Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder

Räntemodeller och marknadsvärdering av skulder Fredrik Armerin Matematisk statistik, KTH Aktuarieföreningen 17-18 november 2004 Dag 2

NOLLKUPONGSKURVOR 1

Nollkupongsobligationer En nollkupongsobligation är en obligation med kupong C = 0. Priset med n kupongutbetalningar kvar och d dagar till nästa kupong ges av F P = (1 + i) n 1+d/360. 2

Nollkupongskurva Med nollkupongskurva avses en avkastningskurva bestående endast av nollkupongsobligationer. Priset på en nollkupongsobligation med nominellt värde 1 kan användas som diskonteringsfaktor. 3

Antag att vi har ett kassaflöde K kr vid en framtida tidpunkt T och att en nollkupongsobligation med lösentid T och nominellt belopp 1 kostar P kr idag. Låna K P kr idag och köp nollkupongsobligationer. Vi får K stycken obligationer. Vid T får vi K 1 = K kr Alltså är K P kr idag lika mycket värt som K kr vid T. 4

Marknadsräntan för en nollkupongare med en löptid om n år betecknar vi med s n. Den kallas nollkupongsränta eller spotränta. Ett kassaflöde på K kr om n år har idag nuvärdet K (1 + s n ) n. 5

Exempel. Ett företag ska återbetala 10 Mkr om 1 år och 5 Mkr om 2 år. Värdet av skulderna idag är 10 1 + s 1 + 5 (1 + s 2 ) 2 Mkr, där s 1 och s 2 är 1- resp. 2-årsräntan. Antag följande nollkupongsräntor Löptid i år Kupong Marknadsränta 1 2.54% 2 2.66% Nuvärdet av skulderna är 10 1.0254 + 5 1.0266 2 = 14.50 Mkr 6

Antag nu istället att det på marknaden finns följande instrument: Vi får direkt Löptid i år Kupong Pris Marknadsränta 1 97.52 2.54% 2 4% 102.34 2.78% 2-årsräntan s 2 får vi ur Med s 1 = 2.54% får vi s 1 = 2.54% 4 + 4 + 100 1 + s 1 (1 + s 2 ) 2 = 102.34 s 2 = 2.79% 7

Om en kupongobligation med n år kvar till lösendagen handlas till räntan i så gäller n k=1 C (1 + i) k + F n (1 + i) n = k=1 C (1 + s k ) k + F (1 + s n ) n. Att på detta sätt ta fram teoretiska nollkupongräntor ur obligationsdata kallas bootstrapping. 8

Från obligationsräntor till nollkupongskurva Omvandla obligationsräntorna till nollkupongsräntor (bootstrapping). Bind samman nollkupongspunkterna till en nollkupongskurva. 9

Hur sammanbinder vi punkterna i en avkastningskurva? Linjär interpolation Splines Minsta-kvadrat metoder Splines + minsta-kvadrat metod 10

Splines Lokal interpolation. Kubiska splines garanterar kontinuerlig andraderivata överallt. Vi vill ka kontinuerliga andraderivara efter det garanterar kontinuerlig derivata för de implicita terminsräntorna. Hermite-kubiska splines ligger i y-led mellan sina närmaste knutpunkter. 11

1, e λt och te λt 12 Minsta-kvadrat metoder Vi ansätter en parametrisk modell och bestämmer parametrarna genom att minimera kvadratavvikelsen från observerade data till den parametriska modellen. Polynom. Fungerar inte bra. Nelson-Siegel. Terminsräntor modelleras enligt f(t) = a 1 + (a 2 + a 3 t)e λt Vi kan se detta som en linjärkombination av de tre basfunktionerna

Denna modell ger nollkupongskurvan Vi ser att s(t) = a 1 + ( a 2 + a 3 λ ) 1 e λt λt a 2 λ e λt s(t) a 1 när t Svensson. Detta är en utvidgning av Nelson-Siegel. Terminsräntor modelleras enligt f(t) = a 1 + (a 2 + a 3 t)e λ 1t + a 4 te λ 2t

0.045 Statsobligationsräntor nov 2004 (o) och avkastningskurva enligt Nelson Siegel. 0.04 Marknadsränta 0.035 0.03 0.025 0.02 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Löptid i år 13

STRATEGIER I MARKNADEN 14

Arbitrage. Felprissättningar i marknaden utnyttjas för att göra riskfria vinster utan nettoinvestering. Spekulation. Genom att ta en högre risk hoppas man på en högre avkastning. Hedging. Givet en finansiell position, så är en hedge en eliminering (hel eller delvis) av risk hos positionen. 15

Arbitrage hos terminsräntor Antag följande räntor Löptid i dagar Marknadsränta 30 2.32% 60 2.50% och en termin som ger räntan 2.60% vid en placering under 30 dagar om 30 dagar. Den implicita terminsräntan given av de två räntorna ovan är 1 + 0.0250 60 360 1 + 0.0232 360 30 1 360 30 = 2.67% 16

Genom att låna N kr till 2.60% på termin och investera dem till den skapade implicita terminsräntan 2.67% kan vi göra en arbitragevinst.

Antag nu följande räntor Löptid i dagar Marknadsränta 30 2.32-38% 60 2.40-50% och samma termin som ger räntan 2.60%. Det finns nu en spread mellan ut- och inlåningsränta. Om vi genomför samma strategi som tidigare ska vi köpa 60-dagars och sälja 30-dagars. Detta ger den implicita räntan 1 + 0.0240 60 360 1 + 0.0238 360 30 1 360 30 = 2.42% Om vi lånar till 2.60% och placerar till 2.42% gör vi en arbitrageförlust! 17

Rida på kurvan Denna strategi bygger på att avkastningskurvan inte ändrar sig från idag tills slutet på vår placeringshorisont. Detta innebär speciellt att vi inte tror på förväntningshypotesen. Om avkastningskurvan lutar uppåt ska vi köpa ett papper med längre löptid än vär placeringshorisont. Om avkastningskurvan lutar nedåt ska få köpa papper med kortare löptid än vår placeringshorisont. Vi kan utnyttja onormalt höga/låga räntor som vi tror ska falla/stiga. 18

Exempel. Antag följande räntor Löptid i dagar Marknadsränta 30 2.24% 60 2.45% 90 2.56% 120 2.78% Vi vill placera i 30 dagar, och tror att avkastningskurvan om 30 dagar har samma utseende som idag. Idén i detta fall är att köpa papper med längre löptid än 30 dagar och sälja efter 30 dagar. 19

För att bestämma den avkastning vi får använder vi åter relationen ( ( 1 + r 1 = 1 + r 2 ) d 1 360 ) ( d 2 1 + r 3 360 ) d 3. 360 Denna gång söker vi räntan r 2, vilken kallas innehavsräntan. Vi får r 2 = 1 + r 1 1 + r 3 d 1 360 d 3 360 1 360 d 2 20

Genom att använda formeln för innehavsräntan får vi Strategi Avkastning Köp 30-dagars 2.24% Köp 60-dagars och sälj efter 30 dagar en 30-dagars 2.66% Köp 90-dagars och sälj efter 30 dagar en 60-dagars 2.77% Köp 120-dagars och sälj efter 30 dagar en 90-dagars 3.42% 21

VALUTAMARKNADEN 22

Investering på utländsk marknad Exempel. Antag att 30-dagars räntan i Sverige är 2.13% och att den är 2.85% i England. Vi vill utnyttja denna ränteskillnad genom att låna N SEK och växla in dem till GBP. Pundet står i 13.04, så vi får följande kassaflöden Idag Om 30 dagar N N ( 1 + 0.0213 360 30 ) = 1.0018N N N 13.04 ( 1 + 0.0285 360 30 ) X = 1.0024N X 13.04 Här är X växelkursen från GBP till SEK om 30 dagar. 23

Vi ser att reslutatet av denna strategi är beroende av den framtida växelkursen. Genom att ingå ett valutaterminskontrakt idag vet vi vilken växelkurs vi får om 30 dagar. Den enda arbitragefria terminsväxelkursen med terminslikviddag om 30 dagar är X = 13.04 1.0018 1.0024 = 13.032 24

Implicit växelkurs Antag inhemsk ränta r under d dagar, utländsk ränta r f under samma tidsperiod samt växelkurs X 0 idag. Den implicita terminsväxelkursen X d om d dagar ges av X d = X 0 1 + r 1 + r f d 360 d 360 Om X d är lika med den handlade terminsväxelkursen säger vi att vi har UIP (Uncovered Interest Parity).. 25

Litteratur Lybeck & Hagerud, Penningmarknadens instrument Hässel & Norman, De finansiella marknaderna i ett internationellt perspektiv James & Webber, Interest Rate Modelling 26