TENTAMEN I REGLERTEKNIK SAL: T,T2 KÅRA TID: januari 27, klockan 8-3 KURS: TSRT9 PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Johan Löfberg, 7-339 BESÖKER SALEN: 9.3,.3 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, tel 3-284725, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: Reglerteknik, grundläggande teori med inläsningsanteckningar, tabeller, formelsamling, räknedosa utan färdiga program. LÖSNINGSFÖRSLAG: Anslås efter tentamen på kursens hemsida. VISNING av tentan sker i Ljungeln (B-huset, A-korridor mellan ingång 25 och 27) /2 2.3-3.. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
. (a) I figur nedan visas stegsvaren för fyra olika system. Välj, för varje stegsvar, en överföringsfunktion som passar till kurvan. (4p) (I) G(s) = s + (III) G(s) = s + (V ) G(s) = 2 s + (V II) G(s) = 2s + (II) G(s) = 2 2s + (IV ) G(s) = s 2 (V I) G(s) = s + 2 (V III) G(s) = 2 s + 2 Step Response Step Response 2.5.8.6.4.5.2 2 4 6 8 Time (seconds) 2 4 6 8 Time (seconds) Step Response Step Response 2.8.5.6.4.2.5 2 4 6 8 Time (seconds) 2 4 6 8 Time (seconds) Figur : Stegsvar till uppgift a. s (b) Insignalen u(t) = 2 sin(3t) läggs på ingången på systemet 2 +9. Vad blir s 2 +s+ utsignalen asymptotiskt (dvs efter väldigt lång tid)? (c) I figurerna 2 och 3 visas stegsvar respektive bodediagram för fyra system. Kombinera stegsvaren och bodediagrammen. (4p)
A 2 4 6 8 2 2 Frequency (rad/sec) B 2 2 3 4 Frequency (rad/sec) Magnitude (db) Magnitude (db) C 2 4 6 8 2 2 Frequency (rad/sec) D 5 5 2 2 Frequency (rad/sec) Magnitude (db) Magnitude (db) Figur 2: Bodediagram till uppgift.c 2
.8.6.4.2 I 5 5 2 25 Time (sec).8.6.4.2 II 5 5 2 25 Time (sec).5.5 III 5 5 2 25 Time (sec) 2.5.5 IV 5 5 2 25 Time (sec) Figur 3: Stegsvar till uppgift.c 3
2. Stefan Ingves och riksbanken försöker reglera inflationen y(t) genom att sätta styrräntan u(t) i Sverige. Målet är att erhålla den önskade inflationen r(t) som väljs av riksdagen. De har nu fått fria tyglar att försöka göra detta kontinuerligt, istället för att justera styrräntan en gång per kvartal. Genom mödosamma analyser har de kommit fram till att följande modell sammanfattar Sveriges ekonomi (β är en positiv parameter som man antar vara någorlunda känd, inte exakt dock) ẏ(t) = βy(t) + u(t) (a) Tag fram överföringsfunktionen från u(t) till y(t) och ange systemets poler. (b) Riksbanksgruppen tycker först att problemet är trivialt, om r(t) är konstant så borde valet u(t) = βr(t) vara en tänkbar lösning för att erhålla rätt inflation. Visa att detta stämmer, men förklara även varför det är en dålig idé.. (c) Efter att ha blivit upplysta, så bestämmer de sig för att testa P-reglering (K P > ) u(t) = K P (r(t) y(t)) Vilken inflation erhålls nu asymptotiskt, om önskad inflation hålls konstant? (d) Måste man känna β exakt för att reglerstrategin skall fungera (bli stabilt)? Uttala dig om hur krav på noggranhet i β kan kopplas till K P. (e) Stefan har hört talas om PI-reglering, t u(t) = K P (r(t) y(t)) + K I (r(τ) y(τ))dτ, och bestämmer sig för att använda detta. Stefan med kamrater har dessutom lärt sig att det är viktigt att lära sig av historien, och tänker därför använda sig av väldigt mycket integralförstärkning K I >. Antag att K P väljs till. Visa att Sveriges inflation sannolikt kommer att oscillera kraftigt om planen sjösätts med ett för stort val av K I. 4
3. Uppvärmning i en ny kemisk process hos Perstorp AB kan beskrivas av följande differentialekvation mÿ(t) = u(t) ky(t) bẏ(t) där y(t) betecknar en produkts temperatur och u(t) är tillförd värmeeffekt. Konstanterna m, k och b beskriver massa, värmeförlust till omgivning, samt en problematisk fysikalisk effekt som gör att värmeförlust till omgivning ändrar sig då temperaturen ändrar sig. Vi antar att m = k =. (a) Antag att man använder inför tillståndsvariablerna x (t) = y(t) och x 2 (t) = ẏ(t). Verifiera att systemet beskrivs på tillståndsform av modellen ( ) ( ) ẋ(t) = x(t) + u(t) y(t) = ( ) x(t) b (b) För vilka värden på b > har systemet reella poler? (p) (c) Antag att b =.5. Bestäm en temperaturreglering i form av en tillståndsåterkoppling på formen u(t) = Lx(t) + l r(t) sådan att det återkopplade systemets poler placeras i 2 och konstanta referenssignaler kan följas utan statiskt reglerfel. (5p) (d) Antag att man lägger på en referenssignal i form av ett steg med amplituden ett. Hur stor blir insignalen (dvs pålagd värmeeffekt) i stationärt tillstånd? Fysikskolade studenter ser även att precis samma modell beskriver position av en massa med vikt m fastsatt i en fjäder med fjäderkonstant k samt dynamisk friktionskoefficient b, med en yttre pålagd kraft u(t). Modeller, och efterföljande reglerstrategier, ser precis likadana ut oavsett ingenjörsdomän. Det är bara betydelsen av variabler som skiljer sig. 5
4. I denna uppgift skall vi reglera den så kallade pitchvinkeln på ett blad på ett vindkraftverk. Överföringsfunktionen från pålagd spänning u(t) på en elmotor, till bladets vinkel y(t) i grader ges av 2 G(s) =.s 3 +.2s 2 +.3s + och Bodediagrammet för detta system är avbildat i figur 4. (a) Man vill använda en regulator på formen U(s) = F (s)(r(s) Y (s)) för att få ett slutet system med lämpliga egenskaper. Antag att en P- regulator används. Vilken är den maximala skärfrekvensen som man då kan få om man kräver att det slutna systemet ska vara stabilt? Ange värdet på P-regulatorns förstärkning i detta fall. (3p) (b) En bättre regulator visar sig krävas. Vi önskar oss ett slutet system med följande egenskaper: Skärfrekvensen ska vara 5 rad/s. Fasmarginalen ska vara 2 Det stationära reglerfelet ska inte vara större än.2 när referenssignalen är ett steg med amplitud (dvs vid önskad bladvinkel på så måste vinkeln hamna inom 9.8.2 ) Varken lågfrekvens- eller högfrekvensförstärkningen i regulatorn får vara onödigt stor. Ta fram en regulator som uppfyller dessa krav. (7p) 6
3 2 2 3 4 5 45 9 35 8 225 Bode Diagram Frequency (rad/sec) Phase (deg) Magnitude (db) Figur 4: Bodediagram för G(s) i uppgift 4. 7
5. Du har äntligen fått jobb som reglertekniker och har som första uppdrag att utveckla en farthållare till ett fraktfartyg. Du har tagit fram en modell över båtens hastighet y(t) givet pålagd propellerhastighet u(t) Y (s) = G(s)U(s) där G(s) = m s + c där m är båtens massa och c är fartygets viskösa friktion i vattnet. Vi antar här för enkelhets skull att båda koefficienterna är ett, d v s vi antar att systemet kan beskrivas med modellen G(s) = s + I verkligheten varierar dock massa beroende på fraktvikt, bränsle och ballast. Antag därför att det verkliga systemet beskrivs av G (s) = ( + δ)s + där δ representerar avvikelsen i massa jämfört med modellen G(s), och δ = motsvarar en nominell standardmassa. (a) Verifiera att det relativa modellfelet ges av G (s) = δs ( + δ)s + (b) Antag att fartygets farthållare, som är av PI-typ, beräknats utgående från modellen G(s) och ges av F (s) = + 4 s Detta ger ett återkopplat system, vars absolutbelopp G c (iω) visas i figur 5 nedan. Gör en principiell skiss av absolutbeloppet av inversen av det relativa modellfelet i det bifogade diagrammet. (Tag loss sidan och bifoga till dina lösningar.) Antag att avvikelsen i massa som högst är 5 procent, d v s < δ <.5. Bör du baserat på robusthetskriteriet vara orolig över stabiliteten hos farthållaren? (4p) (c) Antag att massan skulle kunna ändras ännu mera än vad som antogs i uppgift b. Visa analytiskt om, och i så fall för vilka δ, det verkliga återkopplade systemet kan bli instabilt. (d) Gör en uppskattning fasmarginalen, baserat på figur 5. 8
9