Problem till 14 april

Problem till 14 april Where there are problems, there is life...zinoviev, The Radiant Future 1 Herons formel en algebraiska härledningen, som är påbörjat i föreläsn.anteckningarna. Triangelareaformeln Sid.38, övn.1 1. Låt E och F vara tyngdpunkterna (medianernas skärningspunkter) i deltrianglarna resp. i den godtyckliga fyrhörningen. arean 1 sin α sin β c sin (α + β) för en triangel med en sida c och intilliggande vinklar α och β, som nämns i föreläsn.anteckn. E F reanavengodtyckligfyrhörning(första sidan i föreläsn.anteckningarna) För arean av en godtycklig fyrhörning med sidorna a, b, c, d (a och c motstående) använde babylonierna felaktigt formeln (a + c)(b + d) arean 4 Ger den ett för stort eller för litet värde? För vilka fyrhörningar ger den rätt värde? Tangenssatsen osinussatsen och sinussatsen är du bekant med i jämställdhetens namn borde det väl finnas en tangenssats också? Och det gör det! I en godtycklig triangel med sidor a, b, c och motstående vinklar,, är a b a + b tan tan + evisa den! (Återfanns i en av kollegan enneth J.s gamla läroböcker från realskolan, så nog bör vi ta en titt på den...) (a) Visa att EF är parallell med. (b) eräkna längdförhållandet EF ågvinkelsatsen, omskrivna och inskrivna cirklar Sid.58, övn.1 första delen (Här i en omformulering övertyga dig att den är ekvivalent med Tengstrands!) En fyrhörning kan ha en omskriven cirkel endast om summan av motstående vinklar är 180. Sid.58, övn.1, omvändningen: Om summan av motstående vinklar i en fyrhörning är 180, så har fyrhörningen säkert en omskriven cirkel (d.v.s. det finns en cirkel som går genom alla fyra hörnen). Sid.58, övn. Sid.58, övn.3 Sid.53, övn.9 1 iterat i.gardiner, iscovering Mathematics. The rt of Investigation, larendon Press, Oxford, 1987 Sid.53, övn.7 Tips: Höjdernas fotpunkter ligger på cirklar med triangelns sidor som diametrar. ågvinklar till en och samma båge är lika... 1

En generalisering av bågvinkelsatsen. I tidskriften Elementa (för gy-lärare i ma/fy/ke; utkommer med 4 nr per år), 1997: sid.9-30 har J.Ohlström publicerat följande resultat under rubriken En generalisering av bågvinkelsatsen: v + 0 0 diametern v 0 0 diametern Med, 0 0 avses längden av resp. båge och vinkeln v räknas i radianer, förstås. Varför säger vi att de generaliserar bågvinkelsatsen? evisa dem! 3. En tillämpning av generaliseringen av bågvinkelsatsen: Här har vi en regelbunden niouddig stjärna (rotationssymmetrisk invariant under vridning 360 /9.) Sätt fingret på en godtyckligt vald vinkel i figuren, så bör du kunna säga hur stor vinkeln är med huvudräkning enbart! Nu vet du varifrån namnet kommer! Under det gamla gymnasiets tid (före 1995) gav tidskriften Elementa årligen ut ett Problemhäfte innehållande bl.a. de centrala proven. En gång fick musikläraren vid en gymnasieskola syn på häftet och såg ytterligt om än inte så allvarligt konfunderad ut. Efter några ögonblick harklade han ur sig: "Ja, nog har jag haft problem i mitt liv också, men inte har jag kommit på idén att samla dem i ett häfte." (berättat av Margita Nilsson)

4. Låt M vara median i triangeln. Visa att M > 1 ] <90 M < 1 ] >90 6. Från din ögonhöjd, h mövermarkplanet, vill du fotografera en staty, som är s mhög och står på en p m hög piedestal, p>h. Hur långt bort från piedestalens fot skall du stå för att statyn skall uppta största möjliga vinkel idinkamera? Tips: ågvinkelsatsen gäller som rubrik fortfarande! etrakta cirkeln med diameter. 5. Låt och vara två givna punkter i ett plan. eskriv mängden av punkter som är sådana att, närmanrörsigfrån mot längs den räta linjesträckan, så ökar avståndet till hela tiden. Tips: Kortaste avståndet från en punkt till en linje är längs normalen och räta vinklar hör ihop med cirklar. se nästa sida om niopunktscirkeln. et här kan utredas m.h.a. derivata som optimeringsproblem i envariabelanalysen. (Gör det som en övning, ifall du ännu inte är klar med den kursen... Jfr. sedan din lösning med den på sid.9.) Men det finns även ett geometriskt alternativ som inte kräver mer än (väsentligen) bågvinkelsatsen och Pythagoras sats! et är det vi är ute efter nu! Tips: Fundera dessutom över vilken sats i flervariabelanalysen illustreras här? (Tips: tänk på nivåkurvor och gradienter och optimering i flervariabelanalysen.) 3

Niopunktscirkeln Är visserligen diskuterat i kompendiet, men jag har försökt strukturera beviset litet (annorlunda och förhoppningsvis) bättre (?). Gå igenom frågorna nedan och se till att du hänger med i resonemangen! För en godtycklig triangel, låt H,H,H höjdernas fotpunkter M,M,M sidornas mittpunkter K,K,K mittpunkterna på sträckorna från ett hörn till höjdernas skärn. punkt H (H,M,K är de som hör till hörn 1, etc.) K H M M H K K H M essa nio punkter ligger då på en cirkel! evis: 7. etrakta fyrhörningen K K M M. Tycks den inte vara en rektangel? Visa att K K och M M är parallella med,medan K M och K M är parallella med H. ärmed klart att den är en rektangel. Låter vi sidorna byta roll i resonemanget, får vi två rektanglar till: K K M M och K K M M. 8. Övertyga dig att varje rektangel har en omskriven cirkel, och det så att rektangelns diagonaler är diametrar i cirkeln. lltså har vi tre cirklar en till var och en av rektanglarna ovan. 9. e här tre cirklarna måste faktiskt sammanfalla varför? Vi har alltså en cirkel c, som innehåller de sex K- ochm -punkterna. 10. Återstår att övertyga sig om att även H-punkterna måste ligga på c. etrakta triangeln K H M. Sträckan K M är diameter i cirkeln c, medan ]K H M 90.Slutsats? ärmed är beviset klart. 11. Kan niopunktscirkelns medelpunkt ligga utanför triangeln? 1. Hur ligger niopunktscirkeln när triangeln är rätvinklig? 4

Problem till 19 april Några som kunde stått i kap.1: ndra fallet: ligger utanför 4. 13. Hitta felet i följande bevis för att alla trianglar skulle vara liksidiga: Givet en godtycklig triangel skall vi visa att. I och med att beviset gäller för en godtycklig triangel, så ger det på samma sätt att även, och därmed skulle det vara klart att alla trianglar måste vara liksidiga. Låt vara skärningspunkten mellan bisektrisen till ] och mittpunktsnormalen till. Från dra normaler till benen resp.. eteckna med E resp. F dessa normalers skärningspunkter med resp. ben. Vi har två tänkbara fall: Första fallet: ligger innnanför 4 : E F å gäller i stället E F E E F F I båda fallen måste emellertid gälla att E F, eftersom ligger på bisektrisen till, samt å har vi följande samband mellan sträcklängder: E + E F + F E F, eftersom ligger på mittpunktsnormalen till, och trianglarna E och F är då kongruenta. lltså. V.S.. Hjärnan ännu i mig vrides, när jag tänker på Euklides ochpådetrianglarna och. (ellman) 5

14. Vad är det för fel på följande bevis för att vinkelsumman i en godtycklig triangel är 180? Inför x vinkelsumman i en godtycklig triangel. Låt vara en sådan. Tag en punkt på sidan och betrakta vinkelsummorna i dels, dels deltrianglarna och. 15. Låt vara en parallellogram med M och N mittpunkter på resp.. ra sträckorna, N, NM och M. N ] + ] + ] x ] + ] + ] x ] + ] + ] x ddera de två senare ekvationerna under utnyttjande av så fås: ] + ] ] ] + ] 180 ] + 180 + ] + ] x x + 180 x x 180 Hur stor del av parallellogrammens area utgör det skuggade området? 16. För rätvinkliga trianglar finns ett enkelt samband mellan längderna av hypotenusan och medianen mot hypotenusan. Förklara! 17. I parallelltrapetset, k, skär diagonalerna och varandra i S så att triangeln S är likbent: S S (a) Visa att trapetset är likbent. (b) ntag att S rentav är liksidig. eteckna med K, L och M mittpunkterna på S, resp. S. Visa att KLM också är liksidig. M M L K 6

18. Som bekant gäller det att v alla rektanglar med en viss given omkrets, så har kvadraten störst area. etta brukar tjäna som ett av de första exemplen på tillämpningar av differentialkalkyl. Men det är som att skjuta myggor med kanoner! Ge ett åskådligt geometriskt bevis (figur, någonting i stil med övn.15-16 i kap.1) som skulle kunna förstås av alla i grundskolan! 19. En cirkel med medelpunkt O tangerar (invändigt) alla fyra sidorna i parallelltrapetset, där k. (a) Vad kan sägas om vinklarna O och O? (b) Visa att O + O + O + O + 0. Utanpå triangeln har man ritat likbenta rätvinkliga trianglar 1 och med hypotenusor 1 resp.., 1 och ligger på samma sida linjen. Låt M mittpunkten på 1 och M 1 mittpunkten på. Så några med mer anknytning till kap.: I övn.1, sid.58, skulle man utreda existens av omskrivna cirklar till fyrhörningar. Hur är det med inskrivna cirklar? frågar vi oss nu: 1. Visa att en fyrhörning kanhaeninskriven cirkel endast om summorna av motstående sidor är lika, d.v.s. om + +. Visa att ovanstående villkor är tillräckligt: Om + + så har fyrhörningen en inskriven cirkel. isektrissatsen och den harmoniska cirkeln Sid.48, övn.8-10 Sid.53, övn.4-6 evas sats Sid.5, övn.14-16 (Om man skall följa föreläsningsanteckningarna, så får det bli:... med hjälp av omvändningen till evas sats.) M 1 M 1 (a) eräkna förhållandet mellan MM 1 och. (b) eräkna vinklarna i 4M. Tips: ra normaler från 1 och mot linjen. 7

Morleys sats (Fick en sida över...) Låt oss kalla de två linjer som delar en vinkel i tre lika delar för trisektriser 3. ra de 6 trisektriserna i en godtycklig triangel. å bildas en mindre triangel inuti: en lilla triangeln blir alltid liksidig! (Oavsett hur den stora ser ut!) etta häpnadsväckande resultat tycks ha varit okänt ända fram till 1899, då det upptäcktes av F.Morley 4. Testa några animationer på Internet. Utgå t.ex. från länkarna på http://www.haverford.edu/math/morley.html Ett trigonometriskt bevis gör förvisso bruk av de flesta trig. formler som man stöter på under sin utbildning, men är egentligen rakt på : (Se Figur till bevisen) Vi försöker uttrycka PQ, QR och RP i triangelsidorna a, b, c (som vanligt är a den som ligger mot hörn, etc.) och vinklarna, som vi här med anledning av tredelningarna betecknar 3α, 3β resp. 3γ (3α är den vid hörn, etc.). Om vi därvid inte utnyttjar någon speciell egenskap som skiljer ut ett av hörnen,, från de andra, så räcker det faktiskt att ställa upp ett uttryck för en av dem, säg PQ. Formeln för QR, t.ex., kan vi sedan få ur formeln för PQ genom att byta ut a mot b, b mot c, c mot a, α mot β, etc. Sedan försöker vi visa att PQ QR RP. etta skulle vara klart om vårt uttryck för PQ är symmetriskt i triangelhörnen, d.v.s. i paren (a, α), (b, β) och (c, γ), som t.ex. a sin α+b sin β +c sin γ. Så vi räknar på och försöker skriva uttrycken på så symmetrisk form som möjligt. osinussatsen: PQ P + Q P Q cos γ För att uttrycka P och Q i sidorna och vinklarna, dra höjden PP 0 från P mot. etrakta de rätvinkliga trianglarna P 0 P och P 0 P. γ P P' β Figur till bevisen 3 Ingen vedertagen term, men på engelska säger man trisector (och angular bisector för bisektris), så det kan inte vara helt fel. 4 En annars ej särskilt berömd matematiker. Nästan mera känd (för engelskspråkiga) som far till en viss författare (hristopher Morley) samt för att ha slagit den regerande schackvärldsmästaren Lasker i ett parti en gång. (Lasker å sin sida är faktiskt den enda schackvärldsmästare som disputerat i matematik. Handledare? Hilbert!) P 0 tan β PP 0 P 0 tan γ P 0 + P 0 Insättning av den första ekv. i den andra ger P 0 + P 0 tan β tan γ P 0 tan γ tan β +tanγ O.s.v. (u kanske vill fortsätta själv?) "Elegantare" alternativ finns, men är kanske inte lika lätta att komma på... 8

ilaga: nalytisk lösning till statyproblemet: Låt x det horisontella avståndet från kamera till piedestal. Vinkeln är då arctan p + s h x 1+ a+s x arctan p h x f (x) så vårt problem är att bestämma maximum av f (x) när x>0. Sätt p h a och studera derivatan µ f 0 1 (x) a + s 1 ³ x a x 1+ a x (a + s) x +(a + s) + a x [gör liknämnigt] + a a ³x +(a + s) (a + s) x + a ³x +(a + s) (x + a ) Nämnaren är > 0 så det räcker att titta på täljaren: (a (a + s)) x + a (a + s) (a + s) a sx + a (a + s)((a + s) a) sx + a (a + s) s en är < 0 för små x, > 0 för stora x, och 0då x p a (a + s) p (p h)(s + p h) vilket alltså ger max. och är det sökta avståndet. Kontrollera att svaret har dimensionen längd! lternativ: Med ett koordinatsystem så att marknivån ges av y 0, statyn sträcker sig mellan (0,p) och (0,p+ s) och kameran är placerad i (x, h), och med θ betecknande den sökta vinkeln, så ger cosinussatsen hx +(p h) i s + hx +(p + s h) i q qx +(p h) x +(p + s h) cos θ Vi söker x>0 som ger maximalt θ, d.v.s. minimalt cosθ cosθ x +(p h) +(p + s h) s qx def q f x +(p h) x +(p + s h) (För att förenkla räkningarna betraktar vi x som den oberoende variabeln x förekommer ju endast i den kombinationen.) Sätt U x +(p h), V x +(p + s h) f 0 x UV U + V s ³ V 1 U + U V UV 4UV (U + V ) + s (U + V ) UV UV s (U + V ) (U V ) UV UV ³ s x +(p h) +s (p h)+s UV UV s +s (p h) UV UV s ³x (p h) s (p h) UV UV s x (p h)(p + s h) UV UV (Skälet till att inte bokföra räkningarna som ren ekvationslösning f 0 x 0 UV U + V s 1 Ã! V U +... U V är önskan att ha kontroll över derivatans tecken utanför nollstället. etta för att säkerställa att det erhållna nollstället verkligen ger minimum det kunde ju t.ex. tänkas att f antar ännu mindre värden när x 0. För detta ändamål skulle det alternativt räcka att visa att alternativt att f 0 (x) < 0 för x 0 och f 0 (x) > 0 när x, f (0) > f(derivatans nollställe) < lim x f (x), men det visar sig inte så enkelt i detta fall.) Hur ändras situationen ifall Svar: Om p + s<h? Oförändrat. p<h<p+ s? f 0 x > 0 för alla x θ % π, när x & 0 9