. Koefficienterna A och B är residyer till enkla poler så att 3s + 6 A = lim s + s s + s + 3 + 4s + 3 s 2 = 3 s + s + 3 2 2 =, 3s + 6 B = lim s + 3 s 3 s + s + 3 + 4s + 3 s 2 = 3 s + s + 3 2 + 2 = 2,. För att få C multiplicerar vi med s 2 och låter s : C = lim s 2 3s + 6 s s + s + 3 + 4s + 3 s 2 s + s + 3 =. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 69 / 92 forts. Koefficienten D kan t.ex. räknas ut genom att multiplicera med s 2 sedan derivera och sedan låta s : d D = lim s 2 3s + 6 s ds s + s + 3 + 4s + 3 s 2 s + s + 3 3s + 6 = lim 2s s s + s + 3 + s2 3s2 + 4s + 3 3s + 62s + 4 s 2 + 4s + 3 2 + 4s2 + 4s + 3 4s + 32s + 4 s 2 + 4s + 3 2 =. Nu ser vi med hjälp av partialbråksuppdelningen att 3s + 6 L s 2 + 4s + 3 + 4s + 3 s 2 s 2 + 4s + 3 2 = L + L + L s + s + 3 s 2 = e t + 2e 3t + t. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 7 / 92 Konvolution faltning f gt = t f t τgτ dτ Lf g = Lf Lg Delta-funktionalen δ T = d dt ut T men ut T är inte deriverbar så δ T är en generaliserad funktion, så att f tδ T dt = f T. Lδ T s = e st, T δ T f t = ut T f t T, T G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 7 / 92 Beräkna den inversa transformationen L s 2 s+2 konvolutionsprodukten. Eftersom Lt = s 2 och Le 2t = s+2 t e 2t t = = t / t = 2 t t t τe 2τ dτ t τ 2 e 2τ med hjälp av så är s 2 s+2 = Lt e 2t s och t / t 2 e 2τ dτ = 2 t 2 e 2τ dτ 4 e 2τ = 2 t + 4 e 2t 4. Observera att i uttrycket t e 2t t betyder det första t:et funktionen t t, följande i e 2t visar också endast att det är fråga om funktionen t e t medan det sista är ett argument som faktiskt kan ges ett reellt värde. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 72 / 92

Låt t, t < 3, f t = 6 t, 3 t < 6,, t > 6. Beräkna Laplace-transformationen av f genom att först skriva ut f med hjälp av stegfunktionen u och sedan använda förskjutningsregeln. Ifall a < b så ser vi att {, då t < a eller t > b, ut a ut b =, då a < t < b. forts. Vi kan nu skriva f t = t ut ut 3 + 6 t ut 3 ut 6 = tut 2t 3ut 3 + t 6ut 6. Med hjälp av förskjutningsregeln får vi nu eftersom Lts = s 2 att Lf s = s 2 2 s 2 e 3s + s 2 e 6s. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 73 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 74 / 92 Bestäm en lösning till diffusionsekvationen u t t, x = u xx t, x, t >, x >, då u, x =, x >, ut, = gt och det finns en konstant a > så att e at gt dt <. Antag att u är en lösning till problemet som är sådan att räkneoperationerna som följer kan genomföras. Låt Us, x = e st ut, x dx där s > a dvs. vi använder ett reellt s. Om vi nu tar Laplace-transformationen av båda sidorna i ekvationen u t = u xx så får vi för all s > a, eftersom u, x = och vi antar att vi kan byta ordning på integreringen och x-deriveringen, sus, x = U xx s, x, x >. forts. Denhär differentialekvationens karakteristiska ekvation är λ 2 s = så att λ = ± s och den allmänna lösningen är Us, x = c e sx + c 2 e sx. Om nu Us, x för varje x är Laplace-transformationen av en funktion som inte växer för snabbt så gäller lim s Us, x = vilket innebär att c =. Av antagandet följer att Us, = Lgs vilket innebär att c 2 = Lgs och vi har Us, x = Lgse x s. Genom att konsultera tabeller eller räkna komplexa integraler kan man konstatera, att L 2 πt 3 e 4t s = e s, vilket innebär att e x s = e x 2s är Laplace-transformationen av funktionen 4 x 2 e t x 2 = x 2 π t x 3 2 πt 3 e x 2 4t. 2 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 75 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 76 / 92

forts. Eftersom Laplace-transformationen av en konvolution är produkten av Laplace-transformationerna så ser vi att lösningen är och detta kan kontrolleras genom en direkt räkning ut, x = t x gt τ 2 πτ 3 e x 2 4τ dτ. Fourier-integraler Om f t dt < så är Fourier-transformen av f ˆf ω = e i2πωt f t dt, ω R Även definitionerna e iωt f t dt och 2π e iωt f t dt används! Ifall f t dt < så är ˆf kontinuerlig och lim ω ˆf ω = G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 77 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 78 / 92 Räkneregler αf = αˆf f + g = ˆf + ĝ ĝω = e i2πωt ˆf ω ifall gt = f t t f αtω = α ˆf ω α ê πt2 ω = e πω2 Teorem Ifall ˆf ω dω < så är Obs! f t = e i2πωtˆf ω dω. Ifall f t = då t < så är ˆf ω = Lf 2πiω G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 79 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 8 / 92

För att bestämma Ge en formel med vars hjälp man kan invertera Laplace-transformationen kan man göra så här: Låt F s = Lf s och definiera f t = då t <. Det innebär att F σ + i2πω = e σ+i2πωt f t dt = e i2πωt e σt f t dt = ĝω, om gt = e σt f t. Om nu ĝω dω = F σ + i2πω dω < så får vi med hjälp av den inversa Fourier-transformationen gt = e σt f t = e i2πωt ĝω dω = e i2πωt F σ + i2πω dω. Genom att göra ett variabelbyte 2πω = τ kan vi skriva resultatet i formen f t = eσt 2π e iτt F σ + iτ dτ. Konvolution f g = ˆf ĝ när f gt = f t τgτ dτ. Teorem Ifall f t 2 dt < så finns det en funktion ˆf så att ˆf ω 2 dω = lim T lim T T ˆf ω T f t T T f t 2 dt 2 e i2πωt f t dt dω = e i2πωtˆf 2 ω dω dt = G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 8 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 82 / 92 Fourier-koefficienter Om f t dt < och f t + = f t så är ˆf n = e i2πnt f t dt Integralen kan också räknas över andra intervall, t.ex. ˆf n = 2 e i2πnt f t dt. 2 Om f istället har perioden T så blir ˆf n = T T T e i2πnt 2 T f t dt = T T 2 e i2πnt T f t dt. f t dt < lim ˆf n = n G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 83 / 92 Obs! Obs! Om så är Teorem e i2πnt dt = f t = n {, då n =,, då n. a n e i2πnt ˆf n = a n, n Z. Om f t + = f t, f t dt < och f är deriverbar i punkten t så är lim N M N e i2πnt ˆf n = f t n=m G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 84 / 92

Varför? Definiera gt = { f t+t f t, e i2πt t / Z, i 2π f t, t Z. Av antagandet följer att gt dt < eftersom e i2πt t i2π då t. Eftersom f t + t = gte i2πt + f t så får vi ˆf ne i2πnt = e i2πnt f t + t dt = ĝn + ĝn + f t δ n,, där δ, = och δ n, =, n. Av detta följer att då M <, N > N ˆf ne i2πnt = ĝn + ĝm + f t f t n=m Teorem Ifall f t 2 dt < så är f t 2 dt = lim N M n= f t ˆf n 2 N n= M e i2πntˆf n 2 dt = Omvänt gäller att ifall c n n= är sådan att n= c n 2 < så finns det en funktion f så att f t 2 dt < och ˆf n = c n. då M och N eftersom lim n ĝn =, vilket i sin tur är en följd av att gt dt <. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 85 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 86 / 92 Den diskreta Fourier-transformen ˆFm = N k= e i2πmk N Fk N k= Ofta används instället defintionen i2πmk N e N Fk eller N i2πmk N k= e N Fk men detta betyder bara att talet N dyker upp på andra ställen. Obs! När F är periodisk, dvs. Fk + N = Fk gäller också ˆFm = N+M k=m e i2πmk N Fk FFT En algoritm som kan räkna den diskreta Fourier-transformen med högst cn logn räkneoperationer och inte c N 2 som en direkt räkning kräver. Den inversa transformen Konvolutioner Fk = N N m= e i2πmk N ˆFm Om Fk + N = Fk, Gk + N = Gk och Hk = N j= Fk jgj så är Ĥm = ˆFmĜm G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 87 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 88 / 92

Ifall talen a k och b k, k =,,..., är givna kan det i många fall finnas behov att räkna ut c k = k a k j b j, k =,,.... j= Man kan förstås räkna detta direkt men om det skall göras för många tal k kan det löna sig att använda den diskreta Fourier-transformen på följande sätt: Först måste man bestämma sig för ett tal n så att man räknar ut c k för k =,, 2,..., n och för detta behövs talen a k och b k då k =,,..., n. Vi låter N = 2n och definierar Ak = a k och Bk = b k då k =,,..., n, Ak = Bk = då k = n,..., N och Ak + N = Ak och Bk + N = Bk. Vi definierar Ck = N j= Ak jbj forts. Eftersom Bj = b j då j =,..., n och Bj = då j = n,..., N så är Ck = n j= Ak jb j. Dessutom är Ak j = a k j då k j n så att Ck = k a k j b j + j= n j=k+ Ak jb j, k =,..., n. Då j = k +, k + 2,..., n och k =,,..., n är k j =, 2,..., k n + n + och därför är n + = 2n n + = N n + k j + N N så att Ak j = Ak j + N =. Detta innebär att Ck = c k då k =,,..., n. Eftersom Ĉm = ÂmˆBm så följer det av formeln inverteringen av den diskreta Fourier-transformen att c k = Ck = N N m= e i2πmk N ÂmˆBm = N ˆB k, k =,,..., n. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 89 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 9 / 92 Låt Numerisk beräkning av Fourier-integraler gt = N k= t t k t f k t + t p t där t > och p : R R är sådan att p = och pj = då j. Då är g är en interpolationsfunktion med gk t + t = f k t + t då k =,..., N och gk t = då k < eller k > N. Om nu och så är Fk = f k t + t, k =,..., N, t ω = N,, ĝm ω = te i2πm ωt m ˆFmˆp, m Z. N Varför? Vi väljer ω = N t ĝm ω = = = N k= N k= Fk Fk t och då blir e i2πm ωt gt dt t e i2πm ωt t k t p t = te i2πm ωt dt t = t + k t + τ t = e i2πm ωt e i2πm ωk t e i2πm ω tτ pτ dτ N k= e i2πmk N F k e i2π m N τ pτ dτ = te i2πm ωt ˆFmˆp m N. G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 9 / 92 G. Gripenberg Aalto-universitetet Mat-.53 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2 92 / 92