Att skala om, att mäta och att avbilda avstånd Jana Madjarova, Matematiska vetenskaper, Chalmers/GU
|
|
- Johanna Gustafsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kleindagarna 2013, IML, Stockholm, juni 2013 Att skala om, att mäta och att avbilda avstånd Jana Madjarova, Matematiska vetenskaper, Chalmers/GU Det kommer nog inte som någon större överraskning att omskalning och likformighet är nyckelbegrepp när det handlar om att avbilda det tredimensionella rummet på ett platt papper och om perspektiv. Däremot kanske man kan bli fundersam över hur skala och likformighet kan hänga ihop med begreppet area, och därmed även med begreppet volym. Här påminner vi om de viktigaste satserna om kongruens och likformighet för trianglar och reder ut kopplingen till triangelns area. Sedan tittar vi på hur man kan använda omskalning för att, om inte bevisa stringent, så åtminstone troliggöra area- och volymformler. Till sist vänder vi blickarna mot perspektivet som ett sätt att skapa rätt tvådimensionell bild av den tredimensionella verkligheten och avslutar med att diskutera hur man kan använda geometrins koppling till konsten i sin undervisning. Kongruens och likformighet definitioner och viktiga satser För att inte gräva ner oss i axiomatiken för geometrin kommer vi att ge en ganska handgriplig definition av kongruens 1 : två figurer är kongruenta om man kan flytta den ena (eventuellt får man lämna planet för att göra det) så att den helt sammanfaller med den andra. Två trianglar är kongruenta om och endast om motsvarande sidor är lika långa och motsvarande vinklar är lika stora. I själva verket räcker likhet mellan färre element, vilket är innehållet i de så kallade kongruensfallen. Första kongruensfallet: Om,, och, så. (s-v-s) Andra kongruensfallet: Om,, och, så. (s-s-s) Tredje kongruensfallet: Om,, och, så. (v-s-v) Många gånger klarar elever och studenter av att fastställa att två trianglar är kongruenta enligt något av fallen, men vet inte riktigt hur de ska använda kongruensen. Poängen är att om tre element av rätt sort (som beskrivet i något kongruensfall) är lika, så är resterande tre element också lika. Om till exempel enligt första kongruensfallet som ovan, så följer ur detta att,, och. I själva verket följer mer än så, alla motsvarande element i de båda trianglarna måste vara lika (höjder, medianer, bisektriser, etc.). Vilka element är då rätt, finns det till exempel inget s-s-v-fall? Generellt gör det inte det, vilket illustreras av exemplet nedan: 1 Kongruens är i själva verket ett primitivt begrepp som inte definieras, utan vars uppförande styrs av ett antal s.k. kongruensaxiom. 1
2 Det finns en sats som ofta kallas fjärde kongruensfallet, som säger att s-s-v räcker, om vinkeln är mot den större av sidorna. Satsen är mycket användbar när man ska visa att två rätvinkliga trianglar är kongruenta, eftersom den räta vinkeln alltid är störst. Likformighet handlar istället om proportioner. Man skulle kunna säga att två figurer är likformiga om en av dem kan flyttas och skalas om så att den sammanfaller med den andra. Definition. Två trianglar är likformiga om motsvarande vinklar är lika stora och motsvarande sidor förhåller sig till varandra på samma sätt, det vill säga, ~ om,,, och. Tre (eller fyra, om man vill se det så) likformighetsfall gäller, som exakt motsvarar kongruensfallen, den enda skillnaden är att likheter mellan sidlängder ersätts av proportioner. Det tredje fallet omvandlas till v-v, eftersom man inte kan ha proportion när det bara handlar om ett par motsvarande sidor. Bevisen bygger på två grundläggande satser, transversalsatsen och topptriangelsatsen. I båda dessa spelar parallellitet en avgörande roll. Det torde därför inte komma som en överraskning att likformighet (till skillnad från kongruens) är ett genuint euklidiskt begrepp. 2 Frågor att diskutera: o Varför fungerar inte motexemplet från figuren ovan under förutsättningarna för fjärde kongruensfallet? o Finns det ett v-v-s-fall? o Om två trianglar är kongruenta (likformiga) med en tredje, är de då kongruenta (likformiga) sinsemellan? o Givet en triangel,, som utgångspunkt, hur många principiellt olika figurer kan man rita för att illustrera topptriangelsatsen? o Är omvändningarna till transversalsatsen och topptriangelsatsen sanna? o Varför kan man inte bevisa topptriangelsatsen med hjälp av det tredje likformighetsfallet? Vad är längd, area och volym, och hur kan man mäta och beräkna dem? Vi börjar med att härleda den välkända formeln för triangelns area med hjälp av omskalning. Titta på trianglarna och i figur 1, där. De är likformiga enligt topptriangelsatsen. Om sidlängden i den lilla triangeln förhåller sig till sidlängden i den stora som till 1, där <1, så kommer den lilla arean att förhålla sig till den stora som till 1. Vi har att arean av den stora triangeln är lika med arean av den lilla plus arean av det avskurna parallelltrapetset. För nära 1 kommer parallelltrapetsets area att vara ungefär lika med arean av rektangeln, och vi får att + 1 h, vilket ger 1+ h, där är längden av sidan och h är längden av höjden. Om vi nu låter närma sig 1, får vi att =. Ordet härleda stod inom citationstecken ovan. Så varför är inte härledningen ovan riktigt stringent? Kan vi fylla i luckorna och göra den stringent? Till att börja med måste vi identifiera dessa luckor. Här är de frågor som måste ställas: Hur vet vi förhållandet mellan areorna om vi inte kan någon formel för dem? Vad betyder ungefär lika med? Vad betyder närma sig? 2 Om två trianglar i hyperbolisk geometri har lika vinklar, så är de kongruenta ( femte kongruensfallet ). 2
3 Och så de frågor som kanske är svårast att komma på att man måste ställa: Hur vet vi att en triangel överhuvudtaget har en area? Vad är area? Figur 1 Areafunktionen är en funktion från en delmängd av mängden av figurer i planet till mängden av ickenegativa reella tal sådan att kongruenta figurer har lika areor, och om en figur är unionen av (d.v.s. består av) två figurer med tomt snitt (d.v.s. som inte överlappar), så är dess area summan av de två delfigurernas areor. En kvadrat med sidlängd 1 längdenhet har area 1 areaenhet. Frågan om en mängd har area eller inte är inte alls lätt att besvara. Till och med för att härleda formeln för en rektangels area krävs ett egentligen ganska avancerat kontinuitetsargument. Mängder som har en area kallas kvadrerbara. Likformighet är ett genuint euklidiskt begrepp. Kan det då vara så att härledningen har ytterligare an subtil brist, att vi tagit fram formeln för triangelns area under onödigt starka förutsättningar? Svaret på den frågan är nej, formeln är i sig euklidisk och bygger på likformighet. För att övertyga oss om det noterar vi att om den gäller, så måste den rimligen gälla oavsett vilken av triangelns sidor vi väljer som bas. I de vedertagna beteckningarna måste det alltså vara sant att, det vill säga (se figur 2). Att detta gäller följer ur att ~ C, enligt tredje likformighetsfallet. 3 Figur 2 3 En triangels area i hyperbolisk geometri definieras som + +, där,, är triangelns vinklar. 3
4 Låt oss titta lite på de övriga frågorna vi ställde. Närma sig handlar naturligtvis om gränsvärde, en fråga som tas upp i gymnasiekurserna. Det räcker här att behandla den ganska intuitivt. Ungefär lika med är samma som att säga att felet vi gör vid det beskrivna förfarandet är försumbart. Naturligtvis infinner sig då frågan, vad är försumbart? Lite löst talat är en term att betrakta som försumbar om den är ordningsmässigt mindre än alla termer som tagits med. I vårt exempel har vi vid approximationen av parallelltrapetset med en rektangel gjort ett fel som motsvarar arean av de två små trianglarna och i figur 1. Den minsta termen som är med är bottenrektangelns area. Dess litenhet kommer sig av den lilla höjden den har, som är 1, så den är liten av ordning 1. De små trianglarnas areor är däremot små av ordning 1, då både bas och höjd är av ordning 1. Du kan använda samma argument som ovan för att, om inte härleda, så åtminstone troliggöra formeln för en kons volym,. Ersätt den avskurna tunna bottenplattan (se figur 3) med en rak cirkulär cylinder och imitera det tidigare förfarandet. Frågor att diskutera: Figur 3 o Vad är längd, area och volym, alltså mått i en, två och tre dimensioner? o Kan man, och i så fall hur, handgripligen mäta längd? Area? Volym? o Vad är att betrakta som försumbart? Exempel från fysiken? o Grafiskt: approximera en funktions graf med tangenten i närheten av en punkt. Är den en bra approximation? o I figur 4 nedan, varför är längden av den kantiga linjen en dålig approximation av sträckan :s längd oavsett hur fin indelning vi väljer, medan arean under den kantiga linjen är en bra approximation av hela triangelns area? o Arkimedes princip: hur kan man härleda formeln för konens volym med hjälp av inskrivna cylindrar? o Hur skulle man kunna definiera ett fyrdimensionellt rätblock? En fyrdimensionell kon? Vad borde de ha för (fyrdimensionell) volym? o Ett par av frågorna ovan kan faktiskt ses som en introduktion till integralräkning. Vilka handlar det om? o Om = +, där, är det alldeles säkert att =? 4
5 Figur 4 En enögd basketspelare med kubistiska ögon spelar schack Under Renässansen utvecklades geometrin av konstnärer som Piero della Francesca och Albrecht Dürer, snarare än av professionella matematiker. En av anledningarna var ansträngningarna att avbilda den tredimensionella verkligheten på plan duk så att avbildningen ser rätt ut. Som rubriken och citationstecknen antyder ska rätt tas med en nypa salt. Även efter att man kommit underfund med hur parallella linjer avbildas, med försvinningspunkter och horisontlinje, återstår ett stort problem, nämligen att få det riktiga djupet i bilden. Inte helt överraskande löser man det problemet med hjälp av likformighet. Nedan följer en inlämningsuppgift ur kursen Rum och geometri för åk 1 på programmet Arkitektur och teknik, Chalmers, och lösningen som Pedram (AT 07) gav. Lösningen ger en ledtråd till en av förutsättningarna för att bilden ska se rätt ut. En 2,15 m lång (enögd) basketspelare med ögonhöjd 2 m står 3 m ifrån ett golvschackbräde med måtten 2x2 m. Hur skulle han avbilda schackbrädet på en duk som står vertikalt i den av brädets kanter som befinner sig närmast basketspelaren? Motivera väl! Ett problem man måste lösa är att dela in bilden av schackbrädet i smårutor som ser att vara lika stora i verkligheten. Det är lättgjort eftersom åtta är en potens av två och det är lätt att halvera. Figurerna 5
6 nedan visar hur man kan modifiera det välkända förfarandet 4 att dela in en sträcka i ett antal lika länga delar till en variant som gäller i perspektiv. När vi delar in bilden av rektangeln i 25 lika stora smårektanglar är det väsentligt att vi ser dess främre sida rätt; annars får man utföra indelningen i två steg. Uppgiften som illustreras av den figur 5 är följande: Givet ett parallelltrapets, visa att linjen genom diagonalernas skärningspunkt och skärningspunkten för de två icke-parallella sidornas linjer går genom de två parallella sidornas mittpunkter. Uppgiften kan lösas direkt (det finns ett stort antal likformiga trianglar inblandade), men den kan också tolkas som bilden av en rektangel i perspektiv. Påståendet blir då mer eller mindre uppenbart. Det kan tyckas vara en mindre matematisk lösning, men, i själva verket är den fullständigt legitim. Det är en uppgift från ett prov i kursen Rum och geometri. Eftersom den är ganska svår var det inte alla 4 som givetvis bygger på likformighet 6
7 som löste den, men av dem som gjorde det valde ungefär hälften den andra lösningen. Man skulle kunna säga att de använde projektiv geometri utan att veta om det. Figur 5 Matematik uppfattas ofta som ett tråkigt ämne och förknippas sällan med allmänbildning. Att referera till konstnärer som bidragit till geometrins utveckling och att visa hur ren geometri kommer till användning i konsten kan vara ett bra sätt höja intresset för ämnet. Det är inspirerande och roligt för klassen att få se bilder av Piero della Francesca, Dürer, Escher, och att få höra något om Brunelleschi, katedralen i Florens och utvecklingen av perspektivet. En klassisk sats och några problem Vi börjar med en av den euklidiska geometrins klassiska satser. Beviset som återges här bygger på likformighet. Dessutom illustrerar det hur man använder de viktiga satserna om likformighet och deras omvändningar. Sats. De tre medianerna i en triangel skär varandra i en punkt (triangelns tyngdpunkt). Bevis. Låt vara en triangel, och beteckna med, resp. mittpunkterna på sidorna, resp.. Trianglarna och är likformiga (s-v-s). Sträckan är parallell med (enligt omvändningen till topptriangelsatsen), och hälften så lång, eftersom : = : =1:2. (Alternativt kan man använda omvändningen till transversalsatsen.) Beteckna med punkten i vilken medianerna och skär varandra. Trianglarna och är nu likformiga, enligt 7
8 topptriangelsatsen, och : : : 2:1. Det innebär att punkten delar var och en av de två medianerna i förhållande 2:1, räknat från hörnet. Det följer att även ligger på den tredje medianen (varför?). 1. Dela en sträcka i ett givet antal lika delar. 2. Visa att höjden mot hypotenusan i en rätvinklig triangel delar triangeln i två trianglar, båda likformiga med den ursprungliga. 3. Givet ett parallelltrapets,, visa att sträckan som sammanbinder mittpunkterna på sidorna och är parallell med och, samt att dess längd är det aritmetiska medelvärdet av deras längder. 4. Givet ett parallelltrapets,, visa att sträckan parallell med och, som har ändpunkter på de två andra sidorna, och som passerar genom diagonalernas skärningspunkt, delas på mitten av. 5. Givet är två trianglar med gemensam bas, lika höjder till den och som ligger på samma sida om basen. En rät linje är parallell med trianglarnas bas och skär deras återstående sidor. Visa att sträckorna, som de båda trianglarnas sidor skär av linjen, är lika långa. 6. Härled en formel för parallelltrapetsets area. 7. Visa att den regelbundna åttahörningens area är lika med produkten av dess längsta och dess kortaste diagonal. Försök hitta flera olika bevis. 8. Vad ska en fyrhörning uppfylla för att dess area ska vara lika med produkten av dess båda diagonallängder? (Ledtråd: Titta på några specialfall.) 9. (Svår) Givet en spetsig triangel, visa att den är likformig med triangeln med hörn i fotpunkterna till höjderna från två av hörnen och i det tredje hörnet. Hur ser det ut om triangeln inte är spetsig? 10. (Svår) Visa att höjderna i en spetsig triangel är bisektriser till vinklarna i triangeln med hörn i fotpunkterna till höjderna i den givna triangeln. Hur ser det ut om triangeln inte är spetsig? 8
MVE365, Geometriproblem
Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..
Läs merExplorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs merExplorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning II Mikael P. Sundqvist Att bygga matematisk teori Odefinierade begrepp Axiom påstående som ej behöver bevisas Definition namn på begrepp Sats påstående som måste bevisas Lemma hjälpsats Proposition
Läs merKongruens och likformighet
Kongruens och likformighet Torbjörn Tambour 23 mars 2015 I kompendiet har jag tagit kongruens- och likformighetsfallen mer eller mindre som axiom, vilket jag nu tycker är olyckligt, och de här sidorna
Läs merFinaltävling i Lund den 19 november 2016
SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka
Läs mer2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Läs merExplorativ övning Geometri
Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs mer7F Ma Planering v2-7: Geometri
7F Ma Planering v2-7: Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Läs mer8F Ma Planering v2-7 - Geometri
8F Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Tisdagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Läs merExplorativ övning 11 GEOMETRI
Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs mer9E Ma Planering v2-7 - Geometri
9E Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (45 min): Läsa på anteckningar
Läs merMa7-Per: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.
Ma7-Per: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda
Läs merGeometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data
Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55,
Läs merMätning och geometri
Mätning och geometri LMN100 Matematik, del 2 I den här delen av kursen skall vi gå igenom begrepp som längd, area och volym. Vi skall också studera Euklidisk geometri och bevisa satser om och lära oss
Läs merMatematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär, NOMP
Geometri Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, - använda och analysera begrepp
Läs merExplorativ övning Geometri
Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs mer9A Ma: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.
9A Ma: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier
Läs mergeometri ma B 2009-08-26
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4
Läs merGeometri med fokus på nyanlända
Geometri med fokus på nyanlända Borås 17 januari 2017 Madeleine Löwing Tala matematik Bygga och Begripa Begrepp i Geometri Använda förklaringsmodeller som hjälper eleven att bygga upp långsiktigt hållbara
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs mer8A Ma: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.
8A Ma: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier
Läs merExplorativ övning Geometri
Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merRepetition inför kontrollskrivning 2
Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.
Läs merEnklare uppgifter, avsedda för skolstadiet
Elementa Årgång 1, 198 Årgång 1, 198 Första häftet 97. Ett helt tal består av 6n siffror. I var och en av de på varandra följande grupperna av 6 siffror angiva de 3 första siffrorna samma tresiffriga tal
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska
Läs merSidor i boken 8-9, 90-93
Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta
Läs merGruppledtrådar. Gruppledtrådarna ingår i lärarhandledningen till Prima Formula 6 Får kopieras! Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Gruppledtrådar Som hjälp för dina elevgrupper att utveckla sin förmåga att tala matematik, samarbeta och lära i grupp finns övningar som vi kallar Gruppledtrådar. Dessa går ut på att elever tillsammans
Läs merUndersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
Läs merc) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC.
Lösningar till några övningar i geometri Kapitel 2 1. Formuleringen av övningen är tyvärr inte helt lyckad (jag ska ändra den till nästa upplaga, som borde ha kommit för länge sedan). Man måste tolka frågan
Läs mer2: E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas på detta sätt.
Kängurutävlingen 018 Cadet svar och kommentarer Facit Cadet 1: C 19 0 + 18 = 8 = 19 : E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas
Läs merDelprov A Muntligt delprov
Delprov A Muntligt delprov Äp6Ma15 Delprov A 15 Beskrivning av delprov A, muntligt delprov Det muntliga delprovet kan genomföras fr.o.m. vecka 11 och resten av vårterminen. Det muntliga delprovet handlar
Läs merElevers kunskaper i geometri. Madeleine Löwing
Elevers kunskaper i geometri Madeleine Löwing Elevers kunskaper i mätning och geometri Resultaten från interna=onella undersök- ningar, såsom TIMSS, visar ac svenska elever lyckas mindre bra i geometri.
Läs merMatematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär, NOMP
Geometri Syftet undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, - använda och analysera begrepp och samband
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merHögstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag
Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag 1. Lösningsförslag: Vi börjar med att notera att delbarhet med 6 betyder att N är delbart med 2 och 3. Om N är delbart
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs merArea och volym hos Euklides och Hilberts tredje problem
Area och volym hos Euklides och Hilberts tredje problem Torbjörn Tambour Mullsjö den 20 juni 2018 Inledning Att arean av en triangel ges av formeln A = b h 2, där b är (längden av) basen och h (längden
Läs mer9D Ma: Geometri VT 2018 Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att:
9D Ma: Geometri VT 2018 Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera
Läs merEn parallellogram har delats i två delar P och Q som figuren visar. Vilket av följande påståenden är säkert sant?
En parallellogram har delats i två delar P och Q som figuren visar. Vilket av följande påståenden är säkert sant? P har större omkrets än Q. P har mindre omkrets än Q. P har mindre area än Q Q och P har
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merKvalificeringstävling den 30 september 2008
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,
Läs merEuklidisk geometri. LMA100, vt 06
Euklidisk geometri Geometri är en av de äldsta vetenskaperna. Många resultat var redan bekanta i de egyptiska, babyloniska och kinesiska kulturerna. Själva ordet geometri kommer från grekiska och betyder
Läs merKompendium om. Mats Neymark
960L09 MATEMATIK FÖR SKOLAN, Lärarlftet 2009-02-24 Matematiska institutionen Linköpings universitet 1 Inledning Kompendium om KÄGELSNITT Mats Nemark Detta kompendium behandlar parabler, ellipser och hperbler
Läs merKvalificeringstävling den 30 september 2014
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2014 1. Ett tåg kör fram och tillbaka dygnet runt mellan Aby och Bro med lika långa uppehåll vid ändstationerna,
Läs merAvd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.
STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,
Läs merPlanering Geometri år 7
Planering Geometri år 7 Innehåll Övergripande planering... 2 Bedömning... 2 Begreppslista... 3 Metodlista... 6 Arbetsblad... 6 Facit Diagnos + Arbeta vidare... 10 Repetitionsuppgifter... 11 Övergripande
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merTrianglar: likformighet och kongruens
Trianglar: likformighet och kongruens Tomas Malm Det här dokumentet består av två huvuddelar. Den första delen utgör den brödtext som innehåller själva uppsatsen eller artikeln. Den andra delen kan vi
Läs merEulers polyederformel och de platonska kropparna
Eulers polyederformel och de platonska kropparna En polyeder är en kropp i rummet som begränsas av sidoytor som alla är polygoner. Exempel är tetraedern och kuben, men klotet och konen är inte polyedrar.
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,
Läs merMatematik 5000 kurs 2b grön lärobok Läraranvisning punktskrift. Verksnummer: 31416
Matematik 5000 kurs 2b grön lärobok Läraranvisning punktskrift Verksnummer: 31416 Läraranvisningens innehåll Läraranvisningen är till för att du som undervisande lärare ska få information om hur den pedagogiskt
Läs merEUKLIDISK GEOMETRI. Torbjörn Tambour. Matematiska institutionen Stockholms universitet Första upplagan 2002 Eftertryck förbjudes eftertryckligen
EUKLIDISK GEOMETRI Torbjörn Tambour Matematiska institutionen Stockholms universitet Första upplagan 2002 Eftertryck förbjudes eftertryckligen Postadress Matematiska institutionen Stockholms universitet
Läs merDel 1: Statistik, kombinatorik och sannolikhetslära.
Tenta 2 LPGG06 Kreativ Matematik 25 augusti 2016 8.15 13.15 Hjälpmedel: Miniräknare och linjal Ansvarig lärare: Maria Lindström 054-7002146 eller 070-5699283 och Kristina Wallin 054-7002316 eller 070-6106319
Läs merTema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg
Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras
Läs merMatematik CD för TB = 5 +
Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:
Läs merKänguru 2012 Student sid 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet
Känguru 2012 Student sid 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara den frågan. Felaktigt
Läs merLektion i geometri. Lektionens innehåll. Centralt innehåll matematik 1b och matematik 1C. Mål med lektionen. Lektionsupplägg.
Lektion i geometri Lektionens innehåll Lektionen kommer genomföras i åk ett på gymnasiet och behandla området geometri. Under lektionen kommer eleverna genomföra beviset att de tre mittpunktsnormalerna
Läs merÖvningshäfte 1: Logik och matematikens språk
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs merMängder, funktioner och naturliga tal
Lådprincipen Följande sats framstår som en fullständig självklarhet: Sats (Lådprincipen (pigeon hole principle)). Låt n > m vara naturliga tal. Fördelar man n föremål i m lådor, så kommer åtminstone en
Läs merPoincarés modell för den hyperboliska geometrin
Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Niklas Palmberg, matrikelnr 23604 Uppsats för kandidatexamen i naturvetenskaper Matematiska institutionen Åbo Akademi 12.2.2001 Innehåll 1 Presentation av
Läs merHögskoleprovet Kvantitativ del
Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. XYZ Matematisk problemlösning
Läs merKvalificeringstävling den 26 september 2017
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 6 september 017 1. Bestäm alla reella tal x, y, z som uppfyller ekvationerna x + = y y + = z z + = x Lösning 1. Addera
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merBedömning för lärande i matematik
HANDLEDNING TILL Bedömning för lärande i matematik FÖR ÅRSKURS 1 9 1 Handledning I denna handledning ges förslag på hur du kan komma igång med materialet Bedömning för lärande i matematik åk 1 9. Du börjar
Läs merÄven kvadraten är en rektangel
Åsa Brorsson Även kvadraten är en rektangel Vad innebär det att arbeta med geometriska objekt och deras egenskaper i årskurs 1 3? Hur kan vi använda det centrala innehållet i geometri för att utveckla
Läs merPROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER
PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER ADDERA RÄTT 1. Bestäm vilka siffror bokstäverna A, B, C, och D bör bytas ut mot i additionen nedan för att additionen ska vara riktig. A 6 3 7 B 2 + 5 8 C D 0 4 2 2. Gör ett eget
Läs merGeometri. G. Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder.
. G Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder. Området består av följande tre (fyra) delområden: MGF Förberedande mätning och geometri
Läs merNpMa2b ht Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 73 poäng varav 27 E-, 27 C- och 19 A-poäng. Kravgräns för provbetyget
Läs merA: måndag B: onsdag C: torsdag D: lördag E: söndag Grekland 2. Vilket av följande uttryck har högst värde?
Kängurutävlingen 208 Student Trepoängsproblem. Bilden visar ett månadsblad i Filips engelska almanacka. Oturligt nog välte Filip ut sitt bläckhorn över bladet och det mesta blev oläsligt. På vilken veckodag
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merVälkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5
Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars 2016 Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Tävlingen ska genomföras under perioden 17 mars 1 april. Uppgifterna får inte användas
Läs merKänguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6
Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6 NAMN KLASS/GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara
Läs merMöbiusgruppen och icke euklidisk geometri
94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla
Läs merTentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13
Kurskod: 9G0 Provkod: STN Tentamen 9G0 Matematik för lärare årskurs -, del, 5 hp delmoment Geometri,5 hp, 0-0-08, kl 8- Tillåtna hjälpmedel : Passare, linjal För varje uppgift ska fullständig lösning med
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Läs merMatematiska uppgifter
Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna
Läs mer8-6 Andragradsekvationer. Namn:..
8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,
Läs merLathund, geometri, åk 9
Lathund, geometri, åk 9 I årskurs 7 och 8 räknade ni med sträckor och ytor i en dimension (1D) respektive två dimensioner (2D). Nu i årskurs 9 har ni istället börjat räkna volymer av geometriska kroppar
Läs merSidor i boken Figur 1:
Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan
Läs merArbeta vidare med Junior 2010
Arbeta vidare med Junior 010 Känguruproblemen är kanske inte av samma karaktär som de problem eleverna möter i läroboken. De är inga rutinuppgifter utan bygger på förståelse och grundläggande kunskaper.
Läs merRepetition inför tentamen
Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8
Läs mer1 Diagrammet visar hur vattennivån i en hamn förändras under en viss dag. Under hur många timmar var vattennivån över 30 cm?
Kängurutävlingen 0 Student Trepoängsproblem Diagrammet visar hur vattennivån i en hamn förändras under en viss dag. Under hur många timmar var vattennivån över 0 cm? Water level (cm) 0 0 0 0 0 0 0 0 -
Läs merBanach-Tarskis paradox
Banach-Tarskis paradox Tony Johansson 1MA239: Specialkurs i Matematik II Uppsala Universitet VT 2018 Banach-Tarskis paradox, bevisad 1924 och döpt efter Stefan Banach och Alfred Tarski, är en sats inom
Läs merAntagningsprov till universitet, Sofia (Bulgarien) 7 maj 2006
Antagningsprov till universitet, Sofia (Bulgarien) 7 maj 2006 (Enligt "nytt format" : fler och lättare uppgifter jämfört med hittills rådande tradition se sid.5. Alla uppgifter värda lika mycket.) 1. Lös
Läs merNÄMNARENs. problemavdelning
NÄMNARENs problemavdelning För problemavdelningen svarar denna gång Bernt Leonardsson och Bo Söderberg från Örebro. Problemen är snarare kluriga än svåra så ge inte upp i tron att du inte kan matematik.
Läs merRepetitionsuppgifter. Geometri
Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna
Läs merLokala mål i matematik
Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Årgång 35, 1952 Första häftet 1793. I en cirkel med centrum O och radien R är inskriven en spetsvinklig triangel ABC, vars höjder råkas i H. Bestäm maximum och minimum för summan av PO och PH, när punkten
Läs merSAMMAFATTNINGAR AV VISSA FÖRELÄSNINGAR
SAMMAFATTNINGAR AV VISSA FÖRELÄSNINGAR 1. Föreläsning 1 Se litet blad om mängdlära på kurshemsidan. Talsystemen N, Z, Q, R. Mängder och symboler. Lite logik. Slutligen gick vi igenom potenslagarna. Eftersom
Läs merRäknare får inte användas i den här delen. Skriv ner beräkningar eller motiveringar till varje uppgift, ifall ingenting annat uppges.
Grundskolans matematiktävling Finaltävling fredagen den 6 februari 009 DEL Tid 30 min Poängantal 0 Räknare får inte användas i den här delen. Skriv ner beräkningar eller motiveringar till varje uppgift,
Läs merOrdlista 5A:1. term. faktor. täljare. nämnare. Dessa ord ska du träna. Öva orden
Ordlista 5A:1 Öva orden Dessa ord ska du träna term Talen som du räknar med i en addition eller subtraktion kallas termer. faktor Talen som du räknar med i en multiplikation kallas faktorer. täljare Talet
Läs merArkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK
Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.
Läs mer