Matematisk fysik I. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. Tel Karlstads Universitet

Matematisk fysik I Kompendiet Lektor: Yury Shestopalov e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-700856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 2003

Innehåll Grundläggande begrepp av vektoranalys 8. Vektorer................................. 8.2 Koordinatsystem............................ 8.2. Det cartesiska koordinatsystemet............... 9.3 Vektor- och matrisnormer....................... 0.3. Konvergens av vektorföljd................... 2.4 Rotation av koordinater........................ 2.5 Skalärprodukt.............................. 5.5. Ortonormerad bas....................... 5.6 Vektorprodukt.............................. 6.7 Skalära fält och vektorfält....................... 7.8 Problem................................. 9 2 Kurvor. Gradient 23 2. Kurvor på parameterform....................... 23 2.. Tangent till en kurva...................... 24 2..2 Längd av en kurva....................... 25 2.2 Gradient................................. 26 2.3 Riktningsderivata............................ 27 2.4 Funktion växer snabbast i riktningen grad.............. 28 2.5 Normalvektor till nivåytor....................... 29 2.6 Gradientfält och potentialer...................... 30 2.7 Problem................................. 3 3 Divergens och rotation av vektorfält 38 3. Definitionen av divergens........................ 38 3.2 Definitionen av rotation........................ 40 3.3 Viktiga vektoridentiteter........................ 4 3.4 Problem................................. 4 4 Kurvintegraler 46 4. Kurvintegralens definition....................... 46 5 Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats 48 5. Ytor på parameterform........................ 48 5.. Tangent till en yta....................... 50 5.2 Ytintegraler............................... 5 5.2. Flöde genom en yta....................... 52 5.3 Gauss divergenssats.......................... 54 2

5.4 Problem................................. 59 6 Stokes sats 67 6. Problem................................. 7 7 Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion 75 7. Heavisides stegfunktion......................... 75 7.2 Diracs deltafunktion.......................... 78 7.2. Impulsfunktioner........................ 78 7.2.2 Definitionen av Diracs deltafunktion genom Laplacetransform 79 7.2.3 Vissa tillämpningar: lösning av ordinära diffekvationer... 80 8 Kroklinjiga koordinatsystem 82 8. Polära och cylindriska koordinater................... 82 8.. Polära koordinater....................... 82 8..2 Cylindriska koordinater..................... 83 8.2 Kroklinjiga koordinater......................... 83 8.3 Ortogonala koordinatsystem...................... 85 9 Vektordifferentialoperatorer i kroklinjiga koordinater 88 9. Gradient................................. 88 9.2 Divergens................................ 89 9.3 Laplaces differentialoperator i kroklinjiga koordinater........ 90 9.4 Rotation................................. 90 0 Tensorer 92 0. Definitioner............................... 92 0.2 Tensoralgebra.............................. 93 0.3 Kronecker-delta och Levi Civitas symbol............... 95 0.3. Tillämpningar av Kronecker-delta och Levi Civitas symbol. 98 0.3.2 Dualtensorer........................... 99 0.4 Tensorer och koordinattransformation................. 0 0.5 Två-dimensionella fallet........................ 02 0.5. Två-dimensionella fallet och matriser............. 03 Dubbelintegraler och trippelintegraler 04. Dubbelintegraler............................ 04.. Dubbelintegralens definition.................. 04..2 Räknelagar för dubbelintegraler................ 06..3 Beräkning av dubbelintegraler................. 07..4 Variabelsubstitution i dubbelintegraler............ 09.2 Trippelintegraler............................ 2 3

.2. Variabelsubstitution i trippelintegraler............ 4.2.2 Cylindriska koordinater..................... 6.3 Sfäriska koordinater........................... 7 2 Matriser och determinanter 8 2. Grundläggande begrepp........................ 8 2.2 Matrisalgebra.............................. 20 2.3 Determinanter.............................. 24 2.3. Permutationer.......................... 24 2.3.2 Cramers regel.......................... 25 2.4 Gausselimination............................ 26 2.5 Ortogonala matriser.......................... 30 2.5. Inversmatrisen.......................... 3 2.5.2 Transponerade matrisen.................... 3 2.5.3 Ortogonala koordinattransformationer............ 32 2.5.4 Symmetriska matriser..................... 32 2.5.5 Symmetriska matriser och rotation.............. 33 2.5.6 Tensorer, ortogonala matriser och likformighetstransformation33 2.6 Hermitska och unitära matriser.................... 34 2.6. Komplexa matriser....................... 34 2.6.2 Hermitska matriser....................... 34 2.6.3 Unitära matriser........................ 34 2.6.4 Egenskaper hos konjugatmatriser............... 34 2.6.5 Paulis och Diracs matriser................... 34 2.7 Normala matriser............................ 36 2.8 Bandmatriser och blockmatriser.................... 37 2.8. Bandmatriser.......................... 37 2.8.2 Blockmatriser.......................... 4 2.9 Diagonalisering............................. 43 2.9. Egenvärden och egenvektorer................. 43 2.9.2 Egenvärden, egenvektorer och kvadratiska former...... 44 2.9.3 Egenvärden och egenvektorer till reella symmetriska matriser 45 2.9.4 Egenvärden och egenvektorer till Hermitska matriser.... 45 2.9.5 Spektralsatsen.......................... 45 3 Grupper 47 3. Grundbegrepp.............................. 47 3.2 Definition av en grupp......................... 47 3.3 Isomorfism................................ 48 3.4 Generatorer och cykliska grupper................... 49 3.5 Kontinuerliga grupper. Gruppgenerering............... 50 4

3.5. Rotation av koordinater.................... 50 3.6 Generatorer av kontinuerliga grupper................. 5 4 Serier 52 4. Grundbegrepp.............................. 52 4.2 Serier med ickenegativa termer..................... 52 4.3 Funktionsserier............................. 57 4.4 Likformig konvergens.......................... 57 4.5 Potensserier............................... 58 4.6 Geometriska matrisserien........................ 62 4.7 Problem................................. 62 5 Grundbegrepp av komplex analys. Analytiska funktioner 63 5. Komplexa tal.............................. 63 5.. Konjugerade komplexa talet.................. 63 5..2 Geometrisk tolkning av komplexa tal. Absolutbeloppet... 64 5..3 Polär form av komplexa tal.................. 65 5..4 De Moivres formel....................... 65 5.2 Komplexvärd funktion av en komplex variabel............ 66 5.2. Real- och imaginärdel till en komplex funktion........ 67 5.3 Analytiska funktioner. Cauchy Riemanns ekvationer......... 67 5.3. Gränsvärden........................... 67 5.3.2 Derivata............................. 68 5.3.3 Cauchy Riemanns ekvationer................. 69 5.3.4 Analytiska funktioner...................... 69 5.4 Cauchys integralformel......................... 7 5.4. Komplexa kurvintegraler.................... 7 5.4.2 Cauchys integralsats...................... 72 5.4.3 Cauchys integralformel..................... 72 5.4.4 Cauchys generella integralformel................ 73 5.5 Taylors och Laurents utveckling.................... 74 5.5. Komplexa serier......................... 74 5.5.2 Potensserie........................... 75 5.5.3 Taylors utveckling........................ 76 5.5.4 Laurents utveckling....................... 78 5.6 Residykalkyl............................... 8 5.6. Isolerade singulariteter. Poler................. 8 5.6.2 Metoder för residyberäkning.................. 83 5.6.3 Residysats............................ 83 5.6.4 Beräkning av reella integraler med residykalkyl....... 87 5

6 Differentialekvationer: Grundbegrepp 90 6. Differentialekvationer av första ordningen............... 90 6.. Linjära differentialekvationer av första ordningen...... 9 6..2 Separabla ekvationer...................... 93 6.2 Begynnelsevärdesproblem....................... 93 6.3 Linjära differentialekvationer av andra ordningen.......... 95 6.3. Linjära differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter....................... 96 6.4 Singulära punkter............................ 97 6.5 Frobenius metod............................ 99 6.6 Randvärdesproblem........................... 202 7 Referenser 206 6

Förord Huvudmålet av kompendiet är att tillägna sig kunskaper om vissa matematiska metoder som används inom fysiken: serier, funktionsserier och likformig konvergens; matrisalgebra; grundbegrepp av komplex analys och gruppteori; differentialoch integralkalkyl i kroklinjiga koordinater; ordinära differentialekvationer. I Kompendiet, motsvarar problemnummer PROBLEM a.b.c detta i boken E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition (AEM), t ex PROB- LEM 8.. är problemet 8.. på s. 407 i AEM, avsnitt 8.. Exempel- och problemnummer (... Example, s., A) mostvarar detta i boken R. A. Adams, A Complete Course of Calcuclus, 4th Edition, Addison Wesley, 999 (A), t ex Example 8, s. 845, A är exemplet 8 på s. 845 i A, avsnitt 4. 7

Grundläggande begrepp av vektoranalys. Vektorer En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma riktning. En vektor (utom nollvektorn) kan anges med en riktad sträka, dvs en sträka från en punkt A (utgångspunkt) till en annan punkt B (ändpunkt). Två lika långa och lika riktade sträkor anger samma vektor. Vektorn från A till B kan betecknas AB. Vektorn sägs vara avsatt från punkten A. En vektor kan avsättas från en godtycklig punkt. Nollvektorn svarar mot det urartade fallet då A sammanfaller med B..2 Koordinatsystem Varje punkt läge i rymden kan anges med hjälp av ett koordinatsystem, som består t ex av tre mot varandra vinjkelräta koordinataxlar. Om två icke-parallela vektorer e x och e y är givna i ett plan, kan varje vektor u i planet entydigt skrivas som u = xe x + ye y. () Vektorerna e x och e y kallas basvektorer. Vektorerna xe x och ye y kallas komposanter, talen x och y koordinater för u (eller u s komponenter), och beteckningen u = (x, y) kan användas. Om e x, e y och e z är tre i (tre-dimensionella) rummet givna vektorer som inte ligger i ett plan, kan varje vektor u i rummet entydigt skrivas som u = xe x + ye y + ze z. (2) Vektorerna e x, e y och e z kallas basvektorer. Vektorerna xe x, ye y och ze z kallas komposanter, talen x, y och z koordinater för u (u s komponenter), och beteckningen u = (x, y, z) kan användas. Om O (i detta sammanhang kallad origo) är en fix punkt i rummet (planet) är varje punkt P bestämd av vektor OP, som kallas ortsvektorn för P, och koordinater x, y, z för OP upfattas som koordinater för P. Då har ortsvektorn för P : (x, y, z) utgångspunkten O : (0, 0, 0) (origo) och ändpunkten P : (x, y, z); beteckningen r = [x, y, z] kan användas. Man säger att man har koordinaterna x, y, z i koordinatsystemet Oe x e y e z eller Oxyz (även xyz). På motsvarande sätt fås koordinatsystemet Oe x e y eller Oxy i ett plan. Vi inför följande beteckningar: R är mängden av alla reela tal, R 2 är mängden av alla reela talpar (x, y) och R 3 är mängden av alla reela taltripplar (x, y, z). 8

Geometriskt, R representeras av punkterna på en linje (tallinje), resp. punkterna i ett plan eller i ett tre-dimensionellt rum. En vektor med beloppet (storlek) kallas enhetsvektor..2. Det cartesiska koordinatsystemet Om basvektorerna i ett koordinatsystem är parvis vinkelräta enhetsvektorer kallas koordinatsystemet ortonormerat, eller cartesiskt. I ett cartesiskt koordinatsystem, (2) skrivas som där basvektorerna är cartesiska enhetsvektorer u = [x, y, z] = xi + yj + zk, (3) i = e x, j = e y, k = e z i = [, 0, 0], j = [0,, 0], k = [0, 0, ]. (4) Antag att en vektor a= P Q har utgångspunkten P : (x, y, z ) och ändpunkten Q : (x 2, y 2, z 2 ). Då kallas tre talen a = x 2 x, a 2 = y 2 y, a 3 = z 2 z (5) a s komponenter i koordinatsystemet xyz i rummet, och man skriver a = [a, a 2, a 3 ]. Vektors längd (storlek) a = a 2 + a 2 2 + a 2 3 (6) Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem och P : [x, y, z ] och Q : [x 2, y 2, z 2 ] två punkter i rummet. Talet P Q = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 + (z z 2 ) 2 kallas avståndet mellan punkterna P och Q i rummet. Exempel. Vektorn a= P Q med utgångspunkten P : (4, 0, 2) och ändpunkten Q : (6,, 2) har komponenter a = 6 4 = 2, a 2 = 0 =, a 3 = 2 2 = 0. 9

Då a = [2,, 0] och längden (avståndet mellan punkterna P och Q) a = 2 2 + ( ) 2 + 0 2 = 5. Om man väljer (, 5, 8) som a s utgångspunkt, då,, enligt (5), är motsvarande ändpunkten ( + 2, 5, 8 + 0) = (, 4, 8) Exempel.2 a = [4, 0, ] = 4i + k, b = [2, 5, 3 ] = 2i 5j + 3 k..3 Vektor- och matrisnormer Låt x, y R n och α R är ett tal. En vektornorm är en avbildning R n R, med egenskaperna x 0 för alla vektorer x, x = 0 om och endast om x = 0, αx = α x, x + y x + y (triangelolikheten). De vanligaste vektornormer är n x 2 = j= x 2 j (Euklidisk norm), samt x = n j= x j och x = max x j. j Exempel.3 Låt x = [ x x 2 ] = [ 0. ] [ y, y = y 2 ] = [ p 0.05 ] ; vara två kolonnvektorer. Då blir x 2 = 2 x 2 j = + 0. 2 =.0, j= 0

x = 2 x j = + 0. =., j= x = max j=,2 x j =. y = max j=,2 y j = max{ p, 0.05}. x + y = + p + 0.5 + p + 0.5 =. + ( p + 0.05) = x + y. x+y = max{ +p, 0.5} max{+ p, 0.5} max{ p, 0.05}+max{, 0.} = x + y Låt vara en vektornorm. Motsvarande matrisnorm definieras A = sup Ax x, x 0 Man kan visa, att en sådan matrisnorm satisfierar A 0 för alla matriser A, A = 0 om och endast om A = 0, αa = α A, α R, A + B A + B. Påminn att för en kvadratisk matris A (av typ n n) definieras potenser A p (p är ett positivt heltal) som successiv matrismultiplikation: där A p = A A A p gånger (p =, 2,... ); A 0 = I, (7) I = 0... 0 0... 0...... 0 0... är enhetsmatrisen (av typ n n). Låt beteckna en vektornorm och motsvarande matrisnorm. Ur definitionen, ser vi att Ax A. x Då gäller. Ax A x, AB A B. (8) Den andra olikheten fås genom att använda den första två gånger på ABx. För potenser A p av en kvadratisk matris A får man A p A A A {p gånger} A p (p =, 2,... ), (9)

och A p x A p x A p x (p =, 2,... ). (0) Man kan visa också, att de vanligaste motsvarande matrisnormer för en kvadratisk matris A = [a jk ] av typ n n är n n A = (Frobenius norm) Låt Exempel.4 A = max k j= k= a 2 jk n a jk (Kolonnsumnorm) j= A = max j n a jk (Radsumnorm). k= A = [a jk ] = [ 0.5 0.25 0.25 0.5 vara en (symmetrisk) kvadratisk matris av typ 2 2. Då blir 2 A = max a jk = j=,2 max{ a + a 2, a 2 + a 22 } = max{0.5 + 0.25, 0.25 + 0.5} = 0.75..3. Konvergens av vektorföljd En vektorföljd x (0), x (),..., x (n),..., kallas konvergent, om den konvergerar mot en vektor u i en vektornorm ({x (n) } har ett gränsvärde). Det betyder att det finns en vektor u sådan att x (n) u går mot 0 då n går mot oändligheten..4 Rotation av koordinater Låt xy vara ett cartesiskt koordinatsystem i planet och r en fix (given) vektor. Låt x y vara ett annat cartesiskt koordinatsystem roterad moturs (med vinkeln φ) enligt k= x = x cos φ + y sin φ, () y = x sin φ + y cos φ, 2 ]

så att A x = A x cos φ + A y sin φ, (2) A y = A x sin φ + A y cos φ blir koordinater i det nya cartesiska koordinatsystemet för vektorn A, och vi definierar A x och A y som A s komponenter. Använd vidare en lämplig beteckning och skriv om () eller där och x x, (3) y y, a = cos φ, a 2 = sin φ, (4) a 2 = sin φ, a 22 = cos φ, x i = x = a x + a 2 x 2, (5) x 2 = a 2 x + a 22 x 2, 2 a ij x j, i =, 2. (6) j= a 2 = cos(x, x 2 ) = sin φ, (7) a 2 = cos(x 2, x ) = cos(φ + π/2) = sin φ, Vi har ortogonalitetsvillkor 2 a ij a ik = a j a k + a 2j a 2k = i= a ij = x i x j, i, j =, 2. (8) = a 2 + a 2 2 = cos 2 φ + sin 2 φ =, (j = k = ), = a a 2 + a 2 a 22 = = cos φ sin φ sin φ cos φ = 0, (j =, k = 2), (9) = a 2 a + a 22 a 2 = = sin φ cos φ cos φ sin φ = 0, (j = 2, k = ), = a 2 2 + a 2 22 = cos 2 φ + sin 2 φ =, (j = k = 2) 3

eller 2 a ij a ik = δ jk, j, k =, 2 (20) i= där δ jk är Kronecker-delta. Invers rotation (φ φ) ger där x j = 2 a ij x i, j =, 2, (2) i= och I ett N-dimensionellt rum, är vektorn V i = a ij = x j, i, j =, 2. (22) x i V = [V, V 2,..., V N ] N a ij V j, i =, 2,..., N, (23) j= blir koordinater i det nya cartesiska koordinatsystemet. Här Man kan skriva om (23) eller a ij = x i x j, i, j =, 2,..., N. (24) V i = V i = N j= N j= Man kan visa ortogonalitetsvillkor x i x j V j, i =, 2,..., N (25) x j V x j, i =, 2,..., N. (26) i N a ij a ik = δ jk, j, k =, 2,..., N (27) i= där δ jk är Kronecker-delta. 4

.5 Skalärprodukt Vinkeln mellan två vektorer erhålls genom att man avsätter dem från samma punkt. Om a och b är två vektorer och γ vinkel mellan dem är skalärprodukten av a och b a b = a b cos γ om a 0, b 0 a b = 0 om a = 0 eller b = 0. Om a = [a, a 2, a 3 ] och b = [b, b 2, b 3 ], då, a b = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3. Vektorn a kallas normal till vektorn b om a b = 0. Skalärprodukten av två vektorer a 0 och b 0 är 0 om och endast om de här två vektorerna är perpendikulär, dvs vinkeln γ mellan a och b är γ = π/2 (90 o ) (cos γ = 0). Man kan bestämma vektors längd och vinkeln mellan två vektorer genom skalärprodukten a = a a (28) cos γ = a b a b = a b a a b b (29) Exempel.5 Beräkna skalärprodukten, längd och vinkeln mellan vektorer a= [, 2, 0] och b= [3, 2, ]: a b = 3 + 2 ( 2) + 0 =, a = a a = 5, b = b b = 4; γ = arccos a b a b.5. Ortonormerad bas = arccos ( ) 70 = arccos ( 0.952) =.6906 = 96.865 o Den ortonormerade basen a, b, c i tre-dimensionella rummet består av ortogonala (cartesiska) enhetsvektorer i = [, 0, 0], j = [0,, 0], k = [0, 0, ]. För en given vektor v = l a + l 2 b + l 3 c, 5

vi har l = a v, l 2 = b v, l 3 = c v. Enhetsvektorerna i, j, k bildar standardbasen. Exempel.6: Normalvektor till planet Bestäm en enhetsvektor normal till planet 4x + 2y + 4z = 7. Lösning. Ekvationen för ett plan i tre-dimensionella rummet är a r = a x + a 2 y + a 3 z = c, a = [a, a 2, a 3 ] 0, r = [x, y, z]. Enhetsvektorn i riktningen a är n = a a. Likheten a r = c dividerat med a är n r = p, p = c a. n (och n) är normalvektorn till planet. I Exempel 4, a = [4, 2, 4], c = 7, a = 4 2 + 2 2 + 4 2 = 36 = 6; då n = (/6)a = [2/3, /3, 2/3], och avståndet mellan planet och origo är p = 7/6..6 Vektorprodukt Vektorprodukten a b av två vektorer a = [a, a 2, a 3 ] och b = [b, b 2, b 3 ] är en vektor v = a b; dess längd är v = a b sin γ (γ är vinkeln mellan vektorer a and b) och v är perpendikulär till a och b. a, b, v bildar ett positivt orienterat högersystem. Vi har v = [v, v 2, v 3 ] = a b = i j k a a 2 a 3 b b 2 b 3 = v i + v 2 j + v 3 k, v = a 2 a 3 b 2 b 3, v 2 = a 3 a b 3 b, v 3 = a a 2 b b 2 6

Exempel.7 Beräkna vektorprodukten av vektorerna a = [4, 0, ] och b = [ 2,, 3]: i j k a b = 4 0 2 3 = i 0 3 + j 4 3 2 + k 4 0 2 = i 0j + 4k..7 Skalära fält och vektorfält Låt U vara ett område i rummet och låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem. Antag att vi för varje punkt P = (x, y, z) U har definierat en vektor v = v(p ) = [v (P ), v 2 (P ), v 3 (P ), ] Då säger vi att v = v(p ) är ett vektorfält i området U (v s värden är vektorer). På motsvarande sätt fås definitionen av ett skalär fält f = f(p ) där f(p ) = f(x, y, z) är en skalär funktion av tre variabler definierad i området U (f s värden är reela tal). Området (mängden) U, som består av alla de punkter P = (x, y, z) för vilka f(p ) existerar, kallas f s definitions mängd. Exempel.8: Ett skalärt fält (avståndet mellan punkterna i rummet) Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem. Låt vidare P : [x, y, z] vara en punkt i rummet och P 0 : [x 0, y 0, z 0 ] en fix punkt i rummet. Då kallas skalära funktionen f = f(p ) = f(x, y, z) = P P 0 = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 avståndet mellan punkterna P och P 0 i rummet. Exempel.9: Ett vektorfält (gravitationsfält) En partikel A med massan M är belägen i origo. Den attraherar genom gravitation en partikel B med massan m i punkten P : [x, y, z] med en kraft p. I ett cartesiskt koordinatsystem P : [x, y, z], P 0 : [x 0, y 0, z 0 ] = O : [0, 0, 0] och avståndet mellan punkterna P och P 0 är r = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = x 2 + y 2 + z 2. Enligt Newtons gravitationslag är p riktad mot origo och p är omvänt proportionellt mot kvadraten på avståndet till origo, p = c, c = const. (30) r2 7

Vektorn p har samma riktning som vektorn r, där r = [x, y, z] = xi + yj + zk är ortsvektorn för P, r = r, och r är en enhetsvektor som har samma riktning r som vektorn p (en enhetsvektor längs p). Enligt (30) är då gravitationskraften p = p ( r ) r = c r 3 r = c x r 3 i c y r 3 j c z r 3 k (3) Då definierar (3) för varje punkt P = (x, y, z) O = (0, 0, 0) en vektor p = p(p ) = [p (P ), p 2 (P ), p 3 (P )]. p = p(p ) är ett vektorfält som kallas gravitationsfält. Betrakta en partikel A med massan M i punkten P 0 : [x 0, y 0, z 0 ] och en partikel B med massan m i punkten P : [x, y, z] (i ett cartesiskt koordinatsystem). Avståndet mellan punkterna P och P 0 är vektorn r = r = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2, P 0 P = [x x 0, y y 0, z z 0 ] = (x x 0 )i + (y y 0 )j + (z z 0 )k, har utgångspunkten P 0 : (x 0, y 0, z 0 ) och ändpunkten P : (x, y, z), och gravitationsfältet (gravitationskraften) är p = p ( r ) r = c r r = cx x 0 i c y y 0 j c z z 0 k (32) 3 r 3 r 3 r 3 Låt, t ex, P 0 vara origo P 0 = [0, 0, 0] och antag att punkterna P ligger på enhetscirkel x 2 + y 2 = i planet z = 0. Vi har r = x 2 + y 2 = och vektorfunktionen (3) skrivas som p = p ( r) = cr, (33) Då är p s storlek konstant i varje punkt på cirkeln och har p motsatt riktning mot ortsvektorn r. För en godtycklig cirkel x 2 +y 2 = a 2 och även en godtycklig sfär x 2 +y 2 +z 2 = a 2 får man samma påstående. 8

.8 Problem PROBLEM 8.. Bestäm en vektor med utgångspunkten P : (,, 0) och ändpunkten Q : (4, 5, 0) och dess längd. Lösning. P Q = v = [4, 5, 0 0] = [3, 4, 0] = 3i + 4j. v = 3 2 + 4 2 + 0 = 25 = 5. PROBLEM 8..3 Bestäm en vektor med utgångspunkten P : (, 2, 3) och ändpunkten Q : (2, 4, 6). och dess längd. Lösning. P Q = v = [2, 4 2, 6 3] = [, 2, 3] = i + 2j + 3k. v = 2 + 2 2 + 3 2 = 4. PROBLEM 8..9 Låt P Q = v = [2, 3, 0] = 2i + 3j och utgångspunkten vara P : (, 0, 0). Bestäm ändpunkten Q : (x 2, y 2, z 2 ). Lösning. P Q = v = [x 2, y 2 0, z 2 0] = [2, 3, 0]. Då x 2 = + 2 = 3, y 2 = 3 + 0 = 3, z 2 = 0 + 0 = 0] and Q : (3, 3, 0) v = 2 2 + 3 2 = 3. PROBLEM 8..8 a = [3, 2, ] = 3i 2j + k, b = [0, 3, 0] = 3j. Bestäm a + b och a + b. Lösning. a + b = [3 + 0, 2 + 3, + 0] = [3,, ] = 3 2 + + =. a = 3 2 + 2 2 + = 4. b = 3 2 = 3. a + b = 3 + 4. a + b < a + b. PROBLEM 8.2. Beräkna skalärprodukten av vektorerna 9

Här, a = [, 3, 2] = i + 3j + 2k, b = [2, 0, 5] = 2i 5k, c = [4, 2, ] = 4i 2j + k. Lösning. a b = 2 + 3 0 + 2 ( 5) = 2 + 0 0 = 8 = b a. PROBLEM 8.2.4 Lösning. 2b + 3c = [2 2, 0, 2 ( 5)] + [3 4, 3 ( 2), 3 ] = [4 + 2, 0 6, 0 + 3] = [6, 6, 7]. a (2b + 3c) = 6 + 3 ( 6) + 2 ( 7) = 6 8 4 = 6 = 2a b + 3a c. PROBLEM 8.2.25 Bestäm vinkeln mellan två planen x + y + z = och x + 2y + 3z = 6. Lösning. Ekvationen för ett plan i tre-dimensionella rummet är a r = a x + a 2 y + a 3 z = c, a = [a, a 2, a 3 ] 0, r = [x, y, z]. för planet x + y + z = och a r = x + y + z =, a = [,, ], c = c = b r = x + 2y + 3z = 6, b = [, 2, 3], r = [x, y, z], c = c 2 = 6 för planet x + 2y + 3z = 6. c =, a = + + = 3; c 2 = 6, b = + 2 2 + 3 2 = 4. Enhetsnormalvektorn till planet x + y + z = är n = a a = 3 a. Enhetsnormalvektorn till planet x + 2y + 3z = 6 är n 2 = b b = 4 b. Vinkeln mellan två plan är vinkeln mellan två normaler som är lika med vinkeln γ mellan vektorerna a och b. Man kan bestämma vinkeln mellan två, vektorer 20

genom skalärprodukten: cos γ = a b a b = a b a a b b (34) Vi har och cos γ = a b a b = + 2 + 3 3 4 = 6 42 = 0.92582, γ = arccos 0.92582 = 0.38760 22.2 o. PROBLEM 8.3. Bestäm skalärprodukten och vektorprodukten av vektorerna a = [, 2, 0], b = [ 3, 2, 0], och c = [2, 3, 4]. Lösning. a b = i j k 2 0 3 2 0 = k 2 3 2 b a = a b = 8k. = 8k; a b = b a = ( 3) + 2 2 + 0 0 = 3 + 4 =. PROBLEM 8.3.3 Lösning. i j k a c = 2 0 2 3 4 = i 2 0 3 4 j 0 2 4 + k 2 2 3 = 8i 4j k = [8, 4, ]; a c = c a = 8 2 + 4 2 + = 64 + 6 + = 8 = 9. PROBLEM 8.4. a c = 2 + 2 3 + 0 4 = 2 + 6 = 8. Betrakta skalära fältet (tryckfält) f(x, y) = 9x 2 + 4y 2 punkterna (2, 4), (0.5, 3.25) och ( 7, / 6). Lösning. och estäm trycket i 2

f(2, 4) = 9 2 2 + 4 4 2 = 4 (9 + 6) = 00. f(0.5, 3.25) = 9 0.25 + 4 (3.25) 2 = 2.25 + 42.25 = 44.5. f( 7, / 6) = 9 7 + 4 (/6) = 53 + 2/3 53.667. PROBLEM 8.4.2 En nivåkurva till funktionen f(x, y) är en kurva med ekvationen f(x, y) = c där c är en konstant. Isobarer (kurvor av konstant tryck) är ellipser 9x 2 + 4y 2 = c, c > 0, e.g., 9x 2 + 4y 2 = : PROBLEM 8.4.4 Lösning. Isotermer (kurvor av konstant temperatur) är kurvorna med ekvationerna ln x 2 + y 2 = c. Isotermerna är cirklar x 2 + y 2 = C = e c > 0. PROBLEM 8.4.5 Lösning. arctan y/x = c; då tan arctan y/x = y/x = C = tan c och isotermer är räta linjer y = Cx. PROBLEM 8.4.6 Lösning. Vi har x 2 y 2 = c, och isotermer är parabeler y = ± x 2 c, c 0, eller räta linjer y = x, c = 0. PROBLEM 8.4. Lösning. En yta med ekvationen f(x, y, z) = c där c är en konstant kallas en nivåyta till funktionen f(x, y, z). Här nivåytorna är planen 4x + 3y z = c. PROBLEM 8.4.2 Lösning. Nivåytorna är elliptiska cylindrarna x 2 + 3y 2 = c, c > 0. 22

2 Kurvor. Gradient 2. Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva C på parameterform ges av tre ekvationer dvs av vektorfunktionen x = x(t), y = y(t), z = z(t) (t I), (35) r(t) = [x(t), y(t), z(t)] = x(t)i + y(t)j + z(t)k (t I), (36) där variabeln t kallas parameter. Då t genomlöper intervallet I = (t 0, t ), så genomlöper punkten (x(t), y(t), z(t)) punktmängden C i xyz-rummet (en rymdkurva). Ekvationerna (35) kallas kurvans ekvationer på parameter form. (36) kallas kurvans ekvation på vektorform. På analogt sätt ges en kurva C i planet av två ekvationer dvs av vektorfunktionen x = x(t), y = y(t) (t I), (37) r(t) = [x(t), y(t)] = x(t)i + y(t)j (t I). (38) Då t genomlöper intervallet I = (t 0, t ), så genomlöper punkten (x(t), y(t)) punktmängden C i xy-planet (en kurva i planet). Ekvationerna (37) kallas kurvans ekvationer på parameter form, och (38) kallas kurvans ekvation på vektorform. Man kan representera kurvor som projektioner i xy- och xz-planen y = f(x), z = g(x), (39) där variabeln x (a, b) är en parameter, eller en skärningslinje av två ytor F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0. (40) Exempel 2.: En rät linje Låt L vara en rät linje i ett koordinatsystem i rymden, P = (a, a 2, a 3 ) är en fix punkt och P = (x, y, z) är en rörlig punkt på L. Om vektorn b = [b, b 2, b 3 ] är parallel med linjen L gäller: man når punkten P genom att först gå till P och sedan addera en vektor tb av lämplig längd: OP = OP + tb, 23

där t är en parameter, för punkten P. I koordinatform har vi OP är ortsvektorn för punkten P och OP är ortsvektorn x = a + tb, y = a 2 + tb 2, z = a 3 + tb 3. (4) Då ges en rät linje L genom punkten A på parameterform av vektorfunktionen r(t) = a + tb = [a + tb, a 2 + tb 2, a 3 + tb 3 ], (42) där a är ortsvektorn för A och vektorn b (riktningsvektorn) är parallel med linjen. Enligt (42) kan den räta linjen L i xy-planet genom punkten A : (3, 2) som har riktningsvektorn b = i + j = [,, 0] (parallel med vektorn b) skrivas I koordinatform har vi r(t) = a + tb = [3, 2, 0] + t[,, 0] = [3 + t, 2 + t, 0]. x = 3 + t, y = 2 + t, z = 0. (43) Exempel 2.2: Ellips, cirkel Vektorfunktionen r(t) = [a cos t, b sin t, 0] = a cos ti + b sin tj (44) ger en ellipse i xy-planet. Vi har sin 2 t + cos 2 t =, och x 2 a + y2 =, z = 0. 2 b2 Om b = a, får vi en cirkel med radien a på parameterform r(t) = [a cos t, a sin t, 0] = a cos ti + a sin tj. (45) 2.. Tangent till en kurva Låt C vara en rymdkurva på parameterform x = x(t), y = y(t), z = z(t) (t I), (46) eller r(t) = [x(t), y(t), z(t)] = x(t)i + y(t)j + z(t)k 24 (t I),

där x(t), y(t), z(t) är deriverbara funktioner (dvs C är en deriverbar kurva). Vektorn r r(t + t) r(t) (t) = lim, r (t) 0 t 0 t kallas tangentvektorn till kurvan C i punkten P eftersom r (t) är parallel med tangent och vinkelrät mot ortsvektorn för punkten P = (x, y, z). Motsvarande enhetstangentvektorn u = r r. Enligt (42) kan ekvationen för tangent till C i punkten P skrivas där w är en parameter. q(w) = r + wr, Exempel 2.3: Tangent till en ellips Bestäm tangent till ellipsen x2 4 + y2 = i punkten P : ( 2, ). 2 Vektorfunktionen ger en ellips (i xy-planet). Vi har r(t) = [2 cos t, sin t, 0] = 2 cos ti + sin tj P π 4 r (t) = 2 sin ti + cos tj, ( 2 cos π 4 = 2, sin π 4 = ), 2 och r (π/4) = [ ] 2,. 2 Då är tangent till ellipsen i punkten P q(w) = r(π/4) + wr (π/4) = [ 2, 2 ] + w [ 2, ] = 2( w)i + j. 2 2 2..2 Längd av en kurva l = b a r r dt, r = dr dt, där r(t), a t b är parameterekvationerna för (en del av) en kurva C. 25

Bågeslängd av en kurva s(t) = t a r r d t, r = dr d t. är längden av bågen från punkten (x(a), y(a), z(a)) till punkten (x(t), y(t), z(t)).. Bågeslängd som en parameter Låt bågeslängd s vara en parameter, t = s. Då kan enhetstangentvektorn skrivas u(s) = r (s). Exempel 2.4: Bågeslängd som en parameter för en cirkel En cirkel på parameterform ges av vektorfunktionen r(t) = [a cos t, a sin t, 0] = a cos ti + a sin tj. Vi har t = s/a eftersom bågeslängden s = at, och ( s [ ( s ( s r = a cos, a sin = a cos a) a) a)] s a i + a sin s a j eller r ) [ ( s = a cos a ( s a ), a sin ( s a )] = a cos s s i + a sin a a j. 2.2 Gradient Vektorfunktionen grad f = f = f x i + f y j + f z k kallas gradienten av en (deriverbar skalär) funktion f(x, y, z). Vektordifferentialoperatorn definieras genom = x i + y j + z k. Gradientens komponenter som är vinkelräta mot koordinatytan (koordinatplanet) x = const (dvs, ytan y, z, eller i riktningen i), resp. y = const (ytan x, z, 26

eller i riktningen j) och z = const (ytan x, y, eller i riktningen k), är Exempel: f i = f x, f j = f y, (47) f k = f z, f(x, y, z) = 2x + yz 3y 2 ; f x = 2, f y = z 6y, f z = y, 2.3 Riktningsderivata grad f = f = 2i + (z 6y)j + yk. Riktningsderivatan D b f eller df av f i punkten P i riktningen b, b =, definieras ds genom f(q) f(p ) D b f = lim (s = Q P ), s 0 s där Q är en rörlig punkt på strålen C i riktningen b. I ett cartesiskt koordinatsystem i rummet, ges strålen C på parameterform av vektorfunktionen r(s) = x(s)i + y(s)j + z(s)k = p 0 + sb (p 0 är ortsvektorn för P ). Enligt definitionen av riktningsderivata och kedjeregeln är D b f = df derivatan av f(x(s), y(s), z(s)) med avseende på s ds D b f = df ds = f x x + f y y + f z z, Likheten ger x = dx ds, y = dy ds, z = dz ds. r (s) = x i + y j + z k = b D b f = df ds = b grad f 27

(b är en enhetsvektor, b = ), eller (a 0 är en godtycklig vektor). D a f = df ds = a a grad f Exempel 2.5: Gradient. Riktningsderivata Bestäm riktningsderivatan av funktionen f(x, y, z) = 2x 2 + 3y 2 + z 2 i punkten P : (2,, 3) i riktningen a = i 2k = [, 0, 2]. Lösning. f(x, y, z) = 2x 2 + 3y 2 + z 2 ; I punkten P : (2,, 3) f x = 4x, grad f = 4xi + 6yj + 2zk. f y = 6y, f z = 2z, grad f = 8i + 6j + 6k = [8, 6, 6]. Vi får a = [, 2] = + 4 = 5 och kan beräkna riktningsderivatan D a f = df ds = 5 (i 2k) (8i + 6j + 6k) = [, 0, 2] [8, 6, 6] = ( 8 + 0 6 + ( 2) 6) = 4.789. 5 5 5 2.4 Funktion växer snabbast i riktningen grad Visa att en funktion växer snabbast i riktningen grad. Enligt definition av skalärprodukt är D b f = b grad f = b grad f cos γ = grad f cos γ ( b = ). där γ är vinkeln mellan vektorerna b och grad f. Riktningsderivatan D b f är maximal resp minimal om cos γ =, γ = 0, resp. cos γ =, γ = π, dvs om b är parallel med grad f resp. grad f. Vi har alltså Sats. Låt f(x, y, z) = f(p ) vara en deriverbar funktion. (i) Riktningsderivatan D b f är maximal i riktningen b = grad f grad f 28

och i denna riktning är D b f = grad f. (ii) Riktningsderivatan D b f är minimal i riktningen och i denna riktning är (grad f 0). b = grad f grad f D b f = grad f. 2.5 Normalvektor till nivåytor En yta S i rummet med ekvationen f(x, y, z) = c kallas en nivåyta till funktionen f(x, y, z). Sats 2. Om f(x, y, z) är en deriverbar (C ) funktion och grad f 0 så är grad f en normalvektor till nivåytan f(x, y, z) = C. Bevis. En rymdkurva C på parameterform ges av vektorfunktionen Om C ligger påytan S, Tangent till C är r(t) = v(t) = [x(t), y(t), z(t)] = x(t)i + y(t)j + z(t)k. f(x(t), y(t), z(t)) = c. r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k. Om C ligger på ytan S, då är vektorn r (t) tangent till S. I en fix punkt P på S, bildar alla denna vektorer ett plan kallas tangentplanet till S i punkten P. Dess normal kallas normal till ytan S i punkten P. En vektor parallel med ytans normal är normalvektorn till ytan S i punkten P. Enligt kedjeregeln är derivatan av f(x(t), y(t), z(t)) = c med avseende på t där f x x + f y y + f z z = grad f r (t) = 0, x = dx dt, y = dy dt, 29 z = dz dt.

Då skalärprodukten är 0 är grad f vinkelrät mot tangentvektorer r i tangentplanet. Då grad f är vinkelrät mot alla sådana tangentvektorer är grad f en normalvektor till ytan. Exempel 2.6: Gradient är normal vektor till ytan Bestäm normalvektor n till konen z 2 = 4(x 2 + y 2 ) i punkten P : (, 0, 2). Lösning. En yta i rummet med ekvationen z 2 = 4(x 2 + y 2 ), dvs f(x, y, z) = 4x 2 + 4y 2 z 2 = 0 ä en nivåyta f(x, y, z) = c till funktionen f(x, y, z) = 4x 2 + 4y 2 z 2 med c = 0. Partiella derivator är och gradient är I punkten P : (, 0, 2) f x = 8x, f y = 8y, f z = 2z, grad f = 8xi + 8yj 2zk. grad f = 8i 4k = [8, 0, 4]. Vi har grad f = 64 + 6 = 80. Enhetsnormalvektorn är alltså n = grad f grad f = (8i 4k) = 80 4 2 4(2i k) = i k. 5 5 5 2.6 Gradientfält och potentialer Ett vektorfält p säges vara ett gradientfält om p kan skrivas p =grad f. Funktionen f kallas en skalär potential till p. Skriv den här vektorfunktionen som beskriver gravitationskraft (gravitationsfält) ( x x0 p = c i + y y 0 j + z z ) 0 k, r 3 r 3 r 3 där och Vi har r = [x x 0, y y 0, z z 0 ] = (x x 0 )i + (y y 0 )j + (z z 0 )k x r = r = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2. ( ) = r 2(x x 0 ) 2[(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 ] = x x 0 r 3 30

y ( ) = y y 0, r r 3 z Då är p gradienten av en (deriverbar skalär) funktion ( ) = z z 0. r r 3 f(x, y, z) = c r (r > 0) : p = grad f = ( c ) i + ( c ) j + ( c ) k x r y r z r Enligt definitionen är f en skalär potential till gravitationsfältet. Enligt kedjeregeln är partiella derivatan av andra ordningen med avseende på x, y, z ( ) 2 = r x 2 r + 3(x x 0) 2, 3 r 5 2 y 2 2 z 2 ( ) = r r + 3(y y 0) 2, 3 r 5 ( ) = r r + 3(z z 0) 2. 3 r 5 Genom att addera högerleden och vänsterleden, man kan visa att potentialen f satisfierar Laplaces ekvation f = 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2 = 0 Differentialoperatorn av andra ordningen kallas Laplaceoperator (Laplacian). 2.7 Problem PROBLEM 8.5. = 2 = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 Bestäm parameterekvationer (parameterform) för en rät linje L genom punkten A : (4, 2, 0); riktningsvektorn är b = i + j = [,, 0]. Lösning. En rät linje L genom punkten A på parameterform ges av vektorfunktionen (42) r(t) = a + tb = [a + tb, a 2 + tb 2, a 3 + tb 3 ], (48) 3

a är ortsvektorn för A och vektorn b (riktningsvektorn) är parallel med linjen. Här r(t) = a + tb = [4 + t, 2 + t, 0] = [4 + t, 2 + t, 0] = (4 + t)i + (2 + t)j. PROBLEM 8.5.9 r(t) = [t, t 3 + 2, 0]; t = x, då y = x 3 + 2, z = 0. PROBLEM 8.5.0 Vektorfunktionen r(t) = [3 cos t, 4 sin t, 0] = 3 cos ti + 4 sin tj ger en ellips i xy-planet (eftersom koordinatekvationerna x = 3 cos t, y = 4 sin t för cartesiska koordinater ger ekvationen för en ellips x 2 3 + y2 =, z = 0. 2 42 PROBLEM 8.5. Vektorfunktionen r(t) = [0, 5 cos t, 5 sin t] = 5 cos tj + 5 sin tk ger en cirkel med radien 5 i yz-planet (cartesiska koordinater på parameterform y = 5 cos t, z = 5 sin t ger y 2 + z 2 = 25, x = 0. PROBLEM 8.5.7 Bestäm parameterekvationer (parameterform) för rymdkurvan C : y 2 + (z 3) 2 = 9, x = 0. Lösning. Cartesiska koordinater på parameterform y = 3 cos t, z = 3 + 3 sin t ger y 2 + (z 3) 2 = 9. Då ger vektorfunktionen r(t) = [0, 3 cos t, 3 + 3 sin t] = 3 cos tj + 3( + sin t)k en cirkel med radien 3 och origo [0, 0, 3] i yz-planet (x = 0). 32

PROBLEM 8.5.2 En rymdkurva C på parameterform ges av vektorfunktionen Då är r(t) = ti + t 3 j = [t, t 3, 0]. r (t) = i + 3t 2 j = [, 3t 2, 0]. en tangentvektor till C. Motsvarande enhetstangentvektorn u = r r = + 9t 4 (i + 3t2 j). I punkten P : (,, 0) r (t) = i + 3j = [, 3, 0]; u = 0 (i + 3j) = 0 [, 3, 0]. Enligt (42) kan ekvationen för tangent till C i punkten P skrivas där w är en parameter. Här. q(w) = r + wr, q(w) = r + wr = i + j + w(i + 3j) = ( + w)i + ( + 3w)j = [ + w, + 3w, 0]. PROBLEM 8.5.22 Vektorfunktionen ger cirkeln i xy-planet. Tangentvektorn är Motsvarande enhetstangentvektorn r(t) = [2 cos t, 2 sin t, 0] = 2 cos ti + 2 sin tj x 2 + y 2 = 4, z = 0. r (t) = 2 sin ti + 2 cos tj. u = r r = ( 2 sin ti + 2 cos tj) = sin ti + cos tj. 2 33

P : ( 2, 2, 0) t = π 4 : 2 cos π 4 = 2, 2 sin π 4 = 2. Tangent r i punkten t = π/4 är r (π/4) = [ 2, 2, 0] = 2( i + j). Motsvarande enhetstangentvektorn 2 2 u = ( i + j) = [,, 0]. 2 2 Tangenten till cirkeln x 2 + y 2 = 4, z = 0 i punkten P skrivas q(w) = r(π/4)+wr (π/4) = 2(i+j)+w 2( i+j) = 2[( w)i+(+w)i] = 2[ w, +w, 0]. PROBLEM 8.5.23 Vektorfunktionen r(t) = cos ti + 2 sin tj = [cos t, 2 sin t, 0] ger en ellips x 2 + y2 4 =, z = 0 i xy-planet. Tangentvektorn till ellipsen är Motsvarande enhetstangentvektorn r (t) = sin ti + 2 cos tj = [ sin t, 2 cos t, 0]. u = r r = ( sin ti + 2 cos tj). sin 2 t + 4 cos 2 t r(t) i punkten t = π/3 är r (t) i punkten t = π/3 är P : (/2, 3, 0) t = π 3 : cos π 3 = 2, 2 sin π 3 = 3. r(π/3) = (/2)i + 3j = [/2, 3, 0]. r (π/3) = ( 3 2 )i + j = [ 3/2,, 0]. 34

Enhetstangentvektorn i punkten t = π/3 är u = (( 3/2)i + j) = 2 (( 3/2)i + j) = [ 3/7, 2/ 7, 0]. 3/4 + 7 Tangenten till ellipsen x 2 + y2 4 = i punkten P : (/2, 3, 0) skrivas q(w) = r(π/3) + wr (π/3) = ((/2)i + 3j + w( 3 2 )i + j = [/2, 3, 0] + w[ 3/2,, 0] = [/2 w 3/2, 3 + w, 0] = PROBLEM 8.8. (/2 w 3/2)i + ( 3 + wj). Bestäm derivatan dw dt av funktionen w = x 2 + y 2 när x = e 4t och y = e 4t. dw dt = w dx x dt + w dy y dt = x w (4e4t ) + y w ( 4e 4t ) = 4 w (e8t e 8t ) = 4 e8t e 8t e 8t + e = 4 sinh 8t 2. 8t cosh 8t PROBLEM 8.9. Beräkna gradienten grad f till funktionen f(x, y) = x 2 y 2 och dess värde och belopp i punkten P : (, 3). Lösning. Gradienten till skalära funktionen f(x, y) = x 2 y 2 är en vektorfunktion I punkten P : (, 3) får man en vektor grad f = f x i + f j = 2xi 2yj. y grad f = 2i 6j = [ 2, 6]; grad f = 4 + 36 = 40. PROBLEM 8.9.2 35

Beräkna gradienten grad f till funktionen f(x, y) = xy och dess värde i punkten P : (, ). Lösning. I punkten P : (, ) får man en vektor grad f = f x i + f j = yi + xj. y grad f = i + j = [, ]. PROBLEM 8.9.3 Beräkna gradienten grad f till funktionen f(x, y) = ln x 2 + y 2 och dess värde i punkten P : (2, 0). grad f = f x i + f y j = I punkten P : (2, 0) PROBLEM 8.9.7 2x x 2 + y 2 i + grad f = i = [, 0]. 2y x 2 + y 2 j = (x2 + y 2 ) [2x, 2y]. Beräkna gradienten grad f till f(x, y, z) = z/(x 2 + y 2 ) och dess värde i punkten P : (0,, 2). At P : (0,, 2) grad f = f x i f y j f z k = 2xz (x 2 + y 2 ) 2 i + 2yz (x 2 + y 2 ) 2 j x 2 + y 2 k = (x2 + y 2 ) 2 [2xz, 2yz, x 2 y 2 ]. PROBLEM 8.9.5 grad f = 4j k = [0, 4, ]. Beräkna enhetsnormalvektorn till räta linje y = 4 3 x 2 i punkten P : (2, 2). 3 Lösning. Enligt Sats 2 är grad f en normalvektor till nivåkurvan f(x, y) = C (om grad f 0 och f(x, y) är en deriverbar funktion). 36

Vi har f(x, y) = 4 3 x y = 2 3 ; grad f = [ 4 3, ], grad f = 5 3. Då är enhetsnormalvektorn till räta linje i alla punkter en konstant vektor n = 3 5 grad f = [4 5, 3 ] = [0.8, 0.6]. 5 PROBLEM 8.9.2 Man kan visa att vektorfunktionen v = [2x, 4y, 8z] har potentialen f(x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 4z 2. Vi har v = grad f = f x i + f y j + f z k = 2xi + 4yj + 8zk = [2x, 4y, 8z]. PROBLEM 8.9.29 Beräkna riktningsderivatan av funktionen f(x, y) = x 2 + y 2 i punkten P : (, ) i riktningen b = 2i 4j. Lösning. Riktningsderivatan D b f eller df av f i punkten P i riktningen b beräknas ds genom skalärprodukten D b f = df ds = b grad f (b är en enhetsvektor, b = ), eller D a f = a a grad f (a 0 är en godtycklig vektor). Här Gradienten f(x, y) = x 2 + y 2 ; f x = 2x, grad f = 2xi + 2yj. f y = 2y, 37

I punkten P : (, ) grad f = 2i + 2j = [2, 2, 0]. Beräkna a = [2, 4] = 4 + 6 = 20 och bestäm riktningsderivatan av f(x, y) = x 2 + y 2 i punkten P : (, ) D a f = df ds = 20 (2i 4j) (2i+2j) = 20 [2, 4] [2, 2] = 20 (2 2 4 2) = 2 5. 3 Divergens och rotation av vektorfält 3. Definitionen av divergens Låt v(x, y, z) vara en deriverbar vektorfunktion Funktionen v(x, y, z) = v (x, y, z)i + v 2 (x, y, z)j + v 3 (x, y, z)k div v = v x + v 2 y + v 3 z kallas divergensen av v (divergensen av vektorfältet v). Definiera vektordifferentialoperatorn genom = x i + y j + z k. Då kan man skriva divergensen som skalärprodukten ( div v = v = x i + y j + ) z k (v i + v 2 j + v 3 k) = v x + v 2 y + v 3 z. och Exempel 3. v(x, y, z) = 3xzi + 2xyj yz 2 k, v x = 3z, v 2 y = 2x, v 3 z = 2yz, div v = 3z + 2x 2yz. 38

och dvs Om f är en två gånger deriverbar funktion, då där är Laplaces differentialoperator. där och grad f = f x i + f y j + f z k. div (grad f) = 2 f = 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2, div (grad f) = f, Exempel 3.2 Gravitationskraften Vektorfunktionen p = c ( x x0 r 3 i + y y 0 j + z z 0 r 3 r 3 ) k, r = [x x 0, y y 0, z z 0 ] = (x x 0 )i + (y y 0 )j + (z z 0 )k r = r = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2, beskriver gravitationskraft (gravitationsfält). Vi har ( ) 2(x x 0 ) = x r 2[(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 ] = x x 0 r 3 ( ) = y y ( ) 0, = z z 0. y r r 3 z r r 3 Då är p gradienten av en (deriverbar skalär) funktion f(x, y, z) = c (r > 0) : r p = grad f = ( c ) i + ( c ) j + ( c ) k x r y r z r Ett vektorfält p säges vara ett gradientfält om p kan skrivas p =grad f. Funktionen f kallas en skalär potential till p. Då är f en skalär potential till gravitationsfältet. Enligt kedjeregeln är partiella derivatan av andra ordningen med avseende på x, y, z 2 x 2 ( ) = r r + 3(x x 0) 2, 3 r 5 39

2 y 2 2 z 2 ( ) = r r + 3(y y 0) 2, 3 r 5 ( ) = r r + 3(z z 0) 2. 3 r 5 Genom att addera högerleden och vänsterleden, man kan visa att potentialen f satisfierar Laplaces ekvation f = 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2 = 0, så att div p = div (grad f) = 2 f = 0. 3.2 Definitionen av rotation Låt x, y, z vara ett positivt orienterat cartesiskt koordinatsystem och v(x, y, z) = v (x, y, z)i + v 2 (x, y, z)j + v 3 (x, y, z)k en deriverbar vektorfunktion. Då kallas vektorfunktionen i j k curl v = v = x y z v v 2 v 3 = ( v3 y v ) ( 2 v i + z z v ) ( 3 v2 j + x x v ) k y rotationen av v (rotationen av vektorfältet v. Exempel 3.3 Rotation av ett vektorfält Låt x, y, z vara ett positivt orienterat cartesiskt koordinatsystem. Betrakta vektorfältet v(x, y, z) = yzi + 3zxj + zk. Rotationen av v är i j k curl v = x y z yz 3xz z = ( z y (3xz) ) ( (yz) i+ z ) ( (3xz) j+ z z x x (yz) y ) k = 3xi+yj+2zk. 40

3.3 Viktiga vektoridentiteter Låt f vara en två gånger deriverbar funktion. Då curl (grad f) = 0. (49) Bevis. i j k curl (grad f) = x y z f f f = i j k x y z x y z f x f y f z = ( fz = y f ) ( y fx i + z z f ) ( z fy j + x x f ) x k = y = (f zy f yz )i + (f xz f zx )j + (f yx f xy )k = 0. (50) Enligt (49) är ett gradientfält, som kan skrivas grad f, virvelfria. Låt v vara en två gånger deriverbar vektorfunktion (dess komponenter är två gånger deriverbara funktioner). Då Bevis. div (curl v) = x div (curl v) = 0. (5) ( v3 y v ) 2 + ( v z y z v ) 3 + ( v2 x z x v ) = y (v 3yx v 2zx ) + (v zy v 3xy ) + (v 2xz v yz ) = 0. Enligt (5) är ett fält, som kan skrivas curl v, källfria. 3.4 Problem PROBLEM 8.0. Bestäm divergensen av v(x, y, z) = v (x, y, z)i + v 2 (x, y, z)j + v 3 (x, y, z)k = xi + yj + zk. Lösning. Divergensen definieras genom div v = v x + v 2 y + v 3 z 4

Här, och v (x, y, z) = x, v 2 (x, y, z) = y, v 3 (x, y, z) = z, div v = + + = 3. PROBLEM 8.0.2 Bestäm divergensen av v(x, y, z) = v (x, y, z)i + v 2 (x, y, z)j + v 3 (x, y, z)k = x 2 i + y 2 j + z 2 k. och Lösning. Vi har v (x, y, z) = x 2, v 2 (x, y, z) = y 2, v 3 (x, y, z) = z 2, div v = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z). PROBLEM 8.0.5 Bestäm divergensen av v(x, y) = v (x, y)i + v 2 (x, y)j = (x 2 + y 2 ) ( yi + xj). Lösning. och v (x, y) = ( y)(x 2 + y 2 ), v 2 (x, y) = ( y)(x 2 + y 2 ), div v = 2xy(x 2 + y 2 ) 2 2xy(x 2 + y 2 ) 2 = 0. PROBLEM 8.0.3b Bestäm divergensen av fv(x, y, z) = fv (x, y, z)i + fv 2 (x, y, z)j + fv 3 (x, y, z)k, f = f(x, y, z). Lösning. div fv = fv x + fv 2 y + fv 3 z = f v x + f v 2 y + f v 3 z + v f x + v f 2 x + v f 3 x = (52) 42

Använd (52) för att beräkna fdiv v + v grad f. div (fv(x, y, z)), f(x, y, z) = r 3/2 = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2, v = xi + yj + zk. Vi har och div v = 3. grad f = 3r 5/2 (xi + yj + zk) div (fv) = fdiv v+v grad f = 3r 3/2 3r 5/2 [x, y, z] [x, y, z] = 3r 3/2 3r 5/2 r = 0. PROBLEM 8.0.4 Beräkna f = 2 f av Då f(x, y) = (x y)/(x + y). Lösning. f är en två gånger deriverbar funktion om x y, och PROBLEM 8.0.5 Beräkna f = 2 f av grad f = f = f x i + f y j = 2y (x + y) 2 i 2x (x + y) 2 j, 2 f = div (grad f) = 2 f x 2 + 2 f y 2 = 4 x y (x + y) 3. f(x, y, z) = 4x 2 + 9y 2 + z 2. Lösning. f är en två gånger deriverbar funktion, och grad f = f = f x i + f y j + f z k = 8xi + 8yj + 2zk = [8x, 8y, 2z]. 43

Då 2 f = div (grad f) = 2 f x + 2 f 2 y + 2 f = 8 + 8 + 2 = 28. 2 z2 PROBLEM 8..2 Bestäm rotationen av v = [2y, 5x, 0]. Lösning. i j k curl v = x y 2y 5x 0 ( (0) y (5x) ) ( (2y) i + (0) z z x PROBLEM 8..3 Bestäm rotationen av Lösning. z = ) j + ( (5x) 0 i + 0 j + (5 2) k = 3k. v = 2 (x2 + y 2 + z 2 )(i + j + k). x (2y) ) k = y v (x, y, z) = v 2 (x, y, z) = v 3 (x, y, z) = v(x, y, z) = 2 (x2 + y 2 + z 2 ) och Då curl v = v q = q, q = x, y, z. ( v y v ) ( v i + z z v ) ( v j + x x v ) k = y (y z)i + (z x)j + (x y)k = [y z, z x, x y]. PROBLEM 8..3 Bestäm rotationen av v = [x, y, z]. 44

(vektorfältet av strömning). Lösning. curl v = ( ( z) y ) i + y z Strömningen är virvelfri. i j k x y z x y z ( x z ( z) x = ) j + 0 i + 0 j + 0 k = 0. div v = + =. ( y x x ) k = y PROBLEM 8..4 r(t) = [c e t, c 2 e t, c 3 e t ]. u v = i j k u u 2 u 3 v v 2 v 3 = (u 2 v 3 u 3 v 2 )i (u v 3 u 3 v )j + (u v 2 u 2 v )k. div (u v) = (u 2v 3 u 3 v 2 ) x (u 2 v 3 ) x + (u 3v ) y + (u v 2 ) z u 2 v 3 x +u v 3 2 x +v u 3 y +u v 3 y +v 2 ( (u3 ) v (u ) 2) y z Då u ( (v2 ) z (v 3) y ) PROBLEM 8..5 + v 2 ( (u ) z + (u 3v u v 3 ) y (u 3v 2 ) x u z +u v 2 ( (v3 ) + u 2 x (v ) z + (u v 2 u 2 v ) z (u v 3 ) y z v u 3 2 x u 3 (u ) 3) x ) v curl u u curl v. div (u v) = v curl u u curl v. 45 (u 2v ) z v 2 x v u 3 = = y u ( (u2 ) + v 3 x (u ) y ( (v ) + u 3 y (v 2) x v 3 y v u 2 z u v 2 z = ) + ) =

Bestäm rotationen fu av där f = xyz. Lösning. Här u = yi + zj + xk curl fu = grad f u + fcurl u grad f = [yz, xz, xy], grad f u = i j k yz xz xy y z x u = [y, z, x], = (x 2 z xyz)i (xy 2 xyz)j + (yz 2 xyz)k = [x 2 z xyz, xy 2 xyz, yz 2 xyz]. ( x curl u = y z ) ( y i + z z x ) ( z j + x x y ) k = y = i j k = [,, ]. curl fu = (x 2 z xyz)i (xyz xy 2 )j + (yz 2 xyz)k (xyz)(i + j + k) = (x 2 z 2xyz)i (xy 2 2xyz)j + (yz 2 2xyz)k. 4 Kurvintegraler 4. Kurvintegralens definition Om C är en orienterad kurva med parameterekvationen P = P (t) (x = x(t), y = y(t), z = z(t)) t I = (t 0, t ), t : t 0 t, (53) och f(p ) och g(p ) är reela (eller komplexa) funktioner, definierade på C, så definieras kurvintegralen f(p )dg(p ) C C f(p )dg(p ) = (om integralen i högerledet existerar). t=t t=t 0 f(p (t))dg(p (t)), (54) 46

En kurvintegral av vektorfunktionen F(r) definieras b F(r) dr = F(r(t)) dr dt dt, eller komponentvis F(r) dr = (F dx + F 2 dy + F 3 dz) = C C C a b Exempel 4. En kurvintegral i planet a (F x + F 2 y + F 3 z )dt ( = d/dt). Beräkna kurvintegralen när F(r) = [ y, xy] och C är (orienterade) cirkelbågen från begynnelsepunkten (, 0) till slutpunkten (0, ). Lösning. En cirkel med radien (enhetscirkeln) i xy-planet på parameterform ges av vektorfunktionen och r(t) = [cos t, sin t] = cos ti + sin tj, (55) r(t) = [cos t, sin t], t : 0 π/2 ger en orienterad cirkelbåge. Parameterintervallet I = (t 0, t ) har ändpunkterna t 0 = 0 och t = π/2. Vid sådan orientering är begynnelsepunkt och P (0) = (cos 0, b sin 0) = (, 0) P (π/2) = (a cos π/2, b sin π/2) = (0, ) slutpunkt på den orienterad cirkelbågen. Vi har x = cos t, y = sin t och kan skriva vektorfunktionen F(r) på enhetscirkeln Bestäm F(r(t)) = y(t)i x(t)y(t)j = [ sin t, cos t sin t] = sin ti cos t sin tj. r (t) = sin ti + cos tj och beräkna kurvintegralen: π/2 F(r) dr = ( sin ti cos t sin tj) ( sin ti + cos tj)dt = C π/2 0 (sin 2 t cos 2 t sin t)dt = (/2) 0 π/2 0 π/2 0 [( cos 2t)dt 47 [(/2)( cos 2t) cos 2 t sin t]dt = π/2 0 cos 2 td cos t = π 4 3.

5 Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats 5. Ytor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En yta S på parameterform ges av tre ekvationer dvs av vektorfunktionen x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) D, (56) r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k [(u, v) D], (57) där variabelna u, v kallas parametrar. Området D ligger i uv-planet och kallas parameterområde. Då u, v genomlöper området D [(u, v) D], så genomlöper punkten P = P (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) en viss punktmängd S i xyz-rummet (en yta). Ekvationerna (56) kallas ytans ekvationer på parameter form. (57) kallas ytans ekvation på vektorform. (57) kan skrivas kort r = r(u, v) [(u, v) D], (58) där r(u, v) är ortsvektorn för den punkt på S, som motsvarar parametervärdena r(u, v) = OP (u, v). eller En yta S med ekvationen kan parameterframställas av z = f(x, y), x = g(y, z) y = h(x, z) etc., och vektorekvationen är då x = u, y = v, z = f(x, y), r = [u, v, f(u, v)] [(u, v) D], (59) Parameterområdet R är projektionen av S på xy- (yz-, xz-) planet Man kan också definiera en yta med en ekvation g(x, y, z) = 0, 48

t ex, eller x 2 + y 2 + z 2 = a 2, z 0, z = + a 2 x 2 y 2 ger halvklotytan av radien a och origo O. Exempel 5. En cylinderyta på parameterform. Ekvationen x 2 + y 2 = a 2, z, (60) ger en cylinderyta av radien a och origo O. Den här parameterform r(u, v) s komponenter är r(u, v) = [a cos u, a sin u, v] = a cos ui + a sin uj + vk, u, v i rektangel R : 0 u 2π, v. x = a cos u, y = a sin u, z = v. (6) Observera att varje punkt x, y, z definierad med (6) satisfierar cylinderns ekvation (60) och att omvänt varje punkt x, y, z på cylindern [x, y, z satisfierar (60)] kan skrivas på formen (6) eftersom Ekvationen x 2 + y 2 = a 2 cos 2 u + a 2 sin 2 u = a 2 (cos 2 u + sin 2 u) = a 2. x 2 + y 2 = a 2, z ger en cylinderyta av radien a, höjden 2 och origo O. Den här parameterform r(u, v) s komponenter är r(u, v) = [a cos u, a sin u, v] = a cos ui + a sin uj + vk, u, v i rektangel R : 0 u 2π, v. x = a cos u, y = a sin u, z = v. Exempel 5.2 En klotyta på parameterform Klotytan x 2 + y 2 + z 2 = a 2 på parameterform ges av vektorfunktionen r(u, v) = a cos v cos ui + a cos v sin uj + a sin vk, 49