f(x) = x 2 g(x) = x3 100

När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer när x växer för följande funktioner f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x4 20000 x x 2 x 3 x 4 100 20000 0 0 0 0 20 400 80 8 40 1600 640 128 60 3600 2160 648 80 6400 5120 2048 100 10000 10000 5000 120 14400 17280 10368 140 19600 27440 19208 160 25600 40960 32768 180 32400 58320 52488 200 40000 80000 80000 220 48400 106480 117128 Tal med fet stil visar största värdet hos de tre funktionerna. Vi ser alltså att h(x) så småningom tar över ledningen för att aldrig släppa den när x fortsätter att växa. Om vi studerar funktionsvärden för polynom av udda gradtal, ser vi att de antingen kommer nerifrån och försvinner uppåt mot. Koefficienten som tillhör termen med högsta gradtalet är > 0. eller kommer uppifrån och försvinner neråt mot. Koefficienten som tillhör termen med högsta gradtalet är < 0. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

När det gäller polynom med jämna gradtal, ser vi att de antingen kommer nerifrån och försvinner neråt mot igen. Koefficienten som tillhör termen med högsta gradtalet är < 0. eller kommer uppifrån och försvinner uppåt mot igen Koefficienten som tillhör termen med högsta gradtalet är > 0. Vad kan man säga om termen med högsta gradtalet för dessa fyra grafer? (Vi antar att vi ser alla extrempunkter). 20 10-2 2 4 6-10 -20 20 10-2 2 4-10 -20 20 10-2 2 4 6-50 -2 2 4-10 -100-150 Längst upp till vänster har vi en polynomfunktion av udda gradtal. Om det är så att man ser alla extrempunkter (en maxpunkt och en minpunkt) så måste det vara en 3:egradspolynom med positiv koefficient. Till exempel p(x) = 2x 3... Längst upp till höger har vi också ett 3:egradspolynom men denna gång med negativ koefficient framför x 3 -termen. Till exempel p(x) = x 3... Längst ned till vänster har vi en polynomfunktion av jämnt gradtal. Ser vi alla extrempunkter (en max- och två minpunkt) handlar det om ett 4:egradspolynom med positiv koefficient framför x 4 -termen. Till exempel p(x) = x 4... Längst ned till höger har vi också ett 4:egradspolynom, men denna gång med negativ koefficient framför x 4 -termen. Till exempel p(x) = 2x 4... Vi förstår av detta, att vilka koefficienter termer med lägre gradtal än har, så är det termen med högsta gradtalet som avgör kurvans utseende för stora negativa och positiva x. För att kunna skissa en funktion f(x) är det bra att känna till var funktionen kommer ifrån för stora negativa x vart funktionen tar vägen för stora positiva x Håkan Strömberg 2 KTH Syd

funktionens f(x) nollställen nollställen till funktionens derivata, f (x) ibland också andraderivatan, f (x) (nästa föreläsning) Om man har den här kunskapen kan man skissa funktionen f(x) Fjärdegradspolynom. Hur många olika skisser kan ett fjärdegradspolynom uppvisa? Figur 1: Maximalt kan det finnas tre extrempunkter. Det är rötterna till ekvationen f (x) = 0 som avgör hur många extrempunkter det finns. Då vi talar om f(x) som 4:egradspolynom vet vi att f (x) är av 3:e graden. Det betyder att f (x) = 0 har maximalt tre reella rötter. Vi vet också att grafen till ett 3:egradspolynom skär x-axeln minst en gång, vilket betyder att f (x) = 0 har minst en rot. Vilket betyder att f(x) har minst en extrempunkt. Vi ska nu skissa ett fjärdegradspolynom p(x) = x 4 12x 3 + 48x 2 80x + 48 Från tidigare vet vi att det är mycket svårt att lösa fjärdegradsekvationer, därför får vi här hjälp med rötterna. När vi deriverar p(x) får vi x 4 12x 3 + 48x 2 80x + 48 = 0 x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 = 2 x 4 = 6 p (x) = 4x 3 36x 2 + 96x 80 Även rötterna till p (x) = 0 är svårfångade eftersom det är nästan lika svårt att lösa en tredjegradsekvetion. Även denna gång får vi hjälp 4x 3 36x 2 + 96x 80 = 0 x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 = 5 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

Nu har vi tillräckligt med kunskap om funktionen för att kunna skissa den. Vi ställer upp följande diagram för teckenstudier. x x < 2 x = 2 2 < x < 5 x = 5 x > 5 f (x) 0 0 + f(x) ց terrass ց min ր Vi sätter in ett stort negativt tal, till exempel 1000, och ser att f ( 1000) < 0. Det betyder att f(x) är avtagande. Vi ritar in en pil som pekar nedåt. Då x = 2 är f (x) = 0, alltså har vi träffat på en extrempunkt. Vi vet dock inte ännu vilken typ av punkt det handlar om. Då vi rör oss i intervallet 2 < x < 5 väljer vi ett möjligt x 1 och bestämmer f (x 1 ) till exempel f (3) = 4 3 3 36 3 2 + 96 3 80 = 8 (De gånger talet x = 0 ingår i intervallet är det ett lämpligt värde, missa inte det när det är möjligt). Vi ser att f (3) < 0. Då måste f(x) åter vara avtagande. Vi ritar in en ny pil som pekar nedåt. Nu kan vi också avgöra vilken typ av extrempunkt vi har i x = 2 en terrasspunkt! Då x = 5 har vi en ny extrempunkt, vilken kan vi ana om vi studerar figur 1, men vi väntar med avgörandet. Nu är det dags att sätta in ett stort positivt x-värde. 1000 dödar allt. Vi ser att f (1000) > 0 och att funktionen (äntligen) växer. Vi förstår då också att vi har en minpunkt för x = 5. Nu är det dags att visa grafen och konstatera att den överensstämmer med vår skiss. 40 30 20 10-10 -20 1 2 3 4 5 6 7 Figur 2: 1 Skissa funktionen f(x) = x 4 8x 3 26x 2 + 168x 135 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

Vi får reda på att f(x) har följande nollställen, f(x) = 0 har följande rötter (som vi egentligen inte behöver för denna uppgift) x 1 = 5 x 2 = 1 x 3 = 3 x 4 = 9 f (x) = 0 har följande rötter, som är betydligt viktigare för denna uppgift Rita diagrammet för teckenstudier Lösning: x 1 = 3 x 2 = 2 x 3 = 7 f (x) = 4x 3 24x 2 52x + 168 x x < 3 x = 3 3 < x < 2 x = 2 2 < x < 7 x = 7 x > 7 f (x) 0 + 0 0 + f(x) ց min ր max ց min ր Så här ser funktionen ut 1000 750 500 250-5 -2.5 2.5 5 7.5 10-250 -500 Figur 3: 2 Skissa funktionen f(x) = x 4 12x 3 + 54x 2 108x + 81 Vi får reda på att f(x) har följande nollställen, f(x) = 0 har följande rötter f (x) = 0 har följande rötter Rita diagrammet för teckenstudier Lösning: x 1 = 3 x 2 = 3 x 3 = 3 x 4 = 3 x 1 = 3 x 2 = 3 x 3 = 3 f (x) = 4x 3 36x 2 + 108x 108 x x < 3 x = 3 x > 3 f (x) 0 + f(x) ց min ր Håkan Strömberg 5 KTH Syd

Funktionens utseende 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 Figur 4: 3 Skissa funktionen f(x) har följande nollställen: f (x) = 0 har följande rötter: Rita diagrammet för teckenstudier Lösning: f(x) = x 4 4x 3 + 18x 2 20x + 7 x 1 = 7 x 2 = 1 x 3 = 1 x 4 = 1 x 1 = 5 x 2 = 1 x 3 = 1 f (x) = 4x 3 12x 2 + 36x 20 x x < 5 x = 5 5 < x < 1 x = 1 x > 1 f (x) + 0 0 f(x) ր max ց terrass ց Så här ser funktionen ut 400 200-10 -8-6 -4-2 2 4-200 -400-600 Figur 5: Håkan Strömberg 6 KTH Syd

1 Skissa funktionen f(x) = x 2 + 2x 8 Här får du inga rötter eftersom du själv kan ta reda på dem! Rita diagram för teckenstudier. 2 Skissa funktionen f(x) = x 3 6x 2 135x + 572 Här får du rötterna till f(x) = 0, fast du inte behöver dem: x 1 = 11 x 2 = 4 x 3 = 13 Rötterna f (x) = 0 kan du ta reda på själv. Rita diagram för teckenstudier. 3 Skissa funktionen f(x) = 0 har följande rötter: f (x) = 0 har följande rötter: Rita diagrammet för teckenstudier f(x) = x 4 + 12x 3 4x 2 192x 320 x 1 = 4 x 2 = 2 x 3 = 4 x 4 = 10 x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = 8 1 f (x) = 0 ger x = 1 f (x) = 2x + 2 x x < 1 x = 1 x > 1 f (x) 0 + f(x) ց min ր Håkan Strömberg 7 KTH Syd

2 f (x) = 0 ger ekvationen f (x) = 3x 2 12x 135 3x 2 12x 135 = 0 x 2 4x 45 = 0 x = 2 ± 4 + 45 x = 2 ± 7 x 1 = 9 x 2 = 5 x x < 5 x = 5 5 < x < 9 x = 9 x > 9 f (x) + 0 0 + f(x) ր max ց min ր Så här ser funktionen ut 1000 800 600 400 200-10 -5 5 10-200 -400 Figur 6: 3 f (x) = 4x 3 + 36x 2 8x 192 x x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 3 < x < 8 x = 8 x > 8 f (x) + 0 0 + 0 f(x) ր max ց min ր max ց Så här ser funktionen ut Håkan Strömberg 8 KTH Syd

500 250-5 -2.5 2.5 5 7.5 10-250 -500-750 -1000 Figur 7: Räkna bokens uppgifter: 3112, 3114, 3117, 3118, 3119, 3121, 3122, 3125, 3126, 3128 3112 TB: Här blir det inte så mycket räkna, eller hur? Vi har funktionen f(x) = x 3 + 5x 1. När x är stort, typ 1000000 är det förstås x 3 -termen som dominerar. Dess värde 10 18 överskuggar förstås alla andra termer i polynomet. Samma sak gäller för x = 1000000. När x är litet, till exempel 0.000001, så är det 1:an som dominerar över de andra två termerna. TB: Du, jag orkar inte bestämma f (x) = 0 en gång till. Har jag inte visat att jag kan det? KTH: I en skiss behöver du bara plocka fram vilken kategori kurvan tillhör 15 10 5-4 -2 2 4-5 -10-15 Figur 8: TB: Det måste vara B. 3114 TB: Vilken dålig variation det är. Vad skiljer denna funktion från de jag redan bestämt i de andra uppgifterna? Håkan Strömberg 9 KTH Syd

KTH: Räkna på får du väl se! f(x) = x 3 + 3x 2 f (x) = 3x 2 + 6x f (x) = 0 då 3x 2 + 6x = 0 x 2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x 1 = 0 x 2 = 2 f(0) = 0 och f( 2) = 4. Maxpunkt i ( 2, 4) och minpunkt i (0, 0). När jag plottar den får jag: 10 7.5 5 2.5-4 -2 2 4-2.5-5 Figur 9: 3117 Den enda skillnaden från tidigare uppgifter är att man kan bestämma nollställena till f(x) därför att det är möjligt att lösa ekvationen f(x) = 0. Man ser från grafen att detta är riktigt. x 3 + 3x 2 = 0 x 2 (x + 3) = 0 x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 3 TB: En fjärdegradspolynom. En nyhet! f(x) = 25+28x 2 x 4. Den här kan ha enda upp till tre extrempunkter. Men kan man verkligen ta reda på var de finns eftersom vi varken kan lösa 3 eller 4 gradsekvationer. KTH: Vi har tidigare lös denna typ av ekvationer. Den då x 3 och x termer saknas. Hur gör man? TB: Grubbel, grubbel... KTH: Nyckelordet heter substitution TB: Då vet jag, vi substituerar t = x 2 i ekvationen och får 25 + 28t t 2 = 0 25 + 28t t 2 = 0 t 2 28t 25 = 0 t = 14 ± 14 2 + 25 t 1 = 14 221 t 2 = 14 + 221 Nu vet ja alltså vad t är då ska jag lösa t = x 2. Det måste bli två ekvationer en för t 1 och en för t 2. Varje ekvation ger mig två rötter till den ursprungliga Håkan Strömberg 10 KTH Syd

ekvationen: x 1 = 14 221 x 2 = + 14 221 x 3 = 14 + 221 x 4 = + 14 + 221 x 1 och x 2 är inte reella eftersom vi får ett negativt tal under rottecknet. Återstår de de två reella x 3 5.37272 och x 4 5.37272. Här är grafen som bekräftar: 200 100-6 -4-2 2 4 6-100 -200 Figur 10: KTH: Du vet nu att det finns två nollställen till funktionen och i grafen kan vi se att det finns tre extrempunkter, två maximum och ett minimum. Kan du ta reda på i vilka punkter de ligger? TB: Principen för hur det ska gå till, känns som jag har visat många gånger nu, men eftersom derivatan är ett polynom av tredje graden kan det bli knepigt, om inte omöjligt att finna rötterna. Jag gör ett försök: 3118 f (x) = 56x 4x 3 f (x) = 4x(14 x 2 ) x 1 = 0 x 2 = 14 x 2 = 14 Det blev ju inga problem alls. f(0) = 25 ger minimum i punkten (0, 25) och f( 14) = 221 och f( 14) = 221 ger maximum i punkterna ( 14, 221) och ( 14, 221) TB: En funktion given på ett lite annorlunda sätt f(x) = 4x(x 6)(x 10). Detta gör att det blir huvudräkning att bestämma rötterna till f(x) = 0. De blir x 1 = 0, x 2 = 6 och x 3 = 10. KTH: Är du säker på att det inte finns fler rötter. TB: Ja, för om jag skulle utveckla parenteserna så skulle det sluta i en polynom av tredje graden. Det ser man på långt håll. Men när jag nu ska ta reda på Håkan Strömberg 11 KTH Syd

extrempunkterna kommer jag inte ifrån att utveckla parenteserna: f(x) = 4x(x 6)(x 10) f(x) = 4x 3 64x 2 + 240 f (x) = 12x 2 128x f (x) = 0 då 12x 2 128x = 0 ( 2 8 ) 19 x 1 = 2.4274 ( 3 2 8 + ) 19 x 2 = 8.23927 3 Det blev inga snälla värden f(x 1 ) = 262.682 och f(x 2 ) = 129.942 Vi har en maximipunkt i (2.4274, 262.682) och en minpunkt i (8.23927, 129.942) 200 100-100 2 4 6 8 10-200 -300 Figur 11: KTH: Det blev lite mer än en skiss av kurvan, eller hur? TB: Jag har en uppgift kvar. När är f(x) > 0. Dels när 0 < x < 6 och då x > 10. Lätt att säga när man har grafen. 3119 TB: Vi känner alltså rötterna x 1 = 2, x 2 = 1 och x 3 = 4 till ekvationen p(x) = 0 och vet att a < 0 i f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d. Nu ska jag skissa kurvan. Man kan inte bestämma a, b, c och d eftersom man har fyra obekanta och tre villkor, de tre rötterna. Tidigare har vi sagt att det finns oändligt många polynom av tredje graden med de givna rötterna. Så därför måste det verkligen bli frågan om en skiss den här gången. Ekvationen (x + 2)(x 1)(x 4) = 0 har de tre givna rötterna. Om jag expanderar detta uttryck får jag x 3 3x 2 6x + 8 = 0. Motsvarande funktion p(x) = x 3 3x 2 6x + 8 är alltså en av många. Så här skulle man kunna skriva alla p(x) = m(x 3 3x 2 6x + 8). m kan nu vara vilket tal som helst. Speciellt i texten står det att koefficienten till x 3 ska vara negativ, så varför inte låta m = 1. Genom att plotta denna funktion får vi svaret. Håkan Strömberg 12 KTH Syd

KTH: Kan du inte istället resonera dig fram till hur grafen ser ut. TB: Vi har alltså p(x) = x 3 + 3x 2 + 6x 8. När x är ett stort negativt tal är p(x) > 0 vilket betyder att kurvan kommer snett uppifrån vänster, skär x-axeln i x = 2, når ett minimum någonstans mellan x > 2 och x < 1. Vänder förstås där till positiv lutning och skär x-axeln igen i x = 1. Snart når den ett maximum för att åter vända ner, skära x-axeln i x = 4 och försvinna snett ned åt höger. Rörigt eller hur. "En bild säger mer än tusen ord". Här kommer grafen 40 20-4 -2 2 4 6 8-20 -40 Figur 12: 3121 TB: Den här gången får vi våra ledtrådar i form av en tabell 3122 x 3 1 2 4 f(x) 0 0 5 0 Jag ska nu försöka finna a, b, c och d till funktionen f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d. Det lär gå bra eftersom det finns fyra obekanta och fyra punkter givna. Vi har lite tur eftersom tre av punkterna samtidigt är nollställen till funktionen. Då kan man skriva f(x) = m(x + 3)(x + 1)(x 4). m kan nu ha vilket värde som helst eftersom vi kan förkorta bort m när vi ska lösa ekvationen f(x) = 0, m(x + 3)(x + 1)(x 4) = 0. Oavsett m har vi de tre rötterna. Men vi har en fjärde punkt given, (2, 5), som vi nu ska utnyttja för att bestämma m. f(2) = 5 leder till ekvationen m(2+3)(2+1)(2 4) = 5 som ger m = 1/6. Funktionen är alltså f(x) = 1 (x + 3)(x + 1)(x 4). Om jag utvecklar parenteserna så får 6 jag: f(x) = 2 + 13x 6 x3 6 TB: Jag är säker på att jag aldrig kommer att glömma denna teori efter denna exercis. En uppgift till, med samma innehåll. Man vill att jag ska skissa kurvan utan att försöka bestämma vare sig nollställen för f(x) eller f (x). Funktionen f(x) = 4x 3 3x 4 kan ha fyra nollställen och tre extrempunkter. Men samtidigt kan ett polynom av fjärde graden helt sakna nollställen och bara ha en extrempunkt. Hur ska jag veta vilket, bara genom att stirra på funktionen. KTH: Du måste förstås försöka få fram nollställena till f(x). Håkan Strömberg 13 KTH Syd

TB: Jag ser nu att vi kan skriva f(x) = x 3 (4 3x). Ekvationen f(x) = 0 har två rötter x 1 = 0 och x 2 = 4/3 KTH: Vilka rötter har då ekvationen x x x(4 3x) = 0? TB: Det är ju samma ekvation!? Aha, nu förstår jag vad du menar. Rötterna är x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0 och x 5 = 4/3. För f(10000) < 0, som betyder att funktionen kommer nedifrån vänster, skär x-axeln i punkten (0, 0). Når sedan ett maximum, för att vända nedåt igen, skära x-axeln för x = 4/3 och försvinna ned till höger. KTH: Nästan rätt. Frågan är vad som händer i (0, 0). TB: Jag vet inte. Får jag plotta funktionen? 1 0.5-1.5-1 -0.5 0.5 1 1.5-0.5-1 -1.5 Figur 13: Nu ser jag det finns en terrasspunkt i (0, 0). Hur skulle jag kunna se det? KTH: Jag vet inte! Men du kommer säker att se det då du löser f (x) = 0. 3125 f(x) = 4x 3 3x 4 f (x) = 12x 2 12x 3 f (x) = 0 då 12x 2 12x 3 = 0 x 2 x 3 = 0 x 2 (1 x) = 0 x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 1 Ekvationen har en dubbelrot i (0, 0), som betyder att det finns en terrasspunkt här. Jag konstruerar en teckentabell TB: Varför denna enkla uppgift? f (x) + 0 + 0 x 0 1 KTH: Boken vill fästa din uppmärksamhet på att en funktion kan vara definierad endast i ett intervall på x-axeln. Den här är bara definierad för 2 x 12. TB: Så när man ska ta reda på funktionens maximum, så är det inte bara maxoch minpunkter man ska titta på. Man måste också ta reda på vilka värden funktionen har i början och slutet av intervallet. Håkan Strömberg 14 KTH Syd

KTH: Precis. TB: De skiljer på lokala och globala extrempunkter. Jag tror att jag förstår att, till exempel, ett lokalt minimum är ett minimum bara runt omkring en given punkt. Globalt däremot gäller, i hela intervallet. I så fall finns det fyra lokala extrempunkter. Två maxpunkter (5, 9) och (12, 11) och två minpunkter (2, 5) och (9, 2). Globalt kan det aldrig finnas fler än ett maximalt och ett minimalt värde. Här är (12, 11) den globala maxpunkten och (9, 2) den globala minpunkten. 3126 TB: Som en repetition på förra uppgiften kan jag säga att man måste beräkna f(0.5), f(1), f(3) och f(4.5). Inte i någon annan punkt kan max- och minpunkterna ligga. Om nu funktionen är f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 3, kan jag då lita på texten ovan att f (x) = 0 för x = 1 och x = 3? KTH: Ja, det kan du. TB: I så fall är det bara att utföra det jag sagt ovan f(0.5) = 6.125,f(1) = 7,f(3) = 3 och f(4.5) = 13.125. Maxpunkten är alltså (4.5, 13.125) och minpunkten (3, 3) 3128 b) TB: Nu är det tydligen intervall som gäller. Intervallet denna gång är 1 x 0 och funktionen är f(x) = x 3 x 2 x + 2. Det finns ju den möjligheten att en extrempunkt jag finner inte ligger inuti intervallet, så man får se upp f(x) = x 3 x 2 x + 2 f (x) = 3x 2 2x 1 f (x) = 0 då 3x 2 2x 1 = 0 x 2 2 3 x 1 3 = 0 x = 1 3 ± 1 9 + 3 9 x = 1 3 ± 2 3 x 1 = 1 x 2 = 1 3 Ja, titta x 1 = 1 tillhör inte intervallet. Återstår då att beräkna f( 1) = 1, f( 1/3) = 59/27 och f(0) = 2. Det minsta värdet funktionen antar i det givna intervallet är alltså 1 och det sker i en av intervallets ändpunkter. Håkan Strömberg 15 KTH Syd