Mål När du har arbetat med det här kapitlet ska du kunna: ~ beskriva begreppen funktion och linjär funktion ~ tolka linjära funktioner grafer och formler med ord, ~ använda formler som beskriver linjära funktioner, proportional iteter, geometriska mönster och talföljder ~ använda räta linjens ekvation funktion L formel variabel värdetabell graf tabell räta linjens ekvation linjär funktion aritmetisk talföljd proportionell
nom matematiken används begreppet funktion när man vill beskriva ett samband mellan två variabler som är beroende av varandra. På en elräkning är kostnaden för elförbrukningen uppdelad i två delar. En fast del och en rörlig del som beror på hur mycket el som förbrukas i ett hem. Familjen Hansson betalade en fast avgift på 4600 kr det senaste året. Elpriset var 0,93 krkwh och familjen gjorde av med 6 700 kwh under året. kr'; ' Kostnad -1:2-pa'8 ~8-P8' -~- v V -8-08 38- -~ 3Hv-e, Ftirbrrti~f1ilf1e i-op9- f--'t90~--+kf'9detta kan beskrivas med hjälp av - en graf i ett diagram - en formel kostnaden y = 0,93 + 4 600 Hur förändras utseendet på grafen och formeln om - den fasta avgiften i stället varit 5 700 kr Äriset varit 0,60 krkwh 2 FUNKTONER OCH ALGEBRA 43
Grundkurs Funktioner nom matematiken används ordet funktion när man vill beskriva sambandet mellan två variabler. Man kan beskriva en funktion med en graf eller en tabell. Tabellen och grafen i diagrammet visar hur temperaturen har varierat under ett dygn på en ort. För varje tidsvärde finns ett temperaturvärde. Man säger att temperaturen är en funktion av tiden. o[, emt r +5 C kl. 14.00 l- 1 V \ ~ k ";: 1 ---~--'~-c-,- f-.12, 11; Tid 00.00 06.00 12.00 18.00 24.00 Temperatur (0C) -5-5 2,5 2-8 1 Använd rutan här ovanför när du löser uppgiften. a) När under dygnet var det kallast? b) Hur stor var skillnaden mellan den högsta och den lägsta temperaturen? 2 Graferna i diagrammet visar antalet soltimmar för Alice Springs och Karesuando. 1 i,o ser s irr mar -48 1 ", fl- -t 8 1 8-.- r-... v --<8:8 -ea V,..;fl -~~ -- -j-c '-r~-~-r--,-,4-' -d~ -- Alice Springs (Australien) - Karesuando (Sverige) \ Vilket samband visar diagrammet, säga vilket påstående är rätt? l - Antalet solskenstimmar av tiden. 2 - Tiden är en funktion av antalet solskenstimmar. det vill är en funktion 44 2 FUNKTONER OCH ALGEBRA
3 Vilken av graferna passar bäst till var och en av tabellerna? a) Tid, min. () O 1 2 3 4 S 6 7 Temp. C (y) O 40 6S 80 90 96 99 100 Vatten som kokar. Temperaturen är en funktion av tiden. b) Antal körlektioner () S 10 1S 20 Total kostnad (y) 4000 6000 8000 10000 Kostnad för körkort. Kostnaden är en funktion antalet körlektioner och en grundavgift. av 4 Petra springer 400 m. Hon startar snabbt, men efter 100 m blir hon trött och minskar farten. När hon närmar sig mål orkar hon ändå spurta. Petras hastighet under loppet är en funktion av hur långt Petra sprungit. Graferna visar två förslag på hur hastigheten beror av sträckan. a) Vilken av graferna A eller B visar bäst hur Petras hastighet har varierat under loppet? b) Yasmin springer enligt den andra grafen. Gör en beskrivning av hennes hastighet under loppet. 100 200 300 400 m 5 Olika bägare fylls aven jämn vattenstråle. Vattnets höjd i bägaren är en funktion av tiden. a) Para ihop rätt graf med rätt bägare. b) Rita en graf söm beskriver vattnets höjd i den återstående bägaren. 2 funktoner OCH ALGEBRA 45
Linjära funktioner Om grafen till en funktion är en rät linje så beskriver grafen en linjär funktion. diagrammet är två grafer utritade. De beskriver sambanden mellan kostnad och vikt när man köper godis med eller utan presentask. Kostnaden, y, är en funktion av vikten, i hg. Graf A visar funktionen y = 9 + 20 Kostnaden för godiset är 9 krhg plus 20 kr för asken. Graf B visar funktionen y = 9 Kostnaden för godiset är 9 krhg. Kostnaden beror endast på vikten. Kostnaden 'är proportionell mot vikten. (Y = 9 + 20 J kr TV) B rsie ~e 1 31.,. 1 y rfl = 9 ) 1 -' lo,- ---~ :2 g T Använd rutan här ovanför när du löser uppgifterna 6-7. 6 Vad får du betala för 3 hg godis a) med ask b) utan ask 7 Hur förändras utseendet på graf A om a) presentasken kostar 40 kr b) hektopriset för godiset är 8 kr 8 Godisbutiken har fyra erbjudanden. Vilken graf hör till vilket erbjudande? a) 4 krhg och 50 kr för asken b) 6 krhg och 30 kr för asken c) 12 krhg utan ask d) Fyll asken med så mycket godis du kan för 80 kr. 9 Vilket erbjudande är billigast om du tänker köpa kr,; -z~ff-e~ 8~ L.-- f-6e :,...-.,,J 413- z- 1 (.-- E "'" D ~ S-- fl{; 1 1 g a) 3 hg b) 7 hg c) l kg 10 Erbjudandet R är aldrig dyrast. Hur ser du det i diagrammet? 11 Grafen P visar en proportionalitet. Förklara varför det är så. 46 2 FUNKTONER OCH ALGEBRA
12 Att hyra en optimist jolle kostar 30 krtim och 50 kr i grundavgift. Vilken formel i rutan passar in på kostnaden för att hyra båten? y står för timkostnaden och för antal timmar. 13 Gruppen Streetdancers anlitar en danslärare. Hon tar 300 kr i administrativ avgift för hela träningstiden och sedan 200 kr i timmen för att träna dem. a) Skriven formel för hur kostnaden, y kr, beror av tiden, h. b) Gruppen har 10 000 kr. Räcker det till träning 4 h varje dag i 10 dagar? y= 50-30 y= 50+ 30 y= 30+ 50 y= 30-50 14 Funktionen y = 3 500 + 237 000 beskriver antalet invånare i Malmö, antal år efter 1993. a) Vad betyder 237 000 i formeln? b) Vad betyder 3500 i formeln? c) När hade Malmö 300 000 invånare om vi antar att invånarantalet fortsatte att öka på samma sätt som formeln visar? 15 En presentaffär säljer godis på lösvikt. Kunden får en ask och fyller den med godis. Kassören väger sedan asken tillsammans med godiset. Kunden betalar bara för godiset. Robin, Anna, Per och Nina handlar var sin ask med godis. a) Vad kostar godiset per hg? b) Hur mycket väger en tom ask? Totalvikt Pris (hg) (kr) Robin 1,2 13,5 Anna 2,8 37,5 Per 3,5 48 Nina 4,3 60 2 FUNKTONER OCH ALGEBRA 47
Mer om linjära funktioner Grafen visar funktionen y = 2. För alla punkter på grafen är y-värdet dubbelt så stort som -värdet. Värdet på y kan läsas av i koordinatsystemet eller beräknas med hjälp av formeln y=2. Eempel Du har funktionen y = 2. Beräkna y-värdet när a) =3 b) =-4 Y = 2. 3 = 6 Y = 2. (-4) = -8 Svar: y = 6 Svar: y = -8 5 " y 4 ~ J z,~ V y= 2... -5-4 -3-2 - j 2 3 5 ' J 4 16 Använd grafen till höger när du löser uppgiften. Vilket värde har y när a) =o b) =3 c) =-2 17 Du har funktionen y = + 5. Beräkna värdet för y när a) =o b) =2 c) =-3 18 Du har funktionen y = 2-3. Beräkna värdet för y när a) =o b) =4 c) =-l v y~ 2 -+--t--t--t-+-+3+--y-+'-+-+-+- -+-+-~~-+z-~'~~-+-+-+-r -+-+-~~-Y'~-t-+-+-~-+~ 1-5 -4 -V-2 -n 1 3 ~--l--+-=t---=--f-+--+- z, ' 19 Tabellen visar sambandet mellan -värde och y-värde hos en linjär funktion. Beskriv funktionen med ord och med en formel. a) y b) y c) y d) y O O 1 2-1 -2-2 -4 O 3 1 4-1 2-2 1 O -2 2 O -1-3 4 2 O 1, 1 3-1 -1-2 -3 48 2 FUNKTONEROCHALGEBRA
Rita grafer i koordinatsystem Eempel Rita grafen till den linjära funktionen y = 2 - l i ett koordinatsystem. G) Gör en värdetabell. @ Rita ett koordinatsystem. Markera de Välj tre olika värden koordinater, alltså värden på och y, på och beräkna värdet som du har räknat ut i tabellen. Dra en på y. linje genom de markerade koordinaterna. Du har nu ritat grafen till funktionen. y= 2-1 O 2-0-1=-1 2 2-2-1=3-2 2 - (-2) - 1 = -5, y ~ " y V 4 ~, ~. (DD-c-.. -p -4-3 - - :2 3 4 ( (-2, -5) l.. il ~ j "(0,-1) :., 20 Undersök om grafen till funktionen y = 2 - l i rutan skulle se annorlunda ut om man väljer andra värden på. a) Skriv av värdetabellen och beräkna värdet på y. b) Rita ett koordinatsystem och markera punkterna utifrån de koordinater som du har beräknat. Dra en linje genom punkterna. c) Jämför den graf du har ritat med grafen i rutan. Är det samma? y= 2-1 y -1 2 - (-1) - 1 = -3 1 3 21 Rita grafen till funktionen y = + 2. a) Börja med att göra en värdetabell och fyll i den. Välj tre värden på och beräkna y. b) Markera punkterna i det koordinatsystem som du ritade i uppgift 20. Rita en linje genom punkterna. c) Jämför lutningen på grafen som du ritade i uppgift 20. Vad är det för skillnad? 2 FUNKTONER OCH ALGEBRA 49
. Räta linjens ekvation y k w m Grafen till en linjär funktion är en rät linje. Den kan skrivas med formeln y = k + m. Denna formel kallas räta linjens ekvation. Värdet på m anger var linjen skär y-aeln. k är ett mått på linjens lutning. koordinatsystemet är tre linjer ritade. Samtliga tre linjer skär y-aeln i punkten (0,2), m-värdet är 2. Ju större k-värdet (talet framför ) är, desto brantare lutar linjen. y e c w m y 1-( y = 3 + 2 rt j. Jy 1,5 + 2 J... V 3 t....1'!a ~ -.:;;iii y = O,5 + 2 "11- 'l -8 - V- V :2 3l 4 S r -1, V ~ 22 Linjen till funktionen y = 2 + l är ritad i koordinatsystemet till höger. a) Rita av linjen och markera var den skär y-aeln. b) Ange m-värdet och k-värdet. c) Rita en linje i samma koordinatsystem som har större k-värde men samma m-värde. d) Rita ytterligare en linje i samma koordinatsystem som har mindre k-värde och samma m-värde. 5 Y 4, V J z - - -Q - v' 1 :2 :3 r '1 2 23 a) Para ihop linje och formel y=2-2 y=2+3 y=2 b) Hur ser man i formlerna att linjerna är parallella? c) vilka punkter skär linjerna y-aeln? Hur kan du se det i formlerna? y lp r- R R 4, V j i 1 1 " -3 - ~-h j :2 3 4 r ~1 1 SO 2 FUNKTONER OCH ALGEBRA
Man kan bestämma den räta linjens ekvation utifrån linjen i ett koordinatsystem. Man kan bestämma k-värdet genom att "stega" i koordinatsystemet. Välj en startpunkt på linjen, t.e. (0, 1). Gå l steg till höger. Gå sedan rakt upp tills du träffar linjen. Här behöver du gå 3 steg. Linjens k-värde är 3. Linjen skär y-aeln i punkten (0, 1). Det betyder att m-värdet är L Nu kan man skriva linjens ekvation: y = 3 + l 4'' Y i i 1 1 3.A- st g (k=3) i -- - m = 1 9 ~$ '" - -,, 24 Vilken linje hör ihop med vilken funktion? 1 y=+2 2 y=2 3 y = - 2 4 Y = - + 2 25 a) Vilken av linjerna visar en proportionalitet? b) Vilket m-värde har en proportionalitet? -, 4 A"'-. 'y r B;i f" -, A ~- ) 1 Z "L 1 r-, -5-4 -B]; -T j 2""- S -, V' -, 26 Tre linjer är ritade i koordinatsystemet. a) Skriv formeln för varje linje. b) En linje som är parallell med linje C skär y-aeln i punkten (0, -2). Skriven formel för linjen. 27 Markera punkterna i ett koordinatsystem. Dra en linje genom punkterna. Bestäm ekvationen för linjen om koordinaterna är a) (0, O) och (4,2) b) (1, -2) och (-1,4).,,-f»: '»: r-, -, 'y B -, r. Al- -,..,-r -, ~.,,-v ;...-:..,,- '". -B -]; -T 1~ S ' 9- -, -, -, V -, 2 FUNKTONER OCH ALGEBRA 51
Talföljder och mönster Talen 6, 10, 14 är de tre första talen i en aritmetisk talföljd. en sådan talföljd är differensen mellan två tal som ligger intill varandra lika stor. Här är differensen 4. Talföljden visas i en tabell. Det första talet 6 kan skrivas som 4. l + 2. Det andra talet lokan skrivas som 4. 2 + 2. Det tredje talet 14 kan skrivas 4 3 + 2. Det n:te talet kan skrivas 4. n + 2. Formeln för talföljden är y = 4n + 2 där y är talet som har plats nr n. Tal nr; n Tal,y 1 4 1+2=6 2 4 2+2=10 3 4 3+2=14 n 4n + 2 28 Använd talföljden i rutan här ovanför. Vilket är tal nr a) 5 b) 10 c) 50 29 Tre talföljder kan beskrivas med formlerna nedan. Ange de tre första talen i talföljderna a) y = 2n + 3 b) Y = 4n - 8 c) y = 9n 30 Beskriven egen aritmetisk talföljd med en formel. Ange de tre första talen. 31 Lotta skulle skriva upp några aritmetiska talföljder, men hon råkade kladda ner papperet så att vissa tal inte syntes. Vilka är de saknade talen? a) 15,23,0 b) 0,27,40 c) 84,0,106 32 Bestäm formeln till talföljden där de tre första talen är a) 3,5,7 b) 5,8,11 c) 3,-1,-5 33 Vilket är det 64:e talet i en aritmetisk talföljd där det 6:e talet är 32 och det 9:e talet är 47? 52 2 FUNKTONER OCH ALGEBRA
Talföljden i rutan på förra sidan kan också illustreras med hjälp av ett mönster, t.e. som i figuren nedan. Figur 1 Figur 2 Figur 3 34 Figuren visar de tre första figurerna i ett mönster. Tabellen visar hur mönstret kan beskrivas med en talföljd. Skriv av tabellen och fyll i de tomma rutorna. 35 Du har en talföljd som kan skrivas med formeln y = 5n + 1. Hitta på ett mönster som passar till formeln. Tal nr, n Antal kvadrater, 1 1 2 5 3 9 4 10 n y 1 En funktion är ett samband mellan två tal. 2 En rät linje i ett koordinatsystem beskriver en linjär funktion. 3 "Hyr snowboard för 40 krh och grundavgift 100 kr". Annonsen kan beskrivas med funktionen y = 40 + 100. 4 Annonsen i uppgift 3 är ett eempel på ett proportionellt samband. S Funktionen y = 15 är en proportionalitet. 6 Formeln för en linjär funktion kallas räta linjens ekvation. 7 Funktionen är y = + 2. Om = 3, är y = 5. 8 Den räta linjen y = 2-3 har k-värdet 2. 9 Den räta linjen y = 3 + 2 skär y-aeln i punkten (O, 3). 10 3, 5, och 6 är eempel på en aritmetisk talföljd. 11 Antal stickor i figur nr n kan beskrivas med funktionen y = 2n + 1. Figur 1 Figur 2 Figur 3 12 Koordinaterna (2, 6) och (5, 8) kan beskriva funktionen y= 3. 2 FUNKTONER OCH ALGEBRA 53
Diagnos 1 På Pelles födelsedag hissar farfar flaggan på flaggstången i trädgården. Graferna visar hur flaggans höjd på stången är beroende av tiden det tar att hissa flaggan. a) Vilken graf beskriver bäst hur farfar hissar flaggan? b) En av graferna är omöjlig. Varför? Höjd c Tid Tid 2 Familjen Grönblad vill hyra en bil under en helg. Kostnaden y kr kan skrivas y = 3 + 800, där är antalet kilometer. Vad är y om= 160 km? 3 Para ihop rätt beskrivning av kostnaden för ett mobilabonnemang med rätt funktion i rutan. y är kostnaden i kr för minuter. A 0,40 krmin + 80 kr i grundavgift B 0,80 krmin + 40 kr i grundavgift C 0,40 krmin 1 Y = O,40 2 y = 0,40 + 80 3 Y = 0,80 + 40 4 a) Hur mycket kostar 5 hg oliver med vitlök? b) Vad är kilopriset för oliver med sardeller? - Oliver med vitlök - Oliver med sardeller 5 En linjär funktion beskrivs med formeln y = 3-2. Vilket värde får y om a) = 2 b) = 4 c) = O 6 En linjär funktion beskrivs av följande värdetabell. a) Rita ett koordinatsystem. Markera punkterna och rita en linje som går genom punkterna. b) Skriv funktionen som en formel. k ' ris re bio 1 ~o 1 v- 40- v- i- ~i~t :2 i- r-~-r-~~- [ly 1 1 3 5 5 9 54 2 FUNKTONER OCH ALGEBRA
7 rutan finns formler för tre räta linjer. A y=2-3 B y= 3 C y=+3 a) Vilken av de räta linjerna skär y-aeln i punkten (O, 3)? b) Vilken av de räta linjerna beskriver en proportionalitet? 8 Tabellen visar en aritmetisk talföljd. a) Ange en formel som beskriver talföljden. b) Vilket tal är nr 100? Tal nr, n Tal,y 1 3 2 4 5 7 10 12 n Figur 1 Figur 2 Figur 3 9 Hur många gula plattor finns i figur a) 4 b) 7 10 Skriven formel som visar hur antalet gula plattor, y, beror av antalet röda plattor, n. Tre ungdomar står på ett led. De har alla keps. Kepsarna är tagna ur en låda där det låg två blå och fyra röda kepsar. Ann kan se färgen på Robins och Majas keps, men inte sin egen. Robin kan bara se Majas keps och Maja kan inte se någon av kepsarna. När Ann får frågan om vilken färg hennes keps har. så kan hon inte lista ut det, Robin kan inte heller lista ut färgen på sin egen keps. Då vet jag färgen på min keps, säger Maja. Vilken färg har Maja på kepsen och hur kan hon veta det? Hannes planterar 12 buskar. Han planterar dem i 6 rader med 4 buskar i varje rad. Visa att det är möjligt. 2 FUNKTONER OCH ALGEBRA 55
2 Funktioner 1 a) 24:00 2 3 a) C b) B 4 a) A b) 13 C b) Yasmin ökade sin hastighet mycket i början av loppet, efter 100 meter fortsätter hon att öka sin hastighet men inte lika mycket. Hon ökar hastigheten ända tills hon sprungit 300 meter, då avtar hennes hastighet något. 5 a) l - C 2 - B 3 - A 4 - E bl~ 6 a) 47 kr b) 27 kr 7 a) Grafen har samma lutning men startar vid 40 kr. b) Grafen har en mindre lutning. 8 a) R b)q c) p d)s 9 a) P b)q c) S 10 Grafen R är aldrig överst av graferna. 11 Priset beror endast på mängden godis. Grafen utgår från origo och är en rät linje. 12 y = 30 + 50 13 a) y = 200 + 300 b) Ja, det kostar 8 300 kr. 14 a) Antalet invånare i Malmö 1993. b) Hur många invånare som Malmö ökar med varje år. c) 2011 15 a) 15 krhg b) 0,3 hg 16 a) 2 b) 5 c) O 17 a) 5 18 a)-3 bp b)5 c) 2 c) -5 19 a) y-värdet är dubbelt så stort som -värdet y= 2 b) y-värdet är 3 större än -värdet adderat med 3. y=+3 c) y-värdet är 2 mindre än -värdet. y=-2 d) y-värdet är dubbelt så stort som -värdet adderat med 1. y=2+1 20 a) y= 2-1 -12 (-1)-1=-3 y 2 1-1 = 1 3 23-1=5 b) ~Y c) (Ja) -'- f--t 21 a) y=+2 y -1-1+2=1 o 0+2=2 1 + 2 = 3 v ", +- b) 'Y V L. X r la' r c) Grafen lutar mindre. t 22 a), c), d) 1, f- --+ 1 ' f-f-- Ve - dl V ;~ l" '!0ff ~ ~l b) k-värdet är 2 och m-värdet är 1. 23 a) P, y = 2 + 3 Q,y= 2 R, y= 2-2 b) Alla linjer har samma k-värde och då har linjerna samma lutning. P i punkten (0,3) Q i punkten (O, O) R i punkten (O, -2) Man avläser m-värdet. 24 l-c 2-B 3-D 4-A 25 a) B b)o 26 a) A,y=2+ 2 B,y= 2-3 C, y=-+ l b) y = -- 2 27 a) y=- 2 b)y=-3+1 28 a) 22 b) 42 c) 202 29 a) 5,7,9 c) 9,18,27 30 T.e. y = 2n + l n 2n+ 1 1 3 2 5 3 7 b) -4, O,4 31 a) 31 b) 14 c) 95 32 a) 2n + l b) 3n + 2 c) -4n + 7 322
34 Tal Antal nr. n kvadrater, y l l 2 5 3 9 4 13 10 37 n 4n - 3 3 Sant eller Falskt 1 f 2 s 3 s 4 f 5 s 6 s 7 s 8 s 9 f 10 f 11 s 12 f