Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man frågar efter f x) = 0. Jag vet att den här funktionen leder fram till att jag ska lösa en andragradsekvation. fx) = x x 2 24x + 1 f x) = x 2 6x 24 f x) = 0 då x 2 6x 24 = 0 x 2 2x 8 = 0 x = 1 ± 1 + 8 x 1 = 4 x 2 = 2 Det frågas inte om det, men jag vill gärna fortsätta att berätta om den här funktionen. Den har två extrempunkter en i 2,f 2)) och en i 4,f4)) eller bättre 2,41) och 4, 67). Jag ska nu rita ett schema över hur derivatans tecken varierar f x) + 0 0 + x 2 4 Derivatan är alltså f x) > 0 när x < 2 och f x) < 0 när 2 < x < 4. Med hjälp av den här tabellen kan man rita en skiss av kurvan. Figur 1: Det här är en skiss av funktionen. Visst finns det många, framför allt polynom av tredje graden, funktioner som passar in på denna skiss. Men den är ändå till en viss nytta när man ska plotta kurvan. Vi avslutar med den korrekta grafen: -6-4 -2 2 4 6-50 -100-150 Figur 2: Funktionens nollställen kan vi normalt inte bestämma. Kan du det? KTH: Inte utan att använda en handbok eller ett matematikprogram. Här har du rötterna: Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge
TB: Skojar du! 9 x 1 = 1 + + 1 + i 2747 6.42196 1 + i 2747 2 2 1 + i ) 1 + i 2747 9i i + ) x 2 = 1 2 + 2 4 1 + i 2747) 0.514274 x = 1 + i 2 i + ) 1 + i 2747 2 9 1 + i ) 4 1 + i 2747.962 KTH: Jag hoppas att jag inte gör det. Det är en helt annan teknik att bestämma de exakta uttrycken för rötterna och att hitta numeriska värden. 104 TB: Jag behöver inte bestämma funktionen helt och hållet. Vi har grafen för f x) och ser att den har nollställena f ) = 0 och f ) = 0. Av allt att döma är f x) ett polynom av andra graden. Det betyder att fx) är av tredje graden. Jag ska rita ett schema igen Skissen ser nu ut så här: f x) 0 + 0 x Figur : Det finns bara sex olika skisser för polynom av tredje graden. Figur 4: A och B har vi sett ovan. Exempel på C är f C x) = x med en terrasspunkt och på D, f D x) = x också med en terrasspunkt. f E x) = x + 10x och f F x) = x 10x har inte ens en terrasspunkt. TB: Jag har glömt vart jag var på väg... Egentligen är denna uppgift verkligen enkel Vi har ett minimum Håkan Strömberg 2 KTH Syd Haninge
i,4) och ett maximum i,16). Kan man bestämma fx):s koefficienter? KTH: Nej det finns oändligt många tredjegradspolynom med dessa extrempunkter och vi vet inte vilken av dessa som beskrivs här. 106 b) TB: En liknande uppgift igen, det handlar verkligen om exercis. Vi har funktionen fx) = 2x 18x 2 42x + vars extrempunkter vi ska bestämma. Funktionens nollställen kan vi dock inte bestämma. Åter till schemat: fx) = 2x 18x 2 42x + f x) = 6x 2 6x 42 f x) = 0 då 6x 2 6x 42 = 0 x 2 6x 7 = 0 x = ± 9 + 7 x 1 = 7 x 2 = 1 f x) + 0 0 + x 1 7 Vi bestämmer sedan f 1) = 25 och får maximipunkten 1,25) och f7) = 487 och får minimipunkten 7, 487). KTH: Du är verkligen på alerten idag. 109 b) TB: Vad menar man med här? Avtagande för alla x KTH: Hur är det med de kurvor du hittills skissat är de avtagande för alla x? Vilken kategori, av de sex du skissade på nyss, kan det vara frågan om? TB: Där ligger ju lösningen, förstås. Det måste handla om kategori F! Nu ska jag visa det: 111 fx) = 5 x 8x f x) = 1 24x 2 f 0) = då 1 24x 2 = 0 x 2 = 1/24 Det finns inga reella rötter och därmed inga extrempunkter. Derivatan är negativ för alla x, f x) < 0. TB: Det känns som en svår uppgift. Vad är a? KTH: En konstant vars värde man inte bestämt. Hantera det som ett tal vilket som helst. fx) = x + ax 2 + x f x) = x 2 + 2ax + 1 f x) = 0 då x 2 + 2ax + 1 = 0 x 2 + 2 ax + 1/ = 0 x = a ± a 2 9 9 Hur ska man hantera det här... Om a = blir resultat 0 under rottecknet. Vi får en dubbelrot, som leder till en terrasspunkt. Om a < blir värdet under rottecknet negativt och det finns Håkan Strömberg KTH Syd Haninge
112 inga reella rötter och därmed saknas också extrempunkter. Till sist om a > finns det två extrempunkter. TB: Här blir det inte så mycket räkna, eller hur? Vi har funktionen fx) = x + 5x 1. När x är stort, typ 1000000 är det förstås x -termen som dominerar. Dess värde 10 18 överskuggar förstås alla andra termer i polynomet. Samma sak gäller för x = 1000000. När x är litet, till exempel 0.000001, så är det 1:an som dominerar över de andra två termerna. TB: Du, jag orkar inte bestämma f x) = 0 en gång till. Har jag inte visat att jag kan det? KTH: I en skiss behöver du bara plocka fram vilken kategori kurvan tillhör 15 10 5-4 -2 2 4-5 -10-15 Figur 5: TB: Det måste vara B. 114 TB: Vilken dålig variation det är. Vad skiljer denna funktion från de jag redan bestämt i de andra uppgifterna? KTH: Räkna på får du väl se! 117 fx) = x + x 2 f x) = x 2 + 6x f x) = 0 då x 2 + 6x = 0 x 2 + 2x = 0 xx + 2) = 0 x 1 = 0 x 2 = 2 f0) = 0 och f 2) = 4. Maxpunkt i 2,4) och minpunkt i 0,0). När jag plottar den får jag: Den enda skillnaden från tidigare uppgifter är att man kan bestämma nollställena till fx) därför att det är möjligt att lösa ekvationen fx) = 0. Man ser från grafen att detta är riktigt. x + x 2 = 0 x 2 x + ) = 0 x 1 = 0 x 2 = 0 x = TB: En fjärdegradspolynom. En nyhet! fx) = 25 + 28x 2 x 4. Den här kan ha enda upp till fyra extrempunkter. Men kan man verkligen ta reda på var de finns eftersom vi varken kan lösa eller 4 gradsekvationer. Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge
10 7.5 5 2.5-4 -2 2 4-2.5-5 Figur 6: KTH: Vi har tidigare lös denna typ av ekvationer. Den då x och x termer saknas. Hur gör man? TB: Grubbel, grubbel... KTH: Nyckelordet heter substitution TB: Då vet jag, vi substituerar t = x 2 i ekvationen och får 25 + 28t t 2 = 0 25 + 28t t 2 = 0 t 2 28t 25 = 0 t = 14 ± 14 2 + 25 t 1 = 14 221 t 2 = 14 + 221 Nu vet ja alltså vad t är då ska jag lösa t = x 2. Det måste bli två ekvationer en för t 1 och en för t 2. Varje ekvation ger mig två rötter till den ursprungliga ekvationen: x 1 = 14 221 x 2 = + 14 221 x = 14 + 221 x 4 = + 14 + 221 x 1 och x 2 är inte reella eftersom vi får ett negativt tal under rottecknet. Återstår de de två reella x 5.7272 och x 4 5.7272. Här ar grafen som bekräftar: 200 100-6 -4-2 2 4 6-100 -200 Figur 7: KTH: Du vet nu att det finns två nollställen till funktionen och i grafen kan vi se att det finns tre extrempunkter, två maximum och ett minimum. Kan du ta reda på i vilka punkter de ligger? Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge
TB: Principen för hur det ska gå till, känns som jag har visat många gånger nu, men eftersom derivatan är ett polynom av tredje graden kan det bli knepigt, om inte omöjligt att finna rötterna. Jag gör ett försök: f x) = 56x 4x f x) = 4x14 x 2 ) x 1 = 0 x 2 = 14 x 2 = 14 118 Det blev ju inga problem alls. f0) = 25 ger miniumum i punkten 0,25) och f 14) = 221 och f 14) = 221 ger maximum i punkterna 14,221) och 14,221) TB: En funktion given på ett lite annorlunda sätt fx) = 4xx 6)x 10). Detta gör att det blir huvudräkning att bestämma rötterna till fx) = 0. De blir x 1 = 0, x 2 = 6 och x = 10. KTH: Är du säker på att det inte finns fler rötter. TB: Ja, för om jag skulle utveckla parenteserna så skulle det sluta i en polynom av tredje graden. Det ser man på långt håll. Men när jag nu ska ta reda på extrempunkterna kommer jag inte ifrån att utveckla parenteserna: fx) = 4xx 6)x 10) fx) = 4x 64x 2 + 240 f x) = 12x 2 128x f x) = 0 då 12x 2 128x = 0 2 8 ) 19 x 1 = 2.4274 2 8 + ) 19 x 2 = 8.2927 Det blev inga snälla värden fx 1 ) = 262.682 och fx 2 ) = 129.942 Vi har en maximipunkt i 2.4274, 262.682) och en minimipunkt i 8.2927, 129.942) 200 100-100 2 4 6 8 10-200 -00 Figur 8: KTH: Det blev lite mer än en skiss av kurvan, eller hur? Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge
TB: Jag har en uppgift kvar. När är fx) > 0. Dels när 0 < x < 6 och då x > 10. Lätt att säga när man har grafen. 119 TB: Vi känner alltså rötterna x 1 = 2, x 2 = 1 och x = 4 till ekvationen px) = 0 och vet att a < 0 i fx) = ax + bx 2 + cx + d. Nu ska jag skissa kurvan. Man kan inte bestämma a,b,c och d eftersom man har fyra obekanta och tre villkor, de tre rötterna. Tidigare har vi sagt att det finns oändligt många polynom av tredje graden med de givna rötterna. Så därför måste det verkligen bli frågan om en skiss den här gången. Ekvationen x + 2)x 1)x 4) = 0 har de tre givna rötterna. Om jag expanderar detta uttryck får jag x x 2 6x + 8 = 0. Motsvarande funktion px) = x x 2 6x + 8 är alltså en av många. Så här skulle man kunna skriva alla px) = mx x 2 6x + 8). m kan nu vara vilket tal som helst. Speciellt i texten står det att koefficienten till x ska vara negativ, så varför inte låta m = 1. Genom att plotta denna funktion får vi svaret. KTH: Kan du inte istället resonera dig fram till hur grafen ser ut. TB: Vi har alltså px) = x + x 2 + 6x 8. När x är ett stort negativt tal är px) > 0 vilket betyder att kurvan kommer snett uppifrån vänster, skär x-axeln i x = 2, når ett minimum någonstans mellan x > 2 och x < 1. Vänder förstås där till positiv lutning och skär x-axeln igen i x = 1. Snart når den ett maximum för att åter vända ner, skära x-axeln i x = 4 och försvinna snett ned åt höger. Rörigt eller hur. "En bild säger mer än tusen ord". Här kommer grafen 40 20-4 -2 2 4 6 8-20 -40 Figur 9: 121 TB: Den här gången får vi våra ledtrådar i form av en tabell x 1 2 4 fx) 0 0 5 0 Jag ska nu försöka finna a,b,c och d till funktionen fx) = ax + bx 2 + cx + d. Det lär gå bra eftersom det finns fyra obekanta och fyra punkter givna. Vi har lite tur eftersom tre av punkterna samtidigt är nollställen till funktionen. Då kan man skriva fx) = mx + )x + 1)x 4). m kan nu ha vilket värde som helst eftersom vi kan förkorta bort m när vi ska lösa ekvationen fx) = 0, mx + )x + 1)x 4) = 0. Oavsett m har vi de tre rötterna. Men vi har en fjärde punkt given, 2,5), som vi nu ska utnyttja för att bestämma m. f2) = 5 leder till ekvationen m2+)2+1)2 4) = 5 som ger m = 1/6. Funktionen är alltså fx) = 1 6 x+)x+1)x 4). Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge
122 Om jag utvecklar parenteserna så får jag: fx) = 2 + 1x 6 x 6 TB: Jag är säker på att jag aldrig kommer att glömma denna teori efter denna exercis. En uppgift till, med samma innehåll. Man vill att jag ska skissa kurvan utan att försöka bestämma vare sig nollställen för fx) eller f x). Funktionen fx) = 4x x 4 kan ha fyra nollställen och tre extrempunkter. Men samtidigt kan ett polynom av fjärde graden helt sakna nollställen och bara ha en extrempunkt. Hur ska jag veta vilket, bara genom att stirra på funktionen. KTH: Du måste förstås försöka få fram nollställena till fx). TB: Jag ser nu att vi kan skriva fx) = x 4 x). Ekvationen fx) = 0 har två rötter x 1 = 0 och x 2 = 4/ KTH: Vilka rötter har då ekvationen x x x4 x) = 0? TB: Det är ju samma ekvation!? Aha, nu förstår jag vad du menar. Rötterna är x 2 = 0, x = 0, x 4 = 0 och x 5 = 4/. För f10000) < 0, som betyder att funktionen kommer nedifrån vänster, skär x-axeln i punkten 0,0). Når sedan ett maximum, för att vända nedåt igen, skära x-axeln för x = 4/ och försvinna ned till höger. KTH: Nästan rätt. Frågan är vad som händer i 0,0). TB: Jag vet inte. Får jag plotta funktionen? 1 0.5-1.5-1 -0.5 0.5 1 1.5-0.5-1 -1.5 Figur 10: Nu ser jag det finns en terrasspunkt i 0,0). Hur skulle jag kunna se det? KTH: Jag vet inte! Men du kommer säker att se det då du löser f x) = 0. fx) = 4x x 4 f x) = 12x 2 12x f x) = 0 då 12x 2 12x = 0 x 2 x = 0 x 2 1 x) = 0 x 1 = 0,x 2 = 0,x = 1 Ekvationen har en dubbelrot i 0, 0), som betyder att det finns en terrasspunkt här. Jag konstruerar en teckentabell f x) + 0 + 0 x 0 1 Håkan Strömberg 8 KTH Syd Haninge
125 TB: Varför denna enkla uppgift? KTH: Boken vill fästa din uppmärksamhet på att en funktion kan vara definierad endast i ett intervall på x-axeln. Den här är bara definierad för 2 x 12. TB: Så när man ska ta reda på funktionens maximum, så är det inte bara max- och minpunkter man ska titta på. Man måste också ta reda på vilka värden funktionen har i början och slutet av intervallet. KTH: Precis. TB: De skiljer på lokala och globala extrempunkter. Jag tror att jag förstår att, till exempel, ett lokalt minimum är ett minimum bara runt omkring en given punkt. Globalt däremot gäller, i hela intervallet. I så fall finns det fyra lokala extrempunkter. Två maxpunkter 5, 9) och 12, 11) och två minpunkter 2,5) och 9,2). Globalt kan det aldrig finnas fler än ett maximalt och ett minimalt värde. Här är 12,11) den globala maxpunkten och 9,2) den globala minpunkten. 126 TB: Som en repetition på förra uppgiften kan jag säga att man måste beräkna f0.5), f1), f) och f4.5). Inte i någon annan punkt kan max- och minpunkterna ligga. Om nu funktionen är fx) = x 6x 2 + 9x +, kan jag då lita på texten ovan att f x) = 0 för x = 1 och x =? KTH: Ja, det kan du. TB: I så fall är det bara att utföra det jag sagt ovan f0.5) = 6.125,f1) = 7,f) = och f4.5) = 1.125. Maxpunkten är alltså 4.5,1.125) och minpunkten,) 128 b) TB: Nu är det tydligen intervall som gäller. Intervallet denna gång är 1 x 0 och funktionen är fx) = x x 2 x + 2. Det finns ju den möjligheten att en extrempunkt jag finner inte ligger inuti intervallet, så man får se upp fx) = x x 2 x + 2 f x) = x 2 2x 1 f x) = 0 då x 2 2x 1 = 0 x 2 2 x 1 = 0 x = 1 ± 1 9 + 9 x = 1 ± 2 x 1 = 1 x 2 = 1 Ja, titta x 1 = 1 tillhör inte intervallet. Återstår då att beräkna f 1) = 1, f 1/) = 59/27 och f0) = 2. Det minsta värdet funktionen antar i det givna intervallet är alltså 1 och det sker i en av intervallets ändpunkter. Håkan Strömberg 9 KTH Syd Haninge