Tentamen MMG610 Diskret Matematik, GU 2017-01-04 kl. 08.30 12.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers/GU Telefonvakt: Peter Hegarty, telefon: 0766 377 873 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel, ej heller räknedosa För godkänt krävs minst 60 poäng, inklusive eventuella poäng från inlämningsuppgifterna V-16. Preliminärt så krävs minst 90 poäng för betyget VG. Dessa gränser kan minskas men inte höjas i efterhand. Lösningar läggs ut på kursens webbsida senast dagen efter tentamensdagen. Tentan rättas och bedöms anonymt. Resultatet meddelas i LADOK senast den 25 januari. Granskning sker enligt överenskommelse med kursansvarig. OBS! Motivera alla dina svar väl. Svaren behöver inte ges som explicita bas-10 tal i Uppgift 1. Uppgifterna 1. Antag att 60 studenter, som vi betecknar s 1, s 2,..., s 60, skriver en Chalmerstenta, där betygsskalan är som vanligt U, 3, 4, 5. (a Hur många möjligheter finns det för utgången om vi tar hänsyn till varje individuellt resultat, dvs det spelar roll vem som får vilket betyg? (b Hur många möjligheter finns det för utgången om s 1 och s 2 ska få samma betyg och s 3 ska få ett annat betyg än dessa två? (c Hur många möjligheter finns det för utgången om man däremot endast är intresserad av betygsfördelningen, dvs det enda som spelar roll är hur många som får varje betyg? (d Låt oss säga att resultatet är 14 st U:n, 22 st 3:or, 15 st 4:or och 9 st 5:or. Om man väljer två studenter slumpmässigt, vad är sannolikheten att de fick samma betyg? (2p (3p (3p (4p 2. (a Förklara vad som menas med symbolen ( n k, för ett godtyckligt reellt tal n och icke- (2p negativt heltal k. (b Formulera och bevisa binomialsatsen för en negativ heltalsexponent. (c Lös rekursionen u 0 = 1, u 1 = 2, u n+2 = 2u n+1 + 15u n + 32 n 0. (6p (9p Var god vänd!
3. (a Definiera Stirlingtalet S(n, k. (2p (b Formulera och bevisa en rekursionsformel för Stirlingtalen. (6p (c Låt A N 0. Definiera vad som menas med den 2-faldiga representationsfunktionen (2p r 2 (A, : N 0 N 0. (d Låt c N. Bevisa att det finns ingen A sådan att r 2 (A, n = c för alla utom ändligt (6p många n N 0. 4. (a Definiera vad som menas med att två grafer G 1 = (V 1, E 1 och G 2 = (V 2, E 2 är (2p isomorfa. (b Rita upp alla parvis icke-isomorfa grafer på 4 noder (Tips: De är 11 st till antal. (c Definiera vad som menas med att en graf G = (V, E är ett träd. (d Bevisa att G = (V, E är ett träd om och endast om G är sammanhängande och E = V 1. (5p (1p (7p 5. Man hänvisas till nätverket G 1 i den bifogade figuren. (a Använd Dijkstras algoritm för att bestämma en kortaste väg från a till j i G 1. Obs! Skriv ner vilken kant som väljs och vilket märke (label som sätts i varje steg, samt ange den slutgiltiga kortaste vägen. (b Använd Ford-Fulkerson algoritmen för att bestämma ett maximalt flöde från a till j samt en minimal cut i nätverket G 1. Obs! Börja från noll-flödet och skriv ner vilken augmenterande väg du väljer i varje steg samt ökningen i flödets styrka. Rita upp det slutgiltiga flödet i sin helhet och ange motsvarande minimal cut. (7p (9p 6. Formulera och bevisa Philip Halls Äktenskapssats. (12p 7. Bestäm med bevis, som en funktion av n N, det maximala antalet kanter i en (enkel12p graf G på n noder sådan att G inte innehåller några trianglar (dvs K 3 -delgrafer. Obs! Några poäng ges för att bara lyckas gissa rätt svar. Lycka till!
Lösningar Diskret Matematik GU, 170104 1. (a There are 4 possible grades per student and 60 students, so the number of possible outcomes is 4 60, by the multiplication principle. (b Let X be the number of outcomes where s 1 and s 2 get the same grade, and Y the number of such outcomes where they both get the same grade as s 3. We seek X Y. For X, we may consider the pair {s 1, s 2 } as one student, so there are 59 students, each of whom can get 4 possible grades. Thus X = 4 59. Similarly, for Y we consider the triple {s 1, s 2, s 3 } as a single student, giving 58 students and so Y = 4 58. Thus, X Y = 4 59 4 58. (c Let x 1, x 2, x 3, x 4 denote the number of students who get the grades U, 3, 4 and 5 respectively. We seek the number of solutions in non-negative integers to x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 60. By Proposition 2.9 in the lecture notes, this number is ( 60+4 1 4 1 = 63 3. (d There are ( 60 2 ways to choose a pair of students. Of these, 14 2, 22 2, 15 2 and 9 2 yield a pair who each got the grade U, 3, 4 or 5 respectively. Hence, by the addition principle, the probability of a randomly chosen pair having gotten the same grade is ( 14 2 + 22 2 + 15 2 + 9 ( 2 60. 2 2. (a n k = n(n 1 (n k+1 k!. (b Theorem 5.5 in the lecture notes. (c Den karakteristiska ekvationen lyder x 2 2x 15 = 0, som har rötterna x 1 = 5, x 2 = 3. Den allmänna lösningen till den homogena ekvationen är således u h, n = C 1 5 n + C 2 ( 3 n. (1 Vi gissar som partikulär lösning u p, n = C 3. Insättning i rekursionen leder till C 3 = 2C 3 + 15C 3 + 32 Insättning i (1 ger den allmänna lösningen C 3 = 2. u n = u h, n + u p, n = C 1 5 n + C 2 ( 3 n 2. Slutligen sätter vi in beygnnelsevillkoren: n = 0 : u 0 = 1 = C 1 + C 2 2 C 1 + C 2 = 1, n = 1 : u 1 = 2 = 5C 1 3C 2 2 5C 1 3C 2 = 4. Elimination ger C 1 = 7/8, C 2 = 1/8. Så lösningen till rekursionen är u n = 1 8 (7 5n + ( 3 n 16. 3. (a See Example 8.2 in the lecture notes. (b Theorem 8.3 in the lecture notes. (c See Notation 9.11 in the lecture notes. (d Theorem 9.12 in the lecture notes.
4. (a Definition 13.1 in the lecture notes. (b See the attached Figure L.1. (c Definition 17.1 in the lecture notes. (d Theorem 17.4, (i (iv, in the lecture notes. 5. (a Dijkstra s algorithm will proceed as follows: Step Chosen edge Permanent label 1 {a, b} l(b := 6 2 {a, d} l(d := 7 3 {a, c} l(c := 8 4 {d, e} l(e := 11 5 {d, f} l(f := 13 6 {c, g} l(g := 14 7 {g, h} l(h := 16 8 {g, i} l(i := 17 9 {h, j} l(h := 20 This yields the shortest path a c g h j. (b Man kan hitta t.ex. följande sekvens av augmenterande vägar: Steg Augmenterande väg Ökning i flödets styrka 1 a b e h j 4 2 a c g j 6 3 a d f i j 5 4 a c d e g j 2 5 a d e g j 2 Flödet i det här skedet illustreras i Figur L.2. Dess styrka är f(a, b + f(a, c + f(a, d = 4 + 8 + 7 = 19. Alla noderna förutom j kan nås från a med en f- augmenterande väg. Låt T := {j}, S := V (G 1 \T. Vi har c(s, T = c(h, j + c(g, j + c(i, j = 4 + 10 + 5 = 19. Så vi har hittat ett maximalt flöde och en minimal cut. 6. Theorem 18.7 in the lecture notes. 7. Claim. If G = (V, E is triangle-free and V = n then E n 2 /4. Equality is achieved by the complete bipartite graph G = K n/2, n/2. Proof. The second statement is obvious so it suffices to show that E n 2 /4 when G is triangle-free. Consider the sum d v1 + d v2, {v 1, v 2 } E where d v denotes the degree of a vertex v. On the one hand, since each vertex v V appears in d v edges, this sum is the same as d2 v. On the other hand, since G is triangle-free, if {v 1, v 2 } is any edge, then v 1 and v 2 cannot have a common neighbor. By the pigeonhole principle, this forces d v1 + d v2 n. Hence the sum is at most n E. We
conclude that d 2 v n E. (2 But by the Cauchy-Schwarz inequality, ( 2 d 2 v 1 d v. (3 n Furthermore, for any graph one has d v = 2 E. (4 Substituting (3 and (4 into (2 yields ( 2 ( 4 E 2 = (2 E 2 = d v n hence 4 E 2 n 2 E and so E n 2 /4, q.e.d. d 2 v n 2 E,