1 Den Speciella Relativitetsteorin Den speciella relativitetsteorin är en fysikalisk teori om lades fram av Albert Einstein år 1905. Denna teori beskriver framför allt hur utfallen (dvs resultaten) från alla tänkbara fysikaliska experiment 1 är oberoende av vilken hastighet observatören har. Men även (som konsekvens av detta) hur koncept som tid och rum beter sig när förmål färdas i hastigheter som är jämförbara med ljusetshastighet. 1.1 Ljusetshastighet Ljus som färdas i vakuum har en ungefärlig hastighet på 300000000 m/s. Att mäta hastigheten hos ljus är ett typiskt exempel på ett fysikaliskt experiment som ska vara oberoende av vilken hastighet den som mäter ljuset faktiskt har. Detta innebär att om du mäter hastigheten på ljuset från en bil så kommer resultatet att vara desamma oavsett om bilen står stilla, färdas mot dig eller ifrån dig. (Jämför med uppgift 1.03). Ett experiment som bekräftade denna hypotes var det s.k. Michelson-Morley experimentet som kan läsas om i boken. För att förklara hur detta resultat (som till en första anblick kan verka väldigt konstigt) kan stämma så behöver man introducera två fenomen som går under namnen tidsförlängning samt längdkontraktion.. 1. All rörelse är relativ Eftersom vi inte kan avgöra om vi rör oss med konstant hastighet eller inte med hjälp av fysikaliska experiment så kan man fråga sig vad som faktiskt är i vila samt vad som rör sig? Svaret på denna fråga är att det nns ingen s.k. absolut rörelse. Istället kan man bara tala om rörelse mellan föremål. Så länge ett föremål inte accelererar så nns det ingen mening med att säga att detta föremålet rör sig utan att referera till vad man jämför med. I vardagliga samtal är det så klart underförstått att det är jorden vi jämför med. Men i t.ex. astrofysiken så nns det ingen mening med att säga att vår galax färdas genom rymden med en hastighet av 400000 km/h utan att referera till något. Istället så gäller det att vår galax närmar sig Andromeda galaxen med en hastighet av 400000km/h. Man säger att hastigheter är relativa, vilket innebär att det endast är meningsfulla som jämförelser mellan objekt. 1 Med undantag för vissa special fall inom astrofysiken. Även kallat tidsdilatation 1
Hastigheten beskriver hur fort ett föremål färdas samt i vilken riktning - dess dimension är meter per sekund. Om det underliga påståendet att ljusetshastighet är desamma för alla observatörer stämmer så måste även koncepten tid och rum bete sig på ett speciellt sätt. 1.3 Tiden går långsammare På lektionen härledde David en ekvation på formen: T = T 0. 3 1 v c Denna ekvation beskriver följande: När ett föremål, t.ex. ett rymdskepp, färdas relativt oss så upplever vi att tiden yter långsammare för detta föremålet. Vi ser allt som händer på skeppet i slow-motion. Men eftersom personerna på detta rymdskepp upplever att dem är i vila och vi på jorden som rör oss så upplever de att tiden på jorden yter långsammare. Man skulle kunna fråga sig vem som har rätt, eller om det ens går att tala om rätt eller fel? Faktum är att det inte är någon som har rätt i detta fallet, men vi ska komma tillbaka till den diskussionen senare. 1.4 Längder blir kortare Fenomenet längdkontraktion är av samma karaktär som tidsdilatationen men gäller istället rummet. Det som händer här är att objekt som färdas relativt oss även tycks bli ihop tryckta eller kontraherade i den riktning som de färdas i - de upplevs som kortare. Ekvationen som beskriver detta är på följande form: l l 0 =. 1 v c Lägg märket till den återkommande faktorn: γ = 1, 1 v c denna faktor dyker upp jämt och ständigt när man betraktar saker som rör sig i förhållande till varandra i relativitetsteorin, den är därför fått ett namn som är gammafaktorn, γ.
1.5 Exemplet med Myoner Låt oss använda våra ekvationer ovan för att se hur allting hänger ihop. En av alla elementarpartiklarna 4 i universum är den s.k. myonen. Denna partikel har precis samma egenskap som elektronen fast en högre massa och bildas hela tiden när kosmisk strålning kommer in i vår atmosfär ca 10km över marknivå. Dessa färdas då med en hastighet på ca 0.98c 94000000m/s samtidigt som de har en halveringstid på ca t 1 = 1.56µs. Låt oss nu räkna på detta skeende ur ett klassiskt perspektiv samt med hjälp av relativitetsteori. 1.5.1 Den klassiska bilden Klassiskt sett så kommer det att t = s v = 100000m 94000000m/s 0.00034 sekunder för myonerna att nå marken. Delar vi detta med halveringstiden så ser vi att detta motsvarar, t t 1 = 3.4 10 4 1.8 halveringstider. 1.56 10 6 Med andra ord förväntar vi oss att, 1 1.8 0.3 10 6, ca tre miljondelar av alla myoner kommer att nå jordens yta. Experimentellt sett så detekterar vi många er myoner vilket visar på att något är fel. Låt oss nu ta till den speciella relativitetsteorin. 1.5. Fenomenet sett från jorden När vi arbetar med den speciella relativitetsteorin så får vi välja utifrån vems perspektiv vi ska se det hela ifrån. Låt oss börja med att vi står på jorden. Detta innebär att vi upplever det som att myonens tid går långsammare. Vi kommer fortfarande uppleva det som att det tar 0.00034 sekunder för dem att nå marken, men deras halveringstid blir längre eftersom det som sker för myonen för oss ser ut att gå i slow-motion. Detta ger då en halveringstid på: t Ny 1 = t Gammal 1 = 1 (0,98c) c 1.56 10 6 s 1 0,98 7.84 10 6 s. 4 Dvs de partiklar som vi inte funnit någon innre struktur för. 3
Delar vi tiden som det tar för myonen att färdas dessa 10 km med den nya halveringstiden så får vi 3.4 10 4 4,36 halveringstider. 7,84 10 6 Detta innebär att, ( 1 ) 4.36 = 0.049, 49000 miljondelar av alla myoner når jordens yta! 1.5.3 Fenoment sett från myonen När det kommer till hur myonen upplever det hela så kommer den se det som att allt på jorden går i slow-motion. Detta kommer dock inte påverka resultatet så man kan fråga sig om myonen kommer att hålla med om våra mätresultat? Lösningen är längdkontraktion. Utifrån myonens perspektiv så färdas jorden (med moln, berg, hav och allt därtill) med 0.98c i motsatt riktning. Detta innebär att myonen kommer att uppleva att sakerna på jorden blir ihop tryckta. De 10km som är mellan atmosfären där de bildas samt marken kommer nu istället motsvara, 10000 1 0,98 000 m. Myonen upplever det således som att den endast färdas km mellan atmosfär och marknivå! Låt oss gå vidare med beräkningen. Myonen upplever alltså att den färdas 000m med en hastighet på 0.98c in i jorden. Detta ger en tid på: t = s v = 000m 0,98c = 6,8 10 6 s. Delar vi denna med dess halveringstid så nner vi återigen talet 4.36. Alltså, även om vi jordbor och myonen upplever det hela annorlunda så ger våra beräkningar helt identiska resultat. Relativitetsteorin är konsekvent. Behovet av en rumtid Än är vi inte färdiga med konsekvenserna av att ljusetshastighet alltid är konstant. Låt oss göra ett tankeexperiment..1 Vad innebär det att saker sker samtidigt? Bob står på ett tåg med en mätutrustning som består i en lampa som sänder ut en ljussignal åt två håll varpå dessa sedan registreras av två detektorer 4
på lika långt avstånd från lampan. Oavsett om tåget rör sig relativt jorden eller inte så kommer Bob att komma fram till samma resultat, nämligen att ljusstrålarna når detektorerna samtidigt. Detta eftersom ljuset färdas med ljusetshastighet åt båda håll och sträckan är den samma. Vi skulle kunna måla situationen för Bob i ett så kallat rumtid diagram, där y-axeln mäter tid och x-axeln är ett tvärsnitt av tåget. Eftersom händelserna där strålarna när detektorerna ligger på samma horizontala linje, t = t 0 så upplever Bob dem som samtidiga. Låt oss nu se det hela från Sally's perspektiv som står på perrongen och ser tåget susa förbi. Utifrån hennes perspektivs så kommer inte alls detektorerna att mäta ljuset samtidigt. Visserligen kommer ljuset att färdas med samma hastighet åt båda håll men nu färdas ju även tåget! Detta innebär att den bakre detektorn kommer att möta ljuset påvägen medan ljuset som skjuts i färdriktningen får jaga ikapp den främre detektorn. Utifrån Sallys perspektiv så sker allt enligt: 5
Det verkar som hela begreppet samtidighet beror på vem det är som betraktar skeendet! Enklaste sättet att förklara detta är genom att påstå att två personer som färdas relativt varandra har olika uppfattning om vilken riktning tidsaxeln har. Låt oss gå tillbaka till bilden utifrån Bobs perspektiv men med sträckade linjer måla in vad som Sally uppfattar sker samtidigt. I detta fallet så får vi bilden som syns i guren nedan. Sammanfattningsvis då så gäller det att precis som en rotation kan vrida och vända på vad som är x-axeln och y-axeln i rummet så kan vi vrida och vända på vad som är tid och rum genom att byta hastighet. Detta leder till att även samtidigheten är relativ. 6
. Rumtiden I föregående kapitel så har vi sett hur två personer kan ha olika uppfattning om vilken riktning tidsaxeln har. Detta är en tanke som helt har kommit ur Einsteins teorier. Innan Einstein kom in i bilden så var det den Newtonska fysiken som gällde, där uppfattningen är att alla yter genom tiden med samma hastighet oavsett hur vi rör oss i rummet. Fenomenet tid och rum är alltså helt skilda saker. I Einsteins teorier så måste vi se tid och rum som ett gemensamt större 'rum', nämligen rumtiden (precis som vi gjort i diagrammen ovan). Annars nns det ingen chans att lyckas förklara fenomen tidsförlägning eller längdkontraktion..3 Rörelsemängd och Energi På samma sätt som rum och tid roteras in i varandra när man ser analyserar ett objekt från olika perspektiv så påverkas även rörelsemängd och energi. Ekvationerna som vi känner igen från klassisk fysik är: p = mv samt E tot = mv + E p 7
vilka istället generaliseras till p = γmv = mv samt E tot = γmc + E p = 1 v c mc 1 v c + E p. Observera nu att om vi inte har någon potentiell enerien partikel är i vila så har vi v = 0, detta leder i sin tur till att γ = 1. Sätter vi in detta i ekvationen för energin ovan så får vi: E v=0 = mc. Vi ser alltså att även om en partikel är i vila så har den fortfarande en väldigt stor energi endast pga sin massa, denna energi kalla för massenergi. Slutligen kan vi även hitta ett uttryck för den kinetiska energin. Låt oss återigen strunta i potentiell energi. En partikel som rör sig har då en energi på γmc, medan om den stod stilla skulle den ha en energi på mc. Den kinetiska energin är skillnaden mellan dessa två värden, E k = γmc mc = mc (γ 1) 8