Ma2 version 2013-05-22 1(112) Förord Matematik är ingenjörskonstens, naturvetenskapens och ekonomins språk. Därför är matematik ett viktigt skolämne. Detta kompendium är en sammanställning av publicerade nationella prov lämpliga för träning i kursen Ma 2. Kompendiet består av två filer. Ma2_EXEMPEL.pdf 44 sidor uppgifter Skolverkets bedömningsexempel Ma2 vt2011 MaB vt2005 prov till den äldre B-kursen MaB vt2002 MaB vt2000 Ma2_SVAR.pdf 112 sidor lösningar till samtliga uppgifter. Den äldre B-kursen innehåller uppgifter som i nya studieplanen hör till både Ma 1 och Ma 2. Uppgifter om sannolikhet hör till Ma 1. Kom ihåg att matematik är ett övningsämne. Du kan inte bli en bra snickare genom att titta på någon som arbetar med hammaren och hyveln. Du måste öva själv!! Repetitio est mater studiorum. 1 I ett material omfattande mer än 100 sidor lösningar är det sannolikt att det finns både oklarheter och fel. Rapportera fel och oklarheter till GOROB_S@SOLLENTUNA.SE. Kollegorna vid Rudbeckskolan Johan Falk och Anders Hansson tackas för hjälp. Göran R 1 Upprepning är studiernas moder.
Ma2 version 2013-05-22 2(112) Innehåll Förord 1 Ma2 EXEMPELUPPGIFTER LÖSNINGAR 5 Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs................. 5 Del I # 1 (2/0/0) Linje & ekvation...................... 5 Del I # 2 (1/1/0) Två exponentialekvationer................. 6 Del I # 3 (0/1/0) Förenkla.......................... 8 Del I # 4 (0/1/0) Ställ upp linjära ekvationer................ 8 Del I # 5 (0/0/1) 2:a gradsfunktion & graf................. 9 Digitala verktyg är inte tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper..... 10 Del II # 6 (2/0/0) Lös ekvationen algebraiskt................. 10 Del II # 7 (0/1/1) Två linjer.......................... 11 Del II # 8 (0/2/0) Kaninen Tösen från Danmark............... 12 Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper........ 13 Del III # 9 (2/0/0) Likformighet, flagga.................... 13 Del III # 10 (2/0/0) Statistik........................... 14 Del III # 11 (3/0/0) Rät linje.......................... 15 Del III # 12 (0/2/0) Likformighet........................ 16 Del III # 13 (0/3/0) Motion med linjära ekvationer.............. 18 Del III # 14 (1/2/1) Variationsbredd...................... 19 Del III # 15 (0/0/4) Vikt pappersark...................... 20 Ma2b VT 2012 LÖSNINGAR 23 Del I # 1 (1/0/0) Bestäm ekvationen.................... 23 Del I # 2 (1/0/0) Förenkla.......................... 24 Del I # 3 (2/1/0) Ekvationer, logaritmer & potenser............ 24 Del I # 4 (1/0/0) Reell lösning?....................... 26 Del I # 5 (0/1/0) Teckna en funktion.................... 26 Del I # 6 (0/1/0) Andragradsfunktion & symmetrilinje.......... 27 Del I # 7 (0/1/1) Förenkla.......................... 28 Del I # 8 (1/2/1) Grafer i koordinatsystem................. 29 Del I # 9 (2/0/1) Värdeminskning...................... 31 Del I # 10 (0/0/2) Ekvationssystem...................... 32 Del II # 11 (2/0/0) Linjärt ekvationssystem.................. 33 Del II # 12 (2/0/0) 2:a gradsekvationer.................... 34 Del II # 13 (1/3/2) Triangel inskriven i cirkel................. 36 Del II # 14 (0/0/2) 2:a gradsekvation..................... 37 Del II # 15 (0/0/4) Avstånd.......................... 38 Del III # 16 (2/0/0) Likformiga rektanglar................... 39 Del III # 17 (3/0/0) Parallella linjer...................... 40 Del III # 18 (2/0/0) Stek 77 C......................... 41
Ma2 version 2013-05-22 3(112) Del III # 19 (2/3/1) Två modeller för värdeminskning............ 42 Del III # 20 (2/3/0) Normalfördelade tomatburkar.............. 44 Del III # 21 (1/1/1) Medelvärde och median.................. 45 Del III # 22 (0/1/2) Modellering, regression.................. 46 Del III # 23 (0/3/4) Trianglar & kvadrater................... 48 MaB VT 2005 LÖSNINGAR 51 Del I # 1 (4/0) Lös ekvationen...................... 51 Del I # 2 (1/0) Statistik, variationsbredd................. 52 Del I # 3 (2/0) Bestäm vinkeln...................... 53 Del I # 4 (3/0) Räta linjen........................ 54 Del I # 5 (2/0) Linjärt ekvationssystem................. 56 Del I # 6 (2/0) Lös olikhet........................ 57 Del I # 7 (0/2) Två tärningar....................... 58 Del I # 8 (0/1) Ge ekvationen för en linje................ 59 Del II # 9 (2/0) Förenkla.......................... 60 Del II # 10 (2/1) Sannolikhet........................ 61 Del II # 11 (4/0) Linjärt ekvationssystem, godis.............. 62 Del II # 12 (0/2) Likformighet....................... 64 Del II # 13 (0/2) Röstning och bortfall................... 66 Del II # 14 (3/2/ ) Grafer........................... 67 Del II # 15 (0/3/ ) Bildformat........................ 69 Del II # 16 (0/2/ ) Geometriskt bevis.................... 71 Del II # 17 (3/4/ ) Tändstickor och formler................. 72 MaB VT 2002 LÖSNINGAR 75 Del I # 1 (2/0) Linje med riktningskoefficienten 3............ 75 Del I # 2 (2/0) Utveckla och förenkla................... 75 Del I # 3 (3/0) Lös ekvation........................ 76 Del I # 4 (1/0) Tolka graf......................... 77 Del I # 5 (2/0) Bestäm k......................... 77 Del I # 6 (1/0) Statistisk undersökning.................. 78 Del I # 7 (1/1) Geometriskt problem................... 78 Del I # 8 (1/1) Osannolika okokta ägg i sockerkakan.......... 79 Del I # 9 (1/2) Linjärt ekvationssystem................. 81 Del II # 10 (3/0) Linjära ekvationer.................... 82 Del II # 11 (2/1) Vem räknar rätt?..................... 83 Del II # 12 (1/1) Rät linje?......................... 84 Del II # 13 (1/2/ ) Två tärningar....................... 85 Del II # 14 (1/2) Geometriskt bevis.................... 87 Del II # 15 (0/2) Statistik.......................... 88 Del II # 16 (1/2) Pelle kastar sten..................... 89 Del II # 17 (3/4/ ) Linjers skärningspunkt.................. 90
Ma2 version 2013-05-22 4(112) MaB VÅREN 2000 LÖSNINGAR 93 Uppgift 1 (2p) 2:a gradsekvation........................ 93 Uppgift 2 (2p) Räta linjen........................... 93 Uppgift 3 (1p) Vilken funktion ger grafen?.................. 94 Uppgift 4 (2p) Linjärt ekvationssystem.................... 95 Uppgift 5 (3p) Fyrsidig tärning........................ 96 Uppgift 6 (1p) Olikhet............................. 97 Uppgift 7 (2p) Rät linje............................. 98 Uppgift 8 (3p) Triangel............................. 99 Uppgift 9 (2p) Normalfördelning........................ 100 Uppgift 10 (2p) Pariserhjul och randvinkelsatsen............... 101 Uppgift 11 (3p) Sannolikhet........................... 102 Uppgift 12 (3p) Linjära grafer.......................... 104 Uppgift 13 (6p) 2:a gradsfunktion och linjärt ekvationssytem......... 105 Uppgift 14 (3p) Likformighet.......................... 108 Uppgift 15 (3p) Rät linje............................. 110
Matematik kurs 2b och 2c - Exempeluppgifter Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 5(112) OBSERVERA ATT DETTA EXEMPELMATERIAL INTE MOTSVARAR ETT HELT KURSPROV I OMFATTNING OCH INNEHÅLL. Ma2 EXEMPELUPPGIFTER LÖSNINGAR Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I # 1 (2/0/0) Linje & ekvation 1. En rät linje går genom punkterna (0, 2) och (4, 0) a) Rita linjen i koordinatsystemet. (1/0/0) b) Ange linjens ekvation (1/0/0) a) 2. Lös ekvationerna. y x a) 10 = 8 x+ b) 5 3 1 = 20 (1/0/0) (0/1/0) (0,2) 2 3. Förenkla uttrycket (3x 2) + 4(3x 1) så långt som möjligt. (0/1/0) (4,0) x Svar a) Se figur ovan 5
a) Rita linjen i koordinatsystemet. (1/0/0) Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 6(112) b) Bestäm linjen k = y x = 0 2 4 0 = 0,5 m = 2 Svar b) y = 0,5 x + 2. b) Ange linjens ekvation (1/0/0) Del I # 2 (1/1/0) Två exponentialekvationer 2. Lös ekvationerna. x a) 10 = 8 x+ b) 5 3 1 = 20 (1/0/0) (0/1/0) a) Ekvationen är en exponentialekvation. Logaritmera ekvationen. Vi får 2 3. Förenkla uttrycket (3x 2) + 4(3x 1) så långt som möjligt. log 10 x = log 8. (1) Använd FORMELSAMLINGEN. Där finns regler för logaritmer. (0/1/0) Ekvation (1) ger x log 10 = log 8 x = log 8 log 10 Svar a) x = log 8 log 10. 5 b) Ekvationen är en exponentialekvation. Börja med att flytta om faktorer så att ekvationen får formen a x = b. I FORMELSAMLINGEN finns räkneregler för potenser.
Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 7(112) Utgångspunkten är ekvationen som ger Logaritmera 5 3 x+1 = 20 5 3 3 x = 20 3 x = 20 5 3 = 4 3 log 3 x = log 4 3 och använd räknereglerna för logaritmer. Vi får x log 3 = log 4 3 x = log 4 3 log 3 Svar b) x = log 4 3 log 3. Kommentar för logaritmer Svaret kan skrivas på många olika former. Om vi använder räkneregeln log x log y = log x y kan svaret uttryckas som x = log 4 log 3 1.
2. Lös ekvationerna. x a) 10 = 8 (1/0/0) Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 8(112) x+ b) 5 3 1 = 20 (0/1/0) Del I # 3 (0/1/0) Förenkla 2 3. Förenkla uttrycket (3x 2) + 4(3x 1) så långt som möjligt. (0/1/0) (3x 2) 2 + 4 (3x 1) } {{ } } {{ } (3x) 2 2 3x 2+2 2 12x 4 9x 2 12x + 4 + 12x 4 9x 2 Svar 9 x 2 5 Del I # 4 (0/1/0) Ställ upp linjära ekvationer 4. Patrik ska handla lösviktsgodis. Han tänker köpa 5 hg godis och har 30 kronor att handla för. I godisaffären finns två olika priser på lösviktsgodis. Det dyrare godiset kostar 8 kr/hg och det billigare 5 kr/hg. Patrik frågar sig: Hur många hekto ska han köpa av de två godissorterna för att det ska kosta 30 kr? Ställ upp ett ekvationssystem vars lösning ger Patrik svar på sin fråga. (0/1/0) Inför 5. variabler. I figuren Han visas köper grafen xtill hgandragradsfunktionen av det dyra och y hg f. av det billiga godiset. Totalt köper han 5 hg godis. Vi får ekvationerna Vilket av alternativen A-D nedan skulle kunna x ange + funktionen y = 5 f kravet? 5 hg godis 8x + 5y = 30 kravet 30 kronor godis. Svar A. f ( x) = x 4x + 6 B. se ovan. 2 f ( x) = x 4x + 6 C. f ( x) = x 6x + 6 D. f ( x) = x 10x 6 E. f ( x) = x 10x + 6 2 2 2 2 (0/0/1)
kostar 8 kr/hg och det billigare 5 kr/hg. Patrik frågar sig: Hur många hekto ska han köpa av de två godissorterna för att det ska kosta 30 kr? Ställ upp ett ekvationssystem vars lösning ger Patrik svar på sin fråga. Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 9(112) (0/1/0) Del I # 5 (0/0/1) 2:a gradsfunktion & graf 5. I figuren visas grafen till andragradsfunktionen f. Vilket av alternativen A-D nedan skulle kunna ange funktionen f? A. f ( x) = x 4x + 6 B. f ( x) = x 4x + 6 C. f ( x) = x 6x + 6 D. f ( x) = x 10x 6 E. f ( x) = x 10x + 6 2 2 2 2 2 (0/0/1) Några alternativ kan uteslutas direkt. A f(x)= x 2 4x + 6 B f(x)= x 2 4x + 6 x 2 ger felvänd graf med maximum C f(x)= x 2 6x + 6 D f(x)= x 2 10x 6 f(0) = 6 och grafen ska vara ovanför x-axeln E f(x)= x 2 10x + 6 Uteslut alternativ B och D. Det finns olika alternativa lösningar på fortsättningen. Alternativ 1 En matematiskt enkel men arbetsam möjlighet är att med pq-formeln beräkna rötterna till falllen A, C och E. Om man gör det får man att fallet A har komplexa rötter och därmed skär inte grafen x-axeln. Svar Fallet A svarar mot grafen. Alternativ 2 En 2:a gradsfunktion 6 0 = x 2 + px + q har sitt max/min-värde på symmetrilinjen och ekvationen för symmtrilinjen är
Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 10(112) x = p 2 p f(x) f( p 2 2 A x 2 4x + 6 2 2 RÄTT skär inte x-axeln C x 2 6x + 6 3-3 FEL skär x-axeln E x 2 10x + 6 4-18 FEL skär x-axeln Svar Fallet A svarar mot grafen. Del II: Digitala verktyg är inte tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. Del II # 6 (2/0/0) Lös ekvationen algebraiskt. 2 6. Lös ekvationen x 6x 16 = 0 algebraiskt. (2/0/0) Använd FORMELSAMLINGEN. Där finns pq-formeln. 7. Två linjer y = 2 x + 5 och y = kx + m skär varandra i en enda punkt. Den punkten ligger på y-axeln. Vilka värden kan riktningskoefficienten k ha? Motivera. (0/1/1) 8. Kaninen Tösen från Danmark satte 1997 världsrekord i höjdhopp för kaniner. Enligt en modell gäller att Tösens höjd under hoppet ges av Ekvationen är 2 h( x) = 4x 4x 0 = x 2 6 x 16 }{{} }{{} där h är p= 6 höjden q= 16 i meter över golvet och där x är avståndet i meter längs golvet från och lösningen avstampet. blir x Hur = ( 6) högt hoppade ± 3 2 kaninen 2 ( 16) Tösen? (0/2/0) x = 3 ± 9 + 16 x = 3 ± 25 x = 3 ± 5 x 1 = 8 x 2 = 2 Svar x 1 = 8 och x 2 = 2.
Del II: Digitala verktyg är inte tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 11(112) 2 6. Lös ekvationen x 6x 16 = 0 algebraiskt. (2/0/0) Del II # 7 (0/1/1) Två linjer 7. Två linjer y = 2 x + 5 och y = kx + m skär varandra i en enda punkt. Den punkten ligger på y-axeln. Vilka värden kan riktningskoefficienten k ha? Motivera. (0/1/1) Första linjen 8. Kaninen y = Tösen 2 x + från 5 Danmark satte 1997 världsrekord i höjdhopp för kaniner. Enligt en skär y-axeln modell igäller punkten att Tösens (0, 5). höjd Andra under linjen hoppet gårges också av genom punkten (0, 5). Då kan vi bestämma m i den andra ekvationen. Stoppa in x = 0 och y = 5 i räta linjens ekvation, 2 ut trillar h( xm ) = = 4x5, 4x 5 0 {}}{ {}}{ där y h = är höjden k x i + meter }{{} m över. golvet och där x är avståndet i meter längs golvet från 5 avstampet. Riktningskoefficienten k är inte bestämd. Ekvationssystemet Hur y högt = hoppade 2 x + 5 kaninen Tösen? (0/2/0) y = k x + 5 har alltså punkten (0, 5) som lösning oberoende av värdet på k. När k = 2 är de två linjerna identiska och lösningen är inte entydig. Varje punkt på linjerna är en lösning till ekvationssystemet. Enligt kravet i uppgiften ska linjerna skära varandra i en enda punkt. Riktningskoefficienten Del II k kan alltså ha alla värden utom k = 2. Svar 6. k 2. Max 2/0/0 Kommentar Godtagbar Tecknet ansats, t.ex. är korrekt internationell insättning standard i formel för för andragradsekvationslösning inte lika med. med korrekt svar ( x 1 = 8, x 2 = 2 ) +E P +E P Kommentar I Skolverkets norm för rättning står följande. 7. Max 0/1/1 E C A Godtagbart resonemang som inte behöver vara helt fullständigt, (t.ex. k får inte vara 2 för då är linjerna parallella. ) Godtagbart resonemang som är fullständigt, (t.ex. k kan ha vilka värden som helst utom 2 för då är linjerna parallella och identiska och har då alla punkter gemensamma. ) 1C R 1C R och 1A R Bedömda elevlösningar finns till denna uppgift. Var noga med svaren på A-nivå. Glöm inte det du tycker är självklart. 8. Max 0/2/0 7 Godtagbar ansats, t.ex. bestämmer symmetrilinjen x = 0, 5 +1 C PL med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar (1 m) +1 C PL
2 6. Lös ekvationen x 6x 16 = 0 algebraiskt. (2/0/0) 7. Två linjer y = 2 x + 5 och y = kx + m skär varandra i en enda punkt. Den punkten Ma2 Skolverkets ligger på y-axeln. exempel version 2013-05-22 12(112) Vilka värden kan riktningskoefficienten k ha? Motivera. (0/1/1) Del II # 8 (0/2/0) Kaninen Tösen från Danmark 8. Kaninen Tösen från Danmark satte 1997 världsrekord i höjdhopp för kaniner. Enligt en modell gäller att Tösens höjd under hoppet ges av h( x) = 4x 4x 2 där h är höjden i meter över golvet och där x är avståndet i meter längs golvet från avstampet. Hur högt hoppade kaninen Tösen? (0/2/0) Finn maximum hos funktionen h(x) = 4 x 4 x 2. Gör en skiss av kurvan. Grafiska hjälpmedel är inte tillåtna. Maximum finns på symmetrilinjen som ligger mitt emellan funktionens nollställen. Bestäm nollställen. Enklast är att dela upp funktionen i faktorer. Vi får h(x) = 4 x }{{} x=0 (1 x) } {{ } x=1 Symmetrilinjen ligger mitt emellan 2:a gradsfunktionens nollställen, alltså x = 0,5. Maxvärdet blir h(0,5) = 4 0,5 4 0,5 2 = 1. Svar Kaninen hoppade 1 m. 7
Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 13(112) Del III: Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. Del III # 9 (2/0/0) Likformighet, flagga 9. En svensk flagga med långsidan 160 cm och kortsidan 100 cm uppfyller gällande flagglag. Anna vill göra en liten bordsflagga med kortsidan 8 cm. Hur lång ska Anna göra sin flagga för att den ska vara likformig med den stora flaggan? (2/0/0) Figuren illustrerar flagga och bordflagga. 10. Företaget Rund Plast AB tillverkar 160 bland annat innebandybollar. Varje månad tillverkas 50 000 innebandybollar. x Efter klagomål från kunder beslöt Rund 100 Plast AB:s ledning att göra 8 en kvalitetskontroll. Under en månad kontrollerades kvaliteten på var 200:e innebandyboll som tillverkades. Man hittade 11 bollar som var av dålig kvalitet. Flagga Bordsflagga a) Här ovan beskrivs en stickprovsundersökning. Hur stort var stickprovet? (1/0/0) Lösning variant 1 b) Hur många av de innebandybollar som tillverkades under en månad kan bordsflaggan antas ha varit av dålig kvalitet? (2/0/0) = x flaggan 160 = 8 100 x = 12,8 Lösning variant 2 Svar långsida kortsida = 160 100 = x 8 x = 12,8 Anna ska göra flaggan 12,8 cm lång. 8
Ma2 Skolverkets Hur lång ska exempel Anna göra sin flagga version för att 2013-05-22 den ska vara likformig med den stora 14(112) flaggan? (2/0/0) Del III # 10 (2/0/0) Statistik 10. Företaget Rund Plast AB tillverkar bland annat innebandybollar. Varje månad tillverkas 50 000 innebandybollar. Efter klagomål från kunder beslöt Rund Plast AB:s ledning att göra en kvalitetskontroll. Under en månad kontrollerades kvaliteten på var 200:e innebandyboll som tillverkades. Man hittade 11 bollar som var av dålig kvalitet. a) Här ovan beskrivs en stickprovsundersökning. Hur stort var stickprovet? (1/0/0) b) Hur många av de innebandybollar som tillverkades under en månad kan antas ha varit av dålig kvalitet? (2/0/0) a) Av totalt 50 000 bollar testas var 200:e boll. Det betyder att utgör stickprovet. 50 000 200 = 250 bollar Svar a) Stickprovet är 250 bollar. b) Av stickprovets 250 bollar är 11 dåliga. Andelen dåliga bollar i stickprovet är 11. 250 Med antagandet att samma andel av de tillverkade bollarna är dåliga blir antalet dåliga bollar 11 50 000 = 2200 stycken. 250 Svar b) 2200 dåliga bollar. 8
Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 15(112) Del III # 11 (3/0/0) Rät linje 11. En rät linje har riktningskoefficienten k = 1, 2 och skär y-axeln i punkten (0, 3) Avgör om punkten (175, 207) ligger på linjen. (2/0/0) Enligt 12. Lina FORMELSAMLINGEN och Sara är ute och gäller seglar följande. i en båt som de har lånat. De seglar mot en bro och börjar fundera på om masten är för hög för att båten ska kunna passera under bron. För att kunna bestämma mastens höjd gör de några mätningar. Ekvationen för den räta linjens är y = 1,2 x + 3 eftersom k = 1,2 är given i uppgiften och linjen går genom punkten (0, 3). Kontrollera om punkten (175, 207) ligger på linjen. Stoppa in x = 175 i linjens ekvation 175 {}}{ = 1,2 x + 3 y }{{} 213 ut trillar y = 213. När x = 175 blir y = 213 och punkten y = 207 ligger alltså inte på linjen. Svar Punkten (175, 207) ligger inte på linjen. Lina och Sara mäter avståndet från mastens fot och rakt ut mot akterstaget och finner att det är 4,50 m. Sedan mäter de avståndet från masten till akterstaget 0,80 m högre upp och parallellt med första mätningen. Det avståndet är 4,20 m. Se figur. Använd de mätningar som Lina och Sara har gjort och bestäm mastens höjd. (0/2/0)
11. En rät linje har riktningskoefficienten k = 1, 2 och skär y-axeln i punkten (0, 3) Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 16(112) Avgör om punkten (175, 207) ligger på linjen. (2/0/0) Del III # 12 (0/2/0) Likformighet 12. Lina och Sara är ute och seglar i en båt som de har lånat. De seglar mot en bro och börjar fundera på om masten är för hög för att båten ska kunna passera under bron. För att kunna bestämma mastens höjd gör de några mätningar. Lina och Sara mäter avståndet från mastens fot och rakt ut mot akterstaget och finner att det är 4,50 m. Sedan mäter de avståndet från masten till akterstaget 0,80 m högre upp och parallellt med första mätningen. Det avståndet är 4,20 m. Se figur. Använd de mätningar som Lina och Sara har gjort och bestäm mastens höjd. (0/2/0) 9
Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 17(112) Använd FORMELSAMLINGEN. Rita Figur. C 4, 20 4, 50 4, 20 4, 50 0, 80 x x 0, 80 = x 0, 80 = 1 x 4, 50 4, 20 = x = 0, 80 4, 50 D A 4, 50 4, 50 4, 20 = 12 E B AB = 4,50 DE = 4,20 BE = 0,80 BC = x CE = x - 0,80 Svar Mastens höjd är 12 m. Kommentar Små mätfel i AB eller DE ger stora fel i AC. Med DE=4,29 istället för 4,30 cm blir mastens höjd 11,6 m.
Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 18(112) Del III # 13 (0/3/0) Motion med linjära ekvationer 13. Fia springer på ett löpband som kan ställas in på olika hastigheter. På en display kan hon avläsa hur mycket energi hon förbrukar under ett träningspass på löpbandet. Energin anges i enheten kcal. Fia brukar först ställa in löpbandet på hastigheten 8 km/h ( låg hastighet) för att sedan öka hastigheten till 12 km/h ( hög hastighet). Tabellen visar exempel på Fias träningspass på löpbandet. låg hastighet Tid hög hastighet Energiförbrukning Träningspass 1 20 min 10 min 300 kcal Träningspass 2 10 min 15 min 280 kcal Hur mycket energi per minut (kcal/min) förbrukar Fia då hon springer med låg respektive hög hastighet? (0/3/0) Inför 14. variabler. En sträcka Låt AB x är vara 15 cm energiförbrukning lång. Sträckan kan i delas kcal/min i fem vid delsträckor låg hastighet på olika sätt. och y vid hög hastighet. Längden av varje delsträcka måste vara större än noll. Steg-1: Skapa ett ekvationssystem med två linjära ekvationer. 20x + 10y= 300 1:a ekvationen (1) 10x + 15y= 280 2:a ekvationen (2) Steg-2: a) LösGör ekvationssystemet en indelning av sträckan (skapa triangulärt AB så att variationsbredden system). för delsträckornas längder blir 12,5 cm. (1/1/0) b) Beroende på hur man delar in sträckan AB i fem delsträckor kan variationsbredden variera. Utred vilka värden som är möjliga för variationsbredden när man ändrar på de fem delsträckornas längder. (0/1/1)
Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 19(112) Fia brukar först ställa in löpbandet på hastigheten 8 km/h ( låg hastighet) för att sedan öka hastigheten till 12 km/h ( hög hastighet). Tabellen visar exempel på Fias träningspass på löpbandet. 20x + 10y= 300 behåll 1:a ekvationen (3) + 10y= 130 ekvation (4) = ekvation Tid (2) - 1 ekvation (1) (4) 2 låg hög Energiförbrukning Steg-3: Lös först ekvation (4) och hastighet sedan (3). hastighet Ekvation (4) ger Träningspass y = 13 och 1 med y 20 = min 13 ger ekvation 10 min (3) att x 300 = 8,5. kcal Träningspass 2 10 min 15 min 280 kcal Svar Fia förbrukar 8,5 kcal/min då hon springer med låg respektive 13 kcal/min vid Hur mycket energi per minut (kcal/min) förbrukar Fia då hon springer med hög hastighet. låg respektive hög hastighet? (0/3/0) Del III # 14 (1/2/1) Variationsbredd 14. En sträcka AB är 15 cm lång. Sträckan kan delas i fem delsträckor på olika sätt. Längden av varje delsträcka måste vara större än noll. a) Gör en indelning av sträckan AB så att variationsbredden för delsträckornas längder blir 12,5 cm. (1/1/0) b) Beroende på hur man delar in sträckan AB i fem delsträckor kan variationsbredden variera. Utred vilka värden som är möjliga för variationsbredden när man ändrar på de fem delsträckornas längder. (0/1/1) a) Dela in sträckan 15 cm i 5 delar och sortera delarna i storleksordning. Vi får 0 < x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 (1) och 15 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5. (2) 10 Variationsbredden är x max x min. Konkret i detta problem gäller 12,5 = x 5 x 1. (3) Ekvation (2) och (3) ger 15 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + 12, 5 + x 1 2,5 = x 1 + x 1 + x 2 + x 3 + x 4. } {{ } (4) 5 termer Det finns naturligtvis många olika möjligheter att välja x 1, x 2, x 3 och x 4 så att ekvation (4) blir uppfylld. Välj något enkelt, välj alla 5 termer lika. Ekvation (4) ger 0,5 = x 1 = x 2 = x 3 = x 4 Med vald lösning ger (2)
Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 20(112) 15 = 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 { }} { x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5. }{{} 13 Svar a) En möjlig indelning är 0,5 0,5 0,5 0,5 och 13 cm. b) Studera mellan vilka gränser variationsbredden kan variera. Med alla delar lika x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = 3 cm blir variaitonsbredden 0. 15 = x 1 + x 2 + x 3 + x } {{ } 4 + x }{{} 5 små termer stor term Med små värden på x 1, x 2, x 3 och x 4 blir variationsbredden x 5 x 1 < 15. Likhet kan inte uppnås eftersom 0 < x 1. Svar b) 0 variationsbredd < 15 cm. Del III # 15 (0/0/4) Vikt pappersark 15. ABCD är ett vitt rektangelformat pappersark med grå baksida (se vänstra figuren). Arket viks så att vikningslinjen går genom hörnet A och så att hörnet B hamnar på sidan CD (se högra figuren). D 15 cm C 12 cm A B Beräkna arean av den uppvikta (grå) delen av pappersarket. (0/0/4) Beräkningar som bygger på uppmätta värden godtas ej.
Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 21(112) D x B C 12 15 E A 15 B Börja med att rita figuren. Vik upp hörnet B så att det hamnar på sidan CD och kalla punkten för B (uttalas B-prim). Bestäm längden av sidan DB i triangeln ADB med hjälp av Pythagoras sats. 15 2 = 12 2 + x 2 ger x = 9. Då längden av sidan DB är 9 cm blir längden av B C 15 9 = 6 cm. D 9 B 6 C z 12 z 12 15 E z A 15 B Längden av EB och EB är lika, kalla längden för z. Triangeln B CE är rätvinklig. Pythagoras sats ger
Ma2 Skolverkets exempel version 2013-05-22 22(112) z 2 = 6 2 + (12 z) 2 } {{ } 144 24 z+z 2 0 = 36 + 144 24 z z = 36 + 144 = 180 24 24 = 7, 5 Arean hos triangeln AB E blir area = 15 7, 5 = 56, 25 2 Svar Arean är 56, 25 cm 2. Andra lösningar Triangeln ADB har vinkelsumman 180 180 = DB A + B AD + 90 Vinkeln vid punkten B är 180 och består av tre olika delar 180 = DB A + 90 + EB C Då gäller att B AD = EB C De rätvinkliga trianglarna ADB och B CE måste nu ha alla vinklar lika och är därmed likformiga. Denna kunskap kan anvädas i stället för Pythagoras sats vid lösningen av uppgiften. D B C 90 α α 90 α E α A B
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 23(112) Ma2b VT 2012 LÖSNINGAR Del I # 1 (1/0/0) Bestäm ekvationen m = 4 x = 3 y = 6 k = 1 a) Ur figuren kan x, y och m bestämmas. Vi beräknar lutningen k = y x = 6 3 = 2. Linjens ekvation blir y = 2 }{{} k Svar a) Linjens ekvation är y = 2 x + 4. x + 4 }{{} m.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 24(112) Del I # 2 (1/0/0) Förenkla Använd konjugatregeln i FORMELSAMLINGEN (x + 5)(x 5) +25 = x 2 } {{ } x 2 25 Svar Det förenklade uttrycket är x 2. Del I # 3 (2/1/0) Ekvationer, logaritmer & potenser a) x ( x + 7 ) = 0 }{{} } {{ } x=0 x= 7 Svar a) x = 0 eller x = 7.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 25(112) b) Använd FORMELSAMLINGEN Svar b) x = 1000. 10 = 10 1 1 = lg 10 100 = 10 2 2 = lg 100 1000 = 10 3 3 = lg 1000 c) Använd FORMELSAMLINGEN } 2 3 {{ 2 } x = 2 2x 2 3+x 3 + x = 2 x 3 = x Svar c) x = 3
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 26(112) Del I # 4 (1/0/0) Reell lösning? Svar Alternativ B har en icke reell lösning eftersom x = 6 är icke reell. Del I # 5 (0/1/0) Teckna en funktion När Anna har cyklat x minuter så har hon cyklat 0,35 x km. Den sträcka y hon har kvar är då y = 7 0,35 x Svar y = 7 0,35 x
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 27(112) Del I # 6 (0/1/0) Andragradsfunktion & symmetrilinje För en 2:a gradsfunktion går symmetrilinjen genom max-punkten. x = 2 x = 1 x = 4 Det finns många 2:a gradsfunktioner som har maximum för x = 1. Det finns också många 2:a gradsfunktioner som både har maximum för x = 1 och har ett nollställe (rot) i x = 4. Andragradsfunktionen är symmetrisk kring symmetrilinjen x = 1. Detta betyder att det andra nollstället är x = 2. Svar Andra roten är x = 2.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 28(112) Del I # 7 (0/1/1) Förenkla a) Använd FORMELSAMLINGEN} x 3m 7 x 2m 7 = x 3m 7 2m 7 = x m 7 Svar a) Det förenklade uttrycket är x m 7 b) Förenkla följande x x x = x + x + x } {{ } 3 x x x x 3 x = x x 3 = x 3 Svar b) Det förenklade uttrycket är x 3.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 29(112) Del I # 8 (1/2/1) Grafer i koordinatsystem
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 30(112) a) Bestäm g(2) y = 6 x = 2 Svar a) g(2) = 6 b) Bestäm för vilka x det gäller att f(x) < g(x). Börja med att bestämma gränserna där f(x) = g(x). x = 1 x = 5 Gränserna är x = 1 och x = 5. Intervallet blir 1 < x < 5. Svar b) Intervallet där f(x) < g(x) är 1 < x < 5.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 31(112) c) Kalla den nya linjen för h(x). För att linjen h(x) inte ska korsa linjen f(x) måste linjerna vara parallella. Linjen f(x) har k-värdet 1. Välj ett m-värde så att linjen med säkerhet går ovanför linjen f(x). Vårt val är m = 100. Svar c) Linjen h(x) = 100 x korsar varken f(x) eller g(x). Del I # 9 (2/0/1) Värdeminskning a) Datorn minskar från fullt värde 10 000 till 10 000 0,60 av fullt värde på ett år. Minskning är 40%. Svar a) Minskningen per år är 40%. b) I den nya funktionen ska tiden räknas i månader istället för år. Funktionen V (x) = 10 000 0,60 x 12 uppfyller kravet. När x är 12 månader är värdeminskningen 40%.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 32(112) Svar b) Funktionen blir V (x) = 10 000 0,60 x 12. Del I # 10 (0/0/2) Ekvationssystem a) Den ena ekvationen är 3 x + 2 y = 12. Ett ekvationssystem saknar lösning om två ekvationer är motsägelsefulla. Ett exempel är på en andra ekvation som gör att systemet saknar lösning är 3 x + 2 y = 10 eftersom 3 x + 2 y inte samtidigt kan vara både 12 och 10. Grafisk svarar detta mot parallella linjer som aldrig korsar varandra. Svar a) Se ovan. b) I Skolverkets svarsbilaga och rättningsnorm finns följande exempel { 3x + 2y = 12 x + y = 5 Många många fler alternativ finns. Exempelvis följande tre möjligheter.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 33(112) Svar b) Se ovan. { 3x + 2y = 12 x = 2 { 3x + 2y = 12 y = 3 { 3x + 2y = 12 x y = 1 Del II # 11 (2/0/0) Linjärt ekvationssystem Uppgiften är att lösa ekvationssytemet 2 x y = 9 1:a ekvationen 5 x + 2 y = 0 2:a ekvationen De två ekvationerna är uppställda på ett bra sätt, x under x och y under y samt konstanta tal på höger sida om likhetstecknet. Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför x i andra ekvationen. Subtrahera 2,5 1:a ekvationen från 2:a ekvationen. Vi får då: 2 x y = 9 1:a ekvationen 5 x+5 x + 2,5 y+2 y = ( 2,5) (-9) ny 2:a ekvation innehåller bara y 2 x y = 9 1:a ekvationen 4,5 y = 22,5 Lös y som blir y=5 2 x y = 9 Lös x, med y=5 blir x= 2 4,5 y = 22,5 y=5 Svar x= 2 y=5.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 34(112) Alternativ lösning, eliminera y först 2 x y = 9 1:a ekvationen 5 x + 2 y = 0 2:a ekvationen Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför y i andra ekvationen. Addera 2 1:a ekvationen till 2:a ekvationen. Vi får då: 2 x y = 9 1:a ekvationen +4 x+5 x 2 y+2 y = 18 ny 2:a ekvation innehåller bara x 2 x y = 9 1:a ekvationen 9 x = 18 Lös x som blir x= 2 2 x y = 9 Lös y, med x= 2 blir y=5 9 x = 18 x= 2 Svar Återigen får vi x= 2 y=5. Del II # 12 (2/0/0) 2:a gradsekvationer a) Använd FORMELSAMLINGEN där finns pq-formeln.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 35(112) 0 = x 2 4 }{{} p= 4 x 45 }{{} q= 45 ( 4 x = 4 ) 2 2 ± ( 45) 2 x = 2 ± ( 2) 2 + 45 = 2 ± 4 + 45 = 2 ± 49 = 2 ± 7 Svar a) x = 2 ± 7 alternativt x 1 = 9 och x 2 = 5. b) Börja med att förenkla (x + 1) 2 = x + 1 x 2 + 2 x + 1 = x + 1 x 2 + x = 0 Använd inte pq-formeln utan faktorisera istället x (x + 1) = 0 }{{} } {{ } x=0 x= 1 Svar b) x 1 = 0 och x 2 = 1.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 36(112) Del II # 13 (1/3/2) Triangel inskriven i cirkel a) Punkten M är mittpunkt i cirkeln. Då blir sträckorna MA och MB lika. Triangeln MAB är alltså likbent (två lika sidor) och därmed är de två vinklarna markerade med x lika stora. Svar a) Ovanstående visar att de två vinklarna betecknade med x är lika. b) För MAB gäller 180 = } AMB {{ } + x + x 180 2x Vinkeln AMC är rak
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 37(112) 180 2x { }} { 180 = AMB + } BMC {{ } 2x Punkten M är mittpunkt i cirkeln. Då blir sträckorna MB och MC lika. MBC är alltså likbent och därmed är MBC och MCB lika stora, kalla vinkeln för y. För MBC gäller 180 = ABC = 2x { }} { BMC + MBC y = 90 x } {{ } y y=90 x x { }} { { }} { ABM + MBC = 90 + MCB } {{ } y Svar b) Ovanstående visar att vinkeln ABC är 90. Del II # 14 (0/0/2) 2:a gradsekvation Börja med att skriva om ekvationen x 2 = (a 1) 2 x = ±(a 1) x 1 = a 1 x 2 = 1 a Svar x 1 = 1 a och x 2 = a 1.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 38(112) Del II # 15 (0/0/4) Avstånd Rita figur är alltid en bra början vid denna typ av problem y P = (x, 2x 5) x Avståndet mellan punkten P = (x, 2 x 5) och origo (0, 0) kan beräknas med hjälp av avståndsformeln eller Pythagoras sats. Avståndet ska vara 10 längdenheter. Vi får 10 = x 2 + (2 x 5) 2 100 = x 2 + (2 x 5) 2 100 = x 2 + 4 x 2 20 x + 25 0 = 5 x 2 20 x 75 Normalisera (alltså dividera med 5 så att talet framför x 2 blir 1). 0 = x 2 4 x 15. Använd pq-formeln x = 2 ± 2 2 + 15 = 2 ± 19. Den intressanta roten i första kvadraten är x = 2 + 19. Svar x-koordinaten för punkten P är x = 2 + 19.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 39(112) Del III # 16 (2/0/0) Likformiga rektanglar Det finns två olika fall av likformighet. Figuren illustrerar. x 12 6 4 1:a fallet y 2:a fallet 12 Rektangel A Rektangel B Rektangel B 1:a fallet korta sidan långa sidan = 4 6 = y 12 ger y = 8. 2:a fallet korta sidan långa sidan = 4 6 = 12 x ger x = 18. Svar Sidan är 8 alternativt 18 cm.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 40(112) Del III # 17 (3/0/0) Parallella linjer y = 8 y = 10 x = 9 x = 11 Linjer som är parallella har lika k-värde (lutning). Linjen AB har lutningen k AB = 8 och 9 linjen CD har k CD = 10. Lutningarna är olika eftersom 8 10. 11 9 11 Svar Linjerna är inte parallella.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 41(112) Del III # 18 (2/0/0) Stek 77 C Frågan gäller om steken når temperaturen 77 C före eller efter klockan 18.00 när den stoppas i ugnen 14.30 och temperaturen ökar enligt T (t) = 16,5 1,0085 t. Tiden mellan 14.30 och 18.00 är 210 minuter. T (210) = 16,5 1,0085 210 = 97,6 Svar Steken når temperaturen 77 C innan klockan 18.00.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 42(112) Del III # 19 (2/3/1) Två modeller för värdeminskning a) Vad ska Hugo och Inez betala för bilen enligt Hugos modell? När Hugo och Inez köper bilen är t = 0. V (t) = 800 t 2 24 000 t + 180 000 V (0) = 180 000 Svar a) 180 000 kr b) Beräkna V (15). 180 000 360 000 { }} { { }} { V (15) = 800 15 2 24 000 15 +180 000 = 0 Svar b) Värdet efter 15 år är noll.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 43(112) c) Inez modell är W (t) = 180 000 12 000 x Beskriv två likheter mellan de båda modellerna för hur bilens värde minskar. y 180 000 Hugo Inez Hugo 0 0 15 x Inez Undersök de två funktionerna. Skissa funktionernas grafer. Likheterna är att V (0) = W (0) och V (15) = W (15). Svar c) Likheterna är att V (0) = W (0) och V (15) = W (15) d) Modeller blir ofta orimliga om de används utanför det område de är avsedda för. Svar d) Skolverkets rättningsnorm ger följande svar: Kommentar Är verkligen ett negativt värde orimligt? En skrotbil i naturen är en miljörisk som måste tas om hand. Detta kostar och är naturligtvis ett negativt värde.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 44(112) Del III # 20 (2/3/0) Normalfördelade tomatburkar Använd FORMELSAMLINGEN a) Med µ = 395 och µ + σ = 400 ligger 50% av burkarna med vikter under 395 g och 34% av burkarna med vikter mellan 395 g och 400 g. 50% +34% = 84%. Svar a) 84% av burkarna har en vikt under 400 g.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 45(112) b) Med kravet att endast 100%-97,7%=2,3% av burkarna ska ha en vikt under 400 g får vi ekvationen µ 2 σ = 400. Med σ = 5 blir µ = 400 + 2 5 = 410 g. Svar b) µ=410 g. Del III # 21 (1/1/1) Medelvärde och median Skriv talen i storleksordning. Ett exempel är 5 }{{} 6 7 median, talet i mitten medelvärde av 5, 6, 7 är 6 där medianen är lika med medelvärdet. Detta gäller också för tre godtyckliga heltal som följer på varandra. n } n {{ + 1 } n + 2 median, talet i mitten medelvärde av n, n + 1, n + 2 är n + 1 Svar Det gäller alltid att medelvärdet av tre på varandra följande heltal är lika med talens median.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 46(112) Del III # 22 (0/1/2) Modellering, regression
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 47(112) Svar I Skolverkets rättningsnorm finns följande svar Kommentar Notera att Skolverket accepterar anpassning med ögonmått och linjal. Detta är både enkelt och farligt då m-värdet är det y-värde som linjen har då x = 0. I diagrammet saknas x = 0. Bestäm k genom att bestämma x och y. Bestäm sedan m genom att välja en punkt (x 0, y 0 ) på linjen och lösa ekvationen y 0 = k x 0 + m Alternativt kan du välja en punkt (x 0, y 0 ) på linjen och sedan skriva linjens ekvation som y y 0 = k (x x 0 ). Detta är ett alternativ till att skriva linjens ekvation enligt mallen y = k x + m. Kommentar Regressionsmodeller kräver datorer med lämplig programvara eller miniräknare av typen TI 82. För mindre problem duger miniräknare. Arbetsgången blir då att först skapa en tabell med x- och y-värden och göra linjär regression för att beräkna k- och m-värde (som i TI 82 kallas a- och b-värde enligt amerikanskt språkbruk). Exakt hur detta går till framgår av bruksanvisning eller bättre ett youtube-klipp som kan hittas via URL-en http://kursplanering.se/node/619.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 48(112) Del III # 23 (0/3/4) Trianglar & kvadrater a) Varje sida är 24 3 = 8 m eftersom triangeln är liksidig. 8 h 8 4 8 För att beräkna triangelns area A använder vi FORMELSAMLINGEN. Basen är känd, b = 8 m, men höjden h är inte känd och måste beräknas med Pythagoras sats.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 49(112) Enligt Pythagoras sats får vi 8 2 = 4 2 + h 2 h = 8 2 4 2 6,93 A = 8 6,93 27,7 2 Svar a) Arean är 27,7 m 2. b) Med ena kvadratens sida x m och andra 6 x m blir snörets totala längd 24 m. 6 x x 6 x x Kvadraternas totala area blir A = (6 x) 2 } {{ } 36 12x+x 2 +x 2 A = 36 12 x + 2 x 2 (1) Välj x så att arean blir 17 m 2. Lös ekvationen 17 = 36 12 x + 2 x 2. Flytta om termerna i ekvationen. 0 = 19 12 x + 2 x 2 0 = x 2 6 x + 19 2 Beräkna x med hjälp av pq-formeln.
Ma2 vt2012 version 2013-05-22 50(112) x 1,2 = 3 ± 3 2 19 2 x 1,2 = 3 ± 9 9,5 x 1,2 = 3 ± 0,5 } {{ } komplext tal Svar b) Reell lösning saknas. Det går inte att dela snöret i två delar så att kvadraternas sammanlagda yta blir 17 m 2. Kommentar Ekvation (1) som beskriver kvadraternas totala yta har minimum 18 m 2 då de två kvadraterna är lika stora. 36 18 17 0 0 3 6
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 51(112) MaB VT 2005 LÖSNINGAR Del I # 1 (4/0) Lös ekvationen Denna uppgift hör både till kursen Ma2 och Ma1 a) Lös ekvationen x 2 + 2 x 8 = 0. Använd FORMELSAMLINGEN I vårt fall är p = 2 och q = 8. Detta ger x 1 = 1 + 1 2 ( 8) = 1 + 9 = 1 + 3 = 2 x 2 = 1 1 2 ( 8) = 1 9 = 1 3 = 4 Svar a) x 1 = 2 och x 2 = 4 TIPS: Kontrollera alltid att lösningen uppfyller ekvationen. b) Lös ekvationen 0 = 40 x + 10 x 2 Denna ekvation kan givetvis lösas med pq-formeln men den är lättare att lösa genom faktorisering. Dela upp i faktorer 0 = 10 (4 } {{ + x } ) }{{} x x= 4 x=0 Svar b) x 1 = 4 och x 2 = 0
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 52(112) Del I # 2 (1/0) Statistik, variationsbredd Denna uppgift hör till kursen Ma2. Företag högsta lägsta variationsbredd Hamburgerbar 35 18 17 IT-företag 50 20 30 störst Skola 58 38 20 Svar IT-företaget har störst variationsbredd, 30 år.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 53(112) Del I # 3 (2/0) Bestäm vinkeln Denna uppgift hör till kursen Ma2. a) Bestäm vinkeln x. 1:a varianten: yttervinkelsatsen ger 144 = 104 + }{{} x x=40 2:a varianten: vinkelsumman i en triangel är 180 Svar a) 180 = (180 144 ) } {{ } summan av sidovinklar b) Vilka satser Vinkeln är 40 + 104 + x }{{} x=40 Svar b) A Pythagoras sats NEJ B Vinkelsumman i en triangel är 180 JA tillsammans med C C Summan av sidovinklar är 180 JA tillsammans med B D Yttervinkelsatsen JA ensam E Topptriangelsatsen NEJ F Randvinkelsatsen NEJ
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 54(112) Del I # 4 (3/0) Räta linjen Denna uppgift hör till kursen Ma2.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 55(112) a) Bestäm ekvationen för linjen som är inritad i koordinatsystemet. I FORMELSAMLINGEN finns formeln y = k x + m. Då x = 0 är y = m. Titta i figuren, då x = 0 är y = 3, alltså har vi nu y = k x + 3. Återstår att bestämma k. Enligt FORMELSAMLINGEN gäller k = y 2 y 1 x 2 x 1 Med punkterna (0, 3) och (4, 5) får vi k = 5 3 4 0 = 2 Svar a) y = 2 x + 3 b) Avgör om punkten ( 4, 11) ligger på linjen. Stoppa in x = 4 i linjens ekvationen y = 2 x + 3 Svar b) = 2 ( 4) + 3 = 8 + 3 = 11 det stämmer! Punkten ( 4, 11) ligger på linjen. c) Det finns många linjer som har riktningskoefficienten 3 4. y 3 0............ 4 Svar c) y = 3 4 x + 0 x Se någon av figurerna ovan y 5 2.............. 4 y = 3 4 x + 2 x
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 56(112) Del I # 5 (2/0) Linjärt ekvationssystem Denna uppgift hör till kursen Ma2. Uppgiften är att lösa ekvationssytemet 2 y + 2 x = 16 1:a ekvationen y 2 = 2 x 2:a ekvationen De två ekvationerna är uppställda på ett rörigt sätt, x finns på både vänster och höger sida om likhetstecknet. Börja med att städa upp. Samla okända, x och y, på vänster sida och konstanta tal på höger sida om likhetstecknet. 2 x + 2 y = 16 1:a ekvationen 2 x + y = 2 2:a ekvationen Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför x i andra ekvationen. Addera 1:a ekvationen till 2:a ekvationen. Vi får då: 2 x + 2 y = 16 1:a ekvationen 2 x+2 x + y+2 y = 2 + 16 ny 2:a ekvation innehåller bara y 2 x + 2 y = 16 1:a ekvationen 3 y = 18 Lös y som blir y=6 2 x + 2 y = 16 Lös x, med y=6 blir x=2 3 y = 18 y=6 Svar x=2 y=6. Kommentar Metoden som används ovan kallas triangulering och bakåtsubstitution och är ett systematiskt sätt att hitta lösningar till system av linjära ekvationer. För ett problem som detta med två obekanta behövs knappast någon systematisk metod. För stora problem med 10-tals, 100-tals eller 1000-tals obekanta behövs dock en systematisk metod. Redan problem med 3 obekanta kräver en systematisk metod. Stora problem kan naturligtvis inte hanteras med räkning för hand utan kräver dator. Professionella program för att lösa linjära ekvationssystem är Matlab (dyr licens) eller Octave (fritt) som båda använder triangulering och bakåtsubstitution.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 57(112) Del I # 6 (2/0) Lös olikhet Denna uppgift hör till kursen Ma1. a) För olikheter gäller att du kan addera eller subtrahera ett tal från bägge sidor i en olikhet multiplicera eller dividera bägge sidor i en olikhet med ett tal > 0. vid multiplikation eller division med ett negativt tal vänds olikheten. Alltså om a < b så är a > b. 3 x + 13 < 7 3 x + 13 13 < 7 13 subtrahera 17 från bägge sidor 3 x < 6 x < 2 dividera bägge sidor med 3 Svar a) x < 2. b) Kontrollera alternativen A F. x 3 x + 13 < 7 Falskt/Sant A -7 21 + 13 < 7 8 < 7 SANT B -6 18 + 13 < 7 5 < 7 SANT C -2 6 + 13 < 7 7 < 7 FALSKT D 2 6 + 13 < 7 19 < 7 FALSKT E 6 18 + 13 < 7 31 < 7 FALSKT F 7 21 + 13 < 7 34 < 7 FALSKT Svar b) Alternativen A och B är uppfyllda.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 58(112) Del I # 7 (0/2) Två tärningar Denna uppgift hör till kursen Ma1. Vilket är det sannolikaste utfallet vid tärningskast med två sexsidiga tärningar. Av de två tabellerna framgår att 7 är det sannolikaste utfallet. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Svar 7 är det mest sannolika utfallet. totalt kombinationer 1 2 1+1 3 1+2 2+1 4 1+3 2+2 3+1 5 1+4 2+3 3+2 4+1 6 1+5 2+4 3+3 4+2 5+1 7 1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1 8 2+6 3+5 4+4 5+3 6+2 9 3+6 4+5 5+4 6+3 10 4+6 5+5 6+4 11 5+6 6+5 12 6+6 13
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 59(112) Del I # 8 (0/1) Ge ekvationen för en linje Denna uppgift hör till kursen Ma2. Det finns naturligtvis många linjer som inte skär grafen till y = x 2 4 x. En rät linje som aldrig skär grafen är y = 5. Svar Linjen y = 5 skär aldrig grafen. Kommentar Villkoret för att linjen y = k x + m ska skära grafen till y = x 2 4 x är att ekvationen k x + m = x 2 4 x har (reella) lösningar. Rötterna till x 2 (4 + k) x m = 0 är x 1,2 = (2 + (2 k) ± + k 2 2 )2 + m som saknar lösning då (2 + k 2 )2 + m < 0.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 60(112) Del II # 9 (2/0) Förenkla Denna uppgift hör till kursen Ma2. a) Använd FORMELSAMLINGEN. Kvadreringsregler ger (x 4) 2 16 = x 2 8 x } {{ } x 2 8 x+16 Svar a) x 2 8 x alternativt (x 8) x. b) x (2 x + 5) 2 (3 + x) = 2 x 2 + 3 x 6 } {{ } } {{ } 2 x 2 +5 x 6+2 x Svar b) 2 x 2 + 3 x 6
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 61(112) Del II # 10 (2/1) Sannolikhet Denna uppgift hör till kursen Ma1. a) sannolikhet att första spelaren kommer från Umeå IK är antal spelare från Umeå IK = 6 totala antalet spelare 20 = 0,3 Svar a) 0,3 alternativt 3 alternativt 30%. 10 b) Sannolikheten att första spelaren kommer från Umeå IK är 6. När första spelaren 20 är utplockad återstår 19 spelare varav 5 är från Umeå IK. Sannolikheten att andra spelaren kommer från Umeå IK är antal kvarvarande spelare från Umeå IK = 5 totala antalet kvarvarande spelare 19 Sannolikheten båda spelarna kommer från Umeå IK är 6 20 5 = 0,0789 8% 19 Svar b) 0,08 alternativt 8%.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 62(112) Del II # 11 (4/0) Linjärt ekvationssystem, godis Denna uppgift hör till kursen Ma2. Svar a) x betyder vikt av billigt godis och y betyder vikt av dyrt godis. Svar b) Första ekvationen betyder att totala vikten av billigt och dyrt godis ska vara 5 hekto. Andra ekvationen betyder att priset av billigt och dyrt godis ska vara 30 kronor.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 63(112) c) Ekvationerna som ska lösas är x + y = 5 1:a ekvationen 4,90 x + 7,90 y = 30 2:a ekvationen Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför x i andra ekvationen. Subtrahera 4,9 1:a ekvationen från 2:a ekvationen. Vi får då: x + y = 5 1:a ekvationen 4,90 x-4,90 x + 7,90 y-4,90 y = 30-4,90 5 ny 2:a ekvation innehåller bara y x + y = 5 1:a ekvationen 3,00 y = 5,50 2:a ekvationen ger y=5,50/3=1,83 x + y = 5 med y=1,83 blir x=3,17 3,00 y = 5,50 Svar c) 3,17 hekto billigt godis och 1,83 hekto dyrt godis.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 64(112) Del II # 12 (0/2) Likformighet Denna uppgift hör till kursen Ma2.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 65(112) Använd FORMELSAMLINGEN, där finns Inför beteckningar (A, B, C, D och E) enligt figuren nedan. 2335 m 590 m C skalenlig figur CE =1132 m BE = x m 2000 m 255 m D E 1745 m 0 m A B Använd transversalsatsen CD AD = CE BE ger 590 255 255 Svar 862 m. = 1132 x x = 1132 255 590 255 = 861,67 862 Kommentar Det finns flera olika varianter på lösning som ger rätt svar.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 66(112) Del II # 13 (0/2) Röstning och bortfall Denna uppgift hör till kursen Ma2. 45% av befolkningen har röstat. Av dessa 45% har 84% röstat JA. Totalt av befolkningen har 0,45 0,84 = 0,387 röstat JA. Detta är det minsta antalet tänkbara JA-röster. Om alla 55% som avstod att rösta valde JA blir andelen JA-röster 0,378+0,55=0,928. Svar Antalet JA-röster kan vara från lägst 37,8% till högst 92,8%. Kommentar Ett alternativt sätt att lösa problemet på är att konstatera att 100-84=16% av de röstande valt NEJ. Dessa utgör andelen 0,45 0,16= 0,072 av befolkningen. Om hela övriga befolkningen röstar JA så blir andelen JA-röster 1,00 0,072=0,928.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 67(112) Del II # 14 (3/2/ ) Grafer Denna uppgift hör till kursen Ma2.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 68(112) Svar a) Rätta kombinationer är Svar b) Det ska stå 50 vid punkten P då det från början fanns 50 bakterier i odlingen. Svar c) Det ska stå 20 vid punkten Q. d) Den rektangulära hundgården har en sida som är x meter och en sida som är z meter. Hundgårdens omkrets är x + z + x + z = 40 meter. Detta ger 2 x + 2 z = 40 eller förenklat z = 20 x. Arean y = x z = x (20 x). Svar d) y = x (20 x).
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 69(112) Del II # 15 (0/3/ ) Bildformat Denna uppgift hör till kursen Ma2. Enligt Pythagoras gäller höjd 2 + bredd 2 = diagonal 2 Enligt uppgiften gäller att bildformat = bredd höjd vilket ger
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 70(112) bredd = bildformat höjd och med Pythagoras enligt ovan får vi höjd 2 + bildformat 2 höjd 2 = diagonal 2 höjd 2 diagonal 2 = 1 + bildformat 2 Bildens area är area = bredd höjd area = bildformat höjd höjd diagonal 2 area = bildformat 1 + bildformat 2 = diagonal2 bildformat 1 + bildformat 2 I bråket förkommer bildformat linjärt i täljaren kvadratiskt i nämnaren. Detta betyder att area minskar när bildformat ökar (bildformat>1). En bredare bild ger ett större värde på bildformat och därmed en mindre bildyta, area, under förutsättning att diagonalen är konstant. Med formatet 4 blir ytan 48% och med formatet 16 blir ytan 43% av 3 9 diagonalmåttet i kvadrat. Notera att uppgiften 28 tum inte påverkar resonemanget. (Formatet 1 ger största bildytan men detta hör inte till uppgiften.) 1 Svar Standardformatet 4 3 ger största bildytan för ett givet mått på bildytans diagonal.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 71(112) Del II # 16 (0/2/ ) Geometriskt bevis Denna uppgift hör till kursen Ma2. Skolverket ger följande exempel på en lösning som ger full poäng och två MVG-kvaliteter. 1. Formulerar och utvecklar problem, använder generella metoder/modeller vid problemlösning. 2. Genomför bevis och analyserar matematiska resonemang.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 72(112) Del II # 17 (3/4/ ) Tändstickor och formler Denna uppgift hör till kursen Ma1. Problemet består av bakgrundsinformation och fyra deluppgifter. 1:a deluppgiften Använd FORMELSAMLINGEN. Enligt FORMELSAMLINGEN gäller
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 73(112) k = y 2 y 1 x 2 x 1. Välj två punkter ur tabellen k = 2 1 5 3 = 1 2. Vi har nu y = 1 2 x + m Bestäm m. Välj en punkt i tabellen, exempelvis x = 5 och y = 2. Då får vi 2 = 1 2 5 + m vilket ger m = 1. Linjens ekvation blir 2 y = 1 2 x 1 2. Rita punkterna och linjen i ett koordinatsystem. y 3 2 1 3 5 7 x Svar 1:a deluppgiften Linjens ekvation blir y = 1 2 x 1 2. 2:a deluppgiften Använd formeln y = 1 x 1 med x = 20. Vi får då y = 9,5 men eftersom det inte finns 2 2 halva trianglar är svaret 9 trianglar. Svar 2:a deluppgiften 9 hela trianglar.
Ma2 vt2005 version 2013-05-22 74(112) 3:e och 4:e deluppgiften Varje gång vi utökar ett antal n-hörningar med ytterligare en n-hörning krävs n 1 tänstickor eftersom vi utnyttjar en tändsticka av de tidigare lagda stickorna. En ökning av antalet tändstickor x med n 1 ska alltså ge en ökning av antalet n-hörningar y med 1 enhet. Vi kan då skriva upp formeln x y = n 1 + m där m är okänd. För att bestäma m konstaterar vi att då x = n är y = 1 vilket ger m = 1. Det sökta sambandet är n 1 y = x n 1 1 n 1. Svar 3:e deluppgiften För fyrhörningen gäller att n = 4 vilket ger y = x 3 1 3 Svar 4:e deluppgiften För n-hörningen gäller y = x n 1 1 n 1