5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se
Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift b...3 Problem...3 Lösning...3 Grafisk bestämning av gränsvärden...3 Beräkning av gränsvärden...4 Uppgift...4 Problem...4 Lösning...4 Uppgift 2...5 Problem...5 Lösning...6 Uppgift 3...7 Problem...7 Lösning...7 Uppgift 4...9 Problem...9 Lösning...9 Uppgift 3... Problem... Lösning...2 Lösning 3a...3 Lösning 3b...3 Lösning 3c...4 Lösning 3d...4 Summering...5 Uppgift 3...5 Problem...5 Lösning...6 Uppgift 32...6 Problem...6 Lösning...6 Uppgift 33...7 Problem...7 Lösning...7
Uppgift a Problem Plotta och beräkna f x =lim n 2n n. Lösning Grafisk bestämning av gränsvärden Funktionen matas in i MATLab och plottas därefter. Resultatet blir enligt figur. Figur : Plottning av f x = 2n n Vid noggrann avläsning av grafen ses att då n=85 slutar grafen och MATLab påstår att högre värden är oändliga ( f x = : x 86 ). Den grafiska tolkningen blir således att
f x =lim n 2n n =. Beräkning av gränsvärden För att enklare förstå nästkommande steg konstateras först det trivila beviset x n x n = x 2n. n n k= k xk. Vid kombination av Vandermondes k j = n k ), sambandet ( n n k = n k )3 Binominalsatsen ger att x n = identitet 2 ( j m j= m 2 j = 2m m m j n m k=. Detta tillämpas till det aktuella problemet. 2n n n = n 2,n=,2,... k och då n=2m,k=m fås: Efter vidareutveckling ges k n n 2 k n k 2n n k = n 2 k= k vilket ger att n k= n k =2n lim 2 n = lim n n 2n n = Analys i En Variabel s. 62 (5) 2 http://en.wikipedia.org/wiki/vandermonde%27s_identity 3 Analys i En Variabel s. 6 (4) 2
Uppgift b Problem Plotta och beräkna f x = 2n n 2 n. Lösning Grafisk bestämning av gränsvärden Funktionen matas in i MATLab och plottas därefter. Resultatet blir enligt figur 2. Figur 2: Plottning av f x =lim n 2n n 2 n Vid noggrann avläsning av grafen ses att då n=85 slutar grafen och MATLab påstår att högre värden är oändliga ( f x = : x 86 ). Den grafiska tolkningen blir således att 3
f x =lim n 2n n 2 n =. Beräkning av gränsvärden 2n n n n 2... 2n utvecklas till nn n! n! enligt följande: 2n n = 2n! n! 2n n! = 2n! n! n! = n! n n 2... n n n! n! = n n 2... 2n nn n! n! 2n n 2 n nn n! 2 n 2n n n n 2 2 n n! n Detta i sin tur leder till att: n lim 2 2n n n = Uppgift Problem Undersök höger- och vänstergränsvärde i x= för arctan x, x. Lösning Funktionen f x =arctan x plottas i MATLAB mellan intervallet 2 x 2 vilket resulterar i en graf enligt Figur 3. 4
Figur 3: f x =arctan x När x= får vi att x = vilket resulterar i f =arctan. Då x + (x går mot från positiv sida) kommer funktionen resultera i 2. Då x - (x går mot från negativ sida) kommer funktionen resultera i 2. Uppgift 2 Problem Undersök gränsvärdet lim sin x x + bild du får.. Plotta med logaritmisk skala av x-axeln. Förklara den 5
Lösning I gränsvärdet lim x + sin x då x som plottas i Matlab bildar Figur 4. Figur 4: f x =lim x + sin x Grafen visar funktionen med logaritmisk skala på x-värdet. Den säger oss inte så mycket, men då x går mot får vi till synes värdet sin. När x= får vi att x = vilket resulterar i f =sin. Funktionen kommer således oscillera mellan - och och vara obestämd. Ju närmare x går, desto fortare kommer funktionen att pendla. Se Figur 5. 6
Figur 5: f x =lim sin x x För varje x nära finns ett x som är närmare eftersom att x = inte ingår i definitionsmängden. Ju närmare x = man kommer desto fortare växer /x och funktionen pendlar således snabbare. Uppgift 3 Problem Använd uttrycket n n för att bestämma ett närmevärde mot e. Lösning Funktionen f n = n n plottas i MATLAB mellan intervallet n 2 vilket 7
resulterar i en graf enligt Figur 6. Figur 6: f n = n n Nedan följer en tabell med olika värden på n. n f n 5 2 2 2.582 2.747 2.756 2.769 2.776 2.78 2.782 Ju högre värde för n, desto närmare värde för e. Då n=2 fås ett närmevärde e 2.782. 8
Uppgift 4 Problem Undersök m.h.a. plottning vad som händer med uttrycket sin x x2 då: a) x är heltal som går mot oändligheten. b) x är reella tal som går mot oändligheten. Lösning Originalfunktionen skrivs om till f x =sin x 2 x x =sin x x. För uppgift a tillhör x heltalen ( x Z ). Detta ger att täljaren alltid kommer vara eller då endast heltal tillåts. Då x går mot försummas termen x ( lim x x = ) vilket resulterar i att täljaren blir. f x =lim sin x = då x är ett heltal ( x Z ) och sin x =. Se Figur 7. x 9
Figur 7: f x =sin x x2, x Z För uppgift b tillhör x de reella talen ( x R ). Detta ger att sinusfunktionen kommer pendla mellan och - ( sin x ) på traditionellt vis då x antar alla reella värden. Se Figur 8.
Figur 8: f x =sin x x2, x R Uppgift 3 Problem Beräkna de tusen första delsummorna till följande serier och försök avgöra om de är konvergenta eller divergenta. a) k= k.99 b) k= k. c) 2arctan k k= d) k 2 k= 2 k
Lösning Vid plottning i MATlab ges följande figurer (se Figur 9-2). Figur 9: 3a Figur : 3b Figur : 3c Figur 2: 3d Plottning av funktionerna är tydligen ej tillräckligt för att bestämma om funktionerna är konvergenta eller divergenta. 2
Lösning 3a Om serien a k konvergerar så gäller att lim a k = vilket bevisas i Kompletterande k= k kurslitteratur om serier 4. Figur 9 ger en antydan till att senare termer minskar i värde och således gäller ovanstående sats. Detta visas även med en tabell. k Delsumma Skillnad 2 3 4 5 6 7 8 9..4.52.35.26.2.8.5.3.2. -.9896 -.5 -.7 -.9 -.5 -.4 -.3 -.2 -. -. Skillnaden mellan delsummorna krymper för högre värden på k vilket syns i tabellen ovan. Slutsatsen blir således att summan konvergerar. Lösning 3b Figur ger även den en antydan till att senare termer minskar i värde. Detta visas även med en tabell. k Delsumma Skillnad 2 3 4..95.47.3.23 -.995 -.47 -.6 -.8 -.5 4 http://www.math.kth.se/math/student/courses/5b47/me/267/serier.pdf sid. 3
5 6 7 8 9.9.6.3.2..9 -.3 -.2 -.2 -. -. Även här krymper skillnaden mellan delsummorna för högre värden på k vilket syns i tabellen ovan. Slutsatsen blir således att summan konvergerar. Lösning 3c Figur ger även den en antydan till att senare termer minskar i värde. Detta visas även med en tabell nedan. lim arctan k= k 2 vilket ger att sista termen blir 2 2 = styrker även påståendet att serien är konvergent. k Delsumma Skillnad 2 3 4 5 6 7 8 9 -.578 -.98 -. -.66 -.5 -.4 -.33 -.29 -.25 -.22 -.2.55.99.33.7..7.5.4.3.2 Även här krymper skillnaden mellan delsummorna för högre värden på k vilket syns i tabellen ovan. Slutsatsen blir således att summan konvergerar. Lösning 3d Tabellen nedan visar värden för olika k: 4
k k 2 2 k k 2 2 k 2 3 4 5 6 7 8 9 4 9 6 25 36 49 64 8 2 4 8 6 32 64 28 256 52 24.75e+3.5..25..782.5625.3828.25.582.977 9.3326e-296 Sista termen blir eftersom att nämnaren växer mycket fortare än täljaren för värden då k är större än 4. Därav går sista termen mot då k går mot oändligheten. Summering a) Konvergent b) Konvergent c) Konvergent d) Konvergent Uppgift 3 Problem Använd kommandot sum för att beräkna ett approximativt värde på den konvergenta serien e k. Beräkna sedan seriens exakta värde m.h.a. formel för geometriska k= summor. 5
Lösning Då formeln löses i MATlab med med hjälp av sum fås ett närmevärde på:,582. Med hjälp av geometrisk summa löses problemet på följande sätt: k= e k = k= k e = k= k e k= k e e e = e,582 Seriens exakta värde blir således fås från MATlabs sum-funktion. e vilket ger ett värde nära det närmevärde som Uppgift 32 Problem Man kan visa att ln x = k= k xk k för x. Undersök VL och HL i denna identitet för några olika värden på x. Bekräftar dina iakttagelser att identiten verkar stämma? Lösning Vid undersökning i MATlab visas att V.L.=H.L.: k, x. Nedan följer resultaten: x V.L. H.L. Skillnad (*.e-4) -. -.9 -Inf -2.326-9.7876-2.326 -Inf 6
-.8 -.7 -.6 -.5 -.4 -.3 -.2 -...2.3.4.5.6.7.8.9. -.694 -.24 -.963 -.693 -.58 -.3567 -.223 -.54.953.823.2624.3365.455.47.536.5878.649.693 -.694 -.24 -.963 -.693 -.58 -.3567 -.223 -.54.953.823.2624.3365.455.47.536.5878.649.693 -. -.. -.. -. -.. -.. -.....5 Till synes verkar påståendet vara sant och då MATlab ej är precist med decimaler samt att summeringen ej går hela vägen till oändligheten anses differensen vara försumbar. Först då x = börjar större avvikelser uppträda. Uppgift 33 Problem 2 Uttryck lg x i ln x, samt uttryck log x i ln x. Lösning Basbyten sker generellt på formen log b x= log x a. Således skriver vi om lg x som log a b lg x= ln x ln respektive 2 2 log x som log x= ln x. Detta testas i MATlab och resultaten blir ln 2 7
således:.29a.29b x VL HL Diff (*.e-5) VL HL Diff (*.e-5) 2 3 4 5 6 7 8 9.3.477.62.699.7782.845.93.9542..3.477.62.699.7782.845.93.9542..555..222. -...585 2. 2.329 2.585 2.874 3. 3.699 3.329..585 2. 2.329 2.585 2.874 3. 3.699 3.329 -.444 -.444 Då MATlab ej är tillräckligt precisionssäkert fås en liten skillnad mellan V.L och H.L., något som är försumbart. 8