Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro
Lösningar Fysik 1 Heureka: kapitel 11 11.1.-11.2 Se facit eller figurerna nedan. 1
11.3 Titta på figuren. Dra linjer parallella med kraft pilarna, genom deras pilspetsar och rita därefter resultanten. Kraftskalan finns i bilden. Mät resultanten och omvandla till N(17 mm i lärobokens bild motsvarar ca 220 N = 0,22 kn.) 11.4 Dra konstruktionslinjer, genom pilens spets. Sidorna i parallellogrammet är komposanternas storlek. De är 2 cm respektive 2,9 cm, dvs motsvarar storleken 2 N och 2,9 N. Kraftskalan framgår från figuren. 2
11.5 Dra konstruktionslinjer,genom pilens spets. Sidorna i rektangeln är mått på komposanternas storlek. De är 14 respektive 7,5 rutlängder, dvs 28 N respektive 15 N enligt kraftskalan i figuren. Alternativ lösning: F-pilen i lärobokens figur är 16 rutlängder (47 mm i boken), vilket enligt kraftskalan motsvarar 32 N. Den vågräta komposanten är då 32 cos 28 N = 28 N och den lodräta 32 sin 28 N = 15 N. 11.6 Dekorationens tyngd är 8 g 80 N, och den kan ritas som en fyra rutlängder lång, nedåtriktad pil. För att jämvikt ska råda ska de båda krafterna i repen ha en lika stor, uppåtriktad resultant. Se figuren. Mätning av krafterna i repet och jämförelse med kraftskalan visar att deras storlek är 120 N. Alternativ lösning. De båda krafterna i repen och tyngden ska ha resultanten noll, eftersom jämvikt råder. Om kraftpilarna läggs i kedja ska de alltså bilda en polygon, i vårt fall en triangel. Se figuren, som kan ritas eftersom alla kraftriktningar än kända. Mätning i kraftskala ger svaret 120N. 3
11.7 Åkaren, som är i jämvikt, påverkas av tre krafter: tyngdkraften, kraften från repet och normalkraften från rampen I fig 1 utgår vi från tyngden, (55 kg) g = 0,54 kn, ritad i skala. De båda andra krafterna ska då ha en resultant som är lika stor som tyngden men uppåtriktad. Deras riktningar är kända: längs planet respektive vinkelrätt mot det. Det ger kraftfigur 1. Kraftskalan är 0,1 kn per cm. Mätning ger kraften 0,32 kn i repet. Tyngden delar vi upp i två komposanter, en som är parallell med rampen och en som är vinkelrät mot den. Den vinkelräta komposanten kompenseras av kraften från rampen och den parallella är ju den sökta kraften i repet. Den är: 0,54 sin37 = 0,32kN, (enligt figur 3) 4
Figur 3 11.8 a) Eftersom friktionskraften är 18% av normalkraften så är det matematiska sambandet: F friktion = 0,18 F normal b) Normalkraften är tyngden av 1,1 kg plus 30 N, dvs1,1 9,82N + 30N = 41N Friktionskraften är dåf friktion = 0,18 40,8 7,3N c) Mattias pressar rakt nedåt och friktionskraften verkar vinkelrätt men längs bordskivan. Resultanten F kan då beräknas med Pythagoras sats: F = 30 2 + 7,3 2 =31N 11.9 a) Krafterna är vinkelräta mot varandra och vi kan räkna ut resultanten R med Pythagoras sats: R = 120 2 + 800 2 = 8,1 10 2 N 0,81 kn snett nedåt höger. Den vinkel v som R bildar med lodlinjen får vi med hjälp av lite trigonometri: tanv = 120N v = 8,5 800N 5
11.10 a) Läs av den horisontella komposanten i grafens rutnät. Komposanten är 5 rutor och motsvarar alltså 50 N enligt den givna kraftskalan. Arbete A = F s = 50 1 000 J = 50 kj b) Den horisontella komposanten ges av F horisontell = F cos30 = 60 cos30 = 52N Arbetet A=52 1000 (J) =50kJ om vi avrundar till en värdesiffra. 11.11 Se facit. 11.12. Eftersom farten är konstant måste kraften jag skjuter skåpet med vara lika stor som friktionskraften, alltså friktionskraften är 200N. Annars skulle skåpet accelerera eller inte röra sig alls. 11.13 Den ena kraften är tyngdkraften på hopparen med utrustning. Den andra kraften är luftmotståndet som fallskärmen åstadkommer. 11.14 Kulans tyngd är: F = 15,8 10 6 kg 9,82 N kg = 5,69 10 5 N Lyftkraften på kulan är: L = ρ g V = 0,88 10 3 9,82 6,4 10 9 = 5,53 10 5 N Resultanten till dessa båda krafter är F L, som är ungefär 10 10 5 N, dvs ca. 100μN och är riktad nedåt. När kulan rör sig med konstant fart, är friktionskraften lika stor och riktad uppåt. Enligt diagrammet är kulans fart 4cm/s vid friktionskraften 100μN 11.15 a) Av sambandet F = m a (Newtons andra lag)följer att a = F m = 0,9 = 0,75 m/s2 1,2 b) Nu får vi räkna med 0,6 kg större massa men samma kraft: a = F m = 0,9 = 0,5 m/s2 1,8 6
11.16 Här kan vi använda ett annat samband för acceleration, a = v t, där v = v v 0 Som vanligt är v sluthastigheten och v 0 begynnelsehastigheten (den från början) Under första delen av rörelsen är v = 3 0 = 3m/s, och t = 2 0 = 2s Det ger accelerationen a = 3 2 = 1,5m/s2 Under den andra delen ändras inte hastigheten och accelerationen är därför noll. Under den tredje delen är v = 0 3 = 3m s, och t = 5 4 = 1s Accelerationen blir a = 3 1 = 3m/s2 För att räkna ut motsvarande krafterna multiplicerar vi de tre accelerationerna med massan 1,2 kg enligt Newtons andra lag. Vi får 1,8 N, 0 N och -3,6 N. I det sista fallet, med negativ kraft, verkar kraften motsatt rörelseriktningen. 11.17 a) Vi använder återigen Newtons andra lag F = m a a = F m Vi har att: F= 150N, eftersom den är en bromskraft och m = 75 kg. Insättning i formeln ovan ger accelerationen 2m/s 2 Rörelsen är retarderad b) Eftersom a = v v t = t a ( v betyder den "nya" hastigheten minus den "gamla".) v= (6-12) m/s = -6,0 m/s och a = -2,0 m/s 2, vilket ger t = 6 2 = 3s 7
11.18 a) Eftersom a = v t = 0 20 = 1 60 3 m/s2 Sambandet F=m a ger bromskraften F = 240 10 3 1 3 = 8 104 N = 80kN Minustecknet visar att kraften är bromsande. b) Eftersom accelerationen är konstant, är medelfarten under inbromsningen 10 m/s. ( 20+0 2 ) Bromssträckan är produkten av tid och medelhastighet; (s=v t) s = 10 m 60(s) = 600m s c) Arbetet är kraften gånger sträckan, dvs. W = F s = 80 10 3 (N) 600(m) = 48 10 6 Nm = 48MJ 11.19 a) Lutningen hos v-t-grafen visar accelerationen, som är a = 9 3 1,2 = 5m/s2 Kraften är F = m a = 1,5 5 = 7,5 N b) Förflyttningen är arean under grafen: 1 8 + 3 = 5,5m 2 Arbetet är: (7,5 N) (5,5 m) = 41,25 Nm 41Nm eller 41J OBS. Vi kan räkna ut arbetet genom att ta reda på hur mycket har rörelseenergin ökat. 1 2 1,5 82 1 2 1.5 32 = 41J 8
11.20. a) När vagnen pressar ihop fjädern försöker fjädern sätta emot, alltså farten minskar, kraften i fjädern ökar och är motsatt rörelseriktningen. När fjädern skjuter iväg vagnen, den sträcker ut sig då ökar farten och kraften i fjädern är riktad åt samma håll som rörelseriktningen. b) I vändögonblicket, alltså när vagnen stannar och är just på väg att skjutas ut är dess fart noll, samtidigt som kraften i fjädern är störst. Eftersom F=m a(newtons andra lag) måste accelerationen också bli störst just då. 11.21 Resultanten till krafterna på lådan är parallell med golvet och har storleken 30N-20N= 10 N. Accelerationen är a = 10 20 = 0,5m/s2 11.22 a) I figuren ser vi att dragkraften har den vågräta komposanten 50 N och den lodräta komposanten 30 N. Den accelererande kraften är 50 N- 10N=40N och accelerationen blir a = 40 8 = 5m/s2 b) Kälken utövar kraften (8 kg) (9,82 N/kg) - 30 N = 48,56 N 49 N mot marken. Det betyder att normalkraften, kraften från marken, är lika stor,( 49 N), och motsatt riktad. Vi beräknar kraftkomposanten längs marken F horisontell = 58cos31 = 49,7N F horisontell F friktion = m a a = Lyftkraften från repet är: 49,7 10 8 = 4,96m/s 2 5m/s 2 F lyft = 58 sin31 = 29,9N och normalkraften = 8 9,82 29,9 = 48,7 49N 9
11.23a) Tyngden 10 kn innebär att massan är: 10 103 m = 9,82 103 kg (1 ton) b) Kraften framåt är :F = 1 0,1 = 0,9kN Accelerationen är: a = F m = 900 1000 = 0,9m/s2 11.24 Vi kallar friktionskrafternas resultant F och ser att den accelererande kraften är 360 N F. Det leder till ekvationen (72 kg) 4,2( m/s 2 ) = 360 N - F Vi löser ut F och får F 58N 11.25 Bilens tyngd är mg = (1200 kg). (9,82 N/kg)=11784N (Behåll i räknaren). Rörelsemotståndet är 0,03 m g=354n Kraftresultanten är F - 0,03 mg, där F betyder motorns kraft. Sluthastigheten 90 km/h motsvarar 25 m/s. (90/3,6=25) Accelerationen är då: a = v t = 25 12,5 = 2m/s2 Kraftekvationen (F=m a) ger nu följande samband: F - 0,03 m g = (1200 kg) (2m/s 2 ) Vi löser ut F och får F = 2,753 10 3 N 2,8kN 11.26 a) Tyngdkraften verkar neråt och spännkraften i snöret uppåt. b) Vikten accelererar nedåt. Det betyder att den nedåtriktade kraften, tyngdkraften, måste vara större än den uppåtriktade kraften, spännkraften i tråden. 11.27 a) Punkten B, eftersom rörelsen upphör att vara likformig accelererad b) D, eftersom i vändpunkten är hastigheten noll. c)f, för att rörelsen blir likformig accelererad igen. d)g, för att den totala förflyttningen är nu noll e) D eftersom där är accelerationen störst f) E och C eftersom momentanaccelerationen är noll. 10
11.28 a) Vi drar en tangent till v-f-grafen i punkten som motsvarar t = 10 s och bestämmer dess lutning till 1,5 m/s 2. Se figuren! b) Vi kallar luftmotståndskraften F L och använder kraft ekvationen: 83 9,82 (N)-F L = 83 (kg) 1,5 (m/s 2 ) Vi löser utf L, som är 0,69 kn c) Gränshastigheten uppnås när luftmotståndskraften blir lika stor som tyngdkraften. 83 9,82 N = 0,82 kn Kraftresultanten och accelerationen är då noll, och hastigheten kan inte växa längre. 11.29 a) Om ett föremål som rör sig med konstant hastighet är kraftresultanten på objektet noll. Spännkraften är alltså lika stor som lastens tyngd. Tyngden är 100 (kg) 9,82 (N/kg) = 0,98 kn. b) Även i detta fall är farten konstant. Spännkraften är 98 kn. c) Om spännkraften är S, måste S - mg vara uppåtriktad, och kraftekvationen ger: S - 0,98 kn = 100 (kg) 0,5( m/s 2 ) Vi får S= 1,03 kn 11
d) Här måste spännkraften, S vara mindre än tyngden, så att kraftresultanten bli nedåtriktad och lika med mg - S. Vi får 0,98 kn - S = 100 (kg) 0,5(m/s 2 ) som ger S = 0,98 kn - 0,05 kn = 0,93 kn 11.30 Den minsta accelerationen inträffar då spännkraften är den maximalt tillåtna. En mindre spännkraft ger en större accelererande kraftresultant. Alltså har vi följande: 500 N - 450 N = 50 (kg) a, som ger a= 1m/s 2 (gymnastens massa med det avrundade g-värdet10 N/kg beräknas till 50 kg.) 11.31 a) Resultanten R är lika med tyngdens komposant längs rampen, eftersom friktionen är försumbar. Om vi konstruerar en skalenlig figur, kan vi mäta krafterna. Tyngden F representeras av en 30 mm lång pil. Dess komposant längs rampen uppmäts till 10 mm. Detta ger R = 10 30 30(kg) 9,82 N = 98,2N 98N kg 12
b) Accelerationen a får vi som vanligt från Newtons andra lag. R = m a a = R m = 98,2 30 = 3,3m/s2 c) Kraften utför ett arbete då lägesenergi omsätts till rörelseenergi. Arbetet: W = R s m v2 E K = 2 m v2 W = E K R s = v 2 = 2 2 R s m = 2 98,2 4,5 30 = 29,46 v 5,4m/s d) Den accelererande kraften är nu: F = 98,2(N) 0,2 30 9,82(N) = 39,28N Rörelseenergin beräknas på samma sätt som i c): m v2 F s = 2 v 2 = 2Fs m = 2 39,28 4,5 30 = 11,78 v 3,4m/s 11.32. a) Vi har enbart tyngdkraften som verkar alltid nedåt. b) Bollen bromsas av en uppåtriktad bromskraft. c) Nu är kraften från golvet större är tyngdkraften från bollen, dvs. uppåt. d) Nu har vi enbart tyngdkraften, dvs nedåt. 11.33a) Lådans acceleration är densamma som lastbilens, 0,6m/s 2 Lådans massa är 150 kg alltså kraften som verkar på lådan är 150 (kg) 0,6 (m/s 2 ) = 90 N. Den här kraften vill putta lådan bakåt, dvs. motsatt rörelseriktningen. Friktionskraften mot flaket är då 90 N (lika mycket) och dess riktning är framåt i rörelsens riktning. b) Accelerationen 1m/s 2 skulle kräva att friktionskraften måste vara 150 (kg) 1( m/s 2 ) = 150N om lådan inte ska glida. Den största friktionskraft som är möjlig är 0,08 150 9,82 = 118N Den räcker inte, och lådan glider. 13
11.34 a) Vi kallar friktionskraften F f och föremålets massa m. Kraftekvationen ser ut såhär: F F f = m a F = F f + m a Diagrammet visar F som funktion av a. Grafen är en rät linje som har lutningen m och skär F-axeln i punkten (0 ; 1 N). Vi kan alltså avläsa att friktionskraften är 1N. b) Lutningen är m, m = F F f a = 3 1 1,8 = 1,1kg 11.35 a) Lokets dragkraft på vagnarna är F och vagnarnas samlade massa är 3m. Accelerationen a bestäms av ekvationen F = 3m a a = F 3m b) Det är friktionskraften på lokets hjul som drar hela tåget, vars samlade massa är 5m: F F Lok = 5m a = 5m 3m = 5F 3 c) Accelerationen har vi räknat och den är a = F 3m Massan för de båda bakvagnarna är 2m. Kraften är: F 2F 2m = 3m 3 11.36 Rörelseenergin är lika med: E K = 1200 25 2 = 15 10 3 J Sträckan s beräknar vi som medelhastigheten gånger tiden: s = 0 + 25 2 = 12,5m/s Resultatet av det arbete som den accelererande kraften F uträttar är rörelseenergin E k E K = 2,4 10 3 N = 2,4kN E K = F s F = s Kraften F är resultant till motorns medelkraft F m och friktionskraften F f F = F m F f F f = 0,03 1 200 9,82 = 0,353 10 3 N =0,4 kn F m = (2,4 + 0,4)kN = 2,8kN 14
11.37 a) Vi utgår från sambandet p=m v (rörelsemängd) och löser ut massan m. m = p v Bil A har p = 3 10 4 kgm/s och hastighet v = 20m/s som ger m = 3 104 = 1,5 10 3 kg = 1,5ton 20 Bil B har lika stor massa, alltså 1,5 ton. b) Bil B rör sig åt väster. Dess rörelsemängd är då också riktad åt väster. Rörelsemängdens storlek är: 1,5 10 3 24 = 36 10 3 = 3,6 10 4 kgm/s Se figuren nedan! c) Bil A har sin rörelsemängd riktad åt öster. Vi ska alltså addera två rörelsemängder med motsatta riktningar. Som figuren visar blir den resulterande rörelsemängden 3,6 10 4 3 10 4 = 0,6 10 4 kgm, riktad åt väster s 11.38 Vi behöver två samband för att kunna beräkna både rörelse mängd (p) och rörelseenergi (E K ): m v2 p = m v (1) och E K = (2) 2 Enligt samband (1) är bilens rörelsemängd 1 10 3 (kg) 20 m = 2 10 4 kgm/s och enligt s (2) är bilens rörelseenergi 1 10 3 20 2 = 2 10 5 J 2 a) För all beräkna tågets fart löser vi ut v ur samband(2) och sätter in värdena. v = 2 E K m = 2 2 10 4 105 5 = 1m/s b) Här löser vi ut v ur samband (1): v = p m = 2 104 4 10 5 = 0,05m/s 15
11.39. Eftersom rörelsemängden p=m v, kan vi hitta en massa tal som multiplicerad blir 100. T.ex. 5 20=100 (Du väger 20kg och åker med 5m/s), 4 25=100( Du väger 25 kg och åker skateboard med 4m/s) 80 1,25=100 (Jag väger 80kg och springer med 1,25m/s ) osv.osv. 11.40. Den sammanlagda rörelsemängden inte ändras därför kan vi skriva: m A v A + m B v B = 0 (1) Vi väljer rörelseriktningen hos vagn A till positiv riktning. Vi löser ut m A ur samband (1) och får: m A = m B v B 1,02 2,4 = = 3,6kg v A 0,8 Egentligen är v B = -2,4 m/s! Hade vi valt riktningen hos vagn B till positiv riktning, skulle vi ha fått v A = 0,8m/s och v B = 2,4m/s 11.41 Om kraften 5 N verkar under tiden 8,2 s blir impulsen ( alltså kraften gånger tiden), I = F t = 5 8,2 = 41Ns 16
11.42 a) Impulsen är lika med ändringen av rörelsemängden I = p Rörelsemängdens ändring är p= 8( kg) 2,5 (m/s) 8( kg) 0 = 20 kgm/s. Därmed är också impulsen I = 20 kgm/s = 20 Ns. (Kom ihåg att 1 N = 1 kgm/s 2 så att 1 Ns = 1 kgm/s.) b) Rörelsemängden växer med 20 Ns på grund av hastighetsökningen v= 2,5 m/s 11.43 a) Kraften 12 N har åstadkommit en ökning av rörelsemängden från 3(kg) 10(m/s) = 30 kgm/s till 3( kg) 18( m/s) = 54 kgm/s. Impulsen är alltså: (54-30) kgm/s = 24 Ns. b) Sambandet för impuls ger: I = F t t = I F = 24(Ns) 12(N) = 2s Övning b) kan lösas utan att man använder impulslagen. Med kraftekvationen F=m a kan man räkna ut accelerationen: a = F m = 12 3 = 4m/s2 Med denna acceleration tar det 2 sekunder att öka hastigheten med 8 m/s. 11.44 a) Kraften från hissgolvet är lika med sammanlagda tyngden av Anders och hans väska. (70,5 + 7,5) 9,82 (N/kg) = 0,765 10 3 N 0,77 kn b) Om hissen faller fritt är kraften från golvet noll. Tyngdkraften är den enda accelererande kraften och Anders acceleration är g (9,82m/s 2 ) c) Den accelererar på samma sätt som Anders själv. Det verkar som om väskan skulle vara tyngdlös, och faller jämsides med Anders. 11.45 a) När vågen visar 68 kg påverkas den av kraften68 9,82 N, vilket också betyder att Anders, som slår på vågen, påverkas av en uppåtriktad kraft av denna storlek. Resultanten till tyngdkraften på Anders och kraften från vågen är 17
F = mg- 68 9,82 N = (70,5-68) 9,82 N = 24,55 N 25 N b) Hissens acceleration under de 4 första sekunderna är: a = F m = F 70,5 = 25 70,5 0,35m/s2 och farten har vuxit från noll till: v = a 4(s) = 0,35 4 1,4m/s Sträckan som hissen rör sig med denna konstanta fart(vågen visar 70,5 kg!) är 200 (s) v = 2,8 10 2 m = 0,28 km. c) Eftersom inbromsningen varar 5 sekunder är retardationen: Δv Δt = 0 1,4 = 0.279m/s 5 (Negativt tecken eftersom hastigheten minskar.) Kraftresultanten på Anders är: 70,5 (kg) (-0,279 (m/s 2 )) = -19,6 N Kraften (uppåtriktad!) från vågen på Anders nu19,6 N större än tyngdkraften 70,5 9,82 + 19,6=711,91 712 N. Genom att dividera detta med tyngdfaktorn (g=9,82) får vi vågens visning: 711,91 9,82 = 72,49 72,5kg 18