Mängder och kardinalitet

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är inte fullständig utan måste kompletteras med egna anteckningar och problemlösningar. 1. Mängdlära En mängd är en påse som innehåller element. Denna naiva definition är dock problematisk... Speciellt finns en tom påse, som kallas tomma mängden och betecknas. Om A är en mängd, är {A} också en mängd. Den har ett element nämligen A. Vad är egentligen ett element...? Vi skriver x A om x är ett element i A, annars x A. Låt A och B vara mängder. Om x(x B = x A), säger vi att B är en delmängd till A och skriver B A. Om dessutom A B talar man om en äkta delmängd. Jämför begreppet strikt olikhet. Har man en samling mängder kan man bilda nya genom diverse konstruktioner. Låt A och B vara två mängder. Man kan bilda unionen, A B, och snittet A B. Om A B = säger man att mängderna är disjunkta: de saknar gemensamma element. Om C = A B gäller x(x C (x A x B)). Formalisera snittet! Vi kan bilda produktmängden av två mängder A B = {(a, b); a A b B}. Det är alltså mängden av ordnade par. Övning 1: Vad är A? Vi skriver A n för A A A då n N (Jämför R n ). Vad ska vi mena med A 0? Kanske är A 0 = { }. Varför skulle det vara naturligt? Om A är en mängd, är P(A) mängden av alla delmängder till A. Speciellt gäller P(A) och A P(A). Jag vill tacka Christer Kiselman och Lars-Åke Lindahl, som jag lånat några idéer av till övningar och upplägg. 1

1.1. Relationer En relation, R mellan elementen i två mängder A och B är en delmängd av A B. Vi skriver att arb om (a, b) R. Om A = B talar man om en relation på A. Vi ska återkomma till relationsbegreppet senare. Ett exempel på en relation är = på mängden A. Formellt har vi = = {(x, x); x A}. Övning 2: Formalisera, d.v.s. skriv upp som en mängd, relationen < på N! 1.2. Funktioner och avbildningar Vad är en funktion (eller avbildning)? Vad betyder skrivsättet f : X Y och x f(x)? Formellt är en funktion f : X Y en relation mellan X och Y som uppfyller x(x X = y(y Y (x, y) f z(z y = (x, y) f))) Tolkad som en delmängd av X Y är funktionen inget annat än funktionens graf, G f = {(x, y) X Y ; y = f(x)}. Mängden av avbildningar X Y brukar betecknas Y X. Ett litet sidospår Låt n = {1, 2,..., n} och 0 =. Låt X vara en icke-tom mängd. Vi ser att X 1 naturligt kan identifieras med X. För varje x X finns ju funktionen f x : 1 X som avbildar 1 på x, och varje funktion 1 X är av den typen. Övertyga dig nu om att X 2 på liknande sätt kan identifieras med X X d.v.s. med X 2. Och att X n kan identifieras med X n. Hur kan vi använda detta för att definiera X 0 och oändliga produkter...? Bilder och urbilder Låt f : X Y. Om A X så kallas f(a) = {f(x); x A} bilden av A. Om B Y så definierar vi f 1 (B) = {x X, f(x) B}, kallad urbilden eller den inversa bilden av B. Observera att f(x) inte behöver vara lika med Y. Övning 3: Låt f : R R, x x 2. Bestäm f(r, ) f 1 ([0, 1]) och f 1 ([ 1, 0]). Låt sin beteckna den vanliga, reella sinusfunktionen. Bestäm sin 1 ([0, 1/ 2]). (Observera att det inte är frågan om arcsin! Utred gärna sambandet...) Injektioner och surjektioner En avbildning f : X Y kallas injektiv om x y medför f(x) f(y). Om f är injektiv kan man bilda en avbildning f 1 : f(x) X, som har 2

egenskapen att f 1 (f(x)) = x och f(f 1 (y)) = y för alla x X och alla y f(x) Y. Man säger att f är surjektiv om f(x) = Y. Om f är både surjektiv och injektiv sägs f vara bijektiv. Övning 4: Sök på nätet efter dessa termer. Finns svenska ord? Finns olika definitioner? Överensstämmer de? 2. Kardinaltal Hur kan man mäta storlek (mäktighet) på mängder? Genom avbildningar! Två mängder X och Y sägs ha samma kardinaltal om det finns en bijektion f : X Y. Man skriver då X Y och card X = card Y. Vad är card X? Kanske card X är mängden av alla mängder Y så att X Y? Men detta leder till svårigheter... Relationen är reflexiv, symmetrisk och transitiv. Relationen = mellan kardinaltal ärver dessa tre egenskaper. Man säger att X har kardinaltal högst lika med kardinaltalet för Y om det finns en injektiv avbildning f : X Y. Man skriver då card X card Y. Om cardx = card Y gäller uppenbarligen card X card Y och card Y card X. Är omvändningen sann, d.v.s. gäller det att card X card Y och card Y card X medför att card X = card Y. Ja, enligt Cantor Bernsteins sats från 1898. Vi återkommer till den. 2.1. Ändliga kardinaltal Om X och Y är ändliga mängder är det lätt att förstå och räkna med kardinaltal. Det är helt enkelt antalet element i mängden. Ofta identifierar man (kanske lite slarvigt) card X med antalet element i X. Låt x = card X och y = card Y. Vi definierar x + y = card(x Y ). (Vi förutsätter att X och Y är disjunkta.) Detta stämmer för ändliga mängder. På samma sätt definierar vi produkten xy = card(x Y ). Potenser. Notera att antalet avbildningar från X in i Y är y x, åtminstone om X inte är tom. Så vi definierar y x = card(y X ). Speciellt är card( X ) = 0, om X ; det finns inga sätt att avbilda en icke-tom mängd in i tomma mängden. Övning 5: Visa att xx = x card 2 för alla ändliga kardinaltal x. 2.2. Oändliga kardinaltal Det minsta oändliga kardinaltalet betecknas med ℵ 0, vilket uttalas alef-noll. Bokstaven ℵ är den första i det hebreiska alfabetet. Det näst minsta betecknas ℵ 1, och så vidare. 3

Är två kardinaltal, x, y, alltid jämförbara, dvs gäller alltid x y eller y x? Svaret är ja, OM man accepterar urvalsaxiomet... Det följer att det finns ett minsta oändligt kardinaltal. Det minsta oändliga kardinaltalet, ℵ 0 är lika med kardinaliteten för det naturliga talen N. (Varför?) Man kan visa att ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 och ℵ 2 0 = ℵ 0. Det är ungefär samma sak som att visa att card Z = card N och card Q = card N. Man kan visa att för oändliga kardianaltal x och y, där x y, gäller: x + x = x, x n = x (n N) och att x + y = xy = y. Jämför räkneregler för vanliga tal! Däremot gäller att x 2 x men 2 x x för alla kardinaltal x. Vi skriver då x < 2 x. Kontinuumhypotesen kan nu formuleras: ℵ 1 = 2 ℵ 0. Övning 6: Sök på nätet och ta reda på något om Kontinuumhypotesen. Om X är en mängd med kardinalitet x, så är 2 x kardinaliteten hos en mängd Y X där Y har två element, t.ex. Y = {0, 1}. Detta är mängden av alla avbildningar X {0, 1}. Det är lätt att se att den mängden har samma kardinalitet som potensmängden till X, P(X), genom följande konstruktion. För varje A X, låter vi χ A : X {0, 1} vara den karaktäristiska funktionen som definieras genom χ A (p) = 1 om p A och χ A (p) = 0 om p A. Vi ser att avbildningen A χ A är en bijektion mellan P(X) och Y X. Sats 1. För varje kardinaltal x gäller att x < 2 x, d.v.s. att potensmängden alltid har strikt större kardinalitet än mängden. Bevis. Låt X vara än mängd med kardinalitet x. Vi ser lätt att x 2 x. Avbildningen f : X P(X), x {x} är nämligen injektiv. (Vad händer om X =?). Antag nu att card P(X) card X. Då skulle det finnas en injektion g : P(X) X. Vi ska se att det antagandet är motsägelsefullt. Låt B = {g(a); A P(X) och g(a) A}. Låt b = g(b). Undersök om b B! Det leder till en motsägelse mot antagandet att en sådan injektion g finns. Cantor Bernsteins sats Sats 2. Om det för två kardinaltal x och y gäller x y och y x, så gäller x = y. Bevis. Översatt till mängder X och Y betyder förutsättningarna att vi har två injektiva avbildningar f : X Y och g : Y X. Vi ska använda dessa för att konstruera en bijektion h: X Y. För att göra detta ska vi använda f och g för att gå fram och tillbaka mellan X och Y, och så att säga sy ihop avbildningen h. 4

Definiera A 0 = X g(y ). Sedan definierar vi, steg för steg B k = f(a k 1 ) och A k = g(b k ), för k = 1, 2, 3,.... Låt A = A 0 A 1 A 2 = A k, och definiera: { f(x) x A h(x) = g 1 (x) x A Det återstår att kontrollera att h är injektiv och surjektiv genom att studera ett antal olika fall. Något om talmängder De naturliga talen N har kardinaltal ℵ 0. Eftersom det är naturligt att lista de naturliga talen genom att räkna upp dem: 0, 1, 2, 3,... kallas denna mängd, och alla mängder med kardinaltal ℵ 0 (oändligt) uppräkneliga mängder. Vi har följande resultat. Sats 3. N, Z och Q är uppräkneliga mängder. R och C är inte uppräkneliga. Vi har ℵ 0 = card N = card Z = card Q < card R = card C. Bevis. Den första likheten (från vänster) är per definition sann. De två följande visas genom att räkna upp mängderna. För att visa att card N < card R kan vi anta att det finns en bijektiv avbildning f : R N (vi vet att card N card R). Genom ett diagonaliseringsförfarande kan vi hitta ett reellt tal som missas av avbildningen. Det finns dock några tekniska små bekymmer. Den sista likheten följer av att xx = x för alla oändliga kardinaltal x, och satsen är visad. Vi ser alltså att det finns lika många naturliga som rationella tal, fast de rationella talen ligger mycket tätare på tallinjen. Däremot finns det många fler reella tal än rationella tal. Samtidigt finns det lika många punkter i komplexa talplanet (och mer allmänt i R n, n 1) som på tallinjen. Ändå verkar planet (och rummet) vara mycket större än tallinjen. För att förklara detta behöver man dimensionsteori och måtteori; mängdteorien ensam räcker inte. Dessa begrepp studeras inom analys och topologi. De reella tal som inte är rationella kallas irrationella. De irrationella talen är alltså inte uppräkneliga. (Varför?) Vad är då ett reellt tal? Ett noggrant svar är ganska komplicerat att ge, och förtjänar nästan en hel kurs... Ett sätt är att säga att ett reellt tal gränsvärdet av en följd av rationella tal som konvergerar. Alltså är r ett reellt tal om r = lim n q n, där q n Q och lim diam{q n; n N} = 0. N Om A R är diam(a) längden (diametern) på det minsta slutna intervall som innehåller alla punkter i A. Om A bara består av rationella tal så är diametern ett rationellt tal (eller + ). 5

Man kan också beskriva reella tal genom decimalutveckling (som ett decimalbråk): ett reellt tal är ett heltal plus ett tal av typen 0, a 1 a 2 a 3 a 4 = i=0 a i 10 i där 0 a i 9. Denna beskrivning är dock inte oproblematisk. Vi har inte entydighet, t.ex. är 0.99999... = 1.000000. (Bevisa det!) 2.3. Övningar Övning 7: Visa att A (B C) = (A B) (A C) genom att språkligt formulera vad det innebär att x tillhör högerledet respektive vänsterledet. Illustrera också med ett Venndiagram. Övning 8: Låt A och B vara ändliga mängder. Visa att card(a B) = card(a) + card(b) card(a B). (card A ska alltså tolkas som antalet element i A, så att är väldefinierat.) Övning 9: Härled en analog formel för card(a B C) =... Högerledet ska innehålla kardinaltal för olika snitt av de inblandade mängderna. [Ledning: Skriv först A B C = A (B C) och utnyttja föregående övning flera gånger.] Övning 10: Visa att card([0, 1]) = card(]0, 1[) (ledning: Använd Cantor Bernstein) och att card(]0, 1[) = card(r). I det sista fallet borde du explicit kunna ange en bijektion mellan mängderna. Kan du göra det också i det fösta fallet? Övning 11: Vi vet att card N < card R och card N < card P(N). Visa att card R = card P(N). [Denna övning är kanske ganska svår, innan man klarat av första analyskursen. Den som kan något om oändliga serier kan gärna försöka. Kanske kan du visa card R card P(N) eller card P(N) card R.] Övning 12: Vi har sett att varje reellt tal kan skrivas som ett oändligt decimalbråk. Ett decimalbråk kallas periodiskt om det har formen r = A, a 1 a 2... a m b 1 b 2... b n b 1 b 2... b n... där sekvensen b 1 b 2... b n upprepas i oändlighet. a) Visa att det periodiska decimalbråket 0, 1272727... är rationellt och skriv det på formen p/q. 6

b) Bevisa att varje periodiskt decimalbråk är rationellt. c) Gäller omvändningen, d.v.s. är varje rationellt tal ett periodiskt decimalbråk? Bevis? Övning 13: Ett reellt tal kallas algebraiskt om det är en rot till polynomekvation av typen a m x m + a m 1 x m 1 + + a 1 x + a 0 = 0, där varje a i är ett heltal. Många irrationella tal är algebraiska, men man kan visa att t.ex. π och e inte är algebraiska. Sådana tal kallas transcendenta. a) Visa att varje rationellt tal är algebraiskt b) Visa att 2 + 1 och 2 + 3 är algebraiska. c) Bevisa att om α > 0 är algebraiskt så är α algebraiskt. d) Bevisa att mängden av algebraiska tal är uppräknelig. [Ledning: Hur många algebraiska tal finns det som kommer från ekvationer av grad högst M N och med a i M, i = 0... M? Kanske hjälper det att visa att en uppräknelig union (d.v.s. en union av uppräkneligt många mängder) av ändliga mängder är uppräknelig?] Övning 14: Visa att card C = card R genom att konstruera en injektiv avbildning från R 2 R. [Ledning: Arbeta med decimalutvecklingar.] Övning 15: Ett reellt tal r kallas beräkningsbart om det finns ett datorprogram som räknar ut det. Vi tolkar detta (utan att bli allt för tekniska) som att det existerar ett datorprogram som tar ett naturligt tal N som indata och svarar genom att räkna ut de N första decimalerna r (Eller bättre, producerar ett rationellt tal r N så att r N r 10 N, vilket inte riktigt är samma sak). Det finns ingen över gräns för hur många instruktioner programmet får utföra eller hur mycket minne som får gå åt men programet måste vara ändligt stort och det måste bli klart i ändlig tid. Det innebär att bara ändligt många instruktioner har utförts när programmet är klart. Och att bara ändligt mycket minne använts. Det typiska är att tids- och minnesåtgången ökar med storleken på N. Det spelar egentligen ingen roll vilken sorts dator som är inblandad, men låt oss anta att det är en binär dator, där ett datorprogram alltså består av en (ändlig, men hur lång som helst!) följd ettor och nollor. a) Låt C vara mängden av datorprogram. Bestäm card C! Man kan visa att alla algebraiska tal är beräkningsbara. Likaså är π och e beräkningsbara. Om α och β är beräkningsbara, är α + β, αβ, α/β och 7

α β beräkningbara, de två senare under förutsättning att operationen är väldefinierad. b) Låt B beteckna mängden av beräkningsbara reella tal. Använd resultatet i a) för att bestämma card B. c) Vilket kardinaltal har mängden av icke beräkningsbara reella tal? Kan ge något exempel på ett sådant tal? Motivera! Behövs de icke beräkningsbara talen alls? 8