Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F5 Diskreta variabler Kursens mål beskriva/analysera data formellt verktyg strukturera omvärlden innehåll osäkerhet regelbundenhet modell Modeller Beskriver sannolikheter för att observera saker vi kan observera Bernouilli Binomial Hypergeometrisk fördelning Poisson 3
Fördelningar: Hypergeometrisk I en skål finns gröna marker och 3 röda. Drag två marker. Vad är sannolikheten att vi fått exakt grön marker? Låt vara antal gröna marker vid två dragningar u.å. Variablen antar värdena:,,. Variablen är hypergeometriskt fördelad och har slh-funktion av formen P hur beräknar vi antalet gynnsamma utfall och totala ant utfall? Fördelningar: Hypergeometrisk Det totala antalet sätt vi kan dra två marker på är 5 5! 5!! 5 Antal utfall som är gynnsamma för : antal sätt röd i :a röd i :a; antal sätt välja av tre 3 3! 3!! 3 P 5 5 3 Fördelningar: Hypergeometrisk Antal utfall som är gynnsamma för : antal sätt grön i :a och röd i :a antal sätt grön i :a och röd i :a Notera: ordning ej av betydelse, alltså Antal utfall som är gynnsamma för : antal sätt dra grön och röd antal sätt dra grön antal sätt dra röd 3! 3! 6!!!! 3 P 5 alternativ: se dragningarna som ober. försök 6 6
Fördelningar: Hypergeometrisk Antal utfall som är gynnsamma för : antal sätt grön i :a och grön i :a!!! P 5 7 Fördelningar: Hypergeometrisk Om är Hypergeometriskt fördelad med parametrarna, och skriver vi Hyp,, Den Hypergeometriskt fördelad antar värdena:,,, min,. Har sannolikhetsfunktionen: Tolkning: sannolikheten att vid dragning av objekt utan återläggning dra st element det finns av totalt jfr binomial: med återläggning / 8 Fördelningar: Poisson Siméon Denis Poisson 78-8: antal Preussiska soldater ihjälsparkade av mulor Typiskt: poissonfördelad variabel beskriver antal,,, 3,, 5, 6, Antal dgr under ett år då en 5-punkts förändring sker på Dow Jones Antal samtal till en tfn-växel under en given period Antal mikrober på ett glas 9 3
Fördelningar: Poisson Slh-funktionen för en poissonfördelad variabel beror av en parameter λ > λ λ λ En poissonfördelad variabel Poissonλ har sannolikhetsfunktion Fördelningar: Poisson λ λ! Antag att för antal samtal till en tfn-växel under en min Poisson vad är sannolikheten att det kommer in exakt samtal under tio-minper.? Fördelningar: Poisson Poisson slh att det kommer in exakt samtal under tio-minper. P! 6,83,65
Modeller: fördeln styrs av parameterar Bernouillí: / / 9/ Binomial: 5 / 5 / 3 / Hyperg.: 5 5 Poisson: λ λ λ 7 5 3 Fördelningsfunktionen Tag exemplet Binomial3,/ fördelningen ger oss: P 3, 65 kanske mer intressant: 3, 5 5 3,5 P P{ } { }... { } P P P Fördelningsfunktionen Om är en diskret stokastisk variabel som antar värdena,,,, där < < < kallar vi P för den stokastiska variabelns fördelningsfunktion. Fördelningsfunktionen kan alltså skrivas alla P 5 5
6 5--7 Johan Koskinen, Department of Statistics 6 Fördelningsfunktionen Antag att för antal samtal till en tfn-växel under en min Poisson vad är slh att det kommer in högst samtal under tio-minper.? P!!!,38 8,83 5--7 Johan Koskinen, Department of Statistics 7 Fördelningsfunktionen Binomial, Bernoulli Hyp,, Poisson! λ λ 5--7 Johan Koskinen, Department of Statistics 8 Fördelningsfunktionen Tag exemplet Binomial3,/ fördelningen ger oss: lägg ihop stolparna! alla
Väntevärde Om är en diskret stokastisk variabel hur beskriva dess sannolikhetsfördelning? Sammanfatta ex: mest sannolikt värde tyngdpunkt/mest centralt värde väga värden med sannolikheterna förväntad vinst 9 Väntevärde Mest sannolika enskilda värde på är sannolikheten att hamna här < sannolikheten att hamna här Väntevärde tyngdpunkt/mest centralt värde,5 minsta avståndet till alla värden P 3 / 7
Väntevärde väga ihop värdena med dess sannolikheter Väntevärde Antag att vi vinner dollar med slh vi vinner dollar med slh Hur stor vinst kan vi förvänta oss? Svar: Om vi har frekventisttolkning av sannolikheter: den genomsnittliga vinsten vi skulle få om vi spelade många ggr 3 Väntevärde: definition Om är en diskret stokastisk variabel som antar värdena,,, med sannolikhetsfunktionen är väntevärdet för : P alla 8
Väntevärde för funktioner av s.v. Om är en diskret stokastisk variabel som antar värdena,,, med sannolikhetsfunktionen och är en funktion av är väntevärdet för : alla P 5 Väntevärde för funktioner av s.v. Om diskret stokastisk variabel,5 är en funktion av ; är väntevärdet för : summan av staplarna: 6 3 Väntevärde för funktioner av s.v. Om diskret stokastisk variabel är en funktion av ; är väntevärdet för : summan av staplarna: 8 7 9
Väntevärde för funktioner av s.v. Väntevärdet är en lineär operator: Om är en diskret stokastisk variabel och är 8 Varians Om är en diskret stokastisk variabel som antar värdena,,, med sannolikhetsfunktionen är variansen för : [ ] P alla 9