Sid 1 (9) i matematisk statistik Statistik och kvalitetsteknik 7,5 hp Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare. Studenterna får behålla tentamensuppgifterna. Skrivtid: 9.00-12.00 ger maximalt 24 poäng. Betygsgränser: 12-15,75 p ger betyget 3, 16-19,75 ger betyget 4, 20-24 ger betyget 5. VIKTIGT! Lösningarna ska presenteras på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang blir lätta att följa. Avsluta varje lösning med ett tydligt svar i de fall där det är möjligt.
Sid 2 (9) Uppgift 1 Betrakta nedanstående täthetsfunktion för en normalfördelad slumpvariabel X med väntevärde 4 och varians 4. 0,20 Distribution Plot Normal; Mean=4; StDev=2 0,15 0,4332 Density 0,10 0,05 0,00 4 X 7 a) Bestäm sannolikheten att få ett observerat värde som är mindre än 4. b) Bestäm sannolikheten att få ett observerat värde som är större än 7 eller mindre än -7. c) Bestäm sannolikheten att få ett observerat värde som är exakt 7. Uppgift 2 Två stickprov om vardera 10 tomater, togs för att undersöka om kadmiumhalten hos biodynamiskt odlade tomater är lägre än den hos traditionellt odlade. Följande resultat erhölls (enhet: µg/mm 3 ) Biodynamiskt odlade 3,8 3,9 3,7 4,2 3,3 3,6 3,8 3,7 3,9 3,7 Traditionellt odlade 4,1 3,7 4,2 3,8 3,8 4,1 3,6 4,2 4,1 3,9 Följande utskrift erhölls från Minitab.
Sid 3 (9) Paired T-Test and CI: Biodynamiskt odlade; Traditionellt odlade Paired T for Biodynamiskt odlade - Traditionellt odlade N Mean StDev SE Mean Biodynamiskt odlade 10 3,7600 0,2319 0,0733 Traditionellt odlade 10 3,9500 0,2173 0,0687 Difference 10-0,190 0,341 0,108 95% CI for mean difference: (-0,434; 0,054) T-Test of mean difference = 0 (vs 0): T-Value = -1,76 P-Value = 0,112 Det valda testförfarandet är felaktigt. Förklara varför och ange vilket testförfarande man istället borde ha använt. (3p) Uppgift 3 Man är intresserad av att finna sambandet dels mellan nedfall av SO4 och ph-halt och dels mellan NO3 och ph-halt i svenska städer. Man har tagit prover av SO4 och NO3 (mg/l) samt av ph-halt (medelvärde av nivåerna i ett antal stilla stående vattendrag) i 34 svenska städer under 2012. Man anpassade ph som en linjär funktion av mängd NO3 och som en linjär funktion av SO4. Följande utskrifter erhölls. Coefficients Term Coef SE Coef T-Value P-Value Constant 6.91859 0.03309 209.08 0.000 NO3-0.77239 0.08587-10.16 0.000 Regression Equation Ph = 6.92-0.772 NO3 Model Summary S R-sq R-sq(adj) 0,19184 66,4% 65,7%
Sid 4 (9) Coefficients Term Coef SE Coef T-Value P-Value Constant 6.96161 0.03987 174.61 0.000 SO4-0.60266 0.05426-11.11 0.000 Regression Equation Ph = 6.96-0.603 SO4 Model Summary S R-sq R-sq(adj) 0.06766 83.3% 82.5% a) Prediktera hur stort ph-värdet blir, först om mängden SO4 = 0.7 och sedan när mängden NO3 = 0.7. b) Om du endast fick använda en av de förklarande variablerna för att prediktera ph så bra som möjligt, vilken skulle du välja med hänsyn tagen till den information du har från utskrifterna? Motivera ditt val. c) Anta att du hade tillgång till de mätvärden som analysen ovan baserar sig på. Hur skulle du använda dem för att få bättre underlag till valet i b)? Motivera. Uppgift 4 Beskriv det s.k. Kvalitetshuset och dess byggstenar. (3p) Uppgift 5 a) Nämn ett statistiskt verktyg som kan användas i DMAIC-metodikens Analysfas. (1,5p) b) Nämn ett statistiskt verktyg som kan användas i DMAIC-metodikens Kontrollfas. (1,5p)
Sid 5 (9) Uppgift 6 I tabellen nedan anges viktminskningar (i mg) pga friktion hos en viss typ av maskindelar, när 3 olika smörjmedel (1, 2 och 3) använts. Smörjmedel 1 Smörjmedel 2 Smörjmedel 3 12,2 10,9 12,7 11,8 5,7 19,9 13,1 13,5 13,6 11,0 9,4 11,7 3,9 11,4 18,3 4,1 15,7 14,3 10,3 10,8 22,8 8,4 14,0 20,4 Datamaterialet analyserades i Minitab och följande utskrift erhölls: One-way ANOVA: smörjmedel 1; smörjmedel 2; smörjmedel 3 Method Null hypothesis All means are equal Alternative hypothesis At least one mean is different Significance level α = 0,05 Equal variances were assumed for the analysis. Factor Information Factor Levels Values Factor 3 smörjmedel 1; smörjmedel 2; smörjmedel 3
Sid 6 (9) Analysis of Variance Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value Factor 2 230,6 115,29 8,75 0,002 Error 21 276,8 13,18 Total 23 507,4 Model Summary S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred) 3,63058 45,45% 40,25% 28,75% Means Factor N Mean StDev 95% CI smörjmedel 1 8 9,35 3,59 ( 6,68; 12,02) smörjmedel 2 8 11,42 3,09 ( 8,76; 14,09) smörjmedel 3 8 16,71 4,14 (14,04; 19,38) Pooled StDev = 3,63058 Tukey Pairwise Comparisons Grouping Information Using the Tukey Method and 95% Confidence Factor N Mean Grouping smörjmedel 3 8 16,71 A smörjmedel 2 8 11,42 B smörjmedel 1 8 9,35 B Means that do not share a letter are significantly different.
Sid 7 (9) a) Vilka antaganden görs vid en sådan variansanalys? Finns det någonting i residualplottarna ovan som motsäger något av antagandena? b) Vilka slutsatser kan man dra, på signifikansnivån 5%, från variansanalysen ovan under förutsättning att alla modellantaganden är uppfyllda (motivera)? (2p)
Sid 8 (9) Uppgift 7 På ett läkemedelsföretag fylls en läkemedelsubstans på i en lösning. Substansen som används kommer från två olika leverantörer. Kravet är att koncentrationen högst får avvika med ±5 μg/ml från det önskade värdet 250 μg/ml. För att undersöka processen tas 50 flaskor ut (en flaska om dagen) och koncentrationen mäts. Besvara följande frågor med motivering, med hjälp av nedanstående Minitabutskrift. a) Är processen under kontroll enligt styrdiagrammen? b) Är processen duglig enligt kapabilitetsanalysen? c) Vilka antaganden ska vara uppfyllda för att man ska kunna säga att sannolikheten är 0,0027 att hamna utanför styrgränserna i a) (få ett falskt larm")? Vilka av dessa är uppfyllda och inte uppfyllda? Motivera!
Sid 9 (9) Uppgift 8 Vid en tillverkningsindustri misstänker man att en leverantör av komponenter inte uppfyller kravet att högst 1% av de levererade komponenterna är defekta. För att testa detta har man i en kvalitetskontroll tagit ut 500 levererade komponenter. Av dessa visar sig 10 stycken vara defekta. Vilken av nedanstående Minitabutskrifter (1 eller 2) bör man använda för att testa om leverantören uppfyller kravet? Motivera valet. 1) Test and CI for One Proportion Test of p = 0,01 vs p > 0,01 Exact Sample X N Sample p 95% Lower Bound P-Value 1 10 500 0,020000 0,010890 0,031 2) Test and CI for One Proportion Test of p = 0,01 vs p 0,01 Exact Sample X N Sample p 95% CI P-Value 1 10 500 0,020000 (0,009631; 0,036472) 0,071