Formelamling i matematik tatitik Sannolikhetteori Sannolikhetaxiom : 0 P (A) :P () = 3: P (A [ B) = P (A) + P (B) om A \ B =? Additionaten Betingad annolikhet P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B) P (AjB) = P (A \ B) P (B) Total annolikhet Om H i \ H j = för i 6= j och [ n k= H k = å nx P (A) = P (AjH k )P (H k ) k= Oberoende händeler A och B är oberoende om P (A \ B) = P (A)P (B) Kombinatorik. n element kan välja bland N element Stokatika variabler Med återläggning och med hänyn till ordning på N n olika ätt Med återläggning och utan hänyn till ordning på N+n n olika ätt Utan återläggning och med hänyn till ordning på N! (N n)! olika ätt Utan återläggning och utan hänyn till ordning på N n olika ätt Fördelningfunktionen för : F (x) = P ( x) Sannolikhetfunktion för en dikret tokatik variabel : p (k) = P ( = k) bx P (a < b) = F (b) F (a) = p(k) om är dikret k=a+ Tähetfunktionen för en kontinuerlig tokatik variabel : f(x) = P (a < b) == Z b a f(x)dx = F (b) F (a) om är kontinuerlig df (x) dx
Väntevärden Väntevärdet 8 för P en tokatik variabel : < k= k p(k) dikret = E() = R : x f(x)dx kontinuerlig Väntevärdet 8 för P en funktion av en tokatik variabel g() : < k= g(k)p(k) dikret E(g()) = R : g(x)f(x)dx kontinuerlig Varianen för en tokatik variabel = V () = E [( )] = E( ) Om a och b är rella tal och är tokatik variabel å gäller att E(a + b) = ae() + b; V (a + b) = a V () Kovarianen för tokatika variablerna och C(; ) = E = E() E()E() Korrelationkoe cienten för tokatika variablerna och C(;) D()D() (; ) = Om och är oberoende gäller: E() = E()E() För alla tokatika variabler och gäller : E( + ) = E() + E() om och deutom är oberoende gäller: V ( + ) = V () + V () Normalfördelningen Om ; : : : ; n är oberoende och normalfördelade, N( ; ); : : : ; N( n ; n ) och c ; : : : ; c n är reella tal å gäller v 3 nx nx ux c i i N 4 c i i ; t n 5 Centrala gränvärdeaten, CGS i= i= Om ; : : : ; n är oberoende och likafördelade, med väntevärde E( i ) = och varian, V ar( i ) =, å gäller att nx i N(n; p n) och N(; = p n) i= Viktiga approximationer med CGS h q i Hypergeometrik fördelning : Hyp(N; n; p) ) N np; np( p) N n N om np( p) N n N 0 h Binomialfördelning: Bin(n; p) ) N np; p i np( p) om np( p) 0: Poionfördelning: P o() ) N(; p ) om > 5: Andra viktiga approximationer. Hypergeometrik fördelning : Hyp(N; n; p) ) Bin(n; p), om n N < 0: Hypergeometrik fördelning : Hyp(N; n; p) ) P o(np) om p + n N < 0: i= c i i Binomialfördelning: Bin(n; p) ) P o(np) om n > 0 och p < 0:
Statitikteori Punktkattningar Låt x ; : : : ; x n vara obervationer av oberoende och likafördelade tokatika variabler ; : : : ; n med väntevärde E( i ) = och varian, V ( i ) =. En väntevärderiktig kattning av och är då Kon denintervall = n ( ) = n nx x i = x i= nx (x i ) om är känd i= ( ) = n nx (x i x) om är okänd. Givet i N(; ) där är känt och ett tickprov fx ; x ; : : : ; x n g. Ett 00( )% kon denintervall för är då i= x = pn ; x + = pn. Givet i N(; ) där är okänt och ett tickprov fx ; x ; : : : ; x n g. Ett 00( )% kon denintervall för är då x t (n ) = p ; x + t n (n ) = 3. Givet ett tickprov i par (x ; y ); (x ; y ); : : : ; (x n ; y n ) där i N( i ; ) och i N( i + ; ). Ett 00( )% kon denintervall för är då q där z i = y i x i och = n z t P n i= (z i z) (n ) = p ; z + t n (n ) = 4. Givet två tickprov, fx ; x ; : : : ; x n g och fy ; y ; : : : ; y n g där i N( ; ) och j N( ; ) med och kända. Ett 00( )% kon denintervall för är då x y = + n p n p n n ; x y + = 5. Givet två tickprov, fx ; x ; : : : ; x n g och fy ; y ; : : : ; y n g där i N( ; ) och j N( ; ) med = men okända. Ett 00( )% kon denintervall för är då r (n n ) x y t = + ; x y + t n n där = n + n (n n ) = (n ) + (n ) n + n r n + n 3
6. Givet ett tickprov fx ; x ; : : : ; x n g där i N(; ). En intervallkattning av är då (n ) ; =(n ) (n ) =(n ) där = n P n i= (x i x), är en punktkattning av och kon dengraden är ( ). 7. Om ; ; : : : ; n är likafördelade och oberoende. v. med E( i ) = och V ( i ) = å är approximativt N(0; ) och ett approximativt kon denintervall för är x = p ; x + = p n n ( ) p n p n P n i= ( i ) Hypotetet Låt ( ; : : : ; N ) vara ett lumpmäigt tickprov från en fördelning om beror på en parameter. Nollhypoteen, H 0, peci cerar att 0 och en alternativ hypote, H, att dv H 0 : 0 H : Låt U = U( ; : : : ; n ) vara en tickprovfunktion och C ett kritikt område om är anpaat å att P (U C) =, där är peci cerad iförväg. Tetet blir då Förkata H 0 om u C Förkata inte H 0 om u 6 C där tettorheten u = u(x ; : : : ; x n ) är en obervation av U = U( ; : : : ; n ) Några vanliga tet Fördelning Parameter H 0 H u Förd av U Kritikt område, C under H 0 N(; ) = 0 < 0 x N( 0 ; = p n) u < p 0 n känt N(; ) = 0 > 0 x N( 0 ; = p n) u > 0 + p n känt N(; ) = 0 6= 0 x N( 0 ; = p n) u < = p 0 n känt u > 0 + = p n N(; ) = 0 < 0 x 0 = p n t(n ) u < t ej känt N(; ) = 0 > 0 x 0 = p n t(n ) u > t ej känt N(; ) = 0 6= 0 x 0 = p n t(n ) u < t = ej känt u > t = N(; ) = 0 < 0 N(; ) = 0 > 0 N(; ) = 0 6= 0 (n ) 0 (n ) 0 (n ) 0 (n ) u < (n ) (n ) u > (n ) (n ) u < =(n ) u > =(n ) 4
Typ I fel,, är annolikheten att förkata H 0 då H 0 är ann. Typ II fel,, är annolikheten att inte förkata H 0 då H är ann. Tetet tyrka mot ett alternativ är annolikheten att förkata H 0 då H är ann, dv. Linjär regreion Modell: y = + x; Y i N( + x i ; ) Följande beteckningar gäller: S xx = P (x i x) ; S yy = P (y i y) ; S xy = P (x i x)(y i y) Punktkattningar = Sxy S xx N ; p Sxx = Y x N ; q =! n + x S xx Q 0 n där Q (S 0 = S xy) yy S xx och R = Q 0 S yy Korrelation Punktkattning = r = Sxy p SxxS yy Intervallkattning F iher z tranform Z = +r ln( r ); E(Z) + ln( ) och V (Z) n Om z = +r ln( r ) ge ett kon denintervall för z av z ( z = pn ) ( )00% Hypotetet p H 0 : = 0 n p r r t(n ) Variananaly Anovatabell Där T = P i;j x ij, T i = P j kv f mkv tettorhet A Q A p A R Q 0 N p S : a Q N x ij och A F (p ; N p) Q A = P i n i T i N T, Q = P x ij i;j N T amt Q = Q A + Q 0 : Kon denintervall Sche é: i j (x i x j p (p )F (p ; N p)q n i + n j ) Om all n i är lika kan man använda Tukey: i j (x i x j T (p; N p) p n ) 5
Några vanliga fördelningar Fördelning Slh funkt rep. täthet Väntevärde Varian Binomial p(k) = n k p k ( p) n k k = 0; : : : ; n np np( p) Bin(n; p) Hypergeometrik Hyp(N; n; p) k )( N Np n k ) p(k) = (Np ( N n) N n k Np; n k N( p) np N np( p) Poion P o() p(k) = e k k! k = 0; : : : Geometrik p(k) = p( p) k k = 0; : : : ( p)=p ( p)=p g p(k) = p( p) k k = ; ; : : : =p ( p)=p Normal f(x) = p (x ) e < x < N(; ) Gamma f(x) = a p (p) xp e x a x 0 ap a p (p; a) Exponential f(x) = e x x 0 Exp() Rektangel f(x) = a+b b a a x b R(a; b) (a b) 6
Tabeller Tabell. Standardierad normalfördelning F(x) = P(X x)därx N (0, ) För negativa värden, utnyttja att F(x) = F( x) area = Φ(x) x.00.0.0.03.04.05.06.07.08.09 0.0.5000.5040.5080.50.560.599.539.579.539.5359 0..5398.5438.5478.557.5557.5596.5636.5675.574.5753 0..5793.583.587.590.5948.5987.606.6064.603.64 0.3.679.67.655.693.633.6368.6406.6443.6480.657 0.4.6554.659.668.6664.6700.6736.677.6808.6844.6879 0.5.695.6950.6985.709.7054.7088.73.757.790.74 0.6.757.79.734.7357.7389.74.7454.7486.757.7549 0.7.7580.76.764.7673.7704.7734.7764.7794.783.785 0.8.788.790.7939.7967.7995.803.805.8078.806.833 0.9.859.886.8.838.864.889.835.8340.8365.8389.0.843.8438.846.8485.8508.853.8554.8577.8599.86..8643.8665.8686.8708.879.8749.8770.8790.880.8830..8849.8869.8888.8907.895.8944.896.8980.8997.905.3.903.9049.9066.908.9099.95.93.947.96.977.4.99.907.9.936.95.965.979.99.9306.939.5.933.9345.9357.9370.938.9394.9406.948.949.944.6.945.9463.9474.9484.9495.9505.955.955.9535.9545.7.9554.9564.9573.958.959.9599.9608.966.965.9633.8.964.9649.9656.9664.967.9678.9686.9693.9699.9706.9.973.979.976.973.9738.9744.9750.9756.976.9767.0.9775.97778.9783.9788.9793.9798.98030.98077.984.9869..984.9857.98300.9834.9838.984.9846.98500.98537.98574..9860.98645.98679.9873.98745.98778.98809.98840.98870.98899.3.9898.98956.98983.9900.99036.9906.99086.99.9934.9958.4.9980.990.994.9945.9966.9986.99305.9934.99343.9936.5.99379.99396.9943.99430.99446.9946.99477.9949.99506.9950.6.99534.99547.99560.99573.99585.99598.99609.996.9963.99643.7.99653.99664.99674.99683.99693.9970.997.9970.9978.99736.8.99744.9975.99760.99767.99774.9978.99788.99795.9980.99807.9.9983.9989.9985.9983.99836.9984.99846.9985.99856.9986 3.0.99865 3..99903 3..9993 3.3.9995 3.4.99966 3.5.99977 3.6.99984 3.7.99989 3.8.99993 3.9.99995 4.0.99997 Tabell. Normalfördelningen kvantiler P(X > l a ) = a där X N (0, ) a l a a l a 0..86 0.00 3.090 0.05.6449 0.0005 3.905 0.05.9600 0.000 3.790 0.0.363 0.00005 3.8906 0.005.5758 0.0000 4.649 x λ α λ α/ λ α/ area = α area = α/
Tabell 3. t-fördelningen P(X > t a (f )) = a där X t(f ) area = α t α (f) f a 0. 0.05 0.05 0.0 0.005 0.00 0.0005 3.08 6.3.7 3.8 63.66 38.3 636.6.89.9 4.30 6.96 9.9.33 3.60 3.64.35 3.8 4.54 5.84 0..9 4.53.3.78 3.75 4.60 7.7 8.6 5.48.0.57 3.36 4.03 5.89 6.87 6.44.94.45 3.4 3.7 5. 5.96 7.4.89.36 3.00 3.50 4.79 5.4 8.40.86.3.90 3.36 4.50 5.04 9.38.83.6.8 3.5 4.30 4.78 0.37.8.3.76 3.7 4.4 4.59.36.80.0.7 3. 4.0 4.44.36.78.8.68 3.05 3.93 4.3 3.35.77.6.65 3.0 3.85 4. 4.35.76.4.6.98 3.79 4.4 5.34.75.3.60.95 3.73 4.07 6.34.75..58.9 3.69 4.0 7.33.74..57.90 3.65 3.97 8.33.73.0.55.88 3.6 3.9 9.33.73.09.54.86 3.58 3.88 0.33.7.09.53.85 3.55 3.85.3.7.08.5.83 3.53 3.8.3.7.07.5.8 3.50 3.79 3.3.7.07.50.8 3.48 3.77 4.3.7.06.49.80 3.47 3.75 5.3.7.06.49.79 3.45 3.73 6.3.7.06.48.78 3.43 3.7 7.3.70.05.47.77 3.4 3.69 8.3.70.05.47.76 3.4 3.67 9.3.70.05.46.76 3.40 3.66 30.3.70.04.46.75 3.39 3.65 40.30.68.0.4.70 3.3 3.55 60.30.67.00.39.66 3.3 3.46 0.9.66.98.36.6 3.6 3.37.8.64.96.33.58 3.09 3.9
Tabell 4. q -fördelningen P(X > q a(f )) = a där X q (f ) area = α f a 0.9995 0.999 0.995 0.99 0.975 0.95 0.05 0.05 0.0 0.005 0.00 0.0005 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3.84 5.0 6.63 7.88 0.83. 0.00 0.00 0.0 0.0 0.05 0.0 5.99 7.38 9. 0.60 3.8 5.0 3 0.0 0.0 0.07 0. 0. 0.35 7.8 9.35.34.84 6.7 7.73 4 0.06 0.09 0. 0.30 0.48 0.7 9.49.4 3.8 4.86 8.47 0.00 5 0.6 0. 0.4 0.55 0.83.5.07.83 5.09 6.75 0.5. 6 0.30 0.38 0.68 0.87.4.64.59 4.45 6.8 8.55.46 4.0 7 0.48 0.60 0.99.4.69.7 4.07 6.0 8.48 0.8 4.3 6.0 8 0.7 0.86.34.65.8.73 5.5 7.53 0.09.95 6. 7.87 9 0.97.5.73.09.70 3.33 6.9 9.0.67 3.59 7.88 9.67 0.6.48.6.56 3.5 3.94 8.3 0.48 3. 5.9 9.59 3.4.59.83.60 3.05 3.8 4.57 9.68.9 4.7 6.76 3.6 33.4.93. 3.07 3.57 4.40 5.3.03 3.34 6. 8.30 3.9 34.8 3.3.6 3.57 4. 5.0 5.89.36 4.74 7.69 9.8 34.53 36.48 4.70 3.04 4.07 4.66 5.63 6.57 3.68 6. 9.4 3.3 36. 38. 5 3. 3.48 4.60 5.3 6.6 7.6 5.00 7.49 30.58 3.80 37.70 39.7 6 3.54 3.94 5.4 5.8 6.9 7.96 6.30 8.85 3.00 34.7 39.5 4.3 7 3.98 4.4 5.70 6.4 7.56 8.67 7.59 30.9 33.4 35.7 40.79 4.88 8 4.44 4.90 6.6 7.0 8.3 9.39 8.87 3.53 34.8 37.6 4.3 44.43 9 4.9 5.4 6.84 7.63 8.9 0. 30.4 3.85 36.9 38.58 43.8 45.97 0 5.40 5.9 7.43 8.6 9.59 0.85 3.4 34.7 37.57 40.00 45.3 47.50 5.90 6.45 8.03 8.90 0.8.59 3.67 35.48 38.93 4.40 46.80 49.0 6.40 6.98 8.64 9.54 0.98.34 33.9 36.78 40.9 4.80 48.7 50.5 3 6.9 7.53 9.6 0.0.69 3.09 35.7 38.08 4.64 44.8 49.73 5.00 4 7.45 8.08 9.89 0.86.40 3.85 36.4 39.36 4.98 45.56 5.8 53.48 5 7.99 8.65 0.5.5 3. 4.6 37.65 40.65 44.3 46.93 5.6 54.95 6 8.54 9..6.0 3.84 5.38 38.89 4.9 45.64 48.9 54.05 56.4 7 9.09 9.80.8.88 4.57 6.5 40. 43.9 46.96 49.64 55.48 57.86 8 9.66 0.39.46 3.56 5.3 6.93 4.34 44.46 48.8 50.99 56.89 59.30 9 0.3 0.99 3. 4.6 6.05 7.7 4.56 45.7 49.59 5.34 58.30 60.73 30 0.80.59 3.79 4.95 6.79 8.49 43.77 46.98 50.89 53.67 59.70 6.6 40 6.9 7.9 0.7.6 4.43 6.5 55.76 59.34 63.69 66.77 73.40 76.09 50 3.46 4.67 7.99 9.7 3.36 34.76 67.50 7.4 76.5 79.49 86.66 89.56 60 30.34 3.74 35.53 37.48 40.48 43.9 79.08 83.30 88.38 9.95 99.6 0.69 70 37.47 39.04 43.8 45.44 48.76 5.74 90.53 95.0 00.43 04..3 5.58 80 44.79 46.5 5.7 53.54 57.5 60.39 0.88 06.63.33 6.3 4.84 8.6 90 5.8 54.6 59.0 6.75 65.65 69.3 3.5 8.4 4. 8.30 37. 40.78 00 59.90 6.9 67.33 70.06 74. 77.93 4.34 9.56 35.8 40.7 49.45 53.7 χ α (f)
Tabell 5. Poionfördelningen P(X x)därx Po(m) x m 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.90484 0.8873 0.7408 0.6703 0.60653 0.5488 0.49659 0.44933 0.40657 0.9953 0.9848 0.96306 0.93845 0.90980 0.8780 0.8440 0.80879 0.7748 0.99985 0.99885 0.99640 0.9907 0.9856 0.97688 0.96586 0.9558 0.9374 3.00000 0.99994 0.99973 0.999 0.9985 0.99664 0.9945 0.9909 0.98654 4.00000.00000 0.99998 0.99994 0.99983 0.9996 0.999 0.99859 0.99766 5.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99996 0.9999 0.9998 0.99966 6.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99998 0.99996 7.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 x m.0..4.6.8.0..4.6 0 0.36788 0.309 0.4660 0.090 0.6530 0.3534 0.080 0.0907 0.0747 0.73576 0.6663 0.5983 0.5493 0.4684 0.4060 0.35457 0.30844 0.6738 0.9970 0.87949 0.83350 0.78336 0.7306 0.67668 0.67 0.5697 0.5843 3 0.980 0.9663 0.9467 0.99 0.899 0.857 0.8935 0.7787 0.73600 4 0.99634 0.995 0.98575 0.9763 0.96359 0.94735 0.9750 0.9043 0.8774 5 0.9994 0.99850 0.99680 0.99396 0.9896 0.98344 0.97509 0.96433 0.95096 6 0.9999 0.99975 0.99938 0.99866 0.99743 0.99547 0.9954 0.9884 0.9883 7 0.99999 0.99996 0.99989 0.99974 0.99944 0.99890 0.9980 0.99666 0.99467 8.00000.00000 0.99998 0.99995 0.99989 0.99976 0.99953 0.9994 0.9985 9.00000.00000.00000 0.99999 0.99998 0.99995 0.99990 0.99980 0.9996 0.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99998 0.99996 0.9999.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99998.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 x m.8 3.0 3. 3.4 3.6 3.8 4.0 4. 4.4 0 0.0608 0.04979 0.04076 0.03337 0.073 0.037 0.083 0.0500 0.08 0.308 0.995 0.70 0.4684 0.569 0.0738 0.0958 0.07798 0.06630 0.46945 0.439 0.37990 0.33974 0.3075 0.6890 0.380 0.04 0.854 3 0.6994 0.6473 0.605 0.55836 0.55 0.47348 0.43347 0.39540 0.35945 4 0.84768 0.856 0.7806 0.7448 0.70644 0.66784 0.6884 0.58983 0.558 5 0.93489 0.9608 0.89459 0.87054 0.844 0.8556 0.7853 0.7534 0.799 6 0.97559 0.96649 0.95538 0.945 0.9673 0.909 0.88933 0.86746 0.84365 7 0.9987 0.9880 0.9837 0.97693 0.969 0.95989 0.94887 0.93606 0.94 8 0.99757 0.9960 0.9949 0.997 0.98833 0.9840 0.97864 0.9707 0.9640 9 0.99934 0.99890 0.9984 0.9979 0.99598 0.9940 0.9987 0.98887 0.985 0 0.99984 0.9997 0.99950 0.9999 0.99873 0.99807 0.9976 0.99593 0.9943 0.99996 0.99993 0.99987 0.99978 0.99963 0.9994 0.99908 0.99863 0.99799 0.99999 0.99998 0.99997 0.99994 0.99990 0.99983 0.99973 0.99957 0.99934 3.00000.00000 0.99999 0.99999 0.99997 0.99996 0.9999 0.99987 0.99980 4.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99999 0.99998 0.99997 0.99994 5.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99998 6.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000
Tabell 5 fort. x m 4.6 4.8 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 0 0.0005 0.0083 0.00674 0.00409 0.0048 0.0050 0.0009 0.00055 0.00034 0.0569 0.04773 0.04043 0.0656 0.0735 0.08 0.00730 0.00470 0.0030 0.664 0.454 0.465 0.08838 0.0697 0.04304 0.0964 0.006 0.0375 3 0.357 0.943 0.6503 0.070 0.50 0.85 0.0877 0.0595 0.0438 4 0.533 0.4766 0.44049 0.3575 0.8506 0.367 0.799 0.306 0.09963 5 0.68576 0.650 0.6596 0.589 0.44568 0.36904 0.3007 0.444 0.94 6 0.8803 0.79080 0.768 0.68604 0.60630 0.565 0.4497 0.3785 0.3337 7 0.90495 0.88667 0.86663 0.80949 0.74398 0.6776 0.5987 0.5464 0.4596 8 0.95493 0.9448 0.939 0.89436 0.8474 0.7957 0.7909 0.6697 0.5955 9 0.98047 0.97486 0.9687 0.946 0.9608 0.87738 0.83050 0.7764 0.766 0 0.99 0.98958 0.98630 0.97475 0.95738 0.9336 0.9048 0.864 0.8589 0.9974 0.9960 0.99455 0.9890 0.9799 0.966 0.94665 0.9076 0.88808 0.9990 0.99858 0.99798 0.99555 0.997 0.98397 0.97300 0.95733 0.9360 3 0.99969 0.99953 0.99930 0.9983 0.99637 0.9990 0.9879 0.97844 0.9658 4 0.9999 0.99985 0.99977 0.99940 0.99860 0.99704 0.9948 0.98974 0.9874 5 0.99997 0.99996 0.99993 0.99980 0.99949 0.99884 0.99759 0.99539 0.9977 6 0.99999 0.99999 0.99998 0.99994 0.99983 0.99957 0.99904 0.99804 0.9968 7.00000.00000 0.99999 0.99998 0.99994 0.99985 0.99964 0.999 0.9984 8.00000.00000.00000 0.99999 0.99998 0.99995 0.99987 0.99970 0.99935 9.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99998 0.99996 0.99989 0.99975 0.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99996 0.9999.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99997.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 3.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000
Tabell 5 fort. x m 8.5 9.0 9.5 0.0.0.0 3.0 4.0 5.0 0 0.0000 0.000 0.00007 0.00005 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00000 0.0093 0.003 0.00079 0.00050 0.0000 0.00008 0.00003 0.0000 0.00000 0.0098 0.0063 0.0046 0.0077 0.00 0.0005 0.000 0.00009 0.00004 3 0.030 0.03 0.0486 0.0034 0.0049 0.009 0.0005 0.00047 0.000 4 0.07436 0.05496 0.0406 0.095 0.050 0.00760 0.00374 0.008 0.00086 5 0.4960 0.569 0.08853 0.06709 0.0375 0.0034 0.0073 0.00553 0.0079 6 0.568 0.0678 0.6495 0.304 0.0786 0.0458 0.0589 0.043 0.00763 7 0.38560 0.3390 0.6866 0.0 0.439 0.08950 0.05403 0.036 0.0800 8 0.53 0.45565 0.398 0.338 0.399 0.5503 0.09976 0.0606 0.03745 9 0.6597 0.5874 0.583 0.45793 0.3405 0.439 0.658 0.0940 0.06985 0 0.76336 0.70599 0.64533 0.58304 0.45989 0.3473 0.568 0.7568 0.846 0.84866 0.8030 0.7599 0.69678 0.5797 0.4660 0.3536 0.6004 0.8475 0.90908 0.87577 0.83643 0.7956 0.68870 0.57597 0.4630 0.35846 0.676 3 0.94859 0.965 0.8984 0.86446 0.789 0.6854 0.57304 0.46445 0.363 4 0.9757 0.95853 0.9400 0.9654 0.85404 0.770 0.6753 0.57044 0.46565 5 0.9867 0.97796 0.96653 0.956 0.90740 0.8444 0.7636 0.66936 0.56809 6 0.99339 0.98889 0.987 0.9796 0.94408 0.8987 0.83549 0.7559 0.664 7 0.99700 0.99468 0.9907 0.9857 0.9678 0.93703 0.89046 0.870 0.74886 8 0.99870 0.99757 0.9957 0.998 0.983 0.9658 0.9307 0.8864 0.8947 9 0.99947 0.99894 0.99804 0.99655 0.9907 0.9787 0.95733 0.9350 0.875 0 0.99979 0.99956 0.9994 0.9984 0.99533 0.98840 0.97499 0.9509 0.9703 0.9999 0.99983 0.99964 0.99930 0.99775 0.99393 0.9859 0.976 0.94689 0.99997 0.99993 0.99985 0.99970 0.99896 0.99695 0.9938 0.9839 0.9676 3 0.99999 0.99998 0.99994 0.99988 0.99954 0.99853 0.99603 0.99067 0.98054 4.00000 0.99999 0.99998 0.99995 0.99980 0.9993 0.9980 0.99498 0.98884 5.00000.00000 0.99999 0.99998 0.9999 0.99969 0.99903 0.99739 0.9938 6.00000.00000.00000 0.99999 0.99997 0.99987 0.99955 0.99869 0.99669 7.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99994 0.99980 0.99936 0.9988 8.00000.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.9999 0.99970 0.9994 9.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99996 0.99986 0.99958 30.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.99994 0.99980 3.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99997 0.9999 3.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99996 33.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99998 34.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 35.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000
Tabell 6. Binomialfördelningen P(X x)därx Bin(n, p) För p > /, utnyttja att P(X x) = P(Y n x) däry Bin(n, p) n x p 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.30 0.40 0.50 0 0.9050 0.8000 0.750 0.64000 0.5650 0.49000 0.36000 0.5000 0.99750 0.99000 0.97750 0.96000 0.93750 0.9000 0.84000 0.75000 3 0 0.85737 0.7900 0.64 0.500 0.488 0.34300 0.600 0.500 0.9975 0.9700 0.9395 0.89600 0.84375 0.78400 0.64800 0.50000 0.99987 0.99900 0.99663 0.9900 0.98438 0.97300 0.93600 0.87500 4 0 0.845 0.6560 0.50 0.40960 0.364 0.400 0.960 0.0650 0.98598 0.94770 0.89048 0.890 0.7388 0.6570 0.4750 0.350 0.9995 0.99630 0.9880 0.9780 0.949 0.9630 0.8080 0.68750 3 0.99999 0.99990 0.99949 0.99840 0.99609 0.9990 0.97440 0.93750 5 0 0.77378 0.59049 0.4437 0.3768 0.3730 0.6807 0.07776 0.035 0.9774 0.9854 0.835 0.7378 0.638 0.58 0.33696 0.8750 0.99884 0.9944 0.97339 0.9408 0.89648 0.8369 0.6856 0.50000 3 0.99997 0.99954 0.99777 0.9938 0.98437 0.969 0.996 0.850 4.00000 0.99999 0.9999 0.99968 0.9990 0.99757 0.98976 0.96875 6 0 0.73509 0.5344 0.3775 0.64 0.7798 0.765 0.04666 0.0563 0.9673 0.88574 0.77648 0.65536 0.53394 0.408 0.338 0.0938 0.99777 0.9845 0.9566 0.90 0.83057 0.7443 0.5443 0.34375 3 0.9999 0.99873 0.994 0.98304 0.9640 0.9953 0.8080 0.6565 4.00000 0.99995 0.99960 0.99840 0.99536 0.98906 0.95904 0.89063 5.00000.00000 0.99999 0.99994 0.99976 0.9997 0.99590 0.98438 7 0 0.69834 0.47830 0.3058 0.097 0.3348 0.0835 0.0799 0.0078 0.9556 0.8503 0.7658 0.5767 0.44495 0.394 0.5863 0.0650 0.9964 0.9743 0.963 0.8597 0.7564 0.64707 0.4990 0.656 3 0.9998 0.9977 0.98790 0.96666 0.9944 0.87396 0.70 0.50000 4 0.99999 0.9998 0.99878 0.99533 0.987 0.970 0.90374 0.77344 5.00000 0.99999 0.99993 0.99963 0.99866 0.996 0.986 0.93750 6.00000.00000.00000 0.99999 0.99994 0.99978 0.99836 0.999 8 0 0.6634 0.43047 0.749 0.6777 0.00 0.05765 0.0680 0.0039 0.9476 0.830 0.6578 0.5033 0.36708 0.5530 0.0638 0.0356 0.994 0.969 0.89479 0.7969 0.67854 0.5577 0.3539 0.4453 3 0.99963 0.99498 0.97865 0.9437 0.8868 0.80590 0.59409 0.3638 4 0.99998 0.99957 0.9975 0.98959 0.9770 0.9403 0.8633 0.6367 5.00000 0.99998 0.99976 0.99877 0.99577 0.9887 0.9509 0.85547 6.00000.00000 0.99999 0.9999 0.9996 0.9987 0.9948 0.96484 7.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.99993 0.99934 0.99609 9 0 0.6305 0.3874 0.36 0.34 0.07508 0.04035 0.0008 0.0095 0.9879 0.77484 0.59948 0.436 0.30034 0.9600 0.07054 0.0953 0.9964 0.94703 0.8595 0.7380 0.60068 0.4683 0.379 0.08984 3 0.99936 0.9967 0.96607 0.9436 0.8347 0.7966 0.486 0.539 4 0.99997 0.999 0.99437 0.9804 0.9507 0.909 0.73343 0.50000 5.00000 0.99994 0.99937 0.99693 0.9900 0.9747 0.90065 0.74609 6.00000.00000 0.99995 0.99969 0.99866 0.9957 0.97497 0.906 7.00000.00000.00000 0.99998 0.99989 0.99957 0.9960 0.98047 8.00000.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.99974 0.99805
Tabell 6 fort. n x p 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.30 0.40 0.50 0 0 0.59874 0.34868 0.9687 0.0737 0.0563 0.085 0.00605 0.00098 0.9386 0.7360 0.54430 0.3758 0.4403 0.493 0.04636 0.0074 0.98850 0.998 0.800 0.67780 0.5559 0.3878 0.679 0.05469 3 0.99897 0.9870 0.95003 0.8793 0.77588 0.6496 0.388 0.788 4 0.99994 0.99837 0.9903 0.967 0.987 0.84973 0.6330 0.37695 5.00000 0.99985 0.9986 0.99363 0.9807 0.9565 0.83376 0.6305 6.00000 0.99999 0.99987 0.9994 0.99649 0.9894 0.9454 0.883 7.00000.00000 0.99999 0.9999 0.99958 0.9984 0.9877 0.9453 8.00000.00000.00000.00000 0.99997 0.99986 0.9983 0.9896 9.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99990 0.9990 0 0.56880 0.338 0.6734 0.08590 0.044 0.0977 0.00363 0.00049 0.898 0.69736 0.499 0.3 0.970 0.99 0.0303 0.00586 0.98476 0.9044 0.7788 0.6740 0.4550 0.374 0.89 0.037 3 0.99845 0.9847 0.93056 0.83886 0.7330 0.56956 0.968 0.38 4 0.99989 0.9975 0.984 0.94959 0.88537 0.78970 0.5377 0.744 5 0.99999 0.99970 0.99734 0.98835 0.96567 0.978 0.75350 0.50000 6.00000 0.99998 0.99968 0.99803 0.9944 0.97838 0.90065 0.7559 7.00000.00000 0.99997 0.99976 0.9988 0.9957 0.9707 0.8867 8.00000.00000.00000 0.99998 0.99987 0.9994 0.99408 0.9679 9.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99995 0.9997 0.9944 0.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99996 0.9995 0 0.54036 0.843 0.44 0.0687 0.0368 0.0384 0.008 0.0004 0.8864 0.65900 0.44346 0.7488 0.5838 0.08503 0.0959 0.0037 0.98043 0.8893 0.7358 0.55835 0.39068 0.58 0.08344 0.099 3 0.99776 0.97436 0.90779 0.79457 0.64878 0.495 0.534 0.07300 4 0.9998 0.99567 0.97608 0.9744 0.8436 0.7366 0.4388 0.9385 5 0.99999 0.99946 0.99536 0.98059 0.94560 0.885 0.665 0.387 6.00000 0.99995 0.99933 0.9960 0.98575 0.9640 0.8479 0.679 7.00000.00000 0.99993 0.9994 0.997 0.9905 0.9469 0.8065 8.00000.00000 0.99999 0.99994 0.9996 0.9983 0.98473 0.9700 9.00000.00000.00000.00000 0.99996 0.99979 0.9979 0.9807 0.00000.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.99968 0.99683.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.99976 3 0 0.5334 0.549 0.09 0.05498 0.0376 0.00969 0.003 0.000 0.86458 0.634 0.3988 0.3365 0.67 0.06367 0.063 0.007 0.97549 0.866 0.6996 0.5065 0.3360 0.048 0.05790 0.03 3 0.99690 0.96584 0.8800 0.7473 0.5845 0.406 0.6858 0.0464 4 0.9997 0.99354 0.96584 0.90087 0.79396 0.6543 0.35304 0.334 5 0.99998 0.99908 0.9947 0.96996 0.9979 0.83460 0.57440 0.9053 6.00000 0.99990 0.99873 0.99300 0.9757 0.9376 0.776 0.50000 7.00000 0.99999 0.99984 0.99875 0.99435 0.9878 0.9033 0.70947 8.00000.00000 0.99998 0.99983 0.9990 0.99597 0.9679 0.86658 9.00000.00000.00000 0.99998 0.99987 0.99935 0.99 0.95386 0.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99993 0.99868 0.98877.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99986 0.9989.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99988
Tabell 6 fort. n x p 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.30 0.40 0.50 4 0 0.48767 0.877 0.077 0.04398 0.078 0.00678 0.00078 0.00006 0.8470 0.58463 0.35667 0.979 0.0097 0.04748 0.0080 0.0009 0.96995 0.8464 0.6479 0.44805 0.83 0.6084 0.03979 0.00647 3 0.99583 0.95587 0.85349 0.6989 0.534 0.3557 0.43 0.0869 4 0.99957 0.99077 0.9536 0.8706 0.7453 0.5840 0.796 0.08978 5 0.99997 0.99853 0.98847 0.9565 0.88833 0.7805 0.48585 0.98 6.00000 0.9998 0.99779 0.98839 0.9673 0.9067 0.6945 0.3956 7.00000 0.99998 0.99967 0.99760 0.98969 0.96853 0.84986 0.60474 8.00000.00000 0.99996 0.9996 0.99785 0.997 0.9468 0.7880 9.00000.00000.00000 0.99995 0.99966 0.99833 0.9849 0.90 0.00000.00000.00000.00000 0.99996 0.99975 0.99609 0.973.00000.00000.00000.00000.00000 0.99997 0.99939 0.99353.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99994 0.99908 3.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99994 5 0 0.4639 0.0589 0.08735 0.0358 0.0336 0.00475 0.00047 0.00003 0.8905 0.54904 0.3859 0.673 0.0808 0.0357 0.0057 0.00049 0.96380 0.8594 0.6043 0.3980 0.3609 0.683 0.07 0.00369 3 0.99453 0.94444 0.866 0.6486 0.469 0.9687 0.09050 0.0758 4 0.99939 0.9878 0.9389 0.83577 0.68649 0.5549 0.78 0.0593 5 0.99995 0.99775 0.9839 0.93895 0.8563 0.76 0.403 0.5088 6.00000 0.99969 0.99639 0.9894 0.94338 0.86886 0.6098 0.3036 7.00000 0.99997 0.99939 0.99576 0.9870 0.94999 0.78690 0.50000 8.00000.00000 0.9999 0.999 0.9958 0.98476 0.90495 0.69638 9.00000.00000 0.99999 0.99989 0.999 0.99635 0.9667 0.849 0.00000.00000.00000 0.99999 0.99988 0.99933 0.99065 0.94077.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.9999 0.99807 0.984.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.9997 0.9963 3.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99997 0.9995 4.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99997 6 0 0.4403 0.8530 0.0745 0.085 0.000 0.0033 0.0008 0.0000 0.8076 0.5473 0.8390 0.4074 0.06348 0.06 0.0039 0.0006 0.95706 0.7895 0.5638 0.3584 0.97 0.09936 0.0834 0.0009 3 0.99300 0.9359 0.78989 0.5983 0.40499 0.4586 0.0655 0.0064 4 0.9994 0.98300 0.9095 0.7985 0.6309 0.44990 0.6657 0.0384 5 0.9999 0.99670 0.97646 0.983 0.8035 0.65978 0.3884 0.0506 6 0.99999 0.99950 0.9944 0.97334 0.9044 0.8469 0.577 0.75 7.00000 0.99994 0.99894 0.99300 0.9787 0.9565 0.7606 0.408 8.00000 0.99999 0.99984 0.9985 0.9953 0.97433 0.85773 0.5989 9.00000.00000 0.99998 0.99975 0.99836 0.9987 0.9468 0.7775 0.00000.00000.00000 0.99997 0.9997 0.99843 0.98086 0.89494.00000.00000.00000.00000 0.99996 0.99973 0.9950 0.9659.00000.00000.00000.00000.00000 0.99997 0.99906 0.98936 3.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99987 0.9979 4.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99974 5.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99998
Tabell 6 fort. n x p 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.30 0.40 0.50 7 0 0.48 0.6677 0.063 0.05 0.0075 0.0033 0.0007 0.0000 0.793 0.4879 0.545 0.8 0.050 0.098 0.0009 0.0004 0.94975 0.7680 0.5976 0.3096 0.6370 0.07739 0.03 0.007 3 0.990 0.9736 0.7556 0.54888 0.3530 0.09 0.0464 0.00636 4 0.99884 0.97786 0.909 0.758 0.57389 0.38869 0.600 0.045 5 0.99988 0.99533 0.9683 0.89430 0.7653 0.5968 0.6393 0.0773 6 0.99999 0.999 0.997 0.9634 0.899 0.775 0.44784 0.665 7.00000 0.99989 0.9986 0.98907 0.95976 0.89536 0.6405 0.3453 8.00000 0.99999 0.99970 0.9974 0.9876 0.9597 0.8006 0.50000 9.00000.00000 0.99996 0.9995 0.99690 0.9873 0.9080 0.68547 0.00000.00000.00000 0.9999 0.99937 0.99676 0.9659 0.83385.00000.00000.00000 0.99999 0.99990 0.99934 0.9894 0.987.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99990 0.99748 0.97548 3.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99955 0.99364 4.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99994 0.99883 5.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99986 6.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 8 0 0.397 0.5009 0.05365 0.080 0.00564 0.0063 0.0000 0.00000 0.7735 0.4508 0.405 0.09908 0.03946 0.049 0.003 0.00007 0.9487 0.73380 0.47966 0.734 0.353 0.05995 0.0083 0.00066 3 0.9893 0.9080 0.704 0.5003 0.30569 0.6455 0.0378 0.00377 4 0.99845 0.978 0.87944 0.7635 0.5867 0.3365 0.0947 0.0544 5 0.99983 0.99358 0.9580 0.86708 0.7745 0.53438 0.0876 0.0483 6 0.99998 0.99883 0.9888 0.94873 0.860 0.770 0.3748 0.894 7.00000 0.99983 0.9978 0.9837 0.94305 0.8593 0.56344 0.4034 8.00000 0.99998 0.99949 0.99575 0.98065 0.9404 0.73684 0.4076 9.00000.00000 0.9999 0.99909 0.99458 0.97903 0.8659 0.5974 0.00000.00000 0.99999 0.99984 0.99876 0.99393 0.9435 0.75966.00000.00000.00000 0.99998 0.99977 0.99857 0.9797 0.8806.00000.00000.00000.00000 0.99997 0.99973 0.9945 0.9587 3.00000.00000.00000.00000.00000 0.99996 0.9987 0.98456 4.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99979 0.9963 5.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99997 0.99934 6.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99993 7.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 9 0 0.37735 0.3509 0.04560 0.044 0.0043 0.004 0.00006 0.00000 0.7547 0.406 0.9849 0.0887 0.030 0.004 0.00083 0.00004 0.93345 0.70544 0.443 0.3689 0.34 0.046 0.00546 0.00036 3 0.98676 0.88500 0.6845 0.45509 0.6309 0.337 0.096 0.00 4 0.99799 0.9648 0.85556 0.6739 0.4654 0.8 0.0696 0.0096 5 0.99976 0.994 0.94630 0.83694 0.66776 0.47386 0.69 0.0378 6 0.99998 0.99830 0.98367 0.9340 0.85 0.66550 0.30807 0.08353 7.00000 0.99973 0.9959 0.9767 0.954 0.8803 0.48778 0.7964 8.00000 0.99996 0.9996 0.99334 0.975 0.9608 0.66748 0.3380 9.00000.00000 0.99986 0.9984 0.990 0.96745 0.839 0.50000 0.00000.00000 0.99998 0.99969 0.9977 0.98946 0.953 0.6760.00000.00000.00000 0.99995 0.9995 0.9978 0.96477 0.8036.00000.00000.00000 0.99999 0.9999 0.99938 0.98844 0.9647 3.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99989 0.99693 0.968 4.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99936 0.99039 5.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99990 0.99779 6.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99964 7.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99996 8.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000