Pålfundament EMELIE FAHLESON OCH KAJSA LINDBLADH. Examensarbete inom brobyggnad, avancerad nivå Stockholm, Sverige 2015

i Pålfundament En studie med olika fackverksmodeller EMELIE FAHLESON OCH KAJSA LINDBLADH Examensarbete inom brobyggnad, avancerad nivå Stockholm, Sverige 2015

Pålfundament En studie med olika fackverksmodeller EMELIE FAHLESON OCH KAJSA LINDBLADH Examensarbete inom Brobyggnad, avancerad nivå Stockholm, Sverige 2015

TRITA-BKN. Examensarbete inom Brobyggnad, avancerad nivå 450, 2015 ISSN 1103-4297 ISRN KTH/BKN/EX--450--SE KTH Arkitektur och Samhällsbyggnad 100 44 Stockholm SWEDEN Emelie Fahleson och Kajsa Lindbladh 2015 Kungliga Tekniska Högskolan (KTH) Skolan för Arkitektur och Samhällsbyggnad Avdelningen för Bro- och Stålbyggnad

Sammanfattning Fyrpålsfundament har traditionellt utförts med uppbockad jämnt fördelad rutarmering. Efter införandet av de europeiska konstruktionsreglerna, Eurokoderna, rekommenderas att en fackverksmodell tillämpas vid dimensionering av pålfundament. Normalt appliceras en fackverksmodell med trycksträvor som går från pelare ut till respektive påle och med dragband mellan pålarna. Armeringen utförs som slutna slingor koncentrerat mellan pålarna. Entreprenör föredrar den jämnt fördelade rutarmeringen då utförandet av den armerade betongplattan underlättas. I det här examensarbetet undersöks en alternativ fackverksmodell som förväntas ge en spänningsbild som motiverar en jämnare utbredd armering i betongplattans underkant samtidigt som alla dimensioneringskrav i brottgränstillstånd är uppfyllda. Vidare jämförs den upprättade fackverksmodellen med traditionellt använda beräkningsmodeller. Studien innefattar en FE-analys av ett fyrpålsfundament som modelleras med olika armeringsfördelning. Fördelningen av armeringen är framtagen ur analytiska beräkningar baserade på tre olika beräkningsmodeller: ny upprättad fackverksmodell, traditionell fackverksmodell och modell baserad på klassisk balkteori. Erhållna resultat visar på att alla tre beräkningsmodellerna kan med framgång tillämpas vid dimensionering av pålfundament i brottgränstillstånd. Studien bör betraktas som en initial undersökning där nästa steg är att verifiera erhållna resultat från FE-analys med provningar på pålfundamentet. Nyckelord: pålfundament, fackverksmodell, finita element analys, Eurokod, armerad betong i

ii

Abstract Traditionally four pile foundations have been reinforced in an evenly distributed grid pattern with upward curved rods. After the introduction of the Eurocodes a so called strut-and-tie model should be applied when designing pile foundations. The strut-and-tie model has generally been applied on four pile foundations with struts going from the column to each pile and with ties between the piles. The reinforcement will be conducted as cloosed loops concentrated between the piles. The contractors prefer the evenly distributed reinforcment since it is easier to implement on site. In this master thesis a new strut-and-tie model is established, which is expected to generate a stressfield that will motivate an more evenly distributed reinforcement while still satisfy all design criteria in the ultimate limit state. Furthermore a comparison between the new strut-and-tie model and the design methods traditionally used is carried out. The study includes an FE analysis of a reinforced four pile foundation with different distributions of the reinforcement. The reinforcement distribution is engineered from analytical calculations based on three different design methods: new established strut-and-tie model, traditionally used strut-and-tie model and a model based on classical beam theory. Obtained results indicate that all of the design methods can be successfully applied when designing pile foundations. However the study should be regarded as an initial investigation, the next step is to verify the results from the FE analysis with testings on the four pile foundation. Keywords: pile foundation, strut-and-tie model, finite element analysis, Eurocode, reinforced concrete iii

iv

Förord Det här examensarbetet är utfört för Skolan för Arkitektur och Samhällsbyggnad på avdelningen för Bro- och Stålbyggnad på Kungliga Tekniska Högskolan. Examensarbetet är en del i masterprogrammet husbyggnads- och anläggningsteknik och har gjorts i samarbete med WSP Byggprojektering i Stockholm. Först och främst vill vi tacka WSP för att vi har fått skriva vårt exjobb på deras kontor, för att de försett oss med vägledning och material och för att de har varit så välkomnande. Vi vill rikta ett särskilt stort tack till vår handledare på WSP, Kent Arvidsson, hans vägledning har alltid varit på rätt planhalva och hans råd har varit tavelträff mellan åtta och tio varje gång. Vi vill även tacka vår handledare på KTH, Raid Karoumi, för att han alltid tagit sig tid när vi behövt hjälp och vägledning, inte bara under examensarbetet utan genom hela vår mastersutbildning. Vi vill också tacka våra studiekamrater, dels för allt stöd de gett oss under de senaste fem åren men framförallt för att de har sett till att vi har haft så roligt varje gång vi setts, både i skolan och utanför. Slutligen vill vi tacka våra fantastiska familjer och vänner. Utan ert stöd hade det här examensarbetet aldrig blivit av, vi hoppas ni förstår hur mycket ni betyder för oss och hur mycket vi uppskattar allt ni gör för oss. Stockholm, juni 2015 Emelie Fahleson & Kajsa Lindbladh v

vi

Innehåll 1 Introduktion 1 1.1 Bakgrund............................... 2 1.2 Tidigare studier............................ 3 1.3 Syfte.................................. 4 1.4 Avgränsningar och Antaganden................... 4 1.5 Metod................................. 5 2 Pålfundament 7 2.1 Allmänt om pålfundament...................... 7 2.2 Äldre beräkningsmodeller...................... 9 3 Fackverksmodellen 11 3.1 B- and D-regioner.......................... 11 3.2 Grunderna för fackverksmodellen.................. 12 3.3 Trycksträvor............................. 14 3.4 Dragband............................... 15 3.5 Noder och nodzoner......................... 15 3.5.1 Tryckt nod utan dragband.................. 17 3.5.2 Tryckt nod med ett dragband................ 17 3.5.3 Tryckt nod med dragband i mer än en riktning...... 18 3.5.4 3D-noder........................... 18 3.5.5 Övriga noder......................... 20 3.6 Vinklar mellan trycksträvor, dragband och koncentrerade laster. 20 3.7 Placering och förankring av armering................ 20 3.7.1 Minimiarmering....................... 22 4 Tre olika beräkningsmetoder 23 4.1 Vanligt förekommande fackverksmodell............... 24 4.2 Alternativ fackverksmodell..................... 28 4.3 Jämviktsberäkning.......................... 32 5 FE-analys 34 5.1 ANSYS................................ 34 5.1.1 Solid65............................ 34 vii

5.1.2 Link180............................ 36 5.2 Verifiera modell............................ 36 5.3 Linjär analys............................. 36 5.3.1 Geometri........................... 37 5.3.2 Materialparametrar..................... 38 5.3.3 Mesh.............................. 38 5.3.4 Last.............................. 39 5.4 Ickelinjär analys........................... 40 5.4.1 Geometri........................... 40 5.4.2 Materialparametrar..................... 45 5.4.3 Icke linjära analyser..................... 48 5.4.4 Mesh.............................. 49 5.4.5 Last.............................. 49 6 Resultat 50 6.1 Verifiering av modell......................... 50 6.1.1 Konvergensstudie....................... 50 6.1.2 Jämförelse med handberäkningar.............. 54 6.1.3 Jämförelse med J&W.................... 55 6.2 Handberäkningar........................... 57 6.2.1 Armering........................... 57 6.2.2 Förankringslängd....................... 58 6.2.3 Kontroll av nodzoner..................... 58 6.2.4 Tvärkraft........................... 59 6.3 Linjärelastisk analys......................... 60 6.4 Ickelinjär analys........................... 72 6.4.1 Oarmerat fundament..................... 72 6.4.2 Samma armeringsmängd................... 75 6.4.3 Dimensionerad armeringsmängd.............. 79 6.4.4 Indragen armering...................... 80 6.4.5 Lägre höjd på fundamentet................. 81 6.4.6 Jämförelse brottlast..................... 85 7 Diskussion 87 8 Slutsats och förslag på framtida studier 89 Litteratur 89 A Handberäkningar 92 viii

Kapitel 1 Introduktion Historiskt sett har pålfundament normalt dimensionerats enligt klassisk balkteori. Betongplattan som vilar ovanpå pålarna antas agera som en balk som spänner mellan pålarna. Djupet på betongplattan väljs så att konstruktionsdelen har en tillräcklig skjuvkapacitet och längsgående armering dimensioneras med hjälp av balkanalogi [18]. Vid dimensionering enligt klassisk balkteori antas alla plan för konstruktionsdelen förbli plana efter pålastning. Det innebär att töjningen över ett snitt förutsätts förbli linjär efter pålastning, vilket inte är fallet för alla snitt i ett pålfundament. För att ta hänsyn till de ickelinjära töjningsfördelningarna som förekommer i vissa snitt utvecklades i slutet av 1980- talet en så kallad fackverksmodell utav Schlaich et al [15]. Efter införandet av de europeiska konstruktionsreglerna, Eurokoderna, rekommenderas att en fackverksmodell tillämpas vid dimensionering av pålfundament. Avdelningen för byggprojektering på konsultföretaget WSP i Stockholm har traditionellt tillämpat klassisk balkteori vid dimensionering av pålfundament. Erfarenheterna från denna dimensioneringsmetod är goda och man har inte heller haft några kända skador där pålfundamentet gått i brott eller på andra sätt inte uppnått förbestämda kriterier. Längsgående armering i betongplattan fördelas olika beroende på vilken beräkningsmodell som tillämpas vid dimensionering i brottgränstillstånd. Entreprenör föredrar armeringsfördelningen som uppkommer vid dimensionering med klassisk balkteori då utförandet av den armerade betongplattan underlättas. Tekn. dr Kent Arvidsson på WSP Byggprojektering har upprättat en alternativ fackverksmodell i syfte att generera en armeringsfördelning som föredras av entreprenör samt följer rekommendation i Eurokoden. I det här arbetet analyseras denna alternativa fackverksmodell i flera steg, samt jämförs den med en traditionell fackverksmodell och äldre beräkningsmodeller baserade på klas- 1

sisk balkteori, syftet är att visa att ett pålfundament går att beräkna med en alternativ fackverksmodell som uppfyller Eurokodens krav på bärförmåga. 1.1 Bakgrund Vid byggnation kan det ibland vara nödvändigt att förstärka undergrunden med pålning för att klara de laster som kommer från byggnadsverket, i många fall utformas grundkonstruktionen som pålfundament. Pålfundament består av en tjock armerad betongplatta som vilar på en eller flera pålar, ovan plattan placeras vägg eller pelare. Grundkonstruktionen har till uppgift att föra ner de vertikala lasterna från ovanliggande konstruktion ned till undergrunden på ett säkert sätt. Analys av pålfundament är komplicerat, dimensioneringen försvåras av att ett pålfundament har flera diskontinuitetsområden, vilket innebär att töjningsfördelningen i vissa snitt för plattan inte förblir linjär vid pålastning. Analys av pålfundamentet kan baseras på olika teorier och utföras med olika beräkningsmodeller. Traditionellt har klassisk balkteori tillämpats vid dimensionering av pålfundament i brottgränstillstånd. Vid tillämpning av klassisk balkteori armeras betongplattan i underkant med en jämnt fördelad armering som normalt bockas upp i ändarna för att klara förankringskraften, se figur 1.1. Efter införandet av Eurokoderna, rekommenderas att en så kallad fackverksmodell tillämpas vid dimensionering av pålfundament. Vid tillämpning av fackverksmodell utförs armeringen normalt med dragna slingor mellan pålarna i betongplattans underkant, se figur 1.1. En jämnt fördelad armering föredras av entreprenör då utförandet av betongplattan underlättas. Figur 1.1: Ett fyrpålsfundament armerat med jämnt fördelade stänger som bockats upp i ändarna samt ett fyrpålsfundament armerat med dragna slingor. Vid dimensionering med fackverksmodell i brottgränstillstånd idealiseras alla 2

tryckta och dragna spänningsfält i betongplattan till trycksträvor respektive dragband. Trycksträvorna och dragbanden betraktas som sammankopplade i noder och kraften i de idealiserade elementen bestäms så att inre och yttre krafter är i jämnvikt [14]. Kraftfördelningen i plattan, som ansätts vid analys med fackverksmodell, kan ställas upp på alternativa sätt så länge som jämviktskraven är uppfyllda och summan av lasterna på pålarna motsvarar den dimensionerande lasten som verkar på pålfundamentet i brottgränstillstånd. Enligt Eurokoden får även verifiering i bruksgränstillstånd göras med fackverksmodell om ungefärlig deformationskapabilitet säkerställs, vilket uppfylls om den ansatta kraftfördelningen efterliknar det linjärelastiska spänningsfältet i plattan[4]. I det här examensarbetet undersöks en alternativ fackverksmodell med en ny kraftfördelning. Den nya fackverksmodell förväntas ge en spänningsbild som motiverar en mer jämnt fördelad armering i plattans underkant, till skillnad från den i Eurokoden rekommenderade fackverksmodellen som ger dragspänningar koncentrerat mellan pålarna. På så sätt underlättas utförandet av armeringen i betongplattan för entreprenör samtidigt som rekommendation i Eurokoden efterföljs. 1.2 Tidigare studier Fackverksmodellen har utvecklats under en längre tid men så som den används idag utformades framförallt av Scliach et al. under 1980-talet. I deras rapport Toward a Consistent Design of Structural Concrete ger de en detaljerad beskrivning av hur fackverksmodellen kan användas för att dimensionera konstruktionsdelar där töjningsfördelningen inte är linjär. Författarna visar hur fackverksmodeller kan tas fram för alla konstruktioner genom att följa spänningstrajektioner, de utvecklade på så sätt en rationell designmetod betongkonstruktioner [15]. Pålfundament uppvisar till stor del ickelinjär töjningsfördelning och ett flertal studier har genomförts på pålfundament som dimensionerats med hjälp av en fackverksmodell. Utvecklingen av FE-program har lett till nya möjligheter att undersöka konstruktionsdelars spänningsfördelning i detalj. I rapporten Nonlinear Finite Element Analysis of Four-Pile Caps Supporting Columns Subjected to Generic Loading skriven av Souza et al. framtas en lämplig fackverksmodell för fyrpålsfundament som valideras genom ickelinjär FE-analys. Fackverksmodellen består av fyra trycksträvor som går från pelaren ut till respektive påle och med dragband mellan pålarna. Författarna anser att resultaten studien visar på att denna fackverksmodell är en ekonomisk dimensioneringsmetod som är på säkra sidan [18]. 3

Y M Cheng och C W Law har i deras rapport Strut-and-tie Actions in Pile Cap Analysis - Elastic Analysi undersökt i finita elementprogram hur spänningsfördelningen ser ut i ett fyrpålsfundament under linjärelastiska förhållanden. De fann att spänningsfördelning i betongplattan inte uppvisar så distinkta trycksträvor mellan pelare och påle eller distinkta dragband mellan pålarna. Dragspänningarna är snarare fördelade över hela plattans underkant med maximum i mitten. Tryckspänningarna går från pelare och påle men inte med en konstant spänning då trycket minskar på plattans halva höjd på grund av större möjligthet att sprida ut spänningarna. Författarna anser att FE-analys bör användas för att ta fram lämplig fackverksmodell för 3D-konstruktioner så som pålfundament [6]. Dessa två rapporter visar hur synen på lämpligt val av fackverksmodell för fyrpålsfundament kan gå isär. 1.3 Syfte Syftet med det här examensarbetet är att undersöka om en alternativ fackverksmodell kan ge en spänningsbild som motiverar en jämnare utbredd armering i betongplattans underkant samtidigt som alla dimensioneringskrav i brottgränstillstånd uppfylls. Vidare jämförs den alternativa fackverksmodellen gentemot den traditionella fackverksmodellen samt gentemot en modell baserad på klassisk balkteori, syftet är att undersöka om den alternativa fackverksmodellen får ett rationellt nyttjande av armeringen. 1.4 Avgränsningar och Antaganden I det här arbetet begränsas studien till fyrpålsfundament i betong med en centriskt placerad pelare ovanpå plattan. Valet föll på fyrpålsfundament då det är ett frekvent använt pålfundament, dess symmetri underlättar analysen samtidigt som ett fyrpålsfundament erfordrar många av de dimensioneringskontroller som pålfundament med fler antal pålar kräver. Då arbetet i första hand går ut på att undersöka hur placeringen av armeringen påverkar plattan i pålfundamentet i brottgränstillstånd kommer både pålar och pelare att modelleras på enklast möjliga sätt. Pålarna antas ta upp all pelarlast och eventuellt lastupptagande av marken under fundamentet försummas helt. I beräkningar och i FEM-modellerna tas ingen hänsyn till felslagning av påle. 4

Pålarna representeras av fyra identiska kvadratiska spetsburna pålar i betong och pelaren av en kvadratisk pelare i betong. Inga analyser kommer att utföras i bruksstadiet, då fackverksanalogi är en beräkningsmodell som baseras på plastiska omlagringar i brottstadiet och främst lämpar sig för dimensionering i brottgränstillstånd. Vid FEM-modellering av pålfundamentet eftersträvas en modell så lik verkligheten som möjligt, därför kommer alla partialkoefficienter för materialdata och last sättas till ett, så även för beräkningsmodellerna då syftet är att kunna jämföra dessa med FEM-modellen. Egentyngden för pålfundamentet försummas då den är liten i förhållande till dimensionerande pelarlast. Geometrin för betongplattan är konstant för alla dimensioner utom höjden som varieras. Vidare hålls även materialparametrar för betongen och armeringen konstanta. 1.5 Metod Fyrpålsfundamentet analyseras i flera steg. Analysen genomförs för tre olika beräkningsmodeller, traditionell fackverksmodell, alternativ fackverksmodell och med klassisk balkteori. Geometri, materialdata och last ansätts för pålfundamentet. Handberäkningar utförs i Mathcad där pålfundamentets armeringsinnehåll och placering dimensioneras med hjälp av respektive beräkningsmodell. Kontroll av nodzoner, tvärkraft och förankringslängd genomförs för pålfundamentet. Materialdata, geometriska begränsningar och dimensioneringskontroller genomförs i enlighet med Eurokoden SS-EN-1992-1-1:2005. Pålfundamentet modelleras upp i det finita elementprogrammet ANSYS Workbench. Initialt utförs en linjärelastisk spänningsstudie av pålfundamentet i syfte att undersöka spänningsfördelningen i betongplattan. Därefter genomförs en ickelinjär analys med stegvis pålastning på ett oarmerat pålfundament. I nästa steg armeras plattan, armeringen placeras i enlighet med handberäkningarna från respektive beräkningsmodell. Först används exakt samma armeringsinnehåll för de tre beräkningsmodellerna, därefter används standardmått för armeringesstängerna vilket ger upphov till en viss skillnad i armeringsinnehåll. För respektive modell utförs en simulering med kortare förankringslängd för armeringen samt en simulering med lägre höjd på plattan. Resultat plockas ut från ANSYS och analyseras. För att verifiera FEM-modellen så utförs en konvergensstudie där elementstorlek 5

och elementtyp varieras samt så jämförs erhållna resultat från ANSYS med handberäkningar. Vidare görs en modell av ett fyrpålsfundament med samma geometri och indata som återfinns i en dimensioneringstabell från konsultfirman J&W, numera känt som WSP. Brottlasten som erhålls i ANSYS jämförs med dimensionerande last i dimensioneringstabellen. 6

Kapitel 2 Pålfundament Grundläggning på pålfundament är vanligt förekommande, de används bland annat för att ta upp vertikallaster från pelare eller väggar vid husbyggnation, för att ta upp stora laster under bropelare eller för att förstärka grunden för tunga maskiner eller tung utrustning inom industrin. Vid analys av pålfundamentet kan beräkningarna baseras på olika teorier och utföras med olika beräkningsmodeller. I detta kapitlet ges en generell beskrivning av pålfundament och de beräkningsmodeller som använts som alternativ till fackverksmodellen och som baseras på klassisk balkteori. Fackverksmodellen beskrivs i kapitel 3. 2.1 Allmänt om pålfundament Pålfundament finns i flera varianter men består i regel utav en tjock armerad betongplatta gjuten ovanpå en eller flera pålar. Pelare eller vägg ovanpå plattan bör placeras så att dess geometriska centrum sammanfaller med plattans, på så sätt fördelas lasten så jämnt som möjligt mellan pålarna[8]. Pålning är en grundförstärkningsmetod som har använts genom historien och tekniken används flitigt än idag. Pålarnas uppgift är att transportera last från ovanliggande konstruktion genom jordlager med låg bärförmåga ned till berg eller bärkraftigare jordar. Då det är djupt ner till berg/bärkraftigare jordar faller ofta valet på pålning då andra metoder som t.ex. schaktning inte är ekonomiskt gångbart [20]. Det finns en rad olika typer av pålar. Pålarna kan kategoriseras efter material, pålningsmetod eller efter hur pålen överför last till undergrunden. Lasten kan antingen överföras genom friktion mellan pålens mantelyta och det omslutande jordlagret, så kallad mantelburen påle, eller via änden på pålen, 7

Figur 2.1: Ett klassiskt fyrpålsfundament. så kallad spetsburen påle. Pålar är normalt tillverkade i trä, betong eller stål. Betongpålar är de vanligast förekommande och finns i flertalet varianter såsom fabriksgjutna, platsgjutna, armerade, förspända o.s.v. [8]. Betongplattan transporterar och fördelar de vertikala lasterna från den ovanliggande konstruktionen till en eller flera pålar. Plattan hjälper även till att stabilisera toppen av pålarna i sidled. Vid pålslagning är det inte alltid lätt att få pålen på exakt rätt plats som förutbestämts och ofta avviker pålarnas position från den förutsatta positionen, de är så kallade felslagna vilket kan medföra problem. Om den vertikala lasten placeras direkt ovanpå en rejält felslagen påle och excentriciteten mellan pålen och pelaren är stor så utsätts pålen för böjning och spänningarna i pålen kan bli höga och reducerar pålens bärförmåga. Denna effekt undviks till viss del när en platta fördelar den vertikala lasten. Eftersom plattan normalt tilldelas en bredd och ett djup större än avståndet mellan ytterkanterna på de yttersta pålarna får grundkonstruktionen en ökad tolerans för felslagning av påle. Tjockleken väljs med hänsyn till tvärkraft, genomstansning och vanligtvis så att den dimensionerande vertikala lasten kan fördelas direkt till pålarna. Med en tjockare platta utsätts plattan för mindre skjuvspänningar och skjuvarmering kan härigenom undvikas [8]. 8

Tvåpålsfundament Trepålsfundament Fyrpålsfundament Sexpålsfundament Tolvpålsfundament Figur 2.2: Några olika pålfundament. 2.2 Äldre beräkningsmodeller Innan Eurokoden trädde i kraft dimensionerades pålfundament i brottgränstillstånd med vägledning av en av tre beräkningsmodeller från Boverkets handbok om betongkonstruktioner: balkmodell (modellen för ordinär balk eller platta), skivmodell (modellen för hög balk eller platta) eller fackverksmodell [11]. Balkmodellen baseras på klassisk balkteori med antagande om linjär töjning över balk- eller plattvärsnittet och med försummande av skjuvdeformationer. Denna beräkningsmodell beskriver verkligheten väl då pålfundamentet har en måttlig höjd i förhållande till spännvidd, dvs. avstånd mellan pålcentrum. Vid dimensionering av pålfundament med balkmodell antas betongplattan agera som en balk som spänner mellan pålarna[18]. Längsgående armering dimensioneras med hänsyn till det mest kritiska tvärsnittet med hjälp av jämviktsekvation. Betongplattan måste dimensioneras med hänsyn till skjuvning och eventuellt genomstansning [11]. Balkmodellen ger en jämnt fördelad armering i plattans underkant. Ofta krävs betydligt tjockare pålplatta för att klara skjuvkrafter eller genomstansningskrafter vilket gör att man inte längre kan betrakta pålplattan som en 9

balk utan istället måste behandla den som en skiva eller en så kallad hög balk. Det linjära töjningssambandet för tvärsnittet gäller dock inte för en hög balk utan istället fungerar en skiva mer som en bågkonstruktion där tryckspänningarna från pålarnas upplag kommer att mer ha en bågform, valvform för ett fyrpålsfundament, medan dragspänningarna koncentreras till balkens underkant [3]. Studeras huvudspänningsriktningarna för ett tjockt pålfundament så finner man att huvudtryckspänningarna är koncentrerade i längs en linje mellan påltopparna och den belastande pelaren medan huvuddragspänningarna verkar mellan påltopparna. Tvärkraftsarmering fodras normalt inte för modellen så länge inte skjuvpåkänningen överstiger draghållfastheten hos betongen. Armeringen bör koncentreras till band mellan pålarna, de stänger som placeras utanför pålarna skall ha full förankring vilket ofta kräver uppbockning [11]. Den tredje modellen, fackverksmodellen, är alltså i princip en förenklad version av skivmodellen där de koncentrerade huvudtryckspänningarna ersätts med trycksträvor och dragband. 10

Kapitel 3 Fackverksmodellen Enligt Eurokoden ska erforderlig armering i ett betongfundament beräknas med hjälp av lämplig fackverks- eller balkmodell. Fackverksmodellen är baserad på en idealisering av kraftflödet i armerad sprucken betong, så kallad strut-and-tie method på engelska. I en fackverksmodell representeras de tryckta spänningsfälten av trycksträvor och de dragna zonerna av dragband, som bör sammanfalla med armeringen. Dragbanden och trycksträvorna binds samman i knutpunkter, som ska vara i jämvikt [14]. 3.1 B- and D-regioner Vid dimensionering görs en uppdelning mellan en konstruktions kontinuitetsoch diskontinuitetsområden. I kontinuitetsområden antas Bernouilli-Eulers balkteori gälla, de vill säga plana tvärsnitt förblir plana efter pålastning. I dessa tvärsnitt, om de förblir ospruckna, kan således spänningsfördelningen beräknas med hjälp av snittkrafter. I områden kring hörn, tvärsnittsförändringar, koncentrerade laster etc. är ej töjningsfördelningen linjär, och de nämnda teorierna är mindre lämpliga. Dessa områden kallas D-regioner, eller diskontinuitetsområden [15]. Enligt Saint Venant s princip, där effekten av en diskontinuitet avtar till ett avstånd ungefärligen lika med höjden av diskontinuiteten, antas D-regionernas utbredning motsvara höjden av D-regionen, så som visas i figur 3.1. Vanliga exempel på D-regioner är konsoler, fundament och flaggkonstruktioner. En annan metod behövs för att ta hänsyn till de icke linjära töjningsfördelningar i D-regionerna, därav fackverksmodellen. 11

Innan fackverksmodellen introducerades saknades en riktig och etablerad metod att handskas med D-regionerna, man förlitade sig då vanligtvis på tidigare fungerande lösningar som ansågs räcka [15]. 3.2 Grunderna för fackverksmodellen Fackverksmodellen är baserad på plasticitetsteorin och är ett så kallat undre gränsvärdesteorem. Detta betyder att elementet kommer hålla för pålagd last ifall en spänningsfördelning kan identifieras för vilken alla interna krafter är i jämvikt. Eftersom betongs förmåga att ta upp plastiska deformationer är liten måste en fackverksmodell väljas för vilken flytvillkoren för materialen ej överskrids innan den valda spänningsfördelningen uppkommer [14]. Fackverksmodellens olika komponenter dimensioneras således efter den framtagna spänningsfördelningen, där spänningsfördelningen antas kunna uppstå genom plastiska omlagringar i brottstadiet. Konstruktionen kommer för alla lastfall fördela det interna krafterna på de mest effektiva sättet, den valda fördelningen blir då en av de möjliga alternativen. Den framtagna brottlasten kommer således alltid att vara på säkra sidan jämfört med den verkliga brottlasten [4]. Fackverksmodellen kan appliceras även på B-regioner, men anses inte praktisk då den ger överdrivet konservativt dimensionerade konstruktioner. Som tidigare nämnts är fackverksmetoden baserat på en idelisering av kraftflödet i betongen. Metoden förenklar komplexa spänningsfördelingar genom att reducera dem till enkla enaxlade spänningszoner [13]. De spänningzoner som utsätts för drag införlivas med dragband, och indikerar placeringen av armeringen. Dragbanden kan dock också representera dragspänningszoner som tas upp i betongen. Tryckzonerna kallas trycksträvor. De sammankopplas vid noder, som ska vara i jämvikt. I områden med hög spänningsfördelning tas deformationskraven upp genom att de idealiserade trycksträvorna och dragbanden stämmer väl överens med riktning och storlek på de interna krafter så som de uppkommer från elasticitetsteorin. När spänningsbelastningen är normal eller låg kan dragbanden och trycksträvorna avvika en del från de interna krafterna från elasticitetsteorin, utan att flytvillkoret överskrids. Strukturen kommer då anpassa sig till den antagna spänningsfördelningen. Detta kan vara fördelaktigt när man vill fördela armeringen på ett specifikt sätt av praktiska skäl [14]. Dock ska man undvika att frångå den linjärt elastiska fördelningen för mycket, då det i bruksstadiet kan leda sprickbildning och stora deformationer. 12

Figur 3.1: Utbredning av D-regioner [15]. 13

3.3 Trycksträvor Trycksträvorna kan ha olika konfigurationer, de tre mest typiska visas i figur 3.2. Den prismatiska fördelningen är den vanligaste, och hittas oftast i B-regionerna. Den har ett likformigt tvärsnitt med parallella stressfält och uppkommer ofta i tryckzonen hos en balk. När tryckzonen inte är begränsad till en specifik geometrisk del av elementet, förutom vid noderna, och tryckspänningarna då har plats att utvidgas mellan dessa noder, kommer en så kallad bottle-shaped trycksträva att uppkomma. Denna variant ger upphov till höga transversala spänningar, tryckspänningar nära roten vid noderna och dragspänning i mitten. Dessa dragspänningar kan ge upphov till sprickor i trycksträvan, vilket då minskar dess tryckhållfasthet [5]. Dessa spänningsfördelningar måste beaktas, antingen genom armering eller vid beräkning av brottlasten. Figur 3.2: Olika trycksträvor: a) Prismatisk, b) Bottle-shaped, c) Fan-shaped [14]. Vid dimensionering av trycksträvor enligt Eurokoden skiljer man på två olika fall; trycksträvor med tvärgående tryckspänning (eller utan tryckspäning alls) och trycksträvor med tvärgående dragspänning [1]. Vid dimensionering av trycksträvor med tvärgående tryckspänning (eller utan tryckspänning alls) ska enligt ekvation 6.55 i SS-EN 1992-1-1:2005 formel 3.1 användas. σ Rd,max = f cd (3.1) Vid tvärgående dragspänning i tryckzonen, spruckna tryckzoner, bör hållfastheten reduceras enligt ekvationerna 6.56 och 6.57N i SS-EN 1992-1-1:2005 som visas i formlerna 3.2 och 3.3. 14

σ Rd,max = 0.6v f cd (3.2) v = 1 f ck 250 (3.3) 3.4 Dragband Dragkraften i dragbanden tas upp av armering i betongen, alternativt dragzoner i betongen vid oarmerade betongkonstruktioner. Armeringens riktning ska sammanfalla med dragbandens, vid en utbredd grupp armeringsstänger ska dess tyngdpunkt sammanfalla med det tilltänkta dragbandet. Dragbandets höjd räknas som armeringen tillsammans med omgivande medverkande betongen och betecknas som u, se i figur 3.5 Armeringens erforderliga storlek beräknas enligt formel 3.4, där F är den beräknade dragkraften enligt fackverksmodellen och f yd stålets hållfasthet. Armeringen måste vara tillräckligt förankrad för att kunna tillgodose att fackverksmodellen är säker. A s = F f yd (3.4) 3.5 Noder och nodzoner Punkten där reaktionskrafter, laster, dragband och trycksträvor sammanfaller benämns nod, och ska i en fackverksmodell vara i jämvikt. Nodzonen är benämningen på den volym betong, stöd, laster etc. som omger noden och som antas distribuera krafterna runt noden [10]. Vid dimensionering enligt fackverksanalogi skiljer man på koncentrerade och utspridda noder, på engelska så kallade concentrated nodes och smeared nodes [14]. Om spänningszonerna är någorlunda koncentrerade tenderar punkten där de sammanfaller i också att vara det, en så kallad koncentrerad nod. Om tryckzonerna istället är utspridda, och dragbanden består av jämt fördelade armeringsstänger kommer de sammanfalla över en något utbredd sträcka, då benämnd utspridd nod. Vid koncentrerade noder gör man en uppdelning beroende på vilken kombination av krafter som verkar i noden. I figur 3.3 visas de vanligaste noderna, där C står för compression (tryck) och T för tension (drag). Dessa noder är oftast 15

Figur 3.3: Olika nodtyper a) CCC-nod, b) CCT-nod, c) CTT-nod [5]. de mest kritiska i fackverksmodeller, och de kräver noggrann dimensionering och detaljutformning för att undvika stora deformationer och sprickbildning. Hur noden utformas påverkar hela fackversmodellen då den influerar hur krafterna fördelar sig i resten av systemet. Nodernas detaljutformning kan oftast reduceras till ett antal tryckkrafter i noden, från olika håll. Dragkraften i dragbanden överförs genom armeringen på andra sidan noden, så att säga, vilket ger tryckspänningar i noden. Kraftöverföringen kan ske via till exempel räfflerna i armering eller via förankringsplattor. [16] Nodzoner kan delas upp i hydrostatiska och icke hydrostatiska. I fackverksmodellens början användes bara hydrostatiska noder, vilket bygger på att noden är utsatt för samma spänningsnivå från alla sidor och att de angriper vinkelrätt mot nodens sida [17]. Detta ger då inte upphov till några skjuvkrafter. Ifall storleken på spänningarna är lika stora på alla nodzonens sidor kommer således enligt likformighetens princip nodzonens sidor också ha samma förhållande. Alltså w 1 : w 2 : w 3 = C 1 : C 2 : C 3, vilket kan användas vid dimensionering av förankingsplatans höjd eller armeringens förankringslängd. [15] Det är dock svårt i stora konstruktioner att bara konstruera för hydrostatiska noder, därför dimensionerar man idag även för ickehydrostatiska noder, där kraften inte ligger vinkelrätt mot nodsidan. Vid icke hydrostatiska noder har man ofta så kallade extended nodal zones som är den del av nodzonen där trycksträvan och dragbanden överlappar varandra. Vid dimensionering av D-regioner anses de säkra om den största spänningen i regionen är under ett specifikt värde beroende på vilken sorts nod det är, vilket beräknas i styckena 3.5.1 till 3.5.3. Det förutsätts också att det finns tillräcklig armering att ta upp dragkrafterna, samt tillräcklig förankring [15], för att regionen ska anses säker. 16

Figur 3.4: Tryckt nod utan dragband [1]. 3.5.1 Tryckt nod utan dragband Tryckta noder utan dragband, en CCC-nod i figur 3.3 och som visas i sin helhet i figur 3.4, dimensioneras enligt ekvation 6.60 i SS-EN 1992-1-1:2005 och visas i formel 3.5. σ Rd,max = k 1 v f cd (3.5) σ Rd,max är den maximala spänning som kan påföras vid nodens kanter. Enligt Eurokods nationella bilaga sätts k 1 till 1,0. v utläses ur formel 3.3, och är samma för samtliga nodfall. 3.5.2 Tryckt nod med ett dragband Tryckta noder med ett dragband, ett exempel visas figur 3.5, dimensioneras enligt ekvation 6.61 i SS-EN 1992-1-1:2005 och visas i formel 3.6. σ Rd,max = k 2 v f cd (3.6) 17

Figur 3.5: Tryckt nod med ett dragband [1]. σ Rd,max är det största värdet av σ Rd,1 σ Rd,2 i figuren. Enligt nationella bilagan sätts k 2 till 0,85. 3.5.3 Tryckt nod med dragband i mer än en riktning Tryckta noder med dragband i mer än en riktning visualiseras i figur 3.6, och dimensioneras enligt ekvation 6.62 i SS-EN 1992-1-1:2005 och visas i formel 3.7. σ Rd,max = k 3 v f cd (3.7) k 2 sätts till 0,75 enligt nationella bilagan. 3.5.4 3D-noder Utformning av 3D-noder är komplicerat och Eurokod presenterar inget exakt tillvägagångssätt. Manualer och litteratur ger många exempel på fackverksmodeller, då oftast 2D-fall, så som höga balkar och fundament på två pålar. Problem uppstår vid noder med spänningsfördelning i flera riktningar och det är 18

Figur 3.6: Tryckt nod med dragband i mer än en riktning [1]. inte självklart hur trycksträvor och dragband skär varandra, var noderna ska placeras i nodzonen och hur man ska verifiera nodernas hållfastheten Vanligt är att använda 2D-analogier där en 3D-konstruktion delas upp i flera 2D-modeller. I ett fyrpålsfundament skulle detta kunna åstadkommas genom att skära fundamentet genom diagonalen och kontrollera resultanten av trycksträvorna och dragbanden i detta plan. För att underlätta vid utformning av 3D-noder har man i amerikanska betongföreningens handbok, ACI Building Code, lagt till avsnittet A.5.3 vilket säger att In a three-dimensional strut-and-tie model, the area of each face of a nodal zone shall not be less than that given in A.5.1 (Equation 3.9), and the shape of each face of the nodal zones shall be similar to the shape of the projection of the end of the struts onto the corresponding faces of the nodal zones. Det innebär att trycksträvornas ytor inte behöver stämma exakt med nodzonens geometri, vilket förenklar deras designutförande. Mer avancerade strategier för att ta fram exakta nodzoner har gjorts, bland annat i examensarbetet Strut-and-tie modelling of reinforced concrete pile caps av Chantelot och Alexandre, vid Chalmers Tekniska Högskola 2010. De idealiserade nodzonernas sidor som rektangulära parallellipider och itererade fram ett nodläge som uppfyllde alla hållfasthetskrav. En nod med treaxligt tryck får enligt avsnitt 6.5.4.6 i SS-EN 1992-1-1:2005 spänningen kontrolleras med formeln som visas i 3.8 förutsatt att lastfördelningen är känd i alla tre riktningar, där k 4 har ett rekommenderat värde på 3,0 i na- 19

tionella bilagan. σ Rd,max k 4 v f cd (3.8) Vidare får dimensioneringsvärden för tryckspänningar ökas med upp till 10% om vissa förhållande föreligger, enligt stycke 6.5.4 (5) i SS-EN 1992-1-1:2005. 3.5.5 Övriga noder En konstruktions D-region innehåller oftast både koncentrerade och utspridda noder. De utspridda noderna är vanligtvis inte de mest kritiska, därför är det vid dimensionering tillräckligt att fastställa tillfredsställande förankringslängd för armeringen samt tillräckligt spridning för att fånga upp hela spänningszonen. 3.6 Vinklar mellan trycksträvor, dragband och koncentrerade laster Val av vinklar mellan trycksträvor, dragband och koncentrerade laster är viktig. För höga eller låga vinklar påverkar behovet av plastiskt omfördelning i betongen. Även om modeller med extrema vinklar uppfyller jämviktskrav påverkar det hur betongen agerar i brukstadiet, med hänsyn till bland annat sprickbildning. Svenska betongsföreningens betonghandbok ger vinkelregler för en rad olika upplagsfall. Där en trycksträva möter ett dragstag bör vinkeln ligga runt 60 och helst inte under 45 eller över 70. Där koncentrerade laster förs in över konstruktionen bör man ha en spridning av lasten så snart som möjligt. Cirka 30 är ett rekommenderat värde och inte högre än 45. Det kan i komplicerade konstruktioner ibland vara svårt att samtidigt uppfylla alla vinkelkraven, rekommenderat är då att främst uppfylla kraven för den mest belastade trycksträvan [4]. 3.7 Placering och förankring av armering Armeringen ska placeras ut så att krav på minsta täckande betongskickt samt minsta stångavstånd är uppfyllt. För att överföra kraften från armeringen till betong utan att längsgående sprickor eller avspjälkning uppkommer måste armeringen förankras på ett korrekt sätt. I Eurokoden ges flertalet olika exempel 20

Figur 3.7: a) Vinkel vid koncentrerad last inre del av konstruktion b) Vinkel mellan trycksträva och ett dragband[4]. på förankringsmetoder utöver en rak stång, till exempel standardkrok, slinga och förankringsplattor. Figur 3.8: Trycksträva och dragband a) förankring inom nodzon b) delvis förankring bakom nod. [4] I en fackverksmodell börjar förankringen där nodzonen börjar och armeringen bör förankras över hela noden även om dimensionerad förankringslängd är mindre än nodzonens längd [4]. Eftersom ett dragstag antas ha konstant dragkraft längs hela sin längd måste hela dragkraften förankras i nodzonen, eller även delvis bakom noden. Om delar av armeringen förankras bakom nodområdet ger det även upphov till tryckspänningar bakom noden, vilket har en gynnsam inneslutningseffekt på nodområdet. Därför rekommenderas det även att armering dras minst måttet 2s 0 bakom noden. Höjden av dragstaget, u, bestäms av armeringens vertikala utbredning, där be- 21

tonghandboken i kapitel 6.5.4 ger vägledning. u = 0 För armering i ett lager, som ej dras bakom nodområdet. För armering i ett lager, som dras fram minst 2s 0 u = 2s 0 bakom nodområdet. u = 2s 0 + (n 1)s För armering i n lager, som dras fram minst 2s 0 bakom nodområdet. s 0 = avstång från kant till tyngdpunkt armering. s = centrumavstånd mellan armeringslager Genom att anordna armeringen i flera lager kan dragstagets höjd ökas, så även nodens volym. Samtidigt minskar den inre hävarmen och kraften i dragbandet ökar. För att beräkna erforderlig förankringslängd används reglerna presenterade i SS-EN 1992-1-1 avsnitt 8.4-8.6. 3.7.1 Minimiarmering Enligt Eurokoden måste betongkonstruktioner med krav på sprickbreddsbegränsning ha en minsta mängd armering i de områden där dragkrafter är att förvänta. Mängden minimiarmering som erfordras beror på en rad faktorer, till exempel konstruktionstyp och hållfastheten på betongen. Vid dimensionering av pålplintar får dock de jämnt fördelade stängerna vid bärverksdelens bottenyta utelämnas ifall den dimensionerade huvudarmering uppgår till minimiarmeringen. [1]. Fundamentets sidor och överyta får även designas utan armering ifall de inte löper någon risk att utsättas för dragspänningar. 22

Kapitel 4 Tre olika beräkningsmetoder Vid dimeniosering av pålfundament med fackverksanalogi kan man välja vilken kraftfördelning man vill basera dimensionering på. Det ger möjligheten att variera armeringsfördelning över fundamentet. I detta arbete undersöks och jämförs hur olika armeringsupplägg påverkar ett pålfundament. Som grund för jämförelsen utförs handberäkningar enligt tre olika beräkningsmetoder, som alla genererar olika armeringsupplägg. Beräkningsmetoder presenteras mer ingående i avsnitten nedan. Armeringsmängder och upplägg baserade på dessa beräkningar kommer därefter modelleras i finita elementprogrammet ANSYS. Man kan då jämföra hur fundament med olika armeringsupplägg reagerar vid belastning, samt hur brottlasten skiljer sig för de olika fallen. Utöver erforderlig armeringsmängd beräknas även tvärkraftskapacitet för fundamentet för att kontrollera om det är nödvändigt med tvärkraftsarmering. Ytterligare utförs en kontroll av nodzonerna för att tillgodose att de klarar trycket, samt erforderlig förankringslängd för armeringen beräknas. Geometrin för fundamentet som beräkningarna baserats på presenteras i figur 4.1 och 4.2. Geometrin är vald för att motsvara vanligt förekommande proportioner för fundament av denna typ och lastklass. I kapitel 3.6 beskrivs vinkelförutsättningar för användning av fackverksmodellen. Fundamentets geometri har valts för att tillgodose alla dessa krav. 23

350 1890 350 200 270 270 200 1890 Figur 4.1: Pålfundamentets geometri vid handberäkningar. 350 1000 610 270 1220 1890 100 Figur 4.2: Sektion av pålfundament vid handberäkningar. 4.1 Vanligt förekommande fackverksmodell Efter införandet av Eurokod där armering för pålfundament ska beräknas enligt adekvat fackverks- eller balkmodell, har man frångått rutnätsarmering och istället oftast lagt armering som slingor runt pålarna, i underkanten av fundamentet. Kraftlinjerna idealiseras som trycksträvor ut från pelaren, som landar 24

i pålarna. Dragbanden går i underkant av fundamentet mellan pålarna som tas upp av armering lagd i slingor. Bild 4.3 visar en förenklad bild av modellen. Figur 4.3: Enkel fackverksmodell för fyrpålsfundament. Nodernas placering i modellen bestäms dels av tillräckligt täckskickt för att skydda från korrosion och dylikt men även att noderna ska ha utrymme att ta upp spänningar från alla tryck- och dragzoner. Hur stora tryck-, drag- och nodzoner behöver vara beräknas med formlerna presenterade i avsnitt 3.5. Figur 4.4: Förfinad fackverksmodell för fyrpålsfundament. 25

För varje konstruktion finns det som sagt flertalet olika möjliga fackverksmodeller, där den som ger minst mängd armering anses mest effektiv. I en något mer förfinad modell för ett fyrpålsfundamnet delas punktlasten upp i fyra lika stora delar som alla verkar i centrum för en fjärdedels pelare. Figur 4.4 visar en bild av systemet sett uppifrån, och figur 4.5 ger en 3D-bild av upplägget. Figur 4.5: 3D-bild av en förfinad fackverksmodell för fyrpålsfundament. Fyra noder uppkommer under pelarlasten som knyts samman med trycksträvor enligt figur 4.4. Alla åtta noder i denna modell är 3D-noder, fyra stycken 3Cnoder under pelaren och fyra stycken 2C2T-noder över pålarna. Bild 4.6 ger en schematiskt bild av fackverksmodellen från sidan. 26

Ped 4 Ped 4 Ped 4 Ped 4 Figur 4.6: Fackverksmodellen sedd från sidan. I detta examensarbete kommer de tredimensionella nodzonerna att förenklas genom 2D-analogier, som skär fundamentet genom diagonalen. I ett 2D-fall där ett stöd, ett dragband och en trycksträva möts som i figur 3.8 kan bredden av trycksträvan a 2 beräknas enligt formel 4.1 som presenteras i kapitel 6.5.4 i Betonghandboken. a 2 = a 1 sin θ + u cos θ (4.1) Trycksträvans bredd över pålen beräknas i detta arbete enligt formel 4.1, där dragbandens och pålarnas bredd används som de är. Trycksträvans djup sätts lika med pålens bredd, vilket då ger en rektangulär yta för trycksträvan. Detta är en förenklad modell, då trycksträvans rektangulära yta inte exakt passar in i nodzonens geometri. Denna yta kommer dock antagligen vara mindre än dess verkliga utbredning och trycket som den ger upphov till därmed större. Verifiering av nodzonerna med dessa värden kan då anses vara på säkra sidan. Samma tillvägagångssätt används för den sneda trycksträvan och nodzonerna under pelaren, med pelarens bredd istället för pålens. De horisontella trycksträvorna ska som sagt tidigare ha tillräcklig area för att ta upp tryckkrafterna. I en sådan här modell beräknas tryckzonen som betongens höjd ovanför noden och en lika stor sträcka under. Figur 3.4 visar upplägget, där σ c0 är den horisontala tryckzonen. På bredden begränsas tryckzonen av konstruktionens utformning. I detta fall sätts varje horisontell trycksträva till en fjärdedels pelarbredd. I verkligenheten har tryckzonerna större bredd att sprida ut sig på, så detta anses ge dimensionering på säkra sidan. 27

4.2 Alternativ fackverksmodell För att förenkla monteringen har en ny fackverksmodell för pålfundament undersöks i detta arbete, i syfte att generera en mer utbredd armering. Figur 4.7: Pyramidskal strålandes ut från pelaren. I denna beräkningsmetod idealiseras kraften som ett pyramidskal, strålandes ut från pelaren, som landar i linjer mellan pålarna. Skalets vertikala komposant blir således en linjelast mellan pålarna. Skalets horisontala komposanter antas sprida ut sig som en tunn horisontall skiva, strax ovan pålarna, i x- och y-led. Dragkrafterna som den ger upphov till tas således upp av armering lagd i höjd med denna skiva. 28

Figur 4.8: Schematisk bild över hur pyramidskalet strålar ut. Figur 4.8 visar en schematisk bild sedd ovanfrån över hur tryckkraften sprider ut sig. Mellan två pålar bildas således linjelasten, vars vertikala summa för varje sida är lika med P/4. I denna beräkningsmetod beräknas linjelasten, q, enligt formel 4.2. q = P Ed n pale cc pale (4.2) där n pale är antalet pålar i pålfundamentet och cc pale är centrumavståndet mellan två pålar. Bild 4.9 visar i sektion hur pyramidskalet och den utbredda lasten idealiseras för en sida av ett fyrpålsfundamentet. Bilden visar bara ena sidan av fundamentet, och hur en fjärdedel av lasten fördelas. Varje påle tar egentligen en fjärdedels last, en åttondels last tillkommer från linjelasten på andra sidan pålen, in i bilden. Mellan pålarna idealiseras fundamentet som fritt upplagda balkar med samma höjd som fundamentet. Linjelasten q som visas i figur 4.9b kommer att ge upphov till ett moment i denna balken, med maximum i fältmitt. Erforderlig mängd armering för att ta upp detta moment beräknas. Stängerna läggs i ytterkant av fundamentet mellan pålarna för att föra ut lasten till pålarna. Den horisontala komposanten av pyramidskalet är inte lika jämt fördelad. Genom enkel geometri ser man att skalets horisontala komposanter i x- och y-led 29

Ped 4 Ped 4 q (kn/m) Ped 8 cc.påle Ped 8 Ped 8 cc.påle Ped 8 (a) Pyramidskalets utstrålning, en sida av fundamentet. Figur 4.9 (b) Pyramidskalets vertikala komponent, en linjelast q. ej är lika stora över hela linjen. I figur 4.10 komposantuppdelas två imaginära trycksträvor i ena sidan av pyramidskalet. I y-led ser man att komposanterna är lika stora över hela linjen, samtliga har storleken cc pale /2. Dessa kommer då ge upphov till en jämn armeringsfördelning i y-led vid dimensionering. N.x N.x N.y N N.y N Figur 4.10: Komposantuppdelning av två imaginära tryckvektorer i pyramidskalet. I x-led är dock inte komposanterna lika stora över hela linjen. Ju närmare pålen man kommer, desto större blir vektorns komposant i x-led. Dragkraften den ger upphov till i x-led i underkant fundament är således större än för en imaginär vektor närmare mittlinjen. Att dimensionera armering exakt efter denna kraftfördelning blir därför komplicerat och ger dessutom upphov till en ojämn armeringsfördelning. Man vet dock att för att fackverksmetoden ska vara hållbar måste jämvikten 30

vara uppfylld. I denna beräkningsmodell beräknas därför hur mycket moment som finns kvar att ta upp i ett snitt i mitten av fundamentet, efter att den utbredda linjelasten blivit armerad. Det kvarvarande momentet armeras sedan upp. Den effektiva höjden är definierad som sträckan från armeringen till tyngdpunkten i betongens tryckzon. Ju högre hållfasthet på betongen desto mindre tryckzon behövs. Den effektiva höjden blir således högre, och mängden erforderlig armering mindre. För att i brottstadiet beräkna den erforderliga effektiva höjden utförs en momentekvation kring armeringen [3]. Tryckzonens spänningsfördelning är något ojämn i detta stadiet, och dess tyngdpunkt kan vara svårdefinierad. En vanlig förenkling är att ansätta den effektiva höjden till 0,9d, där d är räknat från armeringens höjd upp till överkant fundament. Erforderlig tryckzon motsvarande det kvarvarnade momentet beräknas i detta arbete, enligt regler presenterade i Eurokoden. Om den erforderliga tryckzonshöjden visar sig vara väldigt låg, sätts den effektiva höjden i detta arbete lika med höjden mellan de två noderna i den vanligt förekommande fackverksmodellen. De två beräkningsmetoderna kommer då att generera exakt samma armeringsmängd, eftersom den globala jämvikten alltid måste gå jämt ut. Detta gör det även möjligt att undersöka exakt hur armeringens placering påverkar fundamentet. Att ansätta denna effektiva höjd motsvara ett tryckblock lika stort som nodzonen i den vanligt använda fackverksmodellen, alltså en höjd lika med två gånger avståndet från noden till överkanten av fundamentet. Fundamentets bredd på 1890 mm och tryckzonens höjd är den area som ska ta upp kraften från momentet. Det kvarvarande momentet tas upp med armering lagd jämnt utbrett över fundamentet, i ett rutnät. Upplägget baserat på det denna beräkningsmetod är alltså ett jämt fördelat rutnät över fundamentet samt extra stänger mellan pålarna. För att lasten ska kunna föras ut från rutnätet till pålarna behöver armeringen som ligger jämt fördelat över fundamentet hängas upp längst ute på den imaginära balken. Detta kan åstadkommas genom att armeringen bockas upp längst ut, så som figur 4.11 visar. Lasten kommer då föras in i överkanten på den imaginära balken. 31

P.ed Figur 4.11: Uppbockade järn. 4.3 Jämviktsberäkning För att säkerställa att jämviktsekvationen är uppfylld för de två fackverksmodellerna utförs en jämviktsberäkning för fundamentet. Momentet i ett snitt mitt i fundamentet beräknas, upplägget visas i figur 4.12. Med hjälp av den effektiva höjden och armeringens hållfasthet beräknas erforderlig mängd armering. Den effektiva höjden beräknas på samma sätt som beskrivits i den alternativa fackverksmodellen. Armeringen som jämviktsberäkningen ger upphov till placeras jämt över fundamentet, i ett rutnät. 32

Figur 4.12: Beräknat snitt vid jämvikt. 33

Kapitel 5 FE-analys 5.1 ANSYS För att simulera och analysera pålfundament används FEM-programmet AN- SYS. Valet föll på ANSYS på grund av dess tillgänglighet på WSP. Programmet har en rad olika användningsområden, där ANSYS Structural Mechanics och dess underfunktioner är anpassat för konstruktionsanalyser utförda i detta arbete. I detta arbete används ANSYS Workbench, ett grafiskt användargränssnitt. I Workbench tillämpas en listliknande navigeringsstruktur där simuleringens olika delar; geometri, mesh, laster, resultat etc. definieras allt eftersom. Konstruktionens geometri och egenskaper modelleras och definieras grafiskt, till skillnad från det alternativa gränssnittet ANSYS Classic, där allting programmeras genom kod. Grunden till ANSYS är oavsett användargränssnitt APDL (ANSYS Parametric Design Language), allt som definieras grafiskt i Workbench görs om till APDL-kod i programmet. Utöver det som kan utföras grafiskt i Workbench kan även APDL-kommandon läggas in för att skicka ytterligare instruktioner [19], vilket har tillämpats i detta arbete. 5.1.1 Solid65 Pålfundamenten modelleras med hjälp av Solid65-element. 3D-elementen kan simulera betongs ickelinjära verkningssätt vid belastningen. Elementet har åtta noder som alla har tre frihetsgrader, i x-,y- och z-led. Elementet har förmågan att krossas i tryck och spricka i drag och kan även simulera krypning och plastiska deformationer, väsentligt när man utför icke-linjära analyser av betong. 34

Figur 5.1: Solid65 elementtyp [9]. Brottkriteriet för betong i ANSYS bygger på en teori av Willam och Warnke [9]. I stora drag är den baserad på brottytor, där huvudspänningarna i förhållande till betongens hållfasthet ej får överstiga brottytans värde. Ifall de överstiger brottytans värde kommer betongen spricka alternativt krossas, beroende på om det är tryck- eller dragspänningar. Brottytans värde beror på fem materialparametrar, som kan definieras i ANSYS. Två av parametrarna, enaxligt dragspänning för sprickbildnings samt enaxligt tryckspänning för krossning, definieras i tabell 5.3. Övriga tre värden kan härledas ur dessa. [9] Ifall brottkriteriet överskrids och någon av huvudspänningarna är drag börjar betongen spricka. I ANSYS simuleras det genom att elementets styvhetsmatris succesivt modifieras. ANSYS använder så kallade smeared cracks, spridda sprickor, för att beskriva uppsprickningen av betongen. Konstruktionen har inga fysiska sprickor efter belastning, istället är sprickorna fördelade över hela elementen i dragzonerna. Ett element innehåller således både en osprucken elastisk del och en icke-linjär sprucken del. [12]. När en spricka uppkommer kan fortfarande en viss tvärkrafstöverföring ske mellan ytorna i sprickan. För att beskriva dessa förhållande i ANSYS används en shear transfer coefficient, som beskriver skjuvmodulens förändring i den spruckna betongen. Koefficienten sätts mellan 0 och 1, där 0 innebär en total förlust av skjuvkapacitet i sprickan, och 1 att den bibehålles helt. Två koefficienter definieras, en för öppna sprickor och för stängda. Vilket värde koefficienterna ska ges är ingen exakt vetenskap, och rapporter i ämnet ger olika råd. Av logiska skäl bör koefficienten för stängda sprickor sättas högre än de öppna. Generellt sätts värdet för öppna sprickor runt 0, 2 0, 4 och för stängda sprickor runt 0, 7 0, 8. Ifall alla huvudpänningar är tryck, betongen brister alltså i både en-, två- och 35

treaxligt tryck, anses den krossad i denna punkt och har då ej kvar styvhet i någon riktning. För mer ingående förklaring av brottkriteriet hänvisas till ANSYS Mechanical APDL Theory Reference. 5.1.2 Link180 I Solid65 kan armering modelleras som en del av solidelementet, så kallad smeared reinforcement. Elementet ges då ett volymandel armering, som aldrig får uppgå till mer än 1. I dessa modeller kommer dock armeringen läggas in som separata element, Link180-element, som kopplas samman med Solid65-elementen i noderna. Link180 är ett stångelement som kan ta upp enaxliga tryck- och dragspänningen, alltså inga böjspänningar. Elementet har två noder som båda har tre frihetsgrader, i x-,y- och z-led. 5.2 Verifiera modell Modellen verifieras för att säkerställa att den är korrekt och användbar. En konvergensstudie utförs för den linjär elastiska modellen. Olika elementtyper och storlekar prövas, för att se om de konvergerar och genererar rimliga resultat. Resultat tagna från den linjärt elastiska modellen jämförs med handberäkningar. Spänningen i ett tänkt snitt mitt i fundamentet beräknas enligt elasticitetsprincipen, med hjälp av Naviers formel. Resultatet jämförs med motsvarande värden framtagna för den linjärt elastiska modellen i ANSYS. Konsultfirman J&W har utfört beräkningsexempel för pålfundament i olika storlek och med olika antal pålar [11]. De har beräknat bärförmågan vid olika armeringsmängder och placeringar i bruks- och brottgränstillstånd. För att göra en så korrekt jämförelse som möjligt modelleras i ANSYS ett fundament med samma storlek, armeringsmängd och armeringsplacering som ett av J&Ws beräknade exempel. Den framtagna brottlasten vid en icke-linjär analys jämförs med J&W värden. 5.3 Linjär analys Initial utförs linjärt elastiska analyser av ett oarmerat pålfundamentet. Vid framtagning av en möjlig fackverksmodell bör man efterlikna det linjär elastiska spänningsfördelningen till en viss utsträckning, så som diskuteras i avsnitt 36

3.2. Genom att ta fram en linjär elastisk modell av pålfundamentet och analysera spänningsfördelningen kan man ta fram och jämföra olika fackverksmodellers validitet. 5.3.1 Geometri Vid den linjärt elastiska analysen modelleras ett fundament med samma proportioner som vid beräkningarna beskrivna i kapitel 4. Hela fundamentets geometri modelleras dock inte, utan bara den del som är ovan pålarna. Detta för att generera en bättre mesh, och på så sätt ge ett bättre och mer korrekt resultat. Det modellerade fundamentets geometri visas i figur 5.2 och 5.3. 350 270 1890 350 200 270 200 1890 Figur 5.2: Pålfundament modellerat i ANSYS. Mellan pålens översida och fundamentets undersida bildas vid modellering automatiskt en kontaktyta, likaså mellan fundament och pelare. Denna kontaktyta kan definieras manuellt, och på så sätt definiera vilken sorts förbindelse man vill ha. I ANSYS finns en rad kontakttyper att välja på; friktionslös, grov, bunden etc. I detta arbete används en bunden koppling. Det innebär att att ingen glidning eller separering är tillåten mellan ytorna. Fundamentets pålar får röra sig fritt i x- och y-led, men är i underkant låsta i z-led. Pålarnas undersidor ställs in i ANSYS som så kallade fixed support, där även rotation kring alla axlar förhindras. Vid pelaren överkant låses alla rörelser i x- och y-led, men tillåts röra sig fritt i z-led. Detta upplägg är gjort för att i så stor utsträckning som möjligt efterlikna hur pålfundamenten fungerar i verkligheten. 37

30 350 900 30 610 270 1220 1890 Figur 5.3: Sektion av pålfundament modellerat i ANSYS. Med denna geometri är modellen inte helt stabil, modellen kommer uppvisa en viss numerisk instabilitet då pålarna inte är låsta x- och y-led. För att motverka detta lägger ANSYS in så en kallad weak spring stiffness, svag fjäderstyvhet. Fjäderstyvheten kan läggas till manuellt, alternativt låter man ANSYS bestämma hur mycket som behövs för att motverka instabiliteten. Tillägget har inte någon påverkan på resultatet, utan underlättar bara för ANSYS att ta fram en konvergerad lösning. 5.3.2 Materialparametrar Pålfundamentet som modelleras är av betongklass C30/37, vald för att det är en vanligt förekommande klass för denna sortens konstruktion. Element av typen Solid65 används för att simulera betongen. Betongens relevanta materialparametrar tas ur SS-EN 1992-1-1:2005 kapitel 3 och presenteras i tabell 5.1. 5.3.3 Mesh Storleken på meshen bestäms genom funktionen Body Sizing i ANSYS, där elementets sida ges en specifik längd. För att ge en så jämn mesh som möjligt ska alla element ha samma storlek. Detta åstadkoms genom att elementets sidor sätts som jämna multipler av fundamentets höjd och bredd, 900 respektive 1890 38

Tabell 5.1: Materialparametrar för betong Betong Parameter Värde Enhet Densitet 2400 kg/m 3 Elasticitetsmodul 33 GPa Tvärkontraktionstal 0,2 - Draghållfasthet 2,9 MPa Tryckhållfasthet 38 MPa mm. För en konvergensstudie används således element med sidor 180, 90, 45 och 22,5 mm. Vissa solidelement har så kallade midside nodes, noder som ligger mitt emellan två hörnnoder. Figur 5.4 visar ett exempel. Solid65 har inte midside nodes, och därför måste sådana noder tas bort från alla element för att meshen ska fungera. I ANSYS genomförs detta genom att midside nodes sätts till dropped, vilket innebär att midside nodes tas bort för samtliga element i konstruktionen. Figur 5.4: Nod nr. 2 är ett exempel på en så kallad midside node. 5.3.4 Last För att enbart ta hänsyn till spänningsfördelning på grund av pålagd last bortses ifrån betongfundamentets egenvikt. Lasten läggs på som ett tryck utspridd över pelarens area, vars värde då motsvarar en vald punktlast. För den linjär elastiska analysen ges lasten ett värde på 3000 kn. 39

5.4 Ickelinjär analys När betong belastas och börjar spricka och krossas, uppvisar den ett ickelinjärt beteende. Om betongen tryckbelastas förblir den linjärt elastiskt upp till cirka 40 % av sin tryckhållfasthet. Spänningsstukningskurvans lutning överensstämmer då med materialets elasticitetsmodul, enligt Hook s lag σ = ɛe. Vid ytterligare belastning börjar betongen successivt krossas, små mikrosprickor uppkommer, och materialets spänningsstukningsdiagram avviker. Fortsatt ökande belastning får arbetskurvan att öka till materialets medeltryckhållfasthet, f cm, för att sedan dala något och krossas vid dess maximala stukning ɛ cu1. [4] När betongen dragbelastas över dess draghållfasthet börjar den successivt spricka. Styvheten i dragzonerna avtar och en oarmerad konstruktion går till brott när betongen helt spricker. Ifall konstruktionen är armerad börjar armeringen vid betongsprickning stegvis ta upp mer av krafterna. Vid ytterliggare belastning börjar stålet så småningom flyta och konstruktionen går slutligen till brott när armeringens brottspänning är uppnåd. 5.4.1 Geometri Samma geometri och upplagsförhållande gäller för de icke-linjära analyserna som den vid den linjära. Utöver det oarmerade betongfundamentet modelleras även armering i olika varianter. Armeringen simuleras med Link180-element och modelleras så att dess noder geometriskt sammanfaller med betongens noder för att de ska kunna länkas samman i dessa punkter. Ett APDL-kommando används för att koppla samman noderna. Armeringens placering är baserat på de tre olika beräkningsmetoderna som presenteras i kapitel 4 och bilaga A, där fundamentet belastas med 3000 kn. Samtliga armeringsupplägg är placerade 45 mm över fundamentets underkant. Till en början modelleras exakt samma armeringsarea, den lägsta erforderliga armeringsmängden, i tre olika utbredningar. Baserat på den vanligt förekommande fackverksanalogin läggs armeringen i slingor i underkant fundament, mellan pålarna. Slingorna läggs i tre lager med 45 mm mellan varje lager, för att säkerställa tillräckligt stångavstånd enligt SS-EN 1992-1-1 8.2. Armeringsplaceringen visas i figur 5.5. Slingornas verkliga utseende vid montering liknar egentligen figur 1.1 med rundade hörn. ANSYS har dock vissa begränsningar vid modellering och slingorna idealiseras som raka stänger dragna en bit bakom pålarna. 40

320 225 225 Figur 5.5: Armering lagd i slingor mellan pålar. I den alternativa fackverksmodellen läggs dels rutnätsarmering över hela fundamentet, samt extra stänger mellan pålarna. Sju stänger i varje led utgör rutnätet, samt två ytterligare stänger över pålarna vid båda sidor. Placeringen visas i figur 5.6. 90 90 270 270 90 135 135 90 270 270 90 90 Figur 5.6: Rutnätsarmering med extra stänger över pålarna. 41

Enligt jämviktsekvationen läggs samtlig armering som rutnät i underkant fundament. För att jämt täcka hela fundamentet läggs 11 st stänger ut i varje led, så som visas i figur 5.7. 270 135 135 135 135 135 135 135 135 135 135 270 Figur 5.7: Rutnätsarmering över hela fundamentet. För att jämföra hur fundamentet uppför sig vid dimensionering har även dimensionerad armeringsmängd beräknats och modellerats. Erforderligt antal stänger med diameter 16 mm, beräknat enligt de tre beräkningsmetoderna, har placerats ut. Beroende på beräkningssätt kommer således summan armeringsarea skilja sig något mellan modellerna. Armeringens placering för respektive beräkningsmetod är samma som visas i figur 5.5-5.7. Armeringen har även modellerats med hänsyn till förankringslängden. Armeringen är då något indraget från ytterkanten, men med samma totala summa armeringsarea. Den beräknade förankringslängden presenteras i kapitel 6.2.2 och bilaga A. I figur 5.8-5.10 presenteras armeringens upplägg för de tre beräkningsmetoderna. 42

320 225 225 90 1710 90 Figur 5.8: Armering lagd i slingor mellan pålar, indraget från kanten. 90 90 90 270 270 90 135 135 90 270 270 90 90 Figur 5.9: Rutnätsarmering med extra stänger över pålarna, indraget från kanten. 43

90 135 135 135 135 135 270 135 135 135 135 135 270 Figur 5.10: Rutnätsarmering, indraget från kanten. Utöver dessa modeller har även ett fundament med en något lägre höjd, 630 mm, modellerats. I plan ser fundamentet exakt likadant ut som tidigare, endast höjden har justerats. Figur 5.11 visar i sektion hur det nya fundamentet utformas. Med denna höjd blir fundamentet slankare, och uppfyller ej de krav som ställs på vinklar i fackverksmodellen. Dock uppfylls kraven enligt SS-EN 1992-1- 1 6.2.2 för att ej behöva tvärkraftsarmering. Armeringen i detta fall modelleras enligt figurerna 5.5-5.7. Summan erforderlig armering är beräknat enligt den gamla höjden på 1000 mm och sätts samma för alla upplägg. Syftet med analysen blir då främst att undersöka hur höjden påverkar spänningsfördelningen i betongen och armeringen samt brottlasten. 44

30 350 630 30 610 1220 1890 270 Figur 5.11: Fundament med höjd 630 mm. 5.4.2 Materialparametrar För att definiera betongens ickelinjära del av arbetskurvan används regler presenterade i SS-EN 1992-1-1 3.1.5. Formlerna används för att ta fram stukningen ɛ c och korresponderande spänningen σ c σ c kη η2 = f cm 1 + (k 2)η (5.1) η = ɛ c ɛ c1 (5.2) ɛ c1 är stukningen vid spänningens maximivärde, f cm. För vald betongklass C30/37 är den 0,0022 enligt SS-EN 1992-1-1. k = 1.05E cm ɛ c1 f cm (5.3) Tabell 5.2 visar den arbetskurva som används i arbete. Den första punkten på kurvan, vid 15.2 MPa, beskriver betongens elastiska del. Resterande punkter tas fram med formler 5.1-5.3, förutom den sista punkten där kurvan går rakt tills den uppnår den maximala stukningen 0,0035. 45

Tabell 5.2: Spännings-stukningssamband vid icke-linjär analys Stukning, ɛ c (m/m) Spänning, σ c (MPa) 0,0004606 15,2 0,0009 24,76 0,0012 30,17 0,0018 36,75 0,0020 37,69 0,0023 37,92 0,0035 37,92 I ANSYS används funktionen Multilinear Isotropic Hardening för att definiera alla punkter på kurvan. Figur 5.12 visar arbetskurvan grafiska utseende. 30 σ (MPa) 20 10 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 ɛ (m/m) 10 3 Figur 5.12: Spännings-stukningssamband för betong För att simulera betongens beteende när den krossas eller spricker behövs en rad variabler, som presenteras i tabell 5.3. Avsnitt 5.1.1 ger en detaljerad beskrivning hur simuleringen går till, samt vad de olika variablerna har för funktion. I ANSYS används APDL-kommandot CONCR för definera dessa variabler. 46

Tabell 5.3: Betongparametrar för Solid65 Solid65 Parameter Värde Enhet Konstant Shear transfer coefficient för öppna sprickor 0,35-1 Shear transfer coefficient för stängda sprickor 0,7-2 Enaxlig dragspänning för sprickbildning 2,9 MPa 3 Enaxlig tryckspänning för krossning 38 MPa 4 Armeringsstålet är av klass B500, dess materialegenskaper tas ur SS-EN 1992-1-1 kapitel 3 och presenteras i tabell 5.4. Stålet simuleras så att det är linjärt elastiskt upp tills dess flytgräns, då det börjar plasticeras. Elasticitetsmodulen antar ett lägre värde och stålet går slutligen till brott när dess drag- eller tryckhållfasther är uppnådd. Tabell 5.4: Materialparametrar för armeringsstål Armeringsstål Parameter Värde Enhet Densitet 7850 kg/m 3 Elasticitetsmodul 200 GPa Tvärkontraktionstal 0,3 Flytspänning 500 MPa Tangentmoduluus 1,1 GPa Draghållfasthet 525 MPa Tryckhållfasthet 525 MPa Enligt SS-EN 1992-1-1 Bilaga C är den maximala töjningen för denna stålklass 2,5 %. Med en flytgräns på 500 MPa och maximal tryck- och draghållfasthet på 525 MPa har stålet en sekantmodul på 1,1 MPa. Figur 5.13 ger en grafisk bild av stålets arbetskurva. 47

500 400 σ (MPa) 300 200 100 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ɛ (m/m) 10 2 Figur 5.13: Spännings-töjningsssamband för armeringsstål 5.4.3 Icke linjära analyser Ickelinjära analyser är en iterativ process. Eftersom betong har icke linjära materialegenskaper kan man inte lösa ekvationen direkt, utan lasten måste delas upp i flera mindre laststeg och läggas på successivt. För varje laststeg måste jämviktsekvationen för systemet lösas. Genom att använda styvheten och utböjningen från laststeget innan extrapoleras ett nytt läge fram, och de interna krafterna för systemet beräknas. Detta kallas Newton-Raphsonsmetoden. För ickelinjära analyser är dock systemet aldrig helt i jämvikt, utan en viss skillnad mellan pålagd last och interna krafter uppkommer [2]. Denna skillnad benämns felterm, så kallad residual force i ANSYS. Om feltermen är innanför en viss toleransnivå anses systemet vara i jämvikt och iterationen accepteras, lösningen har då konvergerat. Är feltermen utanför toleransnivån accepteras inte iterationen och ett nytt försök görs. I ANSYS kan man titta på en rad olika konvergenser, så som kraft, moment eller utböjning. Vid en ickelinjär analys har ANSYS som standardvärde för tolerans 0,5 %, vilket är acceptabelt i de flesta simuleringar. Om en lösning har problem att konvergera kan man manuellt öka toleransvärdet, dock på bekostnad av lösningens precision. I detta arbete används ANSYS standardvärde för tolerans. 48

5.4.4 Mesh Likt den linjära analysen används funktionen Body Sizing för att definiera betongens mesh. Armeringen modelleras så att dess noder sammanfaller med betongens. För att mesha armeringen delas linjeelementen upp i ett bestämt antal delar, där varje del har samma längd som ett betongelement. Ett APDLkommando används för att länka samman alla betongens och armeringens gemensamma noder, och på så sätt skapa en sammanhängande konstruktion. 5.4.5 Last Vid den ickelinjära analysen läggs en nedböjning på konstruktionen, istället för en last. Nedböjningen läggs på pelarens ovansida, och reaktionskraften som bildas motsvarar en lika stor pålagd last. Som sagt kan en icke-linjär analys inte lösas direkt, utan nedböjningen måste läggas på successivt. Antalet laststeg kan ställas in manuellt i ANSYS, och går under benämningen substeps. Ju fler steg desto noggrannare resultat, men även längre beräkningsttider för programmet. I arbetet varieras antalet laststeg, mellan 1-2500, för att se hur modellen reagerar och ifall den konvergerar. 49

Kapitel 6 Resultat 6.1 Verifiering av modell 6.1.1 Konvergensstudie En konvergensstudie har utförts för den linjärt elastiska modellen. En studie av denna sort är nödvändig för att undersöka vilken påverkan olika elementtyper och elementstorlekar har på resultatet [7]. För att undersöka vilken elementtyp att använda för betongen jämförs några olika typer. Vald storhet att titta på är normalspänning i x-led för en linje 45 mm över underkant fundamentet, mellan två pålar. Dels jämförs element av typen Solid65, med en mesh gjord med Body Sizing och en med programvald mesh. Meshfunktionen Body Sizing förklarades ingående i kapitel 5.3.3, och elementlängden är här satt till 45 mm. När programvald mesh används väljer Figur 6.1: Linje över pålar, 45 mm över underkant fundament. 50

Figur 6.2: Olika elementtyper, normalspänning i linje över pålar. ANSYS elementyp utifrån inställd finhetsgrad på meshen; antingen grov, medium eller fin. I detta arbete ställs meshen till fin. Utöver dessa jämförs även olika element automatiskt valda av ANSYS. Med en mesh definierad med Body Sizing utan vald elementtyp ställs automatiskt elementtypen in till Solid185 i ANSYS. När meshen är programvald men ingen elementtyp vald ställs automatiskt elementtypen till Solid186 istället. Dessa fyra elementtyper jämförs, och resultatet visas i figur 6.2. I figuren ger Solid65 och Solid185 med Body Sizing exakt samma resultat, linjerna följer varandra åt. Spänningslinjen för Solid186 avviker över stöden, singulariteter verkar ha uppkommit. De övriga kurverna följer i princip varandra åt hela längden, med små skillnader i amplitud. Kurverna med Body Sizing uppvisar ett något jämnare utseende över pålarna. Baserat på denna studie används i detta arbete element av typen Solid65, med en mesh definierad med Body Sizing. En mesh gjord med Body Sizing föredras, elementstorleken är då lättare att kontrollera. Solid65 och Solid185, båda med Body Sizing, ger exakt samma resultat. Solid65 är dock mest anpassad för att simulera betong. Den kan krossas och spricka vid belastning, och simulera betongens icke-linjära beteende. Således blir därför Solid65 det slutgiltiga valet av element, och det som används vid konvergensstudie med olika elementstorlekar. 51

(a) Linje i mitten fundament, 100 mm över underkant. (b) Linje diagonalt genom fundament, 100 mm över underkant. Figur 6.3: Linjer studerade vid konvergensstudie för olika elementstorlekar. För att jämföra påverkan av olika elementstorlekar har två olika storheter studerats; normalkraften 100 mm över pålarna för en linje dels mitt i fundamentet och en diagonalt över fundamentet. Deras positioner visas i figur 6.3a och 6.3b. Full konvergens har uppnåtts ifall två analyser med olika meshstorlekar ger exakt samma resultat. Målet med denna konvergensstudie är att hitta en elementstorlek som ger korrekta eller tillräckligt precisa resultat, samtidigt som den ej ger för långa beräkningstider för datorn. Konvergensstudien har utförs för fyra olika elementstorlekar; 180, 90, 45 och 22,5 mm. En last på 1MN har lags på fundamentet. I figur 6.4 och 6.5 presenteras resultaten. Vid normalspänning i linje mitt över fundamentet ser man att kurvorna konvergerar med avtagande elementstorlek, mot de korrekta värdena. På samma sätt ser man för diagonalen att den konvergerar i mitten av fundamentet. Närmare pålarna övergår spänningarna från positiva till negativa, och i dessa områden kan man se större skillnad i resultaten. För de mindre elementstorlekarna sticker resultaten iväg något, och singulariteter verkar ha uppkommit. 52

Figur 6.4: Olika elementstorlekar, normalspänning över mittlinje fundament. Figur 6.5: Olika elementstorlekar, normalspänning över diagonal fundament. 53

Med hänsyn till dessa resultat används elementtypen Solid65 och elementstroleken 45 mm. En elementstorlek på 22,5 mm ger antagligen mer precisa resultat, men anses ge för lång beräkningstid för att vara lämplig. 6.1.2 Jämförelse med handberäkningar Spänningen i ett tänkt snitt genom fundamentet beräknas för hand, och jämförs med resultat tagna från den linjärt elastiska modellen i ANSYS. Vid handberäkningar antas fundamentet osprucket och linjärt elastiskt. Fundamentet idealiseras som en balk på två stöd, där varje stöd tar hälften av pelarlasten P Ed, här satt till 3MN. Det beräknade snittet ligger över pelaren i mitten av fundamentet, och visas i figur 6.6. Figur 6.6: Tänkt snitt för handberäkning. Jämviktsvillkoret ger momentet M x i mitten, motsvarande spänningar beräknas med Naviers formel. M x = P Ed 2 cc pale = 3 106 1, 22 = 915kN m (6.1) 2 2 2 I y = b fund. h 3 12 = 1, 89 0, 93 12 = 0, 1145m 4 (6.2) σ x = M x I y h 915 103 = 2 0, 1145 0, 9 = 3586125 = 3, 586MP a (6.3) 2 54

ANSYS ger motsvarande värde till 3,5821 MPa, de skiljer sig alltså med 0,11 %. Från modellen i ANSYS skiljer sig spänningarna i underkanten längs hela det beräknade snittet, 3,5821 MPa är det högsta värdet som uppkommer. Handberäkningarna jämförs med det värdet just eftersom det är störst, och det är det man dimensionerar för. En skillnad på 0,11 % är acceptabel, och verifierar modellens precision. 6.1.3 Jämförelse med J&W Konsultfirman J&W har som tidigare nämnts utfört beräkningsexempel för pålfundament i olika storlek och med olika antal pålar [11]. Bärförmågan vid olika armeringsmängder samt placeringar har beräknats i brott- och bruksgränstillstånd. Ett fundament med samma storlek, armeringsmängd och armeringsplacering som ett av J&Ws exempel har modelleras i ANSYS. Den framtagna brottlasten vid en icke-linjär analys har jämförs med J&W värden. (a) Armeringsplacering (b) Armeringutbredning Figur 6.7: Armering i J&Ws beräknade exempel [11]. Fundamentet och armeringens placering som beräknats i J&Ws rapport visas i figur 6.7. Det korresponderande fundamentet som modellerats i ANSYS visas i figur 6.8. Fundamentet har i de båda modellerna fyra kvadratiska pålar med sidlängd 270 mm och en belastad pelare med en sidlängd på 350 mm. Pålarna har ett centrumavstånd på 1220 mm, och fundamentet kragar ut 200 mm utanför pålarna. 55

Samtlig armering, ø16 1890 350 270 1890 90 135 135 135 135 135 135 630 135 135 90 Figur 6.8: Fundament och armeringsupplägg i ANSYS. Betongklassen som används i J&W är K30, den gamla beteckningen för C25/30. Armeringen är av slag Ks 40 med diameter 16 mm, och har en beräknad flytgräns på 390 MPa. J&Ws rapport använder en rad säkerhetsfaktorer som gällde vid tidpunkten för rapporten, detta efterliknas i ANSYS-modellen för att de ska överstämma så bra som möjligt. De karakteristiska hållfasthetsvärden som används i J&Ws rapport och således också i modellen i ANSYS presenteras nedan. f cc = 1, 1 21, 5/1, 5 1, 2 = 13, 1MP a (6.4) f ctk = 1, 1 1, 6 = 1, 76MP a (6.5) f st = 1, 05 390/1, 1 1, 2 = 310MP a (6.6) I tabell 6.1 presenteras resultaten. Brottlasterna skiljer sig med cirka 6%. Både modellen gjord i ANSYS beräknad med Finita Element Metoden och J&Ws beräkningar är approximationer av de verkliga fundamentet, och en viss skillnad i resultat är att vänta. J&Ws beräkningar är gjorda i dimensioneringssyfte och deras värde för brottlasten kan därför antas vara beräknat lite lägre, för att vara på säkra sidan. En skillnad på 6% anses acceptabelt, och verifierar ytterligare modellens precision. 56

Tabell 6.1: Jämförelse mellan J&W och ANSYS. Höjd, fundament Centrumavstånd Mängd armering, i ett led Brottgränslast Brottgränsl. per påle h c/c φ 16 F u P d J&W 1000 mm 1220 mm 10 1780 kpa 445 kpa ANSYS 1000 mm 1220 mm 10 1890 kpa 472,9 kpa 6.2 Handberäkningar De tre beräkningsmetoder som presenterades i kapitel 4 har samtliga utförts i Mathcad. Fullständiga indata och resultat presenteras i bilaga A. Fundamentet har i samtliga fall belastats med 3 MN. Erforderlig armeringsmängd och armeringens placering har beräknats, samt en kontroll av nodzonerna. Utöver detta har också en kontroll av förankringslängd för armeringen och tvärkraftskapacitet för fundamentet utförts. 6.2.1 Armering I tabell 6.2 presenteras resultatet av de beräknade armeringsmängderna. Beräkningsmetod Tabell 6.2: Beräknad armeringsmängd, i ett led. Erforderlig mängd armering Antal stänger, φ16 Summa dimensionerad armering Vanligt förekommande 1900 mm 2 12 2413 mm 2 fackverksnanalogi Alternativ fackverksanalogi 1900 mm 2 11 2211 mm 2 Jämvikt 1900 mm 2 11 2211 mm 2 För både den alternativa fackverksmodellen samt jämvikten blev den erforderliga tryckzonshöjden väldigt låg, och den effektiva höjden sattes således till det vertikala avståndet mellan noderna i den vanligt förekommande fackverksmodellen. På grund av den globla jämvikten är således den erforderliga armeringsmängden samma för samtliga beräkningsmetoder. Den beräknade summorna armering i olika upplägg ligger till grund för de armerade modellerna gjorda i ANSYS. För att jämföra hur olika armeringsupplägg 57

påverkar fundamentet modelleras exakt samma armeringsmängd för alla tre armeringsupplägg. Den mängd armering som används är den lägsta, alltså 1900 mm 2. Ett fundament med höjden 630 mm har även modellerats med den erforderliga mängden armering i de tre uppläggen, för att se hur höjden påverkar spänningsfördelningen och brottlasten. Armeringen har även modellerats med hänsyn till förankringslängden. Armeringen är då något indraget från ytterkanten. Den beräknade förankringslängden presenteras i avsnittet nedan. För att se hur fundamentet reagerar vid dimensionering har även nödvändig mängd stänger med diameter φ16 beräknats. Den totala mängden armering skiljer sig då något mellan modellerna, eftersom olika antal stänger behövs i de olika armeringsuppläggen. 6.2.2 Förankringslängd Erforderlig förankringslängd för armering har beräknas enligt regler i SS-EN 1992-1-1 8.42. Förutsättningar för förankring vid fackverksanalogier har presenterats ingående i kapitel 3.7. Den erforderliga förankringslängden vid den vanligt förekommande fackverksmodellen har beräknats till l bd = 307 mm. Nodzonen i detta fall är 270 mm långt, d.v.s. pålens bredd. Enligt Betonghandboken ska dock armeringen förankras minst över hela nodzonen och gärna en bit bakom nodzonen oavsett beräknad förankringslängd. Vid simulering med beaktning av förankringslängden dras armeringen 110 mm bakom nodområdet. Eftersom samtliga beräkningsmetoder utgår från jämvikten är den beräknade spänningen i armeringensjärnen samma för alla metoder, nämligen armeringens flytgräns 500 MPa. Förankringenlängden kommer således bli samma oberoende av beräkningsmetod, alltså 307 mm. 6.2.3 Kontroll av nodzoner Vid beräkning enligt den vanligt förekommande fackverksanalogin uppkommer två sorters koncentrerade noder. Dels fyra stycken CCC-noder under pelaren samt fyra stycken 2C2T-noder över pålarna. Nodzonens area samt maximalt tillåtna spänning har beräknats enligt formler presenterade i kapitel 3.5. Den maximalt tillåtna spänningen presenteras i 6.7 och 6.8. 58

σ Rd.max.3C = 79, 2MP a (6.7) σ Rd.max.2C2T = 19, 8MP a (6.8) Samtliga beräknade noder uppfyller dessa krav. För CCC-noderna under pelaren ligger spänningarna mellan 19,8-45,2 MPa och för 2C2T-noderna vid pålarna mellan 10,3-12,8 MPa. I bilaga A presenteras exakta siffror på nodbelastningen. Vid övriga beräkningsmetoder uppkommer endast utbredda noder, som inte blir kritiska och behöver då ej kontrolleras. Vid beräkning av det maximala momentet i de övriga beräkningsmetoderna har som sagt den effektiv höjden ansatts till det vertikala avståndet mellan två noderna i den vanligt förekommande fackverksmodellen. Eftersom en kontroll av nodzonerna utförts och deras hållfasthet är tillräcklig, anses den ansatta effektiva höjden vara på säkra sidan. 6.2.4 Tvärkraft Betongfundamentets tvärkraftskapacitet har beräknats, för att fastställa om tvärkraftsarmering är nödvändig. Fundamentet måste uppfylla krav 6.9. V Ed V Rd (6.9) Fundamentets tvärkraftskapacitet utan tvärkraftsarmering bestäms enligt SS- EN 1992-1 6.2.2 (1). Tvärkraftskapacitet har beräknats till V Rd.c = 698,8 kn. Fundamentet uppfyller vissa geometriska krav enligt SS-EN 1992-1-1 6.2.2 (6) och en reduktion av pålagd last får utföras. Den maximala tvärkraften efter reducering av lasten som fundamentet utsätts för har således beräknats till V Ed.red = 375 kn. 375kN 698, 8kN (6.10) Villkor 6.9 är då uppfyllt. Fundamentet har för den pålagda lasten en utnyttjandegrad av tvärkraftskapaciteten på 53,6 %. Oavsett beräkningssätt sätt erfordras således inte någon tvärkraftsarmering för fundament med denna geometri och last. Utöver detta har även tvärkraftskapaciteten beräknats för ett fundamentet med höjden 630 mm. Beräkningen visar att ett fundament med denna höjden ej behöver någon tvärkraftsarmeringen, med en utnyttjandegrad på 94,4 %. 59

6.3 Linjärelastisk analys Fundamentet har i den linjärelastiska modellen belastats med 3MN. All geomteri och indata presenterades i kapitel 5.3. I figur 6.9 visas normalspänningen i x-led för en yta 45 mm över fundamentets underkant. Figuren visar hur den maximala spänningen uppkommer i mitten av fundamentet, direkt under pelarlasten. Spänningens positiva värden indikerar att det är dragspänningar. Samma fenomen uppkommer för normalkraften i y- led för samma yta. Figuren ger en generell bild över spänningsfördelningen i ett plan i fundamentet. Figur 6.9: Normalspänning i x-led för en yta 45 mm över fundamentets underkant. Figur 6.10 och 6.11 visar normalspänningarna i x- och y-led för en vertikal yta som skär mitt genom fundamentet. Figur 6.10 visar spänningen i x-led för ytan, alltså in i bilden. Bilden visar att dragspänningarna genomgående har sina största värden i mitten av fundamentet, upp till fundamentet halva höjd ungefär. Även figur 6.11 som visar normalspänningarna i samma yta fast i y- led, samma plan som ytan, visar att dragspänningarna är största i mitten, även högre upp i fundamentet. 60

Figur 6.10: Normalspänning i x-led för en vertikal yta mitt i fundamentet. Figur 6.11: Normalspänning i y-led för en vertikal yta mitt i fundamentet. 61

För att få en mer detaljerad bild av spänningarna presenteras i figur 6.12 normalspänningen i x-led för en linje mitt i fundamentet, 45 mm över underkanten. Linjens position visas i figur 6.12a. X-axeln sammanfaller med linjens riktning. Diagrammet visar även här att den största spänningen uppkommer mitt i fundamentet, direkt under pelarlasten. Längre ut mot kanterna minskar dragspänningarna successivt, för att längst ut gå mot noll. (a) (b) Figur 6.12: Normalspänning i x-led för en linje mitt i fundament, 45 mm över underkant. 62

Figur 6.13 och 6.14 visar liknande data men för linjer diagonalt över fundamentet samt över två pålar. Båda ligger på en höjd 45 mm över fundamentets underkant. Linjernas positioner visas i figurerna 6.13a och 6.14a. I båda fallen är normalspänningarna för en axel som sammanfaller med linjens riktning. Linjen över pålarna sammanfaller med ett tilltänkt dragband i den vanligt använda fackverksmodellen. I båda bilderna syns tydligt hur längst ut på linjen, över och utanför stöden, blir spänningsfördelningen ojämn och övergår till tryck. 63

(a) (b) Figur 6.13: Normalspänning en linje diagonalt genom fundament, 45 mm över underkant. Spänningsriktningen sammanfaller med diagonalens riktning. 64

(a) (b) Figur 6.14: Normalspänning i x-led för en linje över pålar, 45 mm över underkant fundament Figurerna visar att de tilltänkta dragbanden i den vanligt använda fackverksmodellen inte uppvisar någon högre spänningsnivå än andra linjer på samma 65

höjd i fundamentet. De presenterade figurerna visar samtliga att de största dragspänningarna i underkant av fundamentet uppkommer i mitten av fundamentet, mitt under pelarlasten. Vid val av en fackverksmodell som ska efterlikna den linjärt elastiska spänningsfördelningen är det därför motiverat att sprida ut dragzonen över hela fundamentet. Hade spänningarna följt den vanligt använda fackverksmodellen skulle denna spänningsökning i mitten av fundamentet inte finnas. För att ytterligare undersöka dragspänningarnas utspridning undersöks de maximala och minimala huvudspänningarna i ett snitt genom diagonalen. Figur 6.15 visar de maximala huvudspänningarna i fundamentet. Deras värde indikerar var de största dragspänningarna uppkommer. Figur 6.15: Maximala huvudspäningar i ett snitt genom diagonalen. 66

Figur 6.16: Minimala huvudspäningar i ett snitt genom diagonalen. Genomgående visar dessa figurer att dragspänningarna är störts i mitten av fundamentet, där de maximala huvudspänningarna har sina största värden. Utifrån detta är en utspridd dragzon befogad. Den nya fackverksmodellen som undersöks i detta arbete, med en tänkt skiva av dragspänningar i underkant av fundamentet, är därför motiverad i detta avseende. För att undersöka hur tryckspänningarna sprider sig i fundamentet undersöks spänningsfördelningen i en linje från pelarlasten ner till en av pålarna. Linjen är lagd där en tänkt trycksträva från pelaren till pålen går. Figur 6.17 visar resultatet. Spänningen i denna linje är ej konstant, utan varierar från cirka -18,6 MPa till -2,17 MPa, men dock i konstant tryck. Att den har en väldig skillnad i spänning över hela längden pekar på att de idealiserade trycksträvorna vid den vanligt använda fackverksmodellen ej är så uttalade. 67

(a) (b) Figur 6.17: Normalspänning i imaginär trycksträva från pelare till påle. Redan i figur 6.10 och 6.11 kunde man se uttalade tryckspänningar kring pelare, med värden upp mot 18 MPa. Figur 6.16 ger en ännu tydligare bild över hur tryckkrafterna sprider sig, och hur det även kring pålarna uppkommer 68

mer koncentrerade tryckspänningar. I figur 6.18 presenteras spänningarna i z- led för fem olika horisontala ytor. De visar spänningarna för ytor 0, 200, 400, 600 och 855 mm över underkanten. Den blå färgen signalerar starka vertikala tryckspänningar, och den röda lägre. Figurerna visar även här hur tryckspänningarna är väldigt uttalade över pålarna och under pelaren. Kring pelaren och pålarna är det en mindre yta som kraften ska överföras genom. I mitten av fundamentet har kraften en större yta att sprida ut sig på, en så kallad bottleshaped trycksträva uppkommer då, vilket beskrevs ingående i kapitel 3.2. På grund av denna spridning av tryckkraften kan det i mitten av trycksträvan uppkomma tvärsgående dragkrafter, så som visas i figur 6.15. Detta förklarar att tryckspänningarna är lägre i dessa områden, då de sprids ut på en större yta. 69

(a) z=0 mm, Max = 0,173 MPa, Min = -42,4 MPa. (b) z=200 mm, Max = 0,242 MPa, Min = -4,274 MPa. (c) z=400 mm, Max = 0,2 MPa, Min = -3,4 MPa. (d) z = 600mm, Max = 0,307 MPa, Min = -8,767 MPa. (e) z = 855 mm, Max = 0,04 MPa, Min = -22,825 MPa. Figur 6.18: Vertikala spänningar i fem horisontala ytor 70

Graferna 6.14 och 6.13, samt även figur 6.18a, visar hur spänningarna precis ovan pålarna är väldigt ojämna och byter tecken från drag till tryck. Fundamentet och pålarna är kopplade samman i deras kontaktytor, där ingen glidning eller separation är tillåten. Pålarna är i underkant låsta för rörelse i z-led samt för rotation kring alla axlar. På grund av de modellerade pålarnas låga höjd, 30 mm, är de väldigt styva och deformeras således väldigt lite i x- och y-led. Majoriteten av de utåttryckande krafterna som bildas när fundamentet belastas måste följaktligen tas i fundamentet runt pålarna, vilket ger upphov till den ojämna spänningsfördelningen. 350 350 900 270 900 270 1500 10 000 (a) Pålar 1500 mm. (b) Pålar 10000 mm. Figur 6.19: Utformning av fundament med längre pålar. För att undersöka hur pålarnas längd påverkar spänningsfördelningen i fundamentet har två fundament med längre pålar modellerats, ett med en pållängd på 1500 mm och ett med 10000 mm. Pålarna är låsta i underkant på samma sätt som tidigare. Figur 6.19 visar fundamentens utformning. Återigen studeras normalspänningar i en linje över pålarna, så som visades i figur 6.14a. Diagram 6.20 visar en jämförelse mellan spänningsfördelningen i linjen för de tre pållängderna. Grafen visar att de längre pålarna ger en något jämnare kurva, med lägre tryckspänningar över pålarna. Fundament med pållängd 1500 mm och 10000 mm ger liknande resultat. Alla tre pållängder ger liknande spänningsfördelning i mitten av det studerade spannet. Detta indikerar att pållängden främst påverkar spänningsfördelningen i närheten av pålarna. De längre pålarna kan deformeras och böjas utåt när fundamentet belastas. Den mothållande kraften som tidigare uppkommit i fundamentet har då till viss grad flyttats ner i pålarna. Den ojämna spänningensfördelning över pålarna som tidigare uppvisats bortses därför ifrån, då den till stor del beror på en fundamentets utformning i ANSYS. 71

Figur 6.20: Spänningsfördelning i en linje över pålar, olika pållängder. 6.4 Ickelinjär analys 6.4.1 Oarmerat fundament I figur 6.21 visas ett last-deformationssamband för ett oarmerat pålfundament. Diagrammet är gjort utifrån pelartoppens successiva nedböjning och den motsvarande reaktionskraft som bildas. Till en början är kurvan rak, upp till betongens spricklast. Innan spricklasten är nådd kommer successivt sprickor att bildas i fundamentets mest belastade områden. När sprickorna blivit för omfattande tappar fundamentet slutligen sin mothållande förmåga och fundamentet går till brott. Spricklasten för ett fundament av denna storleken kan i diagrammet utläsas till cirka 2,9 MN. Analysen av det oarmerat pålfundament ger ett något oväntat resultat då lastdeformationssambandet visar på att pålfundamentet efter spricklasten fortfarande klarar av att ta upp en del last som sedan ökar något fram till en töjning på cirka 5,4 mm där konstruktion slutligen går till brott. Teoretiskt borde pålfundamentet gå direkt till brott efter att spricklasten uppnåtts. En förklaring till detta kan vara att elementen, SOLID65, som används i FEM-modellen är definierade så att när en spricka uppstår i en integrationspunkt så fördelas sprickan 72

över hela elementet, sprickan har fortfarande en viss tvärkraftsöverföring mellan ytorna då så kallade shear transfer coefficients för öppna och stängda sprickor har definierats till värden högre än noll. En annan och mer trolig förklaring är att lasten är deformationsstyrd, vilket leder till att analysen fortsätter även efter det att brottlasten har uppnåtts. Figur 6.21: Last-deformationssamband för oarmerat pålfundament. Figur 6.22 visar normalspänningen i x-led för en yta 45 mm över underkanten, samma yta som studerats vid den linjära analysen. Bilderna ger en bra överblick över hur fundamentet reagerar under belastning vid ickelinjära förhållanden. Initialt uppför den sig som den linjärt elastiska modellen, tills den börjar spricka. En spricka simuleras genom att styvheten på det spruckna elementet avtar, och normalspänningen det kan ta upp minskar följaktligen också. I de områden där draghållfastheten uppnåtts sjunker spänningarna successivt. Efter fundamentet gått till brott är spänningsfördelningen låg och ojämn. 73

(a) Normalspänning innan sprickor uppkommit. (b) Normalspänning efter viss sprickbildning i mitten. (c) Normalspänning vid spricklast. (d) Normalspänning efter gått till brott. Figur 6.22: Normalspänningar x-led, 45 mm över underkant fundament Figur 6.23 visar sprickbildningen i fundamentet vid olika tidsteg. De visar sprickorna något innan spricklasten, precis när spricklasten uppnås samt något efter spricklasten. Som figurerna visar börjar initialt sprickor att uppkomma i mitten i underkant av fundamentet samt runt pelarlasten där betongen krossas. Detta överensstämmer väl med tidigare resultat som pekar på att dessa områden är de kraftigaste belastade initialt. Vid spricklasten har framförallt dragsprickorna i underkanten av fundamentet spridit sig, upp till fundamentets halva höjd ungefär. Precis efter spricklasten uppnåtts har sprickorna spridit sig till i princip hela fundamentet. 74

(a) Sprickor precis innan spricklast, från ovan. (b) Sprickor precis innan spricklast, från sidan. (c) Sprickor precis vid spricklast, från ovan. (d) Sprickor precis vid spricklast, från sidan. (e) Sprickor precis efter spricklast, från sidan. (f) Sprickor precis efter spricklast, från ovan. Figur 6.23 6.4.2 Samma armeringsmängd Figur 6.24 visar last-deformationssamband för ett fundamentet med de tre olika armeringsuppläggen beskrivna i kapitel 5.4.1. Fundamentet har armerats med 75

exakt samma armeringsarea, 1900 mm 2, i olika placeringar. Till en början följer kurverna varandra åt, upp till betongens spricklast. Figur 6.24: Last-deformationssamband för armerat pålfundament, samtliga med 1900 mm 2 armeringsarea i varje led. När betongen spruckit sker en nedgång i reaktionskraft, tills armeringen börjar plocka upp kraft. Detta sker ungefär samtidigt för samtliga upplägg, vid cirka 0,5 mm nedböjning. Kurverna stiger sedan successivt, med ungefärligen konstant lutning. När armeringens flytgräns på 500 MPa nås avtar lutningen något, tills brottspänningen på 525 MPa är uppnåd och fundamentet går till brott. Arbetskurvan för stålet har förenklats och töjhärdningen som sker efter det att stålet uppnått brottspänning har försummats, därför bör analys av vad som sker efter att pålfundamentet gått i brott inte göras utifrån diagrammen av last-deformationssamband. Vid simulering med armering följer alla fundament i princip samma spänningsoch sprickfördelning upp till betongens spricklast, oavsett armeringens placering. Denna fördelning är samma som presenterades i kapitel 6.4.1 för ett oarmerat pålfundament. Slingorna klarar minst last, cirka 500 kn mindre än de andra två uppläggen. Enligt den linjärt elastiska modellen är de största dragspänningarna i mitten av 76

fundamentets underkant, och på grund av slingornas placering endast i ytterkanten av fundamentet går de till brott först. När slingorna väl uppnått sin maxlast går kurvan väldigt hastigt neråt. Detta indikerar ett sprött brott. Slingorna är koncentrerade på mindre yta, när väl en stång går till brott gör det flesta det, och brottet blir således väldigt hastigt och sprött. Rutnätet har en jämn stigning hela tiden. När brottlasten uppnåtts viker kurvan av neråt men fundamentet klarar ytterligare lite deformation. Detta indikerar ett segare brott än slingorna. Rutnätet ligger jämt fördelat över den yta som konsekvent uppvisat högst dragspänningar. Om en stång går till brott finns där flertalet stänger runt omkring som kan plocka upp krafterna. Fundament med armering lagd i runtnät samt extra stänger över pålarna klarar en relativt stor nedböjning till efter att brottlasten uppnåtts, innan fundamentet går till brott. Figur 6.25-6.27 visar normalkraften och normalspänningen i armeringen då brottlasten uppnås för respektive upplägg. (a) Normalkraft i slingorna. (b) Normalspänning i slingor. Figur 6.25: Normalkraft och normalspänning i slingorna när brottlasten uppnås. Figurerna visar hur kraften och spänningen är mer koncentrerad hos slingorna. Framförallt figurerna på kraften i armeringen visar tydligt att samtliga slingor är aktiverade och hos rutnätet är kraften mer fördelad. Även för armering lagd i rutnät och över pålarna kan man sen en utspridning av kraften, vilket ger ett segare brott. Fundamentet är dimensionerat för 3 MN, samtliga upplägg klarar mer än så. Vid dimensionering används armeringens flytgräns på 500 MPa för att beräkna erforderlig mängd armering. I FEM-modellen har armeringen en brottspänning på 525 MPa, vilket till viss del förklarar varför samtliga upplägg klarar högre last. Ett betongfundament kommer under belastning alltid att hitta det mest effek- 77

(a) Normalkraft i rutnätsarmering. (b) Normalspänning i rutnätsarmering. Figur 6.26: Normalkraft och normalspänning i rutnätet när brottlasten uppnås. (a) Normalkraft i armering i rutnät samt över pålarna. (b) Normalspänning i armering i rutnät samt över pålarna. Figur 6.27: Normalkraft och normalspänning i rutnätet och extra stängerna över pålarna när brottlasten uppnås. tiva sättet att bära lasten. Figur 6.28 visar de minimala huvudspänningarna för fundament med det tre olika armeringsuppläggen. Bilderna är tagna precis innan brottlasten uppnås, betongen har spruckit och armeringen plockar upp det mesta av dragspänningarna i underkant. Figurerna visar hur tryckspänningarna går från pelaren till ner pålarna och att de i samtliga fall har sin utgångspunkt i närheten av pelarens ytterhörn. Vid dimensionering antas lastspridningen utgår från en punkt i centrum för en fjärdels påle, alltså en bit in från kanten. Det leder till en något lägre inre vinkel mellan trycksträva och dragband, och då alltså en något större mängd dimensionerad armering. Även detta är en del av förklaringen till varför brottlasterna skiljer sig mellan handberäkningarna och ANSYS-modellen. För rutnätsarmeringen samt rutnätsarmering med extra stänger över pålarna har en effektiv höjd används som är något lägre än vad fundamentet har i 78

(a) Slingor. (b) Rutnätsarmering (c) Rutnätsarmering samt extra stänger över pålarna Figur 6.28: Minimala huvudspänningar för fundament vid nedböjning precis innan brottlast uppnås. verkligheten. Detta leder till en större mängd dimensionerad armering än vad som egentligen behövs för den pålagda lasten, vilket också bidrar till skillnaden i brottlast mellan handberäkningarna och ANSYS-modellen. 6.4.3 Dimensionerad armeringsmängd Figur 6.29 visar last-deformationssamband för ett fundament med dimensionerad armeringsmängd, summan armering skiljer sig alltså något mellan de tre uppläggen. Brottlasterna är i samtliga fall något högre än i det tidigare fallet, vilket är logiskt eftersom mängden armering är större i samtliga upplägg. 79

Figur 6.29: Last-deformationssamband för pålfundament med dimensionerad armeringsmängd. Samtliga fundament är armerade med ø16-stänger. Grafen ger en bild över hur ett fundament skulle reagera i verkligheten, och kan jämföras med eventuella fallstudier gjorda på riktiga fundament. 6.4.4 Indragen armering Figur 6.29 visar last-deformationssamband för ett fundament med indragen armering. Den totala armeringsarean för samtliga uppläggen är 1900 mm 2 i varje led. Kurverna har ett liknande utseende som i 6.24, där armeringsarean är samma men samtliga stänger är utdragna till kanten. Figur 6.30 ger alltså en bra överblick av till vilken grad armeringens längd påverkar brottlasten. 80

Figur 6.30: Last-deformationssamband för pålfundament med indragen armering. Mängden armering skiljer sig med 10,5 % mellan den indragna armeringen och den som går ända ut till kanten. Skillnad i brottlast ligger i genomsnitt på 2,5 % för de tre armeringsuppläggen. Detta pekar på armeringen längst ute ej har så stor påverkan på brottlasten. Dock så är denna längd väldigt viktig ur förankringssynpunkt, då armeringen måste vara tillräckligt förankrad för att kunna för att kunna ta upp dragkrafterna. 6.4.5 Lägre höjd på fundamentet Figur 6.31 visar last-deformationssamband för ett fundament med en höjd på 630 mm. Armeringsmängden är för samtliga upplägg 1900 mm 2 i varje led. 81

Figur 6.31: Last-deformationssamband för armerat pålfundament med en höjd på 630 mm. Armeringen i detta fundament är som sagt ej dimensionerad för höjden 630 mm utan för en höjd på 1000 mm. Syftet med denna analysen är främst att undersöka hur höjden påverkar ett fundament med den inlagda armeringsmängden, och se vilka skillnader som uppkommer i last-deformationssambanden. Spricklasten för samtliga armeringsupplägg ligger runt 1,5 MN. Brottlasterna har också sjunkit jämfört de som presenterades i kapitel 6.4.2 och ligger mellan 2,4 och 3,1 MN. En lägre brottlast är logiskt eftersom fundamentet är mindre och en större inre hävarm har använts än vad fundamentet egentligen har. Återigen har ett fundament med slingarmering lägst brottlast, ca 2,4 MN. En större skillnad än tidigare kan ses mellan rutnätsarmeringen och rutnätsarmering med extra stänger över pålarna. Brottlasterna skiljer sig med ca 300 kn, i de tidigare exemplen har de legat på ungefär samma brottlast. Detta tyder på att för slankare fundament är en utspridd rutnätsarmering ännu mer effektiv jämfört med de andra uppläggen än för ett något högre fundament. För slankare element ökar risken för genomstansning och en utbredd armering är att föredra. 82

Slingorna klarar en del mer nedböjning än de övriga uppläggen, men har återigen ett ganska sprött brott. Figur 6.32 visar de minimala huvudspänningarna i ett tidssteg precis innan fundamentet går till brott. De ger en bild över hur tryckspänningarna fördelar sig i fundamentet precis innan brott. Man kan i figurerna se hur trycksträvorna är flackare än de presenterade i kapitel 6.4.2. Flackare trycksträvor betyder högre dragspänningar i underkant vilket förklarar de lägre sprick- och brottlasterna. (a) Slingor. (b) Rutnätsarmering. (c) Rutnätsarmering samt extra stänger över pålarna. Figur 6.32: Minimala huvudspänningar för fundament med höjd 630 mm vid nedböjning precis innan brottlast uppnås. Figuren visar även hur trycksträvorna nästan separerar på fundamentets halva höjd, framförallt i figurerna 6.32a och 6.32c. Fundamentet är för slankt för att trycksträvorna ska kunna gå direkt ut till pålarna, vilket är logiskt eftersom fundamentet ej uppfyller de vinkelkrav som ställs på fackverksmodeller. Figur 6.33 visar sprickbildningen för ett fundament med höjden 630 mm och armering lagd i slingor. Till skillnad från det oarmerade fundamentet med högre 83