Dagens Teori. a 1,a 2,a 3,...a n

Dagens Teori 10.1 Summor och talföljder 10.1.1 Talföljder En talföljd är en uppräkning av tal a 1,a,a 3,...a n här n stycken. Ofta kan talföljder skrivas på ett mer kompakt sätt, som dessa oändliga talföljder 1,,3,4,5,... {n} 1,4,9,16,5,... {n } 1,9,7,81,43,... {3 n } 1,r,r,r 3,r 4,... {r n } Ibland har talföljder namn, främst för att de är ofta förekommande, som till exempel: Fibonacci, Catalan eller Binomial. Vi återkommer till dessa längre fram. Om talföljden är ändlig skriver man den ibland på denna kompakta form {i } 5 = 1,4,9,16,5 För en oändlig talföljd används tecknet för oändligheten,, som till exempel {i} = 1,,3,4,5... Speciell hemsida för talföljder Följder av heltal klassificeras på hemsidan The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences http://www.research.att.com/~njas/sequences/. Idag finns fler än 100 000 talföljder registrerade. När jag skriver in mitt telefonnummer 7,1,,8,4,0,5 svarar sökmotorn med: Håkan Strömberg 1 KTH STH

10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Search:7,1,,8,4,0,5 A01068 Decimal expansion of cube root of 57 3, 8, 4, 8, 5, 0, 1, 1, 3, 1,, 7, 6, 8, 0, 5, 0, 6, 8, 7, 0,,, 9, 0,, 5, 9, 5,, 5, 0,, 5, 3, 1, 7, 1,, 8, 4, 0, 5, 5,,, 7, 7, 5, 4, 6, 1,, 1, 0, 6,, 6, 7, 9, 7, 7,, 0, 1, 3, 6, 7, 6, 8, 9, 1, 8,, 7, 6, 9,, 3, 4, 5, 6, 9, 6, 9, 9, 8, 6,, 0, 7, 4, 3,, 5,, 8, 6, 5 Tittar man närmare i utskriften, så kan man konstatera att 718405 som en delsekvens från den 37:e talet och framåt. Några andra roliga (?) talföljder 3 57 mycket riktigt innehåller a) M0679,3,5,7,3,67,89,4567,78901,678901,3456789... b) M1041 1,,4,7,11,16,,9,37... c) M0180 1,0,0,1,,1,6,1,46,9,341... d) A006577 0,1,7,,5,8,16,3,19,6,14,9,9,17... a Primtal med konsekutiva siffror. Efter 9 kommer 0. Det största kända i den givna följden är 90134567890134567890134567. b Ger det maximala antalet bitar man kan få genom att snitta en pannkaka n gånger c Antalet möjligheter att placera ut n damer på ett n n stort schackbräde. så att inga damer står i slag för varandra. d Antal steg i Ulam s problem innan n når 1 Figur 10.1: Ett av 184 olika sätt att placera två löpare av olika färg på ett 4 4 bräde, så att de inte står i slag för varandra Exempel 1 Vi vill ta reda på antalet sätt att placera ut två olikfärgade löpare, som inte står i slag för varandra, på ett n n stort bräde. Kanske skriver vi ett C-program för detta. Hur som helst får vi följande talföljd för 1 n 14 0,8,5,184,480,1040,1988,347,5664,8760,1980,18568,579,34944 Vi söker nu ett sätt att skriva denna talföljd på ett kompaktare sätt och tar Mathematica till hjälp Håkan Strömberg KTH STH

m = {{1, 0}, {, 8}, {3, 5}, {4, 184}, {5, 480}, {6, 1040}, {7, 1988}, {8, 347}, {9, 5664}, {10, 8760}, {11, 1980}, {1, 18568}, {13, 579}, {14, 34944}}; Fit[m, {1, x, x^, x^3, x^4}, x] -5.9374*10^-1-0.666667 x + 1. x^ - 1.33333 x^3 + 1. x^4 Vi har här, i minsta kvadratmetodens mening, anpassat de 14 mätpunkterna (1, 0),(, 8),(3, 5),...(14, 34944) till ett fjärdegradspolynom, f(n) = a+b n+c n +d n 3 +e n 4 där vårt svar är polynomets koefficienter a,b,c,d,e. Svaret kan (med hög sannolikhet) skrivas exakt som: f(n) = 3n4 4n 3 +3n n 3 Testar vi denna funktion för de givna värdena stämmer de alla exakt. f[n_] := (3 n^4-4 n^3 + 3 n^ - n)/3 Table[f[n], {n, 1, 14}] f[34] {0, 8, 5, 184, 480, 1040, 1988, 347, 5664, 8760, 1980, 18568, 579, 34944} 185064 Dessutom har vi ett extra värde, f(34) = 185064, och när även detta stämmer tror vi oss kunna skriva talföljden { 3n 4 4n 3 +3n } n 3 n=1 Men observera att vi inte har bevisat något. Vi lyckades här därför att vi gissade att talföljden skulle kunna beskrivas som ett polynom. Det hade inte varit någon större skada skedd om vi gissat att polynomet var av 5:e graden, eftersom motsvarande koefficient i så fall blivit 0. Kan man lita på sådana resultat? Nej, formeln ovan måste bevisas, för att kunna användas i matematiken. Till detta använder man ofta induktionsbevis Vi tar ett exempel: Vi har en rekursionsformel a n+1 = a n +a n 1 +a n +a n 3 +a n 4 där a 4 = a 3 = a = a 1 = 0 och a 0 = 1. Sätter vi n = 0 får vi a 1 = a 0 +a 1 +a +a 3 +a 4 = 1+0+0+0+0 = 1 a 1 = 1. Nu kan vi räkna ut a genom Vi fortsätter med a 3 a = a 1 +a 0 +a 1 +a +a 3 = 1+1+0+0+0 = a 3 = a +a 1 +a 0 +a 1 +a = +1+1+0+0 = 4 Håkan Strömberg 3 KTH STH

10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER och a 4 = a 3 +a +a 1 +a 0 +a 1 = 4++1+1+0 = 8 Vi gissar nu att a 5 = 16 och a 6 = 3 och kollar bara för säkerhets skull a 5 = a 4 +a 3 +a +a 1 +a 0 = 8+4++1+1 = 16 a 6 = a 5 +a 4 +a 3 +a +a 1 = 16+8+4++1 = 31 3 Vi drog alltså förhastade slutsatser. 10.1. Rekursiva definitioner av talföljder En talföljd kan framställas med en rekursiv definition. Här ett exempel a n = 3a n 1 a n där a 1 = 3 och a = 7. nu kan vi bestämma a 3 a 3 = 3a a 1 = 3 7 3 = 1 6 = 15 När vi nu har a 3 = 15 kan vi bestämma a 4 och så vidare så långt vi vill. En iterativ funktion i Mathematica ger oss de 10 första talen i följden. f[] := Block[{a1 = 3, a = 7, a3, L = {3, 7}}, While[Length[L] < 10, a3 = 3 a - a1; AppendTo[L, a3]; a1 = a; a = a3; ]; L ] f[] {3, 7, 15, 31, 63, 17, 55, 511, 103, 047} En rekursiv funktion i Mathematica som bestämmer a n g[1] := 3 g[] := 7 g[n_] := 3 g[n - 1] - g[n - ] Table[g[n], {n, 1, 10}] {3, 7, 15, 31, 63, 17, 55, 511, 103, 047} Rekursion kommer vi att syssla mer med i kursen Algoritmer och Datastrukturer. Normalt tycker man att det är bättre med en sluten funktion som direkt ger a n och som endast beror av n. Håkan Strömberg 4 KTH STH

Exempel Rekursionsformeln där a 0 = 0 ger talföljden Med formeln får vi direkt a n. a n = a n 1 +n 1,3,6,10,15,... a n = n(n+1) Det kan vara svårt att lösa rekursionsformeln. Speciellt i den här kursen har vi inte tid att fördjupa oss i hur man utför detta. Istället har vi i Mathematica RSolve som utför jobbet. RSolve[{a[n] == a[n - 1] + n, a[0] == 0}, a[n], n] {{a[n] -> 1/ n (1 + n)}} eller snyggare a n = n(n+1) Exempel 3 Vi löser vårt inledande exempel med RSolve där a 1 = 3 och a = 7. a n = 3a n 1 a n RSolve[{a[n] == 3a[n-1] - a[n-], a[1] == 3, a[] == 7}, a[n], n] som ger a n = n+1 1 10.1.3 Fibonacci talföljd Definition 1 F n = F n 1 +F n där F 0 = 0 och F 1 = 1. Här de första talen i följden 0,1,1,,3,5,8,13,1,... Leonardo från Pisa eller Fibonacci, som han oftare kallas, betraktas som Europas förste matematiker. Han har bland annat givit sitt namn till denna talföljd. Ett problem i kapitel tre av Fibonaccit s Liber abbaci ledde till introduktionen av talföljden: Håkan Strömberg 5 KTH STH

10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER En man lät placera ett par kaniner i en inhägnad trädgård. Hur många par av kaniner kan under ett år produceras, med utgång från detta par, om vi antar att varje par nedkommer med ett nytt par varje månad från och med att paret uppnått två månaders ålder? Första och andra månaden finns bara det ursprungliga paret, 1,1. Månad tre och fyra föds ett nytt par. Vi har nu 1,1,,3. Den femte månaden föds två par och månad sex tre par... Eftersom alla kaninerna överlever kommer det att finnas f 11 = 144 par med kaniner efter ett år Löser vi rekursionsekvationen med hjälp av rsolve får vi det överraskande svaret ( 1+ ) n 5 1 ( ) n 5 F n = 5 Den slutna formen för Fibonacci talföljd som direkt ger oss F n för önskat n. Ett resultat vi kan få genom RSolve[{f[n] == f[n+1] + f[n+], f[0] == 0, f[1] == 1}, f[n], n] En rekursiv variant är inte speciellt effektiv f[0] := 0 f[1] := 1 f[n_] := f[n-1] + f[n-] f[10] 55 10.1.4 Catalanska tal De Catalanska talen, uppkallade av Eugene Catalan 1814-1894 dyker upp i en mängd olika kombinatoriska strukturer. Definition Rekursionsformel för de catalanska talen är för n 1 och med C 0 = 1 Exempel 4 Vi räknar fram några C n. C n = C 0 C n 1 +C 1 C n +C C n 3 +...+C n 1 C 0 C 1 = C 0 C 0 = 1 1 = 1 C = C 0 C 1 +C 1 C 0 = 1 1+1 1 = C 3 = C 0 C +C 1 C 1 +C C 0 = 1 +1 1+ 1 = 5 C 4 = C 0 C 3 +C 1 C +C C 1 +C 3 C 0 = 1 5+1 + 1+5 1 = 14 Här har vi de 11 första catalanska talen 1,1,,5,14,4,13,49,1430,486,16796,58786 Håkan Strömberg 6 KTH STH

Exempel 5 Här illustrerar vi fem till synes olika kombinatoriska strukturer där man använder catalanska tal för att bestämma antalet kombinationer. Figur 10.: Antalet möjligheter att utföra en triangulering av en konvex polygon med n sidor är C n. C 3 = 5 Figur 10.3: Antalet möjligheter att förbinda n punkter på en cirkel så att ingen korda skär någon annan är C n. C 3 = 5 Figur 10.4: Antalet olika binära träd med n noder är C n. C 3 = 5 Antalet möjligheter att kombinera n parentespar till välformade uttryck är C n. C 3 = 5 ()()() ()(()) (())() (()()) ((())) Med n loopar konstruerade som i exemplet nedan kommer s att till slut få värdet C n. C 3 = 5 int a,b,c,s=0; for(a=1;a<=1;a++) for(b=1;b<=a+1;b++) for(c=1;c<=b+1;c++) s++; Det finns några mer direkta sätt att bestämma C n C n = 1 ( ) n n+1 n eller C n = ( ) ( ) n n n n 1 Håkan Strömberg 7 KTH STH

10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER En annan rekursiv formel för att bestämma C n där endast C n 1 behövs 10.1.5 Euler tal C n = (n+1) n+ C n 1 π = (3,5,1,4,6,) talföljden ovan är en permutation av 1,,3,4,5,6. Om vi räknar antalet tillfällen då π i < π i+1, som vi kallar för stigning, hittar vi 3 stycken, 3 < 5,1 < 4,4 < 6. Skulle vi gå igenom samtliga 6! = 70 permutationer av talen 1,,3,4,5,6 skulle vi hitta 30 permutationer med precis 3 stigningar. Vi skriver då E(6,3) = 30. Skrivs också 6 = 30 3 Talen n k kan liksom ( n k) visas i en triangel 1 1 1 1 4 1 1 11 11 1 1 6 66 6 1 1 57 30 30 57 1 1 10 1191 416 1191 10 1 För n kan man bestämma en rad i triangeln med hjälp av raden ovanför. n n 1 n 1 = (k+1) +(n k) k k k 1 Summan av elementen i rad n är förstås n!. Här följer en funktion i Mathematica, som tar fram den n:te raden i triangeln ovan. f[n_] := Block[{P, R, p, i, s}, P = Permutations[Range[n]]; R = Table[0, {i, 1, n}]; For[i = 1, i <= Length[P], i++, s = 0; p = P[[i]]; For[j = 1, j <= n-1, j++, If[p[[j]] < p[[j+1]], s++; ] ]; R[[s+1]]++; ]; R ] f[6] {1, 57, 30, 30, 57, 1} Håkan Strömberg 8 KTH STH

10.1.6 Graykoder En Gray kod av storleken n, är en ordnad lista av n binära strängar av längden n, där två på varandra följande strängar skiljer sig i endast ett tecken. Här är graykod för n = 3. Med hjälp av Mathematica får vi 000,100,110,010,011,111,101,001 << Combinatorica m = GrayCode[{1,, 3}] {{}, {3}, {,3}, {}, {1,}, {1,,3}, {1,3}, {1}} Vi kan se hur element försvinner och kommer till. Endast en förändring från mängd till mängd. Vill vi ha det utskrivet som binära strängar får vi skriva lite mer f[n_] := Block[{i, j, t, s, L = {}, m}, m = GrayCode[Range[n]]; For[i = 1, i <= Length[m], i++, t = m[[i]]; s = Characters[IntegerString[0,, n]]; For[j = 1, j <= Length[t], j++, s[[t[[j]]]] = "1"; ]; AppendTo[L, StringJoin[s]]; ]; L ] f[3] {"000", "001", "011", "010", "110", "111", "101", "100"} Villkoren är uppfyllda, men en annan lösning än den inledande. 10.1.7 Talföljder med geometrisk bakgrund Triangeltal Figur 10.5: En formel som ger T(n) för givet n 1,3,6,10,15,... T(n) = n(n+1) Håkan Strömberg 9 KTH STH

10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Figur 10.6: Pyramidtal med triangulär bas 1,4,10,0,35,56,... Vi söker en formel som direkt ger P T (n) där n är pyramidens höjd. m = {{1,1}, {,4}, {3,10}, {4,0}, {5,35}, {6,56}}; Fit[m, {1, x, x^, x^3, x^4}, x] 3.8584 10 15 +0.333333x +0.5x +0.166667x 3 3.91979 10 16 x 4 Av detta resultat är det mycket troligt att formeln har följande utseende Pyramidtal med kvadratisk bas P T (n) = n3 6 + n + n 3 = n(n+1)(n+) 6 Figur 10.7: 1,5,14,30,55,91,... Vi söker en formel som direkt ger P K (n) där n är pyramidens höjd. Vi väljer här en annan metod än den ovan T K (n) är summan av n heltalskvadrater, till exempel T K (4) = 1+4+9+16 = 30. Med hjälp av Mathematica kan vi direkt skriva f[n_] := Sum[i^, {i, 1, n}] f[n] ger T K (n) = n3 3 + n + n 6 Håkan Strömberg 10 KTH STH

10.1.8 Serier eller summor 1++3+4+5+...+10 är en serie vars summa är 55. Inom matematiken använder man en mer koncist sätt att uttrycka denna summa 10 i Summan 1++3+...+n Följande historia berättas om Carl Friedrich Gauss, en av historiens största matematiker: Självklart visade Gauss redan under tidiga skolår sin matematiska förmåga och när han som vanligt snabbt klarat av dagens uppgifter, gav den irriterade läraren honom i uppgift att summera alla tal från 1 till 100. Carl Friedrich behövde inte mer än någon minut för att på sin griffeltavla direkt skriva ned talet 5050. Hur bar han sig åt? Om vi skriver om följden av termer som 1++3+4+...+96+97+98+99+100 (1+99)+(+98)+(3+97)+(4+96)+...+(49+51)+50+100 kan detta enkelt skrivas som 49 100+50+100 = 5050 Vi påstår nu att serien i rubriken kan skrivas som n i = n(n+1) Detta ska vi nu bevisa med hjälp av induktion. a Vi ser direkt att formeln stämmer för n = 1 b Antag att den stämmer för n = k, då får vi formeln från ovan k i = k(k+1) Om vi nu lägger till k+1 på båda sidor för att visa att formeln gäller även för k+1, får vi k (i)+k+1 = k(k+1) +k+1 Kan vänstra sidan skrivas om till och högra sidan till k(k+1) k+1 (i) +k+1 k(k+1) Därmed har vi bevisat att denna formel alltid gäller + (k+1) (k+1)(k+) Håkan Strömberg 11 KTH STH

10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Mathematica I Mathematica använder vi funktionen Sum. För några av summorna i exemplen ovan skriver vi Sum[i, {i, 1, 100}] Sum[ i, {i, 1, 6}] Sum[i^, {i, 1, 6}] Funktionen kan även användas för den övre gränsen n Sum[i,{i,1,n}] Sum[i^, {i, 1, n}] n(n+1) Vi får här formeln för n Dessa två formler kan bevisas med induktion. i = n3 3 + n + n 6 Teoriuppgifter Problem 1 1,,4,8,16,31,... Förekommer denna talföljd, som vi presenterade i teorin, någonstans? Du kan kanske inte direkt avgöra det och behöver fler tal i följden. Använd C, Mathematica eller räkna för hand, för att ta reda på fler tal. Har talföljden något egenvärde enligt Uppslagsverket över heltalssekvenser? Håkan Strömberg 1 KTH STH

Problem Bestäm det fjärdegradspolynom, som exakt går genom punkterna p(x) = a x 4 +b x 3 +c x +d x+e (10, 65),(18, 6737),(, 59337),(50, 156705),(54, 131081),(100, 501905) Problem 3 Ta med hjälp av Uppslagsverket över heltalssekvenser på internet reda på nästa tal i följden 97465, 1493035, 4157817 Problem 4 En talföljd börjar,1,111,311,1311,1113111,... Vilket är nästa tal? Använd Uppslagsverket över heltalssekvenser om du inte kan komma på det! Problem 5 Ta reda på vad talföljden 1,1,1,,5,1,35,108,369,... har för bakgrund. Mer specifikt, vad står talet 5 för? Använd i första hand Uppslagsverket över heltalssekvenser med angivna länkar men även Google. Problem 6 Ta reda på lite om talföljden 1,1,,4,9,1,51,17,33,835,188,... Rita upp de 9 fall då det finns n = 4 punkter på cirkeln. Klipp ut och klistra in lämplig Mathematica-kod från sidan och se att du kan generera följden. Observera att vi ännu inte berört alla de funktioner som finns i koden. Problem 7 Bestäm med hjälp av Mathematica en formel för n i 3 Håkan Strömberg 13 KTH STH

10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Problem 8 Bestäm med Mathematica en formel för b i i=a I en aritmetisk serie är differensen mellan en term oh närmast föregående konstant. Problem 9 Bestäm en formel för 1+3+5+7+9+...+(n+1) Problem 10 Bestäm med Mathematica och sum Försök nu bestämma en formel för en serie 8+13+18+3+8+33+38+43 a 1 +a +...+a n där a j+1 a j = d och a 1 är givet. Bestäm med hjälp av denna formel summan av serien ovan. Problem 11 Använd Mathematica för att bestämma hur många termer man behöver ta med i Harmoniska serien 1 1 + 1 + 1 3 + 1 4 + 1 5 +... för den ska ha en summa som överstiger 4 10 15 Problem 1 Uttryck den rekursiva formeln på sluten form där a 0 = 7 och a 1 = 16. a n = 5a n 1 6a n Problem 13 Fibonaccitalet F n är medelvärdet av två andra Fibonaccital vilka? Håkan Strömberg 14 KTH STH

Problem 14 Uttryck summan med hjälp av summationstecknet 5+6+7+8+9 Problem 15 Uttryck summan med hjälp av summationstecknet +4+6+8+10+1 Problem 16 Uttryck summan med hjälp av summationstecknet 1+4+9+16+5+36 Problem 17 Uttryck summan med hjälp av summationstecknet 4+8 16+3 64 Problem 18 Uttryck summan 1 3 3 4 + 5 5 7 6 + 9 7 med hjälp av summationstecknet Lösningar Teoriuppgifter Lösning Teoriuppgift 1 Vi tar till en rekursiv funktion och skriver ut 10 tal f[0] := 1 f[-4] := 0 f[-3] := 0 f[-] := 0 f[-1] := 0 f[n_] := f[n-1] + f[n-] + f[n-3] + f[n-4] + f[n-5] Table[f[n],{n, 1, 10}] {1,, 4, 8, 16, 31, 61, 10, 36, 464} Detta räcker för att ta reda på att talföljden kallas Pentanacci numbers. a n 1 bestämmer antalet möjligheter att skriva n som en summa av tal där inget tal får överskrida 5. n = 8 är tre av 61 möjligheter 1+1+1+1+1+1+1+1 = 8, ++1+1+1+1 = 8 och 5+3 = 8 Håkan Strömberg 15 KTH STH

10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Lösning Teoriuppgift m = {{10, 65}, {18, 6737}, {, 59337}, {50, 156705}, {54, 131081}, {100, 501905}}; Fit[m, {1, x, x^, x^3, x^4}, x] 5. - 10. x +. x^ - 1.3984*10^-1 x^3 + 0.5 x^4 f[x_] := 5-10x+x^+x^4/4; Map[f, {10, 18,, 50, 54, 100}] {65, 6737, 59337, 156705, 131081, 501905} Lösning Teoriuppgift 3 39088169 ett fibonaccital. Lösning Teoriuppgift 4 31131111 som är en beskrivning av föregående tal 1113111, som består av 3 stycken 1:or, 1 stycken 3:a, 1 stycken 1, stycken :or, stycken 1:or och 1 stycken 1:a, som bildar vårt tal! Lösning Teoriuppgift 5 Antalet möjligheter att sätta samman n kvadrater till olika pusselbitar. Figur 10.8: För fyra kvadrater finns det fem möjligheter. Man får alltså både vrida och vända på bitarna. Håkan Strömberg 16 KTH STH

Lösning Teoriuppgift 6 Figur 10.9: Ett annat sätt att visa ett Motzkin tal Lösning Teoriuppgift 7 Expand[Sum[i^3, {i, 1, n}]] n i 3 = n4 +n 3 +n 4 Lösning Teoriuppgift 8 Sum[i, {i, a, b}] b i=a i = a+b (b+1 a) Lösning Teoriuppgift 9 Sum[ i + 1, {i, 0, n}] Sum[i, {i, 1, n + 1, }] 1+3+5+7+9+...+(n+1) = (n+1) Håkan Strömberg 17 KTH STH

10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Lösning Teoriuppgift 10 Sum[a + b*d, {d, 1, n}] f[a_, b_, n_] := a*n + b*n^/ + b*n/ f[0,,4] 0 n a+i b = an+ bn + bn Lösning Teoriuppgift 11 f[n_] := Block[{summa = 0, tal = 0}, While[summa < n, tal++; summa = summa + 1/tal; ]; tal ] f[4] 31 g[n_] := Block[{summa = 0, tal = 0}, While[summa < n, tal++; summa = summa + N[1/tal, 100]; ]; tal ] g[1] 91380 Håkan Strömberg 18 KTH STH

Lösning Teoriuppgift 1 RSolve[{a[n] == 5a[n-1] - 6a[n-],a[0] == 7,a[1] == 16}, a[n], n] a n = 5 n + 3 n Lösning Teoriuppgift 13 Koll F n = F n +F n+1 Table[{Fibonacci[n],(Fibonacci[n-]+Fibonacci[n+1])/},{n,1,0}] Lösning Teoriuppgift 14 9 k k=5 Lösning Teoriuppgift 15 6 i Lösning Teoriuppgift 16 6 n=1 n Lösning Teoriuppgift 17 6 ( 1) i+1 i Håkan Strömberg 19 KTH STH

10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Lösning Teoriuppgift 18 6 i+1 i 1 ( 1) i+ Laboration Laborationsuppgift 1. Udda catalanska tal () Vad kan sägas om n då C n är ett udda tal? Laborationsuppgift. Summan av fibonaccital () Uttryck denna summa n k=0 i en formel med hjälp av bland annat ett fibonaccital. F n Laborationsuppgift 3. En summa till av fibonaccital () Uttryck denna summa n k=0 i en formel med hjälp av ett fibonaccital. F k+1 Laborationsuppgift 4. Näst sista summan av fibonaccital () Uttryck denna summa n i en formel med hjälp av fibonaccital. k=0 F k Laborationsuppgift 5. En sista summa av fibonaccital () Uttryck denna summa n F k 1 F k k=1 i en formel med hjälp av bland annat ett fibonaccital. Laborationsuppgift 6. Vilket fibonaccital () Vilket fibonaccital ska stå på frågetecknets plats? F n +F n+1 =? Håkan Strömberg 0 KTH STH

Laborationsuppgift 7. Fibonacci i Pascals triangel () Fibonacci tal dyker upp som summor i Pascals triangel. Visa på exempel. Laborationsuppgift 8. Sista siffran () Om man bara studerar sista siffran i fibonacci talen, följer de ett mönster som upprepas efter n tal. Bestäm n. Laborationsuppgift 9. En matrispotes () Beräkna ( 1 1 1 0 och upptäck något som har med fibonacci tal att göra. I Mathematica definieras matrisen A på följande sätt a={{1, 1},{1, 0}} MatrixPower[a,n] ) n Laborationsuppgift 10. Definiera funktion () Definiera följande funktion i Mathematica f(a,b) = b ( ) a+1 ( 1) j (b+1 j) a j j=0 Ta fram några värden och försök identifiera dem Laborationsuppgift 11. Ett gränsvärde () I första matematikkursen lärde du dig att beräkna till exempel I Mathematica löser vi detta problem genom (3x+1)(5x+) lim = 15 x > x(x+1) Limit[(3*x+1)*(5*x+)/(x*(x+1)), x->infinity] 15 Bestäm nu gränsvärdet F n+1 lim n > F n Vad heter detta gränsvärde? Sök talet på nätet med lagom många decimaler. Laborationsuppgift 1. Strängar med 0:or och 1:or (3) Generera och räkna antalet binära strängar med n tecken och där aldrig två 0:or följer på varandra. Uttryck detta antal med hjälp av ett fibonacci tal Håkan Strömberg 1 KTH STH