Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 24--4 Sal () TER,TERD (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som avses) Tid 8: 3: Kurskod TSRT9 Provkod TEN Kursnamn/benämning Reglerteknik Institution ISY Antal uppgifter som ingår 5 i tentamen Jour/kursansvarig Johan Löfberg (Ange vem som besöker salen) Telefon under skrivtiden 3-2834,7-339 Besöker salen cirka kl. 9:, : och 2:3 Kursadministratör/ kontaktperson Ninna Stensgård, 3-282225, ninna.stensgard@liu.se (Namn, telefonnummer, mejladress) Tillåtna hjälpmedel Övrigt Vilken typ av papper Rutigt ska användas, rutigt eller linjerat Antal exemplar i påsen. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori eller liknande bok i reglerteknik 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Inläsningsanteckningar får finnas i böckerna.
TENTAMEN I TSRT9 REGLERTEKNIK SAL: TER,TERD TID: 24--4 kl. 8: 3: KURS: TSRT9 Reglerteknik PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, tel. 3-2834,7-339 BESÖKER SALEN: cirka kl. 9:, : och 2:3 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, 3-282225, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL:. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori eller liknande bok i reglerteknik 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Inläsningsanteckningar får finnas i böckerna. LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum 24-2-4, kl. 2.3 3. i Ljungeln, B- huset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
. (a) I ett valsverk pressas plåt till lämplig tjocklek genom att plåten drivs genom kraftansatta rullar som roterar med konstant hastighet. Beskriv problemet ur ett reglertekniskt perspektiv med referenssignal r(t), mätsignal y(t), insignal u(t), samt ge ett förslag på en regulatorstruktur. (3p) Figur : Valsverk i uppgift a (b) I figuren nedan visas Bodediagrammet för ett system G(s). Baserat på figuren, ge ett välmotiverad förslag på överföringsfunktionen G(s) (dvs, ange nämnare och täljare) (3p) 6 Bode Diagram 4 2 2 4 6 8 9 2 5 8 2 3 4 Figur 2: Bodediagram för G(s) i uppgift b. 2
(c) Hur stor blir amplituden på utsignalen från systemet G(s) = s 2 + s +, då transienterna dött ut, om insignalen är u(t) = 2 sin t? (2p) (d) En regulator definieras enligt s U(s) = ( +. s + ) E(s) Förklara vad detta är för regulator. Förklara särskilt noggrant vad termen är. (2p) s s+ 3
2. (a) Para ihop stegsvaren i figur 3 med polerna i figur 4 (2p) Step response I Step response II.5.5 Amplitude Amplitude.5.5 2 4 6 8 2 Time (sec) 2 4 6 Time (sec) Step response III Step response IV.8.8 Amplitude.6.4 Amplitude.6.4.2.2 2 3 4 5 Time (sec) 2 4 6 8 Time (sec) Figur 3: Stegsvar i uppgift 2a Pole map A Pole map B Imaginary Axis.5.5 Imaginary Axis.5.5 2.5 2.5.5 Real Axis 5 4 3 2 Real Axis Pole map C Pole map D 2 Imaginary Axis.5.5 Imaginary Axis.8.6.4.2 Real Axis 2.5.5 Real Axis Figur 4: Poler i uppgift 2a 4
(b) Para ihop de öppna systemens Bodediagram i figur 5 med Bodediagramen för slutna systemet i figur 6 (en P-regulator med förstärkning har använts, U(s) = R(s) Y (s)). (4p) 2 4 6 45 Bode Diagram A 9 2 2 5 5 5 9 8 Bode Diagram C 27 2 2 2 4 45 Bode Diagram B 9 2 2 5 5 5 9 8 Bode Diagram D 27 2 2 Figur 5: Öppna system i uppgift 2b 5
2 4 6 45 Bode Diagram I 9 2 2 4 6 45 Bode Diagram II 9 2 2 5 5 9 8 27 Bode Diagram III 2 2 5 5 5 9 8 Bode Diagram IV 27 2 2 Figur 6: Slutna system i uppgift 2b (c) Tag fram överföringsfunktionen från r till y i figur 7 (4p) r + F (s) u G (s) + + y u,ref + F 2 (s) u 2 G 2 (s) Figur 7: Systemuppställning i uppgift 2c 6
3. (a) Skriv systemet ÿ(t) + 2y(t) = u(t) + 3u(t) på tillståndsform (2p) (b) En elmotor beskrivs av överföringsfunktionen respektive tillståndsbeskrivningen ( ) ( ) ẋ(t) = x(t) + u(t) G(s) =. s(s + ) ( ) y(t) = x(t) Man har valt att styra motorn med en PD-regulator, U(s) = (K P + K D s)(r(s) Y (s)). Visa att det finns en tillståndsåterkoppling ) u(t) = (l l 2 x(t) + l r(t) som ger slutna systemet samma poler som PD-regulatorn och ange hur parametrarna l och l 2 skall väljas för att erhålla detta. l ska väljas så att inget stationärt fel erhålls vid konstanta referenssignaler. Hur skiljer sig de slutna systemen åt? (5p) (c) Antag att en observatör skall användas då enbart x (t) kan mätas. Visa att överföringsfunktionen från mätningen y(t) till skattningen ˆx 2 (t) ges av M(sI (A BL KC)) )K där M är en lämpligt vald matris. (3p) 7
4. Man vill ta fram en regulator för en elmotor. Utsignalen är vinkeln på motorn och insignalen är den spänning som man driver elmotorn med. Bodediagrammet för motorns överföringsfunktion finns i figur 8. (a) Antag att referenssignalen är ett steg. Vad blir det stationära reglerfelet e(t) = r(t) y(t) om en stabiliserande P-regulator u(t) = K P e(t) används? (2p) (b) Då en P-regulator med K P = används blir det återkopplade systemet alldeles för långsamt. Ta fram en regulator som uppfyller följande krav: 2.5 ggr så snabbt slutet system jämfört med P-regulatorn. Fasmarginal på 5. En linjärt växande referenssignal r(t) = t skall kunna följas utan stationärt reglerfel (dvs vi skall snurra motorn med konstant vinkelhastighet och då exakt följa den ökande önskade vinkeln) (6p) (c) Hur stor tidsfördröjning kan tolereras i din regulator utan att fasmarginalen sjunker under 25? (2p) 8
5 Bode Diagram Gm = 24.5 db (at 5.7 rad/sec), Pm = 55.7 deg (at.3 rad/sec) 5 5 45 9 35 8 225 27 2 2 3 Frequency (rad/sec) Figur 8: Öppna systemet för motorn i uppgift 4. 9
5. Med hjälp av modellen 2 G(s) = s 3 + 7s 2 + 4s har man tagit fram en P-regulator med K P = som ger ett stabilt slutet system. Komplementära känslighetsfunktionen T (s) visas i figur 9. (a) Det sanna systemet G (s) skiljer sig från modellen och ges av G 2 + γ (s) = s 3 + 7s 2 + 4s För vilka värden på γ kan man använda robusthetskriteriet för att garantera att det slutna systemet som fås när G (s) återkopplas med den valda P-regulatorn också är stabilt? (4p) 2 Bode Diagram 2 4 6 8 2 Figur 9: Bodediagram för T (s) i uppgift 5a. (b) Antag att osäkerheten är frekvensberoende och att det verkliga systemet ges av G 2 + γ( + sα) (s) = s 3 + 7s 2 + 4s Utred kvalitativt för vilka kombinationer av γ och α som robusthetskriteriet fortfarande kan användas för att garantera stabilitet. (6p)
Notation and equations possibly unique to the standard course book. Repeated here for exchange students with alternative course books. Robustness criteria Given a feedback controller F (s) stabilizing a model G(s). Let the real system be given by G (s) = G(s)( + (s)), Now assume that G (s) and G(s) have the same number of poles in the right half plane (including the origin), and F (s)g(s) and F (s)g (s) both tend to when s goes to infinity. Let T (s) denote the complimentary sensitivity function arising when G(s) is controlled using F (s). If (iω) T (iω) ω the closed loop system is stable when G (s) is controlled using F (s) Frequency compensation F lead (s) = K τ Ds + βτ D s +, F lag = τ Is + τ I s + γ τ D = ω c,desired β, τ I = ω c,desired, F lead (iω c,desired ) = K/ β 7 6 5 4 3 2..2.3.4.5.6.7.8 β Figur : Phase advancement as a function of β. Frequency response y(t) = G(iω) sin(ωt + arg(g(iω)) State-feedback u(t) = Lx(t) + l r(t) Observer ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) + K(y(t) C ˆx(t))