DYNAMISKT SYSTEM. STABILITET. Innehåll

DYNAMISKT SYSTEM. STABILITET STIG LARSSON Matematik, Chalmers tekniska högskola Innehåll. Dynamiskt system. Linjärisering. Stabilitet.. Dynamiskt system.2. Stationär lösning 2.3. Linjärisering 3.4. Homogent system 5.5. Matrisexponentialfunktionen 6.6. Symmetriskt system 6.7. Osymmetriskt system 7.8. Inhomogent system 8.9. Styva differentialekvationer 9 2. Övningar 0 3. Svar och lösningar till vissa övningar. Dynamiskt system. Linjärisering. Stabilitet.. Dynamiskt system. Vi börjar med ett enkelt exempel. Exempel. Rörelseekvationerna för en dämpad, driven pendel är ) mlθ t) = mg sin θt) blθ t)+mt)/l, [N=kg m s 2 ] med beteckningar enlig Figur, där m [kg] är pendelns massa, l [m] dess längd, g [9.8 ms 2 ] tyngdaccelerationen, θt) utslagsvinkeln vid tiden t [s], b [Ns/m] är en dämpningskoefficient luftmotståndet är proportionellt mot farten) och Mt) [Nm] är ett vridmoment en elmotor på axeln ). Symbolerna inom klammer anger SI-enheter. Vi säger t ex att l bär dimensionen längd och mäts i SI-enheten m och att Mt) bär dimensionen kraft längd och mäts i Nm. Vinkeln mäts i radianer och är dimensionslös. Det är till stor hjälp att göra sådan dimensionsanalys när man ställer upp matematiska modeller för tekniska system. Mt) l θ m mg Figur. Pendeln. Date: 25 November 200 /stig.

2 STIG LARSSON Med beteckningarna X = θ, X 2 = θ, U = M, ω = g/l [s ], α = b/m [s ], β =/ml 2 ) får vi 2) Detta kan skrivas på matrisform, X t) =X 2t), [s ] X 2 t) = ω2 sin X t) αx 2 t)+βut). [s 2 ] X t) =F Xt),Ut)), där X = X F, F =, X 2 F 2 och F X, U) =X 2, F 2 X, U) = ω 2 sin X t) αx 2 t) +βut). Till dessa ekvationer kommer ett begynnelsevillkor θ0 X0) =, ν 0 där θ 0 och ν 0 är pendelns utslagsvinkel respektive vinkelhastighet vid tiden t =0. Mer allmänt betraktar vi ett begynnelsevärdesproblem för ett system av icke-linjära ordinära differentialekvationer av typen 5) X t) =F Xt),Ut)), t > 0, X0) = X 0, där Xt) R n är den obekanta lösningen, F : R n R m R n är en given vektorvärd funktion av X R n och U R m, Ut) R m är en given funktion och X 0 R n är ett givet begynnelsevärde. I exemplet är n =2ochm =. Vi betraktar detta som ett dynamiskt system, där vi ger indata X 0 och Ut) ochberäknar utdata Xt), se Figur 2. I detta sammanhang kallas X tillståndsvariabler och U styrvariabler. Tillståndsvariablerna kan t ex representera temperaturer och koncentrationer av reagerande ämnen i en kemisk reaktor och styrvariablerna kan representera flöden av tillförda ämnen och värmeflöden i värmeväxlare för kylning och uppvärmning. Ofta kan man inte mäta observera) tillståndsvariablerna X direkt och inför då observerbara variabler Y R k, som beror på X enligt Y t) =GXt)), vilket representerar mätprocessen. Information från Y kan sedan adderas till U i en återkopplingsslinga feedback loop) t ex om det blir för varmt ökar man kylningen). Vi bortser från detta här och arbetar bara med X, U, enligt Figur 2. Observera att systemet är autonomt om det inte finns några styrvariabler: X = F X). Vi är inte intresserade av en enskild lösning Xt) utan av systemets beteende då vi varierar indata. Differentialekvationen är icke-linjär och kan i allmänhet endast lösas numeriskt. Viss information om systemets beteende kan man dock få genom att linjärisera, vilket vi nu skall beskriva. X 0 Ut) Xt) Figur 2. Dynamiskt system..2. Stationär lösning. Antag att systemet 5) har ett stationärt tidsoberoende) tillstånd X, Ū. Eftersom X = 0 ger 5) att 6) F X,Ū) =0. I tillämpningar kan X representera en arbetspunkt eller jämviktsläge), som man vill uppnå genom att ställa in styrvariabeln Ū pålämpligt sätt.

DYNAMISKT SYSTEM. STABILITET 3 Exempel. För pendeln fås de stationära punkterna genom att sätta X t) =X 2t) = 0 i 2), vilket leder till ekvationssystemet X 2 =0, 7) ω 2 sin X α X 2 + βū =0. Om vi väljer t ex Ū = 0 dvs inget yttre vridmoment) får vi lösningarna X 2 =0, X = kπ, k =0, ±, ±2,...Pågrund av periodicitet räcker det att betrakta de två fallen X =0nedre jämviktsläget) [ och [ X = π övre jämviktsläget). Med Ū = 0 har vi alltså två stationära punkter 0 X = och 0] X π =. 0] Å andra sidan, om vi vill att pendeln ska ställa in sig på vinkeln X = φ 0 φ<π/2), väljer vi Ū såatt ω 2 sin φ + βū =0, dvs Ū = ω2 β sin φ. Med detta värde på Ū ges de stationära lösningarna av X 2 = 0 och ekvationen ω 2 sin X + ω 2 sin φ =0, med lösningarna { φ + k2π X =, k =0, ±, ±2,... π φ + k2π Med Ū = ω2 β sin φ får vi alltså bortsett från periodiska upprepningar) två stationära punkter [ φ X = och 0] X π φ =. 0 Vi kan alltså tatvå attityder: i) med styrvariabeln Ū given, bestäm vilka jämviktstillstånd X som är möjliga; ii) bestäm styrvariabeln Ū så att ett givet jämviktstillstånd X uppnås..3. Linjärisering. Låt nu Xt) meddatax 0, Ut) vara en lösning till 5) som är nära X. Med ) Xt) = X + Xt), Ut) =Ū + Ut), X 0 = X + X 0, kanvibetrakta Xt) somenstörning i tillståndet Xt) orsakad av störningarna X 0 och Ut) i data. Vi söker en ekvation för Xt). Vi har X t) =X t) =F Xt),Ut)) = F X + Xt), Ū + Ut)). Definitionen av derivatan av F i punkten X, Ū ger F X + Xt), Ū + Ut)) = F X,Ū)+F X X,Ū) Xt)+F U X,Ū) Ut)+Rt), där resttermen Rt) = E F Xt),Ut), X,Ū) uppfyller Rt) K F Xt) 2 + Ut) 2). Utskrivet i komponentform blir detta X t) F i X + Xt), Ū + Ut)) = F i X,Ū)+ Fi F i X, Ū),..., X, Ū) X X. n X n t) 4) [ Fi + U X,Ū),..., F i U X,Ū) m = F i X,Ū)+ n + m j= Eftersom F X,Ū) =0,får vi på matrisform) j= F i X j X,Ū) X jt) F i U j X,Ū) U jt)+r i t). F X + Xt), Ū + Ut)) = A Xt)+B Ut)+Rt), ] U t). U m t) + R i t)

4 STIG LARSSON där matriserna F A = F X X,Ū) = X X,Ū)... F X X,Ū) n.. F n X X,Ū)... F n 6) X X,Ū), n F B = F U X,Ū) = U X,Ū)... F U X,Ū) m.. F n U X,Ū)... F n U X,Ū), m kallas Jacobimatriser till F i punkten X, Ū. Densökta ekvationen för Xt) är alltså X t) =A Xt)+B Ut)+Rt), t > 0, 7) X0) = X 0. Observera att denna endast är en omskrivning av 5). Om Xt) och Ut) är små, så kanvi förenkla 7) genom att försumma resttermen, och vi får det linjäriserade systemet x t) =Axt)+But), t > 0, 8) x0) = x 0, för den approximativa störningen xt) Xt) orsakad av datastörningarna x 0 = X 0 och ut) = Ut). Notera sambanden Xt) X + xt), X 0 = X + x 0, Ut) =Ū + ut), som gäller så länge som störningarna är små. Det linjära systemet 8) sägs vara stabilt om lösningen xt) förblir liten för alla t 0, om man tar tillräckligt små indata x 0, ut). Man kan visa att i så fallförblir Xt) nära X, ommanväljer X 0 tillräckligt nära X och Ut) tillräckligt nära Ū. Visäger då att X, Ū är en stabil stationär punkt till det icke-linjära systemet 5). Observera att triviala lösningen xt) = 0, ut) = 0 till 8) motsvarar stationära lösningen Xt) = X, Ut) =Ū till 5). Exempel. För pendeln blir Jacobimatriserna F X X,Ū) F X X,Ū) F 2 0 9) A = F 2 X X,Ū) F 2 X X,Ū) = U X,Ū) ω 2 cos X, B = α F 2 2 U X,Ū) = 0. β [ I punkten X 0 =, Ū =0får vi det linjäriserade systemet 0] [ 20) x 0 0 t) = ω 2 xt)+ ut), α β] vilket motsvarar den linjära, dämpade, drivna svängningsekvationen 2) θ t)+ω 2 θt)+αθ t) =βut). [ I punkten X π =, Ū =0får vi det linjäriserade systemet 0] [ 22) x 0 0 t) = ω 2 xt)+ ut), α β] vilket motsvarar 23) θ t) ω 2 θt)+αθ t) =βut), vars lösningar inte är svängningar. Se övning 7. Man kan enkelt göra en numerisk lösning med Matlab. Gör detta! Följande m-fil pendel.m definierar högerledet i ekvation 20) med β = 0.

DYNAMISKT SYSTEM. STABILITET 5 function y=pendelt,x) omega=5; alpha=; A=[0 ; -omega^2 -alpha]; y=a*x; Följande kommandon löser ekvationen och plottar sedan lösningskurvorna, dvsx t) ochx 2 t) som funktion av t. T=0; x0=[;]; [t,x]=ode23 pendel, [0 T], x0]); plott,x); Menduanvänder givetvis din egen ode-lösare my ode istället för ode23! Kommandot plotx:,),x:,2)) plottar x 2 mot x. Detta kallas fasporträtt, se Figur 3..5 0.5 0 0.5.5 2 0 2 4 6 8 0 2 0 2 2 0 2 Figur 3. Den linjäriserade pendeln. Lösningskurvor och fasporträtt. Vi ska nu undersöka stabiliteten hos det linjäriserade systemet 8). Vi börjar med den homogena ekvationen, dvs fallet då But) 0..4. Homogent system. Vi betraktar ett system av linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter 24) x t) =Axt), t > 0; x0) = b. Antag att koefficientmatrisen A är diagonaliserbar, dvs att egenvektormatrisen P =[g,...,g n ] är inverterbar, så attp AP = D, D = diag{λ,...,λ n }.Dåutgör egenvektorerna {g k } n en bas för R n eller C n om g k är komplexa). Varje vektor kan då skrivaspå ett entydigt sätt som en linjärkombination av {g k } n. Speciellt gör vi ansatsen xt) = n y kt)g k. Koefficienterna y k t) bestäms genom insättning i differentialekvationen. Om vi använder relationerna Ag k = λ k g k får vi 0=x t) Axt) = y k t)g k y k t)ag k = y k t) λ k y k t) ) g k. Identifikation av koefficienterna för g k ger ett okopplat system 26) y kt) =λ k y k t), k =,...,n, med lösningen y k t) =c k e λkt, vilket ger 27) xt) = c k e λkt g k = c e λt g + + c n e λnt g n. Koefficienterna c k ges av begynnelsevillkoret x0) = b, b = c k g k, dvs c k är komponenterna för vektorn b med avseende på basen{g k } n. Likheten 27) framställer lösningen xt) som en linjärkombination av egenmoder e λ kt g k.karaktären hos dessa bestäms av egenvärdena λ k.omviskriverλ k = α k + iω k,där α k och ω k ar real- respektive imaginärdelarna av λ k, kan vi urskilja två fall:

6 STIG LARSSON λ k = α k är reellt. Då är e λkt = e αkt exponentiellt växande, exponentiellt avtagande eller konstant beroende på omα k > 0, α k < 0 eller α k =0. λ k = α k + iω k är inte reellt ω k 0).Då är e λkt = e α kt+iω k t = e αkt e iωkt = e αkt cos ω k t + i sin ω k t) en harmonisk svängning med amplituden e λkt = e αkt och vinkelfrekvensen ω k. Amplituden är exponentiellt växande, exponentiellt avtagande eller konstant beroende på om α k > 0, α k < 0 eller α k =0. Vi kan nu dra vissa slutsatser om lösningens storlek. Vi säger att det linjäriserade systemet 24) är stabilt om det gäller att om b är liten, så är xt) liten för alla t 0, instabilt annars. Dessutom säger vi att det linjäriserade systemet 24) är asymptotiskt stabilt om xt) 0då t för alla begynnelsevärden b. Komihåg attlösningen till det linjäriseradesystemet 24) spelarrollen avapproximativstörning till det icke-linjära systemet 5), xt) Xt), Xt) X + xt). Observera att ett asymptotiskt stabilt system kan vara instabilt: störningen xt) skulle kunna växa sig stor i början innan den till slut går mot noll, se avsnitt.7. Om A är diagonaliserbar så kan vi dra vissa slutsatser genom att undersöka stabiliteten för varje egenmod separat. Av resonemanget ovan ser vi att stabiliteten för en egenmod e λkt g k beror på tecknet på realdelen Re λ k = α k. Man kan visa att om A ej är diagonaliserbar dvs om A har färre än n linjärt oberoende egenvektorer), så är egenmoderna av typen p k t)e λkt g k,där p k är ett polynom. Stabiliteten av en sådan mod bestäms också av tecknet på realdelen av λ k. Vi formulerar detta som en sats. Sats. Det linjära systemet x = Ax är asymptotiskt stabilt om och endast om Re λ k < 0 för alla egenvärden λ k till A, och instabilt om Re λ k > 0 för något egenvärde λ k. Däremot kan man inte alltid dra slutsatsen att systemet är stabilt om varje egenmod är stabil, vilket vi strax ska se i avsnitt.7..5. Matrisexponentialfunktionen. Om matrisen A är diagonaliserbar, dvs om A = PDP, så definierar vi matrisen e ta = Pe td P, där e td = diag{e tλ,...,e tλn }. Genom transformationen x = Py, b = Pc, övergår ekvation 24) i y t) =Dyt), t > 0; y0) = c, vilken är identisk med 26), med lösningen yt) =e td c. Genom att transformera tillbaka får vi xt) =Pyt) =Pe td c = Pe td P b = e ta b, dvs 32) xt) =e ta b, vilket är ett annat sätt att skriva 27). Matrisen e ta kansessomenlösningsoperator till det homogena systemet 24). Observera att d 33) dt eta = Ae ta = e ta A..6. Symmetriskt system. Sats är ett kvalitativt resultat: i det asymptotiskt stabila fallet får vi t ex veta att störningarna går mot noll då t, men inte hur stora de kan bli innan de dör ut. Om A är symmetrisk så kanviäven få kvantitativ information. Denna kan uttryckas med hjälp av stabilitetsfaktorn max xt) 0 t T 34) ST )=max, b b som anger hur mycket störningarna kan växa i värsta fall) på intervallet [0,T].

DYNAMISKT SYSTEM. STABILITET 7 Antag alltså atta är symmetrisk. Enligt spektralsatsen är λ k reella och vi kan välja g k ortonormerade. Vi har då b = c k g k, c k =b, g k )=b t g k, b 2 = c 2 k, xt) = c k e λkt g k, xt) 2 = c k e λkt ) 2 = Vi ordnar egenvärdena λ n... λ k... λ,såatte λkt e λt och n 36) xt) 2 = c 2 k e2λ kt e 2λt c 2 k = e2λt b 2, c 2 k e2λ kt. dvs xt) e λt b, t 0, med likhet om b = g.viserattenstörning xt) inte kan bli större än begynnelsestörningen x0) = b, omλ 0; stabilt system. Om λ < 0, så avtar alla störningar exponentiellt, då t ; asymptotiskt stabilt system. Om λ > 0, så finns det störningar som växer exponentiellt; instabilt system. Stabilitetsfaktorn blir max xt) max 0 t T 0 t T eλt b ) { e λt, om λ > 0, ST )=max = max b b b 0 t T eλt =, om λ 0. Eftersom vi har likhet då b = g, drar vi slutsatsen att { e λt, om λ > 0, ST )=, om λ 0. Sats 2. Om matrisen A är symmetrisk med de reella) egenvärdena λ k,så är systemet x = Ax stabilt om och endast om alla λ k 0, asymptotiskt stabilt om och endast om alla λ k < 0, och instabilt om och endast om något λ k > 0..7. Osymmetriskt system. För en symmetrisk matris är egenvektorerna ortogonala och det är anledningen till att vi kunde göra den uttömmande stabilitetsundersökningen i det fallet. En osymmetrisk matris kan ha nästan parallella egenvektorer eller till och med parallella, dvs sammanfallande, egenvektorer. Vi nöjer oss med att undersöka följande typiska fall: x a = Ax, A = ɛ 2, a där a är ett reellt eller komplext tal och ɛ är ett litet positivt tal. Här blir egenvärdes- och egenvektormatriserna a + ɛ 0 ɛ D =, P =, P 0 a ɛ ɛ ɛ = 2 ɛ. Vi ser att egenvärdena nästan sammanfaller och att egenvektorerna är nästan parallella. Då ɛ =0 är a ett dubbelt egenvärde med bara en egenvektor och matrisen A är inte diagonaliserbar. En enkel räkning, se 32), visar att 42) xt) =e ta b = Pe td P b [ e = a+ɛ)t + e a ɛ)t ɛ e a+ɛ)t e a ɛ)t) ] 2 ɛ e a+ɛ)t e a ɛ)t) e a+ɛ)t + e a ɛ)t b = e at coshɛt) ɛ sinhɛt) b, ɛ sinhɛt) coshɛt)

8 STIG LARSSON där coshɛt) = 2 eɛt + e ɛt ), sinhɛt) = 2 eɛt e ɛt ). I Figur 4 ses resultatet av en numerisk beräkning gjord med Matlab. Gör denna beräkning själv!) Systemet är asymptotiskt stabilt enligt Sats, eftersom båda egenvärdena är negativa. Vi noterar att komponenten x 2 t) avtarexponentiellt, medan x t) först växer kraftigt innan det exponentiella avtagandet sätter in. Systemet är asymptotiskt stabilt, eftersom alla störningar går mot 0, men det kan knappast kallas stabilt, eftersom störningen kan bli mycket större än begynnelsestörningen. 4 3.5 3 2.5 2.5 0.5 0 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 Figur 4. ɛ =0.0, a = 0., x0) = [0, ] t. Vi har nu sett att ett osymmetriskt system kan vara asymptotiskt stabilt men ändå instabilt. Man kan visa att om matrisens egenvektorer inte är nästan parallella eller parallella, så kanman dra slutsats om stabilitet genom att undersöka varje egenmod för sig. Annars kan man bara dra slutsats om asymptotisk stabilitet och om instabilitet..8. Inhomogent system. Om But) 0, så geslösningen till 8) av 43) xt) =e ta x 0 + t 0 e t s)a Bus) ds, där matrisen e ta är lösningsoperatorn till det homogena systemet 24), se övning. Om nu det homogena systemet är stabilt, dvs om operatorn e ta är stabil, så kanmanvisaatttermen t 0 et s)a Bus) ds också är stabil, dvs den blir liten om u är liten. Exempel. Vi återvänder nu till pendeln. Jacobimatrisen för det övre jämviktsläget är, se 22), 0 A = ω 2, α med egenvärdena λ ± = α α 2 ± 2 4 + ω2. Eftersom λ + > 0ochλ < 0 drar vi slutsatsen att det övre jämviktsläget är instabilt. I det undre jämviktsläget, se 20), blir Jacobimatrisen 0 A = ω 2, α med egenvärdena λ ± = α α 2 ± 2 4 ω2. Om α>2ω stark dämpning) får vi två reella egenvärden λ ± < 0. Om α =2ω kritisk dämpning) får vi ett dubbelt reellt egenvärde λ ± = α/2 < 0 Jacobimatrisen är ej diagonaliserbar i detta

DYNAMISKT SYSTEM. STABILITET 9 fall). Om 0 <α<2ω svag dämpning) får vi två komplexa egenvärden med Re λ ± = α/2 < 0. Om α = 0 ingen dämpning) får vi två imaginära egenvärden λ ± = ±iω med Re λ ± =0.Vi drar slutsatsen att det nedre jämviktsläget är asymptotiskt stabilt för α>0. Eftersom Re λ k 0för α 0, misstänker vi att det nedre jämviktsläget är stabilt. Men vi vet att man måste vara försiktig med den slutsatsen då systemetär osymmetriskt. Ytterligare undersökning, t ex numeriska experiment, visar att systemet faktiskt är stabilt för α 0..9. Styva differentialekvationer. Antag för enkelhets skull att A är symmetrisk så attdenhar reella egenvärden λ k ochenon-basg k av egenvektorer. Vi antar dessutom att alla egenvärdena är negativa, så att det linjära systemet 48) x t) =Axt), 0 <t<t; x0) = b, är stabilt och asymptotiskt stabilt, se Sats 2. Med numreringen λ n λ < 0harvi xt) =c e λt g + + c n e λnt g n, där den sista egenmoden alltså avtar snabbare än den första. Kvoten 49) κa) = max λ k min λ k kallas konditionstalet för den symmetriska matrisen A. Ivårtfall blir κa) =λ n /λ.noteraatt κa). Systemet sägs vara styvt om κa) >>, dvs om lösningarna innehåller både snabba och långsamma egenmoder. För osymmetriska matriser definieras konditionstalet på ett lite mera komplicerat sätt.) Den explicita Eulers metod med konstant steglängd h för approximativ lösning av 48) är dvs vi har rekursionsekvationen Vi får y j y j h = Ay j ; y 0 = b, y j =I + ha)y j ; y 0 = b. y j =I + ha) j b. Matrisen B = I + ha är symmetrisk med egenvärdena µ k =+hλ k och samma egenvektorer g k som A. Detta ger att y j = c k µ j k g k; där b = c k g k, ochviseratteulersmetodär stabil om och endast om alla egenvärdena har absolutbelopp mindre än eller lika med, dvs µ k = +hλ k, dvs +hλ k, dvs 2 hλ k 0för alla λ k.eftersomλ n... λ k... λ < 0 är detta uppfyllt om och endast om 50) h 2 λ n = 2 max λ k, dvs steglängden måste vara liten om max λ k är stort. Det intressanta tidsintervallet beror å andra sidan på denlångsammaste egenmoden: T / λ =/min λ k. Antalet tidssteg blir således N = T h max λ k 2 min λ k = 2 κa). Om systemet är styvt måste vi ta många steg för att få med hela förloppet: små steg,långt tidsintervall. Den implicita Eulers metod är dvs y j y j h = Ay j ; y 0 = b, I ha)y j = y j ; y 0 = b.

0 STIG LARSSON Metoden kallas implicit eftersom detta är ett ekvationssystem som måste lösas i varje tidssteg. När detta är gjort har vi en rekursion y j =I ha) y j ; y 0 = b. Matrisen B =I ha) har egenvärdena µ k = hλ k ) och metoden är stabil om och endast om alla egenvärdena har absolutbelopp mindre än eller lika med, dvs för alla λ k. hλ k Eftersom λ k 0 är detta villkor uppfyllt för alla steglängder h. Den implicita Eulers metod är alltså lämpligare för styva problem än den explicita metoden. Man kan välja steglängden enbart efter den önskade noggrannheten utan att ta extra hänsyn till ett stabilitetsvillkor som i 50). I vårt exempel 48) kan man t ex ta små stegibörjan tills de snabba moderna dött ut, sedan stora steg under det långa intervall då delångsamma moderna pågår. Med den explicita metoden måste man ta små steghelatidenför att gardera sig mot instabilitet. Styva system av differentialekvationer uppträder ofta i kemisk reaktionsteknik där olika delreaktioner i en sammansatt reaktion kan ha mycket olika reaktionshastigheter. Styva system uppträder också i samband med numerisk lösning av partiella differentialekvationer, t ex värmeledningsekvationen. Sammanfattningsvis kan sägas att man behöver ta hänsyn till styvheten när man väljer numerisk metod för differentialekvationsproblem. Lämpliga metoder är ofta implicita. Matlab har programmen ode23 och ode45 för icke-styva system och ode5s för styva system. Nu kan du göra övning 8. 2. Övningar Svar och lösningar till vissa övningar finns i nästa avsnitt. Övning. Bevisa 43) genom att multiplicera ekvation 8) med den integrerande faktorn e ta se 33)) och integrera. Övning 2. Avgör om systemet x = Ax är stabilt när A är 00 999 a) b) 3 5 0 4 6 999 00 0 0 c) [ 0 ] 4 Övning 3. Bestäm de stationära lösningarna till systemet X t) =X 2t) X t) 2), X 2 t) =2 X t)x 2 t). Linjärisera kring de stationära lösningarna och undersök de linjäriserade systemens stabilitet. Övning 4. Mineas ekvation. Bestäm vilka stationära lösningar man kan få för olika värden på Ū och δ > 0. Skriv för varje stationär lösning ned den linjäriserade ekvationen och undersök dess stabilitet. X t) = X t) δx 2 t) 2 + X 3 t) 2 )+Ut), X 2t) = X 2 t) δx t)x 2 t), X 3 t) = X 3t) δx t)x 3 t). Övning 5. Bestäm de stationära punkterna och avgör deras stabilitet för följande system: a) X = X X 2 ) X 2 = X 2 X ) b) X = 2X 0) + X 2 e X X 2 = 2X 2 X 2 e X c) X = X + X X 2 2 + X X 2 3 X 2 = X + X 2 X 2 X 3 + X X 2 X 3 X 3 = X 2 + X 3 X 2

DYNAMISKT SYSTEM. STABILITET Övning 6. Skriv följande begynnelsevärdesproblem som ett system x = Ax, x0) = b genom att införa nya variabler x = u, x 2 = u.lös systemet med diagonaliseringsmetoden. u +4u +3u =0, dämpad harmonisk svängning) u0) = 0, u 0) = Övning 7. Lös ekvationerna 2) och 23) med α =0ochβ =0. Övning 8. Explicit/implicit metod, styva differentialekvationer. Skriv två Matlab-program som löser begynnelsevärdesproblemet x = Ax för t>0, x0) = x 0 med explicit respektive implicit Eulers metod och konstant steg. Provkör med matriserna 000 999 000 999 A =, A =. 999 999 999 998 Prova med olika steglängder från h =0.2 och mindre. Välj sluttid så att hela förloppet kommer med. Hur stora steg använder Matlabs ode23 och ode5s? Serdunågon skillnad mellan ode23 och ode5s när det gäller att lösa styva problem? Tips: Matlab-programmet conda) beräknar konditionstalet och difft) kan användas för att beräkna stegen när man kört ode23 eller ode5s. 3. Svar och lösningar till vissa övningar 2. a) asymptotiskt stabilt, b) instabilt, c) asymptotiskt stabilt 3. De stationära lösningarna ges av ekvationssystemet X 2 X 2 )=0 2 X X2 =0 med två lösningar X, X 2 )=, 2) och X, X 2 )=, 2). Jacobimatrisen är [ 2 X X2 X ] 2 X 2 X. Linjärisering kring X, X 2 )=, 2) leder till det linjära systemet x t) 4 0 x t) x =, 2t) 2 x 2 t) vars matris har negativa egenvärden 4och, och alltså är asymptotiskt stabilt. Linjärisering kring X, X 2 )=, 2) leder till systemet x t) 4 0 x t) x 2 t) =. 2 x 2 t) Egenvärdena är 4 och och systemet är instabilt. 5. a) 0, 0) instabil,, ) instabil; b) 0, 0) asymptotiskt stabil; c) 0, 0, 0) och 0,, ) båda instabila 6. xt) =c e λt g + c 2 e λ2t g 2 = c e 2+3i)t + c 2+3i 2 e 2 3i)t. 2 3i 0 Begynnelsevillkoret x0) = ger c = c 2 = i/6, så att [ ] xt) = 3 e 2t sin 3t 2 3 e 2t sin 3t e 2t. cos 3t 7. θt) =Ae iωt + Be iωt = C cos ωt + D sin ωt, respektiveθt) =Ae ωt + Be ωt = C cosh ωt + D sinh ωt