Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera f så att f blir kontinuerlig i punkten x = b Räkna ut f för den erhålna kontinuerliga funktionen Lösning För att funktionen var kontinuerlig i punkten x = krävs det att f = lim x fxföratträknautdetsistagränsvärdetskriverviförstomfunktionengenom att multiplicera både nämnaren och täljaren med summan x + + x Vi får och fx = x + 4x x x + + x = x + + x lim fx = lim = x x x + + x 4 Alltså, man skall välja f = /4 för att f blir kontinuerlig i punkten x = För att räkna derivatan f, observerar vi att formeln fx = x + + x ger oss fx för alla värdena av x inklusive x = och då det räcker att räkna ut derivatan av uttrycket i högerled Vi får f x = x + + x x + + x vilket ger oss f = 5 64 Bestäm de punkter på kurvan x + xy + y = 8 där tangentlinjen är parallel med linjen y = x d v s den har lutningen k = Lösning Vi använder oss av implicit derivering Kurvans ekvation skrivs om som x + xyx + yx = 8
och derivering av den ger oss vilket ger 6x + yx + xy x + 6yxy x = y 6x + y x = x + 6y = x + y x + y Lutningen av tangentlinjen är i punkter där y x = och vi får ekvation x + y x + y = vilket ger oss y = x Insättningen av detta till kurvans ekvation ger x = eller x = ± Detta ger svar: punkterna är, och, Bestäm värdemängden range till funktionen definierad för x > fx = x + x Lösning Vi räknar först derivatan av f: f x = d x / + x / = x/ x / = x / x Formeln visar att f x > i intervallet, + där fx är växande och f x < i intervallet, där fx är avtagande Allt detta visar att punkten x = är en global minimum punkt till fx Dessutom får vi kolla gränserna av definitionsintervallet, + Vi har lim fx = lim x / + x / = + = + x x ochanalogt lim x fx = + Viavgörattvärdemängdenärintervallet [f, + = [4, + 4 Beräkna derivatan av funktionen gx = ln x ln x e t dt t Lösning Låt Fx vara antiderivatan till funktionen fx = e x /x d v s F x = ex x Enligt integralkalkylens huvudsats Newton-Leibniz formel gx = F lnx Flnx
Derivatan g x blir då g x = F ln x x F lnx x = = eln x ln x x eln x ln x x = x ln x ln x = x ln x 5 Räkna ut integralen x + x Lösning Vi byter variabler i integralen: Integralen blir då y = x; x = y ; = dy = y dy y dy y + y = y + y dy Nu söker vi partiellbråkuppdelningen av bråket son integraras: Handpålägningsmetoden ger oss y + y = A y + B + y + C + y A = Äntligen, insättningen av y = ger oss + y = ; y= C = y = y= = A + B + C 4 = + B, varav B = Integrering av rationala funktionen ger oss y + y dy = y + y dy = lny ln + y + + y + y + C Insättningen tillbacka y = x ger oss svar ln x ln + x + + x + C 6 Räkna ut gränsvärdet x lnx + lim sinπx π x x
Lösning Efter bytet av variabler x = t + gränsvärdet blir + t ln + t lim sinπt π t t Nu använder vi oss av Taylorsutvecklingar Vi har + t ln + t = + t t t = + t + ot = + t t t + 8 t + ot = t + t + ot och Detta ger oss π sinπt = πt πt + ot = t π π! t + ot och gränsvärdet blir + t ln + t π sinπt t = t + π t + ot t + π = + π + o 7 Området som ligger mellan kurvor y = x och y = 8 x roterar ett varv kring y-axeln Bestäm volymen av erhållen rotationskropp Lösning Skärningspunkter mellan kurvor ges av ekvation x = 8 x vilket ger oss x = ± Volymen blir då V = π x 8 x x = π 8x x = = π 9x x4 = π 8 8 = 8π 8 Lös differentialekvationen y = tillsammans med begynnelsevillkor y = y x Lösning Det är en separabel ekvation Vi skriver om den i form och integrerar både leden Vi får dy y = x y = arcsin x + C
vilket ger yx = arcsin x + C Insättningen av begynnelsevillkor x =, y = ger varav C = Alltså, = arcsin + C = C yx = arcsinx 9 Visa att generaliserade integralen konvergerar och bestäm dess värde arctan x x + Lösning Den enda singulära punkten är Integralen kovergerar där eftersom arctan x x + π x och den sista funktionen är en standard funktion vars integral konvergerar nära Nu räknar vi integralen: = arctanxd x + = arctanx x + Partiellbråkuppdelningen ger oss = [ partiellintegration ] = + x + darctanx = x + x + = / /x + / + x + x + x + x + och integrering ger x + x + = lnx+ 4 lnx ++ arctanx = x + ln + x + arctanx Äntligen, x + x + = x + ln + x + arctanx = π 4 För vilka värden på parametern a > konvergerar serien na? na + n=
Lösning Vi skriver om seriens termer: a n = n a / n a + / = n a/ / + n / n a a Eftersom a >, bråket /n a går mot då n Binomialformeln ger oss då / = + n a n + O a n a och + / = n a n + O a n a Vi får a n = n a/ n + O = a n a n + O a/ n 5a/ Den första termen är avgörande och seriens konvergens/divergens är samma som för serien med termer b n = /n a/ eftersom både är positiva och det är lätt att kolla att lim n a n /b n = Serien b n = n a/ n= är standard och den konvergerar om a/ > vilket ger oss svar a > / n= Finns det något värde på parametern b så att ekvationen har tre olika reella lösningar? x 4 + x 4 = b Lösning Vi undersöker funktionen m h av derivatan Vi har f x = 8 x + x 5 Derivatan är positiv på intervallet, där f blir växande och f är negativ på intervaller, och, där f blir avtagande Vi räknar också gränsvärdena och lim fx = lim x ± x ± lim fx = + x + x 4 4 = x Undersökningen ovan visar då att fx på intervallet, avtar från gränsvärdet som antas inte till minimumvärdet f = /7 Därefter på intervallet, funktionen fx växer från f = /7 till + och på intervallet, avtar fx från + till gränsvärdet som antas inte Sådana egenskaper visar att ekvationen fx = b kan ha högst olika lösningar
En designer projekterar ett trähus med ett litet mansardrum under taket se bilden nedan Rummet skall ha bredden b = 4m och höjden h = m Bestäm minsta möjliga längden l av en sida av taket över huset taket är symmetriskt l l h α b Lösning Vi betecknar med α vinkeln mellan taket och vågrät riktningen och delar sidan av taket till två delar, den första över rummet med längden l och den andra till höger om rummet med längden l så att l = l + l Enligt plangeometri, l = b/ cos α och l = h sin α så att l = lα = b/ cos α + h sin α = cos α + sin α Det är funktion som skall minimiseras på intervallet, π/ Vi observerar först att lim lα = lim lα = α α π/ vilket visar att minsta värdet av lα antas i punkt där l α = Vi har l α = cos α sin α sin α cos α = sin α cos α cos α sin α Derivatan är i punkten där sin α = cos α vilket ger tanα = och α = π/4 Vi får äntligen l min = lπ/4 = 4