Pythagoras sats: generaliseringar

Transkript

1 Pythagoras sats: generaliseringar 201. Pythagoras säger att summan av katetkvadraternas areor är lika med hypotenuskvadratens area: 203. (Pappus generalisering) Låt C vara en godtycklig triangel. Utanpå två av sidorna uppritas parallellellogrammer: CDE resp. CFG. Linjerna ED och GF skär varandra i S. Hur är det, om vi byter ut kvadraterna mot andra sinsemellan likformiga figurer? Utanpå den tredje sidan uppritas nu en parallellogram KL, sådan att sidorna L och K är lika långa som och parallella med CS : Läs bifogad kopia av den klassiska artikeln Generalisering, specialisering och analogi av George Polya ( ) 202. Läroböcker i vektorräkning brukar ofta ha som övning den s.k. parallellogramlagen: Kvadratsumman av sidornas längder = kvadratsumman av diagonalernas längder 35 : 2 + C 2 + CD 2 + D 2 = C 2 + D 2 Den räkning man gör med vektorer kan formuleras med cosinussatsen, men inte ens det behövs det räcker med Pythagoras sats och enkel algebra försök hitta ett så elementärt bevis! Visa att arean av KL = arean av CDE + arean av CFG (Förklara också: På vilket sätt är detta en generalisering av Pythagoras sats?) Tips: Euklides bevis för Pythagoras sats ygg ut Euklides bevis för Pythagoras sats till ett bevis för cosinussatsen! 35 Egentligen skulle vi alltid sätta ut absolutbeloppsstreck, när vi menar längden av en sträcka och inte sträckan själv, men det orkar vi inte. 65

2

3

4 205. För en godtycklig fyrhörning CD låt M,N,P och Q beteckna mittpunkterna på sidorna, C, CD resp. D. Visa att MN 2 + NP 2 + PQ 2 + QM 2 = MP 2 + NQ Medianen m c mot sidan c i en triangel med sidorna a, b, c uppfyller 209. Once upon a time, a damsel was captured by a notorious knight and imprisoned in a castle surrounded by a square moat 37. The moat was infested 38 with extraordinarily hungry alligators for whom the prospect of a luncheon damsel brought enormous smiles to their green faces. The moat was 20 feet across, and no drawbridge existed because the evil knight took it with him (giving his horse one major hernia 39 ). m 2 c = 1 a 2 + b c2 20 m 207. Visa att avståndet m mellan diagonalernas mittpunkter i en godtycklig fyrhörning kan fås ur m 2 = 1 4 a a a a d d 2 2 där a 1,a 2,a 3,a 4 är sidornas och d 1,d 2 är diagonalernas längder. Tips: Tillämpa föregående resultat om medianer Medianerna från hörnen och i en triangel C med olika långa sidor är 3 resp. 6 l.e. Triangelns area är 3 15 a.e. Hur lång är den tredje medianen? castle 20 m Damsel 36 in Distress (från E.urger & M.Starbird, The Heart of Mathematics) Long ago, knights in shining armor battled dragons and rescued damsels in distress on a daily basis. lthough it is not often stressed in many of the surviving stories of chivalry, frequently the rescue involved logical thinking and creative problem solving, and often the damsel provided the solution. Here then is a typical knightly encounter: 36 damsel = a young unmarried woman; an old fashioned literary word fter a time, a good knight and his squire rode up and said, "Hail sweet damsel, for I am here; and thou art there; now what are we going to do?" The knight, though good, was not too bright and consequently paced back and forth along the moat looking anxiously at the alligators and trying feebly to think of a plan. Then, on the shore the knight found two sturdy beams of wood suitable for walking across but lacking sufficient length. las, the moat was 20 feet across, and the beams were each only 19 feet long and 8 inches wide. He tried to stretch them and tried to think. Neither effort proved successful. He had no nails, screws, saws, Superglue, or any other method of joining the two beams to extend their length. What to do? What to do? Fortunately, the damsel, after a suitable time to allow the good knight to attempt to solve the puzzle himself, was able to give the knight a few hints that enabled him to rescue her and carry her home to her own castle. How did the maiden advise the knight to accomplish the rescue? 37 moat =vallgrav 38 When insects, rats, or other animals infest a plant, area, etc., they spread in large numbers and cover the plant or area, usually causing damage. 39 hernia =(läk.)bråck 66

5 Niopunktscirkeln För en godtycklig triangel C, låt H,H,H C = höjdernas fotpunkter M,M,M C = sidornas mittpunkter E,E,E C = mittpunkterna på sträckorna från ett hörn till höjdernas skärn. punkt H (H,M,E är de som hör till hörn 1, etc.) Dessa nio punkter ligger på en cirkel! M C E C H M This circle is the first really exciting one to appear in any course on elementary geometry. Så inledde Daniel Pedoe (f.1910) sin bok Circles: Mathematical View, Fyrtio år senare utkom den dock i en andra upplaga "supplemented with a special chapter designed to introduce readers to the vocabulary of circle concepts with which the readers of two generations ago were familiar". Kallas också Feuerbachs cirkel efter Karl Feuerbach ( ), som 1822 bevisade även att den tangerar såväl den inskrivna cirkeln (invändigt) som alla de tre vidskrivna cirklarna (utvändigt)! Det svagare resultatet att H- ochm-punkterna ligger på en cirkel var klart för Euler Lustigt nog är det emellertid E-punkterna som kallas Eulerpunkter Hur ser det ut och hur mycket enklare blir beviset i specialfallet när triangeln är rätvinklig? 268. Kan niopunktscirkelns medelpunkt ligga utanför triangeln? H Ett andra bevis Låt H = höjdernas skärningspunkt E O = omskrivna cirkelns medelpunkt R = omskrivna cirkelns radie E X = mittpunkten på sträckan OH K C = punkten där linjen CH skär den omskrivna cirkeln H C M C Förklara varför 269. a) CH =2 OM C. b) E C HM C O är en parallellogram. evis: c) H C ligger på en cirkeln c med diameter E C M C. d) X är medelpunkt för cirkeln c etrakta fyrhörningen E E M M. e) Radien för cirkeln c är R/2. Tycks den inte vara en rektangel? Tips: resultatet om K C från 336. Visa att E E och M M är parallella med, medan E M och E M är parallella med CH C Slutför beviset! Därmed klart att den är en rektangel. Låter vi sidorna byta roll i resonemanget, får vi Ett tredje bevis två rektanglar till: E E C M M C och E C E M C M. Låt H beteckna höjdernas skärningspunkt Förklara varför 271. Låt CO skära den omskrivna cirkeln i R C. varje rektangel har en omskriven cirkel. Visa att R C H är en parallellogram. lltså har vi tre cirklar en till var och en av rektanglarna ovan Underkasta den omskrivna cirkeln en likställighetsavbildning med centrum i H och med skalfaktorn 265. De här tre cirklarna 1/2. Visa att de nio punkterna ligger på bildcirkeln! måste faktiskt sammanfalla varför? Vi har således en cirkel c, Why 3 proofs? som innehåller de sex E- ochm -punkterna. Well, why are there many biographies of. Lincoln? Each proof illuminates the relationships among the parts 266. Återstår att övertyga sig om att of the triangle and various parts of geometry. That is, även H-punkterna måste ligga på c. each proof gives you a different view of the subject. The etrakta triangeln E C H C M C. mere statement of a theorem is like a flat statement that Sträckan E C M C är diameter i cirkeln c, Lincoln was the 16th president. We want to know more medan ]E C H C M C =90.Slutsats? than that. Därmed är beviset klart. (Robert Rossa, 77

6 Cirklar: tangenter En tangent till en cirkel definieras som en rät linje, som har exakt en punkt gemensam med cirkeln tangeringspunkten (till skillnad mot andra linjer som har två skärningspunkter eller ingen alls) Två cirklar är givna. Från var och en av medelpunkterna drar man de två tangenterna till den andra cirkeln. Visa att kordorna och CD är lika långa Förklara, förslagsvis m.h.a. likbenta trianglar, varför en cirkels tangent måste bilda rät vinkel med radien till tangeringspunkten (Forts.) Förklara omvändningen: Varje rät linje, som går genom en punkt på en cirkel och är vinkelrät mot radien där, är tangent till cirkeln Två cirklar har radierna 5 cm och 10 cm. vståndet mellan medelpunkterna är 13 cm. Cirklarnahartvågemensammatangenter som skär varandra i en punkt P. eräkna avståndet mellan P och tangeringspunkterna. Två cirklar kallas ortogonala, omdeskärvarandra så att deras tangenter är ortogonala i varje skärningspunkt. (I själva verket räcker det att veta att så är fallet för den ena skärningspunkten varför?) 418. Genom ändpunkterna och till en cirkels diameter dras tangenterna. En tredje tangent skär dessa i P resp. Q. Visa att P Q = konstant d.v.s. att den får samma värde, oavsett vilken tangent man väljer som den tredje I en cirkel med radien r är två kordor, med längderna 2a resp. 2b, vinkelräta. I hur långa delar skär de varandra? 415. Visa att två cirklar är ortogonala dåå för radierna r 1 och r 2 och medelpunkterna O 1 och O 2 gäller O 1 O 2 2 = r r Två cirklar med radierna a och b är ortogonala. eräkna längden av den gemensamma kordan Ur en cirkelskiva med radie 3 sågar man ut en cirkelskiva med radie 2 ochenannancirkelskivamedradie1. Vilken radie har den största cirkelskiva man kan såga ut ur de resterande bitarna? 421. Tre cirklar med radierna a, b och c tangerar varandra utvändigt. Hur lång är radien i den cirkel som går genom de tre tangeringspunkterna? 123

7 Thales sats. ågvinkelsatsen 422. Låt CM vara median i triangeln C. Visa att CM > 1 ]C <90 2 CM < 1 ]C >90 2 Tips: etrakta cirkeln med diameter Låt C vara en triangel, vars inskrivna cirkel har I som medelpunkt. Linjen CI skär C:s omskrivna cirkel i P. Visa att kordorna P och P är lika långa Visa att höjderna i en triangel är bisektriser i den triangel, vars hörn är höjdernas fotpunkter (eng. the orthic triangle) Låt och vara två givna punkter i ett plan. eskriv mängden av punkter C som är sådana att, närmanrörsigfrånc mot längs den räta linjesträckan C, så ökar avståndet till hela tiden. Tips: Kortaste avståndet från en punkt till en linje är längs normalen och räta vinklar hör ihop med cirklar. H 3 H H Ortogonala kordor som i problem 419. Redan rkimedes bevisade att d + d CD = d D + d C 1 H 2 3 där d, etc. står för längden av resp. båge. Gör du det också! 425. Korda-tangentsatsen: Vinkeln α mellan en tangent till cirkeln och en från tangeringspunkten dragen korda är lika med bågvinkeln i segmentet på andra sidan kordan Tips: H 1 och H 3 ligger på cirkeln med diameter 1 3 (varför?) och analogt för övriga fotpunktspar. ågvinklar till en och samma båge är lika... β Tips, alt.1: Tips, alt.2: α T α = β pproximera tangenten med en sekant och gör gränsövergång. Flytta till något läge som är lättare att räkna på. Under det gamla gymnasiets tid (före 1995) gav tidskriften Elementa 48 årligen ut ett Problemhäfte innehållande bl.a. de centrala proven. En gång fick musikläraren på en skola syn på häftet och såg ytterligt konfunderad ut. Efter några ögonblick harklade han ur sig: "Ja, nog har man haft problem i sitt liv också, men inte har man kommit på idén att samla dem i ett häfte." (berättat av Margita Nilsson) 48 För gy-lärare i ma/fy/ke; utkommer med 4 nr per år. Nuvetduvarifrånnamnetkommer! 124

8 Omskrivna och inskrivna cirklar till fyrhörningar Hur är det med inskrivna cirklar? frågar vi oss nu: 428. En cirkel med medelpunkt O tangerar (invändigt) alla fyra sidorna i parallelltrapetset CD, där kcd. (a) Vad kan sägas om vinklarna OD och OC? (b) Visa att O 2 + O 2 + OC 2 + OD 2 = D 2 + C 2 Vi har sett att varje triangel har såväl en omskriven som en inskriven cirkel, men hur är det för fyrhörningar? 432. Visa att en fyrhörning CD kan ha en inskriven cirkel endast om summorna av motstående sidor är lika, d.v.s. om + CD = C + D [i figuren : a + c = b + d] 433. Visa att ovanstående villkor är tillräckligt: Om + CD = C + D så har fyrhörningen CD en inskriven cirkel Visa att en fyrhörning kan ha en omskriven cirkel endast om summan av motstående vinklar är Visa omvändningen till föregående: Om summan av motstående vinklar i en fyrhörning är 180, så har fyrhörningen säkert en omskriven cirkel. Tips: Det finns säkert en cirkel som går genom tre av hörnen, säg,, C (varför?). rgumentera för att denna cirkel måste gå även genom det fjärde hörnet, tack vare villkoret på vinklarna Med en rektangels hörn som medelpunkter har man ritat fyra cirklar med radier r 1, r 2, r 3 resp. r 4.Vidare har man dragit de gemensamma tangenterna till cirklar 1 och 3, resp. 2 och 4. (lltså, som om man hängt upp fyra hjul och förbundit dem parvis med remmar.) 431. Den av alla fyrhörningar med givna sidor a, b, c, d, som har maximal area, kan inskrivas i en cirkel och dess arean beräknas med följande formel (som starkt liknar Herons formel) : = p (p a)(p b)(p c)(p d) där p = a + b + c + d 2 Visa detta! etrakta den fyrhörning tangenterna bildar. Visa att i den kan en cirkel inskrivas, om r 1 + r 3 = r 2 + r 4 < rektangeldiagonalen 125

9 En generalisering av bågvinkelsatsen Under denna rubrik publicerade J.Ohlström i Elementa, 1997, sid följande formler : Fall 1: Sätt fingret på en godtyckligt vald vinkel i figuren, så bör du kunna säga hur stor vinkeln är med huvudräkning enbart! ' v ' Fall 2: v = d + [ 0 0 diametern 437. Från din ögonhöjd, h mövermarkplanet, vill du fotografera en staty, som är s mhög och står på en p m hög piedestal, p>h. Hur långt bort från piedestalens fot skall du stå för att statyn skall uppta största möjliga vinkel idinkamera? ' ' v v = d [ 0 0 diametern Med, d [ 0 0 avses längden av resp. båge och vinkeln v räknas i radianer, förstås evisa dem! Tips: Dra några hjälpsträckor så att yttervinkelsatsen och den vanliga bågvinkelsatsen blir tillämpliga Hur får man ur dem den vanliga bågvinkelsatsen? Det här kan utredas m.h.a. derivata som optimeringsproblem i envariabelanalysen. (Gör det som en övning, ifall du ännu inte är klar med den kursen... Jfr. sedan din lösning med den på sid.128.) Men det finns även ett geometriskt alternativ som inte kräver mer än (väsentligen) bågvinkelsatsen och Pythagoras sats! Det är det vi är ute efter nu! Tips: 436. En tillämpning av generaliseringen av bågvinkelsatsen: Här har vi en regelbunden niouddig stjärna (rotationssymmetrisk invariant under vridning 360 /9.) 126

10 isektrissatsen och den harmoniska cirkeln 438. I en triangel är två sidor 4 resp. 7 längdenheter. isektrisen till den mellanliggande vinkeln skär motstående sida i en punkt som ligger på avståndet 1 från den punkt där sidan tangerar den inskrivna cirkeln. eräkna den sistnämnda sidans längd. Trianglar 442. Låt E och F vara tyngdpunkterna (medianernas skärningspunkter) i deltrianglarna CD resp. CD i den godtyckliga fyrhörningen CD. D 439. Två cirklar är givna. Från vilka punkter syns de två cirklarna under samma vinkel, d.v.s. för vilka punkter P blir α = β? C P E F α β (a) Visa att EF är parallell med. (b) eräkna längdförhållandet EF 440. Låt,, C och D vara fyra punkter, i denna ordning, på en rät linje. Från vilka punkter i planet syns, C och CD under samma vinkel? 443. Utanpå triangeln C har man ritat likbenta rätvinkliga trianglar CC 1 och CC 2 med hypotenusor CC 1 resp. CC 2. C, C 1 och C 2 ligger på samma sida linjen. Låt M = mittpunkten på C 1 C 2 och M 1 = mittpunkten på Två båtar befinner sig i punkterna resp.. (Vi approximerar havet med ett plan.) åt styr med konstant fart i riktning mot en viss punkt C. åt, som går k gånger så snabbt, vill hinna ikapp båt så fort som möjligt. I vilken riktning skall båt styra? C 1 C M C 2 M 1 (a) eräkna förhållandet mellan MM 1 och. (b) eräkna vinklarna i 4M. Tips: Dra normaler från C 1,Coch C 2 mot linjen. Hitta kongruenta trianglar. 127