Speciell relativitetsteori Uppdaterad: 170125 Albert Einstein Referenssystem och relativ rörelse Speciell relativitetsteori bygger på två postulat Konsekvenser av postulaten Tidsdilatation och längdkontraktion Relativistisk rörelsemängd Energi (partikel) Energi (system av partiklar) Lite om antimateria Har jag använt någon bild som jag inte får använda? Låt mig veta så tar jag bort den. christian.karlsson@ckfysik.se http://www.youtube.com/watch?v=ool2d-5-pj8
Speciell relativitetsteori 1 http://www.youtube.com/watch?v=ool2d-5-pj8 Märklig och ointuitiv men inte ologisk! mars 17
Albert Einstein (1879-1955) 2 FSS [1] [2] [3] 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 19 [5] [4] [6]
Einstein i utformat som ett kupolkrönt, närmast kontemplativt rum, Xen hall d för att tillägna sig utställningen och miljön genom att lösa biljette Göteborg 1923 som en nod. Den förtydligade övergången mellan Götaplatsens st arkitektur, som omslöt tydliga platser och stråk. [7] [11] [8] [9] [12] [10]
arkitektur, som omslöt tydliga platser och stråk. X ook tgiv l A nsv u a ri g pp Ra er M a re mc O e ra f orte ( s Tip r nse tgrä Tom l fikf Tra öde Fl oto yg f la De S iv Skr m ort jök ut m # - ies + L m ant /Me ri e t äte tria! 200 m Einstein i Göteborg 1923 Vy över Jubileumsutställningen 1923 och Lilienbergs plan över Götaplatsen 1924 (t.h.). När stad upprättades, efter det att utställningen demonterats, stod det klart för Lilienberg att det obebyggda kvarteret intill Konstmuseet inte borde bebyggas med villor utan ges en [12b]mer stadsmässig karaktär (småningom byggd
Einstein i Göteborg 1923 X - + era fel Ansvarig utgivare Om cookies La # Mer ( [12c]
Referenssystem och relativ rörelse 3 S 1 S 2 v = 4 m/s (i förh. till marken) v 2 = 2 m/s Referenssystem S 1 i vila i förhållande till marken S 2 i vila i förhållande till bussen (i förhållande till bussen) Alberts fart i S 2 : v 2 = 2 m/s S 1 : v 1 = 4 m/s + 2 m/s = 6 m/s (i förhållande till marken) http://www.youtube.com/watch?v=ardoqiqbuqy
Referenssystem och relativ rörelse 4 S 1 S 2 v = 4 m/s (i förh. till marken) v 2 = 2 m/s [3] Addition av hastigheter Klassiskt (Galileo): Speciell relativitetsteori: Rel.teori Klassisk mekanik Alberts hast. i förh. till marken v 1 = v + v 2 v 1 = v + v 2 1+ vv 2 c 2 = 6 m/s 5,9999999999999999 m/s http://www.youtube.com/watch?v=e1empomsuqg [13]
Speciell relativitetsteori bygger på två postulat 5 Einsteins postulat (1905): 1) Fysikens lagar har samma form i alla tröghetssystem. Referenssystem som inte accelererar 2) Ljushastigheten i vakuum (c) densamma i alla tröghetssystem. c = 299 792 458 m/s 3,0 10 8 m/s (egentligen: referenssystem där tröghets- lagen (Newton I) gäller). Tröghetssystem rör sig med konstant fart i förhållande till varandra. Examples of this sort, together with the unsuccessful attempts to discover any motion of the earth relatively to the light medium, suggest that the phenomena of electrodynamics as well as of mechanics possess no properties corresponding to the idea of absolute rest. They suggest rather that, as has already been shown to the first order of small quantities, the same laws of electrodynamics and optics will be valid for all frames of reference for which the equations of mechanics hold good. 1 We will raise this conjecture (the purport of which will hereafter be called the Principle of Relativity ) to the status of a postulate, and also introduce another postulate, which is only apparently irreconcilable with the former, namely, that light is always propagated in empty space with a definite velocity c which is independent of the state of motion of the emitting body. These two postulates su ce for the attainment of a simple and consistent theory of the electrodynamics of moving bodies based on Maxwell s theory for stationary bodies. The introduction of a luminiferous ether will prove to be superfluous inasmuch as the view here to be developed will not require an absolutely stationary space provided with special properties, nor [14] [15] 1 The preceding memoir by Lorentz was not at this time known to the author.
Konsekvenser av postulaten 6 Viktig konsekvens: Samtidighet är relativt! Samtidiga händelser i ett referenssystem måste inte vara samtidiga i ett annat. 1) [16] 2) [Ej klart, se boken så länge.]
Tidsdilatation (-förlängning) och längdkontraktion 7 Tid och rum ter sig olika för observatörer i olika tröghetssystem! v
Om klockor och tidmätning X Hur mäter vi egentligen tid? Vi behöver något slags periodiskt naturfenomen: Solur pendel mekanisk klocka kvartskristall atomur
Tidsdilatation (-förlängning) och längdkontraktion 7 Tid och rum ter sig olika för observatörer i olika tröghetssystem! t 0 L 0 (egentid, vilotid) mätt av observatör i vila i förh. till klockan (förloppet) t = t 0 1 v 2 / c 2 = γt 0 v t L mätt av observatör i rörelse i förh. till klockan (förloppet) L = L 0 1 v 2 / c 2 = L 0 γ Notera: t > t 0, L < L 0 γ = 1 1 v 2 / c 2
Ett räkneexempel 8 (v = 2,0 10 8 m/s) (v = 2,0 10 8 m/s) 1. Arthur står på jorden och ser ett 2. Ford sitter i sitt rymdskepp och ser rymdskepp fara förbi. I rymdskeppet tar jorden passera. På jorden tar Ford en 24 h-tupplur (enligt sin klocka). Arthur en 24 h-tupplur (enligt sin klocka). Hur lång tid tar tuppluren enligt Arthur? Hur lång tid tar tuppluren enligt Ford? z z z F t 0 = 24 h F t =? v A t =? z A z z v t 0 = 24 h
Ett räkneexempel Observera att både A och F hävdar att den andres klocka saktar sig! Ointuitivt, men inte ologiskt! Det är verkligen så det förhåller sig! (Så länge A och F rör sig i förh. till varandra med konstant relativ hastighet.) Antag t.ex. att F skickar ut en ljuspuls var 24:e timme. A (och vi på jorden) kommer att emot en ljuspuls var 32:e timme (efter korrektion för ljusets gångtid). Och om A och vi på jorden skickar ut en ljuspuls var 24:e timme så kommer F i rymdskeppet att ta emot en ljuspuls var 32:e timme. Det är inget konstigt ologiskt med detta! Så länge de inte försöker jämföra sina klockor kan båda hävda att det är den andres klocka som saktar sig, utan att det leder till något ologiskt. Men om vi vill jämföra klockorna måste F vända tillbaka. Vid vändningen är F inte längre i ett tröghetssystem. Hans analys (enl. 2 ovan) är inte längre giltig. Det är F som har rört sig, och det är hans klocka som saktat sig (hans tid har gått långsammare).* z z A z F t 0 = 24 h t =? 9 Resonemanget här är lite förenklat. Hur ofta ljuspulser tas emot beror på om sändaren är på väg bort eller mot från mottagaren. Egentligen behöver vi här räkna med formler för relativistisk Dopplereffekt, men detta ligger utanför kursen. Resonemanget fångar dock det väsentliga vad gäller tidsdilatation. F kommer att åldras 24 timmar (år) när vi på jorden åldras 32 timmar (år). Märkligt, men inte ologiskt!
Tidsdilatation (-förlängning) och längdkontraktion Tid och rum ter sig olika för observatörer i olika tröghetssystem! t 0 L 0 Tidsdilatationen innebär att själva tiden går långsammare för alla objekt som rör sig i förhållande till en själv. (Holst, s. 40) (egentid, vilotid) mätt av observatör i vila i förh. till klockan (förloppet) 10 t = t 0 1 v 2 / c 2 = γt 0 v t L mätt av observatör i rörelse i förh. till klockan (förloppet) L = L 0 1 v 2 / c 2 = L 0 γ I rörelse går klockan alltså långsammare än i vila. (Einstein, s. 68, 70 i Den allm. & spec. rel.teorin) En stel stav i rörelse är alltid kortare än samma stav i vila. Notera: t > t 0, L < L 0 γ = 1 1 v 2 / c 2
Härledning av tidsdilationsformeln Förlopp: Ljuspuls studsar mot spegel i rymdskepp rör sig med hastigheten v relativt jorden 11 Sett från rymdskeppet: Sett från jorden: ct 0 2 Mäter t 0 ct 2 Pythagoras sats: Samma ljusfart! vt 2 Mäter t v! # " ct 2 $ & % 2! = ct $ 0 # & " 2 % c 2 t 2 = c 2 t 0 2 + v 2 t 2 t 2 (c 2 v 2 ) = c 2 t 0 2 t 2! # " 1 v2 c 2 2 $ 2 & = t 0 %! + vt $ # & " 2 % 2 t = t 0 1 v 2 / c 2
Ett räkneexempel till 12 http://www.youtube.com/watch?v=psy4feeg4j0 3. Brians tur tar s. Antag att rymdskeppets fart är 1,5 10 8 m/s. Hur lång tid har gått på jorden när han kommer tillbaka? 4. Brian, som åker med rymdskeppet, mäter dess längd till 25 m. Vilken längd på rymdskeppet skulle mannen som är kvar på jorden mäta?
Tidsdilatation X [19a]
Tidsdilatation X [19b]
Men kan det verkligen vara så här? 13 FSS Ja! Förutsägelser från speciell relativitetsteori stämmer med experiment! [17] [18] [19]
GPS och relativitetsteori 14 FSS Klocka i GPS-satellit......saktar sig ca 7 µs/dag p.g.a. tidsdilatation (spec. rel.teori)...fortar sig ca 46 µs/dag p.g.a. svagare gravitationsfält (allmän rel.teori) Utan korrektion för detta skulle felvisningen öka med ca 10 km/dag. [20] [21] [23] [22] [23a]
GPS och relativitetsteori X [21] [22] [23b]
Hur ser det ut när man åker fort? 15 Snabb åktur genom Tübingen. Slow motion med faktor ca 2 000 000: [8] [9] http://www.spacetimetravel.org/tuebingen/tuebingen.html
Hur ser det ut när man åker fort? 15 FSS Snabb åktur genom Tübingen. Slow motion med faktor ca 2 000 000: [24] http://www.spacetimetravel.org/tuebingen/tuebingen.html [25]
Relativistisk rörelsemängd 16 FSS Rörelsemängd (för partikel med vilomassan m) p = mv 1 v 2 / c 2 = γmv Gammafaktorn v elektroner 3 kev 0,001c 1,0000005 0,1c 1,005 0,5c 1,15 0,9c 2,3 0,999c 22,4 protoner 450 GeV 0,999997828c 480 0,999999991c 7454 [26b] protoner 7 TeV [26]
CERN och LHC X [26c]
X CERN och LHC [26d] [26c] [26e] [26f]
[26f]
X CERN och LHC [26g]
Energi (partikel) 10 17 Rörelseenergi (för partikel med vilomassan m) E k = Från matten (Ma 5): 1 1 x 1+ 1 2 x mc 2 1 v 2 / c 2 mc 2 = mc 2 (γ 1) om x litet Detta ger att (*) för små farter kan skrivas E k mc 2 1+ 1 2 v 2 c 2 mc 2 = mv2 2 För små farter får vi alltså den klassiska formeln för rörelseenergi. (*) Rel.teori Klassisk mekanik E k / (mc 2 ) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 När v ökar så ökar också energimängden som krävs för att åstadkomma en viss fartökning. Omöjligt att spränga ljusvallen! Mätdata för elektroner [26h] 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 v / c FÖRBJUDET OMRÅDE FÖR PARTIKLAR MED MASSA
Energi (partikel) 18 Stuva om i (*) mc 2 1 v 2 / c 2 E tot = E k + mc 2 E 0 total energi = rörelseenergi + viloenergi En partikel med vilomassan m har viloenergin [27] E 0 = mc 2 Partikelns totala energi är Ex: Viloenergin för en elektron E 0 = 9,109 10 31 (2, 998 10 8 ) J = 8,187 10 14 J = 0, 511 10 6 ev = 0,511 MeV E tot = E 0 + E k = mc 2 1 v 2 / c 2 = γmc 2 1 ev = 1,602 10 19 J elektronvolt
19 Energi (system av partiklar) (viloenergin) Ett system av partiklar med massan m har massenergin E0 = mc 2 Tillförs systemet energimängden ΔE0 kommer massan att öka med Δm = ΔE0 c 2 (Om systemet avger energi minskar istället massan.) re u s a e sam yi d o b a f o s as nt m e t e n h o c 05) T 9 y 1 g, r n ne e nstei i s E t ( i of Mått på systemets tröghet.
Energi (system av partiklar) 20 Om systemet som helhet rör sig med farten v är dess (translations-)rörelseenergi E k = mc 2 1 v 2 / c 2 mc 2 = mc 2 (γ 1) v Systemets totala energi är då E tot = E 0 + E k = mc 2 1 v 2 / c 2 = γmc 2
Ett sista räkneexempel 21 5. Ford har massan 80 kg. Bestäm hans massenergi. z z z F t 0 = 24 h v A t =? 6. Hur stort arbete måste uträttas för att öka Fords fart till 2,0 10 8 m/s? Sverige 2015: ca 370 TWh [28] [29]
22 FSS Protoner med hög rörelseenergi krockar. Nya partiklar skapas vid kollisionen! Före: Efter: (schematiskt) Totala massan efter kan vara större än totala massan före, bara totala energin är bevarad, d.v.s. summan av mass- och rörelseenergi före = summan av mass- och rörelseenergi efter [30] https://www.youtube.com/watch?v=g4o3ciwhvdg Principen bakom LHC-experimenten [31]
[30]
[31]
Lite om antimateria (positron) En antielektron har samma massa som en elektron men positiv laddning. 23 Före: Efter: foton Om en elektron möter en antielektron förintas de. e e + foton All vilo- och rörelseenergi omvandlas till strålningsenergi. Vid CERN gör man anti-väte: [32] [33]
Källor X [1] http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physpiceinstein.html [2] http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physpiceinfam.html [3] http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physpiceinstein.html [4] http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physpiceingroup.html [5] http://www.lisepedia.se/konserthallen [6] http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/matura.gif [7] http://physics.gu.se/liseberg/wyp2005/einstein.html [8] Tagen från http://campusnackrosen.gu.se/digitalassets/1466/1466061_w-campus-n-rosen-analys-av-ett-stadsrum.pdf [9] http://www.lisepedia.se/konserthallen [10] http://www.lisepedia.se/konserthallen [11] http://sv.wikipedia.org/wiki/chalmerska_huset [12] Tagen från https://www.liseberg.se/global/parken/broschyrer2011/alltomliseberg2012.pdf [12b] http://gbg.yimby.se/2012/10/infillism_3189.html [12c] http://kartor.eniro.se/?c=57.6960,11.9863&z=15 [13] https://en.wikipedia.org/wiki/galileo_galilei (från 1624) [14] Taget från http://dieumsnh.qfb.umich.mx/archivoshistoricosmq/modernahist/1905b.pdf (se också http://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol2-doc/343 ) [15] Taget från http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/files/eins_specrel.pdf (se också http://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol2-trans/154 ) [16] Einstein Revealed (NOVA 1996, 2004) [DVD] [17] http://en.wikipedia.org/wiki/file:hafele Keating_experiment.jpg [18] http://en.wikipedia.org/wiki/file:hp_5061a_cesium_beam_frequency_standard.jpg [19a] http://www.gocomics.com/calvinandhobbes/1986/08/17 [19a] http://www.gocomics.com/calvinandhobbes/1990/04/13 [19] Metromnia News from the National Physical Laboratory Winter 2005 Issue 18
Källor X [20] http://en.wikipedia.org/wiki/error_analysis_for_the_global_positioning_system#special_and_general_relativity http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/ast162/unit5/gps.html [21] http://en.wikipedia.org/wiki/file:kyototaxiride.jpg [22] http://en.wikipedia.org/wiki/file:gps_on_smartphone_cycling.jpg [23] https://en.wikipedia.org/wiki/global_positioning_system#/media/file:comparison_satellite_navigation_orbits.svg [23a] http://www.esa.int/our_activities/navigation/galileo/launching_galileo/four_galileo_satellites_on_one_ariane_5 [23b] http://www.dailymail.co.uk/news/article-2051302/lorry-driver-wedges-13-ton-hgv-narrow-alley-blindly-following-satnav.html Lastbilen fastande i Bruton, UK i oktober 2011. Sökord: Lorry Bruton stuck [24] http://commons.wikimedia.org/wiki/file:rathaus-tuebingen2b.jpg [25] http://commons.wikimedia.org/wiki/file:tuebingenmarktplatz1.jpg [26] http://cds.cern.ch/record/1295244?ln=sv [26b] LHC The Guide (2008) Kan hämtas från https://cds.cern.ch/record/1092437/files/cern-brochure-2008-001-eng.pdf [26c] https://map.geo.admin.ch/ [26d] http://cds.cern.ch/record/842700 [26e] http://cdsweb.cern.ch/record/1211046 [26f] http://cds.cern.ch/record/1277709 [26g] http://cds.cern.ch/record/2194202 [26h] W. Bertozzi, American Journal of Physics 32 (1964) 551 Artikeln finns på nätet här: http://www.ekkehard-friebe.de/bertozzi-1964.pd [26f] [27]??? [28] http://www5.stem.se/em/reports.aspx?path=/em/en0202/en0202_7 http://www5.stem.se/em/reports.aspx?path=/em/en0202/en0202_1 [29] http://en.wikipedia.org/wiki/file:ap10-ksc-69pc-110.jpg [30] http://science.sciencemag.org/content/338/6114/1560.full [31] http://cds.cern.ch/record/1459499/files/run204769_evt71902630_vp1base.png?subformat=icon-1440 [32] http://alpha.web.cern.ch/node/296 [33] http://alpha.web.cern.ch/news
Källor 24 [1] http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physpiceinstein.html [2] http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physpiceinfam.html [3] http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physpiceinstein.html [4] http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/physpiceingroup.html [5] http://www.lisepedia.se/konserthallen [6] http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/matura.gif Resten av källorna finns i pdf-filen på nätet! Vidareläsning Ett utsökt universum av Brian Greene Rumtid av Sören Holst