Fackverksmodellering av en väggskiva

Transkript

1 AKADEMIN FÖR TEKNIK OCH MILJÖ Avdelningen för bygg-, energi- och miljöteknik Fackverksmodellering av en väggskiva - Med finita elementmetoden som underlag Tuyen Le Yuri Atanasov 2018 Examensarbete, Grundnivå (högskoleexamen), 15 hp Byggnadsteknik Byggnadsingenjör Handledare: Göran Hed Examinator: Johan Norén

2

3 Förord Detta är resultatet av arbetet som har utförts som avslutande del av byggnadsingenjörsprogrammet vid Högskolan i Gävle. Arbetet motsvarar 15 högskolepoäng i ämnesområdet byggnadsteknik och är gjorts i samarbete med företaget WSP i Gävle. Först och främst vill vi tacka WSP för att ha försett oss med konstruktionsritningar som har möjliggjort genomförandet av detta examensarbete. Vi vill även rikta ett stort tack till Emanuel Martinell från WSP, som har varit så välkomnande och hjälpt oss med de frågor och funderingar vi haft under arbetets gång. Vi vill rikta ett särskilt stort tack till vår handledare Göran Hed, universitetslektor vid Högskolan i Gävle, som bidragit med mycket erfarenheter och kunskaper under hela arbetets gång. Göran var även den som kom med idén till examensarbetet. Vi vill även tacka våra studiekamrater för allt stöd de gett oss under dessa 3 år. Tack för alla våra fina minnen som ni har varit med och skapat i och utanför skolan! Slutligen vill vi tacka våra fantastiska familjer och vänner. Utan ert stöd hade det här examensarbetet aldrig blivit av! Gävle, maj 2018 Thuyen Le & Yuri Atanasov i

4 Sammanfattning Fackverksmodellering (eng. strut-tie modeling) är en accepterad och rationell beräkningsmetod för betongkonstruktioner där vanlig balkteori inte kan appliceras. Det gäller områden för s.k. diskontinuitetsregioner (D-regioner). Den komplexa spännings- och kraftfördelningen som uppstår i D-regioner substitueras till fackverkskomponenter i form av trycksträvor, dragstag och noder. Lastfallen omvandlas, under förenklade villkor, med andra ord till ett lösbart fackverksfall. Metodiken för tillgångasättet har länge ansetts som iterativ och långdragen process, där ett fackverk antas samt optimeras tills ett godtyckligt och rimligt fackverk har uppnåtts. Erfarenhet har betydelse för hur fackverksutformningen kommer att se ut. Oerfarna ingenjörer kan till en början ha svårt att se hur spännings- och kraftfördelningen i en betongkonstruktion sprider ut sig. Med hjälp av FEM kan fackverksmodelleringens process effektiviseras. Spänningsoch kraftfördelningen kan tas fram i belastande betongkonstruktioner i form av finita elementmodeller. Därmed kan konstruktörerna visuellt utforma fackverket efter fördelningen. I studien har ett verkligt fall tillhandahållits från företaget WSP. Konstruktionsdelen som ska dimensioneras är en väggskiva från ett flerbostadshus i Stockholm. Med FEM-design har väggskivan rekonstruerats till en finita elementmodell med en framtagen spännings- och kraftfördelning. Fördelningen har använts som ett underlag för vidare dimensionering för hand efter Svenska Standard, Eurokod 2. Resultaten visar att det är möjligt att utforma ett fackverk med FEM-design som underlag. Även framtagna stångkrafter och upplagskrafter har jämförts mellan handberäkning och FEM, som visar att skillnader mellan beräkningsmetoderna är mellan ungefär 5,1-7,7 %, dock bara för studiens fall. Rapporten visar att en påskyndning i processen kan göras om man använder FEM. Metoden möjliggör en förenkling i processen som kan nyttjas av oerfarna konstruktörer. Detta kan bidra till en bättre slutprodukt och gynna utvecklingen för byggbranschen i slutändan. ii

5 Abstract Strut-tie modeling is an accepted and rational calculation method for regions in concrete structures where Berouille-theorem can t be applied. These regions are so called discontinuity regions (D.regions). The stress and force distribution is substituted for strut, ties and nodes much like the members of a truss. Complex load-bearing cases can be transformed, under simplified conditions, to solvable cases. The strut-tie modeling can be seen as an iterative process. At the start of the process the form of the truss is assumed and optimized through trial and error. Experience in the field is therefore of big significance, where unexperienced designers can have a hard time to visualize the stress and force distribution through the concrete structure. The purpose of the study is to use the strut-tie method on a concrete structure. The study will investigate if the strut-tie method can be simplified and if the assumed truss is reasonable. The stress and force distribution is going to be visualized through a finite element model, and hence try to eliminate the iterative modelling phase. In the study, a real load-bearing case will be examined. The concrete structure is a deep beam in an apartment block in Stockholm, Sweden. The designs of the apartment have been provided from the multinational company WSP. The deep beam have been reconstructed to a finite element model through the program FEMdesign 17 3D Structure. The visualized results from the stress and force distribution have been used as a base for further calculations, with the strut-tie method, in accordance to Eurocode 2. The result from the study shows that it s possible to create a truss from FEM-designs visualized stress- and force distribution. In the study a comparison have also been made between truss member forces calculated by strut-tie and the forces calculated by FEM-design. It shows a difference between 5,1-7,7%. The study shows through the program FEM-design 17 that strut-tie method can be improved, and help unexperienced designers during the truss modeling phase. iii

6 Innehållsförteckning 1 Introduktion Problemställning Syfte och avgränsningar Om Eurokoderna Kort om WSP Teoretisk bakgrund Plastisk analys Väggskivor Betong Armeringsstål Dimensioneringsprocessen av en väggskiva Lastmodell Geometrisk modell Materialmodell Krav Finita elementmetod Osäkerheter med FEM Fackverksmodellerings bakgrund B- och D regioner Trycksträvor Dragband Noder och nodzoner Metod Framtagning av spänningsfördelningen med hjälp av FEM-design Väggskiva Utformningen av väggskivan Metod för dimensionering Hållfastheter i brottgränstillståndet Stödreaktioner Lastdelare, inre hävarm och vinklar Fackverkets komponenter iv

7 3.2.5 Noder Trycksträvor Dragarmering Förankringslängd Minimiarmering Upphängningsarmering Stångkrafter i fackverket framtagen med FEM-design Resultat Finita elementmodell Beräkningsmodellen Dimensionerande hållfastheter i brottgränstillståndet Beräkning av lastdelaren, vinklar och inre hävarm Fackverkets stångkrafter Stång- och reaktionskrafter från FEM-modellens fackverk Jämförelse mellan stångkrafter samt jämförelse mellan reaktionskrafter Kontroller och dimensionering av armeringen Kontroll av noder Nod vid upplag A: Noder vid upplag B: Kontroll av trycksträvor Beräkning av dragstag Beräkning av förankringslängd Dragstag T Beräkning av minimiarmeringen Beräkning av upphängningsarmeringen Diskussion Metoddiskussion Finita elementmetoden Fackverksmodellering Resultatdiskussion Slutsatser Förslag till framtida studier Referenser Referenser för bilagor v

8 Bilaga A. Belastande area Bilaga B. Materialdata på olika konstruktionsdelar B.1 BJK B.2 BJK B.3 BJK B.4 BJK B.5 TD B.6 BB B.7 IVB B.8 IVB B.9 YV1A B.10 YV1B A.11 Väggskivans skalvägg A.12 BALKONG Bilaga C. Reduktionsfaktorer på nyttig last Bilaga D. Lastnedräkning Bilaga D.1. Plan 2 - Egentyngd, nyttig last och dimensionerande lastkombination Bilaga D.2 Plan 3 - Egentyngd, nyttiglast och dimensionernade lastkombination Bilaga D.3. Takplan - Egentyngd, nyttiglast och dimensionernade lastkombination Bilaga D.4. Sammanfattning vi

9 1 Introduktion Fackverksmodellering (eng. strut-tie modeling) är en accepterad och rationell beräkningsmetod för s.k. diskontinuitetsregioner (D-regioner) i armerade betongkonstruktioner, se figur 1, där vanlig balkteori inte kan appliceras. Genombrottet för metoden kom efter en rapport av Schlaich, Schäfer och Jennewein (1987). Rapporten beskriver tillgångasättet hur man kan identifiera, beräkna och dimensionera D-regioner med fackverksmodeller under förenklade villkor. Sedan dess har metoden blivit mer allmänt accepterad och finns i standarder såsom Eurokod och den amerikanska betong institutet (ACI). Figur 1. Markerade områden visar diskontinuitetsregioner (D-regioner) och omarkerade områden visar regioner som vanlig balkteori kan appliceras. Figur tagen av Schlaich, Schäfer och Jennewein (1987). Fackverksmodellering kan ses som ett verktyg som ger konstruktören en visuell inblick hur spännings- och töjningsfördelningarna kan se ut i en armerad betongkonstruktion. Enligt Schlaich et al. (1987) kan tryckta spänningsfält ses som trycksträvor (eng. struts) och dragna spänningsfält som dragband (eng. ties). Strävorna kan ses som stänger i ett fackverk och punkterna där stängerna sammanbinds kallas för noder (eng. nodes). Lastfallen blir därmed mer likt ett fackverk. Krafter och spänningar kan därmed på ett förenklat sätt dimensioneras. 1

10 För trycksträvor ska spänningen i huvudsak tas upp av betongens hållfasthet, för dragbanden ska armeringen ta upp dragspänningar och noder ska kontrolleras för belastningen. 1.1 Problemställning Det förekommer begränsningar, om det kan ses som sådan, för fackverksmodelleringen. Metodiken beskrivs generellt som iterativt med en numerisk analys, vilket kan leda till en utdragen och lång process. För framtagandet av fackverksmodeller antas till en början ett fackverk där man genom försök och misstag får fram en godtycklig och rimlig modell som uppfyller kriterierna för jämvikt samt brotts- och bruksgränstillståndet. Om kriterierna inte uppfyllas måste en ny modell antas och processen börjar om. Eftersom antaganden görs spelar förkunskaper och tidigare erfarenheter inom området en stor roll. (Liang, Uy, & Steven, 2002) 1.2 Syfte och avgränsningar Syftet med studien är att dimensionera en väggskiva enligt Eurokod 2 med spänningsfördelningen i väggskivan framtagen med hjälp av finita elementmetoden (FEM) som underlag. Detta för att undersöka om en förenkling av processen kan uppnås och dessutom underlätta utformningen av fackverksmodellen. En förhoppning är att det resulterar i en tidsbesparing utan att slutresultatet avviks allt för mycket. Väggskivan som kommer att dimensioneras är baserad på ritningar, från ett flerbostadshus i Stockholm, som tillhandahållits av företaget WSP. För att studien inte ska bli allt för omfattande kommer detaljutformningen av armeringen att inte undersökas vidare, däremot kan eventuellt förslag till armering från författarna ges i avsnitt 4 Resultat. 1.3 Om Eurokoderna 1975 bestämde Europakommissionen att det ska utformas gemensamma konstruktionsregler och normer för dimensionering av byggnadsverk i Europeiska Unionen (EU). Detta med avsikten att samordna säkerhetsnivåer och främja EU:s 2

11 inre marknad. År 1985 beslutade kommissionen att normerna ska tas fram av Comité Européen de Normalisation (CEM). På detta sätt fick normerna stämpeln EN (Europastandard). Idag kallas den samling av normerna för Eurokod. Den 1:a januari 2011 övergick Sverige från Byggnadens konstruktionsregler (BKS) till det europeiska systemet Eurokoder. Eurokoderna består av tio avsnitt som behandlar grundläggande laster, dimensioneringsregler, dimensioneringsregler för olika material, dimensionering av bärverk med avseende på jordbävning samt geoteknisk dimensionering. De olika avsnitten är benämnda som Eurokod 1, Eurokod 2 osv. Varje standard består av flera underdelar. Exempelvis omfattar Eurokod 2 dimensionering av betongkonstruktioner och består av fyra olika underdelar. De 10 olika avsnitten i Eurokoderna: EN 1990 Eurokod 0: Grundläggande dimensioneringsregler för bärverk EN 1991 Eurokod 1: Laster på bärverk EN 1992 Eurokod 2: Dimensionering av betongkonstruktioner EN 1993 Eurokod 3: Dimensionering av stålkonstruktioner EN 1994 Eurokod 4: Dimensionering av samverkanskonstruktioner i stål & betong EN 1995 Eurokod 5: Dimensionering av träkonstruktioner EN 1996 Eurokod 6: Dimensionering av murverkskonstruktioner EN 1997 Eurokod 7: Dimensionering av geokonstruktioner EN 1998 Eurokod 8: Dimensionering av bärverk med hänsyn till jordbävning EN 1999 Eurokod 9: Dimensionering av aluminiumkonstruktioner 1.4 Kort om WSP År 2001 förvärvades teknikkonsultföretaget J & W (Jacobsson & Widmark) av det brittiska företaget WSP. Bokstäverna står för Williams Sale Partnership som var företagsnamnet när det grundades men som är idag är förkortad till WSP. Idag bedriver bolaget analys- och konsultverksamhet inom samhällsbyggarssektorn. WSP är ett globalt företag som finns i 40 länder världen över med ca anställda och 550 kontor. I Sverige har WSP ca anställda med 50-tal kontor utspridda över hela landet. För de som vill ha mer information om WSP ( 3

12 2 Teoretisk bakgrund En del förkunskaper är nödvändiga för att ta del av studien. I detta avsnitt kommer olika teorier och teoretiska bakgrunder att presenteras. Författarna i denna studie har som önskan är att så många som möjligt ska kunna ta del av studien. 2.1 Plastisk analys Om en last är liten uppstår spänningar i en konstruktionsdel som är under materialets flytgräns f y, se figur 2. Materialet har därmed en rätlinjig spännings- och töjningsfördelning. Vid ökande laster kommer spänningar och töjningar att följas åt ända upp till flytgränsen. Nås flytgränsen kommer en ökande töjning ske under ett konstant spänningsförhållande, även så kallad plasticering av materialet. Detta gäller under förutsättningen att materialet antas vara elasto-plastiskt. (Isaksson et al., 2016) Figur 2. Arbetskurva för ett elastoplastisk material, där ε e = elastisk töjning och ε o = plastisk töjning. För statisk obestämda konstruktioner skapar plasticeringen en flytning, så kallad flytled, i ett snitt innan den dimensionerande brottslasten är uppnådd. Detta kan tolkas som en start av brottstadiet (Isaksson et al., 2016). Enligt Betongföreningen (2012) måste töjbarheten eller segheten av materialet vara tillräcklig i det kritiska snittet, dvs. ha en tillräcklig rotationskapacitet för att en flytled ska kunna bildas. När materialets bärförmåga eller hållfasthet når upp till en kritisk nivå eller maxgräns, på grund av en belastning, har den största delen av materialet plasticerats. När detta inträffar kallas lasten för gränslast. Genom att utnyttja det elasto-plastiska materialets förmåga att kunna plasticera enligt plasticitetsteorin kan en större lastkapacitet tillgodoräknas jämfört med elasticitetsteorin. (Isaksson et al., 2016) 4

13 Enligt Eurokod 2 baseras plastisk analys enligt två metoder, den statiska eller den kinematiska metoden. Den statiska metoden, även så kallade den nedre gränsvärdesmetoden, innebär att yttre laster som ger upphov till en kraftfördelning är lika med eller mindre än gränslasten, givet att jämviktsvillkoren är uppfyllda. Konstruktionen kommer för lastfallen fördela dem interna krafterna på det mest effektiva sättet. Den valda kraftfördelningen är ett av möjliga som kan antas för att bära lasten. Ju bättre kraftfördelning som antas desto större bärförmåga kan påvisas för konstruktionen. Den statiska metoden innebär att beräkningarna är på den säkra sidan jämfört med den teoretiska (Isaksson et al., 2016; Betongföreningen, 2012) Den kinematiska metoden, även kallad för den övre gränsvärdesmetoden, innebär att en s.k. brottmekanism antas som är lika med eller större än gränslasten. Den valda mekanismen är en av möjliga som kan antas, men inte nödvändigtvis den mest kritiska. Det innebär att den kinematiska metoden ger beräkningar på den osäkra sidan jämfört med den teoretiska bärförmågan. (Isaksson et al., 2016; Betongföreningen, 2012) Om båda metoderna skulle ge en sammanfallande lösning innebär det att den rätta teoretiska lösningen har tagits fram. Dock behöver det inte stämma in med verkligheten på grund av andra variabler som t.ex. otillräcklig plasticering. Det beror på att betong inte har en oändlig plasticeringsförmåga men antas vara det enligt plastisk analys. Enligt Eurokod 2 får fackverksmodeller användas vid dimensionering i brottgränstillståndet för D-regioner enligt plasticitetsteorin med den nedre gränsvärdesmetoden. Dock bör dimensionering för bruksgränstillståndet beräknas med en annan metod, vanligtvis med linjärelastisk analys. 2.2 Väggskivor I ett flervåningshus eller vid höga byggnader där det finns behov att ha öppna planlösningar för t.ex. garage i bottenvåning eller affärslokaler kan det åstadkommas med att ersätta bärande väggar med stödpelare. Väggarna ovan som vilar på pelarstöden kommer att fungera som höga balkar. En väggskiva definieras som en hög balk av armerad betong som är upplagd på två eller fler stöd, se figur 3. (Isaksson, Mårtensson & Thelandersson, 2016). 5

14 Figur 3. En väggskiva. En väggskiva används ofta på samma sätt som en balk. Skillnaden mellan en hög balk och en balk är att en hög balk bör ha en spännvidd som är 3 gånger eller mindre än sin tvärsnittshöjd (Eurokod 2, 2011). 2.3 Betong Betong utmärks av god hållfasthet, formbarhet och beständighet. Det är ett blandmaterial och huvudbeståndsdelarna är vatten, cement samt ballast (sten, sand, grus). Tillsatsmedel och tillsatsmaterial kan användas för att påverka betongens egenskaper. Blandningen av vatten och cement kallas för cementpasta eller cementlim. Detta utgör betongens bindemedel som binder ihop ballastkornen. Egenskaperna hos cementpastan bestäms av proportionen mellan vatten och cement, som även är känd som vattencementtalet (vct). Ju mer vatten man spär ut cementpastan med, desto svagare blir den. Variationen i mängderna hos betongens komponenter innebär att man kan framställa betong med olika egenskaper. Hållfastheten i betong mäts 28 dagar från att den har gjutits. Tryckhållfastheten är betongens mest prövade egenskap eftersom det ger en god bild av betongens allmänna kvalitet. (Burström, 2006) I Sverige anges tryckhållfastheten som kubhållfasthet, på kubprover med 150 mm sidlängd. Alternativt kan tryckhållfastheten bestämmas som cylinderhållfasthet genom provning av cylindrar med en diameter på 150 mm och höjden 300 mm. Cylinderhållfasthet når upp till 80-90% av kubhållfastheten. Enligt nya Europastandarden använder man båda metoderna. Betongens hållfasthetsklass benämns därför vanligtvis som C25/30, där den första siffran anger cylinderhållfasthet motsvarande 25 MPa och den andra siffran anger kubhållfasthet 6

15 på 30 MPa. Tryckhållfastheten hos betong är ungefär 10 gånger så stor som sin draghållfasthet. (Betongföreningen, 2012) 2.4 Armeringsstål Idag använder dem flesta moderna betongkonstruktioner någon form av armering för att öka hållfastheten i betongen. Armeringstekniken i sig är inget nytt. Redan för ca 4000 år sedan användes vass som armering av lertegel. Resultatet var tredubblad hållfasthet hos lerteglet. Modern armering daterar sig till 1800-talet. Då användes stålarmering i betong för första gången. (BE Group Sverige, u.å.) Armeringens roll i betongen är att ta upp drag- och tryckspänningar, fördela belastning i olika betongpartier och förhindra sprickbildning. Därav delas armering i drag-, tryck-, skjuv-, sprick- och fördelningsarmering. I oarmerad betong kan plötsligt brott inträffa. Armeringen möjliggör för ett segare brott, därmed får sprickor uppstå. På så sätt kan stora brottsprickor vid deformation upptäckas i tid och åtgärdas vid behov. (BE Group Sverige, u.å.) Armeringsstål är stänger av kolstål som finns i olika diameter. Dem vanligaste är mellan 6-32 mm diametern och en längd på 2-12m beroende på betongkonstruktionen. Ytstrukturen på armeringen kan variera. Den kan ha helt slät yta, ha kammar eller vara profilerade. Armering med högre hållfasthet behöver ha en bättre vidhäftningsförmåga och har därför kammar som sitter tätare för bättre samverkan med betongen. (Burström, 2006) Armering klassificeras efter ytstruktur, svetsbarhet, sträckgränsvärde och i vissa fall efter produkt. Ett exempel är B500BT där det första B:et står för Betonstahl som på tyska betyder armeringsstål, 500 står för stålets övre sträckgräns uttryckt i MPa, andra B:et visar stålets seghetsklass och T:et anger att stålet är seghärdat. Betongarmering sker direkt på byggplatsen eller används vid gjutning av detaljer som sedan transporteras till byggplatsen. Ofta benämns de som prefabricerade element. (BE Group Sverige, u.å.) Vanligt armeringsstål är legering av bl. järn, kol, kisen och mangan. Framförallt är samspelet mellan kolhalt och värmebehandling viktig. Armeringsstål är varmvalsat med hög draghållfasthet för att uppnå de önskvärda hållfasthetsegenskaperna i betong. Kolhalten i stålet avgör seghet och mjukheten. Högre kolhalt resulterar i sprödare stål och mindre lämplig som armeringsstål. (Burström, 2006) 7

16 2.5 Dimensioneringsprocessen av en väggskiva I dimensioneringsprocessen av en väggskiva är att första steget att göra om den aktuella väggskivan från ritningar till en teoretisk modell som man sedan kan räkna på. Framtagning av beräkningsmodell för en väggskiva är en process som kan indelas i tre kategorier: (Isaksson et al., 2016) Laster (påverkningar) Materialegenskaper Geometriska storheter För att lättare få förståelse för dimensioneringsprocessen och hur de olika kategorierna samverkar med varandra har ett exempel i form av figur tagits fram, se figur 4. Figur 4. Schematisk beskrivning av dimensioneringsprocessen Lastmodell Innan laster kan räknas ut, måste först en utredning av belastande area som påverkar väggskivan göras. Belastande area uppfattas som den area av lasten som kommer att föras ner till den aktuella konstruktionsdelen. Vanligtvis bestäms arean genom att beräkna halva sträckan till närmaste upplag från den berörda konstruktionsdelen, i varje riktning och beräkna area av erhållna sträckorna. Läsaren hänvisas till bilaga A där man kan följa beräkningar till framtagning av belastande area. Sedan görs en analys på andra faktorer som kan påverka den aktuella konstruktionsdelen. Beroende på material kan ändring av temperatur och 8

17 luftfuktighet ha påverkan i funktionen som konstruktionsdelen är avsedd för. (Isaksson et al., 2016) Geometrisk modell Alla mått, spännvidd, höjder, lutningar, tvärsnittsmåttkrokigheter är det som formar utseendet av beräkningsmodellen. Geometrisk modell tillsammans med lastmodell utformar Beräkningsmodell S som representerar lasteffekten som väggskivan är utsatt för. (Isaksson et al., 2016) Materialmodell Här tas hänsyn till materialets hållfasthetsegenskaper, styvhetsegenskaper, motståndsförmåga mot kemiska angrepp mm. Alla dessa är avgörande för konstruktionens funktion och säkerhet. Geometrisk modell tillsammans med materialmodell bildar Beräkningsmodell R som beskriver modellens bärförmåga innan brott inträffar. Verifikationen innebär att man kontrollerar att lasteffekten S är mindre än bärförmågan R. (Isaksson et al., 2016) Krav När beräkningsmodellerna tas fram gör man mycket antaganden och bortser från mindre detaljer från verkligheten för att bilda en enkel teoretisk modell att räkna på. Alla osäkerheter sammantagna orsakar avvikelser mellan modell och verklighet som antingen kan vara på säkra eller osäkra sidan. Vid dimensionering är det viktigt att ta hänsyn till detta exempelvis genom att föra in säkerhetsfaktorer som i Sverige måste tas från Eurokoderna. (Isaksson et al., 2016) 2.6 Finita elementmetod Finita elementmetoden (FEM) eller finite element analysis (FEA) är en numerisk metod som ger approximativa lösningar till abstrakta problem. Med hjälp av datatekniken kan stora mängder av ekvationer, som förklarar många fysikaliska fenomen, beräknas med en relativ enkelhet. FEM kan klarlägga t.ex. spänningar och töjningar i olika konstruktionsdelar med en hög tillförlitlighet. FEM har inte bara visat sig vara ett användbart verktyg inom ingenjörsområdet men även för andra områden som t.ex. fysiken. (Olgierd Zienkiewicz och Robert H. Taylor, 2000) 9

18 Enligt Alf Samuelsson och Nils-Erik Wiberg (1998) kan fysikaliska problem beskrivas med matematiska samband i form av partiella differentialekvationer. Det eftersökta problemet kan vara en eftersökt spänningsfördelning i en betongkonstruktion. Betongkonstruktionens struktur kan vara i olika former och skepnader. Med FEM omvandlas dessa former till datagenererade modeller, en process som kallas för idealisering. Modellerna är i sin tur uppbyggda av ett visst antal element så kallade finita element och kan förekomma i 1D, 2D eller 3D, se figur 5. Figur 5. Finita element i 1D, 2D och 3D. Det förekommer två typer av nodpunkter, externa och interna. Externa nodpunkter (eng. exterior nodes, boundary nodes) förekommer oftast på domänens yttre delar eller kanter och tillsammans utgör den geometriska formen av elementen. Vanligt förekommande geometrier är trianglar och kvadrater i 2D samt tetraeder (pyramider) och hexaeder (kuber) i 3D. Dessa nodpunkter binds samman med andra element och elementen i sin helhet bildar ett rutnät så kallad mesh. Rutnätet ska i sin tur avbildas efter den eftersökta konstruktionsdelens struktur. Nodpunkter som inte binder med andra element kallas för interna nodpunkter (eng. interior nodes). Genom att få fram lösningar för varje enskilt element och summera dem tillsammans kan det eftersökta problemet, i sin helhet, kunna lösas. (Jagota, Sethi, & Kumar, 2013) Med hjälp av FEM kan approximerade lösningar på olika randvärdesproblem (funktioner) tas fram. Varje element består av en domän som är bunden av en eller flera randvillkor. En differentialekvation är definierad i varje punkt inom domänen som styr fältvariabler (eng. field variables) på specifika punkter, så kallade nodpunkter. Noderna har frihetsgrader och det kan beskrivas som variabler som tillåter hur noden kan röra sig inom en rymd, som t.ex. tre frihetsgrader tillåter noden att röra sig i x- led, y-led och z-led inom ett system. Värdena i nodpunkterna kommer med hjälp av interpoleringsfunktioner att representera för resterande punkterna i domänen. 10

19 Beroende på vilket fysikaliskt problem som eftersöks kan fältvariabler antas som spänningar, temperatur, töjningar, värmeöverföring etc. (David V. Hutton, 2004) Osäkerheter med FEM Enligt Samuelsson & Wiberg (1998) förekommer det olika osäkerheter som kan påverka finita elementmetodens resultat. När man antar en modell av den verkliga strukturen förekommer det redan vid det stadiet en osäkerhet. En förenkling av verkligheten görs. Strukturen kommer att förenklas med avseende av modelleringsfel, elementgeometrin, ekvationernas avrundningsfel osv. Modellens antagande struktur skapar något som kallas för modelleringsfel (eng. modelling error) och spelar en faktor hur noggrant resultat i slutändan blir. Rutnätet som består av ett antal element kan bestämmas till ett godtyckligt antal beroende på vilken mesh som väljs. Ett större antal element (en finare mesh) ger fler noder och resulterar i en minskning av felvärden. (Samuelsson & Wiberg, 1998) Elementens geometri påverkar resultatet beroende på vilket fysikaliskt problem som undersöks. En rektangulär form ger en noggrannare beskrivning av spänningsfördelningen jämfört med andra geometrier. (Samuelsson & Wiberg, 1998) För systemets olika ekvationer uppstår det fler avrundningsfel ju finare mesh som används, till motsatsen till andra vissa osäkerheter som tidigare har nämnts. Ovanstående stycken som har nämnts angående om olika osäkerheter som kan påverka resultatet är bara några handfull som finns. Vissa är mer komplicerade än andra. Dem som inte har nämnts i denna diskussion beror på författarnas (för denna studie) bristande kunskap. Om läsaren vill ta del av mer ingående material angående om osäkerheter hänvisas denne i så fall vidare till Samuelsson & Wiberg (1998) kapitel För att öka noggrannheten i FEM-beräkningar kan tre olika metoder implementeras och är följande; h-metoden, p-metoden och r-metoden. Dessa metoder kommer att inte diskuteras mer ingående utan kommer att hänvisas till Samuelsson & Wiberg (1998) kapitel Fackverksmodellerings bakgrund Enligt Eurokod 2 ska erforderlig armering i en betongkonstruktion tas fram med hjälp av en balk- eller fackverksmodell. 11

20 Fackverksmodellen idealiserar spänningsflödena som bildas i en belastande betongkonstruktionsdel. Fackverket består av tre komponenter: (Desnerck, Lees, & Morley, 2017); (Schlaich et al., 1987) Trycksträvor Dragband Knutpunkter (noder) I en fackverksmodell representerar tryckspänningar av trycksträvor och dragna spänningar av dragband. Trycksträvorna och dragbanden binds samman av knutpunkter. (Betongföreningen, 2012). Figur 6 visar exempel på visualisering av drag och tryckspänningarna i en väggskiva. De streckade linjerna representerar trycksträvor, heldragna linjerna representerar dragbanden och vita punkterna representerar noder. Figur 6. Ett exempel på en fackverksmodell med visualiserad spänningsfördelning. Figuren tagen från Betongföreningen (2012). Metoden har sitt ursprung från plasticitetsteorin och grundas på den statiska metoden. Det betyder att alla inre krafter är i jämvikt och att den erforderliga kraften är lika stor eller mindre än den verkliga gränslasten. (Schlaich et al., 1987) Fackverksmodellering ska tillämpas där vanliga balkteorin inte går att tillämpa. Det vill säga regioner i en betongkonstruktion där icke-linjära spänningsfördelningar råder. Typiska regioner som oftast appliceras på är bl.a. betongelement som väggskivor, konsolbalkar, balkar med öppningar mm. (Nilson, Darwin & Dolan, 2008) Gemensamt för alla betongkonstruktionsdelar kan processen för en fackversmodell sammanfattas i tre huvudsteg: (Desnerck, et al., 2017) 12

21 Identifiering av B- och D regioner i betongelementet Utformningen av en fackverksmodell Dimensionering av dragstagen, tryckstängerna och noderna i fackversmodellen Enligt Betongföreningen (2012) finns begränsningar med fackverksmetoden. Valet av fördelningen ska väljas med försiktighet, då olämpliga val kan resultera i extrema jämviktsmodeller. Plasticitetteorin som antas i en betongkonstruktion har en begränsad plasticering, och kan i bruksstadiet leda till stora sprickbildningar. Det ska konstateras att fackverksmetodiken inte helt ger en perfekt avbild från verkligheten, men anses ändå vara en rationell och tillräcklig beräkningsmetod för D-regioner inom området (Bruggi, 2009; El-Demerdash et al., 2016; Liang et al., 2002; Schlaich et al., 1987) Valfriheten av spänningsfördelningen leder till att fler fackverksmodeller kan antas och vara rimliga för en och samma betongkonstruktionsdel. Därmed kan leda till att armeringsmängden kan vara olika. Men enligt Schlaich et al. (1987) tolkas det, som regel, att den rimligaste modellen är den med minsta och kortaste dragband. Det är för att dem inre spänningarna försöker ta kortast möjliga väg till upplagen. För att kunna tolka hur spänningsfördelningar fördelas i en betongkonstruktion spelar tidigare erfarenhet och kunskaper en stor roll vid utformningen av en fackverksmodell. (Bruggi, 2009) B- och D regioner Betongkonstruktioner delas upp i två olika zoner. Vid dimensionering görs en identifiering och uppdelning av betongkonstruktionens s.k. kontinuitets- och diskontinuitetsregioner. I kontinuitetsregioner, även kallad B-regioner, antas Bernouilli-Eulers hypotes (balkteorin) gälla som konstaterar att plana tvärsnitt förblir plana vid belastning. Spänningsfördelning kan beräknas med hjälp av snittkrafter om tvärsnitten fortfarande är ospruckna. (Schlaich et al., 1987); (Shuraim & El-Sayed, 2016) 13

22 Figur 7. Exempel på diskontinuitetszoner. D-regioner markerat i grått och B-regioner markerat i vitt Figur tagen från Schlaich et al. (1987). I områden som upplag, höga balkar, öppningar i balkar, pålfundament, vid punktlaster etc., se figur 7, är töjningsfördelningen icke linjär och därför blir Bernouillis teori inte tillämpbar. Dessa områden kallas diskontinuitetsregioner, eller D-regioner. För D-regioner gäller St Vénants princip som konstaterar att effekten av en diskontinuitet avtar till en sträcka som är ungefär lika med höjden av regionen. (Schlaich et al., 1987) Trycksträvor Enligt Schlaich et al.,(1987) tar trycksträvor upp tryckspänningar och brukar oftast framträda i tre olika utseenden, nämligen prismatiska, bottle shaped (eng.) och fan shaped (eng.). Figur 8 visar hur de olika trycksträvorna kan se ut. Figur 8. Olika former av trycksträvor, där a = prismatisk, b = bottle shaped och c = fan shaped. 14

23 Prismatiska spänningsfördelningen är vanligast och uppstår oftast i B-regioner. Den har likformigt tvärsnitt och parallella spänningsfält. Oftast uppkommer denna typ av spänningsfördelning i tryckzonen hos en balk. Strävorna i form av fan- och bottle shaped uppstår vanligen i D-regioner. På grund av sin utformning kommer bottle shaped strävor att orsaka höga transversella dragspänningar i mitten och tryckspänning vid noderna. Dragspänningar i mitten kan ge upphov till sprickbildningar och innebär att tryckhållfastheten i betongen minskar. Därför måste dessa spänningar beaktas med armering eller genom en kontroll av hållfastheten. (Schlaich et al., 1987) När man dimensioner trycksträvor enligt Eurokod 2, finns det två olika fall: Trycksträvor med tvärgående dragspänning, se figur 9. Trycksträvor med tvärgående tryckspänning (eller ingen tvärgående tryckspänning alls), se figur 10. Figur 9. En trycksträva som påverkas av tvärgående dragspänning Figur 10. En trycksträva som påverkas av tvärgående tryckspänning För dimensionering av trycksträvor med tvärgående tryckspänning (eller utan spänningar alls) ska Eurokod 2 användas. För dimensioner av trycksträvor med tvärgående dragspänning, spruckna tryckzoner, ska betongens hållfasthet reduceras enligt Eurokod 2. 15

24 2.7.3 Dragband Dragspänningarna i dragbanden tas upp av armeringen i betongen, eller av betongen vid små spänningar. Riktningen på armering måste löpa i samma riktning som dragbandet. Om flera armeringsstänger behövs i ett dragband, ska deras tyngdpunkt sammanfalla med dragbandet. Erforderlig armeringsmängd beräknas. För att fackverket ska vara säker måste armeringen vara tillräckligt förankrad. (Eurokod 2, 2005) Noder och nodzoner Punkten där laster, reaktionskrafter, trycksträvor och dragband möts kallas för nodpunkt. Nodpunkterna i en fackverksmodell måste vara i jämnvikt. Nodzoner går lätt att förväxla med noder. Nodzoner är den zon som finns kring noden där den yttre zonen består av laster, stöd och förankringsplattor i sammanställning med ändar från tryck- och dragband. (Nilson et al., 2008). Noder delas i två kategorier. Koncentrerade och utbredda noder. Koncentrerade noder uppkommer vid kanter av D-regioner där koncentrerade laster förekommer. Storleken av dessa noder bestäms av bl.a. upplagsbredd, belastningsplattor och liknande konstruktionsdetaljer. (Betongföreningen, 2012) Områden där utbredda spänningsfält möts finns utbredda noder. Utbredda spänningsfält kan uppkomma vid t.ex. utbredda laster och utbredda stödreaktioner. En utbredd nod har inga geometriska begränsningar och kan inte bli överbelastad. Om noden skulle bli hårt belastad kan noden, genom plastiska omlagringar, öka sin utbredning. (Betongföreningen, 2012) 16

25 3 Metod Med hjälp av skivprogrammet från FEM-design 17 kommer spänningsfördelningen av väggskivan att användas som underlag för kommande handberäkningar för fackverket. Ett ramverksprogram från FEM-design 17 kommer även att användas för framtagning av stångkrafter i fackverket och jämföras med resultat från handberäkningar. På liknande sätt kommer även stödreaktionerna att undersökas. Metod för handberäkningarna är baserad från Eurokod 2 och med hjälp av Betongföreningen (2012) för tolkningar av reglerna. Beräkningsformler och koefficienter som används kommer att inte specificeras vart dem är tagna utan läsarna hänvisas till Isaksson et al.,(2016), Betongföreningen (2012) och Eurokod 2. I figur 11 (på nästa sida) kan man följa stegvis alla moment som har gjorts och de moment som har jämförts med FEM-design och hanberäkningar. 17

26 Figur 11. Visar en detaljerad bild av studiens dimensioneringsprocess, och jämförelse mellan olika metoderna som har använts för samma steg 18

27 3.1 Framtagning av spänningsfördelningen med hjälp av FEM-design Med hjälp av skivprogrammet från FEM-design 17 kan spännings- och kraftfördelningarna i väggskivans struktur tas fram och därmed fås en visuell inblick av fördelningarna. Därmed kan ett representativ fackverk formas. I detta avsnitt kommer en stegvis beskrivning hur studiens modell tagits fram från start till slut samt framtagningen av spännings- och kraftfördelningarna. Linjelaster som har använts i detta kapitel har tagits från bilaga D Väggskiva Sektionsritningen av väggskivan, se figur 12, har tillhandahållits av WSP. Figur 12. Den antagna väggskivan markerad i rött, upplag A i gult och upplag B i blått. Väggskivan som ska dimensioneras är markerad i rött. Enligt sektions- och planritningarna har väggskivan antagits ha en längd på 9703mm, tvärsnittshöjd på 2770 mm (med bjälklaget) och en väggtjocklek på 200 mm. Upplag A, markerad i gult, har antagits vara en ortogonal underliggande vägg med tjockleken 200 mm. 19

28 För upplag B, markerad i blått, har antagits vara en betongpelare med en bredd på 600 mm samt en ovanliggande betongbalk med höjden 950 mm. På grund av utformningen kan en förlängning av pelarens bredd antas. Upplagsspänningen från betongpelaren sprider sig med en lutning på 2:1 ( 63,43 ), enligt 2-1 metoden, fram tills den når väggskivan. Därför antas den nya effektiva upplagslängden vara: 950 l eff.upplag = tan(63,43) = 1075, mm Utformningen av väggskivan När programmet startas fås en förfrågan om vilken nationell bilaga av Eurokod som ska användas, se figur 13. I studiens fall har svenska normer använts. Figur 13. Nationella bilagor av Eurokod. I 3D Structure används ett koordinatsystem med x-, y- och z-koordinater i form av ett rutnät på 2x2 meter som förinställningar. Med Plane wall under fliken Structure kan konfigurationer av väggskivan ställas in, se figur 14 (på nästa sida). 20

29 Figur 14. Arbetsvyn för FEM-design. Röd markerade funktionen visar Plane wall. Tvärsnitthöjden sätts till 2,77m, t1 och t2 sätts till 0.2m (tjocklek på väggen) samt Above ikryssat. Med Default settings, röd markerad i figur 15, ställs betongsorten C30/37 in. Figur 15. Default settings. 21

30 Vid rutnätet kan väggskivans koordinater ställas in i den nedre vänstra kommandofältet. Den första punkten i koordinatsystemet sätts ut enligt figur 16, där första nollan är i x-led (grön pil), andra nollan i y-led (röd pil) och tredje nollan är i z-led (blå pil). Med kommatecken mellan siffrorna skiljs leden åt. För att få koordinaterna angivna avlutas kommandot med Enter. Figur 16. Kommandofältet. Den andra punktenens koordinater sätts enligt figur 17. Noterbart är att FEMdesign använder sig av punkt som skiljetecken. Figur 17. Koordinater angivna i kommandofältet. Med South view (Alt+F2 på tangentbordet), se figur 18 (på nästa sida), fås en 2-D vy som underlättar för placeringen av upplagen och linjelasterna. 22

31 Figur 18. South view. Röd markerade funktionen är Point support group. Med Point support group och Default settings kan upplagen konfigueras under fliken Data. Första upplaget som ska vara ett så kallad fixlager ställs in som i figur 19. Figur 19. Konfigurationer för ett fixlager. På samma sätt som utformningen av väggskivan kan upplagets läge placeras ut med koordinater. Totala bredden på upplag A antas vara 200 mm och därmed verkar upplagskraften i centrum av upplaget, alltså 100 mm från väggskivans kant. Figur 20. Koordinater för upplag A (fixlager). 23

32 Upplaget B är uppdelat till två upplag R b1 och R b2. Båda ska fungera som rullager och placeras ut 6500 mm respektive 7037,5 mm från väggskivans vänstra kant med följande konfigurationer enligt figur Skillnaden mellan upplag B jämfört med upplag A är att Kx sätts till free. Figur 21. Konfigurationer för rullager. Figur 22. Placering av upplaget R b1. Figur 23. Placering av upplaget R b2. 24

33 Figur 24. Placering av upplagen. När båda upplagen har blivit utsatta är utformningen av FEM-modellen klar och bör likna figur 24. Linjelasterna skapas med Load cases där ett nytt fönster kommer upp. Dem döps och ställs in till Ordinary samt Permanent enligt figur 25. Figur 25. Inställningar för linjelasterna. Med Line load kommer ett nytt fönster fram och den övre lasten ställs in till kn/m. Linjelasten kan placeras ut med hjälp av koordinater eller med muspekaren och ska verka ovan väggskivan. 25

34 Figur 26. Väggskiva med upplag och den övre linjelasten. Röd markerade området visar hur linjelasterna kan växlas sinsemellan. Den röd markerade området i figur 26 kan linjelasterna växlas emellan. På samma sätt som den övre linjelasten kan den nedre linjelasten på 100,79 kn/m ställas in enligt figuren nedan. Figur 27. Den nedre linjelastens värde. Den nedre linjelasten placeras ut på en höjd på 270 mm (motsvarande bjälklagets höjd). Figur 27 visar den nedre linjelastens värde och figur 28 visar linjelastens koordinater. Figur 28. Figuren ovan visar startkoordinaten och figuren nedan visar slutkoordinaten för den nedre linjelasten. 26

35 När båda linjelasterna är utplacerade ska lasterna kombineras. Detta görs under fliken Loads och ett nytt fönster startas. Konfigurationer enligt figuren nedan. Figur 29. Konfiguration för lastkombinationen. När konfiguration är gjord kan väggskivan analyseras. Under fliken Analys finns Calculate som startar analysen. Klickboxen med Load combinations ska vara ikryssat och sedan OK. När analysen är klar kan New result fram som visar kraftfördelningarna. användas. Figur 30 visar hur N1/N2 kan tas Figur 30. N1/N2. Visar resultat för spänningsfördelningen. 27

36 Med Increase scale kan krafterna förstoras till en önskvärd skala. På samma sätt kan upplagsreaktioner visas på New result, se figur 31. Figur 31. Reactions. Visar resultat för reaktionskrafterna (upplagskrafterna) Därefter behöver upplagen markeras med funktionen Numeric value upplagskrafterna ska visas. för att Under fliken Finite elements kan Average surface element size användas för att manuellt ändra på meshstorleken. Hela väggskivan kan markeras med ett svep från höger till vänster, med vänster musknapp. Vid rätt utförande ska ett nytt fönster dyka upp enligt figur 32. Figur 32. Den röd markerade området kan storleken på elementen (mesh) manuellt ställas in. 28

37 Ju mindre storlek som väljs ju finare mesh kan fås, dock leder det att till fler ekvationer ska lösas och därmed längre beräkningstider. Noterbart är att för varje ny mesh eller ändring som sker måste en ny analys utföras. 3.2 Metod för dimensionering Hållfastheter i brottgränstillståndet Som tidigare nämnt har betong olika hållfastheter beroende på vilken riktning som kraften belastar. För att utföra denna studie behövs den dimensionerande betonghållfastheten för tryck. Noterbart är att betong även har en draghållfasthet, som motsvarar ungefär en tiondel av tryckhållfastheten, men tas vanligtvis inte till hänsyn vid dimensionering av betong. Dimensionering av betonghållfastheter bestäms enligt Eurokod 2. Betonghållfastheten för tryck: f cd = α cc * f ck ϒ c där α cc beaktar tryckhållfasthetens långtidsegenskaper och ogynnsamma effekter av lastpåföring och antas vara = 1 f ck betongens karakteristiska hållfasthetsvärde ϒ c partialkoefficient för betong, som är lika med 1,5 Standardarmeringen som antas vara K500B-T och dimensionerande hållfastheten, f yd, blir följande: f yd = f yk ϒ s där f yk armeringens karakteristiska hållfasthetsvärde ϒ s partialkoefficient som är lika med 1,15 29

38 3.2.2 Stödreaktioner För beräkning av stödkrafter, R A och R B, blir följande: R A + R B = (Q Ed1 + Q Ed2 ) l a där Q Ed1 övre linjelast Q Ed2 nedre linjelast väggskivans längd l a Momentjämvikt kring stöd A ger: R B = där l b ( Q Ed1 l a 2 2 spännvidd + Q Ed2 l a 2 ) 2 l b R A = (Q Ed1 + Q Ed2 ) l a R B Lastdelare, inre hävarm och vinklar En lastdelare behöver beräknas för att fördela linjelasten mellan stöden. Lastedelarens längd med hänsyn från upplag A blir följande: l ld = där R A (Q Ed1 + Q Ed2 ) l ld lastdelarens längd med hänsyn från kant (stöd A) Enligt Betongföreningen (2012) spelar det ingen roll om lasten belastar på ovankant eller underkant för bestämning av den inre hävarmen. Detta är på grund av att den inre hävarmen är en konsekvens vid val av vinklarna och jämvikten. För att inte en allt förenklad modell ska antas med hänsyn av kraftflödet kan en delning över ett rullstöd (beroende på fall) där stora krafter förväntas uppstå. En varsin del av stödet, stöd del1 och stöd del2, ska ta upp lasten på sin respektive sida av 30

39 lastdelaren. Delarnas längd, l del1 och l del2, ska förhållande i mellan delarnas lastupptagning motsvara samma andel. Enligt Betongföreningen (2012) ska extrema fackverksmodeller undvikas även om jämviktsvillkoren är uppfyllda och eniga med plasticitetsteorin. Därför bör vinkeln ϴ, mellan trycksträva och dragsträva, inte vara allt för liten och kan därmed väljas till: ett rekommenderad värde på 60 när en sned trycksträva möter ett enstaka dragstag men kan minst vara 45 till högst 70. ett rekommenderat värde till 45 när en trycksträva går in mellan två dragstag som ligger vinkelrätt i förhållande till varandra, dock ska helst inte understiga 30 på någon av sidorna. Vid en eller några valda vinklar blir resterande vinklar i modellen bestämda och därmed blir valfriheten begränsade. Därefter kan den inre hävarmen beräknas och resterande vinklar med hjälp av trigonometri. Om en vald vinkel resulterar att hävarmens längd blir längre än väggskivans tvärsnittshöjd kan antingen ett lägre värde på vinkeln antas eller genom beräkning av både det övre och nedre dragstagens höjd. I sådant fall behövs en beräkning av: u = 2 a där a, se figur 33, är avståndet mellan nodens centrum till väggskivans kant. Figur 33. Olika avstånd för a, u, c och c nom. 31

40 c = max{k 1 * ø, d g + k 2, 20mm} där k 1 rekommenderat värde = 1 ø stångdiameter d g ballastens maximala storlek rekommenderat värde = 5 mm k 2 Täckande betongskikt, c nom, är beror av betongkonstruktionens exponering, tilltänkta livslängd samt betongens vattencementtal och blir följande: där c nom = c min + c dur c min är maximala av: - vidhäftning c min,b : max {ø, 10mm} eller - skydd av armering c min,dur : {Xx, LL, vct} 1 Avståndet c kan sedan beräknas genom att addera skikten. Med en given tvärsnittshöjd kan sedan den inrehävarmen beräknas. Noterbart att det inte förekommer någon rekommendation från Eurokod 2 på hur högt avståndet c får vara eller icke vara, men något finns i andra utländska normer Fackverkets komponenter För varje komponent ska följande villkor uppfyllas: σ Ed < σ Rd där σ Ed σ Rd belastande spänning på fackverkskomponenten komponentens maximala spänningskapacitet 1 Xx = exponeringsklass, LL = livslängd, vct = vattencementtal 32

41 3.2.5 Noder Nodområdets höjd, som betecknas med ett u, vid upplag kan, enligt Betongföreningen (2012) och Kurt Schäfer (1999), bero på följande: Val av upplagslängd a 1 med hänsyn till nodens tryckhållfasthet med avseende av stödkraften Armeringens lagerfördelning Förankring av armeringen Eventuell inläggning av tvärkraftsarmering Tolkningen av placeringen för noderna är att dem ska vara i krafternas verkningscentrum. För upplag med en upplagskraft placeras den i centrum av upplagens längd och för upplag med delningar placeras noderna i centrum av delningarnas längder. (Betongföreningen, 2012) Enligt Betongföreningen (2012) behövs kontroller på koncentrerade noder att utföras, dock behövs ingen när det gäller för utbredda noder. Dimensionerande hållfasthet för noderna, enligt Eurokod 2, blir följande: σ Rd,N = k n ύ f cd där σ Rd,N k n ύ f cd nodens max spänningskapacitet ett empiriskt värde som beror på nodtyp där: - noder utan dragband, k 1 = 1 - noder med dragband förankrad i en riktning, k 2 = 0,85 - noder med dragband förankrad i två riktningar, k 3 = 0,75 (1 f ck ) där f 250 ck = betongens karakteristiska tryckhållfasthet betongens dimensionerande tryckhållfasthet Enligt Eurokod 2 kan nodens spänningskapacitet ökas med upp till 10 % om minst ett av följande förekommer: Den utplacerade armeringen i noden är i flera lager Ett tryckspänningstillstånd i tre axlar Noden är omsluten av byglar och spänningsfördelningen är fördelade vid upplag eller punktlaster Noden har en omslutningseffekt genom friktion eller lageranordning Vinklarna mellan dragband och strävor är större än 55 33

42 3.2.6 Trycksträvor Max spänningskapacitet för betongen, σ Rd,C, motsvarar för dimensionerande betongtryckhållfasthet, f cd, och är den möjliga spänningen som den klarar av. σ Rd,C = f cd Trycksträvans belastande spänning, σ Ed,C, ska vara mindre än maximala spänningskapaciteten för att inte brott ska ske. σ Ed,C = C t h där C h t tryckkraften som belastar strävan strävans höjd väggens tjocklek Dragarmering Kraften som dragstaget utsätts för ska tas upp av erforderlig dragarmering. Dimensionering av dragarmeringen, A s, är följande: A s = T f yd där T f yd dragkraften armeringens dimensionerande hållfasthetsvärde Enligt Eurokod 2 (2005) bör avståndet, c (tidigare beskrivet i avsnitt ), mellan enskilda parallella stänger eller mellan horisontella lager av parallella stänger inte får vara lägre än följande: c = max{k 1 * ø, d g + k 2, 20mm} där k 1 rekommenderat värde = 1 ø stångdiameter d g ballastens maximala storlek rekommenderat värde = 5 mm k 2 34

43 Det rekommenderas av Betongföreningen (2012) att armeringen placeras i flera lager. Anledningarna är att en gynnsammare spänningsfördelning och en större utbredning av nodzonen kan uppnås Förankringslängd Armeringens förankring startar vid noden och bör sträcka sig genom hela nodens längd. En förankring bortom noden kan även ske vid enstaka fall. Den dimensionerande förankringslängden, l bd, är följande: där l bd = α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 l bd,rqd α 1 beaktar effekten av stängernas form, i studiens fall = 1 α 2 beaktar effekten av täckande betongskikt, α 2 = 1 0,15(c d ø)/ ø, dock 0,7 < α 2 < 1 i studiens fall antas c d = c nom = 30 α 2 = 0,925 α 3 beaktar omslutningseffekten av tvärgående armering, i studiens fall = 1 α 4 α 5 beaktar tvärarmeringens fastsvetsning, i studiens fall = 1 (finns ingen svetsning) beaktar omslutning genom tvärgående tryck, α 5 = 1 0,04 p, dock 0,7 < α 5 < 1, i studiens fall är p = 25,80 α 5 = 0,7 l bd,rqd erforderlig förankringslängd, = ø 4 σ sd f bd där σ sd = T A s Ø = armeringens stångdiameter f bd = 2,25 η 1 η 2 f ctd där η 1 är lika med 1,0 vid goda förankringsförhållanden eller 0,7 vid andra förhållande 35

44 η 2 antingen är lika med 1 för stänger ø 32 mm eller lika med (132 ø)/100 för stänger ø > 32 mm f ctd = α ct f,005 ϒ C där α ct f c,005 ϒ C beaktar hållfasthetsreduktion p.g.a långvarig belastning betongens draghållfasthet (5%-fraktilen) partialkoefficient för betong i brottgränstillståndet Eftersom en detaljutformning av armeringen inte kommer att utföras kommer därmed bara den dimensionerande förankringslängden, l bd, att undersökas Minimiarmering Enligt Eurokod 2 ska höga balkar armeras med en rutarmering i varje yta och vardera riktning med en area av minst A s,dbmin, som tolkas som följande: A s,dbmin = max{150 mm 2 /m, 0,001 * t} där t väggskivans/höga balkens tjocklek Största centrumavståndet, s max, är följande: s max = min{ 2 * t, 300 mm} Upphängningsarmering En last som belastar på underkant, som t.ex. bjälklag, ska hängas upp med upphängningsarmering. Dock kan minimiarmeringen utnyttjas som upphängningsarmering om den är tillräcklig, men i sådant fall ska en lämplig anslutning ske. Dimensionerande upphängningsarmering, A s,häng, är följande: A s,häng = Q f yd där Q f yd dimensionerande kraft armeringens dimensionerande hållfasthet 36

45 3.3 Stångkrafter i fackverket framtagen med FEM-design När FEM-programmet startas fås en förfrågan om vilken nationell bilaga av Eurokod som ska appliceras. I denna studie har den svenska bilagan använts. För att underlätta utformningen av fackverket används South view. Med Truss member kan stängerna skapas. Placeringen av stängerna sker med hjälp av koordinater, med x-, y- samt z-led, som ställas in på kommandofältet enligt figur 34 eller alternativt med muspekaren. Figur 34. Figuren ovan visar startkoordinaten och figuren nedan visar slutkoordinaten för stången. Stängerna i fackverket har koordinater som är baserad på handberäkna resultat från avsnitt 4 Resultat. Koordinaterna för hela fackverket kan ses från tabell 1. Tabell 1. Koordinater för fackverkets stänger. Stång Startkoordinat Slutkoordinat C 1 0.1,0,0 1.3,0,2.53 C 2 1.3,0, ,0,2.53 C ,0, ,0,0 C 4 6.4,0, ,0,0 C 5 6.4,0, ,0,2.53 T 1 0.1,0,0 6.4,0,0 T ,0, ,0,2.53 Upplagens konfigurationer för fixlager samt rullager sker på samma sätt som beskrivs under avsnitt Upplagen kan placeras med ut med muspekaren eller med koordinater som är enligt tabell 2. Tabell 2. Koordinater för upplagen. Upplag Koordinat Fixlager 0.1,0,0 Rullager (R b1 ) 6.4,0,0 Rullager (R b2 ) 6.938,0,0 37

46 Om hela fackverket är utformad med Truss member kan fackverket bara belastas med punktlaster. Om översta horisontella stängerna (C 2 och T 2 ) istället tas bort och ersätts med Beam kan linjelaster appliceras, dock måste längden av balken vara lika lång som den tilltänkta linjelasten. Koordinat för balken är enligt figur 35. Figur 35. Figuren ovan visar startkoordinaten och figuren nedan visar slutkoordinaten för balken. Linjelasterna Q övre och Q nedre summeras till en, som ska verka över hela balken, och blir totalt: Q övre + Q nedre = 296, ,79 = 397,06 kn/m Linjelasten kan appliceras med hjälp av samma koordinater som har angetts för balken eller med muspekaren. Figur 36. Färdiga modellen. Modellen ska därmed vara klar för analys och ska se ut som följande enligt figur

47 Figur 37. N. Visar resultat för normalkrafter (stångkrafter). Med Analys på Load cases och New result kan stångkrafterna (normalkrafter) tas fram, se figur 37. För att krafterna ska visas numerisk ska funktionen Automatic numeric values och Local minimum/maximum användas. 39

48 4 Resultat 4.1 Finita elementmodell Figur 38 och figur 39, visar spänningsfördelningarna i modellen med en varierande mesh. Figur 38. Modell med kubiska element på höjden 0,1 mm (mesh 0,1 mm). Figur 39. Modell med mesh på 0,05 mm. Med modellerna kan den representativa spänningsfördelningen på ett visuellt sätt beaktas. Färgade regionerna ska representera spänningskrafterna som uppstår, där den grönt representerar drag och rött representerar tryck. Modellerna användes som underlag för utformningen av fackverket där stängerna på ett godtyckligt sätt placeras i linje med drag- respektive tryckspänningarna. Författarnas utformade fackverk kan beaktas på figur 40. Figur 40. Fackverkets tilltänkta utformning med FEM-modell som underlag. Dem streckade linjerna representerar trycksträvor, heldragna linjerna representerar dragstag och vita punkterna som noder. 40

49 4.2 Beräkningsmodellen En beräkningsmodell har skapats med hjälp av bilagorna A, B och D, och läsarna hänvisas till bilagorna för framtagningen av linjelasterna. Modellen kommer att fungera som ett underlag för kommande handberäkningar i detta avsnitt. Figur 41 visar lastmodellens förutsättningar med mått och linjelaster. Linjelasterna har dimensionerande värden och tagits från bilaga D. Förutsättningar: Figur 41. Beräkningsmodellen. Måtten är i millimeter. Betong C30 med vct 0,5 Inomhuskonstruktion, exponeringsklass på XC1 Q,övre = 296,27 [kn/m] Q Ed,nedre = 100,79 [kn/m] Stödkrafterna blir följande: R A + R B = (Q Ed,övre + Q Ed,nedre ) l a = (296, ,79) 9,703 m 3852,67 kn Momentjämvikt kring stöd A ger: R B = ( (Q Ed,övre +Q Ed,nedre ) l a 2 ) 2 = l b 2820,90 kn ( (296,27+100,79) 9,7032 ) 2 6,626 m R A = 3852, ,90 = 1031,77 kn 41

50 4.2.1 Dimensionerande hållfastheter i brottgränstillståndet Dimensionerande betonghållfastheten för tryck är följande: f cd = α cc * f ck ϒ c = ,5 = Dimensionerande hållfastheten för standardarmeringen B500T, f yd, är följande: f yd = f yk ϒ s = 500 1,15 = Beräkning av lastdelaren, vinklar och inre hävarm Beräkning av lastdelaren: R A 1031,77 = Q Ed,övre +Q Ed,nedre 296,27+100,79 2,60 m En ny modell med lastdelarens mått kan ses på figur 42. Figur 42. Beräkningsmodellen med lastdelare och mått i millimeter. 42

51 En beräkning av R b1, R b2, l b1 samt l b2, se figur 43, är följande: Figur 43. Modell för beräkning av R b1, R b2, l b1 samt l b2. Mått i millimeter. R b1 = (Q,övre + Q Ed,nedre ) a = (296, ,79) 4, ,27 kn R b2 = (Q,övre + Q Ed,nedre ) b = (296, ,79) 2, ,05 kn Noterbart är att R B1 och R B2 ska tillsammans motsvara den totala stödreaktionen R B. Kontroll: R b1 + R b2 = R B = 2820,90 kn 1638, ,05 = 2820,32 kn OK! l b1 = R B1 * 1075 (Q,övre +Q Ed,nedre ) (a+b) = 1638,27 * (296,27+100,79) (4,126+2,977) mm R l b2 = B2 * 1075 (Q,övre +Q = 1182,05 * Ed,nedre ) (a+b) (296,27+100,79) (4,126+2,977) mm Kontroll: l b1 + l b2 = , ,55 = 1075 OK! 43

52 Figur 44. Nodernas beräknade placeringar. Totalt placeras sex noder ut. Placeringen av noderna kan ses över figur 44. Beräkning av det horisontella avståndet mellan noderna l nod12, l nod34 samt l nod56 är följande: l nod12 = = 1200 mm l nod34 = (1075) 2 + (624) 2 = 1837, mm l nod56 = = 1176, mm Figur 45. Vinklar i fackverket. Måtten i millimeter. Med en bestämd vinkel kan den inre hävarmen, z, bestämmas. ϴ 2 = 60 z = tan(60) mm > 2770 mm EJ OK! 44

53 Hävarmens längd vid 60 blir längre än väggskivans höjd. Därmed behöver hävarmen bestämmas antingen med ett lägre värde på vinkeln genom iteration eller genom beräkning av både det övre och nedre dragstagens höjd. I studiens fall har en beräkning gjorts. Väggskivans nedre dragstag antas armeras med fem lager med ø20 med ett minsta avstånd, c, mellan stängerna. c = max{ø, d g + k 2, 20mm}= 20 mm Konstruktionen är en inomhuskonstruktion med en exponeringsklass på XC1, C30 betong samt vct på 0,5. Täckande betongskikt, c nom, blir följande: c nom = c min + c dur = = 30 mm a nedre = c nom + ø+c+ø+c+ø+c+ø+c+ø 2 = 120 mm = = Det antas att det övre och nedre dragstagen är lika stora, därmed antas avståndet a övre lika med a nedre. Den inre hävarmen, z, blir följande: z = 2770 a nedre a övre = = 2530 mm När den inre hävarmen är bestämd kan vinkeln ϴ 2 bestämmas. ϴ 2 = arctan ( 2530 ) 54,02 > 45 OK! 1837 Resterande vinklar blir följande: ϴ 4 = ϴ 2 ϴ 3 = ϴ 5 = arctan ( 2530 ) 65,05 > 45 OK! 1177 ϴ 1 = arctan ( 2530 ) 64,62 > 45 OK!

54 4.2.3 Fackverkets stångkrafter Förutsättningar: ϴ 1 = 64,62 ϴ 2 = 54,02 ϴ 3 = 65,05 ϴ 4 = 54,02 ϴ 5 = 65,05 Figur 46. Fackverkets komponenter med vinklar. Krafterna som belastar fackverkets komponenter, se figur 47, blir följande: T 1 = C 1 = R A tan(θ 1 ) = 1031,77 489,48 kn (drag) tan(64,62) R A sin(θ 1 ) = 1031, ,99 kn (tryck) sin(64,62) C 2 = T 1 = 489,48 kn (tryck) C 3 = R b1 sin(θ 4 ) = 1638, ,50 kn (tryck) sin(54,02) R C b2 4 = tan(θ 3 ) = 1182,05 549,94 kn (tryck) tan(65,05) C 5 = R b2 sin(θ 3 ) = 1182, ,72 kn (tryck) sin(65,05) T 2 = C 4 = 549,94 kn (drag) 46

55 Tabell 3. Sammanfattning av stångkrafterna. Beteckning Kraft [kn] T T C C C C C R A R b R b Tabell 3 visar en sammanfattning av stångkrafterna erhållna från handberäkningar. 47

56 4.3 Stång- och reaktionskrafter från FEM-modellen En FEM-modell utformad efter den handberäkna fackverksmodellen visas i figur 47 och figur 48 med olika krafter. Tabell 4 visar verkande stångkrafter genom programmets analys. Figur 47. Fackverkets upplagsskrafter. Figur 48. Fackverkets sångkrafter. Tabell 4. Sammanfattning av stångkrafter. Beteckning Kraft [kn] T T C C C C C R A R b R b

57 4.4 Jämförelse mellan stångkrafter samt jämförelse mellan reaktionskrafter Ett jämförelseresultat på stångkrafterna och upplagskrafterna mellan den handberäknade modellen och FEM-design kan ses i tabell 5. Jämförelserna, presenteras i procentform med två decimaler, mellan resultat från FEM-design och hanberäkningen samt är baserad av följande formel: FEM design Handberäkning 1 Tabell 5. Jämförelseresultat för stångkrafterna mellan FEM-design och handberäkningar. Beteckning FEM-design Handberäkning Jämförelse T ,48 +6,24 % T ,94 +5,10 % C ,99 +6,31 % C ,48 +6,24 % C ,50-7,68 % C ,94 +5,10 % C ,72 +5,16 % R A ,77 +6,32 % R b ,27-7,70 % R b ,05 +5,16 % 4.5 Kontroller och dimensionering av armeringen Kontroll av noder För betong C30, beräknat på avsnitt 4.3.1, gäller följande hållfasthet: f ck = 30 MPa f cd = 20 MPa 49

58 Kontroll av kritiska noder där koncentrerade krafter förekommer ska kontrolleras och gäller för noderna 1,4 samt Nod vid upplag A: Förutsättningar: Figur 49. Nod vid upplag A. R A = 1031,77 kn (tryck) C 1 = 1141,99 kn (tryck) T 1 = 489,48 kn (drag) ϴ 1 = 64,62 k 2 = 0,85 a nedre = 120 mm u = 2 * a nedre = 240 mm l a = 200 mm t = 200 mm (skivans tjocklek) Beräkning av nodens hållfasthet blir följande: σ Rd,nod = k n ύ f cd = 0,85 (1 30 ) 20 = 14,96 MPa 250 Med flera lager av armeringen kan värdet på 14,96 MPa ökas med 10%. σ Rd,max = σ Rd,nod 1,1 = 14,96 1,1 16, 46 MPa Beräkning av a 1 som är trycksträvans längd blir följande: a 1 = l a sin(θ 1 ) + u cos(θ 1 ) = 200 sin(64,62) cos(64,62) 283, 56 mm 50

59 Belastande huvudspänningar från σ C1 och σ upplaga blir följande: σ Ed,C1 = C 1 t a 1 = 1141, ,56 20, 14 MP > σ Rd,max EJ OK! σ Ed,upplagA = R A = 1031, t l A , 79 MP > σ Rd,max EJ OK! Dem belastande spänningarna blir större än nodens hållfasthet. Förslagna åtgärder för noden: - Längd på upplaget/stödet kan ökas, dock behövs en omberäkning av fackverket. - Välj en betongsort med högre hållfasthet. - Armera med erforderlig tryckarmering för krafter som överstiger nodens hållfasthet Noder vid upplag B: Förutsättningar: R B = 2820,90 kn (tryck) R b1 = 1638,27 kn (tryck) R b2 = 1182,05 kn (tryck) Figur 50. Noder vid upplag B. l B = 1075 mm ϴ 2 = 54,02 t = 200 mm ϴ 3 = 65,05 u = 240 mm C 3 = 2024,50 kn (tryck) C 4 = 549,94 kn (tryck) C 5 = 1303,72 kn (tryck) 51

60 Beräkning av a 3 som är trycksträvans (C 3 ): a 3 = l B sin(θ 2 ) + u cos(θ 2 ) = 1075 sin(54,02) cos(54,02) 1010, 91 mm Beräkning av a 5 som är trycksträvans (C 5 ): a 5 = l B sin(θ 2 ) + u cos(θ 2 ) = 1075 sin(64,62) cos(64,62) 1074, 12 mm Belastande huvudspänningar från σ Ed,upplagB och σ Ed,c0 : σ Ed,upplagB = R B = 2820, t l B , 12 MPa < σ Rd,max OK! σ Ed,c0 = C 4 t u = 549, , 46 MPa < σ Rd,max OK! På grund av fackverkets jämvikt kan spänningarna från σ Ed,c3 och σ Ed,c5 inte vara högre än huvudspänningarna Kontroll av trycksträvor Förutsättningar: C 1 = 1141,99 kn C 3 = 2024,50 kn C 4 = 549,94 kn C 5 = 1303,72 kn t = 200,00 mm a 1 = 283,56 mm a 3 = 1010, 91 mm u = 240,00 mm a 5 = 1074,12 mm Trycksträva C 2 befinner sig mellan två utbredda noder och antas inte vara kritisk. För resterande trycksträvor C 1, C 3, C 4 samt C 5 antas att tvärgående spänning (drag) inte förekommer. Dimensionerande hållfasthet blir följande: σ Rd,strävor = f cd = 20 MPa Tryckkapaciteten, N Rd, för trycksträvorna vid respektive tryckzon blir följande: σ Ed,C1 = C 1 t a 1 = 1141, ,56 20, 14 MPa > σ Rd,max EJ OK! 52

61 σ Ed,C3 = C 3 t a 3 = 2024, ,91 10, 01 MPa < σ Rd,max OK! σ Ed,C4 = C 4 t u = 549, , 46 MPa < σ Rd,max OK! σ Ed,C5 = C 5 t a 5 = 1303, ,12 6, 07 MPa < σ Rd,max OK! Den belastande spänningen för sträva C 1 blir större än kapaciteten vid tryckzonen. Förslagna åtgärder: Armera med erforderlig tryckarmering eller tvärkraftsarmering för krafter som överstiger strävans kapacitet Beräkning av dragstag Dragstag T 1 Förutsättningar: T 1 = 489,48 kn (drag) f yd = 435 MPa Dimensionering av dragarmeringen, A s,t1, för dragstag T 1 : A s,t1 = T 1 = 489, f yd 435 = 1125,24 mm 2 Armeringsförslag: Dragstaget T 1 är en koncentrerad variant. Antag fem lager ø20. A s,t1 = 5 (π 10 2 ) = 1570,80 mm 2 OK! Utnyttjandegrad = 1125, ,80 71,22 % Dragstag T 2 Förutsättningar: T 2 = 549,94 kn (drag) f yd = 435 MPa 53

62 Dimensionering av dragarmeringen, A s,t2, för dragstag T 2 : A s,t2 = T 2 = 549, f yd ,23 mm 2 Armeringsförslag: Dragstaget T 2 är en utbredd variant. Enligt Betongföreningen (2012) föredras armeringen att läggas i flera lager än bara några få. Antag 2x9 ø10. A s,t2 = 2 9 (π 5 2 ) = 1413,72 mm 2 OK! Utnyttjandegrad = 1264, ,72 89,42 % Beräkning av förankringslängd Dragstag T 1 Förutsättningar: T 1 = 489,48 kn A s,t1 = 1570,80 mm 2 Dimensionerande förankringslängd l,1 för T 1 : l bd,1 = α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 l bd,rqd = 1 0, ,7 521,10 = = 337, 41 mm Dragstag T 2 Förutsättningar: T 2 = 549,94 kn A s,t1 = 1413,72 mm 2 Dimensionerande förankringslängd l,2 för T 2 : l bd,2 = α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 l bd,rqd = 1 0, ,10 = 300, 86 mm 54

63 4.5.8 Beräkning av minimiarmeringen Förutsättningar: t = 200 mm (väggskivans tjocklek) Väggskivans ska förses med en minimi rutarmering som är det maximala av antingen 150 mm 2 /m eller A s,min. A s,dbmin = 0,001 t = 0, (1000m m) = 200 mm 2 /m Minimi rutarmering = 200 mm 2 /m Största centrumavståndet ska vara det minsta av antingen 300 mm eller s max. s max = 2 t = = 400 Maxavståndet = 300 mm Armeringsförslag: En minimiarmering på ø8 s250 i varje yta och riktning. Ger ett värde på 201,06 mm 2 /m Beräkning av upphängningsarmeringen Förutsättningar: Q nedre = 100,79 kn/m f yd = 435 MPa Dimensionering av upphängningsarmeringen av betongbjälklaget (plan 2), A s,häng, är följande: eller där A s,häng = Q nedre = 100, = 231,70 mm 2 /m f yd 435 A s,häng = P plan 2 = 977, ,11 mm 2 f yd 435 P plan 2 totala dimensionerande last som belastar plan 2 enligt uträkningar från bilaga D.1. 55

64 5 Diskussion 5.1 Metoddiskussion Finita elementmetoden I praktiken för FEM är det i många fall nödvändigt att approximera en modell. Många gånger handlar det om komplexa problem som inte går att lösa om inte vissa förenklingar görs. Frågan som uppstår är hur mycket som kan förenklas kontra för kostnaden av noggrannheten för det verkliga resultatet. Därmed måste det finnas en balans för att ett rimligt resultat ska kunna uppnås. Avslutningsvis är det upp till konstruktören att tolka ett problem och avbilda det på bästa möjliga vis, så att osäkerheter och felvärden blir så minimala som möjligt Fackverksmodellering Fackverksmodellering är baserad på det nedre gränsvärdet av plasticitetsteorin som det tidigare har nämnts. Det betyder att resultaten kommer att vara på den säkra sidan och därmed inte helt överensstämmer med verkligheten. Därför kan armeringsåtgången bli större än vad som verkligen behövs. Vad som anses vara rimlig modell kan vara svårt att bestämma och det finns ingen riktlinje inom standarder. I studiens fall antogs vinklarna, mellan sträva och dragstag, till relativt höga värden på 64,62 (ϴ 1 ), 54,02 (ϴ 2 ) och 65,05 (ϴ 5 ). Hade vinklarna satts till lägre värden hade krafterna i dragstagen ökat samt att stagen hade blivit längre. Dock har det tidigare nämnts från rapporten av Jörg Schlaich, Kurt Schäfer och Mattias Jennewein att den rimligaste modellen anses vara den med kortast och minst dragstag. 5.2 Resultatdiskussion Först och främst bör det påpekas att författarna i denna studie är oerfarna inom området. Inlärning har skett under studiens gång och därför reserveras vi oss för eventuella misstolkningar eller missberäkningar på grund av okunskap. Något som kan ha påverkat resultatet i slutändan. Framtagna krafter med handberäkningen beror mycket på antaganden om fackverkets utformning. Valfriheten inom fackverksmodelleringen gör att flera utformningar av fackverket kan tas fram och vara rimliga. Därmed kan resultaten variera beroende vilken geometri som har valts och dessutom på vem som utför modelleringen. 56

65 På grund av väggskivans komplexa utformning har en del förenklingar antagits och kan ha gett avvikande resultat. Dimensionering för trycksträva C 1 och nod 1, som inte klarade av belastande spänningar, ligger troligtvis felet i antagande av upplaget. Upplaget antogs vara en underliggande vägg, enligt ritningar, med en tjocklek på 200 mm som går ortogonalt mot väggskivan. På sektionsritningen som visas på figur 10, under avsnitt , visar att upplaget kunde ha antagits med en större längd. Därför skulle den antagna modellen ha optimerats under studiens gång men det var något som inte undersöktes. Detta var på grund av dimensioneringen gjordes i ett sent skede av studien och på grund av tidschemat inte hann genomföras. Enligt Betongföreningen (2015) rekommenderas att utspridda dragstag, i studiens fall dragstag T 2, armeras med flera lager motsvarande en höjd av den inre hävarmen. Något som inte kunde genomföras med den antagna fackverksmodellen. För att rekommendationen skulle uppfyllas behövdes att den inre hävarmen skulle bli kortare, men det skulle även innebära en minskning av vinklarna. I studiens fall prioriterades rekommendationen av vinklarna ( 60 ) istället. Vad som är bättre att följa av rekommendationerna nämns inte från Betongföreningen. Jämförelseresultatet mellan krafterna, framtagna av handberäkningarna och FEManalysen, skiljde inte så mycket från varandra. Det kan tolkas som att med FEMdesign kan stångkrafter tas fram med en god tillförlitlighet. Dock måste flera andra fall undersökas samt studeras för att kunna validera och konstatera att krafter framtagna med FEM-design är godtagbara. En förenkling av processen kan uppnås och en tidsbesparing kan göras, dock finns inget konkret hur stor den är. 57

66 6 Slutsatser Fackverksmodellering kan anses vara ett visuellt verktyg för konstruktörer och är, ur en traditionell tillgångasätt, en iterativ process. För utformning av ett fackverk spelar därmed tidigare erfarenheter en stor roll. Med FEM-design 17 3D Structure kan utformningen av ett fackverk underlättas för konstruktörer, speciellt för oerfarna. Detta kan bli extra tydligt när det gäller komplexa betongkonstruktioner där tidigare fall inte kan jämföras. Fackverket kan formas efter spänningsfördelningarna visuellt och behöver inte antas som det görs ur en traditionell synpunkt. Jämförelseresultatet för upplagskrafterna och stångkrafterna visar att skillnaderna mellan beräkningar från FEM-design och för hand skiljer sig lite. Slutsatsen kan dras att FEM-design kan användas som kontroll för handberäkningarna eller som en snabb överslagsberäkning på hur stora krafter som verkar i fackverket. Detta under förutsättningen att finita elementmodellen har antagits och utformats på ett korrekt sätt efter lastfallen. Dock behöver fler andra lastfall undersökas för att metodens tillförlitlighet ska kunna säkerställas. Slutsatsen dras att det är fullt möjligt att dimensionera en väggskiva efter en spänningsfördelning framtagen av FEM-design 17 3D Structure, även om studiens fallresultat bör ha optimerats genom iteration. Genom att tidigt använda finita elementmodellens spänningsfördelning som underlag kan en tidsbesparing göras under utformningsfasen av fackverket, hur stor den är finns inget konkret på. Integreringen kan resultera i en effektivisering av metodiken som i slutändan bidrar till betongkonstruktioner i byggbranschen. Som tidigare nämnt, vid framtagning av spänningsfördelningen via det traditionella sättet kan oerfarna konstruktörer anta mer dragspänningszoner än verkligheten som leder till mer armering än nödvändigtvis. Med spänningsfördelningen erhållen från FEM minskar risken för sådana felantaganden. Mindre armering i konstruktionsdelen innebär mindre armeringsbehov, minskning av materialtransporter osv. Detta leder oss till slutsatsen att användning av FEM kan bidra till ett mer hållbart samhälle. 58

67 7 Förslag till framtida studier Förslag till framtida studier: Att fler andra lastfall undersöks med samma metod som studien. En undersökning på hur stor en tidsbesparing kan göras med metoden. En jämförelsestudie, för dimensionering av en diskontinuitetsregion, mellan endast handberäkningar och resultat endast från FEM-design. En undersökning med samma metodik som studien fast med ett annat FEMprogram, exempelvis ANSYS. 59

68 Referenser BE Group Sverige. (u.å.). Handbok Armering i grunden. Betongföreningen. (2012) Svenska Betongföreningens handbok till Eurokod 2 (Volym 1-2) (Betongrapport, nr 15, Utgåva 2, volym 1-2). Stockholm: Svenska Betongföreningen. Bruggi, M. (2009). Generating strut-and-tie patterns for reinforced concrete structures using topology optimization. Computers and Structures, 87, Från: Burström, P. (2007). Byggnadsmaterial: Uppbyggnad, tillverkning och egenskaper. Stockholm: Studentlitteratur Desnerck, P., Lees, J. M., & Morley, C. T. (2017). Strut-and-tie models for deteriorated reinforced concrete half joints (in press). Engineering Structures, 161(December 2017), El-Demerdash, W., El-Metwally, S., El-Zoughiby, M., & Ghaleb, A. (2016). Behavior of RC Shallow and Deep Beams with Openings Via the Strut-and-Tie Model Method and Nonlinear Finite Element. Arabian Journal for Science & Engineering (Springer Science & Business Media B.V. ), 41(2), Från: Heyden, S., Dahlblom, O., Olsson, A., & Sandberg G. (2017). Introduktion till strukturmekaniken. Lund: Studentlitteratur. Hutton, D.V. (2004). Fundamentals of Finite Element Analysis. New York: McGraw- Hill Isaksson, T., Mårtensson, A., & Thelandersson, S. (2016). Byggkonstruktion. Lund: Studentlitteratur. Jagota, V., Sethi, A. P. S., & Kumar, K. (2013). Finite Element Method: An Overview. Walailak Journal of Science & Technology, 10(1), 1 8. Från: m/login.aspx?direct=true&db=afh&an= &site=eds-live 60

69 Liang, Q. Q., Uy, B., & Steven, G. P. (2002). Performance-Based Optimization for Strut-Tie Modeling of Structural Concrete. Journal of Structural Engineering, 128(6), 815. Från: m/login.aspx?direct=true&db=afh&an= &site=eds-live Nilson, A., Darwin, D., & Dolan, C. (2008). Design of concrete structures. New York: McGraw-Hill Samuelsson, A., Wiberg, N.E. (1998). Finite element Method: Basics. Lund: Studentlitteratur. Schlaich, J., Schäfer, K., & Jenneewein, M. (1987). Toward a Consistent Design of Structural Concrete. PCI J., 32(3), Schäfer, K. (1999). Structural Concrete Deep beams and discontinuity regions (Vol. 3, Sektion 7.3). Stuttgart: Sprint-Druck Referenser för bilagor BeijerBygg. (u.å.). RÅSPONT 23x120MM G4-3 ANDSPONTAD. Hämtad , från: spont/r%c3%a5spont-23x120mm-%c3%a4ndspontad?artikel= Binab. (u.å.). Stark slityta med inbyggt tätskikt. Hämtad , från: we Gyproc. (2008). Produktblad - Gyproc GUE 9 Vindskydd Ergo Gyproc GU 9 Vindskydd [Broschyr]. Bålsta: Gyproc AB. Hämtad , från: Interni kakelstudio. (2012). Säkerhetsblad Granitkeramik [Broschyr]. Växjö: Interni Kakelstudio. Hämtad , från: ramik.pdf 61

70 Isaksson, T., Mårtensson, A., & Thelandersson, S. (2016). Byggkonstruktion. Lund: Studentlitteratur. Khärs. (2008). Teknisk specifikation Khärs trägolv, 15 mm [Broschyr]. Nybro: Khärs. Hämtad , från: Knauf. (u.å.). Aquapanel Outdoor. Hämtad , från: produkter/byggskivor-utvandigt/produkter-yttervagg-byggskivor-p- markt/aquapanel-outdoor?phpmyadmin=b385846a2f615fea1b8a3808f45801ba Knauf. (2017). Ventilerd fasadlökt VFL [Broschyr]. Åhus: Knauf Danogips. Hämtad , från: Lindab. (u.å.) Produktfakta ytterväggsreglar [Broschyr]. Båstad: Lindab AB. Hämtad , från: gproducts/se/technical/sky.pdf SprayTec. (u.å). Snabbguide för SprayTec sprutisolering - Kondenskontroll [Broschyr]. Trosa: SprayTec. Hämtad , från: Sto. (2014). Tekniskt faktablad Sto Putsbruk C [Broschyr]. Hämtad , från: Svensk standard, SS-EN Kategorier. (2005). Eurokod - Grundläggande dimensioneringsregler för bärverk. Stockholm: Swedish Standards Institute. Svensk standard, SS-EN Lastvärden. (2005). Eurokod - Grundläggande dimensioneringsregler för bärverk. Stockholm: Swedish Standards Institute. 62

71 TräGuiden. (2017). Dimensionerande last för takbalkar och takstolar. Hämtad , från: Vetra. (u.å.). Produktinformation Plattbärlag [Broschyr]. Helsingborg: Vetra Betongsystem AB. Hämtad , från: Wekla. (2015). Referensvärden för olika byggmaterial. Göteborg: Wekla AB. Hämtad , från: pdf Woody Bygghandel. (u.å.). Oljehärdad Board F 3X1220X2440. Hämtad , från: 63

72 Bilaga A. Belastande area I denna studie har ritningar från ett flerbostadshus tillhandahållits av WSP och författarna har fått tillåtelse att visa dessa ritningar i denna studie. Detta för att visa vilken area som är belastande för väggskivan som ska dimensioneras enligt Eurokod 2. Det första som behöver undersökas hur grundläggningen, hur det ser ut och vart väggskivan befinner sig i förhållande till grunden, se figur 1. Därmed kan den belastande arean för väggskivan på ett överslagsmässigt sätt tas fram. Figur 1. Grundläggningen på flerbostadshuset. Den helstreckade svarta linjen ska representera väggskivans position i förhållande till grundplanen. Ritningen är från WSP. Med hjälp av programmet Revit har en rekonstruktion av väggskivan och den belastande arean gjorts enligt måtten från olika planritningar. Detta för att underlätta för läsarna och få en modell av den tilltänkta arean som ska beräknas samt dess mått. Figur 2 visar en sektion av byggnaden, figur 3 visar planritning på plan 1 och 2 vid väggskivan, samt figur 4 visar rekonstruktionen. 64

73 Figur 2. Sektionsritning. Ritningen är från WSP. Figur 3. Planritningar. Ritningen till vänster (t.v.) är plan 1 med belastande zoner och den till höger (t.h.) är plan 2 där väggskivan (helstreckade linjen) är lokaliserad. Ritningarna är från WSP. 65

74 Figur 4. Rekonstruerande plan med väggskivan och den belastande arean. I den rekonstruerande planen har även ytterväggar och en skalvägg lagts till för att dem anses ge en last. Dem grönmarkerade pilarna visar avståndet i millimeter från systemlinje B och respektive systemlinje 2. Den belastande arean har delats upp till olika zoner. Uppdelningen underlättar beräkningen av arean samt att inom dessa zoner förekommer det olika egentyngder och nyttiga laster. Med hjälp pilmåtten kan dessa zoners area beräknas. I beräkningar för arean kommer två gällande siffror att antas för avrundning till kvadratmeter, se tabell 1. Tabell 1. Beräkning av arean per zon. Zon Mått [mm] Area Zon 1. a ( ) ( ) mm 2 3,83 m 2 Zon 1. b ( ) ( ) mm 2 4,78 m 2 Zon 2. a ( ) ( ) mm 2 9,93 m 2 Zon 2. b ( ) ( ) mm 2 26,99 m 2 Zon 3 ( ) ( ) mm 2 14,81 m 2 Under senare del av avsnittet och bilaga C (lastnedräkning) kommer zon 1 och zon 2 att hänvisas till och motsvarar en sammanslagning mellan zon 1.a och zon.1.b 66

75 respektive zon 2.a och 2.b. Zon 1 = Zon 1. a + Zon 1. b = 3,83 + 4,78 = 8,61 m 2 Zon 2 = Zon 2. a + Zon 2. b = 9, ,99 = 36,92 m 2 Våningsplanen från 3 till 5 har en likadan utformning och därmed behövs bara ett representativ plan. Rekonstruktionen för den representativa planen, se figur 5, är skillnaden jämfört med plan 2 att zon 1 är ersatt med en balkong. Figur.5. En representativ plan för våningsplan 3,4 och 5. Arean för balkongen är följande: Balkong = ( ) ( ) = = 7,15 m 2 Takplanets utformning enligt sektionsritningen, figur 2, har en varierande form över hela planet. I denna studie kommer takplanet antas vara plant och ha en belastande area enligt figur 6. 67

76 Figur 6. Takplanet. Arean för balkongen antas vara följande: Tak = Zon 2 + Zon 3 = 36, ,81 = 51,73 m 2 Noterbart är att liten area, som motsvarar för en utstickande del av ytterväggen, inte tagits till hänsyn vid beräkning av takarean. Detta är på grund av att den anses vara marginell. Sammanfattningsvis kan belastande area för varje våningsplan ses över i tabell 2. Tabell 2. Sammanfattning av belastande area per våningsplan. Plan Belastande zoner Total area 2 1,2, 3 8, , ,81 = 60,34 m 2 3 2, 3, balkong 36, ,81 + 7,15 = 58,88 m 2 4 2, 3, balkong 36, ,81 + 7,15 = 58,88 m 2 5 2, 3, balkong 36, ,81 + 7,15 = 58,88 m 2 Tak 2, 3 36, ,81 = 51,73 m 2 Uträkningar i denna bilaga kommer att utgöra den geometriska modellen för senare beräkningar av lastmodellen. 68

77 Bilaga B. Materialdata på olika konstruktionsdelar Konstruktionsdelarnas olika material som har tagits med i lastnedräkningen. Figurerna är rekonstruktioner av byggnadsdelarna och har efterliknats så mycket som möjligt. En del material, i jämförelse med tabellen och dess respektive figur, har inte tagits med på grund av en för liten tunghet och hade gett någon en marginell påverkan. B.1 BJK 01 Tabell 3. Materialtyngd för BJK 01. Figur 7. Bjälklag 01 som användes invändigt på plan 3,4 och 5. Material [kn/m 2 ] Referens Övergolv 0,1 Kährs (2008) Material Tunghet [kn/m 3 ] Referens Betong 24 Wekla (2015) Plattbärlag 25 Vetra (u.å.) Övergolvet har antagits vara ett parkettgolv från Khärs med en vikt på 10 kg/m 2. Det ger efter beräkning motsvarande last på 0,1 [kn/m 2 ]. En plattbärlag med 50 mm tjocklek har, enligt Vetra, en vikt på 1250kg/m 2 och motsvarar en tunghet på 25kN/m 3 efter beräkningar. 69

78 B.2 BJK 02 Tabell 4. Materialtyngd för BJK 02. Figur 8. Bjälklag 02 som förekommer utvändigt och under mark. Material Tunghet [kn/m 3 ] Referens Jord 18 Emanuel Martinell Gjutasfalt 23,5 Binab (u.å.) Fallbetong 24 Wekla (2015) Betong 24 Wekla (2015) Plattbärlag 25 Vetra (u.å.) I detta fall har en del material inte tagits till hänsyn. Det gäller fiberduk, cellplast XPS200, Enkadrain (dräneringsmatta) och YEP 600 (tätskikt). Informationen för jord har fåtts fram genom samtal med Emanuel Martinell från WSP. 70

79 B.3 BJK 03 Tabell 5. Materialtyngd för BJK 03. Figur 9. Bjälklag 03 som förekommer på plan 1. Material [kn/m 2 ] Referens Övergolv 0,1 Kährs (2008) Material Tunghet [kn/m 3 ] Referens Betong 24 Wekla (2015) Plattbärlag 25 Vetra (u.å.) Spraytec G 0,55 SprayTec (u.å.) Enligt Byggvarubedömningen har Spraytec G en densitet på kg/m 3. I denna studie har det högsta värdet antagits. Efter beräkning motsvarar det en tunghet på 0,55 kn/m 3. 71

80 B.4 BJK 07 Tabell 6. Materialtyngd för BJK 07. Figur 10. Bjälklag 07 som förekommer på takplanet. Material Tunghet [kn/m 3 ] Referens Betong 24 Wekla (2015) Plattbärlag 25 Vetra (u.å.) B.5 TD06 Byggnadens takform varierade över den lastpåverkande arean. Därför har det antagits att takkonstruktionen TD06 vara utbredd över hela arean. Detta på grund av att göra beräkningen lättare och det blir därmed en förenkling av problemet. Figur 11. Takplanet. 72

81 Tabell 7. Materialtyngd för TD06. Material Tunghet [kn/m 3 ] Referens Råspont 4,6 Beijer Bygg (u.å.) Oljad Board 10,13 Woody Bygghandel (u.å) Betong 24 Wekla (2015) Plattbärlag 25 Vetra (u.å.) Mineralull 0,25 Wekla (2015) Gips 9,5 Wekla (2015) Material [kn/m] Referens Limträ 0,1347 TräGuiden (2017) Råspontens densitet på 460 kg/m 3 togs från Beijer Byggs hemsida som kan hittas under fliken Teknisk specifikation. Mineralullen togs med i beräkningen på grund av mängden som behövdes och antogs kunna ge en liten lastpåverkan. B.6 BB Figur 12. Betongbalk. Tabell 8. Materialtyngd för BB. Material Tunghet [kn/m 3 ] Referens Betong 24 Wekla (2015) 73

82 Enligt ritningar från WSP har en betongbalk en bredd på 600 mm och en höjd på 950 mm. Betongbalkarna har olika numreringar och dem som kommer att ge en påverkande last på väggskivan är betongbalkarna BB08, BB09, BB10 samt BB11 enligt ritningen. B.7 IVB1-200 Tabell 9. Materialtyngd för IVB Figur 13. Väggskivan som ska dimensioneras. Material Tunghet [kn/m 3 ] Referens Armerad betong 25 Isaksson et al. (2016) 74

83 B.8 IVB2-200 Tabell 10. Materialtyngd för IVB Figur 14. Innerväggar som förekommer på plan 3,4 och 5. Material Tunghet [kn/m 3 ] Referens Betong 24 Wekla (2015) Plattbärlag 25 Vetra (u.å.) B.9 YV1A Figur 15. Ytterväggen YV1A finns på plan 3,4 och 5. 75

84 Tabell 11. Materialtyngd för YV1A. Material Tunghet [kn/m 3 ] Referens Fasadputs 19 Sto (2014) Aquapanel Outdoor 11,5 Knauf (u.å) Mineralull 0,25 Wekla (2015) Regel (trä) 5,5 Wekla (2015) Gips 9,5 Wekla (2015) Material [kn/m 2 ] Referens Utvändig skiva 0,072 Gyproc (2008) Material [kn/m] Referens VFL Ventilerad fasadläkt 0,0083 Knauf (2017) Stålprofil 0,0239 Lindab (u.å.) Alla ytterväggens olika materialdelar togs med i beräkningen för att författarna ansåg att alla delar tillsammans skulle i det stora hela ge en påverkande last. Eftersom ingen tjocklek på fasadputsen inte fanns med i beskrivningen så antogs det till 20 mm. För den utvändiga 10 mm skivan har enligt Gyproc en massa beskrivet per area. Stålprofilen och den VFL ventilerad fasadläkten har enligt produktbeskrivningarna en vikt beskrivet med enheten kg per meter eller löparmeter. Efter beräkning har ovanstående siffror tagits fram. B.10 YV1B Figur 16. Ytterväggen YV1B finns på plan 2. 76

85 Tabell 12. Materialtyngd för YV1B. Material Tunghet [kn/m 3 ] Referens Granitkeramik 23 Interni Kakelstudio (2012) Fasadputs 19 Sto (2014) Aquapanel Outdoor 11,5 Knauf (u.å.) Mineralull 0,25 Wekla (2015) Regel (trä) 5,5 Wekla (2015) Gips 9,5 Wekla (2015) Material [kn/m 2 ] Referens 10 Utvändig skiva 0,072 Gyproc (2008) Material [kn/m] Referens 25 VFL Ventilerad fasadläkt 0,0083 Knauf (2017) 100 Stålprofil 0,0239 Lindab (u.å.) B.11 Väggskivans skalvägg Väggskivan och ovanstående väggar har en utstickande del som exponeras mot klimatet och har därmed fått benämningen skalvägg. Figur 17. Väggskivans skalvägg. 77

86 Tabell 13. Materialtyngd för väggskivans skalvägg. Material Tunghet [kn/m 3 ] Referens Puts 9,5 Wekla (2015) Isolering 0,25 Wekla (2015) Ingen specifik isolering stod beskrivet på ritningen och har därmed antagits ha en tunghet på 0,25 kn/m 3. B.12 BALKONG Tabell 14. Materialtyngd för balkong. Figur 18. Balkong som finns på plan 3,4 och 5. Material Tunghet [kn/m 3 ] Referens Armerad betong 25 Isaksson et. al (2016) 78

87 Bilaga C. Reduktionsfaktorer på nyttig last Utrymmen i byggnader ska delas in olika kategorier beroende den tilltänkta användningen. Det kategoriseras enligt figur 19. Figur 19. Figuren är tagen från SS-EN Kategorier Nyttiga laster, jämnt utbredd (q k ) och koncentrerad last (Q k ), som beror på användningsområden kan beskrivas av med hjälp av karakteristika värden, se figur 20 (på nästa sida). 79