Bestämning av E-modul

Bestämning av E-modul Tag fram en mätplan och upprätta mätprotokoll, konsultera gärna laborationshandledaren innan mätningarna startar. Dokumentera den experimentella uppställningen. Genomför mätningar. Städa. Fyra laborationer utförs för statisk belastning av en konsolbalk, egensvängningar hos samma balk, torsionssvängningar i hängande pendel och knäckning av rak balk. Syftet med laborationerna är att mäta elasticitetsmodulen, E, förstål.bestämningenave baseras på uppmätta tider alternativt förskjutningar. Genomförandet kräver att lämplig teori tas fram för varje specifikt fenomen. Exempel återfinns i ett Appendix. Teori. Dimensionslösa grupper tas fram enligt följande. Lista relevanta parametrar för experimentet samt ange parametrarnas enheter. Följande beteckningar för enheterna skall användas: Enhet Beteckning exempel massa M kg, g, lbp längd L meter, tum, aln kraft F N, pound, kilopond tid T s, timmar, år Vilket sortsystem som väljs är irrelevant. Dock måste sambandet F = ML/T 2 gälla. Välj en ev flera parametrar som referens för var och en av de enheter som används. Definiera dimensionslösa grupper enligt labhandledarens anvisningar. Mätningar. Genomför mätningar under varierade förutsättningar såsom olika längder, olika massor etc. Beskriv vilka mätningar som gjorts och hur de genomförts. Resultat. Beskriv resultatet och observationer under mätningarna. Fastställ framtagna samband. lämna mätprotokollet som bilaga. Feluppskattning. Alla mätningar innehåller fel. Gör en uppskattning av det relativa felet för varje instrument som används, dvs. linjal, våg etc. Logaritmera och derivera för att uppskatta maximalt fel för E. 1. Statisk böjning Böjning av en balk, platta eller annan tunn struktur betyder förskjutning främst sker i strukturens normalriktning. Mät nedböjningen i den fria änden av en belastad konsolbalk. Mät nedböjningen under olika krafter. För att kunna dra slutsatser kring experimentet varieras även balkens längd och tvärsnitt. Balken fixeras med hjälp av en tving och sedan appliceras en tyngd ytterst på balken och förskjutningen mäts. När man ska göra detta prov kan man sätta fast ena sidan av skivan och den andra får hänga löst. Tillgängliga vikter används för att kombinera ihop minst fem olika belastningar. mätningen utförs för minst två olika balklängder. För mätningarna behövs en linjal, två balkar, en mikrometerskruv skruvtvingar och ett stabilt bord. 2. Böjsvängningar Samma som föregående men balken sätts i självsvängning och svängningstiden mäts. Förutom tidigare materiel behövs även ett tidtagarur. 1

Figure 1: Böjning av svängande och statisk balk 3. Torsionssvängningar Vridning är deformation kring en rotationsaxel, till exempel när en stång eller balk som är fäst i sin ena ände vrids runt sin längdaxel. Vridning skapas av vridmoment. Kopplas rörelsetröghet till deformationen så får man en svängningsrörelse, sk. torsionssvängningar. Studera torsionssvängningar hos en massa fäst i nederänden av en hängande stållina. Mät svängningsfrekvensen. Variera linans längd, storleken på massan och dess form. En ståltråd hängs upp i taket och en hållare monteras så att vikter kunde fästas i trådens nederdel. Vikterna vrids en till en vald vinkel och släpps. Här varieras den pålagda massan, längden på linan samt diametern på massan som appliceras längst ner på linan. För mätningarna behövs ståltråd med upphängningsanordning och ställning för vikter. tidtagarur och linjal. 4. Knäckning Knäckning är ett instabilitetsfenomen för långsmala kroppar som är belastade med en tryckkraft i sin längsriktning. Fenomenet innebär att vid en viss kritisk last, den så kallade knäckkraften, sker en kraftiga förskjutningar i strukturens normalriktning. Så länge kraften understiger knäckkraften sker en mycket liten formförändring. 1. Belasta en sträva axiellt till dess att strävan finner två stabila jämviktslägen. Mät kraft. Variera strävans tvärsnitt och längd. Två olika långa strävor används. För att beräkna knäckkraften placeras strävan i en belastningsställning och vikter appliceras successivt samtidigt som utböjningen dokumenteras. Den längre balken finns i två upplagor och mätningarna utförs två gånger för att öka mätnoggrannheten. för experimentet behövs vikter, linjal, mikrometerskruv och våg. 2

Figure 2: Torsionspendel APPENDIX A. Analys av dimensionslösa grupper. Antag att vi har de dimensionslösa grupperna g 1,g 2,g 3,g 4, etc. De bildar uttrycket g1 g 2 g 3 g4 apple...gn = konst. Bland grupperna kan det finnas sådana som inte påverkar experimentet. De avslöjar sig så småningom av att tillhörande exponent är noll. Man vet inte detta på förhand. Normalt så finns det grupper med variabler som man helt säkert vet måste ha en exponen som inte är noll. Exponenten för en av dessa kan man sätta till 1. Valet kan göras godtyckligt. Vi får g 1 g 2 g 3 g 4... = konst. Anta att vi har n grupper och n-1 okända exponenter och den okända konstanten. Förändra förutsättningarna i experimentet på olika sätt. Man måste ändra last, längd, tvärsnittsmått etc. Tilläckligt många olika förändringar för att alla exponenter skall kunna beräknas. Logaritmera g1 g 2 g 3 g4 apple...gn = konst (1) till log g 1 + log g 2 + log g 3 + log g 4 +... + log g n = konst 0 (2). APPENDIX B. Exempel enaxlig dragning. Stången har gjorts tunn för att få en mätbar förlängning. De relevanta storheterna uppfattas vara stångens längd, l, diameter, D, densitet,, tyngdaccelerationen, g, den koncentrerade massan, m, elasticitetsmodulen, E och förlängningen,. Med L, M, T, F som enheter för längd, massa och tid får vi följande dimensioner för var och en av dessa: 3

storhet dimension D [L] l [L] [M/L 3 ] g [L/T 2 ] m [M] E [F/L 2 ] [L] Figure 3: Buckling av sträva Välj en längdenhet (L), en massenhet (M) och en tidsenhet (T). Valet är helt godtyckligt. Vi väljer [L]= D, [M]= m och [T]= (D/g) 1/2. Man behöver ofta kombinera storheter så som vi gör för tidsenheten. Notera att [F ]=[ML/T 2 ]. De dimensionlösa grupperna tas från samtliga storheter D, D l, m, ED2 och m D. Vi har använt att D/g = [T 2 ] och att md/(d/g) =[ML/T 2 ]=[F]., D3, g(d/g) D m D mg Som vi ser är en del grupper triviala, dvs. de som användes för att formulera längd-, mass-, och tidsenheterna. I listan återstår l, D3, ED2 och D m mg D. l D 3 ED 2 apple = konst. D m mg D Vi ser att förekommer endast i en grupp som därför rimligtvis måste vara med. Vi sätter apple =1. Sålunda återstår l D 3 ED 2 = konst. (1) D m mg D Mätningar 1 utförs varierande massor m och registreras. Allt annat hålls konstant. Resultatet ger att m dvs. 1 1 = 1 = konst. m m m + 4

med resultatet att + =1(2). Mätning 2 utförs sedan för varierande diameter som i samtliga fall är tunn. förlängningen registreras. Resultatet efter plottning i ett log( ) log(d) diagram visar att D 2.Detger 1 D 3 D 2 D D = D +3 +2 1 = konst. som betyder att +3 +2 1=2(3). Till sist görs en mätning med varierande längd l varvid man finner att l. Detger l = konst. vilket gör att = 1 måste gälla. Ekvationerna (2) och (3) uppfylls nu om =0och =1. Ekvation (1) ger E = konst. mgl D 2 Feluppskattning för ovanstående ger efter logaritmering och differentiering E E = m m + g + l + +2 D g l D. Absolutbelopp och summering används för att felen i värsta fall kan ha ett tecken så att största möjliga fel uppstår. APPENDIX C. Log-log plottning - exempel balkböjning. Här redovisas ett balkböjningsexempel. Balkböjning har utförts och efter bästa förmåga har förskjutningen registrerats för fem olika vikter. Vi mätte på balkar med a) bredd b =15mm, höjd h =1mm, och längd ` =30cm, b) bredd b =15mm, höjd h =1mm, och längd ` =20cm, c) bredd b =21mm, höjd h =1.1 mm, och längd ` =30cm, d) bredd b =21mm, höjd h =1.1 mm, och längd ` =20cm, med resultat enligt följande a) b) c) d) 25 8 50 18 75 27 100 35 125 44 25 1.5 50 4 75 4 100 5 125 7 25 2.5 50 4 75 6 100 9.5 125 11 25 1 50 1.5 75 2 100 2.5 125 3.5 Plottade i ett log m log diagram ser resultatet ut så här: Vid t ex ändrad last genomförs experimentet för ett antal t ex fem olika laster. Minsta antal mätningar blir n. Trotsdetärdetbraattgörafleramätningarförsammakvanititet.Låtosssäga att man ändrar längden och observerar vilken inverkan ändringen har t ex på en svängningstid. Då kan det vara bra att göra mätningen för flera olika längder och uppmätta svängningstider. Serien plottas då i ett log-log diagram och approximeras där med en rät linje från vilken relevant information kan inhämtas. Gör man bara en enstaka mätning men det är bra att göra flera mätningar för ta fram resultat för n förändrade förutsättningar för åtminstone n förändringar. 5

Figure 4: Log(m)-Log( ). Resultaten representeras av dels en streckad linje med optimal lutning dels en heldragen med lutning 1:1. Det senare är bästa heltalsalternativ för samtliga. Det vertikala avståndet mellan kurvorna ger exponenten för ` och en ekvation för exponenterna för b och h. APPENDIX D. Dragprov i dragprovmaskin. En Mohr-Federhaff dragprovmaskin används för att belasta en stång av stål. Maskinen är hydraulisk med en oljepump som åstadkommer ett tryck i en cylinder, som ses längst upp till höger i Fig. 1. Maskinen har två grepp för fastsättning av provstaven. Det nedre greppet syns nere till höger i Fig. 1. Trycket lyfter det övre grepppet med en kontrollerad hastighet. Till vänster i figuren, ser vi dragprovmaskinens kontrollskåp med två ventilrattar nertill, för begränsning av dragkraft respektive draghastighet. Innan provningen förberedes provstaven med två markeringar placerade symmetriskt från provstavens mitt. För avståndet rekommenderas ca. 5 ggr provstavens diameter. Efter utsatta körnslag uppmättes avståndet till 68.2 mm. Diametern uppmättes till 14.05 mm före provningen. Dragprovkurvan visar kraft som funktion av förlängning. Förlängningen registeraras på ett mmpapper via en tråd och är därför i skala 1:1. I den vertikala riktningen visas kraften (se Fig. 2). Avläsning sker också på maskinens mätartavla (tv. i Fig. 1) vilket ger skalan i Fig. 2. Under dragprovet och på dragprovkurvan noteras följande: 1) Gränslast för elastiskt materialuppförande: F max =2.91 ton. 2) Under plasticering märktes en temperaturökning i provstaven 2) Begynnande midjebildning sker vid maximal last. 3) Restbrott som sker ljudigt. Flytspänningen s = F/A där A = D 2 /4, D = 14.05 mm och F max =2.91 ton =2.91 9.8 kn ) s 184 MPa. Avläsningsfelen uppskattas till ±0.05 mm för uppätningen av D, ±0.05 6

ton för F max vilket ger 0.4% respektive 1.7%. För s blir felet maximalt 2 0.4 +1.7 t 2.5%, dvs. s 184 ± 5 MPa. För en bedömning av stålsorten tillkommer kommer variationen i materialegenskaper mellan olika tillverkare och olika batchar. Vi noterar att det knappast går att beräkna elasticitetsmodulen, E, med hjälp av diagrammet. Med E = 205 GPa, som tas från tabell för vanligt konstruktionsstål, beräknas stavens förlängning vid den elastiska gränsen till =( s /E)L 0.2 mm. En noggrannare mätning av förlängningen kräver mekanisk, optisk eller elektrisk utväxling på ett eller annat sätt. Fig. 1. Dragprovmaskin. Fabrikat: Mohr-Federhaff Fig. 2. Resultatkurva från dragprov. 7