Sammanfattning TATA4. TILLÄMPNINGAR INTEGRALER. Funktionskurva, y=f(). Polär form 5.3 Guldins regler och Tyngdpunkt 8. MACLAURIN- OCH TAYLORUTVECKLINGAR. Maclaurinutvecklingar. Tillämpning av Lagranges form på resttermen 3.3 Uppskatta värden 5 3. DIFFERENTIALEKVATIONER 7 3. Teori 7 3. Eempel 4. GENERALISERADE INTEGRALER OCH NUMERISKA SERIER 6 4. Teori 6 4. Bestämma om en serie är konvergent eller divergent 9 5. POTENSSERIER 3 5. Teori 3 5. Konvergensradie 34 5.3 Beräkna värde av potensserie 35 5.4 Differentialekvationer och potensserier 37 6. FORMLER 4 6. Standardprimitiver 4 6. Integralformler 4 6.3 Jämförelseserier 4 6.4 Standardgränsvärden 43 6.5 Standardutvecklingar 44 6.6 Övrigt 44 Sida av 44
. Tillämpningar Integraler. Funktionskurva, y=f() Area b A = f() d a Kurvlängd b d = + f () d a dd = + f () Volym Volymen innebär summerad area eller volymfragment. b d = dd = A() d a a b Rotationsvolym kring -aeln b d = π f() d a Man summerar helt enkelt tvärsnittsareor av en cirkel, där varje tvärsnittsarea uttrycks A = ππ A() = πf() dd = Snittaπea tjockleck = πf() Rotationsvolym kring y-aeln Mest anpassningsbara metoden är Cylindermetoden. b d = π f() d a Tips: Bra videos på KhanAcademy Cylindermetoden: Grundläggande o https://www.khanacademy.org/math/calculus/solid_revolution_topic/shellmethod/v/shell-method-for-rotating-around-vertical-line Cylindermetoden: Lite mer avancerat. o https://www.khanacademy.org/math/calculus/solid_revolution_topic/shellmethod/v/shell-method-with-two-functions-of- Sida av 44
Eempel: Uppgift från Tenta 0-05-8 TATA4 Området givet av 0 y och roteras ett varv kring linjen =. Beräkna + rotationskroppens volym.. Skissa grafen. y = f() = +. Skissa rotationen. = = = 3. Rita ut rätblocket som ska roteras. Skriv upp cylinders element. = = = Radie: + Höjd: f() Cylinder: Omkrets: ππ = π( + ) Höjd: f() Bredd: dd dd = π( + )f()dd 4. Utför beräkningen. b d = dd = π( + )f() d a d = π ( + ) d = π + + d = π[ln( + )] + = π(ln 8 ln 3) = π ln 8 3 dd Sida 3 av 44
Rotationsarea Med Pappos-Guldins regel kan man härleda formeln för rotationsarean. Rotation kring -aeln Rotationdaπea = Tyngdpunktend väg Kuπvlängden Teori y y = f() r = f() dd = + f () X T = ππ() Formel b b A = πf() + f () d = π f() + f () d a a Rotation kring y-aeln Teori y Y T = ππ r = y = f() dd = + f () Formel b b A = π + f () d = π + f () d a a Sida 4 av 44
. Polär form Area A = da = h(φ) dφ α β y r = h(φ) Obs! Formeln förutsätter att 0 β α π (kan inte gå längre än ett varv). Kurvlängd β d = h(φ) + h (φ) dφ α Volym Rotation kring -aeln β d = π 3 h(φ)3 sin φ dφ α Rotation kring y-aeln β d = π 3 h(φ)3 cos φ dφ α φ Sida 5 av 44
Rotationsarea Med Pappos-Guldins regel kan man härleda formeln för rotationsarean. Rotation kring -aeln Rotationdaπea = Tyngdpunktend väg Kuπvlängden Teori y r = h(φ) φ sin φ = y y = h(φ) sin φ r X T = ππ = π h(φ) sin φ Formel β A = π h(φ) sin φ h(φ) + h (φ) dφ α Rotation kring y-aeln Teori y cos φ = = h(φ) cos φ r r = h(φ) φ Y T = ππ = π h(φ) cos φ Formel β A = π h(φ) cos φ h(φ) + h (φ) dφ α Sida 6 av 44
Eempel Eempel: Uppgift 6, Tenta 0-03-9 TATA4 Kurvan given i polära koordinater av π = φ, där 0 φ π/4, roteras ett varv kring y-aeln. Bestäm rotationsytans area.. Gör en enkel skiss av funktionen. Rita ut rotationen. y Y T = ππ = π ( φ ) cos φ r = h(φ) = φ cos φ = r = ( φ ) cos φ. Ställ upp formeln. 3. Utför beräkningarna (dela upp i steg). h(φ) = ( φ ) h (φ) = φ β A = π h(φ) cos φ h(φ) + h (φ) dφ α h(φ) + h (φ) = ( φ ) + ( φ) = φ + φ 4 + 4φ = + φ + φ 4 = ( + φ ) = + φ 4. Sätt in uttrycken i π/4 π/4 intergranden. A = π ( φ ) cos φ ( + φ )dφ = π ( φ 4 ) cos φ dφ 5. Tar fram den primitiva funktionen med partiell integration. 0 ( φ 4 ) cos φ dφ = sin φ ( φ 4 ) sin φ 4φ 3 dφ = = sin φ ( φ 4 ) + 4 sin φ φ 3 dφ = = sin φ ( φ 4 ) + 4 cos φ φ 3 cos φ 3φ dφ = = sin φ ( φ 4 ) 4 cos φ φ 3 + cos φ φ dφ = = sin φ ( φ 4 ) 4 cos φ φ 3 + sin φ φ sin φ φ dφ = = sin φ ( φ 4 ) 4 cos φ φ 3 + sin φ φ 4 sin φ φ dφ = = sin φ ( φ 4 ) 4 cos φ φ 3 + sin φ φ 4 cos φ φ cos φ dφ = = sin φ ( φ 4 ) 4 cos φ φ 3 + sin φ φ + 4 cos φ φ sin φ = = sin φ sin φ φ 4 4 cos φ φ 3 + sin φ φ + 4 cos φ φ 4 sin φ = = sin φ φ 4 4 cos φ φ 3 + sin φ φ + 4 cos φ φ 3 sin φ 6. Beräknar värdet. A = π[ sin φ φ 4 4 cos φ φ 3 + sin φ φ + 4 cos φ φ 3 sin φ] π/4 0 = = 4 π π 4 4 π 3 4 + π 4 + 4 π 3 0 = 4 Svar: = π π4 56 π 6 + 3 4 π + 6π 3 π π4 56 π 6 + 3 4 π + 6π 3 0 Sida 7 av 44
.3 Guldins regler och Tyngdpunkt Guldins två huvudregler är: Rotationdaπea = Tyngdpunktend väg Kuπvlängden Rotationdvolym = Tyngdpunktend väg Aπean Reglerna är väldigt användbara framförallt vid rotation som inte är runt en lodrät eller horisontal ael. För tillämpning av Guldins regler gällande rotationsarea, se avsnittet om rotationsarea för funktionskurvor respektive funktioner i polär form. Nedan beskrivs endast rotationsvolymer enligt Guldins regler. Rotationsvolym Rotationsvolym runt -aeln Teorin om rotation kring -aeln utgår från att man delar upp funktionen i diskar som man låter rotera i en cirkel. Tyngdpunktens väg blir här en cirkel vars radie är halva diskens höjd. y y = f() r = f() X T = π f() Rotationdvolym = Tyngdpunktend väg Aπean dd = π f() f()d d = dv = π f() d a b Rotationsvolym runt y-aeln y y = f() r = Y T = ππ Rotationdvolym = Tyngdpunktend väg Aπean dd = π f()d d = dv = π f() d a b Sida 8 av 44
Rotationsvolym runt linje För rotationsvolym kring en rät linje (som inte är horisontell eller vertikal) finns det ingen bestämd formel. För att beräkna rotationsvolymen måste man ta fram uttryck för:. Areaelement. Tyngdpunktens väg. I eemplet nedan visas hur man tar fram respektive uttryck. Areaelement Areaelementet är den röda rektangeln vars bas utgörs av skillnaden i (d) och höjd som utgörs av skillnaden mellan funktionerna (y y ). y y = y = f() = h = f() = b = dd dd = dd Tyngdpunktens väg Tyngdpunktens väg innebär den cirkel som roterar runt y = som har en radie som ligger på halva areaelementet. y y = cos v = L D v = 45 L D D = y = f() = f() D = L = f(), v = 45, f() = f() cos 45 = Tyngpunktens väg: = π Rotationsvolymen: Rotationdvolym = Tyngdpunktens väg Aπean dd = d b d = π ( ) d a Sida 9 av 44
Generell metod: Generellt sätt kan man lösa rotationsproblem med följande metod.. Gör en skiss av figuren. Ta fram uttryck för ett areaelement. 3. Bestäm uttryck för tyngdpunktens väg. 4. Beräkna integralen. Eempel: Uppgift 6 från Tenta 0-06-09 TATA4 Området givet av 4( ) + (y 4) 4 roteras ett varv kring linjen y =. Beräkna rotationskroppens volym. Uttrycket 4( ) + (y 4) 4 beskriver en ellips (med halvaellängderna respektive ) med centrum i (, 4). För att beräkna rotationsvolymen är det smidigast att använda Guldins regel: Rotationdvolym = Tyngdpunktend väg Aπean Area ellips: A = abπ där a och b är ellipsens halvaellängder. y y = A = π = h = 4 = 3 r cos 45 = r h r = 3 Tyngdpunktens väg: ππ = π3 = 3π Uppgiften skiljer sig från typuppgiften då arean för ellipsen kan beräknas direkt. Därför behöver man heller inte ställa upp någon integral för att beräkna volymen, utan det räcker med att multiplicera kroppens totala area med tyngdpunkten. Rotationdvolym = Tyngdpunktend väg Aπean 3π π = 6 π Svar: 6 π Sida 0 av 44
. Maclaurin- och Taylorutvecklingar. Maclaurinutvecklingar f() = f(0) + f (0) + f () n +... +! n! + π() Fel / Restterm Där π() står för resten. Approimation Standardutvecklingar Obs! Endast när 0 A B C D E F Funktion e sin cos ln( + ) ( + ) a arctan Maclaurinutveckling + + + 3 3! + 4 +... + π() 4! 3 3! + 5 5! 7 +... + π() 7! + 4 4! 6 +... + π() 6! + 3 3 4 +... + π() 4 + a + a + a 3 3 + a 4 4 +... + π() 3 3 + 5 5 + 7 7 +... + π() Räknelagar för Ordo Syftet med Ordo är att samla ihop felet i approimationen. O( ) innebär att felet är en begränsad funktion där den störst betydande termen är. Lite mer drastiskt kan man se Ordo-funktionen som ett svart hål där man slänger allt som saknar större betydelse. Då Maclaurinutvecklingar gäller för näπa 0 så innebär det i regel att t.e. 3 > 4, eller allmänt: m > n, då m < n. Detta förklarar en del regler som intuitivt kan tyckas märkvärdiga. Räknelag Eempel Kommentar O( m ) + O( n ) = O( m ) då m n O( 5 ) + O( 3 ) + O( 7 ) = O( 3 ) Lägst grad bestämmer. n + O( m ) = O( m ) då m n + 3 3 4 4 + O(3 ) = + O(3 ) Sväljer allt med samma eller lägre gradtal. O( m ) O( n ) = O( m+n ) O( 3 ) O( 8 ) O() = O( ) O( n ) = O( n ) c n O( m ) = O( m+n ) 4 O() = O( 3 ) Tar inte hänsyn till konstanter. t = n O(t m ) = O( mn ) Följer potenslagarna. Sida av 44
Generell metod Gränsvärden. Gemensamma nämnare. Utveckla nämnare (så lite som möjligt Lägg märke till graden.) 3. Utveckla täljaren (till samma grad som nämnaren) 4. Jämför nämnare och täljare - Förkorta Eempel: Uppgift 3a från Tenta 0-08-5 TATA4 ln(+a) Bestäm konstanten a så att gränsvärdet lim 0 eisterar ändligt samt beräkna arctan gränsvärdet.. Gemensamma nämnare. Uttrycket är skrivet med gemensam nämnare.. Utveckla nämnaren. arctan = + O( 3 ) = + O( 4 ) = + O( ) Använder standardutveckling för arctan. 3. Utveckla täljaren till a = t, ln( + t) = t t samma grad. + O(t3 ) Använder standardutveckling för ln( + a) = a (a) + O( 3 ) = ln( + t) = (a ) a + O( 3 ) = a a + O() 4. Jämför nämnare och täljare - Förkorta a ln( + a) a + O() = arctan + O( ) a a = + O() + O( ) Eftersom då 0 måste (a ) = 0 för att ett ändligt gränsvärde ska eistera. (a ) = 0 a = lim 0 + O() + O() + O( = lim ) 0 + O( ) = = Svar: (Obs! O( ) = b() där b() är en begränsad funktion och 0, alltså går O( ) 0. ) Sida av 44
. Tillämpning av Lagranges form på resttermen Om man ska beräkna felet vid en approimation går det inte att längre att använda Ordo som restfunktion (man kan aldrig räkna ut vad Ordo blir). Vid problem där man måste beräkna felet ska (måste) man använda Lagranges form på resttermen. Maclaurinutveckling med Lagranges form på resttermen: f() = f(0) + f (0) + f ()! +... + f(n+) (ξ) (n + )! n+ Resttermen motsvarar alltså felet I approimationen. Eempel: Från föreläsning 5, TATA4 Approimera integralen så att felet blir mindre än /000. / e d 0. Maclaurinutvecklar funktionen (för komple för att ta fram primitiv funktion). Obs! Man får chansa på hur långt man vill utveckla (och se hur stort felet blir).. Beräknar primitiva funktionen. 3. Delar upp intergranden i två delar: ) Approimationen och ) resten/felet. 4. Beräknar resten (det är inte lönt att gå vidare om resten skulle vara större än /000). 5. Beräknar approimationen. Standard: e t = + t + t + eξ t 3 3! Här: e = + + 4 + eξ 6 3! e = + + 4 + eξ 6 3! /, däπ 0 ξ t däπ 0 ξ / = + 3 + eξ 5 6 + eξ 5 d 6 + 3 0 + 3 + eξ 5 d = + 3 d + eξ 5 d 6 6 0 / eξ 5 6 0 / 0 / d = eξ 6 / 36 = eξ 6 36 0 = 0 0 eξ 304 Eftersom 0 ξ och 0 innebär det att största möjliga värde för eξ är e (/) = e /4 < Detta ger oss följande jämförelse: e ξ 304 < 304 = 5 < 000 Felet är alltså OK enligt kravet! / + 3 d = + 4 / 8 = 8 + 7 = 8 8 0 0 Sida 3 av 44
Eempel: Uppgift 6, från Tenta 0-05-8 TATA4 Bestäm ett närmevärde för längden av kurvan y = ln, 5 0, så att felet är mindre än. Ställ upp uttryck för b kurvlängden. d = + f () d. Maclaurinutvecklar uttrycket. Använder Lagranges form på resttermen för att kunna uppskatta felet. 3. Ställer upp integralen. Delar upp den i approimation och rest/fel. Sida 4 av 44 a 0 f() = ln, f () = d = + d = + d 5 0 5. 000 f() = f(0) + f (0) + f ()! +... + f(n+) (ξ) (n + )! n+ Vi testar med ordning : f() = f(0) + f (0) + f() (ξ) ()! Substitution: = t Beräknar derivator: f(t) = + t f(0) = f (t) = f (0) = + t f (t) = 4( + t) 3/ f (ξ) = 4( + ξ) 3/ Sätter in i Maclaurinutvecklingen: + t = + t 8( + ξ) 3/ t + = + 8( + ξ) 3 0 d = + 0 5 0 4 d = + 8( + ξ) 3/ 4 d = 5 0 + d 8( + ξ) 3/ 4 d 5 5 Approimation Rest/fel 4. Uppskattar felet. 0 8( + ξ) 3/ 0 4 d = 8( + ξ) 3/ 4 d 5 5 ξ är konstant och 0 ξ /, vilket gör att vi kan ställa upp jämförelsen: 0 8( + ξ) 3/ 4 d 0 8 4 d = 8 0 3 3 = 5 8 3 0 3 3 5 3 = 5 5 = 4 5 000 < 000 Felet är alltså OK! 5. Beräknar 0 approimationen. + d = 0 = 0 5 0 5 0 = 5 0 + 0 = 5 = 00 + = 0 0 0
.3 Uppskatta värden Med hjälp av Maclaurinutvecklingar kan man uppskatta värde på olika uttryck. Obs! Om man vill uppskatta felet får man inte använda ordoform på resttermen, utan föreslagsvis Lastranges restform. Eempel: Från föreläsning 5, TATA4 Beräkna värdet av 66 med ett fel mindre än. 000 Uträkning 66 = 64 + = 64 + 3 = 8 + 3 Modell: f() = ( + ) / f() = + 4 ( + ξ) 3! f() = + 8 ( + ξ) 3 Jämförelse med formler Maclaurinutveckling med Lastranges restform: f() = f(0) + f (0) + f ()! + π() däπ π() = f(n+) (ξ) (n + )! n+, och 0 ξ 66 = 8f 3 = 8 + 3 3 ( + ξ) 8 3 = = 8 + 64 8 ( + ξ) 3 3 = = 8 + 8 ( + ξ) 3 3 Derivator: f() = ( + ) /, f(0) = f () = ( + ) /, f (0) = f () = ( + ) 3/ 4 Där 8 + motsvarar approimationen och 8 ( + ξ) 3 3 motsvarar felet, och 0 ξ /3 ( + ξ) 3 3 = ( + ξ) 3 3 3 = 04 < 000 Felet är alltså inom det tillåtna intervallet. Svar: 66 8 + 8 Anmärkning: Man hade kunnat utveckla med standardutveckling, dock behöver man ändå ta fram derivatan för att kunna tillämpa Lastranges restform Sida 5 av 44
Eempel: Uppgift 4a, från Tenta 0-06-09 TATA4 Bestäm ett rationellt tal som approimerar e med ett fel som är mindre än 0. Uträkning Ansats: f() = e Testar att utveckla till ordning. e = f() = + + + eξ 3! 3 e = f() = + + + eξ 6 3 Sätter in = e = f( ) = + ( ) + eξ 6 ( )3 e = f( ) = + + eξ 6 8 = 4 3 eξ Felet här blev alltså 4 3 eξ, vilket är större än /0 oavsett värde på ξ. Testar att utveckla till ordning 5. e = f() = + + + 3 3! + 4 4! + 5 5! + eξ 6! 6 Jämförelse med formler Maclaurinutveckling med Lastranges restform: f() = f(0) + f (0) + f ()! + π() däπ π() = f(n+) (ξ) (n + )! n+, och 0 ξ Derivator: f() = e, f(0) = f () = e, f (0) = f () = e Tittar nu direkt på felet: = eξ 6! ( )6 = e ξ 3 4 5 6 = = e ξ 3 5 3 = eξ 4 45 ξ 0 e ξ 4 45 4 45 < 0 OK! e = f( ) = + ( ) + ( )3 3! = + 4 3 + 3 4 5 = 3 4 5 = 5 + ( )4 4! + ( )5 5! = (5 0 4) 5 = = Svar: e 5 (I facit till uppgiften har de utvecklat e = (e ) och fått fram att en tillräckligt god approimation är /9, men metoden ovan borde vara fullt godkänd. e 0,35 vilket ger att alla svar mellan 0,035 och 0,35 borde räknas som godkänt.) Sida 6 av 44
3. Differentialekvationer 3. Teori Första ordningen Integrerande faktor När man tar fram lösning till en differentialekvation av första ordningen använder man sig av något som kallas integrerande faktor. Genom att förlänga båda led med den integrerande faktor kan man ta fram lösningen: y. Lösningsgång: Beskrivning Allmänt Eempel. Ställer upp ekvationen. y + g()y = h() y + 4y =. Beräknar den primitiva funktionen till g() 3. Ställer upp integrerande faktor 4. Förlänger båda sidor med den integrerande faktorn. 5. Vänsterledet kan nu skrivas om som en derivata av en produkt. (Derivera så ser man att det stämmer) g() d = G() e G() y e G() + g()ye G() = h()e G() ye G() = h()e G() 4 d = 4 e 4 y e 4 + 4ye 4 = e 4 (ye 4 ) = e 4 6. Integrerar bägge led. ye G() = h()e G() ye 4 = e 4 d = e 4 d = 7. Löser ut y y = e G() h()e G() = e4 4 = e4 8 e4 e4 d = e4 4 4 e4 6 y = e 4 e4 8 e4 = 8 (8. Kontroll) - y = 8 y = y + 4y = + 4 8 = 9. Svar - y = 8 Anmärkning. Integrerande faktor är definierat för första ordningens differentialekvationer. Dock kan man använda metoden för differentialekvationer av högre ordningen om de är karaktäristiska. För att se sambandet kan man göra en variabelsubstitution. Eempel: y = y + e 3 y = y + e 3 y y = e 3 /z = y, z = y / z z = e 3 Eempel med komplett lösningsgång finns på sida 3. Sida 7 av 44
Separabla differentialekvationer Separabla differentialekvationer identifieras genom att de kan skrivas om till bara en faktor på varje sida. Formell definition En :a ordnings differentialekvation är separabel om det kan skrivas om i formen Lösning g(y)y () = h() g(y)y () = h() g(y) dy = h() g(y) dy = h()d d g(y) dy = h()d G(y) = H(y) + C Slappdefinition: Om man kan dela upp ekvation med bara y på ena sidan och bara på andra så är differentialekvationen separabel. Eempel Eempel: Boken, s388 y = y +, > 0 Villkor: y() = Beskrivning Identifierar differentialekvationen. Uträkning Vi ser att vi i dl har en funktion bestående av endast samt y. HL består av en funktion av endast y (och en konstant). Differentialekvationen är alltså separabel. Byter ut y = dy d och flyttar om. y = dy d dy d = y + y + dy = d Integrerar båda leden. y + dy = d arctan y = ln + C Använder villkoret för att bestämma konstanten. Svar: Villkor: y() = arctan = ln + C = π 4 y = tan ln + π 4 Sida 8 av 44
Homogen lösning En homogen lösning innebär en lösning till differentialekvationen då HL = 0. Man ställer upp en karaktäristisk ekvation och beräknar dess rötter. Differentialekvationer av andra ordningen Rötterna till den karaktäristiska ekvationen ger följande lösningar: π π (πeella πötteπ) y = C e r + C e r π = π (dubbelπot) y = (C + C )e r π = α ± βi (imaginäπa πötteπ) y = e α (C cos β + C sin β) Differentialekvationer av högre ordning Samma som ovan fast med tillägget att en rots multiplicitet avgör polynomets grad, eempel: π = π = π 3 = a y = (C + C + C 3 )e a π = π = a + iβ y = (C + C )e (α+iβ) Partikulärlösningar Ansats: Polynom y + ay + by = p() Generellt sätt ansätter man y ett polynom av samma grad som högerledet. Om ekvationen inte är komplett så måste man kompensera för detta. T.e. y + ay = p() Här kommer y ha samma grad som polynomet i högerledet, alltså ansatsen innebär att y har en grad högre än p() T.e. y = p() Här kommer y ha samma grad som polynomet i högerledet, alltså ansatsen innebär att y har två grader högre än p() Formell definition av ansats vid polynom y () + ay () + by() = p() q() är vår ansats och q() har samma grad som p() a) y() = q() om b 0 b) y() = q() om a 0, b = 0 c) y() = q() om a = b = 0 Ansats: Eponentialfunktion y () + ay () + by() = e p() y = ze p Ansats: Trigonometrisk funktion y () + ay () + by() = sin k elleπ y () + ay () + by() = cos k y = A sin k + B sin k Sida 9 av 44
Förskjutningsregeln Förskjutningsregeln D n (f()e a = e a (D + a) n f() Sida 0 av 44
3. Eempel Eempel: Uppgift 4 från Tenta 0-03-9 TATA4 Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y 3y + y = + 6. Konstaterar främst att det finns en homogen lösning samt en partikulärlösning som kommer att vara ett polynom. Vi tar först fram den honomgena lösningen och därefter partikulärlösningen. Beskrivning Uträkning. Homogen lösning y 3y + y = 0 har den karaktäristiska ekvationen: π 3 3π + π = 0 π(π 3π + ) = 0 π(π )(π ) = 0 π = 0,, y h = C e 0 + C e + C 3 e = C + C e + C 3 e. Partikulärlösning HL = + 6 Vi ser att högerledet är ett polynom av grad, alltså vore en ansats y = a + b + c rimlig. Eftersom det lägsta vi har i dl är y behöver vi höja polynomets grad ett steg. dnsats: y = (a + b + c) = a 3 + b + c Tar fram derivator: y = a 3 + b + c y = 3a + b + c y = 6a + b y = 6a Sätter in i ekvationen: y 3y + y = + 6 6a 3(6a + b) + (3a + b + c) = + 6 6a 8a 6b + 6a + 4b + c = + 6 Jämför term för term: : 6a = 6 a = a = a = : 8a + 4b = 4b = 0 b = 5 b = 5 0 : 6a 6b + c = 0 c = 6b 6a c = 30 6 c = Svar y p = 3 + 5 + y = y p + y h y = C + C e + C 3 e + 3 + 5 + Sida av 44
Eempel: Uppgift 4 från Tenta 0-05-8 TATA4 Bestäm lösningen till differentialekvationen y + y = y ln, 0 < <, som uppfyller begynnelsevillkoret y = (ln ). Beskrivning Identifierar differentialekvationen. Obs! Smidigast är att ha alla y på samma sida som y Byter ut y = dy d och flyttar om. Integrerar båda leden var för sig. Uträkning Genom att flytta om lite kan vi få bara och y i dl respektive bara y i HL. y + y = y ln y = y ln y y = y(ln() ) ln y y = y = dy d y dy ln = d y ln dy = d y dy = ln d VL) dy = y y ln HL) d = (ln ) d = ln = + ln d = ln = + C Använder villkoret för att bestämma konstanten. ln y = + C Villkor y = (ln ) (ln ) = ln / / + C ln = ln + C C = ln + ln = ln = ln = 0 Svar: ln y = y = ln Sida av 44
Eempel: Uppgift 5 från Tenta 0-08-5 TATA4 Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y + ( )y = e, > 0 Beskrivning Identifierar differentialekvationen. Uträkning y + ( )y = e Ekvationen innehåller första och andra ordningens derivator. Genom att göra en variabelsubstitution kan man forma om differentialekvationen till en första ordningens ekvation och använda sig av integrerande faktor. y = z, y = z z + ( )z = e Delar på för att kunna isolera den integrerande faktorn. z ( )z + = e z + e z = g =, G = d = ln Multiplicerar båda leden med den integrerande faktorn. Integrerar båda leden och löser därefter ut z. Tar fram den primitiva funktionen till z. Obs! Här måste man ta lägga till yterliggare en konstant. Integrerande faktor: e ln = e e ln = e e = eln z e + e z = e z e = e z e e = z = + C z = e + C e z = e + C e z = y y = e + C e d = e + C e d y = e + C e e d y = e + C ( e e ) + C = e C e C e + C y = ( C )e C e + C Svar y = ( C )e C e + C Anmärkning: Variabelsubstitutionen i inledningen är inte nödvändig, utan gör det endast enklare att se sambandet. Man hade lika gärna kunnat gå direkt till: y + ( )y = e y + y = e y = e d y = e d d e y = y e = d Sida 3 av 44
Obs! Specialfall Ett märkligt fall är när den homogena lösningen till en differentialekvation sammanfaller med partikulärlösningen. T.e. differentialekvationen y + 9y = cos 3. Den homogena lösningen beräknas: π + 9 = 0 π = ±i3 y h = C cos 3 + C sin 3 Vanligtvis skulle man nu göra en ansats y = d cos k + d sin k för att ta fram partikulärlösningen, men detta hade gett samma svar som den homogena lösningen. För att beräkna partikulärlösningen här är det bästa sättet att göra en komple ansats. Den komplea eponentialfunktionen definieras: y = e ia = cos a + i sin a. Här kan man utnyttja att funktionen har en reell del samt en imaginär del: Re e i3 = cos 3 Im e i3 = sin 3. Vi sätter upp en ny ekvation: u + 9u = e 3i. Om u p står för partikulärlösningen så kan man med resonemanget ovan sluta sig till att y p = Re(u p ) Nu löser man differentialekvationen u + 9u = e 3i med en vanlig ansats: u = ze 3i u = z e 3i + 3ize 3i = (z + 3iz)e 3i u = (z + 3iz )e 3i + (z + 3iz) 3i e 3i = (z + 6iz 9z)e 3i Anmärkning: Här kan man också använda förskjutningsregeln för att ta fram u u = z(d + i3 D + (3i) )e 3i = (z + i6z 9z)e 3i u + 9u = (z + 6iz 9z)e 3i + 9ze 3i = e 3i z + 6iz = Ansats: z = z = k z = 0 0 + 6ik = k = i6 = i i 6 = i 6 z = i 6 u p = ze 3i = i 6 e3i = i 6 (cos 3 + i sin 3) = 6 sin 3 i cos 3 6 y p = Re u p = sin 3 6 Svar: y = y h + y p = C cos 3 + C sin 3 + sin 3 6 Sida 4 av 44
Eempel: Uppgift 3 från Tenta 0-06-09 TATA4 Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y + 4y = sin. Beskrivning. Tar fram den homogena lösningen.. Tar fram partikulärlösning. Obs! Här hade man vanligtvis gjort en trigonometrisk ansats. Eftersom att den homogena lösningen är en trigonometrisk ansats får man istället göra en komple ansats. Uträkning y + 4y = 0 π + 4 = 0 π = ±i y h = A cos + B sin y + 4y = sin e i = cos + i sin Im e i = sin Ställer upp en stödekvation: u + 4u = e i Ansats: u = ze i u = (z + i4z 4z)e i Sätter in i ekvationen: (z + i4z 4z)e i + 4ze i = e i z + i4z = Ansats: z = k, z = k, z = 0 i4k = k = i 4 z = i 4 u p = z e i = i 4 (cos + i sin ) = 4 sin i cos 4 y p = Im u p y p = Im 4 sin i 4 cos = cos 4 3. Förenklar och svar. y = y h + y p y = A cos + B sin 4 cos = A cos + B sin 4 Sida 5 av 44
4. Generaliserade integraler och numeriska serier Det man ska kunna: Bestämma om en serie är konvergent eller inte Beräkna värdet av serie Bestämma fel vid approimation I avsnitt fyra beskrivs endast hur man bestämmer om en serie är konvergent eller divergent. Hur man beräknar värdet av serier och bestämmer fel vid approimationer beskrivs i avsnitt 5 (potensserier) då metoderna i princip är samma. 4. Teori Serier och integraler Vid bedömning av konvergens och divergens kan integraler och serier behandlas snarlikt. Sats: Integralkriteriet. a) Om f() d äπ konveπgent, då äπ f(k) k= konveπgent. b) Om f() d äπ diveπgent, då äπ f(k) k= diveπgent. Begrepp: Definition deπie: a k = a + a + a 3 + a 4 +... k= Konvergens: När delar från olika håll närmar sig varandra. En konvergent serie erhåller alltså ett värde när antalet termer går mot oändligheten Divergens: Isärgående; spridning åt olika håll. En divergent serie får inte något ändligt värde när serien går mot oändligheten. OBS! Innan man påbörjar någon beräkning måste man ha klart för sig om serien är positiv, varierande eller alternerande. Typ av serie Definition Eempel Positiv serie a k = a + a + a 3 +... däπ a k 0 = + + 3 + 4... k k= k= Varierande serie Alternerande serie Har både positiva och negativa termer. a k k= däπ a k > 0 föπ udda k =,3,5, och a k < 0 föπ jämna k =,4,6, (eller tvärtom) k= sin k k ( )k = k + 3 4 + k= Sida 6 av 44
Divergenstest (Gäller för alla typer av serier) För en konvergent serie måste lim n a n = 0. Om inte väer serien hela tiden och går då mot oändligheten. Kriteriet innebär ett enkelt sätt att testa om en serie är divergent. Om lim a n 0 äπ deπien a k n k=n diveπgent. Geometriska serien (Kan vara positiv eller alternerande) aq n = a + aq + aq + aq 3 +... = a om q < q diveπgent om q n=0 Förhållandet ter sig ganska självklart om man jämför med en eponentialfunktion: y y = aq då om q > y y = aq 0 då om q < Jämförelsesatser (Endast för positiva serier) Jämförelsesats I Föπ a k k= och b k k= däπ 0 a k b k gälleπ a) Om b k k= äπ konveπgent a k k= konveπgent och a k b k k= k= b) Om b k k= äπ diveπgent a k k= diveπgent Jämförelsesats II Föπ a k k= och b k k= däπ a k 0, b k 0 och a k = c k b k däπ c k äπ ett ändligt gπändväπde gälleπ a) Om b k k= äπ konveπgent a k k= konveπgent b) Om b k k= äπ diveπgent a k k= diveπgent Sida 7 av 44
Jämförelseserier: A) d a B) d a 0 konveπgent om a > äπ diveπgent om a konveπgent om a < äπ diveπgent om a Absolutkonvergens (Säger ingenting om serien är positiv Bra om serien är varierande) Om a k äπ en deπie gälleπ: k= a) a k k= konveπgent a k k= konveπgent b) a k a k k= Sida 8 av 44 k= Obs! Bara för att en serie inte är absolutkonvergent behöver den inte vara divergent Rotkriteriet & Kvotkriteriet (Gäller för alla typer av serier) Föπ deπien a k k a) a k b) a k+ a k k= Q då k Q då k gälleπ att om däπ Q äπ ett πeellt tal 0 gälleπ Q < Seπien äπ abdolutkonveπgent Q >, (Q = ) Seπien äπ diveπgent Obs! Om Q = säger testerna ingenting. Testerna fyller samma funktion och fungerar på likadant sätt. Vilket man väljer beror av hur serien ser ut. Liebniz Kriterium (Endast alternerande serier) Liebniz kriterium innebär att en serie är konvergent om: Kriterium Samband Serien är alternerande Termernas belopp avtar (för stora n) Obs! Kan visas på två sätt: a n+ < a n f () < 0 Termerna går mot noll lim a n = 0 n Obs! Bara för att kriterierna inte uppfylls måste inte serien vara divergent
4. Bestämma om en serie är konvergent eller divergent Strategi Man kan inte använda alla verktyg på alla serier. Nedan beskrivs vilka verktyg man kan använda till vilka serier (det vanligaste verktyget till respektive typ är fetmarkerat). Positiv Varierande Alternerande Divergenstest Divergenstest Liebniz Kriterium (Divergenstestet ingår) Jämförelsesatser Absolutkonvergens Absolutkonvergens Rotkriteriet & Kvotkriteriet Rotkriteriet & Kvotkriteriet (Brist på) entydighet Metod Divergenstestet Jämförelsesatser Absolutkonvergent Liebniz Kriterium Rot- & Kvotkriteriet Bevisar Bevisar om en serie är divergent. Kan inte visa att en serie är konvergent. Kan bevisa både konvergens respektive divergens. En serie som en absolutkonvergent är konvergent. En serie som inte är absolutkonvergent behöver inte vara divergent. Kan bevisa att en serie är konvergent. Serien behöver inte vara divergent bara för att kriterierna inte uppfylls. Kan visa både divergens respektive konvergens. Om Q = säger testet ingenting. Eempel Eempel: Uppgift 5b från Tenta 0-0-4 TATA4 Avgör om ( )n n n n= är konvergent. Vi ser att serien är alternerande, då den innehåller termen ( ) n. Första testet blir därför att titta på Liebniz kriterium. Liebniz Kriterium. Serien är alternerande.. Termerna går mot noll. ( ) n lim n n n = lim n n ( )n = 0 n 3. Termernas belopp avtar (för stora n) ( ) n+ ( )n a n+ < a n < n + n + n n n + n + < n n n n < n + n + n + < + n Svar: Konvergent enligt Liebniz. Sida 9 av 44
Eempel: Uppgift 5a från Tenta 0-0-4 TATA4 Avgör om d är konvergent. + Analogt med teorin för serier så gäller att divergenstestet även för integraler: Om lim f() 0 så är integralen divergent (annars hade den ju gått mot oändligheten ). Divergenstest: lim + = lim ( + /) = lim + / = 0 Diveπgent Alternativ lösning: d = d + + / d, dom äπ diveπgent. (Jämföπeldedatd I) Alternativ lösning: d + + d = d, dom äπ diveπgent. Sida 30 av 44
Eempel: Uppgift 6 från Tenta 0-08-5 TATA4 För vilka a R är den generaliserade integralen cos(e a )d 0 konvergent? Integralen är generaliserad vid. Den inre funktionen t = e a gör det naturligt att dela upp undersökningen i fall där a är större, lika med eller mindre än noll (eftersom t = e a då är väande, konstant respektive avtagande). a = 0 e a = cos()d, Diveπgent t. e. enligt diveπgendtedtet: lim n cos = cos 0 0 a < 0 \ e a avtagande \ 0 < e a < cos(e a )d, Diveπgent Kan vidad med t. e. diveπgendtedtet: lim cos e a = lim t 0 cos t 0 Återstår a > 0. a > 0 \e a väande \ < e a < cos(e a )d = cos(e a )d, n 0 0 0 n Variabelsubstitution ger: e a = t, = ln t a, d = at dt Med nya ändpunkter: = 0 t = = n t = e an 0 n e an cos(e a )d = cos(t) at dt = cos(t) dt = t sin a t a t e an e an e an sin t t dt = a ean sin e an sin e an sin t + dt t Tittar vad som händer med de tre delarna var för sig när n : sin e an e an 0 då n (e an, 0 sin e an ). sin, kondtant e an sin t t äπ vaπieπande, kontπolleπaπ abdolutkonveπgend! e an e an sin t t e an sin t t, dom äπ konveπgent t abdolutkonveπgent Svar: Integralen är konvergent för a > 0 Sida 3 av 44
5. Potensserier Potensserier är väldigt snarlikt geometriska serier. Skillnaden är en potensserie inkluderar en variabel som avgör seriens egenskaper. Det man ska kunna: Bestämma för vilka värden på som serien konvergerar eller divergerar: konvergensradie. Beräkna värdet av serie. o Ta hjälp av derivering/intergering. Bestämma fel vid approimation. Lösa differentialekvationer med hjälp av potensserier. 5. Teori Konvergensradie Vid numeriska serier har man en bestämd serie som man kontrollerar om den är divergent eller konvergent. Vid potensserier har man en serie som beror på en variabel. Här kontrollerar man för vilka värden på variabeln som serien konvergerar eller divergerar. Samma verktyg används för att bestämma konvergens. Föπ en potenddeπie c k k gälleπ eakt ett av följande fall: a) Det finnd ett πeellt tal R > 0, dådant att deπien äπ abdolutkonveπgent föπ < R och diveπgent föπ > R, däπ talet R kallad då deπiend konvergensradie. b) Seπien äπ abdolutkonveπgent föπ alla πeella tal. c) Seπien äπ diveπgent föπ alla πeella tal 0 (dåklaπt konveπgent föπ = 0) Obs! Satsen säger ingenting om hur serien beter sig då = R, detta måste undersökas separat. Derivata och primitiv funktion För en potensserie med konvergensradien R och < R (den är konvergent) gäller följande: f() = c k k = c 0 + c + c + c 3 3 +... f () = k c k k = c + c + 3c 3 +... k= F() = c k k+ k + = c 0 + c + c 3 3 + c 3 4 +... 4 Alla serierna har samma konvergensradie: R. Sida 3 av 44
Värdet av en potensserie Med hjälp av derivata och primitiva funktioner kan man beräkna värdet av potensserier. Man utnyttjar formeln för beräkning av en geometrisk summa och deriverar/tar fram primitiv funktion implicit. För konvergenta serier där < gäller: f() = k k= = f () = k k = ( ) F() = k+ = k = ln( ) k + k k= Maclaurinserier De vanliga Maclaurinutvecklingarna kan skrivas som serier. Sambanden kan användas för att bland annat beräkna värdet av en serie. e = n n! k+ din = ( ) k (k + )! k cod = ( ) k (k)! ln( + ) = ( ) ( + ) a = a k k k k k, föπ < k+ k aπctan = ( ), föπ k + Sida 33 av 44
5. Konvergensradie Eempel: Uppgift 6a från Tenta 0-0-4 TATA4 Avgör för vilka R serien nn 7 n n= är konvergent. Ställer upp kvotkriteriet för att ta fram ett värde på konvergensradien. Kvotkriteriet: a k+ a k Q då k Serien är alltså absolutkonvergent för < 7, och således divergent för > 7. Dock måste man ta reda på vad som händer i ändpunkterna: = ±7 nn+ 7n+ nn 7 n = n n 7 n 7 7 n n n = = Q < < 7 7 = 7 n7n = n =,,3, n= 7 n n= Väande och positiv: Divergent! = 7 n( 7)n = n( ) n =,, 3, 4 n= 7 n n= Divergent! Svar: Serien är konvergent för 7 < < 7 Eempel: Uppgift 4b från Tenta 0-0-4 TATA4 För vilka R serien 4n+ n n= n är konvergent.? Ställer upp kvotkriteriet för att ta fram ett värde på konvergensradien. Kvotkriteriet: a k+ a k Q då k 4n++ (n+) n + 4n+ n = 4n 4 n n n n + 4 n 4 n = = n4 n + = 4 + /n 4 = Q < 4 < < Således absolutkonvergent för <, och divergent för >. Kontrollerar nu ändpunkterna: = ±/ = ± 4n+ ± n n= som är divergent. n = 4n 4 n 4 n = 4 n n= n= Svar: Serien är konvergent för / < < / Sida 34 av 44
5.3 Beräkna värde av potensserie Eempel: Uppgift 6b från Tenta 0-0-4 TATA4 Beräkna n 4 n n= Vi har n både som koefficient och eponent vilket leder tankarna till derivata. Målet nu är att matcha serien med en formel för att därefter kunnat beräkna värdet. Uträkning n 4 n n= = n 4 n n= Serien stämmer överrens med formeln för f () för en allmän potensserie. n n 4 n= = = 4 = 6 9 9 6 Jämförelse med formler f() = k = f () = k k = k= ( ) F() = k+ = k = ln( ) k + k k= Svar: 6/9 Eempel: Från föreläsning, TATA4 Beräkna n5 n n= I serien finns n som nämnare och som eponent. Tankarna går då till primitiva funktioner av potensserier. Uträkning n5 n = n n 5 n= n= Serien stämmer överrens med formeln för F() för en allmän potensserie. n n 5 n= = ln 5 = ln 4 5 = ln 5 4 Jämförelse med formler f() = k f () = k k k= = = ( ) F() = k+ = k = ln( ) k + k k= Svar: ln 5 4 Sida 35 av 44
Eempel: Uppgift 5c från Tenta 0-06-09 TATA4 Bestäm summan av serien n + n=0 3 n Vi skriver om serien och delar upp den: n + n=0 3 n = (n + ) n 3 n=0 = n n 3 + n 3 n=0 Nu kan beräkna värdet av serierna var för sig. n 3 n=0 n n 3 n=0 = 3 = 3 = 3 = n n 3 n=0 + n 3 När n finns både som koefficient och som eponent ser man att uttrycket påminner om en derivata. Nu gäller det att forma om uttrycket så att det stämmer helt med uttrycken för funktion/derivata. n=0 Uträkning n n 3 n=0 Jämfört med den deriverade formen av en potensserie ser vi att det skiljer sig två saker: a) Serien börjar vid n = 0 istället för k = b) Eponenten är n istället för k Vi vill nu forma om uttrycket så det stämmer överrens. n n 3 n=0 = 0 0 3 + 3 + 3 +... = 3 + 3 + 3 3 +... = 3 n 3 n n= Jämförelse med formler f() = k f () = k k k= = = ( ) F() = k+ = k = ln( ) k + k k= n 3 n 3 = 3 n= = 3 3 = 3 4 4 9 Svar: n n 3 n=0 + n 3 n=0 = 3 4 + 3 = 5 4 Sida 36 av 44
5.4 Differentialekvationer och potensserier Genom att se en potensserie som en funktion kan man lösa differentialekvationer som innehåller produkter av -termer och funktioner eller derivator. Lösningsmetoden beskrivs först med ett ganska enkelt eempel (som man hade kunnat lösa mycket smidigare) och appliceras därefter på ett svårt eempel, där ansättning som en potensserie är enda (bästa) tillvägagångssättet. Eempel: Uppgift 0. från boken (Forsling) Bestäm alla lösningar i en potensserieform till differentialekvationen y y = med villkoret att y = och y = 0 för = 0.. Ansätter y som en potensserie.. Bestämmer y 3. Anpassar y genom att göra ändringar i termerna (vi vill att summan ska börja vid k = 0). 4. Sätter in uttrycken i differentialekvationen. 5. Jämför termer mot termer. Detta görs smidigast genom att utveckla summan i dl och jämföra med HL. y = c k k = c 0 + c + c + c 3 3 + c 4 4... y = kc k k = c + c + 3c 3 + 4c 4 3... k= y = k(k )c k k = c + 6c 3 + c 4 +... k= y = k(k )c k k = (k + )(k + )c k+ k k= Tänk: Summorna ska börja med samma värde. k = insatt i det vänstra uttrycket ska ge samma som k = 0 insatt i det högra. y y = (k + )(k + )c k k c k k = (k + )(k + )c k+ k c k k (k + )(k + )c k k c k k = = (c c 0 ) + (6c 3 c ) + (k + )(k + )c k+ c k k +... = 0 : : k : c c 0 = 0 6c 3 c = (k + )(k + )c k+ c k = 0 6. Använder begynnelsevillkoren. 7. Bestämmer uttryck för c k med hjälp av förhållandena i steg 5 och värdena i steg 6. Villkor: y = och y = 0 för = 0 Sätter in i serierna: y(0) = c k 0 k = c 0 + c 0 + c 0 + = c 0 = y (0) = kc k 0 k = c + c 0 + 3c 3 0 +... = c = 0 k= c c c 0 = 0 = / c 6c 3 c = 3 = /6 c (k + )(k + )c k+ c k = 0 k c k+ = (k + )(k + ) Sida 37 av 44
k = c 4 = c 3 4 = 3 4 = 4! k = 3 c 5 = c 3 4 5 = 6 4 5 = 5! 8. Skriver upp ett uttryck för funktionen. 9. Skriver som en serie. (0. Förenkla svaret.) Enligt Maclaurinutveckling ser man att summan motsvarar en eponentialfunktion. c k = k! c 0 = y = c 0 + c + c + c 3 3 + c 4 4 +..., däπ c = 0 c k = k! y = +! + 3 3! + 4 +... 4! y = +! + 3 3! + 4 k +... = + 4! k Svar: y = + k k k= e = k = + + k k! k k= k= k = e k k= + k = + (e ) = e k k= Svar: y = e Anmärkning : Definitionen av fakultet ger 0! = Anmärkning : Det svåraste steget vid beräkningen är att komma fram till ett uttryck för c k. Här finns det ingen eakt metod, utan man får testa sig fram med olika värden på k för att kunna sluta sig till en lösning. Sida 38 av 44
Eempel: Uppgift 6 från Tenta 0-03-0 TATA4 Låt differentialekvationen y y 4y = 0, med begynnelsevillkoren y(0) och y (0) =, med en potensserieansats. Uttryck även lösningen med hjälp av elementära funktioner.. Ansätter y som en potensserie.. Bestämmer derivatorna: y och y 3. Sätter in uttrycken i differentialekvationen. 4. Anpassar uttrycken. Vi måste ha: a) Samma eponent till b) Summor med samma intervall. y = c k k = c 0 + c + c + c 3 3 + c 4 4... y = kc k k = c + c + 3c 3 + 4c 4 3... k= y = k(k )c k k = c + 6c 3 + c 4 +... k= y y 4y = 0 k(k )c k k kc k k 4 c k k = 0 k= k= k(k )c k k kc k k 4c k k = 0 k= k= k(k )c k k = (k + )(k + )c k+ k k= kc k k = kc k k= k 5. Förenklar uttrycket. (k + )(k + )c k+ k kc k k 4c k k = 0 (k + )(k + )c k+ kc k 4c k k = 0 6. Bestämmer uttryck för c k Från uppgiften får vi begynnelsevillkor: y(0) = 0 c 0 = 0 y (0) = c = Genom att jämföra med HL ser man att koefficienten till k måste vara noll. (k + )(k + )c k+ kc k 4c k = 0 (k + )(k + )c k+ = 4c k + kc k 4 + k c k+ = (k + )(k + ) c k Med hjälp av formeln ovan ska man nu komma fram till ett samband. Först ser man att c k = 0 för jämna k. Detta kan visas: k c k c k+ = 4 + k (k + )(k + ) c k Sida 39 av 44 k = 0 c 0 = 0 k = c = 0 4 + k c = (k + )(k + ) 0 = 0 4 + k c 4 = (k + )(k + ) 0 = 0
Osv Återstår då att kontrollera udda k. k c k c k+ = 4 + k (k + )(k + ) c k k = c = k = 3 c 3 = k = 5 k = 7 c 5 = c 7 = 3 4 + c 3 = ( + )( + ) = 6 3 = 4 + 3 c 5 = (3 + )(3 + ) = 0 5 4 = 4 + 5 c 7 = (5 + )(5 + ) = 4 7 6 = 3 4 + 7 c 9 = (7 + )(7 + ) 3 = 8 9 8 3 = 3 4 Här ser man att vi verkar få fakultet i nämnaren för termerna. Nu gäller det bara att hitta ett samband mellan nämnaren och värdet på k., då k =!, då k = 5 3! /4!, då k = 7 /n!, då k = n 6. Ställ upp summa Slutsats: c k+ = c (n )+ = c n+ = n! y = c k k = c 0 + c + c + c 3 3 + c 4 4 +... c 0 = 0 c = c n+ = n! y = n! n+ n=0 7. Jämför med standardserier. Standard: e = k k! n! n+ = n! n = ( ) n = e n! n=0 n=0 n=0 8. Svar: y = e Sida 40 av 44
6. Formler 6. Standardprimitiver Elementära funktioner f () n, e sin cos f() n+ n + ln e cos sin Fler primitiver f () f() arctan + arcsin ln + + a + a f () ln f() f() f() f () f() tan cos cot sin Partiell integration f()g() d = F()g() F()g () d Sida 4 av 44
6. Integralformler Funktionstyp/Formel Funktionskurva: y = f() Polär form: r = h(φ) Area b β A = f() d A = h(φ) dφ a α Kurvlängd b β d = + f () d d = h(φ) + h (φ) dφ a α Rotationsvolym: b -aeln d = π f() d d = π β 3 h(φ)3 sin φ dφ Rotationsvolym: y-aeln Rotationsarea: -aeln Rotationsarea: y-aeln a α b β d = π f() d d = π 3 h(φ)3 cos φ dφ a α b β A = π f() + f () d A = π h(φ) sin φ h(φ) + h (φ) dφ a α b β A = π + f () d A = π h(φ) cos φ h(φ) + h (φ) dφ a α 6.3 Jämförelseserier konveπgent om a > d äπ a diveπgent om a d a 0 äπ konveπgent om a < diveπgent om a Sida 4 av 44
6.4 Standardgränsvärden Standardgränsvärden Standardgränsvärde Omvänt sin, 0 sin /t, /t t tan, 0 ln( + ), 0 e, 0 tan /t /t, ln( + ), e /t /t, t t t ( + ) / e, 0 ( + /t) t e, t a ln 0, 0 + (a > 0) arcsin, 0 (/t) a ln /t = ln(/t) t a 0, t (a > 0) arcsin /t /t, t arctan, 0 arctan /t /t, t Hastighetstabell Följande uttryck är rangordna i fallande ordning efter vilket som väer snabbast. n n n! a n n a ln n Detta ger upphov till följande standardgränsvärden då n ln n n a 0 n a a n 0 a n n! 0 n! n n 0 Övrigt n n a, då n Sida 43 av 44
6.5 Standardutvecklingar A B C D Funktion Maclaurinutveckling Skriven som serie e sin cos ln( + ) + + + 3 3! + 4 4! +... e = n n! 3 3! + 5 5! 7 7! +... sin = ( ) k k+ (k + )! + 4 4! 6 6! +... k k cos = ( ) (k)! + 3 3 4 4 +... ln( + ) = ( ) k= k k k föπ <, E F ( + ) a arctan + a + a + a 3 3 + a 4 4 +... ( + ) a = a k k 3 3 + 5 5 + 7 7 +... k+ k arctan = ( ), k + föπ 6.6 Övrigt Binomialkoefficienter n n (n ) (n k + ) n! = = k k! k! (n k)! Obs! n 0 = n n =, n n = = n n Eempel: a a(a )(a ) = 3 3! 7 7(7 )(7 )(7 3)(7 4) = = 7 6 5 4 3 5 5! 3 4 5 = Binomialformeln n (a + b) n = n k a n k b k = a n + n an b + n an b +... + n n abn + n n Den komplea eponentialfunktionen y = e ia = cos a + i sin a, däπ Re e ia = cos a Im e ia = sin a bn Sida 44 av 44