SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Relevanta dokument
SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 7: Punktskattningar

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.

Exempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor

Väntevärde och varians

Föreläsning 7: Punktskattningar

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag. Jörgen Säve-Söderbergh

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden

Stokastiska vektorer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA STATISTIK VARIABLER. Tatjana Pavlenko. 8 september 2017

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 4: Flerdim

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Föreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer

Sannolikhet och statistik XI

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

SF1911: Statistik för bioteknik

Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning

TAMS79: Föreläsning 4 Flerdimensionella stokastiska variabler

TMS136. Föreläsning 5

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

F7 forts. Kap 6. Statistikens grunder, 15p dagtid. Stokastiska variabler. Stokastiska variabler. Lite repetition + lite utveckling av HT 2012.

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1

Kovarians och kriging

TMS136. Föreläsning 5

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått

Stokastiska signaler. Mediesignaler

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Mer om Approximationer

FINGERÖVNINGAR I SANNOLIKHETSTEORI MATEMATISK STATISTIK AK FÖR I. Oktober Matematikcentrum Matematisk statistik

2 x dx = [ x ] 1 = 1 ( 1 (1 0.9) ) 100 = /

Kurssammanfattning MVE055

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Oberoende stokastiska variabler

Föresläsningsanteckningar Sanno II

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Föreläsning 7: Stokastiska vektorer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Föreläsningsanteckningar i Matematisk Statistik. Jan Grandell

6. Flerdimensionella stokastiska variabler

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Bengt Ringnér. September 20, Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet LTH vecka 5 HT07.

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel

Föreläsning 15: Försöksplanering och repetition

Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Bengt Ringnér. October 30, 2006

TENTAMEN MÅNDAGEN DEN 22 OKTOBER 2012 KL a) Bestäm P(ingen av händelserna inträffar). b) Bestäm P(exakt två av händelserna inträffar).

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

2.1 Mikromodul: stokastiska processer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

TAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Formler och tabeller till kursen MSG830

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

TMS136. Föreläsning 4

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Föreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion

Transkript:

SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 1 / 39

Repetition: Flerdimensionella stokastiska variabler Det två-dimensionella fallet: Låt (X,Y) vara en två-dimensionell s.v. F X,Y (x,y) = P(X x, Y y) kallas (den simultana) fördelningsfunktionen för (X, Y). F X (x) = P(X x) = P(X x, Y ) = F X,Y (x, ) kallas den marginella fördelningsfunktionen för X. F Y (y) = F X,Y (,y) kallas den marginella fördelningsfunktionen för Y. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 2 / 39

Repetition: Flerdimensionella stokastiska variabler Definition X och Y är oberoende stokastiska variabler om F X,Y (x,y) = F X (x)f Y (y) obs! Detta bör gälla för ALLA (x,y). Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 3 / 39

Repetition: Simultan sannolikhetsfunktion (X,Y) är en diskret två-dimensionell s.v., om där F X,Y (x,y) = j=0k=0 0 j [x] 0 k [y] p X,Y (j,k)dudv p X,Y (j,k) = 1, p X,Y (j,k) 0. Funktionen p X,Y (i,k) kallas den simultana sannolikhetsfunktionen för (X,Y). Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 4 / 39

Simultan täthet (X,Y) är en kontinuerlig två-dimensionell s.v., om där F X,Y (x,y) = x y f X,Y (u,v)dudv f X,Y (x,y)dxdy = 1, f X,Y (x,y) 0. Funktionen f X,Y (x,y) kallas den simultana täthetsfunktionen för (X,Y). Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 5 / 39

Repetition: Marginalfördelningar fört kontinuerliga s.v.er Låt (X,Y) vara en kontinuerlig två-dimensionell s.v.. Den marginella fördelningsfunktionen för Y är och F Y (y) = F X,Y (,y) = f Y (y) = d dy F Y(y) = y f X,Y (x,v)dxdv f X,Y (x,y)dx är den marginella täthetsfunktionen för Y. Analogt är f X (x) = d dx F X(x) = den marginella täthetsfunktionen för X. f X,Y (x,y)dy Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 6 / 39

Oberoende stokastiska variabler Definition X och Y är oberoende stokastiska variabler om för alla (x,y). f X,Y (x,y) = f X (x)f Y (y) Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 7 / 39

Ett exempel (X, Y) är en 2-dimensionell st.v. med den simultana sannolikhetstätheten { 24xy 0 x 1,0 y 1,x +y 1, f X,Y (x,y) = 0 för övrigt. Vi checkar att f X,Y(x,y)dxdy = 1 0 24x 1 x 0 ydxdy= 12 1 0 x(1 x)2 dx = 12 1 0 (x 2x2 +x 3 )dx = 12 ( 1 2 21 3 + 1 ) ( 4 = 12 6 8+3 ) 12 = 1, s.s.b. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 8 / 39

Ett exempel (forts.): marginella sl-tätherna f X (x) = [ y 2 = 24x 2 ] 1 x 0 f X,Y (x,y)dy = 24x 1 x 0 ydy = 12x(1 x) 2, 0 x 1. P.s.s f Y (y) = 12y(1 y) 2, 0 y 1. Detta ger E [Y] = E [X] = 1 0 1 xf X (x)dx = 12 x 2 (1 x) 2 dx = 2 0 5. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 9 / 39

Ett exempel (X, Y) är en 2-dimensionell st.v. med den simultana sannolikhetstätheten { 24xy 0 x 1,0 y 1,x +y 1, f X,Y (x,y) = 0 för övrigt. Vi checkar att f X,Y(x,y)dxdy = 1 0 24x 1 x 0 ydxdy= 12 1 0 x(1 x)2 dx = 12 1 0 (x 2x2 +x 3 )dx = 12 ( 1 2 21 3 + 1 ) ( 4 = 12 6 8+3 ) 12 = 1, s.s.b. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 10 / 39

Ett exempel (forts.): oberoende f X (x) = 12x(1 x) 2, 0 x 1. f Y (y) = 12y(1 y) 2, 0 y 1. ( f X,Y (1/2,1/2)) = 6,f X (1/2)f Y (1/2) = 12 1 2 1 ) 2 = 4 ( ) 3 2 = 9 2 4. D.v.s., f X,Y (1/2,1/2)) = f X (1/2)f Y (1/2), och X och Y är beroende. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 11 / 39

Väntevärdet av g(x,y) Sats Låt (X,Y) vara en tvådimensionell s.v. Då gäller { E [g(x,y)] = g(x,y)f X,Y(x,y)dxdy för (X,Y) kontinuerlig, k=0 j=0 g(k,j)f X,Y(k,j) för (X,Y) diskret. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 12 / 39

Väntevärdet av g(x,y) = X +Y Sats Låt (X,Y) vara en tvådimensionell s.v. Då gäller E [X +Y] = E [X]+E [Y] Bevis. Låt (X,Y) vara en kontinuerlig tvådimensionell s.v.. Den föregående satsen visar med g(x,y) = x +y att = = x xf X,Y (x,y)dxdy + (x +y)f X,Y (x,y)dxdy = f X,Y (x,y)dydx + xf X (x)dx + y yf X,Y (x,y)dxdy f X,Y (x,y)dxdy yf Y (y)dy = E [X]+E [Y] Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 13 / 39

Kovarians och korrelationskoefficient Låt (X,Y) vara en tvådimensionell s.v. där vi är intresserade av sambandet mellan Xs och Ys variation. Det kan vara natuligt att betrakta variablerna X µ X och Y µ Y. Vi skiljer på fallen då X och Y samvarierar resp. motverkar varandra, dvs. då ett stort/litet värde på X gör ett stort/litet värde på Y troligt resp. ett stort/litet värde på X gör ett litet/stort värde på Y troligt. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 14 / 39

Kovariansen mellan X och Y Betraktar vi nu variabeln (X µ X )(Y µ Y ), så innebär detta att den i första fallet, eftersom + + = + och = +, att den har en tendens att vara positiv. På motsvarande sätt, eftersom + = och + =, har den i andra fallet en tendens att vara negativ. Det som vi, lite slarvigt, har kallat tendens, kan vi ersätta med väntevärde. Vi leds då till följande definition. Definition Kovariansen mellan X och Y är där µ X = E(X) och µ Y = E(Y). C(X,Y) = E[(X µ X )(Y µ Y )], Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 15 / 39

Kovariansen mellan X och Y Sats Kovariansen mellan X och Y är där µ X = E(X) och µ Y = E(Y). Bevis. : C(X,Y) = E[XY] µ X µ Y, C(X,Y) = E[(X µ X )(Y µ Y )] = E[XY X µ Y µ X Y + µ X µ Y ] = E[XY] E[X µ Y ] E[µ X Y]+µ X µ Y ] = E[XY] µ Y E[X] µ X E[Y]+µ X µ Y = E[XY] µ Y µ X µ X µ Y + µ X µ Y = E[XY] µ Y µ X Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 16 / 39

Ett exempel (forts.): kovarians E[XY] = Detta ger från ovan = 8 xyf X,Y (x,y)dxdy = 1 0 1 x 2 (1 x) 3 dx = 2 15. 0 1 x 24x 2 y 2 dydx C(X,Y) = E[XY] µ X µ Y = 2 15 2 5 2 5 = 2 75. Ett negativt samband. 0 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 17 / 39

Korrelationskoefficienten mellan X och Y Kovariansen kan sägas ha fel sort. Det verkar rimligt att ett mått på ett så abstrakt begrepp som samvariation skall vara sortfritt. Det vanligaste måttet är korrelationskoefficienten. Definition Korrelationskoefficienten mellan X och Y är ρ = ρ(x,y) = C(X,Y) D(X)D(Y). Man kan visa att ρ 1, där ρ = ±1 betyder att det finns ett perfekt linjärt samband, dvs. Y = ax +b. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 18 / 39

Korrelationskoefficienten mellan X och Y Sats Om X och Y är oberoende så är de okorrelerade, dvs. ρ(x,y) = 0. Omvändningen gäller ej, dvs. okorrelerade variabler kan vara beroende. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 19 / 39

Korrelationskoefficienten mellan X och Y Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 20 / 39

Korrelationskoefficienten mellan X och Y Sats Om X och Y är oberoende så är de okorrelerade, dvs. ρ(x,y) = 0. Bevis: Per definition E[XY] = och p.g.a. oberoendet = = xf X (x)dx xyf X,Y (x,y)dxdy = xyf X (x)f Y (y)dxdy = yf Y (y)dy = = E(X) E(Y) = µ X µ Y. Då C(X,Y) = E[XY] µ X µ Y = 0. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 21 / 39

Ett exempel (forts.): korrelation E [ Y 2] = E [ X 2] = 1 Således är V(Y) = V(X) = 1 5 4 25 = 1 25. Detta ger från ovan 0 1 x 2 f X (x)dx = 12 x 3 (1 x) 2 dx = 1 0 5. 75 ρ = ρ(x,y) = C(X,Y) D(X)D(Y) = 2 1 25 = 2 3 = 0.67. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 22 / 39

Exempel Den simultana sannolikhetsfunktionen för stokastiska variablerna X och Y med p X,Y (j,k) X /Y 0 1 2 3 0 0.2 0 0 0 1 0 0.1 0.1 0 2 0 0.1 0.1 0 3 0 0 0 0.4 Marginalfördelning för X: p X (0) = 0.2+0+0+0 = 0.2, p X (1) = 0+0.1+0.1+0 = 0.2 p X (2) = 0+0.1+0.1+0 = 0.2, p X (3) = 0+0+0+0.4 = 0.4 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 23 / 39

Exempel (forts.) På samma sätt fås marginalfördelning för Y: p Y (0) = 0.2,p Y (1) = 0.2 p Y (2) = 0.2,p Y (3) = 0.4. X och Y är INTE oberoende, ty, t.ex., p X (0) p Y (0) = 0.2 0.2 = 0.04 = 0.2 = p X,Y (0,0) Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 24 / 39

Exempel (forts.): BETINGADE FÖRDELNINGAR Materialet om betingade fördelningar kan överhoppas: I detta exempel p X Y=k (j) def = p X,Y (j,k),j = 0,1,2,3 p Y (k) p Y X=j (k) def = p X,Y (j,k),k = 0,1,2,3 p X (j) p Y X=2 (0) = p X,Y (2,0) p X (2) p Y X=2 (1) = p X,Y (2,1) p X (2) p Y X=2 (2) = p X,Y (2,2) p X (2) p Y X=2 (3) = p X,Y (2,3) p X (2) = 0 0.2 = 0 = 0.1 0.2 = 1 2 = 0.1 0.2 = 1 2 = 0 0.2 = 0 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 25 / 39

Exempel (forts.): BETINGADE FÖRDELNINGAR och p X Y=0 (0) = p X,Y (0,0) p Y (0) = 0.2 0.2 = 1 p X Y=0 (1) = p X Y=0 (2) = p X Y=0 (3) = 0 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 26 / 39

Exempel (forts.):lts & BETINGADE FÖRDELNINGAR Utifrån definitionerna följer vidare att vi har p X (k) = p Y (j) = 3 3 p Y (j)p X Y=j (k) = p X,Y (k,j). j=0 j=0 3 3 p X (k)p Y X=k (j) = p X,Y (k,j). k=0 k=0 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 27 / 39

Exempel (forts.): E(X) = 0 0.2+1 0.2+2 0.2+3 0.4 = 1.8. samt E(Y) = 1.8. E ( X 2) = 0 2 0.2+1 2 0.2+2 2 0.2+3 2 0.4 = 4.6. V(X) = E ( X 2) E (X) 2 = 4.6 1.8 2 = 1.36 = V(Y). Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 28 / 39

Exempel (forts.): Kovarians och korrelation Kovariansen E(X Y) = 0 0 0.2+1 1 0.1 +1 2 0.1+2 1 0.1+2 2 0.1+3 3 0.4 = 4.5 C(X,Y) = E(X Y) E (X)E (Y) = 4.5 1.8 1.8 = 1.26 Korrelationskoefficienten ρ(x,y) = C(X,Y) V(X) V(Y) = 1.26 1.36 1.36 Vad säger detta? = 1.26 1.36 = 0.926. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 29 / 39

Mer om väntevärden Sats Låt (X,Y) vara en tvådimensionell s.v. Då gäller (1) E(aX +by) = ae(x)+be(y); (2) V(aX +by) = a 2 V(X)+b 2 V(Y)+2abC(X,Y). Bevis. (1) har visats tidigare. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 30 / 39

Mer om väntevärden: Bevis av (2) (2) fås av följande V(aX +by) = E[(aX +by aµ X bµ Y ) 2 ] = E[(aX aµ X +by bµ Y ) 2 = E[a 2 (X µ X ) 2 +b 2 (Y µ Y ) 2 +2ab(X µ X )(Y µ Y )] = a 2 V(X)+b 2 V(Y)+2abC(X,Y). Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 31 / 39

Mer om väntevärden Följdsats Låt X och Y vara två oberoende (okorrelerade räcker) s.v. Då gäller E(X +Y) = E(X)+E(Y) V(X +Y) = V(X)+V(Y) E(X Y) = E(X) E(Y) V(X Y) = V(X)+V(Y). Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 32 / 39

Mer om väntevärden Detta går att utvidga till godtyckligt många variabler: Sats Låt X 1,...,X n vara oberoende (okorrelerade räcker) s.v. och sätt Y = c 1 X 1 +...+c n X n. Då gäller och E(Y) = c 1 E(X 1 )+...+c n E(X n ) V(Y) = c 2 1 V(X 1)+...+c 2 n V(X n) Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 33 / 39

Binomialfördelningen Antag att vi gör ett försök där en händelse A, med sannolikheten p = P(A), kan inträffa. Vi upprepar försöken n gånger, där försöken är oberoende. Sätt X = antalet gånger som A inträffar i de n försöken. Vi säger då att X är binomialfördelad med parametrarna n och p, eller kortare att X är Bin(n, p)-fördelad. Vi har ( ) n p X (k) = p k q n k, för k = 0,...,n, k där q = 1 p. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 34 / 39

X Bin(n,p), X = U 1 +...+U n Låt U 1,...,U n vara s.v. definierade av { 0 om A inträffar i försök nummer i, U i = 1 om A inträffar i försök nummer i. U 1,...,U n är oberoende och att X = U 1 +...+U n. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 35 / 39

X Bin(n,p), X = U 1 +...+U n Då och E(U i ) = 0 (1 p)+1 p = p V(U 1 ) = E(U 2 i ) E(U i ) 2 = E(U i ) E(U i ) 2 = p p 2 = p(1 p) så följer E(X) = ne(u i ) = np och V(X) = nv(u i ) = npq. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 36 / 39

Arimetiskt medelvärde X= 1 n n X i i=1 Sats Låt X 1,X 2,...,X n vara oberoende och likafördelade s.v. med väntevärde µ och standardavvikelse σ. Då gäller att E(X) = µ, V(X) = σ2 n och D(X) = σ n. Uttrycket X 1,X 2,...,X n är likafördelade betyder att de stokastiska variablernas fördelningar, dvs. att de stokastiska variablernas statistiska egenskaper, är identiska. Utfallen av variablerna varierar dock. Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 37 / 39

Stora talens lag X= 1 n n i=1 X i Sats Stora talens lag För varje ε > 0 gäller Bevis. Enl. Tjebysjovs olikhet gäller P( X µ > ε) 0 då n. då n. P( X µ > ε) V(X) ε 2 = σ2 nε 2 0 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 38 / 39

Stora talens lag: ett frimärke från Schweiz Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 04.02.2016 39 / 39