Svar till gamla tentamenstal på veckobladen Data/Eletro 4 A Patienten är ett allvarligt fall B Patienten är under 4 år C Någon av patientens föräldrar har diabetes 8 + + + + + 8 + a) P(A).4 och P(C).8 8 + d.v.s. P(A) P(C).4.8.3 medan P(A C).8 d.v.s. A och C är beroende b) ) P(A C B C + ) P(patienten är ett lindrigt fall över 4 år).3 ) P(A C B C ) P(patienten är inte ett allvarligt fall under 4 år) P(A B)..9 3) P(A C B C C ) P(patienten är ett lindrigt fall under 4 år vars föräldrar inte har diabetes). Data 989 herrar och n damer ) varje herre kysser n damer antal kyssar n ) antal handskakningar mellan herrar n antal handskakningar mellan damer Antal kyssar antal handskakningar n n + 4 n ( n ) n + 3n + (n - n) n - 3n + n 3 96 ± n 3 ± n och n OBS! Två svar 4
Data/Eletro 733 A: Den svarta tärningen kommer upp med 6 ögon. B: Den vita tärningen kommer upp med 6 ögon. C: Summan av antal ögon på den svarta och den vita tärningen är udda. a) Om A och B är oberoende så gäller att P(A B) P(A) P(B) Ovannämnda situation kan illustreras genom att man ritar in de olika tal-paren i ett spridningsdiagram. kast med tärning 6 4 3 tärningarna visar vilka antal ögon som tärning och har. tärningarna visar 6 ögon på både tärning och. 3 4 6 kast med tärning P(A) P(B) 6 P(A B) (enligt ovanstående figur) 36 P(A) P(B) 6 6 36 P(A B) A och B är oberoende b) Denna situation kan illustreras av nedanstående figur kast med tärning 6 4 3 tärningarna visar vilka antal ögon som tärning och har. tärningarna visar när summan av antal ögon är udda. 3 4 6 kast med tärning Uppgiften fortsätter på nästa sida
fortsättning uppgift: P(A) 6 8 P(C) 36 P(A C) (fås mha den översta raden svarta prickar i ovanstående figur) 36 3 P(A) P(C) 6 P(A C) A och C är oberoende c) Är de tre händelserna A, B och C oberoende eller beroende av varandra? P(A B C) eftersom det inte finns någon situation där både tärning och har 6 ögon samtidigt som summan av antal ögon skall vara udda. P(A) P(B) P(C) 6 6 7 P(A B C) A, B och C är beroende. Bygg 99 Låt F vara händelsen att vi erhållit det felaktiga myntet. P(F). P(F C ).99. a) Låt K vara händelsen att vi erhållit en klave i ett kast. Sannolikheten för K blir givetvis olika beroende på vilket mynt vi har valt. Vi får alltså en betingad sannolikhet. Vi antar att mynten är symmetriska. Alt : Myntet, som vi har valt är inte det felaktiga. P(K).. Men uppgiften bestod i att vi skulle studera tre kast. Variabeln antal klavar är binomialfördelad. Sannolikheten att få tre klavar i tre kast när vi använder ett felfritt mynt blir 3 P(K K K 3 )... 3 Alt : Vi har valt det felaktiga myntet. P(K).. Eftersom vi erhåller klave varje gång vi kastar så blir även sannolikheten för att erhålla tre klavar i tre kast P(K K K 3 ). Vi kombinerar båda dessa resultat för att få sannolikheten att med ett slumpmässigt valt mynt få tre klavar i tre kast. P(K K K 3 ) P(K K K 3 F C ) P(F C ) + P(K K K 3 F) P(F)..99 +...337 Vi kan nu beräkna den efterfrågade sannolikheten genom att använda Bayes sats: P(F K K K 3 ) P(K K K3 F) P(F)...7 P(K K K ).337 3
P(K... Kn F) P(F) b) P(F n klavar i n kast) P(K... Kn).. C C P(K... K F) P(F) + P(K... K F ) P(F ) n n..... n >.9 +.99.. >.9(.. +. n.99)..9 >. n.89. >. n n ln. > ln.334 n (-.693478) > -6.7934483.89 6.793448 n > 9.799 dvs minst tio kast.693478 Bygg 99 a) Beräkna sannolikhetsfördelningen för A:s vinst. Antal kast, η P(ηy) Banken betalar ut A:s vinst, ξ 3 ( ) ( ) 6 6 6-7 ( ) ( ) 6 6 6 ( ) ( ) 6 6 6 3 3 ( ) ( ) 3 6 6 6 P(ηy) P(ξ) 7 Förväntad vinst: E(ξ)] i P( ξ i ) - + + + 6 6 6 6 8 6-3.93 dvs en förlust på c:a 4 franc. b) Var(ξ) i P( ξ i ) [E(ξ)] ((-) + 7 + + 6 6 6 + 8 ) ( ) 397.9443 S(ξ).69 6 6 c) spelaren vinst: ζ ξ + ξ +.+ ξ är ungefär N( (-3.93);.69) N(-96.7; 393.69) P(bankens vinst >) P(ζ ) P(Z ( 96.7) ) Φ(.).69 393.69
Maskin 987 ξ antal bilar ξ Po(λ bilar/ min) a) Räkna om λ till antal bilar/ minuter. λ.667 bilar/ min P(ξ ) P(ξ ) e -.667.667 (!.667 + ).4.496! Maskin 4 6 6 e a) f ()d c d + c e d c + c 6 4 c + c ( ) c c. 6 6 b) : F() f (t)dt < < : t F() f(t)dt dt +. ( t )dt.. ( + ).7( + ) : F() 6t f (t)dt dt +. ( t)dt +. e dt 6t 6 t e e + 6. +..( + ) +.( + ).e + 6 6 6 Fördelningsfunktionen: F().7(.e 6 + ) + för för < < för c) P(. < ξ) + P(ξ <.) P(ξ <.) + P(ξ <.).e + +.7( + ). e -3 +.6.749 6 [ ]. [ ].
Bygg 99 ξ i är Ep(λ i ) F() - i e λ för i,, 3 där λ λ. och λ 3 del och : - F() e -...7788 del 3: - F() e -..66 P(systemet fungerar) P(del fungerar del fungerar del 3 fungerar) (oberoende).7788.66.368 Kemi 46 a) λ. samtal / min λ. samtal / 3 min P(ξ ) e -...3! b) λ. samtal / min λ. samtal / min P(ξ > ) P(ξ ) e -.. (!.. + + ).438.46!! c) η tiden mellan två samtal η Ep(λ. samtal / min) P(ξ > ) P(ξ ) ( e -. ) e -.3679 Bygg 99 ξ är N(µ, ). 99% 74 µ P(ξ>74).99 P(ξ>74) - P(ξ 74) P(Z 74 µ ).99 P(Z 74 µ 74 µ ). -.33 µ 74 +.33 786.6
Väg o vatten 3 a) ξ pris på brödet ξ P(ξ ).8 8. E(ξ).8 + 8. 7:6 E(Vinst/bröd) 7:6 :-- :6 kr b) ξ P(ξ ) 8.9 8. E(ξ) 8.9 + 8. 7:-- E(Vinst/bröd) 7:-- :-- :-- kr b) ξ P(ξ ) 8 p 8 p E(vinst/bröd) 8p + 8( p) Om man tolkar frågan så att man måste gå med plus dvs att E(ξ) > :-- så får man lösningen 8p + 8 8p p 7 > p >.7 dvs, det kan innebära att det räcker att efterfrågan första dagen är lite mer än 7%. Om man tolkar frågan så att man måste gå med få ett bättre resultat än vi d den ordinarie försäljningen dvs att E(ξ) > 7:6 så får man lösningen 8p + 8 8p p 7 :6 p.96 Efterfrågan första dagen måste öka till 96% av tillverkningen. Data 986 σ 49 P P ( µ < ) P( < µ < ) ( Z <.7) P( Z <.7). 9898 P Z < 7 8 P Z < 7 8
Data 99 A 9 8 9 a b b b 4 9 A t A 9 8 9 9 8 9 98 98 93 38 38 n A t b 9 8 9 4 9 7 44 36 y y y () a + 98b + b 7 () 98a + 93b + 38b 44 (3) a + 38b + b 36 () (3) () 9 (3) 3a + 6b 3 6a + 8b 73 (4) () 3a + 6b 3 6a + 8b 73 () (4) 8b 3 b 3.7 a 3 (3 ) -63.3333 b. 67.8 y -63.33 + 3.7 +.8 b) Tolkning av koefficienterna a -63.33 är det antal studietimmar man skulle ha som nyfödd pojke. (nonsens) b 3.7 är den genomsnittliga skillnaden i antal studietimmar mellan två studenter med ett års åldersskillnad när båda studenterna är av samma kön. b.8 är den genomsnittliga skillnaden i antal studietimmar mellan män och kvinnor i samma åldersklass.
Kemi 986 a) Steg H : µ 4. H : µ > 4. Steg α. %.64 Steg 3 Välj test variabeln z µ σ n Steg 4 Urval gav z 4. 4.. 6. 4 Steg H förkastas. Tillverkarens påstående är troligtvis inte korrekt. b) µ 4. µ 4. Kritiskt värde uttryckt i normalförde ln ingen med µ 4. och σ. * 4 64.. +. 4. 8 6 4 8 4 *.. β P( X < µ 4. ) P z< ( 4 ) 8. P z <.. 6 Styrkan β. 998