Föreläsning 3: Relativistisk energi Om vi betraktar tillskott till kinetisk energi som utfört arbete för att aelerera från till u kan dp vi integrera F dx, dvs dx från x 1 där u = till x där u = u, mha substitution dx = udt dt oh att (du/dt ) udt= udu kin m udu u m 3/ 1 u 1 u instein: viloenergi m Total relativistisk energi: γ m kin m m Mha p = mβγ oh lite räkning p m 4 kin m 1 u m För foton med massan : = p SH19, modern fysik, VT1, KTH Relativistisk energi (forts) Invarianta massan M ändras inte under Lorentz-transformationen (karakteriserar en partikel i form av vilomassa) M p I bevarad energi ingår summan av kinetisk energi oh massenergi. xempel: π + (partikel som består av upp-kvark oh anti-ner-kvark) i vila sönderfaller: π + μ + + ν μ I labbet har μ + kinetiska energi mätts till 4,3 MeV, dess vilomassa är 15,66 MeV/. Neutrinon kan betraktas som masslös. μ + : rörelsemängd ges ur p = m 4 där = kin + m = 4,3 + 15,66 MeV = 19,96 MeV ger p 3,37 MeV/. ν μ : massan =. Rörelsemängden bevaras oh då π + var i vila, dvs p= måste neutrinen ha p 3,37 MeV/ motsatt riktat μ + rörelsemängd. ν =p = 3,37 MeV. Invarianta massan: M = 1/ (( ) ( p) ) ½ = 1/ ((19,96+3,37) ) ½ 14 MeV/ ( ur tabell: 139,6 MeV/ ) SH19, modern fysik, VT1, KTH
Rumstiden (ingår kursivt) Inför fyrdimensionell rumstid: (x, y, z, t ) (Minkowski rummet) Betrakta två händelser 1 oh med koordinater (x 1,t 1 ) oh (x,t ) enligt figur. Inför begreppet rumstidsintervall som (Δs) = (Δt ) -(Δx) = ((t -t 1 )) (x -x 1 ) Pss har vi i S systemet: (Δs ) = (Δt ) -(Δx ) = ((t -t 1)) (x -x 1) men x =γ( x vt ) oh t = γ(t - vx/ ) fter insättning oh omstuvning fås (Δs ) = (Δt ) -(Δx ) = (Δs) För att en händelse skall kunna orsaka en annan måste: (Δs) > ( timelike ) Δs är invariant under Lorentz-transformationen Med (Δs) = gäller att Δt = Δx ( lightlike ) SH19, modern fysik, VT1, KTH Rumstiden (forts) För att en händelse skall kunna orsaka en annan måste: (Δs) > ( timelike ) Med (Δs) = gäller att Δt = Δx ( lightlike ) SH19, modern fysik, VT1, KTH
För den intresserade (överkurs): Mha fyrvektorer kan nu Lorentztransformastionen skrivas på matrisform: För rörelsemängd oh energi fås: SH19, modern fysik, VT1, KTH Allmänna relativitetsteorin mgm g Gravitation (från Newtonsk mekanik): Fg G massa attraherande egenskap i gravitation r Samtidigt har vi massa som tröghetsegenskap mot förändring av hastighet: F mi G är vald så att m g oh m i är lika. a instein (1916) i allmänna relativitetsteorin. Samma naturlagar gäller för alla observatörer i vilket referenssystem som helst vare sig det är aelererande eller ej. I närheten av varje punkt är gravitationsfältet ekvivalent med ett aelererande referenssystem utan gravitationsfält. Gravitationen krökning av rumstiden. (a) oh (d), gravitation (b) oh (), kraft, ingen gravitation (a) = (b) () = (d) SH19, modern fysik, VT1, KTH
Gravitationens påverkan på ljus Ur =m oh = hf får vi att ljus har en effektiv tröghetsmassa m eff =hf/ (även om fotonen är masslös, dvs vilomassa=) Ljus bör därför böjas av kring objekt med hög massa, t.ex. solen. Detta har observerats! Även gravitationella linser i form av utsloknade stjärnor i halon kring galaxer har observerats (MACHO = MAssive Compat Halo Objet) (men inte i den omfattning att mängden av massa i halon kan förklaras. Kanske är WIMP =Weakly Interating Massive Partile Förklaringen. Se sista föreläsningen) SH19, modern fysik, VT1, KTH Virgo SH19, modern fysik, VT1, KTH
Gravitationsvågor Allmänna relativitetsteorin tillåter en vågliknande egenskap hos gravitationsfältet på motsvarande sätt som elektromagnetismen. Partikelekvivalent: gravitonen, masslös Problem: myket svagare än elektromagnetisk växelverkan. xtremt svår att detektera. Indirekt bevis från pulsarer. Katastrofisk händelse t.ex. supernova skulle kunna ge detekterbar signal på jorden. Prinip för detektion: stång expanderas i viss riktning oh komprimeras i vinkelräta riktningen pga gravitationsvåg. Mätes med interferometer. VIRGO utanför Pisa SH19, modern fysik, VT1, KTH Gravitationens påverkan på ljus (forts) Studera ljus från massiv stjärna. Vid ytan är ljusets frekvens f. Vad är frekvensen f på myket stort avstånd? Använd energibetraktelse. Potentiella energin pga gravitationen på stjärnans yta vid radie R s (om = vid ) = -GMm/R s men m =hf /. GM hf hf hf R s GM f f 1 Rs xempel: Stjärna med solens massa = 1,99 1 3 kg oh jordens radie = 6,37 1 6 m f f f GM f f R s 11 3 6,671 Nm / kg 1,991 kg 6 8 6,371 m3,1 m / s,31 Gör t.ex. att ljus med våglängd 3 nm skiftas till till 3,7 nm. Gravitationellt rödskift (Med solens radie = 6,96 1 8 m blir Δf/f - 1-6 ) 4 Om GM /R s > 1: Inget ljus kan slippa ut. Svart hål SH19, modern fysik, VT1, KTH
lektromagnetisk strålning Maxwell: Ljus: lektromagnetisk våg (xperiment av Heinrih Hertz) Q da d ds dt B da B ds B I d dt Osillerande elektrisk ström i tråd ger osillerande elektriska oh magnetiska fält med samma frekvens. Detta M fält har samma egenskaper som ljus: reflektion, refraktion, interferens, polarisation, hastighet () SH19, modern fysik, VT1, KTH Fotoelektriska effekten (Hertz, Thomson, Lenards) Ljus slår ut elektroner från metallplattan. Maximal kinetisk energi för elektronerna mäts genom att bromsa upp dem med negativ spänning på kollektorn. kin,max = q e V Klassiskt: maximal kinetisk energi borde bero av ljusintensiteten. xperimentellt: kin,max beror inte av intensitetet men däremot av ljusets frekvens SH19, modern fysik, VT1, KTH
instein (195): Ljuset uppträder som partikel, foton, med energi hf = hf kin,max = hf φ där φ är utträdesarbetet SH19, modern fysik, VT1, KTH