{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt som kan förekomma är (u, v) respektive (u v). Exempel 3.3. Låt {e,e } vara en ON-bas i planet. Beräkna skalärprodukten mellan vektorerna u = e och v = e + e. Figur 3.4. e v = e + e θ u = e

35 Sats 3.5. Låt e = {e,e,e 3 } vara en ON-bas i rummet. Då gäller att {, om i = j, e i e j =, om i j. Bevis: Sats 3.6. Om u = e så gäller att x y z och v = e x y z u v = x x + y y + z z. är givna i en ON-bas e = {e,e,e 3 }, Bevis:

36 3 SKALÄPRODUKT Exempel 3.7. Ange om vinkeln mellan vektorerna u och v, givna i en ON-bas, är spetsig, rät eller trubbig då 3. u = och v = 4 ( ) ( ). u = och v = 3. u = 3 4 och v = 5 Låt θ vara vinkeln mellan u och v.. Eftersom u v =, så följer att cos θ = u v u v =, dvs θ = π.. Vi har att u v =, u =, v =, som ger cos θ = >, dvs θ är spetsig. 3. Det gäller att u v =, u = 4, v = 7, och därmed är cos θ = <, 4 7 dvs θ är trubbig.

37 Definition 3.8. Antag att vektorerna u och v är givna i en ON-bas. Vi säger att u och v är ortogonala om deras skalärprodukt är, dvs u v =. Exempel 3.9. Vektorerna v = är parvis ortogonala., v = och v 3 = Exempel 3.. Bestäm alla vektorer som är vinkelräta, dvs ortogonala mot vektorerna v = och v =. (ON-bas). Vi söker alla vektorer u = { u v = u v = x y z, så att dvs { x + y + z = x y =. Sätter vi y = t, får vi att x = t och z = x y = t. Alltså är u = t, t R. Eftersom v och v är ej parallella så spänner dem upp ett plan Π. Vektorn u är då vinkelrät mot detta plan. En sådan vektor kallar vi för normal till planet Π. Vi återkommer till detta senare i kapitlet om linjer och plan. u v v

38 3 SKALÄPRODUKT Exempel 3.. Låt u och n vara två vektorer givna i en ON-bas. Visa att u kan skrivas som en ortogonalprojektion på n, dvs u = u n + u n, där är parallell med n och är ortogonal mot n. u n = u n n n (3.) u n = u u n n n Exempel 3.. Bestäm ortogonalprojektionen av u = ON bas. på n = 3. Vi förutsätter

39 4. Vektorprodukt Definition 4.. Låt u, v och w vara tre vektorer i rummet. Den ordnade trippeln (u, v, w) kallas ett högerorienterat system och säges vara positivt orienterat om den minsta vridning, som överför u i v sker moturs sett från w: spets. Figur 4.. Minnes regel: Tumme, pekfinger och långfinger på högerhand bildar ett högersystem. Definition 4.3. Vektorprodukt (eller kryssprodukt) mellan u och v är den vektor u v som entydigt bestäms av:. u v är ortogonal mot både u och v.. (u, v, u v) bildar ett högersystem. 3. u v = u v sin θ, där θ är vinkeln mellan u och v. Om u och v är parallella sätter vi u v =. Sats 4.4. Räknelagar för vektorprodukt:. u v = v u.. u (v + w) = u v + u w. 3. (λu) v = λ(u v), där λ är reellt.

4 4 VEKTORPRODUKT 4.. Vektorprodukt i koordinater Sats 4.5. Låt {e,e,e 3 } vara en ON-bas i ett positivt orienterat högersystem. Då gäller att. e e = e 3. e e 3 = e 3. e 3 e = e 4. e e = e e = e 3 e 3 =. Exempel 4.6. Låt u = vara givna i en ON-bas. Bestäm vektorprodukten u v. x y z och v = x y z Eftersom u = x e + y e + z e 3 och v = x e + y e + z e 3, så gäller att u v = (x e + y e + z e 3 ) (x e + y e + z e 3 ) = x x (e e ) + x y (e e ) + x z (e e 3 ) +y x (e e ) + y y (e e ) + y z (e e 3 ) +z x (e 3 e ) + z y (e 3 e ) + z z (e 3 e 3 ) Enligt Sats 4.5 försvinner första, femte och nionde termen ovan, så att u v = x y (e e )+x z (e e 3 )+y x (e e )+y z (e e 3 )+z x (e 3 e )+z y (e 3 e ). Utnyttjar vi Sats 4.5 tillsammans med räknelagarna i Sats 4.4 får vi att u v = x y e 3 x z e y x e 3 + y z e + z x e z y e. Om vi samlar de termer som hör ihop fås u v = (y z z y )e + (z x x z )e + (x y y x )e 3. (4.) Vi ser enligt (4.) att uttrycket som ger kryssprodukten mellan två vektorer är ganska komplicerat. Att dessutom försöka komma ihåg det är inte det lättaste. Därför är det lämpligt att ta fram ett schema som gör det enklare för oss att beräkna en vektorprodukt. Ett sätt är att använda sig av följande beteckning: a b c d = ad bc (korsmultiplikation!). Med denna beteckning kan paranteserna i (4.) skrivas: y z y z = y z z y, x z x z = x z z x, x y x y = x y y x.

4. Vektorprodukt i koordinater 4 Därmed kan vektorprudukten i (4.) beräknas enligt: u v = y z y z e x z x z e + x y x y e 3. (4.3) Slutligen behöver vi veta vilka element skall stå i respektive schema. Detta löser vi genom att skriva om vektorprodukten (4.3) med hjälp av ett utvidgat schema där även basvektorerna återfinns, dvs e e e 3 u v = x y z x y z. (4.4) Exempel 4.7. Beräkna u v om u = och v = 3. (ON-bas). Exempel 4.8. (Tillbaka till Exempel 3.) Bestäm alla vektorer som är ortogonala mot v = och v =.

4 4 VEKTORPRODUKT Exempel 4.9. Bestäm en positiv orienterad ON-bas {f,f,f 3 }, sådan att f är parallell med. (ON-bas).

4. Vektorprodukt i koordinater 43 Exempel 4.. Låt u = x y z, v = Beräkna skalärprodukten u (v w). x y z och w = x 3 y 3 z 3 vara givna i en ON-bas. Enligt Exempel 4., så följer att e e e 3 v w = x y z x 3 y 3 z 3 = y z y 3 z 3 e x z x 3 z 3 e + x y x 3 y 3 e 3. Skalärprodukten ges därmed av ( y u (v w) = (x e + y e + z e 3 ) z y 3 z 3 e x z x 3 z 3 e + x ) y x 3 y 3 e 3 = y z y 3 z 3 x x z x 3 z 3 y + x y x 3 y 3 z x y z = x y z x 3 y 3 z 3. (4.5) Schemat i (4.5) är vad vi kallar för determinanten för tillhörande matris x y z x y z x 3 y 3 z 3. Determinantbegreppet kommer vi att studera mera senare. Exempel 4.. Bereäkna determinanten 3 4 5 6 7 8 9.

44 4 VEKTORPRODUKT Definition 4.. (Area av en parallellogram) Arean A av den parallellogram som spänns upp av vektorerna u och v är A = u v sin θ, dvs A = u v. Exempel 4.3. Beräkna arean av den triangel som i ett ortonormerat koordinatsystem har hörnen i P = (,,), Q = (,,) och R = (3,,). Låt O vara origo i detta koordinatsystem. Då ges ortsvektorerna OP, OR av Låt och OP=, OQ= PQ= OQ OP= PR= OR OP= 3 och OR= = = Kantvektorerna PQ och PR spänner upp en parallellogram vars area är Triangelns area blir då PQ PR. Nu är PQ PR= Triangelns area är alltså e e e 3 = e e + e 3 = 4e 3 = e 3. PQ PR = + + ( 4) = a.e. R. OQ och PQ PR. 4. v = PR h = v sinθ P θ u = PQ Q

4. Vektorprodukt i koordinater 45 Definition 4.4. (Volymen av en parallellepiped) Volymen V av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna u, v och w är V = (u v) w. Exempel 4.5. Låt v = rummet, (ON-bas)., v = och v 3 =. Bestäm arean av den parallellogram som spänns upp av v och v. vara tre vektorer i. Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av v, v och v 3. Vi har att v v = e e e 3 = e + e 3 = e. Parallellogramens area blir då ( ) + + = a.e. Vidare gäller att (v v ) v 3 = =. Volymen är då (v v ) v 3 = v.e. u v h = w cosθ V = A h = u v w cosθ = (u v) w w h θ v A = u v u

46 4 VEKTORPRODUKT Låt u, v och w vara tre vektorer i rummet. Enligt Definition 4.4 så ges volymen av den parallellepiped som spänns upp av dessa av Detta i sin tur motiverar följande definition V = u v w cos θ = (u v) w. Definition 4.6. Volymprodukten V (u, v, w) av tre vektorer u, v och w i rummet ges av V (u,v,w) = (u v) w. Anmärkning 4.7. Nedan har vi formulerat några egenskaper hos volymprodukten som är en direkt följd av definitionen ovan.. Volymprodukten värde är lika med determinanten.. Om volymprodukten är lika med noll, så är vektorerna linjärt beroende, dvs ligger i samma plan (på samma linje). 3. Om volymprodukten är skild från noll, så är vektorerna linjärt oberoende och bildar därmed en bas i rummet. 4. Om volymprodukten är positiv, så bildar mängden {u,v,w} en höger orienterad bas i rummet, dvs vektorerna u v och w ligger på samma sida om planet genererat av u och v. Figur 4.8.

4. Vektorprodukt i koordinater 47 Exempel 4.9. Finns det något plan som innehåller punkterna (,,), (,,), (,,) och (,, )? (ON-bas).