VIDAREUTVECKLING AV DATORPROGRAM FÖR STUDIER AV SNABB SPRICKTILLWXT OCH SPRICKSTOPPNING I REAKTORTRYCKKÄRL

VIDAREUTVECKLING AV DATORPROGRAM FÖR STUDIER AV SNABB SPRICKTILLWXT OCH SPRICKSTOPPNING I REAKTORTRYCKKÄRL ROBERTO OLIVE I RA BJÖRK BRICKSTA: VETENSKAP OCH KONST RAPPORT 48 HÅLLFASTHETSLÄRA KTH

i-ti- Ht-ti VIDAREUTVECKLING AV DATAPROGRAM FOR STUDIER AV SNABB SPRICKTILLVÄXT OCH SPRICKSTOPPNING I REAKTORTRYCKKÄRL. Rjörn Brickstad Roberto Oliveira Inst. för hällfasthetslära KTH 100 44 STOCKHOLM Juli 1983 Slutrapport, SKI projekt

Sammanfattning Det är ett primärt problem att avgöra om befintliga sprickor i material utgör något hot mot konstruktionens funktion och säkerhet. I speciellt viktiga strukturer som reaktortryckkärl är det dessutom väsentligt att hindra en katastrofal utbredning av en spricka även om den börjar att tillväxa. Denna sekundära problemställning är speciellt angelägen i tillämpningar på kärnkraftsanläggningar där en initieringskontroll av sprickor kan vara svår att utföra. I denna rapport redogörs för vidareutveckling av finita elementprogram för att pä numerisk väg analysera snabb spricktillväxt och sprickstoppning med speciell tonvikt lagd vid tillämpning på reaktortryckkärl. Med de ut />. ; ;lade datorprogrammen kan snabb spricktillväxt i linjärt ^oelastiska material analyseras i plana strukturer av godt^ '.gt utseende. Vissa resultat föreligger även för axisymm-:*- ri sk spricktillväxt. Analysen avser beräkning av dynamisk /pänningsintensitetsfaktör vid känd spricktillväxthistor:»her prediktering av sprickhastigheten med kännedom om mat«talets brottegenskaper.

Inledning Från defekter av olika slag i konstruktioner, kan sprickor initieras som i vissa ogynnsamma fall kan tillväxa instabilt och leda till haverier. Speciellt i reaktortryckkärl och i anslutande konstruktionsdelar kan dessa brottyper medföra stora ekonomisk?» och miljömässiga konsekvenser. Det är därför en angelägen uppgift att första de mekanismer som leder till att en spricka i ett material börjar att tillväxa och betingelserna för den fortsatta tillväxten samt att avgöra om och när sprickan kan bringas att stanna. Eftersom problemställningen viå snabb spricktillväxt är av en mycket komplicerad natur torde möjligheterna att formulera förenklade ingenjörsmässiga modeller vara starkt begränsade. I stället förefaller numeriska metoder vara ett kraftfullt hjälpmedel för att analysera spricktillväxten och förutsäga brottrisken i olika material. I detta projekt har datorprogram baserade pa finita elementmetoder utvecklats för att analysera snabb spricktillväxt i ett termoelastiskt material i t.ex. menteln till ett reaktortryckkärl. Problemställning Problemställningen kan åskådliggöras med hjälp av en tänkt sprickgeometri f»nl. figur 1 i vilken det finns en lång plan spricka i manteln på insidan till ett reaktortryckkärl.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ Fig. 1. Utskuren del av mantelytan till ett reaktortryckkärl innehallande en spricka av längd X och sprickdjup a. Det antas i figuren att spricklängden I är mycket större än det dominerande sprickdjupet a(t) vars storlek är tidsberoende. PÅ kropppen appliceras någon yttre belastning i form av spänningar eller förskjutningar som kan vara av kvasistatisk eller dynamisk karaktär. Kven temperaturlaster kan förekomma. Vidare förutsätts symm^tri i geometri och belastning med avseende pa sprickplanet vilket medför att sprickan kan tillväxa under Modus I (spricköppnande) förhållanden. Målet är att för givna yttre lastbetingelser bestämma funktionen 3.(t), d.v.s. att förutsäga med vilken hastighet

a = -= spricktillväxten sker och speciellt om det för någon tidpunkt gäller att spricktillväxten stannar upp innan sprickan har vuxit igenom hela mantelväggen. För att beskriva sprickcillväxten förutsätts villkoren för så kallad linjär elastisk dynamisk brottmekanik vara uppfyllda vilket väsentligen innebär att materialet är linjär elastiskt så när som på ett litet område med försumbar utsträckning i närheten av sprickspetsen. Under dessa förhållanden antas följande brottvillkor styra sprickans tillväxt: K(t) = K (a) pc K(t) < K pc (a = 0) å > 0 (1) d.v.s under tillväxt växer sprickan med en hastighet a som gör att den dynamiska spännings intensitetsfaktorn K, som karakteriserar tillståndet vid sprickspetsen, är lika med ett för materialet specifikt värde K, den dynamiska brottpc segheten, som enbart beror av den momentana sprickhastigheten a. I fall där temperaturen T varierar i strukturen kan även T ingå som variabel i K. För sprickstoppning gäller att K måste understiga denna material funktions värde för ä = 0. Alternativt kan spricktillväxten beskrivas med hjälp av den s.k. energifrigörelsehastigheten G, som uttrycker energiflödet till sprickspetsen under dess tillväxt. Mellan K och G existerar ett entydigt samband. Spricktillväxten sker då enligt villkoret (1) med K ersatt av G. Metoder Inst. för hållfasthetslära har i tidigare projekt utarbetat numeriska metoder baserade på finita elementmetoder för att bestämma brottdynamiska parametrar i ett linjär-elastiskt material. Spricktillväxten simuleras och K bestäms genom en nodrelaxationsteknik som finns beskriven i ref. [l]. Lösningen av det inversa problemet att förutsäga spricktill-

växten med kännedom om materialets dynamiska brottseghet finns beskriven i ref. [2] och [3]. Datorprogrammen testades mot experimentella undersökningar av snabb spricktillväxt i idealiserade provstavar med rektangulär geometri. Det visade siq att dessa program väl kunde beskriva/förutsäga spricktillväxten i de fall då en linjär elastisk materialmodell var tillämpbar. En begränsning med dessa tidiga datorprogram är att de är utvecklade endast för 4-noders plana rektangulära finita element av uniform storlek i hela strukturen. Denna begränsning infördes för att spara datortid och minnesutrymme och innebär att hittills endast idealiserade, plana strukturer av rektangulär storlek kunnat studeras. I detta projekt har andra typer av finita element utvecklats för att kunna analysera mer verklighetsanknutna problem av t.ex. den typ som visas i figur 1. Följande moment har ingått i projektet: Utveckling av a) 3-noders triangulärt skivelement. b) 4-noders oregelbundet skivelement. c) 3- och 4-noders axisymmetriskt element. d) datorprogrammen att även ta hänsyn till termiska spänningar på grund av ojämn temperaturfördelning i strukturen.

6 Programspecifikationer Programnamn CRACK: beräknar den dynamiska spänningsintensitetsfaktorn K med kännedom om belastningar, randvillkor och sprickans tillväxthistoria. Programnamn CRACK1: predikterar sprickhastigheten ä för given spricktillväxtriktning da strukturens randvillkor är kända. Dessutom förutsätts materialets dynamiska brottseghet som funktion av sprickhastighet och temperatur vara känd. Elementtyper: 3- och 4-noders plana skivelement för plan spänning eller plan deformation samt 3- och 4-noders axisymmetriska element. Materialmodell: Linjär elastiskt isotropt material. Små förskjutningar och deformationer antages. Belastningstyp: Konstanta eller tidsvariabla laster eller förskjutningar. Dessutom initialtöjningstillstånd på grund av ojämn temperaturfördelning i kroppen. Tidsintegration: Explicit tidsintegrering baserad på central differensapproximation. Rumsintegration: 2- eller 3-punkts Gaussintegration. Massformulering: Diagonal massmatris (lumpad massa) Testexempel Uttestningen av datorprogrammen utfördes i två steg. Först testkördes programmen på en struktur utan spricka utsatt för en transient last för att kontrollera att de utvecklade elementtyperna korrekt kunde beskriva strukturens dynamiska respons (se figur 2 och 3).

1 1 Fa) 1 J p / \ / \ / \... rff TfJ rff rh rff TfT Fig. 2. Stötbelastning på rektangulär plan struktur med plana element Fig. 3. Stötbelaatning pa axialsymmetriskt skal med axisymmetriska element.

8 Resultaten av testexemplen i figur 2 och 3 kontrollerades dels mot analytiska approximativa beräkningar och dels med exakt samma elementformulering analyserad med hjälp av det kommersiella programsystemet NONSAP, se figur 4 och 5. God överensstämmelse erhölls varvid slutsatsen drogs att de utvecklade finita elementtyperna på ett korrekt sätt kan beskriva fältstorheter i plana och axisymmetriska strukturer. Jkt i Fig. 4. Analys av problemet i figur 2 med FEM-programmet CRACK. Vertikala förskjutningen i punkten P som funktion av tiden. Streckade linjen visar den statiska förskjutningen.

D NONSAP NONSQP CRACK klumpad Vonsisten4 i Fig. 5. Analys av problemet i figur 3. Nedböjningen under kraften som funktion av tiden. Nästa steg i utt«stningen bestod av analys av strukturer innehållande en snabbt växande spricka. Analytiska lösningar för dessa problemtyper finns endast i en mycket begränsad omfattning och vanligen endast för geometrier med oändlig utsträckning. Nedan visas två sprickgeometrier i det plana respektive axisymmetriska fallet för vilka analytiska lösningar existerar med avseende på dynamisk spänningsintensitetsfaktor (figur 6 och 7). Problemtyperna benämns vanligen Brobergs respektive Kostrov» problem efter deras upphovsmän, ref. [4] och [5].

10 (T. t t t t.t t i r\ Fig. 6. Brobergs problem. Oändlig plåt med en spricka som tillväxer symmetriskt med den konstanta hastigheten a. Enaxlig belastning a på stort avstånd från sprickplanet.

11 o; t t t 1 I i (Te Fig. 7. Kostrovs problem. Inre myntformad spricka i ett oändligt medium som tillväxer symmetriskt med en konstant hastighet k. Enaxlig belastning a på stort avstånd från sprickplanet. Vid jämförelser av dessa analytiska lösningar med verkliga problem, som av naturliga skäl måste ha ändlig geometri, gäller jämförelsen inom det tidsintervall innan information har nått sprickspetsen om strukturens ändliga utsträckning. Figur 8 visar resultatet av en numerisk simulering av en propagerande spricka enligt figur 6 med FEM-programmet CRACK. Analysen genomfördes med en konstant sprickhastighet å» a 1666 m/s i en kvadratisk skiva med sidan w varför jämförelsen endast är strikt giltig innan vågreflexioner träffar sprickspetsen, vilket är markerat med en streckad vertikal linje i figur 8.

12 $fc lösning, ref. CRACK CRACK d/w* VlO d/ w -»/2O m /s Pig. 8. Analys av problemet i figur 6 med FEM-programmet CRACK. Energi frigöralsehastigheten G som funktion av relativ spricklängd a/w. I figur 8 visas resultatet i form av energifrigörelsehastigheten G som funktion av relativ spricklängd a/w. Två elementtätheter användes indikerade med kvoten mellan den minsta karakteristiska finita elementlängden d längs sprickplanet och skivans bredd w. De numeriska resultaten överensstämmer väl med Brobergs analytiska lösning som avspeglar ett linjärt beroende av spricklängden a för energifrigörelsehastigh«ten G. I figur 9 visas motsvarande resultat för Kostrovs problem i figur 7. En myntformad spricka propagerande symmetriskt med en konstant hastighet å = 2500 m/s i en cylinderformal struktur simuleras i FEM-programmet CRACK med hjälp av axisymmetriska element. I figur 10 ses resultatet för sprickhastigheten å = 1250 m/s.

13 O 0.5 Fig. 9. Analys av problemet i figur 7 med FEM-programmet CRACK. Energifriqörelsehastigheten G som funktion av relativ spricklängd a/w. a = 2500 m/s. Analytisk löjnino, re4. [5] CRACK <*/v * VfO CRACK d/w = VlO CRACK d/ w - f / vo d»!250 "V* I 0.5 Pig. 10. Analys av Kostrovs problem med FEM-programmet CRACK, Energifrigörelsehastigheten G som funktion av relativ spricklängd a/w. a= 1250 m/s.

14 Dei- vertikala streckade linjen anger den numeriska lösningens giltighetsområde innan vagreflexioner stör förloppet. Återigen användes olika elementtätheter indikerade med kvoten d/w där w här anger cylinderns radie. Som synes erhölls en viss skillnad för olika elementtätheter i figur 9. Resultaten antyder dock en konvergens vid finare elementindelning. I detta fall överensstämmer de numeriska lösningarna sämre med Kostrovs analytiska lösning än i det plana fallet. Approximativt fas dock fortfarande ett linjärt beroende för G med avseende på spricklängden. I figur 10 stämmer dock de numeriska lösningarna väl med den exakta lösningen. Kompletterande studier synes vara motiverade för att avgöra FEMprogrammets användbarhet för axisymmetrisk snabb spricktillväxt. Termiska laster FEM-programmen kan även ta hänsyn till initiella töjningar på grund av temperaturändringar i strukturen. Datorprogrammen ger dä som resultat en konsistent nodlastvektor orsakad av temperaturfördelningen. Denna temperaturlast (liksom även övriga yttre statiska laster) måste sedan ges som indata i ett FEM-prcgram med ekvationslösare för att erhålla det statiska begynnelsetillståndet. För närvarande saknar nämligen datorprogrammen för dynamisk spricktillväxt sådan ekvationslösare. Siu»g.-.tser och rekommendationer Med de utvecklade datorprogrammen kan snabb spricktillväxt i linjärt termoelastiska material analyseras i plana strukturer av godtyckligt utseende. Analysen avser beräkning av dynamisk spänningsintensitetsfaktor vid känd spricktillväxthistoria eller prediktering av sprickhastigheten (speciellt sprickstoppning) med kännedom om materialets brottegenskaper. För studier av axisymmetrisk snabb spricktillvaxt i rotationssymmetriska strukturer har preliminära resultat visat god överensstämmelse med analytiska lösningar åtminstone för moderata sprickhastigheter. Ytterligare undersökningar bör

15 dock utföras för att tillfredsställande analysera detta problem. Datorprogrammen kan dessutom utvecklas för andra intressanta problemställningar, t.ex. analys av icke ratlinjig spricktillväxt och inverkan av flera samtidigt propagerande sprickor. Vidare synes en fortsatt utveckling av olika materialmodeller vara motiverad, t.ex. vad avser plastiska och viskösa effekter i strukturen. Vissa resultat från en analys av snabb spricktillväxt i ett viskoplastiskt stålmaterial antyder att dessa icke-linjära effekter är av stor betydelse vid snabb sprickpropagering i högt påkända material, ref. [6]. Dokumentation Arbete pågår för närvarande med att utarbeta en användarvänlig manual till datorprogrammen. Utvecklingen av datorprogrammen har utförts av forskarstuderande Roberto Oliveira under överinseende av Tekn. dr. Björn Brickstad och Prof. Janne Carlsson.

16 Referenser [l] Rydholm, G., Fredriksson, B. och Nilsson, F. "Numerical investigations of rapid crack propagation", in Proceedings, Conf. on Numerical Methods in Fracture Mechanics, Swansea, 1978, r>p. 660-672. [2] Brickstad, B. och Nilsson, F. "Explicit time integration in FEM analysis of dynamic crack propagation", Proceeding» 2nd Conf. on Numerical Methods in Fracture Mechanics, Swansea 1980. [3] Brickstad, B. "A FEM-analysis of crack arrest experiments". Int. J. Fracture, Vol. 21, No. 3, 1983, pp. 177-194. [4] Broberg, K.B., "The propagation of a brittle crack", Arkiv för fysik. Vol. 18, p. 159, 1960. [5] Kostrov, B.V., Prikladnaya Matematika i Mekhanika, Vol. 24, p. 644, 1964. [6] Brickstad, B. "A viscoplastic analysis of rapid crack propagation experiments in steel", Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 31, No 4, 1983.