Filter Mätteknik Ville Jalkanen, TFE, UmU ville.jalkanen@umu.se 1
Decibel (db) Förstärkningen anges ofta i decibel (db) A V(dB) = 20 log 10 A V Exempel: En A V = 10 ggr motsvaras av 20 log 10 10 = 20 db En A V = 0.1 ggr (<1 dämpning) motsvaras av 20 log 10 0.1 = -20 db Två seriekopplade förstärkare vardera med A V = 10 ggr: Förstärkningarna multipliceras så att A V,tot = 10*10 = 100 Motsvaras av addition i db: 20 log (10*10) = 20 (log (10) + log (10)) = 20 db + 20 db = 40dB Vanligt förekommande db-värden: 3 db 20 log ( 2), där 2 1.414-3 db 20 log (1 2), där1 2 0.707 (dämpning med 3 db) 6 db 20 log 2-6 db 20 log 0.5 (dämpning på 0.5) ville.jalkanen@umu.se 2
Filter En krets med uppgift att släppa igenom signaler med önskad frekvens och stoppa (dämpa) signaler med övriga frekvenser. Vilka frekvenser ska dämpas/släppas igenom? hur kan vi kontrollera detta? Överföringsfunktion, gränsfrekvens ville.jalkanen@umu.se 3
Överföringsfunktion (transfer function) Ett matematiskt samband som beskriver ett systems frekvensberoende egenskaper T.ex. Filter, förstärkare Sambandet beskriver hur amplituden och fasvinkeln förändras då en sinusformad insignal (med viss frekvens) passerar systemet Insignal X ω H ω utsignal Y ω H ω = Y ω X ω Ett samband mellan sinus-formad insignal och utsignal (spänning) för variabeln frekvens, dvs H = Uut/Uin (förstärkning, dämpning) ville.jalkanen@umu.se 4
Överföringsfunktion: amplitud och fas Överföringsfunktionen (H(ω)) beskriver hur amplituden och fasvinkeln förändras då en sinus-formad signal passerar systemet H är ett komplext tal. För varje frekvens, betrakta den som en vektor med storlek och riktning. Beloppet av H: H ω = Re H 2 + Im H 2 beskriver amplitudförhållandet mellan in- och utsignal. Fasvinkeln (dvs argumentet) för H: (förstärkningen/dämpningen) φ ω = arg H ω = tan 1 Im H ω Re H ω beskriver fasförskjutningen mellan in- och utsignal. H ω = H ω φ ω ville.jalkanen@umu.se 5
Lågpass (LP) ω g gränsfrekvens (brytfrekvens) Beloppet (amplitudförhållandet) Förstärkningskurva passband stoppband Lutningen = roll-off [db/dekad] dekad = en faktor 10 Högpass (HP) resonansfilter Bandpass Notch-filter (smalbandigt bandspärr) Bandspärr ville.jalkanen@umu.se 6
Passiva filter Enkla. Kräver ingen matningsspänning. Endast passiva komponenter (R, C och L) Dessa filter klarar av de flesta filtreringsuppgifter. Med RC-filter eller RL-filter fås 1:a ordningens filter, dvs lutningen -20 db/dekad i stoppbandet. LC-filter blir 2:a ordningens dvs skarpare filter med lutningen -40 db/dekad i stoppbandet. Men Kan inte förstärka Kan innehålla stora komponenter speciellt L (stora, klumpiga, dyra) ville.jalkanen@umu.se 7
Passiva RC-filter Kondensatorns frekvensegenskaper Överföringsfunktionen U ut /U in ville.jalkanen@umu.se 8
Rita överföringsfunktionen Eftersom H(ω) är frekvensberoende så är det praktiskt att rita H mot ω. Men H är komplex. Bode-diagram H ω = H ω φ ω Belopp och fas Ger snabb överblick över systemets (filtrets) frekvensegenskaper ville.jalkanen@umu.se 9
Bode diagram Den frekvensberende överföringsfunktionen med beloppet H ω och fasvinkeln φ ω presenteras med Bode-diagram. Beloppet graderas ofta i decibel (logaritmisk). Fasen graderas i grader. Båda mot en logaritmisk frekvensskala. H db = 20 log 10 H Överföringsfunktionen H = Uut/Uin förstärkningen H ω φ ω ville.jalkanen@umu.se 10
Skissa Bode-diagram Hur får vi fram Bode-diagrammet ur H(ω)? Simulera med programvara Skissa för hand genom att titta på beloppet då ω 0 och då ω. Skissa för hand om överföringsfunktionen är på Bode s normalform, dvs uttnyttja kurvor för deluttryck. ville.jalkanen@umu.se 11
Bode s normalform Ställ upp överföringsfunktionen så att den kan delas upp i ett eller flera deluttryck, dvs A = A 1 A 2 A 3 A n n st deluttryck där deluttrycken kan vara något av följande (finns två till av 2:a ordn.) en konstant K j ω ω 1 1 j ω ω 2 1 + j ω ω 3 1 1 + j ω ω 4 Ovanstående deluttryck är komplexa, dvs belopp och fas beräknas enligt tidigare. Det innebär att totala beloppskurvan (i log-skala) och faskurvan fås genom addition: Beloppet: 20 log A = 20 log A 1 + 20 log A 2 + + 20 log A n A db = A 1,dB + A 2,dB + + A n,db Fasen: arg A = arg A 1 + arg A 2 + + arg A n Totalkurvan fås genom addition av delkurvorna! ville.jalkanen@umu.se 12
ville.jalkanen@umu.se 13
Metod för att få U ut /U in på Bodes normalform Ställ upp U ut /U in (oftast med spänningsdelning). För kretsar med OP måste tillhörande räkneregler användas. Ställ upp allt på ett bråkstreck. Eliminera bråk i täljare och nämnare genom att förlänga täljare och nämnare på lämpligt sätt Bryt ut realdelen så att endast en etta erhålles som en realdel (kan leda till krångligare uttryck) ville.jalkanen@umu.se 14
Exempel : passivt LP-filter Betrakta kopplingen som en spänningsdelare: U ut = 1 jωc R + 1 U in jωc U ut U in = 1 1 + jωrc = 1 1 + j ω ω g Bodes normalform R = 10kΩ, C = 0.01µF ω g = 1 RC f g = 1 2πRC -3 db 1:a ordningens filter f g = 1.6 khz -20dB/dekad ville.jalkanen@umu.se 15
Exempel : passivt HP-filter Betrakta kopplingen som en spänningsdelare: U ut = R R + 1 jωc U in U ut = jωc U in jωc R R + 1 jωc R = 10kΩ, C = 0.01µF = jωrc 1 + jωrc = j ω ω g 1 1 + j ω ω g -3 db 1:a ordningens filter f g = 1.6 khz Bodes normalform (två deluttryck) ω g = 1 RC 20dB/dekad Addera kurvorna för deluttrycken ville.jalkanen@umu.se 16
men Exempel: kaskadkoppling av två passiva LP-filter U ut U in 1 1 + jωrc 1 1 + jωrc = 1 1 + j ω ω g Obs! Går ej pga belastning För kopplingen ovan gäller istället: U ut U in = Önskar få brantare lutning dvs 2:a ordningens filter med -40 db/dekad Idén bakom kaskadkopplingen: delkurvorna borde adderas ( -6 db vid f g )? 1 1 + j ω ω g 1 1 + jω3rc + jωrc 2 = 1 6 db ω g = 1 RC R = 10kΩ C = 0.01µF 1 + j 2ζω ω g + j ω ω g 2 20 log 1 3 = 9.54 db Lutningen stämmer men f g = 1.6 khz -40dB/dekad vi får större dämpning vid f g pga att filter 2 belastar utgången på filter 1. Utimpedansen parallellkopplas med nästa filters inimpedans. ville.jalkanen@umu.se 17
Bandpass-filter Släpper igenom frekvenser i ett frekvensband ω 1 < ω < ω 2 Passiva: R-L-C Quality factor (mått på selektiviteten) Q = R C L ω 0 = 1 LC Bandbredd B = ω 2 ω 1 = R L = ω 0 Q Kaskadkoppla LP (med ω g = ω 2 ) och HP (med ω g = ω 1 ) Belastning! + ville.jalkanen@umu.se 18
Aktiva filter Kräver en förstärkare (OP) med matningsspänning utöver de passiva komponenterna 1:a och 2:a ordningens filter. Högre ordning genom kaskadkoppling. Kaskadkoppling möjligt pga OP:ns egenskaper (ingen belastning pga efterkommande filtersteg) mycket selektiva filter (brant övergång mellan pass- och stoppband) ville.jalkanen@umu.se 19
När ska man välja aktiva filter? Högre ordningens filter genom kaskadkopping Förstärkning är önskvärt Hög noggrannhet i filtret är önskvärt. Man använder C istället för L vilket medför högre noggrannhet. L kan utelämnas. ville.jalkanen@umu.se 20
Aktivt 1:a ordningens filter Valbar förstärkning Z 1 = R, Z 2 = C ger ett LP-filter U ut U in = R 1 + R 2 R 1 1 1 + jωrc ω g = 1 RC Z 1 = C, Z 2 = R ger ett HP-filter U ut U in = R 1 + R 2 R 1 jωrc 1 + jωrc ville.jalkanen@umu.se 21
Aktiva 2:a ordningens filter Överföringsfunktionen är av 2:a ordningen: jω 2 -term Använd s-variabeln så att: s = jω ω 0 är gräns-/centerfrekvens LP-filter H s = b 0 s 2 + ω 0 Q s + ω 0 2 b 0 ω 2 är DC-förstärkningen 0 HP-filter H s = b 2 s 2 s 2 + ω 0 Q s + ω 0 2 Q-värdet anger brantheten hos LP/HP-filter. BP-filter H s = b 1 s s 2 + ω 0 Q s + ω 0 2 Q-värdet anger selektivitet hos BP-filter. Q = ω 0 ω 3dB-bredden (bandbredd) ville.jalkanen@umu.se 22
2:a ordningens filtermodeller flat/platt förstärkningskurva i passbandet ( Butterworth) brant dämpning (roll-off) (skarpare övergång mellan pass- och stoppband) ( Chebyshev eller Cauer) Q = 1 2 = 0.707 LP-filter, ω 0 = 1 rad/s Så linjär faskurva som möjligt (mindre signaldistortioner)( Bessel) faslöptid ville.jalkanen@umu.se 23
Implementera 2:a ordn. Aktiva-filter KHN-biquad. State-variabelfilter. Sallen-Key-koppling ville.jalkanen@umu.se 24
State variabel filter, KHN-biquad 3 OP, Två integratorer och en summator HP, BP, LP (2:a ordn.) Universal Active Filter (UAF) KHN-biquad ω 0 = 1 RC Q = 1 2 1 + R 3 R 2 Gräns/center För HP och LP branthet Q = ω 0 ω ville.jalkanen@umu.se 25 3dB-bredden
Sallen-Key-koppling 2:a ordn. LP-filter Passbandförstärkning är 1 U ut U in = 1 R 1 R 2 C 1 C 2 1 1 R 1 R 2 C 1 C 2 + R = 1 + R 2 R 1 R 2 C jω + jω 2 1 + jω2rc + jωrc 2 1 H s = s 2 + 2ω 0 s + ω 2 g Q = 1 2 ω g 2 R 1 = R 2 = R C 1 = C 2 = C ω g = 1 RC Jfr. kaskadkoppling av två passiva RC med spänningsföljare ville.jalkanen@umu.se 26
R 1 Aktivt 2:a ordn. LP-filter R 2 Sallen-Key-koppling Godtyckligförstärkning fås med icke-inverterarande förstärkarkopplingen U ut U in = R 1 + R 2 R 1 1 1 + jωrc 3 R 1 + R 2 R 1 + jωrc 2 ω g = 1 RC α = 1 Q är en dämpningsfaktor som bestämmer hur mycket över - eller undersväng förstärkningskurvan får vid f g α = α > α < 2 ger en kurva utan översväng och är maximalt platt (Butterworth). 2 ger en undersväng överdämpad 2 ger en översväng underdämpad ville.jalkanen@umu.se 27
Aktivt 2:a ordn. HP-filter Sallen-Key-koppling R och C har bytt plats jfr. med LP U ut U in = R 1 + R 2 R 1 jωrc 2 1 + jωrc 3 R 1 + R 2 R 1 + jωrc 2 α ω g = 1 RC ville.jalkanen@umu.se 28
Butterworth Baseras på butterworth polynom av olika ordningstal Förstärkningskurva utan översväng dvs maximalt platt passband. Dämpningsfaktorn α styr detta (hittas i tabell). Se recept för filterkonstruktion. Högre ordningens filter brantare filter seriekoppling av 1:a och 2:a ordningens filter (polynom) med över - och undersväng så att totala förstärkningskurvan blir så platt som möjligt i passbandet Ex. : 3:e ordn. Börja med 2:a ordn. Fix förstärkning pga α. Fixa resten av förstärkningen med 1:a ordn. Obs! R, C blir samma. R 1 och R 2 olika för de två filtren. Fix förstärkning: 3-α -3 db vid f g -20 db/dekad -40 db/dekad f g = 1 khz -40 db/dekad -60 db/dekad -80 db/dekad -40 db/dekad 2:a ordn. α = 1.414 Roll-off -40 db/dekad 3:e ordn.: (1:a (valt F=2) + 2:a (α = 1)) 4:e ordn. (2:a (α = 1.848) + 2:a (α = 0.765)) ville.jalkanen@umu.se 29
Exempel: 3:e ordn. Butterworth (Sallen-Key) R 1 R 2 R 3 R 4 F 2 = 3 α = R 1 + R 2 F 1 = R 3 + R 4 väljer (fix värde F 2 = 2) R 3 R 1 ω 0g = ω 0 ω g = 1 RC Från tabell α = 1 (för 3:e ordn) Från tabell ω 0 = 1 rad/s Väljer själv ville.jalkanen@umu.se 30
Chebyshev Brantare filter (övergång mellan pass- och stoppband) vid given ordningstal än för Butterworth Men,... Rippel (variationer) i passbandet (typ 1), eller i stoppbandet (typ 2) Faskurvan blir mer olinjär dvs graden av signaldistortion ökar Högre ordningens filter genom kaskadkoppling av 1:a och 2:a ordn. Kombination av över - och undersväng (mha α) samt transformering till en ny frekvens ω 0g mha ω 0. Både α och ω 0 ur tabell. f g = 1 khz För LP ω 0g = ω 0 ω g = 1 RC väljer Rippel = 0.5 db p-p -40 db/dekad För HP ω 0g = ω g ω 0 = 1 RC Obs! R och C blir olika för filterstegen. -20 db/dekad -40 db/dekad -40 db/dekad -60 db/dekad -80 db/dekad 2:a ordn. α = 1.158, ω 0 = 1.231 Roll-off -40 db/dekad 3:e ordn.: 1:a (valt F= 2.4, ω 0 = 0.626) + 2:a (α = 0.586, ω 0 = 1.069)) 4:e ordn.: 2:a (α = 1.418, ω 0 = 0.597) + 2:a (α = 0.340, ω 0 = 1.031)) ville.jalkanen@umu.se 31
3 db rippel, peak-to-peak 2:a ordn. α = 0.766, ω 0 = 0.841 Roll-off -40 db/dekad 4:e ordn.: 2:a (α = 0.929, ω 0 = 0.443) + 2:a (α = 0.179, ω 0 = 0.950)) 3:e ordn.: 1:a (valt F= 2.67, ω 0 = 0.299) + 2:a (α = 0.326, ω 0 = 0.916)) ville.jalkanen@umu.se 32
Cauer-modellen Kallas också för elliptiska filter Rippel både i pass- och stoppbandet Ännu brantare roll-off Jämförelse (Butterworth, Chebyshev, Cauer) Cauer har brantast roll-off Butterworth har den mest linjära faskarakteristiken Cauer har den mest olinjära faskarakteristiken Frekvensselektiviteten kommer på bekostnad av både rippel och graden av distortion ville.jalkanen@umu.se 33