KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen har några nollställen samt också var funktionens maximum eller minimum ligger. Ex1: P 1 (x) = x 2 + 2x + 3 = (x+1) 2 + 2. Ex2: P 2 (x) = x 2 + 6x + 7 = (x+3) 2-2. I den färdiga kvadratkompletteringen finns två termer, kvadrattermen och konstanttermen. Följande information framkommer om P 1 och P 2 : P 1 (x) har inget 0-ställe eftersom konstanttermen = 2 > 0. P 1 (x) har ett minimum som antas för x=-1. (Detta följer av kvadrattermens utseende.) Minimivärdet är 2 = konstanttermen. P 2 (x) har två 0-ställen eftersom konstanttermen = -2 < 0. P 2 (x) har ett minimum som antas för x=-3. Minimivärdet är -2. Se de två övre graferna längst ned! Andragradsekvationer Den allmänna ekvationen x 2 + px + q = 0 löses med hjälp av lösningsformeln Notera att formeln fås via kvadratkompletteringen x 2 + px + q =(x+p/2) 2 + q-p 2 /4. Om x 2 -termen har en annan koefficient än 1, kan man lätt återställa ekvationen till normalform genom division: 2x 2 + 3x - 5 = 0 blir x 2 + (3/2)x - 5/2 = 0, som löses med lösningsformeln. Om uttrycket under kvadratroten blir negativt för en ekvation F(x) = 0, saknar ekvationen lösningar. Detta svarar grafiskt mot att grafen för funktionen y = F(x) inte skär x-axeln.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:2 1:2 Polynomdivision. Två tekniker gås igenom här: Avsnitt 1, introduktion(forts.). Direktdivision (se lösningarna till Övning 3. ) Liggande stolen (se SfS-exemplet) Den senar lämpar sig för litet större divisioner. Båda är bra att kunna. Behärskar man polynomdivision kan man lösa högre ekvationer bara man känner till en eller flera rötter. Om x=a är en rot till polynomekvationen P(x) = 0, är (x-a) en faktor i P(x). Genom division får man P(x) = (x-a)q(x) och nya rötter kan eventuellt erhållas från ekvationen Q(x) = 0 som har lägre grad. Denna typ av problem förekommer i avsnittets sluttest. Grafer Här till vänster visas graferna av de två andragradsfunktionerna P 1 (x) och P 2 (x) som förekommer i Ex1 och Ex2 ovan. Båda har minimum för x = -1 resp. x=-3, men endast den högra har nollställen, eftersom dess minimum är negativt. y = P 1 (x) = (x+1) 2 +2 y = P 2 (x) = (x+3) 2-2 Här visas de båda andragradsfunktionerna i inverterad form, 1/P 1 (x) resp. 1/P 2 (x). Man ser vilken dramatisk inverkan förekomsten av nollställen har på de inverterade funktionerna. y = 1/P 1 (x) = 1/((x+1) 2 +2) y = 1/P 2 (x) = 1/((x+3) 2-2)
KTHs Sommarmatematik Exempel 1:1-2 1:3 Exempel 1 Kvadratkomplettera: Bryt först ut koefficienten för x 2, här 3. x-termen (5/3)x skall nu vara den blivande kvadratens dubbla produkt. Därför blir kvadraten (x + 5/6) 2. Slutligen måste man dra ifrån (5/6) 2 och förenkla konstanttermen för att det hela skall stämma. Exempel 2 Kvadratkomplettera: Bryt ut x 2 -koefficienten 4. Identifiera dubbla produkten, 3a/2, och bilda kvadraten, (x + 3a/4) 2. Slutligen dras kvadraten (3a/4) 2 ifrån och uttrycket snyggas till. Observera förekomsten av parametern a, som dock inte förändrar principen.
KTHs Sommarmatematik Exempel 1:3-4 1:4 Exempel 3 Kvadratkomplettera: Samma procedur som förut, trots tre parametrar: p bryts ut, (4q/p)x är dubbel produkt. Kvadraten blir (x + 2q/p) 2 Konstanttermen snyggas till så gott det går. Exempel 4 Lös följande andragradsekvation: Dividera ekvationen med 2 för att återföra den till normalform. Använd sedan lösningsformeln.
KTHs Sommarmatematik Exempel 1:5-6 1:5 Exempel 5 Lös följande andragradsekvation: Här kan man naturligtvis också använda lösningsformeln (med p=0 ) Men i detta enkla fall är faktorisering med konjugatregeln a 2 - b 2 = (a+b)(a-b) naturligast. Exempel 6 Lös följande andragradsekvation: Efter division med 3 och användande av lösningsformeln får man ett negativt tal under rottecknet, vilket visar att lösning saknas. Samma resultat ger kvadratkomplettering: 3(x 2 + (4/3)x + 7/3) = 3((x+2/3) 2-4/9 + 7/3)= 3((x+2/3) 2 + 17/9). Kvadratkompletteringen visar att uttrycket alltid är > 0 och alltså inte har några nollställen.
KTHs Sommarmatematik Exempel 1:7 1:6 Exempel 7 Utför följande polynomdivision: Här visas direktdivision av polynom, där alla beräkningar utförs i anslutning till det givna bråkstrecket. En annan metod som svarar mot 'liggande stolen' för numerisk division visas i avsnittets SfS-exempel. Metoden här bygger på att man i täljaren skapar en multipel av nämnaren. Där skall täljarens högstagradsterm ingå (här x 3 ). Man ser att x 3 + 2x behövs för att skapa en multipel av x 2 + 2. Därför lägger man till och drar ifrån 2x i täljaren. Efter dessa förberedelser är det bara att skriva ut resultatet. Notera att (x 2 + 2) förkortas bort så att kvoten x erhålles. Man är färdig då den erhållna resten, här -2x +1, har lägre gradtal än nämnaren.
KTHs Sommarmatematik Övning 1:1-2 1:7 Övning 1 Kvadratkomplettera följande andragradsuttryck. Dessa uppgifter löses på samma sätt som exemplen. Man bryter lämpligen först ut koefficienten för x 2 - termen. Övning 2 Lös följande andragradsekvationer. Alla ekvationerna kräver inte allmänna lösningsformeln.
KTHs Sommarmatematik Övning 1:3 1:8 Övning 3 Utför följande polynomdivisioner: Dessa divisioner kan utföras med valfri metod. I lösningarna visas direktdivision. För lösningsmetoden liggande stolen hänvisas till SfS-exemplen. Extra Övning 1:1 Extra 1 Kvadratkomplettera följande uttryck: a) a 2 x 2-26ax+49 b) x 2 +6x-1+2b c) x 2 +8ax+17a 2-5 d) 9x 2-42ax+39a 2 +5 e) 4x 2-44x+1 f) 3x 2-4x+5 Svar Extra 1 a) (ax- 13) 2-120 = a 2 ((x - 13/a) 2-120/a 2 ) b) (x+3) 2 + 2b - 10 c) (x + 4a) 2-5 + a 2 d) (3x - 7a) 2 + 5-10a 2 = 9((x-7a/3) 2 + 5/9 -(10/9)a 2 ) e) (2x-11) 2-120 = 4((x-11/2) 2-30) f) 3((x - 2/3) 2 + 11/9)
KTHs Sommarmatematik Extra övningar 1:2-3 1:9 Extra övning 2 Extra 2 Lös följande ekvationer: Svar Extra 2 a) x 2 + 7x - 13 = 0 b) x 2-6x + 8 = 0 c) x 2-17x + 43 = 0 d) 3x 2 + 2ax + 17 = 0 e) 2x 2-10ax + 11a 2 = 0 Extra övning 3 Extra 3 Utför följande polynomdivisioner: Svar Extra 3
KTHs Sommarmatematik Övning 1:1ab lösningar 1:10 Övning 1a, lösning Det är en smaksak om man skall svara med tvåan utbruten ur parentesen eller inmultiplicerad. Det går bra vilket som. Övning 1b lösning Observera att lösningsmetoden är densamma trots förekomsten av parametern a.
KTHs Sommarmatematik Övning 1:1cd lösningar 1:11 Övning 1c, lösning På grund av parametrarna går det inte att förenkla uttrycket mer än så här. Övning 1d lösning Observera villkoret a skilt från 0, som man måste införa för att kunna dividera med a. Här har konstanttermen satts på gemensamt bråkstreck, vilket dock inte är nödvändigt.
KTHs Sommarmatematik Övning 1:2ab lösningar 1:12 Övning 2a, lösning Detta är en direkt tillämpning av lösningsformeln. Som synes behöver man kunna sätta numeriska uttryck på ett gemensamt bråkstreck samt kunna flytta jämna kvadrater ( här 4 ) ut ur rottecken. Övning 2b, lösning Här skulle man kunna upptäcka direkt att vänsterledet är en jämn kvadrat: (2x-1) 2. Ser man detta får man samma slutsats: x=1/2 är en dubbelrot. Dubbelrötter uppträder när uttrycket under rottecknet är = 0.
KTHs Sommarmatematik Övning 1:2cd lösningar 1:13 Övning 2c, lösning Negativt tal under rottecknet ger som vanligt slutsatsen att lösningar saknas. Kvadratkomplettering ger samma resultat: 3((x+1) 2 + 1/3). Plustecknet framför 1/3 indikerar att uttrycket alltid är >0 och att nollställen alltså saknas. Övning 2d, lösning Här behöver man verkligen ingen lösningsformel. Är vänsterledet faktoriserat (och högerledet=0) som här, 2(x+3)(x-5), får man nollställena direkt. Observera att faktorn 2 i vänsterledet inte påverkar resultatet
KTHs Sommarmatematik Övning 1:3ab lösningar 1:14 Övning 3a, lösning Observera att divisionen här sker i två steg: Först bildar man 2x 3 + 4x 2 + 4x i täljaren för att kunna dividera ut 2x. Därefter bildar man -4x 2-8x -8 för att kunna dividera ut -4. Övning 3b, lösning td> Exakt samma typ av lösning som i 3a.
KTHs Sommarmatematik Övning 1:3c lösningar 1:15 Övning 3c, lösning Här har inte utbrytnigen av en restterm ur en parentes redovisats utan detta steg anses välbekant från 3a-b. Eftersom nämnaren här är av första graden måste divisionen drivas längre i denna övning än i 3a och 3b. Man fortsätter alltså tills resten blir en konstant, i det här fallet -249.
KTHs Sommarmatematik Övning 1:3d lösningar 1:16 Övning 3d, lösning Exakt samma typ av lösning som i 3c.