KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006

Håkan Strömberg KTH Syd

Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift................................. 6 Standardderivator................................ 7 Utantill.................................. 7 Derivata Kedjeregeln............................. 8 Uppgift................................. 8 Derivata Produktregeln........................... 9 Uppgift................................. 9 Uppgift................................. 9 Derivata Kvotregeln............................. 0 Uppgift................................. 0 Uppgift................................. 0 Implicit derivering............................... Uppgift................................. Uppgift................................. Största och minsta värde hos en funktion.................. 3 Uppgift................................. 3 Uppgift................................. 5 Grafritning................................... 7 Uppgift................................. 7 Optimering................................... 9 Uppgift................................. 9 Uppgift................................. 0 Standardintegraler............................... Utantill.................................. 3

INNEHÅLL Integraler.................................... 3 Uppgift................................. 3 Uppgift................................. 3 Partiell integrering............................... 4 Uppgift................................. 4 Uppgift................................. 5 Integrering med substitution......................... 6 Uppgift................................. 6 Uppgift................................. 6 Uppgift 3................................. 7 Integrering med partialbråksuppdelning................... 8 Uppgift................................. 8 Uppgift................................. 9 Bestämd integral................................ 3 Uppgift................................. 3 Uppgift................................. 3 Generaliserad integral............................. 3 Uppgift................................. 3 Uppgift................................. 33 Rotationsvolym................................. 34 Uppgift................................. 34 Uppgift................................. 35 Uppgift 3................................. 36 Uppgift 4................................. 37 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

INNEHÅLL Derivatans definition Uppgift Bestäm med hjälp av derivatans definition derivatan till f(x) = x 3 + x + 4 Vi kan med enkla medel bestämma derivatan till detta polynom och vet att vi ska få resultatet f (x) = 3x +. Definitionen ger oss följande f(x + h) f(x) lim h 0 h Vi utvecklar täljaren och får = lim h 0 (x + h) 3 + (x + h) + 4 (x 3 + x + 4) h (x+h) 3 +(x+h)+4 (x 3 +x+4) (x 3 +3x h+3xh +h 3 )+(x+h)+4 (x 3 +x+4) 3x h + 3xh + h 3 + h h(3x + 3xh + h + ) Vårt gränsvärdesproblem får nu följande utseende Målet är nått! h(3x + 3xh + h + ) lim = lim 3x + 3xh + h + = 3x + h 0 h h 0 Håkan Strömberg 5 KTH Syd

DERIVATANS DEFINITION Uppgift Bestäm med hjälp av derivatans definition derivatan till f(x) = sinx + cosx Vi kan enkelt bestämma, med hjälp standardderivator, derivatan till f (x) = cosx sinx Men nu är det derivatans definition som gäller: sin(x + h) sinx cos(x + h) cosx lim + lim h 0 h h 0 h Här gäller det att känna till de trigonometriska formlerna sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ cos(α + β) = cos α cosβ sin α sinβ Vi behandlar nu ett gränsvärde i taget och börjar med det första sinxcosh + cosxsinh sinx lim h 0 h som i sin tur sönderfaller i två gränsvärden och sinx cosh sinx lim h 0 h = lim h 0 sin x(cosh ) h cosxsinh lim h 0 h = sinx lim h 0 cosh h = cosx lim h 0 sinh h = cosx = sinx 0 Dessa två gränsvärden kan man klara med l Hospitals regel. Över till det andra gränsvärdet cosx cosh sinx sinh cosx lim h 0 h som även det sönderfaller i två och cosx(cosh ) cosh lim = cosx lim = cosx 0 h 0 h h 0 h sinx sin h sinh lim = sinx lim h 0 h h 0 h = sinx Även dessa med l Hospitals regel. Vi sammanställer svaret till det väntade f (x) = cosx sinx Håkan Strömberg 6 KTH Syd

INNEHÅLL Standardderivator Utantill Följande derivator bör du kunna utantill. Lita inte på att du kan härleda dem med hjälp av derivatans definition D[x a ] = a x a D[sinx] = cosx D[cosx] = sinx D[tanx] = D[e x ] = e x D[ln x ] = cos x x D[a x ] = a x lna D[arcsinx] = x D[ x] = x D[arctanx] = + x Håkan Strömberg 7 KTH Syd

DERIVATA KEDJEREGELN Derivata Kedjeregeln Uppgift Bestäm derivatan till f(x) f(x) = sin(ln(cos x)) f (x) = cos(ln(cosx)) ( sin(x)) = tan(x) cos(ln(cosx)) cos x Håkan Strömberg 8 KTH Syd

INNEHÅLL Derivata Produktregeln Uppgift Bestäm derivatan till f(x) = x sinx Med hjälp av produktregeln D[g(x) h(x)] = g (x)h(x) + g(x)h (x) får vi om vi väljer g(x) = x och h(x) = sinx f (x) = x sinx + x cosx Uppgift Bestäm derivatan till Här måste vi använda produktregeln f(x) = x sinx lnx D[g(x) h(x)] = g (x)h(x) + g(x)h (x) två gånger. Vi väljer g(x) = x och h(x) = sin x lnx och får f (x) = x sin x ln x+x D[sinx lnx] x sin x ln x+x ( cosx lnx + sinx ) x x( sinx lnx + x cosx lnx + sinx) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

DERIVATA KVOTREGELN Derivata Kvotregeln Uppgift Bestäm derivatan till Med kvotregeln D f(x) = sinx cosx [ ] f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) (g(x)) får vi f cosx cosx (sinx ( sinx) (x) = cos x Vi har använt trigonometriska ettan sin α + cos α = = cos x Eftersom har vi alltså bestämt tanx = sinx cosx D[tanx] = cos x Uppgift Bestäm derivatan till lnx cosx f(x) = x Här måste vi kombinera kvotregeln med produktregeln f (x) = D[lnx cos x] x (lnx cosx) x x 4 ( x cosx + lnx( sinx)) x (lnx cosx) x x 4 x cosx + x lnx( sinx) x lnx cosx x 4 cosx x lnx sinx lnx cosx x 3 Håkan Strömberg 0 KTH Syd

INNEHÅLL Implicit derivering Uppgift 0.5 - -0.5 0.5-0.5 - Bestäm kurvans lutning i punkten (, ) för ekvationen y 3 + x 3 = xy Bekvämast är att derivera implicit och vi får Vi löser ut y och får Punkten (, ) ger oss 3y y + 3x = y + xy y = Svar: Tangentens k-värde är y = y 3x 3y x 3 ( 3 ( ) ) = Håkan Strömberg KTH Syd

IMPLICIT DERIVERING Uppgift 0.4 0. - -0.5 0.5-0. När Konsum skulle designa sin logo kom de på att punkten ( till ekvationen (x + y ) (x y ) = 0 Bestäm linjens ekvation för kurvans tangent i den punkten. 3, 3 ) ligger på kurvan Vi har små möjligheter att uttrycka y som funktion av x och måste därför derivera implicit D[(x +y ) (x y )] = D[x 4 +y 4 +x y x +y ] = 4x 3 +4y 3 y +4xy +4x yy x+yy Vi löser nu ut y 4x 3 + 4y 3 y + 4xy + 4x yy x + yy = 0 4y 3 y + 4x yy + yy = x 4x 3 4xy y (y 3 + x y + y) = (x x 3 xy ) y = x x3 xy y 3 + x y + y Linjens lutning får vi nu genom att sätta in punkten i detta uttryck y = ( ) 3 3 3 3 ) ( 3 + ( 3 3 ( 3) ) 3 + 3 = 5 Utgår vi nu från punkten (, ) och k = kan vi bestämma m i 3 3 5 y = kx + m till och få linjen 3 = y = 5 3 + m 5 x + 5 Håkan Strömberg KTH Syd

INNEHÅLL Största och minsta värde hos en funktion Uppgift Bestäm största och minsta värde av funktionen i intervallet x 0 Plan: f(x) = x 3 3x x + 6 Är funktionen kontinuerlig i intervallet? Har funktionen några singulära punkter? Punkter där derivatan inte är definierad. 3 Ta reda på funktionens stationära punkter genom att lösa f (x) = 0 4 Avgör om möjligt, genom f (x), om de stationära punkterna är maxpunkter eller minpunkter 5 Ta reda på f(x) för intervallets ändpunkter. 6 Bestäm nu funktionens största respektive minsta värde i intervallet. Genomförande: Funktionen är kontinuerlig för x från till, så då speciellt på intervallet x 0 Funktionen har inga singulära punkter 3 Funktionen har derivatan f (x) = 6x 6x f (x) = 0 då 6x 6x = 0, som har rötterna x = och x =. Eftersom x = ligger utanför aktuellt intervall finns endast en stationär punkt i intervallet (, f( )) = (, 3) 4 Vi tar fram andra derivatan f (x) = x 6 f ( ) = 8 < 0, medför att vi har att göra med en maxpunkt. 5 I intervallets ändpunkter har vi f( ) = och f(0) = 6 6 Det är endast bland de tre punkterna (, ), (, 3) och (0, 6) vi kan finna funktionens största respektive minsta värde på intervallet x 0. Håkan Strömberg 3 KTH Syd

STÖRSTA OCH MINSTA VÄRDE HOS EN FUNKTION Svar: Funktionens största värde är 3 och dess minsta är 0 8 6 4 - -.5 - -0.5 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift Bestäm största och minsta värde av funktionen f(x) = x 3 + x 70x på intervallet 7 x 3, samt funktionens nollställen. Plan: Är funktionen kontinuerlig i intervallet? Har funktionen några singulära punkter? Punkter där derivatan inte är definierad. 3 Ta reda på funktionens stationära punkter genom att lösa f (x) = 0 4 Avgör om möjligt, genom f (x), om de stationära punkterna är maxpunkter eller minpunkter 5 Ta reda på f(x) för intervallets ändpunkter. 6 Bestäm nu funktionens största respektive minsta värde i intervallet. 7 Lös ekvationen f(x) = 0 för att få funktionens nollställen. Genomförande: - Polynom är kontinuerliga på hela R. Dessutom saknar de singulära punkter. Derivatan är definierad på hela R. 3 Funktionen har derivatan f (x) = 6x + 4x 70 Vi löser så andragradsekvationen för att få funktionens stationära punkter 4 Funktionens andraderivata är 6x + 4x 70 = 0 x + 4x 45 = 0 x = ± 4 + 45 x = ± 7 x = 9 x = 5 f (x) = x + 4 Eftersom f ( 9) < 0 är punkten ( 9, f( 9)) = ( 9, 944) en maxpunkt och eftersom f (5) > 0 är punkten (5, f(5)) = (5, 800) en minpunkt. 5 Vi bestämmer så och f( 7) = 768 f(3) = 9 Detta är det minst komplicerade tredjegradspolynom, där maxpunkter, minpunkter och nollställen alla är heltal. Trots det klarar vi knappast beräkningarna utan att miniräknare. Håkan Strömberg 5 KTH Syd

STÖRSTA OCH MINSTA VÄRDE HOS EN FUNKTION 6 Det största respektive det minsta värdet finns i intervallets ändpunkter. Största värdet är 9 och minsta värdet är 768. 4000 000-0 -5-0 -5 5 0 5-000 -4000-6000 7 Återstår att lösa ekvationen x 3 + x 70x = 0 Vi ser att en rot är x = 0. De andra två rötterna får vi genom att lösa Grafen bekräftar att vårt resultat är korrekt. x + x 70 = 0 x + 6x 35 = 0 x = 3 ± 9 35 x = 3 ± x = 9 x = 5 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

INNEHÅLL Grafritning Uppgift Skissa grafen till funktionen Plan: Vi ska nu i tur och ordning bestämma Funktionens nollställen Asymptoter 3 Extrempunkter 4 Värdetabell Genomförande: f(x) = x4 4 3x + x Funktionens nollställen, är kurvans skärning med x-axeln. Att lösa ekvationen x 4 4 3x + x = 0 är inte lätt. Det blir ofta så när man vill lösa ett problem med en intressantare derivata. En rot kan vi hitta x = 0. Återstår dock en tredjegradsekvation att lösa när vi förkortat bort ett x. x 3 4 3x + = 0 En rot får vi med hjälp av dator x =.9537. De andra två är inte reella (en fjärdegradsekvation har ju som bekant fyra rötter inklusive de icke reella). När x går f(x) och då x går åter f(x). Vi förstår av detta att kurvan kommer uppifrån skär x-axeln, vänder och försvinner uppåt igen. Av detta förstår vi att det måste finnas åtminstone en minpunkt. Däremot inga asymptoter. 3 Vi deriverar och f (x) = x 3 3x + och sätter f (x) = 0. Vi får åter en tredjegradsekvation att brottas med. Om det ska vara någon vits med denna uppgift måste vi kunna gissa en eller flera Håkan Strömberg 7 KTH Syd

GRAFRITNING rötter. x = är en rot. Företar vi nu en polynomdivision får vi x 3 3x + : x + = x x + x 3 +x x x 3x 4x x + x + Denna andragradsekvation löser vi 0 x x + = 0 med andra kvadreringsregeln till (x ) = 0, som ger dubbelroten x,3 =. Teckenstudium av derivatan ger oss nu x < x = < x < x = x > ց 0 ր 0 ր Vi sätter helt enkelt in något x-värde i f (x), för de olika intervallen och läser av om derivatan är > 0 eller < 0. Från tabellen kan vi avläsa att vi har att göra med en minpunkt och en terrasspunkt. f( ) = 6 ger oss maxpunkten (, 6) och f() = 3 ger oss terrasspunkten (, 3). 4 4 4 Vi samlar till sist den information om grafen vi fått x 0 3 y 0 6 4 typ Nollställe Minpunkt Terrass Med dessa punkter som stöd och vetskapen om hur funktionen beter sig då x ± kan vi skissa kurvan 0 7.5 5.5-4 - 4 -.5-5 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

INNEHÅLL Optimering Uppgift Bestäm den till arean största rektangel som kan skrivas in i den yta som begränsas av x-axeln, y-axeln och funktionen f(x) = 8 x 3 7.5 5.5 -.5-5 -7.5 0.5.5.5 Ett hörn kommer att ligga i origo, ett på x-axeln, ett på y-axeln och ett på kurvan till funktionen. Vi löser ekvationen 8 x 3 = 0 och får roten x =. Vi vet från detta att hörnet på x-axeln ligger i intervallet [0, ]. Om hörnet på x-axeln har koordinaten (x, 0) så har hörnet på kurvan koordinaterna (x, 8 x 3 ). Rektangeln har då en bas med längden x och en höjd som är 8 x 3. Rektangelns area A blir då A(x) = x(8 x 3 ) Det är denna funktion vi ska finna ett största värde för då x [0, ]. Vi startar med att derivera funktionen och får A (x) = 8 4x 3 När vi löser A (x) = 0 får vi roten x = 3. Då A ( 3 ) = ( 3 ) < 0 har vi funnit en maxpunkt. Vi ser genast att arean är 0 för x i intervallets ändpunkter. Alltså måste det sökta maxvärdet vara A( 3 ) = 3 (8 ( 3 ) 3 ) = 6 3 Håkan Strömberg 9 KTH Syd

OPTIMERING Uppgift Av en 0 meter lång ståltråd vill man skapa en liksidig triangel och en kvadrat. Var ska tråden klippas av, för att den största respektive den minsta möjliga sammanlagda arean ska erhållas? Till att börja med har vi två kända formler för triangeln respektive kvadratens area. A T = b h Speciellt för en liksidig triangel med sidan b gäller 3b A T = 4 A K = s som vi får genom att betrakta den halva liksidiga triangeln tillsammans med Pythagoras sats: ( ) b h = b = b 3 Antag att vi använder x meter till kvadraten då återstår 0 x meter till triangeln. Detta betyder att kvadratens sida s = x/4 och triangelns bas b = (0 x)/3. Vi kan nu teckna den totala arean som funktion av x A(x) = A T + A K = ( ( x 3 0 x + 3 4) 4 Nu är det dags att bestämma f (x) och lösa f (x) = 0 ) f (x) = ( 8 ) 3(x 0) + 8x 44 ( 8 ) 3(x 0) + 8x = 0 44 8 3(x 0) + 8x = 0 8 3x 80 3 + 8x = 0 8 3x + 8x = 80 3 x = 80 3 8 3 + 8 4.35 = (4 ) 3(x 0) + 9x 44 Håkan Strömberg 0 KTH Syd

INNEHÅLL Är det ett minimum eller ett maximum vi har? Enklast ser vi detta genom att bestämma f(0) = 5/4 = 6.5 (allt till kvadraten) och f(0) = 5 3 4.8 (allt till 3 triangeln). Vi har alltså ett minimum vid x 4.35 m, då den sammanlagda arean endast är.7 m. Största arean får vi då allt används till kvadraten, 6.5 m. Detta bekräftas av funktionens graf 6 5 4 3 4 6 8 0 Håkan Strömberg KTH Syd

STANDARDINTEGRALER Standardintegraler Utantill Följande standardintegraler ska man kunna utantill: x a dx = xa+ + C då a a + sinxdx = cosx + C cosxdx = sinx + C dx sin x = tan x + C dx cos x = tanx + C e x dx = e x + C dx x = ln x + C dx x = arcsinx + C dx + x = arctanx + C Ännu bättre är det kanske, att med hjälp av satsen: Sats. Låt a 0 och b vara konstanter. Låt F(x) vara primitiv funktion till f(x). Då gäller f(ax + b) dx = a F(x) + C räkna fram denna tabell istället för att lära sig den utantill: (ax + b) n dx = (ax + b)n+ a(n + ) cos(ax + b)dx = sin(ax + b) a + C då a + C dx sin (ax + b) = a tan(ax + b) + C dx ln ax + b = + C ax + b a sin(ax + b)dx = cos(ax + b) a + C dx tan(ax + b) cos = + C (ax + b) a e (ax+b) dx = e(ax+b) a + C dx arcsin(ax + b) = + C (ax + b) a dx arctan(ax + b) = + C + (ax + b) a Håkan Strömberg KTH Syd

INNEHÅLL Integraler Uppgift Bestäm t 6 t dx t 6 t ( ) t 6 dx = t 4 t t dx = t dx 4 t 4 Uppgift t 4 t3 dx = t 3 + t + C Bestäm tan xdx Här utnyttjar vi den förträffliga satsen f (x) dx = ln f(x) + C f(x) Eftersom och D[cosx] = sinx får vi tanxdx = sinx cosx dx = tanx = sinx cosx sinx cosx dx = ln(cosx) + C Håkan Strömberg 3 KTH Syd

PARTIELL INTEGRERING Partiell integrering Uppgift Bestäm integralen Vi har formeln x e x dx f(x)g(x) = F(x)g(x) F(x)g (x) Vi väljer g(x) = x. Det kommer att ta en stund, men för varje gång vi deriverar g(x) kommer gradtalet att avta. Till sist har vi bara e x kvar att integrera och då är det lätt ( ) e x x dx = e x x e x xdx = e x x e x x e x dx = e x x (e x x e x ) = e x( x x + ) + C Håkan Strömberg 4 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift Bestäm integralen sinx cosxdx I: Vi löser problemet med partiell integration och väljer f(x) = sinx. sinx cos xdx = cosx cosx ( cosx)( sinx) dx = cos x cos x sinxdx Vi har fått tillbaka samma integral igen och kan skriva sin x cosxdx = cos x sinx cosxdx = cos x II: Vi löser problemet med substitution och väljer t = cosx, som leder till dt = sinxdx eller dt = sinxdx och vi får t dt = t = x cos + C + C III: Vi löser problemet med följande trigonometriska samband. sinα = sinα cosα och ersätter vår integral med sinx cosxdx = sinxdx = cosx + C För att komma till samma utseende på vårt svar, som ovan, måste vi även blanda in cosα = cos α som vi skriver om till och substituerar i vårt resultat cosx cosα + C = cos x = cos α + C = cos x + C = cos x + C plus ett tal C vilket som helst måste förstås vara ett tal C vilket som helst! Tre olika metoder som leder till samma mål. Håkan Strömberg 5 KTH Syd

INTEGRERING MED SUBSTITUTION Integrering med substitution Uppgift Bestäm dx (3 5x) En uppgift som gjord för substitution. Vi väljer Integralen övergår nu i t = 3 5x x = 3 t 5 dx = 5 dt dt 5 = dt t 5 t = 5 t + C = 5(3 5x) + C Uppgift Bestäm integralen + x dx Sätt t = x och vi får x = t och dx = t dt + x dx = Återställ nu substitutionen ( t + t dt = + t x log + x + C ) dt = t log + t = Håkan Strömberg 6 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 3 Beräkna 3x cosx 3 dx Funktionen t = x 3 är ett lämpligt val. Vi bestämmer inversen x = t 3 Vi deriverar och får dx dt = 3t 3 omskrivet till dx = dt 3t 3 Nu vet vi vad vi ska ersätta dx och x med i integralen. ( ) cost 3 t dt 3 3t 3 3t 3 cost dt 3t 3 = costdt = sint + C = sinx 3 + C Egentligen är det i detta skede ganska lätt att se att 3x är innerderivatan när vi bestämmer D[cosx 3 ] Håkan Strömberg 7 KTH Syd

INTEGRERING MED PARTIALBRÅKSUPPDELNING Integrering med partialbråksuppdelning Uppgift Faktorisera nämnaren. Ekvationen x x + x 6 dx x + x 6 = 0 har rötterna x = och x = 3 och integralen övergår nu till ansatsen där vi nu söker A och B. A x + B x + 3 A x + B x + 3 = A(x + 3) + B(x ) (x )(x + 3) = (A + B)x + (3A B) (x )(x + 3) Som leder till ekvationssystemet { A + B = 3A B = 0 med lösningen A = och B = 3. Till sist har vi nu att integrera 5 5 ) ( x x + x 6 dx = 5(x ) + 3 5(x + 3) dx = 5 5 ln x + 3 ln x + 3 + C 5 dx x dx + 3 5 dx x + 3 dx = Håkan Strömberg 8 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift Bestäm integralen x 3 3x Partialbråksuppdelning är den metod som ska användas här. Först startar vi med att faktorisera nämnaren genom att lösa ekvationen: x 3 3x = 0 En tredjegradsekvation där det är enkelt att gissa att en rot är x =. Genom polynomdivisionen x 3 3x x kommer vi att få ett polynom av andra graden, vars motsvarande andragradsekvation kommer att ge de andra två rötterna. x 3 3x : x = x +x + x 3 x x x 3x 4x x x 0 Det uttryck vi fått kan vi faktorisera direkt med första kvadreringsregeln x + x + = (x + )(x + ) Vi kan nu skriva om vår integral till (x + )(x + )(x ) dx Vi gör en ansats (x + )(x + )(x ) = A x + + B (x + ) + C x Observera alltså hur man hanterar en partialbråksuppdelning där samma faktor, (x+) förekommer två gånger. Med hjälp av identifiering ska vi nu ta reda på A, B och C. Vi gör liknämnigt A(x + )(x ) (x + ) (x ) + B(x ) C(x + ) + (x + ) (x ) (x + ) (x ) = Håkan Strömberg 9 KTH Syd

INTEGRERING MED PARTIALBRÅKSUPPDELNING (Ax Ax A) + (Bx B) + (Cx + Cx + C) (x + ) (x ) (A + C)x + (B A + C)x + (C A B) (x + ) (x ) Detta leder fram till följande ekvationssystem A + C = 0 A + B + C = 0 C A B = Med lösningen A =, B = 9 och C =. Detta leder till att integralen kan 3 9 skrivas: (x + )(x + )(x ) dx = 9 x + dx 3 = = (x + ) dx + 9 9 ln x + + 3(x + ) + ln x + C 9 x dx Håkan Strömberg 30 KTH Syd

INNEHÅLL Bestämd integral Uppgift Bestäm π 0 x sinxdx Vi tar till partiell integrering för att finna den primitiva funktionen. f(x) = sinx och g(x) = x. f(x)g(x) dx = F(x)g(x) F(x)g (x) dx ger π 0 sinx xdx = [ cosx x] π 0 cosx dx = [ cosx x] π 0 + [sin x]π 0 = π ( 0) + (0 0) = π - - -3-4 3 4 5 6 Uppgift Bestäm b b ln xdx = Vi har här alltså en ekvation där vi ska bestämma b så att den bestämda integralen får värdet. Först tar vi itu med att finna den primitiva funktionen till: lnxdx = lnxdx = x ln x x dx = x ln x x + C x Vi ordnar det alltså med partiell integrering, där vi sätter f(x) =. Återstår så att lösa ekvationen b ln xdx = [x lnx x] b = b lnb b ( ln ) = b(lnb ) + = b(lnb ) = 0 ln b = b = e Svar: b = e Håkan Strömberg 3 KTH Syd

GENERALISERAD INTEGRAL Generaliserad integral Uppgift Bestäm 0 dx + x T dx lim T 0 + x = lim T [arctanx]t 0 = lim arctant arctan0 = π T Vilken kurva är vilken? Svar: π.5.5 0.75 0.5 0.5 4 6 8 0 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift Bestäm Vi skriver om integralen T [ dx lim T (x ) = lim 3 T (x ) dx (x ) 3 ] T ( ) = lim T ( ) + = (T ) Håkan Strömberg 33 KTH Syd

ROTATIONSVOLYM Rotationsvolym Uppgift 7.5 5.5 0 7.5 5.5 3 4 En del av arean under kurvan till funktionen f(x) = x + 3 roteras kring x-axeln. Bestäm denna kropps volym Med hjälp av formeln får vi π b a (f(x)) dx π 3 ( x + 3 ) dx = π 3 [ ] x x 4 + 6x 5 3 + 9 dx = π 5 + x3 + 9x dx = ) ( 3 5 π 5 + 33 + 9 3 5 5 3 9 = 59π 5 Håkan Strömberg 34 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 8 6 4 0.5.5 Det område som innesluts av f(x) = x 3 och g(x) = x och x = ska roteras kring x-axeln. Med hjälp av formeln π b a (f(x)) (g(x)) dx kan vi bestämma denna volym. Först måste vi lösa den enkla ekvationen f(x) = g(x) x 3 = x som har roten x =. Vi vet dessutom att x 3 > x då x >, så nu kan vi teckna vår integral ( π ) x 3 ( ) [ ] x x dx = π x 6 x 4 7 dx = π = ( ) 7 π 7 5 5 7 7 + 5 5 = 48π 35 7 x5 5 Håkan Strömberg 35 KTH Syd

ROTATIONSVOLYM Uppgift 3 3 4 - - Rotera den skuggade ytan mellan funktionen och x-axeln kring y-axeln. Med hjälp av formeln -3 f(x) = 4x x 3 V = π b a xf(x) dx får vi den önskade volymen. Genom att lösa ekvationen 4x x 3 = 0 som har rötterna x = och x = 3 får vi gränserna och vår integral blir V = π 3 x(4x x 3) dx = π 3 [ ] 4x 4x x 3 3 3 3xdx = π 3 x4 4 3x = )) ( 4 3 3 π 34 3 4 3 ( 3 4 3 4 3 4 3 = 6π 3 Håkan Strömberg 36 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 4 Den cirkulära badringen i figuren har en innerdiameter på 30 cm. Tvärsnittsarean är också en cirkel med diametern 8 cm. Bestäm badringens volym. En cirkel med radien r har ekvationen x + y = r så länge den är placerad med centrum i origo. En cirkel som har sitt centrum i punkten (x, 0), alltså någonstans på x-axeln har ekvationen (x x ) + y = r I vårt fall är radien 9 och x = 5 + 9 om vi placerar badringen som i figuren ovan med sitt stora centrum i origo. Vi får då cirkelns ekvation till (x 4) + y = 8 Som en kontroll, då y = 0 är x = 5 och x = 33. Om vi löser ut y ur ekvationen får vi y = ± 8 (x 4) Med hjälp av formeln Får vi V = π V = π 33 5 b a xf(x) dx x 8 (x ) dx Håkan Strömberg 37 KTH Syd

ROTATIONSVOLYM Gränserna kommer från 5 = 4 9 och 33 = 4 + 9. Detta är tyvärr en svår integral som vi inte klarar i den här kursen. Datorn ger oss den den här primitiva funktionen (( x x 369 ) ( ) 8 (x 4) ) x 4 π + 97 arcsin + C 3 9 Med gränserna insatta ger detta volymen 944π. Eftersom detta är halva badringens volym, vi har ju bara roterat den övre halvan av cirkeln, är hela volymen 3888π Håkan Strömberg 38 KTH Syd