STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd Matematisk statistik 24 augusti 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 augusti 2016 9 14 Basdel Uppgift 1 a Enligt uppgiften har vi E [N R=µ] = 10µ och därmed E [N R] = 10R Vi får då E[N] = E[E[N R]] = E[10R] = 10E[R] = 10 5 = 50 (5 p b Vi har Var (N R=µ = 10µ och därmed Var (N R = 10R Betingade variansformeln ger Var(N = Var(E[N R]+E[Var(N R] = Var(10R+E[10R] = 100Var(R+10E[R] = 100 25 + 10 5 = 20 (5 p Uppgift 2 a (Not: Tider anges i sekunder om inte annat sägs i Droppar träffar Kajsa enligt en Poissonprocess med intensitet λ K = 2% 100 = 2 per sekund N 100 Po(λ K t = Po(2 100 = Po(200 ii Felix träffas av droppar enligt en oberoende Poissonprocess med parameter λ F = 1% 100 = 1 per sekund Sannolikheten att ingen droppe träffar Felix under en minut blir e λ F t = e 1 60 = e 60 iii Då det rör sig om konkurrerande händelser så får vi direkt att P( Felix blir träffad innan Kajsa = λ F λ K +λ F = 2 2+1 = 1 3 iv Givet att det fallit exakt två droppar så är tiderna då var och en föll oberoende och likformigt fördelade på det givna intervallet 10 sekunder P( minst en droppe under den första sekunden exakt 2 på 10 sekunder = 1 P( båda dropparna under de sista 9 sekunderna exakt 2 på 10 sekunder = 1 ( 9 10 2 = 19 100 (4 p b Hunden blir blöt med intensitet λ = λ F = 1 per sekund Hunden blir torr med intensitet µ = 1/100 eftersom det går i snitt 100 sekunder mellan skakningar Detta kan beskrivas som en Markovprocess (i kontinuerlig tid enligt följande skiss:
Stokastiska processer och simulering I, 24 augusti 2016 2 T λ=1 μ=1/100 B Eftersom kedjan är irreducibel och ändlig så existerar säkert en gränsfördelning (observera att periodiciteten inte spelar någon roll i kontinuerlig tid Vi kan bestämma gränsfördelningen genom att ställa upp balansekvationen längst med den streckade linjen i figuren Tillsammans med villkoret att sannolikheterna ska summera till 1 så får vi ekvationssystemet: { λp T = µp B, P T + P B = 1 med lösning { P T = 1 101 P B = 100 101 Andelen av tiden som hunden är torr är 1/101 (6 p Uppgift 3 a Övergångsmatrisen (med kolumner och rader numrerade 1-6 blir P = 0 01 0 07 02 0 04 0 06 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 Kedjan har två klasser Klassen {1, 2, 3, 4} är transient och periodisk med perioden 2 Klassen {5, 6} är positivt rekurrent eftersom den är rekurrent och ändlig Den är också periodisk med perioden 2 (3 p b Låt variabeln y ange nästa tillstånd u <- runif(1 if (u < 01 { y <- 2 } else if (u < 01+07 { y <- 4 } else { y <- 5 } (2 p c Nej, kedjan besöker endast tillstånd 4 på udda steg (givet X 0 = 1, vilket beror på att kedjan har perioden 2 (1 p d P(X n =j X 0 =i = (P n ij, där P n är övergångsmatrisen upphöjd till n och ( ij anger elementet på rad i och kolumn j i en matris (2 p e På lång sikt kommer sannolikheten för de transienta tillstånden att gå mot noll, medan summan av sannolikheterna för de positivt rekurrenta tillstånden går mot 1 och detta gäller oberoende av starttillstånd En stationär fördelning existerar därmed Eftersom
Stokastiska processer och simulering I, 24 augusti 2016 3 den rekurrenta klassen är periodisk så existerar dock inte någon gränsfördelning (eftersom gränsvärden för sannolikheterna inte existerar Den stationära fördelningen kommer att ha lösningen π 5 = π 6 = 05 eftersom lika mycket tid kommer att tillbringas i vardera tillståndet (på lång sikt (2 p Svårare del Uppgift 4 a Eftersom tiden från att strömmen bryts till att ugnarna fungerar igen är 0 (detta sker omedelbart så behövs inget speciellt tillstånd för detta Eftersom ugnarna är identiska så behöver vi inte bry oss om vilken ugn som är i drift om det bara är en ugn som är det Vi får tillståndsrummet S = {0, 1, 2}, där antalet anger hur många mikrovågsugnar som är i bruk Studenterna anländer med intensitet λ = 1 per minut En ugn värmer en portion mat med intensitet µ V = 1/3 per minut Om båda ugnarna är igång så blir systemet överbelastat med intensitet µ B = 1/2 per minut Blir systemet överbelastat så går vi direkt från tillstånd 2 till tillstånd 0 Vi kan då skissa Markovprocessen enligt följande: =1 =1 0 1 2 V =1/3 2 V =2/3 B =1/2 Eftersom utfallsrummet är ändligt och kedjan är irreducibel så existerar säkert en gränsfördelning Vi ställer upp balansekvationerna P 0 = 1 3 P 1 + 1 2 P 2 ( 2 3 + 1 2 P 2 = P 1, P 0 + P 1 + P 2 = 1 där vi i de två första ekvationeran låtit vänsterledet representera ut och högerledet in, och i den sista ekvationen utnyttjat att alla sannolikheter summerar till 1 Ekvationssystemet har lösningen P 0 = 16 P 0 = 21, P 0 = 18 (6 p b Till att börja med är det klart att de studenter som anländer då båda ugnarna är upptagna inte får sin mat korrekt uppvärmd Dessa utgör 18 av alla studenter eftersom personer som anländer enligt en Poissonprocess upplever att systemet är i respektive tillstånd just i enlighet med gränsfördelningen Dessutom får en viss andel av alla studenter sin mat förstörd Detta inträffar då systemet är i tillstånd 2 och det blir en överbelastning Detta sker med intensitet 1/2 per minut under den andel av tiden som systemet befinner sig i tillstånd 2 Vi måste dock komma ihåg att när vi är i tillstånd 2 så är det två studenter som försöker värma mat så det är två personer som får sin mat förstörd om elsystemet blir överbelastat Studenter får alltså sin mat förstörd med genomsnittlig intensitet 2 2 18 1 = 18
Stokastiska processer och simulering I, 24 augusti 2016 4 per minut Eftersom studenterna anländer med intensitet 1 per minut så är andelen studenter som får sin mat förstörd 18 Totalt är då andelen som inte får sin mat korrekt uppvärmd 18 + 18 = 36 36 och därmed 1 = 19 som får sin mat korrekt uppvärmd (4 p Uppgift 5 a Figuren ser ut som om vi har lagt ihop täthetsfunktionerna för två olika stokastiska variabler: en som är likformigt fördelad på intervallet [ 1, 0 och en som är likformigt fördelad på intervallet [0, 1 Från höjden ser vi att den vänstra har 1 3 av sannolikhetsmassan och den högra 2 3 av sannolikhetsmassan Med hjälp av U och V kan vi nu simulera funktionen på följande sätt: 1 Om U < 1 3 så låter vi X = V 1 2 Annars låter vi X = V Notera att vi inte behöver bry oss om att punkten 1 inte är inkluderad vilket beror på att det är kontinuerliga stokastiska variabler vi jobbar med (4 p b För att använda inversa transformmetoden måste vi först hitta fördelningsfunktionen och sedan inversen till denna Från figuren ser vi direkt att ytan under functionen g(x är 3 och därför blir c = 1 3 Då fördelningsfunktionen är integralen av täthetsfunktionen så måste den bestå av två räta linjesegment och de måste skära punkterna ( 1, 0, (0, 1/3 och (1, 1, vilket direkt ger 0 då x < 1 1 F (x = 3 + 1 3x då x [ 1, 0 1 3 + 2 3x då x [0, 1 1 då x 1 Vi söker inversen genom att sätta F (x = u och löser ut x som funktion av u Notera att inversen bara är definierad på intervallet u [0, 1] Vi behöver dela upp definitionsmängden för u i två intervall och löser ut x separat i de två mittersta ekvationerna för F (x ovan Vi får { 3u 1 då u [0, 1 x = 3 3 2 u 1 2 då u [ 1 3, 1] Vi genomför nu simuleringen på följande sätt: 1 Om U < 1 3 så låter vi X = 3U 1 2 Annars låter vi X = 3 2 U 1 2 (6 p
Stokastiska processer och simulering I, 24 augusti 2016 5 Uppgift 6 Fåren vandrar helt oberoende av varandra så vi kan beräkna sannolikheten att ett får blir klippt och sedan applicera detta på hela populationen av får Vi måste dock ta hänsyn till att sannolikheten är olika beroende på om fåret startar i hage A eller i hage B Vi ser av figuren att tillstånd F (Fårhus är absorberande Det är det enda absorberande tillståndet så till slut kommer alla får att ha hamnat där De som inte har passerat tillstånd K (Klippning innan de kommer till tillstånd F kommer inte heller att ha blivit klippta Vi kan nu lösa problemet genom att även låta tillstånd K vara absorberande Vi räknar ut sannolikheten för att ett får absorberas i tillstånd F respektive tillstånd K Sannolikheten att absorberas i tillstånd K är då sannoliheten att fåret har blivit klippt Dessa sannolikheter ges av SR-matrisen Vi skriver tillståndsrummet som S = {A, B, F, K}, där vi räknar upp de transienta tillstånden först Vi får nu övergångsmatrisen P = 04 05 01 0 05 03 0 02 0 0 1 0 0 0 0 1, ur vilken vi identifierar P T = ( 04 05 05 03 = 1 10 ( 4 5 5 3 och R = ( 01 0 0 02 = 1 10 ( 1 0 0 2 Vi söker matrisen S = (1 P T 1 Inversen för en 2x2 matris kan vi enkelt få ut från en formel (om vi kommer ihåg den från tidigare grundkurser eller så så löser vi ut den för hand Vi får i vilket fall Detta ger SR = S = 10 ( 7 5 17 5 6 ( 7/17 10/17 5/17 12/17 där första och andra raden svarar mot att fåret startar i hage A respektive B och första och andra kolumnen svarar mot att fåret absorberas i tillstånd F (inte blir klippt respektive tillstånd K (dvs blir klippt Totalt kan vi förvänta oss att antalet får som blir klippta är 34 10 17 /KS + 17 12 17 = 20 + 12 = 32 (10 p,