Bra ekonomi för T4 Frågeställning Fyra mycket snåla systrar har fått ärva en kolonilott. Lotten har formen av triangel där alla sidor är tjugo meter. Systrarna är överens om att dela kostnaderna för ett staket som delar in lotten i fyra till arean lika stora delar och dom vill ha din hjälp med indelningen. Sätter upp det gör dom själva. Hur kort kan du kan du göra ett sådant staket? Staketet kan vara krokigt. Beskriv formen på staketet och ange längden med tre decimaler. Du behöver inte bevisa att ditt svar är optimalt, men om du gör det är det förstås en bonus. Svar Figur 1 Staketlängden är 26,10226 m 26,102 m (C.L. = 1,305113) Med ett koordinatsystem där A = ( 10 0), B = (10 0), och C = (0,10 3 ) är V = (1,947748 ; 7,937965). Cirkelbågarna möts i 120 -vinklar mot varandra vridna 14,13789 mot baslinjen. Centrum för VD ligger på BC 0,326787 m från B (nästan i B). Centrum för VV' ligger på symmetrilinjen 0,205304 m från baslinjen (nästan på baslinjen). Centrum för VE ligger på baslinjen med x-koordinaten 25,9888 m (ca 1,3 sidlängder ut). (beräkningar E. Baumann efter ide från J. Hall)
Motivering Staketet måste bestå av antingen räta linjer eller cirkelbågar. Om vi hade en kurva vars krökning varierade mellan två punkter, P och Q, skulle vi som i Figur 2 kunna byta ut denna mot en rät linje eller cirkelbåge och få arean på var sida lika som förut men med kortare kurvlängd. P Figur 2 Där staketen möter ytterstaketet måste dessa mötas med räta vinklar. Om de inte skulle göra det skulle man kunna byta ut den sista delen av kurvan mot en annan som gör det som då skulle vara kortare. Gör man längden storleksordningen δl kortare kommer arean att justeras med storleksordningen δl 2 vilket kan justeras på andra platser med minimala förändringar för längden. I Figur 3 ser vi hur den sneda linjen kan ersättas av en cirkelbåge eller rät linje som båda är kortare. För den räta linjen ser det ut som arean förändras men man får betänka att nästa vertex ligger godtyckligt långt bort i denna skala och att en mycket liten förändring av dess position kan justera arean igen. P Q Q Figur 3 Där staketen möter varandra inuti triangeln måste detta ske tre och tre med 120 mellan staketen. Skulle man ha någon annan konfiguration skulle man kunna byta ut denna mot ett steinerträd (Steiner minimal tree) av staket som har kortare staketlängd. Arean skulle då ändras, men precis som ovan kan detta justeras med minimala skillnader. I Figur 4 ser vi ett exempel där ett steinerträd förbinder 6 olika punkter på snålast sätt. I varje vertex möts staketen tre och tre symmetriskt. Figur 4
Vid varje internt vertex V måste 1/R 1 + 1/R 2 + 1/R 3 = 0 där alla R i är krökningsradierna(med tecken) för cirkelbågarna (räta linjer har 1/R = 0). Detta kallas Laplace villkor och hänger ihop med energikrav. Jämför t.ex. såpbubblefysik i två dimensioner. Dessa villkor är krav för lokala minima. För att hitta lösningen till problemet krävs dessutom att man undersöker alla olika konfigurationer vilket inte är helt självklart, se vidare nedan. Kommentar Jag började med att fundera ut de båda första villkoren men antog först felaktigt att även interna vertex skulle mötas under räta vinklar. Jag genomsökte sedan ett stort antal konfigurationer med hjälp av Cabri Geometri (program för dynamisk geometri) och hittade till slut en som var bäst hittills, se Figur 5. Figur 5 Jag upptäckte sedan mitt fel med de räta interna vinklarna och modifierade min lösning till följande med 120 -vertex: Figur 6
Nu var det dags att se vad andra har gjort. Efter att ha sökt av Internet extensivt lyckades jag lokalisera Eduard Baumann <baumann@mcnet.ch> som redan intresserat sig för detta problem. På hans webbplats http://private.mcnet.ch/baumann/ fanns följande lösning: Figur 7 Denna lösning har snittlängden C.L. (Cut Length) = 1,3422 där C.L. = staketlängden om triangelns sida = 1 m. Med denna lösning skulle staketet bli 26,844 m långt. Min lösning var bättre än detta trots att jag hittills inte använt mig av Laplace villkor. Laplace villkor gör det omöjligt att ha en optimal lösning som min Figur 6 med vertex där exakt två staket är räta linjer. När jag förstod detta insåg jag existensen av en lösning liknande den i Figur 1 där man roterat staketen runt vertexpunkterna. Detta skulle dock innebära att jag sökte både x- koordinat, y-koordinat och vridningsvinkel samtidigt som areorna hölls konstanta. Cabri kan inte utföra sådana beräkningar automatiskt och det skulle bli för komplicerat att göra det manuellt med tre obekanta.
Jag kontaktade därför Eduard Bauman, redogjorde för min lösning och föreslog den lösning som finns i figur 1. Han blev intresserad och beräknade snabbt den optimala snittlängden med problemlösaren i Excel vilket är ett verktyg jag använt förr men glömt bort. Han hade också vänligheten att avstå från att publicera denna lösning tills efter 2007-11-05. Jag hoppas att jag på detta sätt ändå gjort ett infinitesimalt avtryck i den matematiska historien. Danderyd den 5 november 2007 Jonas Hall Mörbyskolan