Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analys på mångfalder Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen Anders Källén atematikcentrum LTH anderskallen@gmail.com

Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 1 (12) 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi diskutera differentialformer på undermångfalder till R n. Speciellt ska vi se hur vi integrerar k-former på undermångfalder av dimension k, alltså 1-former på kurvor, 2-former på ytor osv. en inte bara det, på en mångfald med rand finns det ett samband mellan integralen av en form på mångfalden och en integral av en relaterad form på randen som kallas Stokes sats. Relationen handlar om differentialoperatorn och denna enkla, kompakta, formel innehåller alla vektoranalysens klassiska integrationssatser: Gauss sats, Greens sats och Stokes sats. 2 Differentialformer på mångfalder En k-dimensionell undermångfald till R n är en delmängd sådan att varje punkt har en omgivning U sådan att vi kan skriva skärningen U som ett k-stycke {ψ(t); t ω R k } där ψ : ω U är C 1 och bijektiv. Vi kallar ψ för en lokal parametrisering (en parametrisering av en del) av mångfalden. Om ω = I a Idx I är en m-form i R n så blir tillbakadragningen ψ ω(t) = I a I (ψ(t))dψ I (t) en m-form på. Exempel 1 Vi vet att ψ(θ, φ) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ), ω = {(θ, φ); 0 < θ < π, 0 < φ < 2π} parametriserar nästan hela enhetssfären. Låt, ω = x 3 dx 1 dx 2 + x 1 dx 2 dx 3 x 2 dx 1 dx 3 vara en 1-form i rummet. Då gäller att ψ ω = ψ 3 dψ 1 dψ 2 + ψ 2 dψ 2 dψ 3 ψ 2 dψ 1 dψ 3. Här har vi att dψ 1 = cos θ cos φdθ sin θ sin φdφ, dψ 2 = cos θ sin φdθ+sin θ cos φdφ, dψ 3 = sin θdθ, så dψ 1 dψ 2 = cos θ sin θdθ dφ, dψ 1 dψ 3 = sin 2 θ sin φdφ dθ, dψ 2 dψ 3 = sin 2 θ cos φdφ dθ Det följer att ψ ω = (cos 2 θ sin θ + sin 3 θ cos 2 φ + sin 3 θ sin 2 φ)dθ dφ = sin θdθ dφ är tillbakadragningen av ω till S 2.

Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 2 (12) Som den är definierad är den definierad i en speciellt parametrisering, men differentialens invarians gör att formen faktiskt är väldefinierad som ett objekt på k-stycket, oberoende av vilken parametrisering vi väljer. För att se det använder vi att vi kan skriva varje annan parametrisering som ψ 1 = ψ φ där φ är en avbildning på R k. Kalla den nya parametern s. Då gäller enligt differentialens invarians att ψ 1ω(s) = (φ ψ ω)(s) = (ψ ω)(φ(s)) = ψ ω(t). Vi ser alltså att värdet på differentialformen i en punkt på inte beror av vilken parametrisering vi väljer att använda. Därmed kan vi också definiera differentialformer på godtyckliga undermångfalder i R n. Anmärkning Att vi kan definiera differentialformer på godtyckliga mångfalder (alltså även abstrakta) följer på väsentligen samma sätt. Vi arbetar då istället med inversen till parametriseringen, alltså kartorna. Vidare kan utvidga den yttre differentialen till att verka på differentialformer på mångfalder. Detta beror på differentialens invarians. På ett ytstycke Σ = ψ(u) kan vi definiera dω som (ψ 1 ) d(ψ ω) och med en annan parametrisering ψ 1 = ψ φ har vi att (ψ 1 1 ) d(ψ 1ω) = (ψ 1 ) (φ 1 ) d(φ ψ ω) = (ψ 1 ) (φ 1 ) φ d(ψ ω) = (ψ 1 ) d(ψ ω). 3 Integration på mångfalder Den kanske viktigaste egenskapen hos differentialformer är att de är objekt som kan integreras på mångfalder. För att se varför, betrakta först den vanliga Riemannintegralen av en funktion definierad i R n. Om φ definierar ett koordinatbyte i R n så gäller för Riemann-integralen att f(x)dx = f(φ(y)) det dφ(y) dy. För att vi ska kunna utvidga detta till integration på undermångfalder till något R n måste integralen vara oförändrad om vi gör ett koordinatbyte, men det gäller inte i allmänhet, eftersom koordinatbyten förvränger volymer. en om vi istället integrerar ω = f(x)σ, där σ = dx 1... dx n och definierar ω = f(x)dx, där integralen i högerledet är den vanliga Riemannintegralen på R n, så vet vi att φ ω = f φ det(dφ)dy 1... dy n. Det betyder att om φ bevarar orienteringen, alltså det dφ > 0, så gäller att φ ω = ω. Integration över ett öppet område U R n definieras genom att funktionen χ U f ska vara integrerbar, där χ U är den karakteristiska funktionen på U, alltså den funktion som är

Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 3 (12) 1 på U och 0 utanför, och vi sätter då ω = χ U U fdx. Ur det och observationen ovan följer att om φ är ett koordinatbyte sådant att det dφ > 0 så gäller att ω = φ ω. φ(u) er precist: antag att f : V U är ett koordinatbyte mellan öppna delmängder i R n eller i det övre halvplanet H n1 och ω är en n-form i U. Då gäller att ω = φ ω. U Om φ istället kastar om orienteringen ska vi ha ett minustecken i högerledet. Anmärkning Det är intressant att notera att denna fundamentala egenskap härleds bak till att 1-former är antikommutativa: dx i dx j = dx j dx i. en från detta följer att om Σ = ψ(u) är ett orienterad k-stycke i R n och ω en k-form på, så kan vi definiera ω = ψ ω. Σ Denna definition blir oberoende av val av parametrisering enligt diskussionen ovan, så länge vi håller oss till samma orientering av ytstycket; två olika parametriseringar skiljer sig ju åt på ett koordinatbyte med positiv funktionaldeterminant. Om vi byter orientering kommer dock integralen att byta tecken. Slutligen, om är en orienterad k-dimensionell undermångfald till R n så kan vi med hjälp av en partition av enheten skriva ω = i ω i, där varje ω i har sitt stöd i ett k-stycke Σ i och summan i en omgivning av varje punkt består av ändligt många termer. Vi kan då definiera ω som summan i Σ i ω, och man ser lätt att denna definition blir oberoende av vilken partition av enheten vi väljer. Anmärkning Vi har definierat integralen med hjälp av en partition av enheten, därför att det är det matematiskt enklaste. I praktiken beräknar man emellertid en integral över en mångfald så att man delar upp mångfalden i ytstycken som hänger ihop i olika randbitar. Integralen över en randbit är noll, så vi kan beräkna den totala integralen genom att summera integralerna över de olika ytstyckena. Om vi t.ex. ska integrera över enhetssfären, kan vi beräkna en integral över den övre halvsfären och en över den undre halvsfären. Utan att bry oss om vart ekvatorn hör. Om Σ = {ψ(t); t ω} är k-stycke så finns det en k-form på Σ som är speciellt intressant. Den definieras genom ds = det ψ (t) t ψ (t)dt 1... t k. Denna form, som volymsformen på Σ, beror inte av vilken parametrisering vi använder: med ψ 1 = ψ φ får vi nämligen att det ψ 1 (t) t ψ 1(t)dt 1... t k = det(φ (t) t ψ (φ(t)) t ψ (φ(t))φ (t))dt 1... t k V U U det ψ (φ(t)) t ψ (φ(t)) det φ(t)dt 1... dt k = det ψ (s) t ψ (s)ds 1... ds k,

Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 4 (12) där s = φ(t). Det följer att ds är globalt definierad på en orienterad k-dimensionell mångfald. Att ds definierar arean av när är tvådimensionell och en motsvarande k-area i andra dimensioner diskuteras närmare i XXX. Följande exempel är de vanligaste i praktiken. Exempel 2 Om k = 1, dvs γ = c(i) är en kurva, så får vi ds = c (t) t c (t)dt = c (t) dt, Om ω(x) = k u k(x)dx k och γ är en orienterad kurva, så gäller att c ω = k u k (c(t))c k(t)dt = u(c(t)) c (t) = (u(x) T (x))ds där x = c(t) och T (x) = c (t)/ c(t) är enhetstangenten i rörelsens riktning och u = (u 1,..., u n ) är vektorfältet svarande mot ω. Exempel 3 För tvåformen ω = u 1 dx 2 dx 3 + u 2 dx 3 dx 1 + u 3 dx 1 dx 2 i rummet gäller att den tillbakadragen till Σ = {ψ(t); t U} ges av ψ ω = ψ u 1 dψ 2 dψ 3 + ψ u 2 dψ 3 dψ 1 + ψ u 3 dψ 1 dψ 2 = u(ψ(t)) ( 1 ψ(t) 2 ψ(t))dt 1 dt 2. Inför vi här x = ψ(t), u(x) = (u 1 (x), u 2 (x), u 3 (x)) och N = 1ψ(t) 2 ψ(t) 1 ψ(t) 2 ψ(t), ds = 1ψ(t) 2 ψ(t) dt 1 dt 2, så kan detta skrivs u(x) N(x) ds. Här är N enhetsnormal till ytstycket och ds är inget annat än areaformen på Σ. Detta sista exempel generaliseras till godtyckliga hyperytor. Vi skriver en godtycklig n 1-form på formen ω = ( 1) k 1 u k dx k k=1 (notera hur tecknet stämmer med diskussionen för fallet n = 3). Då gäller att ψ u 1 1 ψ 1... n 1 ψ 1 ψ ω = ( 1) k 1 ψ u k dψ k = det...... dt 1... dt n 1, k=1 ψ u n 1 ψ n... n 1 ψ n vilket är precis u(x) N(x) ds, x = ψ(t), där N(x) är enhetsnormal till ytstycket. Det finns två enhetsnormaler, och den aktuella är sådan att basvektorerna N(ψ(t)), 1 ψ(t),..., n 1 ψ(t) blir positivt orienterade. Den sista likheten följer av att determinanten ger (hyper-)volym med tecken av den parallellepiped som spänns upp av kolonnvektorerna och denna kan också beräknas genom att vi tar basvolymen ds och multiplicerar med höjden som är u N.

Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 5 (12) 4 Stokes sats Den vanliga insättningsformeln b a f (x)dx = f(b) f(a) i endim har en långtgående generalisering som kallas Stokes sats. Innan vi formulerar och bevisar den tar vi ett exempel. Exempel 4 Låt ω = i a i (x)dx i vara en godtycklig (n 1)-form på R n och K n enhetskuben i R n K n = {x R n ; 0 x i 1, i = 1,..., n}. Dess rand består då av alla de sidor där vi för ett i har antingen att x i = 0 eller x i = 1 och de övriga variablerna varierar fritt i [0, 1]. Vi orienterar den genom att välja normalen N som den utåtriktade normalen; då blir K positivt orienterad som rand till K. Vi mål är då att beräkna K n ω. Summan av integralerna över två motstående sidor blir nu en vi har att så vi ser att K n ω = K n 1 (a i (x 1,..., 1,..., x n ) a i (x 1,..., 0,..., x n ))dx i. a i (x 1,..., 1,..., x n ) a i (x 1,..., 0,..., x n ) = i=1 1 ( K n 1 0 i a i dx i )dx i = K n ( 1 0 i a i (x) dx i, ( 1) i 1 i a i (x))σ = i=1 K n dx i i ω. en här känner vi igen differentialen av en (n 1)-form i högerledet och vi ser att vi för allmänna (n 1)-former ω har att ω = dω. K n K n Detta är ett specialfall av Stokes sats, men samtidigt så allmänt att det implicierar den totala satsen genom att vi använder differentialens invarians och en partition av enheten. Vi börjar med att exemplifiera det förra. Exempel 5 Vi ska visa att det även gäller att dω = ω, B n S n 1 i=1

Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 6 (12) där B n är enhetsklotet i R n och S n 1 dess rand. För att se det definierar vi φ som den funktion som avbildar en punkt på K på den punkt på S n 1 som ligger på strålen från origo som går igenom punkten. Sedan utvidgar vi denna till en funktion φ : K n B n genom kravet att φ(tx) = tφ(x), x K n, 0 t 1. Då gäller alltså att φ(k n ) = B n och φ( K n ) = S n 1 och eftersom det alltid gäller att d(φ ω) = φ dω, så får vi dω = d(φ ω) = φ ω = ω. B n K n K n S n 1 Vi formulerar nu Stokes sats i sin helhet. De två exemplen indikerar varför den är sann. Sats 1 (Stokes sats) För en differentierbar k-form ω och en orienterad (k+1)-dimensionell mångfald gäller att dω = ω, där har den av orienteringen på ärvda orienteringen. Bevis. Antag först att = ψ(k) där K är en k-kub. Då gäller enligt definitionen och första exemplet att dω = ψ dω = d(ψ ω) = ψ ω = ω. K K Vi kan nu övertäcka med uppräkneligt många k-stycken av denna typ och sedan skriva ω = i ω i där varje ω i har sitt stöd i ett k-stycke U i = ψ i (K). Om är kompakt kan denna summa tas ändlig, annars så att den i en omgivning av varje punkt endast har ändligt många termer 0. Notera att om p U i är en randpunkt till, så gäller att ψ 1 i (p) ligger på en begränsningssida av K. Vi har nu dω = dω i = ω i = i i Denna sats är en kraftfull generalisering av många kända satser. Enklast är följande exempel. Exempel 6 ed = [a, b], som är 1-dimensionell, ska vi ta en 0-form ω, alltså en funktion f. Det gäller att = {a, b} och då är f = [f(x)] b a = f(b) f(a). Vidare är df(x) = b a K f (x)dx, så Stokes sats är inget annat än insättningsformeln. Tar vi som en kurva γ från en punkt p 0 till en punkt p 1 i R n får vi på samma sätt att df = f(p 1 ) f(p 0 ), som ju är flerdims motsvarighet till insättningsformeln. γ ω.

Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 7 (12) Andra exempel är formler som dyker upp inom vektoranalysen. Exempel 7 Låt u = (u 1,..., u n ) vara ett vektorfält och sätt α = u = u dx. Då gäller att α = u dx och alltså att d( α) = (div u)σ, där σ = dx 1... dx n. Stokes sats innebär då att om Ω är ett öppet område i R n med C 1 rand Ω så gäller att u N ds = div u dx, Ω där N är den utåtriktade enhetsnormalen till Ω och div u = k ku k kallas divergensen av vektorfältet u = (u 1,..., u n ). Denna formel kallas i vektoranalysen Gauss sats. En konsekvens av exemplet är att divergensen för ett vektorfält i R n kan beskrivas genom 1 div u(x) = lim u N ds, r 0 m B ) Ω B(x,r) där B(x, r) är klotet med radien r och medelpunkt i x i R och m B dess volym. Eftersom N betecknar den utåtriktade enhetsnormalen betyder det att divergensen av u i en punkten representerar nettoflödet ut genom en infinitesimalt liten sfär runt punkten. Om vi tänker på u som att det beskriver ett flöde av en gas eller vätska, så säger man att en punkt x där div u(x) > 0 är en källa, medan en punkt där div u(x) < 0 sägs vara en brunn. Gauss sats säger då att nettoflödet ut ur ett område är lika med nettomängden källor och brunnar i området. Exempel 8 Betrakta ett ämne som flyter i en vätska som befinner sig i stationär strömning och låt ämnets densitet beskrivas av funktionen ρ(x, t). Låt B vara ett godtyckligt klot i det område där vätska strömar. Den totala massan i B av ämnet vid tiden t ges då av (t) = ρ(x, t)σ. B Om vi nu antar att inget ämne nybildas eller ombildas till något annat och låt J(x, t) vara en en 2-form som beskriver vätskans flöde runt B. Då ger massbalans att (t) = ρ(x, t)j(x, t). B Flyttar vi in derivationen i vänsterledet under integraltecknet och använder Stokes sats får vi att ( t ρ(x, t)σ + d(ρ(x, t)j(x, t)) = 0. B Eftersom detta gäller för alla klot B följer kontinuitetsekvationen t ρ(x, t) + d(ρ(x, t)j(x, t)) = 0 Exempel 9 Antag nu att vi har en 1-form ω = i u kdx k och en 2-dimensionell yta Σ i R n. Då gäller att dω = k du k dx k = i<j ( i u j j u i )dx i dx j.

Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 8 (12) I rummet (n = 3) inför vi och får då att rot u = ( 2 u 3 3 u 2, 3 u 1 1 u 3, 1 u 2 2 u 1 ), Σ dω = Σ rot u(x) N(x) ds, där N är en enhetsnormal N på Σ. Samtidigt kan vi skriva u 1 dx 1 + u 2 dx 2 + u 3 dx 3 = (u T )ds, Σ där T är en enhetstangent till kurvan Σ. Relationen mellan N och T är att randen Σ ska vara positivt orienterad sett från spetsen av N (d.v.s sett från spetsen av N ska Σ ligga till vänster då man genomlöper Σ i den riktning som definieras av T ). Den formel vi får är alltså rot u(x) N(x) ds = u T ds, vilken kallas Stokes formel i vektoranalysen. Σ Anmärkning Ur denna formel får vi följande tolkning av rotationen. Betrakta ett liten sfär runt en punkt x och lägg ett litet ytstycke Σ genom x ortogonalt mot klotet. Om vi uppfattar u som strömningshastighet för en vätska, så mäter u(x) T (x) hur mycket vätska som strömmar igenom Σ per area- och tidsenhet. Att integralen i högerledet är skild från noll betyder att det finns ett inslag av virvelrörelse i vätskeströmningen. Om rot u(x 0 ) 0 så är vänsterledet som störst då N har samma riktning som rot u(x 0 ). an kan alltså uppfatta riktningen av rot u(x 0 ) som rotationsaxel för virvelrörelsen. Längden av rot u(x 0 ) är ett mått på virvelns styrka. Exempel 10 Ur formeln Σ Σ d(α β) = dα β + ( 1) k α dβ och Stokes sats får vi partialintegrationsformeln dα β = α β ( 1) k α dβ. Som exempel på detta har vi för en godtycklig funktion f och k-form α att fdα = fα df α. När α = g är en funktion (0-form) står här den vanliga formeln för partialintegration b a fdg = [fg] b a b a gdf. Ett annat exempel på Stokes sats är följande fundamentala observation.

Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 9 (12) Exempel 11 Vinkelformen i R n \{0} definieras genom Den har egenskapen att τ = k=1 ( 1) k 1 x k dx k x n = dr r n 1. r n 1 dr τ = dr dr = σ där σ = dx 1... dx n är volymsformen i R n. Dessutom gäller att den är homogen av grad noll, dvs om vi multiplicerar x med ett tal a, så ändras inte τ. Dess differential ges av dτ = d(r 1 n dr) = (1 n)r n dr dr + r 1 n d( dr) = 0, eftersom d( dr) = k=1 ( 1) k 1 d( x k r ) dx k = k=1 ( 1) k 1 ( dx k r x kdr r ) dx 2 k = n 1 σ. r Stokes sats medför då att om Ω R n inte innehåller origo, så gäller att Ω τ = 0. Om emellertid 0 Ω, så kan vi inte använda Stokes sats direkt. Istället får vi först ta bort ett litet klot B ɛ med medelpunkt i origo och så liten radie att B ɛ Ω. ed Ω ɛ = Ω\B ɛ har vi då att origo inte ligger i området och det vi visat är just att Ω ɛ τ = 0. en Ω ɛ = Ω B ɛ, där minustecknet refererar till att klotranden har omvänd orientering, så vi har att τ = τ = τ = τ. B ɛ x =ɛ x =1 Ω en enligt ovan har vi att τ = S n 1 dτ = n B 1 dx = n volymen av enhetsklotet. B 1 Vi har alltså att integralen över enhetssfären av vinkelformen är arean av enhetssfären. Om vi betecknar arean av enhetssfären i R n med m(s n 1 ) så har vi alltså att { 0 om 0 / τ = Ω m(s n 1 ) om 0 Ω. Ω Det sista exemplet har intressanta konsekvenser. Betrakta 1-formen τ = för n > 2. Då vet vi från exemplet att dr m(s n 1 r n 1 Ω τ = 1 för varje öppen delmängd Ω som innehåller origo. Låt nu därför ρ vara en funktion på R n som är noll utanför en begränsad delmängd och definiera 1-formen G(x) = ρ(y)τ(x y)dy,

Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 10 (12) Då ser vi att dg(x) = ρ(y)dτ(x y)dy = 0 och dessutom visar omkastning av integrationsordning att G = ρ(y)dy. Om vi använder Stokes sats på vänsterledet får vi att d( G) = ρdy, och eftersom detta är sant för alla öppna delmängder Ω följer att ed andra ord, 1-formen G löser problemet Ω Ω Ω Ω d( G) = ρ dg = 0, d( G) = ρ. I sig innehåller denna observation mycket av Newtons gravitationsteori och elektrostatiken baserad på Colombs lag, men den diskussionen tar vi i en annan artikel. Anmärkning Den duala formen τ, som alltså är en normerad vinkelform, kallas Kroneckerformen. För n = 1 är den dθ/2π. 5 Brower s fixpunktssats Låt vara en mångfald, möjligen med rand. En retraktion av på en delmängd A är en avbildning φ : A sådan att φ(x) = x då x A. Exempel 12 Avbildningen φ(x) = x/ x är en retraktion av det punkterade enhetsklotet på dess rand, enhetssfären. Ett punkterat enhetsklot är inte en kompakt mångfald, vilket också visar sig av att det finns en sats som säger att om är en kompakt, orienterad, mångfald med en icke-tom rand, så finns det ingen retraktion av på. För att se att så är fallet, antag att det finns en sådan retraktion φ : och förse med den ärvda orienteringen från. Låt σ = µ vara volymsformen på randen och sätt α = φ σ. Av dimensionsskäl gäller då att dσ = 0, varför dα = φ dσ = 0. Stokes sats ger därför att α = 0. en å andra sida, om φ är en retraktion av på så gäller att α = σ på randen, och σ = Vol( ) 0. Denna observation leder till det äldsta resultatet i toplogin, nämligen att varje kontinuerlig avbildning från det slutna enhetsklotet på sig själv måste ha en fixpunkt. För att se att detta är sant för glatta avbildningar, låt B vara det slutna enhetsklotet och antag att avbildningen f : B B saknar fixpunkter. Vi kan då definiera en avbildning φ : B B genom att låta φ(x) vara den punkt på randen som fås som skärning med kordan genom x och f(x). Den är uppenbarligen en retraktion av B på B, men sådana finns ju inte, så vi har en motsägelse. Alltså måste f ha minst en fixpunkt.

Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 11 (12) Anmärkning an kan tänka på denna sats som att om man rör om i en kaffekopp, så måste minst en molekyl återvända till sin ursprungsplats. Att få satsen för en kontinuerlig funktion kan göras genom att först observera att varje kontinuerlig funktion är homotop med en glatt funktion. Naturligtvis gäller satsen även för allmännare mängder än klot, så länge de topologiskt är klot. A Appendix: Partition av enheten Funktionen χ(t) = { 0 då t 0 e 1/t då t > 0 är en C (R)-funktion. Detta följer av att en godtycklig derivata har formen q(1/t)χ(t), t > 0 och då t 0 + gäller att detta går mot noll. Det följer att funktionen är deriverbar i origo hur många gånger som helst. Vidare är det klart att 0 χ 1. Om vi sätter φ(x) = χ(r 2 x a 2 ) så blir då φ en glatt funktion som är positiv då x a < r och lika med noll då x a r. ed hjälp av den ska vi nu konstruera s.k. partitioner av enheten på undermångfalder till R n. Låt nu K vara en kompakt delmängd av R n och antag att vi kring varje punkt x K finns en öppen omgivning ω(x). Till varje punkt x K finns då också ett öppet klot B ɛ(x) (x) ω(x) och enligt Heine-Borels lemma kan vi övertäcka K med ändligt många sådana klot. Kalla dem B 1,..., B m. Till var och en av dem kan vi ta en funktion g i sådan att g i > 0 i B i men g i = 0 utanför B i. Summan G(x) = i g i(x) är då positiv i K och = 0 i komplementet till en omgivning av K. Dividerar vi därför med summan, alltså definierar φ i (x) = g i (x)/g(x) får vi funktioner sådana att 0 φ i (x) 1 och uppfyller n 1 φ i(x) = 1 då x K. Att överföra detta till ett påstående på en mångfald är direkt om är kompakt. Varje punkt ligger då i en koordinatomgivning, och vi kan välja ut ett ändligt antal sådana och därifrån konstruera en partition av enheten sådan att varje funktion är skild från noll endast i en koordinatomgivning. Om inte är kompakt är situationen lite mer komplicerad. Det räcker då inte med ändligt många funktioner, utan vi behöver bilda en oändlig summa, och med det har vi ett konvergensproblem. en för en undermångfald i R n gäller att vi kan konstruera våra klot så att varje punkt ligger i endast ändligt många av kloten. Det betyder att summan är sådan att i varje punkt är endast ändligt många termer skilda från noll, varför vi inte har några konvergensproblem. otsvarande kan göras på en allmän mångfald det topologiska rum som bildar basen för en glatt mångfald har just denna egenskap. Vi går inte in på detaljerna men formulerar följande sats. Sats 2 Givet en atlas på en mångfald finns en partition av enheten {ψ i } sådan att a) Stödet för varje ψ i ligger helt i en koordinatomgivning b) 0 ψ i 1 överallt

Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 12 (12) c) i ψ i = 1 på hela, där summan i varje punkt endast består av ändligt många termer. Anmärkning Vi har använt begreppet stödet av en funktion. ed stödet av en funktion menas den minsta slutna mängd som innehåller alla punkter där funktionen inte är noll.