Cirklar: tangenter. 7. Genom ändpunkterna A och B av en cirkels diameter dras tangenterna. En tredje tangent skär dessa i P resp. Q.

Transkript

1 Cirklar: tangenter En tangent till en cirkel definieras som en rät linje, som har eakt en punkt gemensam med cirkeln tangeringspunkten (till skillnad mot andra linjer som har två skärningspunkter eller ingen alls). 6. Två cirklar är givna. Från var och en av medelpunkterna drar man de två tangenterna till den andra cirkeln. Visa att kordorna och CD är lika långa. 1. Förklara, förslagsvis m.h.a. likbenta trianglar, varför en cirkels tangent måste bilda rät vinkel med radien till tangeringspunkten.. (Forts.) Förklara omvändningen: Varje rät linje, som går genom en punkt på en cirkel och är vinkelrät mot radien där, är tangent till cirkeln. 3. Två cirklar har radierna 5 cm och 10 cm. vståndet mellan medelpunkterna är 13 cm. Cirklarnahartvågemensammatangenter som skär varandra i en punkt P. eräkna avståndet mellan P och tangeringspunkterna. Två cirklar kallas ortogonala, om de skär varandra så att deras tangenter är ortogonala i varje skärningspunkt. (I själva verket räcker det att veta att så är fallet för den ena skärningspunkten varför?) 7. Genom ändpunkterna och av en cirkels diameter dras tangenterna. En tredje tangent skär dessa i P resp. Q. Visa att P Q konstant d.v.s. att den får samma värde, oavsett vilken tangent man väljer som den tredje. 8. I en cirkel med radien r är två kordor, med längderna a resp. b, vinkelräta. I hur långa delar skär de varandra? 4. Visa att två cirklar är ortogonala dåå för radierna r 1 och r och medelpunkterna O 1 och O gäller O 1 O r 1 + r 5. Två cirklar med radierna a och b är ortogonala. eräkna längden av den gemensamma kordan. Where there are problems, there is life...zinoviev, The Radiant Future 9. Ur en cirkelskiva med radie 3 sågar man ut en cirkelskiva med radie ochenannancirkelskivamedradie1. Vilken radie har den största cirkelskiva man kan såga ut ur de resterande bitarna? 10. Tre cirklar med radierna a, b och c tangerar varandra utvändigt. Hur lång är radien i den cirkel som går genom de tre tangeringspunkterna? 1

2 Thales sats. ågvinkelsatsen 11. Låt CM vara median i triangeln C. Visa att CM > 1 ]C <90 CM < 1 ]C >90 Tips: etrakta cirkeln med diameter. 15. Låt C vara en triangel, vars inskrivna cirkel har I som medelpunkt. Linjen CI skär C:s omskrivna cirkel i P. Visa att kordorna P och P är lika långa. 16. Visa att höjderna i en triangel är bisektriser i den triangel, vars hörn är höjdernas fotpunkter (eng. the orthic triangle). 1. Låt och vara två givna punkter i ett plan. eskriv mängden av punkter C som är sådana att, närmanrörsigfrånc mot längs den räta linjesträckan C, så ökar avståndet till hela tiden. Tips: Kortaste avståndet från en punkt till en linje är längs normalen och räta vinklar hör ihop med cirklar. H 3 H H Ortogonala kordor som i problem 8. Redan rkimedes bevisade att d + d CD d D + d C 1 H 3 där d, etc. står för längden av resp. båge. Gör du det också! 14. Korda-tangentsatsen: Vinkeln α mellan en tangent till cirkeln och en från tangeringspunkten dragen korda är lika med bågvinkeln i segmentet på andra sidan kordan Tips: H 1 och H 3 ligger på cirkeln med diameter 1 3 (varför?) och analogt för övriga fotpunktspar. ågvinklar till en och samma båge är lika... β Tips, alt.1: Tips, alt.: α T α β pproimera tangenten med en sekant och gör gränsövergång. Flytta till något läge som är lättare att räkna på. Under det gamla gymnasiets tid (före 1995) gav tidskriften Elementa 1 årligen ut ett Problemhäfte innehållande bl.a. de centrala proven. En gång fick musikläraren på en skola syn på häftet och såg ytterligt konfunderad ut. Efter några ögonblick harklade han ur sig: "Ja, nog har man haft problem i sitt liv också, men inte har man kommit på idén att samla dem i ett häfte." (berättat av Margita Nilsson) 1 För gy-lärare i ma/fy/ke; utkommer med 4 nr per år. Nuvetduvarifrånnamnetkommer!

3 Omskrivna och inskrivna cirklar till fyrhörningar Hur är det med inskrivna cirklar? frågar vi oss nu: 17. En cirkel med medelpunkt O tangerar (invändigt) alla fyra sidorna i parallelltrapetset CD, där kcd. (a) Vad kan sägas om vinklarna OD och OC? (b) Visa att O + O + OC + OD D + C Vi har sett att varje triangel har såväl en omskriven som en inskriven cirkel, men hur är det för fyrhörningar? 0. Visa att en fyrhörning CD kanhaeninskriven cirkel endast om summorna av motstående sidor är lika, d.v.s. om + CD C + D [i figuren : a + c b + d] 1. Visa att ovanstående villkor är tillräckligt: Om + CD C + D så har fyrhörningen CD en inskriven cirkel. 18. Visa att en fyrhörning kan ha en omskriven cirkel endast om summan av motstående vinklar är Visa omvändningen till föregående: Om summan av motstående vinklar i en fyrhörning är 180, så har fyrhörningen säkert en omskriven cirkel. Tips: Det finns säkert en cirkel som går genom tre av hörnen, säg,, C (varför?). rgumentera för att denna cirkel måste gå även genom det fjärde hörnet, tack vare villkoret på vinklarna.. Med en rektangels hörn som medelpunkter har man ritat fyra cirklar med radier r 1, r, r 3 resp. r 4. Vidare har man dragit de gemensamma tangenterna till cirklar 1 och 3, resp. och 4. (lltså, som om man hängt upp fyra hjul och förbundit dem parvis med remmar.) etrakta den fyrhörning tangenterna bildar. Visa att i den kan en cirkel inskrivas, om r 1 + r 3 r + r 4 < rektangeldiagonalen 3

4 En generalisering av bågvinkelsatsen Under denna rubrik publicerade J.Ohlström i Elementa, 1997: sid.9-30 följande formler : Fall 1: Sätt fingret på en godtyckligt vald vinkel i figuren, så bör du kunna säga hur stor vinkeln är med huvudräkning enbart! ' v ' Fall : v d + [ 0 0 diametern 5. Från din ögonhöjd, h mövermarkplanet, vill du fotografera en staty, som är s mhög och står på en p m hög piedestal, p>h. Hur långt bort från piedestalens fot skall du stå för att statyn skall uppta största möjliga vinkel idinkamera? ' ' v v d [ 0 0 diametern Med, d [ 0 0 avses längden av resp. båge och vinkeln v räknas i radianer, förstås. 3. evisa dem! Tips: Dra några hjälpsträckor så att yttervinkelsatsen och den vanliga bågvinkelsatsen blir tillämpliga Hur får man ur dem den vanliga bågvinkelsatsen? Det här kan utredas m.h.a. derivata som optimeringsproblem i envariabelanalysen. (Gör det som en övning, ifall du ännu inte är klar med den kursen... Jfr. sedan din lösning med den på sid.6.) Men det finns även ett geometriskt alternativ som inte kräver mer än (väsentligen) bågvinkelsatsen och Pythagoras sats! Det är det vi är ute efter nu! Tips: 4. En tillämpning av generaliseringen av bågvinkelsatsen: Här har vi en regelbunden niouddig stjärna (rotationssymmetrisk invariant under vridning 360 /9.) 4

5 isektrissatsen och den harmoniska cirkeln 6. I en triangel är två sidor 4 l.e. resp. 7 l.e. isektrisen till den mellanliggande vinkeln skär motstående sida i en punkt som ligger 1 l.e. från den punkt där sidan tangerar den inskrivna cirkeln. eräkna den sistnämnda sidans längd. 7. Två cirklar är givna. Från vilka punkter syns de två cirklarna under samma vinkel, d.v.s. för vilka punkter P blir α β? α P β Trianglar 33. Låt E och F vara tyngdpunkterna (medianernas skärningspunkter) i deltrianglarna CD resp. CD i den godtyckliga fyrhörningen CD. D E F C (a) Visa att EF är parallell med. (b) eräkna längdförhållandet EF 8. Låt,, C och D vara fyra punkter, i denna ordning, på en rät linje. Från vilka punkter syns, C och CD under samma vinkel? 9. Två båtar befinner sig i punkterna resp.. (Vi approimerar havet med ett plan.) Den andra båten styr med konstant fart i riktning mot en viss punkt C. Den första, som går k gånger så snabbt som den andra, vill hinna ikapp den andra så fort som möjligt. I vilken riktning skall -båten styra? 34. Utanpå triangeln C har man ritat likbenta rätvinkliga trianglar CC 1 och CC med hypotenusor CC 1 resp. CC. C, C 1 och C ligger på samma sida linjen. Låt M mittpunkten på C 1 C och M 1 mittpunkten på. M C Cevas sats C 1 C Visa, m.h.a. omvändningen till Cevas sats, att en godtycklig triangels tre... M medianer, bisektriser, höjder skär varandra i en punkt (Nåja, betr. höjderna får vi inskränka oss till icketrubbvinkliga trianglar, i och med att vi inte bevisat omvändningen i sin fulla generalitet.) (a) eräkna förhållandet mellan MM 1 och. (b) eräkna vinklarna i 4M. Tips: Dra normaler från C 1,Coch C mot linjen. Hitta kongruenta trianglar. 5

6 ilaga: nalytisk lösning till statyproblemet: Låt det horisontella avståndet från kamera till piedestal. Vinkeln är då arctan p + s h 1+ a+s arctan p h f () så vårt problem är att bestämma maimum av f () när >0. Sätt p h a och studera derivatan µ f 0 1 () a + s 1 ³ a 1+ a (a + s) +(a + s) + a [gör liknämnigt] + a a ³ +(a + s) (a + s) + a ³ +(a + s) ( + a ) Nämnaren är > 0 så det räcker att titta på täljaren: (a (a + s)) + a (a + s) (a + s) a s + a (a + s)((a + s) a) s + a (a + s) s Den är < 0 för små, > 0 för stora, och 0då p a (a + s) p (p h)(s + p h) vilket alltså ger ma. och är det sökta avståndet. Kontrollera att svaret har dimensionen längd! lternativ: Med ett koordinatsystem så att marknivån ges av y 0, statyn sträcker sig mellan (0,p) och (0,p+ s) och kameran är placerad i (, h), och med θ betecknande den sökta vinkeln, så ger cosinussatsen h +(p h) i s + h +(p + s h) i q q +(p h) +(p + s h) cos θ Vi söker >0 som ger maimalt θ, d.v.s. minimalt cosθ cosθ +(p h) +(p + s h) s q def q f +(p h) +(p + s h) (För att förenkla räkningarna betraktar vi som den oberoende variabeln förekommer ju endast i den kombinationen.) Sätt U +(p h), V +(p + s h) f 0 UV U + V s ³ V 1 U + U V UV 4UV (U + V ) + s (U + V ) UV UV s (U + V ) (U V ) UV UV ³ s +(p h) +s (p h)+s UV UV s +s (p h) UV UV s ³ (p h) s (p h) UV UV s (p h)(p + s h) UV UV (Skälet till att inte bokföra räkningarna som ren ekvationslösning f 0 0 UV U + V s 1 Ã! V U +... U V är önskan att ha kontroll över derivatans tecken utanför nollstället. Detta för att säkerställa att det erhållna nollstället verkligen ger minimum det kunde ju t.e. tänkas att f antar ännu mindre värden när 0. För detta ändamål skulle det alternativt räcka att visa att alternativt att f 0 () < 0 för 0 och f 0 () > 0 när, f (0) > f(derivatans nollställe) < lim f (), men det visar sig inte så enkelt i detta fall.) Hur ändras situationen ifall Svar: Om p + s<h? Oförändrat. p<h<p+ s? f 0 > 0 för alla θ % π, när & 0 6